11. Potentialtheorie, Vektorfelder und Kurvenintegrale.

Transkript

1 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle Potentilfunktionen Definition. Es sei D R n. Unter einem Vektorfeld versteht mn eine Abbildung g: D R n. Ds Vektorfeld heißt differenzierbr, wenn jede omponentenfunktion der vektorwertigen Abbildung g stetig prtiell differenzierbr ist wenn demnch die Abbildung g totl differenzierbr ist, vgl und Allgemeiner schreiben wir g C k D,R n, wenn jede omponentenfunktion g j zuc k D gehört. Mit Hilfe eines Vektorfelds können wir etw die Geschwindigkeitsverteilung einer Flüssigkeit oder eines Gses beschreiben: Jedem Teilchen gegeben durch seinen Ort, lso einen Vektor R 3 wird dessen Momentngeschwindigkeit zugeordnet lso wieder ein Vektor v R 3 : So entsteht ein Vektorfeld v: D R 3, definiert uf dem Bereich D R 3, in dem sich die Flüssigkeit oder ds Gs befindet. Als eine weitere Anwendung ist etw die Beschreibung einer rftverteilung oder der drus resultierenden Momentnbeschleunigung zu nennen. Geschwindigkeit und Beschleunigung entstehen durch Ableiten. Es erscheint dher sinnvoll zu frgen, ob ein gegebenes Vektorfeld g: D R n entsteht ls Ableitung einer Funktion U : D R, ob lso U C 1 D so eistiert, dss gilt: D: grd U g. Dmit sich die Ableitung ls ein Vektorfeld ergibt, muss die Funktion U reellwertig sein. Als ein Beispiel für eine solche Funktion mg mn n ein Ldungspotentil denken: Solch ein Potentil bewirkt die räfte, die die verteilten Ldungen beschleunigen Definition. Ein Vektorfeld g: D R n heißt konservtiv oder ein Grdientenfeld, wenn es eine Funktion U C 1 D so gibt, dss grd Ug. In c Mrkus Stroppel

2 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. diesem Fll heißt U Potentil 1 -funktion von g. Zu c Rkönnen wir die Niveumenge { D Uc} betrchten: Diese nennt mn uch Äquipotentilmenge gegebenenflls Äquipotentillinie oder -fläche von g zu c. Bei der Diskussion der Eistenz eines Potentils zu einem gegebenen Vektorfeld spielen weitere topologische Begriffe eine Rolle: Definitionen. Eine Menge D R n heißt wegweise zusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten p, q D ein Intervll [, b] und eine stetige Abbildung w : [, b] R n so gibt, dss gilt: t [, b]: wt D d. h.: die urve verläuft gnz in D w p, wb q d. h.: die urve verbindet p mit q. Eine solche Abbildung nennt mn uch einen Weg von p nch q in D oder eine Prmetrisierung der urve w[, b] in D. Wenn w injektiv ist, heißt die urve doppelpunktfrei. Eine urve w[, b] heißt geschlossen, wenn w wb gilt. Eine geschlossene urve w[, b] heißt doppelpunktfrei prmetrisiert, wenn die Einschränkung von w uf ds hlboffene Intervll [, b injektiv ist. Die Abbildung w selbst knn wegen w wb nicht injektiv sein! Die Menge D heißt einfch zusmmenhängend, wenn sich jede geschlossene urve in D innerhlb D stetig zu einem Punkt zusmmenziehen lässt. Ws stetig zusmmenziehen genu bedeutet, lssen wir hier offen die Präzisierung der nschulichen Vorstellung ist Aufgbe der Mthemtiker. Unter einem Gebiet inr n versteht mn eine offene zusmmenhängende Teilmenge vonr n Beispiele. 1. Jede konvee Menge inr n ist einfch zusmmenhängend. Insbesondere sindr n selbst und jede offene ugel U ρ m einfch zusmmenhängend. 2. InR 2 ist die punktierte reisscheibe U ρ m {m} nicht einfch zusmmenhängend, ebensowenig der reisring U ρ m U ε m oderr 2 U ε m. 3. Dgegen sind die MengenR 3 U ρ m undr 3 {m} einfch zusmmenhängend [ mn knn Wege um ds Loch herumziehen ]. 1 Mnche Autoren bezeichnen us phsiklischen Gründen die Funktion U ls Potentil des Grdientenfelds grd U. 336 c Mrkus Stroppel 26

3 11.1. Potentilfunktionen. 4. Beispiele für nicht einfch zusmmenhängende Mengen inr 3 liefern der Volltorus: ds ist ds Innere der Menge { sins 1+ sint, coss 1+ sint cost } s 2π,, t 2π oder Brezeln : Stz. Es sei D R n ein Gebiet, und g: D R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld. 1. Wenn g ein Grdientenfeld ist wenn lso g ein Potentil besitzt, gilt für die omponentenfunktionen g j : j, k n: g k g j j. k 2. Wenn ds Gebiet D einfch zusmmenhängend ist und die Bedingung erfüllt ist, eistiert eine Potentilfunktion zu g und g ist demnch ein Grdientenfeld. Die Potentilfunktion ist bis uf eine dditive onstnte eindeutig bestimmt. Mn muss in ntürlich nur die Fälle j kbechten, die Bedingung für j k ist bnlerweise erfüllt. c Mrkus Stroppel

4 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle Spezilfälle. Für Vektorfelder in zwei bzw. drei Vriblen,, z schreibt sich die Bedingung us folgendermßen: g 1 g 2 bzw. g 1 g 2, g 1 z g 3, g 2 z g Beispiel. Für ds Vektorfeld g:r 2 R 2 : + e + ergibt sich g 1, b1 und g 2, be +b. Nur für + b fllen diese Werte zusmmen, lso ht keine Einschränkung von g ein Potentil: In der Gerden{, R} ist kein Gebiet enthlten Beispiel. Ds Vektorfeld g:r 2 R 2 : liefert g 1, b2 g 2, b. Der DefinitionsbereichR 2 ist einfch zusmmenhängend. Also besitzt g ein Potentil. Wir wollen ein Potentil U eplizit bestimmen: Aus grd U g folgt zuerst U, g 1, 2. Integrtion liefert [ U, ] U, d 2 d [ 2 ]. Für jedes R stimmen lso U, und 2 bis uf eine dditive onstnte überein. Diese onstnte knn ber durchus noch von bhängen: Wir setzen lso eine Funktion c:r R: c n und erhlten U, 2 +c. 338 c Mrkus Stroppel 26

5 11.1. Potentilfunktionen. Wir leiten jetzt diesen ndidten für U nch der zweiten Vriblen b und erhlten die Bedingung g 2, U, 2 + d d c. Dmit gilt c 3 + k mit einer onstnten k R. Wir erhlten: U :R 2 R:, k. Die Eindeutigkeitsussge in besgt, dss wir lle Potentilfunktionen zu g erhlten, wenn wir die onstnte k über R lufen lssen Beispiel. Wir betrchten ds Vektorfeld cos g:r 3 R 3 : cos + 2 z 3 z 3 2 z 2. Es gilt g 1,, zcos + sin g 2,, z, g 1 z,, zg 3,, z, g 2 z,, z6 z 2 g 3,, z. Also ist die Bedingung us erfüllt. Weil der DefinitionsbereichR 3 einfch zusmmenhängend ist, gibt es eine Potentilfunktion. Wir berechnen die Potentilfunktion U zu g: Zuerst verwenden wir U g 1 : [ ] U,, z U,, z d g 1,, z d [ ] cos d sin. Es gibt lso jetzt eine Funktion c:r 2 R:, z c, z so, dss gilt: U,, zsin +c, z. Ableiten nch liefert wegen U g 2 die Bedingung cos +2 z 3 d d U,, z cos + c, z, d d c Mrkus Stroppel

6 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. lso c, z 2 z 3 + bz mit einer Funktion b, die nur noch von z bhängt. Indem wir jetzt uch noch nch z bleiten, sehen wir, dss b konstnt ist. Als Potentil ergibt sich U :R 3 R:,, z sin + 2 z 3 + k, mit k R. Nch der Berechnung des Potentils empfiehlt sich eine Probe! Mn berechnet dzu den Grdienten des eben bestimmten Potentils und vergleicht mit dem gegebenen Vektorfeld Rottion und Divergenz. Wir hben in die Bedingung ls notwendig und unter der Vorussetzung eines einfch zusmmenhängenden Definitionsgebiets uch ls hinreichend für die Eistenz eines Potentils erknnt. Dies gibt Anlss zu einer Definition: Definitionen. Es sei D R n offen, und g: D R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld. 1. Unter der Divergenz von g im Punkt 1,..., n versteht mn div g : n j1 j g j g g n n. 2. Im Fll n3 nennt mn rot g : g 3 g 2 z g 1 z g 3 g 2 g 1 die Rottion von g im Punkt. Die Divergenz liefert eine sklre Funktion div g: D R: div g. 34 c Mrkus Stroppel 26

7 11.2. Rottion und Divergenz. Dgegen liefert die Rottion ein Vektorfeld rot g: D R 3 : rot g Beispiel. Ds Vektorfeld g:r 3 R 3 : z z z 2 ht die Divergenz und die Rottion div g,, z++2 z2 z rot g,, z z Spezilfll. Jedes ebene Vektorfeld g: D R 2 knn mn in ein dreidimensionles Vektorfeld g einbetten vi g: D R R 3 : z g 1, g 2, Dnn ergibt sich Mn schreibt kurz rot g,, z g 2 g 1 rot g, : g 2 g 1.. Mit Hilfe des Begriffs der Rottion können wir unseren Stz folgendermßen formulieren: Stz. Besitzt ds räumliche oder ebene Vektorfeld g ein Potentil, so gilt rot g für lle im Definitionsbereich D. Wenn D einfch zusmmenhängend ist, ist die Eistenz eines Potentils äquivlent zum Verschwinden der Rottion. c Mrkus Stroppel

8 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. Wenn ds Potentil eistiert, knn mn es wie in den oben besprochenen Beispielen bestimmen: durch Integrtion mit geeigneten Integrtionskonstnten und Vergleich der Ableitungen mit den oeffizienten des Grdientenfeldes Bemerkungen. Wir hben bereits ngedeutet, dss mn mit Vektorfeldern den Fluss eines Gses oder einer Flüssigkeit modellieren knn. 1. Mn knn die Divergenz ls Mß des Flusses nch ußen pro Volumenund Zeiteinheit uffssen, die Rottion ls ein Mß für die Wirbelbildung. 2. Mn nennt ein Vektorfeld g quellenfrei, wenn div gist, und wirbelfrei, wenn rot g gilt Schreibweisen und Merkregeln. Schreibt mn dnn schreibt sich forml und rot g g : div g g : , 2, e 1 e 2 e 3 z g 1 g 2 g 3 3 g 1 g 2 g 3 g 3 g 2 z g 1 z g 3 g 2 g 1 Vorsicht: Die formlen Schreibweisen sind nur Hilfen, um sich die Definition zu merken, mn knn mit diesen Schreibweisen nicht rechnen! Zum Rechnen muss mn diese Opertoren erst n Funktionen uswerten Definition. Der Opertor 2 : n heißt Lplce-Opertor c Mrkus Stroppel 26

9 11.3. urvenintegrle von Vektorfeldern. Auch diese formle Schreibweise müssen wir zunächst einml richtig interpretieren: Dieser Opertor ordnet jeder Funktion f C 2 D eine reellwertige Funktion zu, nämlich f : D R: f f f n n. Eine Funktion f heißt hrmonisch, wenn f die Nullfunktion ist Lemm. Für jede zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktion f gilt div grd f f. Für jedes zweiml stetig differenzierbre dreidimensionle Vektorfeld g gilt div rot g. Beweis. Wir berechnen div grd f div f 1. f n f f n n f und div rot g div g 3 g 2 z g 1 z g 3 g 2 g 1 g 3 g 2 z + g 1 z g 3 + g 2 z g 1 z g 3 g 2 z + g 1 z g 3 + g 2 z g 1 z. Hier hben wir den Stz von Schwrz und dmit die Stetigkeit der zweiten prtiellen Ableitungen verwendet urvenintegrle von Vektorfeldern Definition. Es sei D R n offen und [, b] ein reelles Intervll. 1. Eine Abbildung C: [, b] D: t Ct C 1 t,...,c n t heißt reguläre Prmetrisierung einer urve in D, wenn C stetig differenzierbr ist und für lle t [, b] gilt: C t : C 1 t,...,c nt,...,. Die urve, die hier prmetrisiert wird, ist :{Ct t [, b]} R n. c Mrkus Stroppel

10 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. 2. Eine Prmetrisierung C heißt doppelpunktfrei, wenn für s tstets Cs Ct gilt wenn lso C eine injektive Abbildung ist. 3. Für jedes stetige Vektorfeld g: D R n und jede reguläre Prmetrisierung C: [, b] D heißt b ds urvenintegrl von g längs. gct C t d t Bemerkung. Der Wert des urvenintegrls hängt nicht von der Prmetrisierung b: Sind C: [, b] D und B: [u, v] D doppelpunktfreie reguläre Prmetrisierungen derselben urve d. h. {Ct t [, b]} {Bs s [u, v]} und C Bu dnn gilt Cb Bv von llein, so gilt Mn knn dher v u gbs B s d s g d : b b gct C t d t. gct C t d t setzen, dbei heißt d vektorielles Bogenelement. Es hndelt sich hier nur um eine Schreibweise: um ds urvenintegrl zu berechnen, muss mn eine Prmetrisierung C: [, b] wählen und b gct C t d t berechnen! Bemerkung. Oft knn mn nicht die gnze Menge uf einml regulär und doppelpunktfrei! prmetrisieren. Dnn setzt mn zusmmen us urvenstücken 1,..., l so, dss für j jeweils eine reguläre Prmetrisierung C j : [ j, b j ] D mit j {C j t t [ j, b j ]} vorliegt und derrt, dss der Endpunkt von j mit dem Anfngspunkt von j+1 übereinstimmt d. h. lso C j b j C j+1 j+1. Mn definiert in diesem Fll g d : Phsiklische Interprettionen. g d + + g d. 1 l 1. Ist g ein rftfeld, so beschreibt g d die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Mssepunkt längs vom Anfngs- zum Endpunkt zu bewegen. 344 c Mrkus Stroppel 26

11 11.3. urvenintegrle von Vektorfeldern. 2. Ist g ein elektrisches Feld, dnn liefert g d den Spnnungsbfll längs Beispiel. Gegeben sei ds Vektorfeld g:r 2 { } R 2 : und die urve durch die Prmetrisierung [ π C: 4, 5π ] R 2 : t Ct : 4 cos t sin t Die urve ist lso ein reisbogen, der Anfngspunkt ist C π 4 Endpunkt C 5π Mit C t sin t cos t und g Ct 1 cos t sin t cos t 2 + sin t 2 cos t sin t , der cos t sin t 1+sin t 2 ergibt sich g d 5π 4 π 4 5π 4 π 4 g Ct C t d t cos t sin t 1+sin t 2 sin t d t cos t 5π 4 π 4 cos t sin t 2 + cos t+sin t 2 cos t d t 5π 4 π 4 cos t d t [ ] 5π 4 sin t π 4 2. c Mrkus Stroppel

12 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle Rechenregeln für urvenintegrle. Es seien g und h stetige Vektorfelder. Dnn gilt für jede urve und jede reelle Zhl c: g+h d g d + h d. c g d c g d Bemerkung. Weil wir Anfngs- und Endpunkt festlegen, ist uf der urve ein Durchlufungssinn usgezeichnet. Um diesen umzukehren, lssen wir den Prmeter rückwärts lufen : Die Funktion C : [, b] R n : t C+b t prmetrisiert die rückwärts durchlufene urve, mit st : +b t bzw. ts : +b s gilt wegen C C s nch der Substitutionsregel g d b b gc s C s d s gct C t t s d s b gct C t d t g d. Wenn mn den Durchlufungssinn umkehrt, ändert sich lso ds Vorzeichen des urvenintegrls Definition. Eine urve mit Prmetrisierung C: [, b] heißt geschlossen, wenn Anfngs- und Endpunkt zusmmenfllen: C Cb. Um nzudeuten, dss über eine geschlossene urve integriert wird, schreibt mn g d : g d und nennt dies ein Umlufintegrl Bemerkung. Geschlossene urven sind nie doppelpunktfrei. Wenn ber die Einschränkung C [,b : [, b : t Ct injektiv ist, knn mn ds Umlufintegrl eventuell immer noch ohne Zerlegung der urve in doppelpunktfreie Stücke berechnen. Vorsicht muss mn ber beim Umlufsinn wlten lssen! 346 c Mrkus Stroppel 26

13 11.3. urvenintegrle von Vektorfeldern Stz. Es sei DD R n, und es sei g: D R n ein stetiges Vektorfeld. Außerdem sei C: [, b] D eine reguläre Prmetrisierung einer urve in D. Ist g ein Grdientenfeld, so hängt ds urvenintegrl nur vom Anfngs- und Endpunkt b: Für jedes Potentil U mit grd U g gilt g d b gct C t d tucb UC. Mit nderen Worten: urvenintegrle bezüglich Grdientenfeldern sind wegunbhängig. Beweis. Nch der ettenregel ht die Funktion die Ableitung U C: [, b] R: t UCt d d t U CtJU Ct C tgrd UCt C t gct C t. Drus folgt die Behuptung Bemerkungen. Die Formel in rechtfertigt, jede Potentilfunktion eines Grdientenfelds ls Stmmfunktion dieses Vektorfelds zu bezeichen. Außerdem knn mn ein Potentil U zum Grdientenfeld g ermitteln, indem mn p D fest wählt, zu q Djeweils eine urve q durch w q : [, b] D prmetrisiert und dnn Uq : g d q b gw q t w t d t berechnet. So erhält mn ein Potentil U mit Up. Dss diese Berechnung von Uq nicht von der Whl der urve q bhängt, folgt us Beispiel. Ds Vektorfeld g:r 3 R 3 : z z z 2 3 erfüllt rot g, und der Definitionsbereich ist einfch zusmmenhängend. Nch ist g ein Grdientenfeld. Eine Potentilfunktion ist U :R 3 R 3 :,, z 2 3 z. c Mrkus Stroppel

14 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. Für jede stückweise regulär prmetrisierte urve von P : 1, 1, 2 nch Q : 3, 2, 5 erhlten wir g d UQ UP k Beispiel. Ds Vektorfeld g:r 2 { } R 2 : hben wir bereits in betrchtet. Ein Potentil zu g ist { } U :R 2 R: Mit erhlten wir für jede urve von A : 1 2 g d UB UA nch B : : Folgerung. Besitzt ein Vektorfeld g eine Potentilfunktion, so wird jedes Umlufintegrl längs einer geschlossenen, stückweise regulär prmetrisierten urve gleich Null. Umgekehrt gilt: Gibt es im Definitionsgebiet des Vektorfelds eine geschlossene, stückweise regulär prmetrisierte urve mit g d, so knn kein Potentil für g eistieren Beispiel. Wir betrchten ds Vektorfeld g:r 2 { } R 2 : c Mrkus Stroppel 26

15 11.3. urvenintegrle von Vektorfeldern. Der Definitionsbereich ist nicht einfch zusmmenhängend, ber wir können Potentile uf geeigneten Teilmengen ngeben: Auf {, R 2 } ist etw, rctn ein Potentil für g, uf der Menge{, R 2 } können wir, rctn nehmen. Für jede geschlossene, stückweise regulär prmetrisierte urve, die eine der oordintenchsen meidet, gilt lso g d. Wir können dies sogr noch erweitern: Wegen d 2 2 d d d besitzt ds Vektorfeld g uf jedem einfch zusmmenhängenden Teilgebiet von R 2 { } ein Potentil, vgl Solche einfch zusmmenhängenden Gebiete können recht kurios ussehen: Wir prmetrisieren den Einheitskreis 1 : C: [, 2π] R 2 : t cos t sin t. Es gilt gct C t 1 sin t cos t 2 + sin t 2 cos t sin t cos t sin t 2 + cos t 2 1 c Mrkus Stroppel

16 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. und dmit 1 g d 2π gct C t d 2π 1 d t2π. Dieses Umlufintegrl wird lso nicht Null, und uf keinem Gebiet, ds den Einheitskreis enthält, gibt es ein Potentil für ds betrchtete Vektorfeld g: Insbesondere nicht ufr 2 { } urvenintegrle reellwertiger Funktionen. Wenn wir eine reellwertige Funktion in n Veränderlichen über eine urve inr n integrieren wollen, bruchen wir nicht wie in durch ein Sklrprodukt einen reellen Integrnden zu erzeugen. Stttdessen integrieren wir ds Produkt der Funktion mit dem Betrg des Geschwindigkeitsvektors lso der Ableitung der Prmetrisierung beim betreffenden Punkt uf der urve: Definition. Es sei D D R n und C: [, b] D eine reguläre Prmetrisierung einer urve in D. Außerdem betrchten wir eine Funktion f : Rderrt, dss die omposition f C: [, b] R stetig ist ds ist sicher der Fll, wenn f durch Einschränkung einer uf D stetigen Funktion entsteht. Dnn heißt b f s d s : f Ct C t d t ds urvenintegrl von f längs. Ds Smbol d s nennt mn sklres Bogenelement Spezilfll. Die Länge einer urve bestimmt mn mit Hilfe einer regulären Prmetrisierung C: [, b] ls L : 1 d s b C t d t Bemerkungen. Auch dieses urvenintegrl einer reellwertigen Funktion hängt nicht von der Prmetrisierung der urve b, wenn die urve doppelpunktfrei ist. Im Unterschied zum urvenintegrl für Vektorfelder in hängt ds jetzt betrchtete Integrl uch nicht vom Durchlufungssinn b [ weil wir den Betrg der Ableitung C verwenden ]. 35 c Mrkus Stroppel 26

17 11.4. urvenintegrle reellwertiger Funktionen. Bei Umlufintegrlen muss mn die Unbhängigkeit von der Prmetrisierung der dnn geschlossenen urve präzisieren: Stz. Es seien B: [u, v] und C: [, b] reguläre Prmetrisierungen einer geschlossenen urve mit BuC BvCb. Wird die urve bei beiden Prmetrisierungen gleich oft durchlufen sind lso für jedes t [, b] die Mengen{t, b CtCt } und{s u, v BsCt } gleich groß, so gilt b f Ct C t d t v u f Bt B t d t Rechenregeln. Es sei eine regulär prmetriserbre urve, und es seien f und g stetige Funktionen uf. Dnn gilt für lle c R: c f s d sc f s d s. f+ gs d s f s d s+ gs d s Mittelwertstz für urvenintegrle. Zu jeder stückweise regulär prmetrisierbren urve und jeder uf stetigen Funktion f gibt es einen Punkt m derrt, dss gilt: f s d s f m L. Beweis. Wir wählen eine reguläre Prmetrisierung C: [, b], dnn gilt f s d s b f Ct C t d t. Wir setzen ht : f Ct und gt : C t ; dmit hben wir stetige reellwertige Funktionen h und g mit gt>für lle t [, b] definiert. Nch dem erweiterten Mittelwertstz der Integrlrechnung gibt es ξ [, b] so, dss b ht gt d t f ξ b gt d t. Mit m : Cξ folgt die Behuptung Anschuung. Ds urvenintegrl f s d s einer reellen Funktion f beschreibt die Fläche eines Zunes, der entlng der urve errichtet ist: c Mrkus Stroppel

18 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. Die Höhe des Zuns im Punkt P ist dbei f P. Der Mittelwertstz besgt insbesondere, dss mn den Zun durch einen Zun konstnter Höhe ersetzen knn, ohne die Fläche zu ändern. Die mittlere Höhe ist in der Skizze ebenflls eingezeichnet, die Funktion f nimmt diese Höhe zweiml n Beispiel. Es sei R n eine urve mit regulärer Prmetrisierung C: [, b]. Dnn ist der normierte Tngentenvektor C t C t bis uf sein Vorzeichen unbhängig von der Whl der Prmetrisierung. Für jedes stetige Vektorfeld g: D R n, dessen Definitionsbereich D die urve enthält, definiert f Ct : gct C t C t eine reellwertige Funktion f : R, die mn sklre Tngentilkomponente des Feldes nennt. Es gilt f s d s b b gct C t C t C t d t gct C t d t g d Zirkultion und Ausfluss. Wir beschreiben eine ebene Strömung durch ihr Geschwindigkeitsfeld: Dies ist ein Vektorfeld g: D R 2 mit D R 2. Wir wollen berechnen, wieviel Volumen pro Zeiteinheit der Flüssigkeit oder des Gses us dem durch eine geschlossene urve begrenzten Teil herusfließt Ausfluss durch und wieviel n der urve entlng fließt Zirkultion längs. Wir benutzen eine reguläre Prmetrisierung C: [, b] : t Ct c1 t c 2 t 352 c Mrkus Stroppel 26

19 11.4. urvenintegrle reellwertiger Funktionen. und zerlegen den Vektor gp n jedem Punkt PCt der urve in die 1 omponenten in Tngentenrichtung C t C t bzw. orthogonl dzu, lso in Richtung des Normlenvektors nt : 1 c 2 t2 + c 1 t2 c 2 t c 1 t 1 C t c 2 t c 1 t. Ws uns wirklich interessiert, ist jeweils die orientierte Länge dieser omponenten, diese erhlten wir ls Sklrprodukt: TCt : gct 1 C t C t bzw. NCt : gct nt. Mn nennt Zg, : bzw. Ag, : Ts d s b TCt C t d t Ns d s b NCt C t d t b b gct C t d t gct c 2 t c 1 t d t die Zirkultion Zg, von g längs bzw. den Ausfluss Ag, von g durch Bemerkung. Der Mittelwertstz liefert Ts d stξ T L und Ns d snξ N L. Wir können etw Nξ N ls mittleren Ausfluss durch interpretieren Beispiel. Wir prmetrisieren eine Ellipse durch C: [, 2π] R 2 : t 2 cos t sin t. c Mrkus Stroppel

20 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. Dnn gilt C t 2 sin t cos t und nt 1 C t cos t 2 sin t Ds Normlenfeld n zeigt nch ußen, weil die urve im mthemtisch positiven Sinn lso gegen den Uhrzeigersinn durchlufen wird: Ds Geschwindigkeitsfeld der Strömung sei g:r 2 R 2 :. Ein solches Feld knn etw näherungsweise ds Verhlten des Schmierfilms bei einer Gleitschmierung beschreiben: Es hndelt sich hier um eine Couette- Strömung. An jedem Punkt P Ct der Ellipse zerlegen wir den Geschwindigkeitsvektor gp gct in die omponenten g T t : TCt C t C t tngentil und g N tnct nt orthogonl zur urve: vgl. etw J. Spurk: Strömungslehre, Springer-Verlg 1987, Abschnitt Die folgenden Skizzen zeigen ds Geschwindigkeitsfeld n usgewählten Punkten der urve links sowie ds Feld g N rechts: 354 c Mrkus Stroppel 26

21 11.4. urvenintegrle reellwertiger Funktionen. Der zur Tngente orthogonle Anteil des Flusses beschreibt den Ausfluss durch : Wir berechnen den Gesmtusfluss ls Ag, Ns d s 2π c gct 2 t c 1 t d t cos t d t 2 cos t 2 sin t b 2π 4 cos t sin t d t. Der Anteil des Flusses, der tngentil zur urve läuft, liefert die Zirkultion von g längs : Zg, Ns d s b 2π 2π gct C t d t 2 cos t 2 cos t 2 d t 2 sin t cos t d t 2π. Mn knn nchrechnen, dss sich die Zirkultion nicht ändert, wenn wir die Ellipse innerhlb des Gebiets der Couette-Strömung verschieben. c Mrkus Stroppel

22 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle. Die folgenden Skizzen zeigen ds Tngentenfeld und den zirkulären Fluss g T : Der zirkuläre Fluss läuft im Uhrzeigersinn, lso gegen ds Tngentenfeld: ds psst zum negtiven Vorzeichen des berechneten Werts. Der Wert der Zirkultion geht zum Beispiel ein in die Bestimmung der Querkrft Auftriebskrft bei einem Trgflächenprofil oder bei der hier vorliegenden Couette-Strömung in die Bestimmung des Drehmoments, ds uf einen begrenzten Teil des Mediums und dmit uch uf ein in die Strömung eingebrchtes Objekt wirkt Feldlinien Definition. Eine urve heißt Feldlinie zu einem Vektorfeld g, wenn der Vektor g in jedem Punkt tngentil zu verläuft. Wenn C: [, b] eine reguläre Prmetrisierung ist und gct gilt, knn mn die Bedingung n die Feldlinie so usdrücken: t [, b]: ρ t R {}: C tρ t gct. In geeigneten Teilstücken der urve können wir Gleichung der urve nch einer Vrible uflösen : Wir können für schreiben bzw Stz. Es sei C: [, b] R 2 : t t t 356 c Mrkus Stroppel 26

23 11.5. Feldlinien. eine reguläre Prmetrisierung einer Feldlinie des Vektorfeldes g: D R 2 g1, : g 2, Dnn erfüllen die omponentenfunktionen und von C die folgenden Differentilgleichungen: bzw. d d g 2, g 1, d d g 1, g 2, flls g 1, flls g 2,. Beweis. Wir wenden die ettenregel n uf t: t : d d t t d t d d d t t : d t t d. Für lle t mit t folgt: d t t d t ρ t g 2 Ct ρ t g 1 Ct g t, t 2 g 1 t, t, wie behuptet. Für lle t mit t ergibt sich nlog die zweite Differentilgleichung Beispiel. Für ds Vektorfeld g:r 2 R 2 : erhlten wir die Differentilgleichung d d bzw.. Durch Integrtion beider Seiten erhlten wir Die Feldlinien erfüllen lso c k für onstnten k R: Ds sind reise um den Ursprung. c Mrkus Stroppel

24 11. Potentiltheorie, Vektorfelder und urvenintegrle Bemerkung. Um zeichnerisch eine erste Idee von den Feldlinien zu bekommen, skizziert mn in Punkten P von geringem Abstnd jeweils ds Linienelement : lso einen kurzen Pfeil oder Strich durch P in Richtung gp. Für ds eben betrchtete Feld g sieht ds etw so us: Wrnung. Die Feldlinien sind weit dvon entfernt, ds Feld festzulegen: So liefern die Felder { } h: R 2 R 2 1 : g: R 2 { } R 2 : dieselben Feldlinien nämlich reise. Ds Feld h ht uf jedem einfch zusmmenhängenden Teilgebiet vonr 2 { } ein Potentil vgl : dort heißt dieses Feld g, während g in keinem Punkt die notwendige Bedingung d g 1 d d g 2 d für die Eistenz eines Potentils erfüllt siehe Wenn g ein Grdientenfeld ist, knn mn die Äquipotentillinien lso die Niveulinien eines Potentils zu g us g gewinnen: Nch steht der Grdient g senkrecht uf jeder Äquipotentillinie durch Stz. Ersetzt mn in einem Grdientenfeld g jeden Bildvektor durch einen dzu orthogonlen Vektor, so erhält mn ein Vektorfeld g, dessen Äquipotentillinien gerde die Feldlinien zu g sind. 358 c Mrkus Stroppel 26

25 11.5. Feldlinien. onkret knn mn g durch Rottion von g um 9 gewinnen: g1 1 Zu g setzt mn g g1 g2 : g 2 1 g 2 g Beispiel. Für ds durch g gegebene Feld g:r 2 { } R 2 gilt g die Feldlinien zu g sind Strhlen Hlbgerden, die vom Ursprung usgehen., Dies sind nicht die Äquipotentillinien eines Potentils zu g. [ weil dieses Feld j gr kein Potentil besitzt! ] Wir erhlten ber dieselben Feldlinien, wenn wir ds Feld g ersetzen durch ds Feld { } h:r 2 R 2 : , und die Feldlinien von h die dieselben sind wie die von g beschreiben Äquipotentillinien von h uf einem geeigneten einfch zusmmenhängenden Teilgebiet des Definitionsgebietes. c Mrkus Stroppel