MATHEMATIK KLASSE 10 STOCHASTIK , H. Knopf

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1 MTHEMTIK KLSSE 10 STOCHSTIK , H. Kopf

2 Dieses Material ist ausschließlich für de uterrichtsbegleitede Eisatz bestimmt. Dieses Dokumet stellt keie Ersatz für de Uterricht dar. Die Teilahme a de Uterrichtsverastaltuge ist zwiged erforderlich. Die Lektüre der im hag agegebee Literatur wird driged empfohle. Jede weitere Nutzug isbesodere Vervielfältigug jeglicher rt bedarf der ausdrückliche Zustimmug des utors. Wie jede Publikatio ist auch diese icht gäzlich frei vo Fehler. Die Beutzug erfolgt auf eigee Gefahr ud ohe Gewähr für die Folge. Titelbild: Jakob I. Beroulli ( ), Carl Friedrich Gauß( ) /1/, /2/, /3/ H. Kopf S. 2

3 5 STOCHSTIK GRUNDBEGRIFFE DER STOCHSTIK Häufigkeit ud Wahrscheilichkeit Das Bereche vo Wahrscheilichkeite bei ei- ud mehrstufige Zufallsexperimete (bedigte Wahrscheilichkeite) Eistufige Zufallsexperimete... 9 Mehrstufige Zufallsexperimete KOMBINTORIK Permutatioe uswahlprobleme Variatioe Kombiatioe BEDINGTE WHRSCHEINLICHKEITEN Verküpfuge vo Ereigisse Mege Verküpfuge vo Ereigisse Bedigte Wahrscheilichkeit Die Vierfeldertafel REGISTER KLSSE 10: STOCHSTIK VERZEICHNIS DER BBILDUNGEN, TBELLEN, QUELLTEXTE UND DEFINITIONEN KLSSE 10: STOCHSTIK QUELLEN KLSSE 10: STOCHSTIK H. Kopf S. 3

4 5 Stochastik Grudbegriffe der Stochastik Vorgäge, die zufällig ablaufe, dere Eitreffe icht vorhersagbar sid, habe seit jeher eie besodere Reiz auf die Mesche ausgeübt Die Stochastik beschäftigt sich mit zufällige Ereigisse ud dere Gesetzmäßigkeite. Der Begriff Stochastik stammt vom griechische Wort στoχαστικὴ τέχνη (sprich: stochastike teche) 2 ab ud bedeutet so viel wie die Kust des Vermutes oder Ratekust 3. Die Tatsache, dass etwas zufällig abläuft, icht vorhersehbar eitritt, bedeutet icht, dass es keie Gesetzmäßigkeite gibt oder ma keierlei ussage über diese zufällige Ereigisse mache ka. bbildug 1: Blaise Pascal ( ) /4 / bbildug 2: Pierre de Fermat ( ) /5/ bbildug 3: drei Nikolajewitsch Kolmogorow ( ) /6/ Obwohl bereits im ltertum ud im Mittelalter eiige Erketisse über Zufallsprozesse bekat ware, bildete sich erst ab dem 17. Jahrhudert die Stochastik systematisch heraus ls Geburtsstude gilt ei Briefwechsel zwische Blaise Pascal ud Pierre de Fermat im Jahre Das Lehrbuch drei Kolmogorows Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug brachte im Jahr 1933 die Fudamete der Stochastik zu eiem vorläufige bschluss. I de folgede Kapitel solle die bereits bekate Gesetze des Zufalls och eimal aufgefrischt bzw. erweitert werde. 1 Nach RRL Lateiisch: ars coiectadi 3 laut Wikipedia H. Kopf S. 4

5 5.1.1 Häufigkeit ud Wahrscheilichkeit Grudlage für alles Weitere sid die folgede Begriffe: Ereigisse, welche wir utersuche werde, die zufällig eitrete, wolle wir Zufallsereigis ee ud eie de Vorgag Zufallsexperimet. Das Ereigis hat immer ei sogeates Gegeereigis, welches das vollkommee Gegeteil vo sei soll. Die Ergebisse eies Zufallsexperimetes zum Ereigis werde durch eie Mege dargestellt (Beispiel 1). Beispiel 1: Ereigis ud Gegeereigis Ereigis Gegeereigis Würfel: mögliche Ergebisse des Experimetes 1,2,3,4,5,6 Würfel eier 1 : 1 Es wird keie 1 gewürfelt (oder gleichbedeuted Es wird eie 2, 3, 4, 5 oder 6 sei. ): 2,3,4,5,6 Würfel eier gerade ugezahl: 2,4,6 Würfel eier ugerade ugezahl: 1,3,5 Werfe eier Müze: mögliche Ergebisse Kopf, Zahl K, Z K Werfe vo Zahl Z Werfe vo Kopf : Will ma eie ussage mache, wie hoch die Chace sid, dass ei bestimmtes Ereigis eitritt, so ka ma ei Zufallsexperimet mache ud Ergebisse otiere. Beispiel 2: Würfel-Experimet (1) Es wird mit eiem Würfel 10x gewürfelt. Gesucht ist die Chace, dass eie 6 auftritt. Hierbei köte als Ergebis herauskomme, dass die 6 geau 5x auftrat. Defiitio 1: bsolute Häufigkeit Die gabe, wie häufig ei Ereigis auftrat, heißt absolute Häufigkeit H. I eiem weitere Experimet soll u häufiger gewürfelt werde. Beispiel 3: Würfel-Experimet (2) Es wird mit eiem Würfel 20x gewürfelt. Gesucht ist die Chace, dass eie 6 auftritt. Hierbei köte bei 10 Würfe die 6 ebefalls geau 5x auftrat. H. Kopf S. 5

6 Die absolute Häufigkeit vo Beispiel 2 ud Beispiel 3 ist icht vergleichbar. Zwar trat das gewüschte Ereigis i beide Fälle 5x auf, jedoch wurde bei Beispiel 3 doppelt so häufig gewürfelt. Um die Chace abzuschätze muss ma die Zahl der Würfe eibeziehe ud beutzt dazu die sogeate relative Häufigkeit h. Defiitio 2: relative Häufigkeit Die gabe, wie häufig ei Ereigis im Verhältis zur Gesamtzahl aller Versuche auftrat, heißt relative Häufigkeit h oder prozetuale Häufigkeit. H H h 100% (1) Die relative Häufigkeit im Beispiel 2 ud Beispiel 3 ist 5 1 h 0,5 50% bzw h 0, 25 25% Die beide Ergebisse sid atürlich sehr uterschiedlich. Ist die Chace eie 6 zu würfel wirklich 50%? Das wird iemad ersthaft glaube, da die Erfahrug etwas aderes besagt. Besser ist es, we ma icht durch Versuche die Chace bestimmt soder durch eie Berechug. Hierzu utersuche wir, wie oft kommt user gewüschtes Ereigis vor ud welche Ereigisse sid möglich? Beispiel 4: Wahrscheilichkeit des Würfels eier 6 gewüschtes Ereigis ( 6 würfel): 6 mögliche Ereigisse (eie 1, eie 2,... 6 würfel): 1,2,3,4,5,6 Häufigkeit des gewüschte Ereigisses: 1 Häufigkeit der mögliche Ereigisse: 6 We wir u das Verhältis vo der Zahl der gewüschte Ereigisse zu de mögliche bilde, komme wir zu eier eue Größe, der sogeate Wahrscheilichkeit. Die Wahrscheilichkeit ist icht davo abhägig, wie oft ma ei Zufallsexperimet wiederholt, da ma theoretisch alle mögliche Verläufe des Experimets beachtet ud ma dies i das Ergebis eifließe lässt. H. Kopf S. 6

7 Defiitio 3: Wahrscheilichkeit Das Verhältis der zahl der gewüschte Ereigisse zur Zahl der mögliche Ereigisse heißt Wahrscheilichkeit P. P P zahl güstiger Ereigisse zahl möglicher Ereigisse zahl güstiger Ereigisse 100% zahl möglicher Ereigisse (2) Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses liegt bei 0P 1 oder 0% P 100% Satz 1 Für das Ereigisses mit Wahrscheilichkeit P ud sei Gegeereigis mit der Wahrscheilichkeit P gilt also auch P 1 P (3) 1 P 1 P P P (4) (5) Mit der Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ka auf die zu erwartede Häufigkeit vo Ereigisse bestimmt werde. Defiitio 4: Erwartugswert Der Erwartugswert E(X) eier Zufallsgröße X gibt a, wie häufig ei uftrete der Zufallsgröße zu erwarte ist. We P(X) die Wahrscheilichkeit vo X ist, so gilt für de Erwartugswert E(X) bei eier Stichprobe vo Elemete: E X P X (6) Beispiel 5: Billiguhre We 10% (P=0,1) der Uhre fehlerhaft sid, so ka ei Hädler beim Kauf vo Stück mit E , fehlerhafte Uhre reche. H. Kopf S. 7

8 We z.b. die Wahrscheilichkeit eier Explosio i eiem tomkraftwerk bei eier Wahrscheilichkeit vo 1: liegt, heißt das zwar, dass i der Regel ur 1x i Jahre eie Explosio vorkommt, aber es wäre auch 2 Explosioe möglich i Jahre. Hierbei köte die 1. Explosio heute auftrete ud die 2. scho morge oder i 3 Woche oder i Jahre. Satz 2: Die Wahrscheilichkeit P gibt a, mit welcher Chace ei bestimmtes zufälliges Ereigis auftritt. Es wird ichts über de Zeitpukt des uftretes gesagt. Es gibt aber auch Ereigisse, die auf jede Fall eitrete werde. Ma et sie sichere Ereigisse ud bezeichet sie mit Ω (sprich Omega). Ei Ereigis, welches iemals auftritt, heißt umögliches Ereigis. Defiitio 5 Die Wahrscheilichkeit des sichere Ereigisses ist 1, die des umögliche Ereigisses ist Null. P 1 P 0 (7) We ma die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses icht geau bestimme ka, so ka ma bei eier große Zahl vo Versuche auch die relative Häufigkeit als Näherugswert beutze. Satz 3: Gesetz der große Zahl Für eie große Zahl vo Versuche ähert sich die relative Häufigkeit des Ereigisses E der Wahrscheilichkeit des Ereigisses E a. h E P E (8) groß Beispiel 6: Würfel-Experimet (3) Es wird mit eiem Würfel x gewürfelt. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit, dass eie 6 auftritt. Hierbei köte bei Würfe die x auftrete h 0,165 16,5% P6 0,167 16,7% h P H. Kopf S. 8

9 5.1.2 Das Bereche vo Wahrscheilichkeite bei ei- ud mehrstufige Zufallsexperimete (bedigte Wahrscheilichkeite) We ma ei Zufallsexperimet ur eimal ausführt, so et ma dies ei eistufiges Zufallsexperimet. Im letzte Kapitel hatte wir scho eiige Beispiele, für die wir die Wahrscheilichkeit bestimmt hatte. dieser Stelle sei ochmals ei Beispiel aufgeführt, ehe wir zu mehrstufige Experimete übergehe Eistufige Zufallsexperimete We wir die Wahrscheilichkeit bei Zufallsexperimete bestimme wolle, hilft es machmal sehr, we ma versucht, sich de Sachverhalt zu veraschauliche. Hierzu ka ma z.b. sogeate Baudiagramme beutze. I eiem solche Diagramm, stellt ma alle mögliche usgäge des Experimets dar. Diese Diagramme begie obe mit eiem Startpukt, de ma Wurzel oder Root et. Dieser Pukt wird gelegetlich auch ohe Bezeichug gelasse oder ma schreibt mit eier Kurzbezeichug hiei, um welche Vorgag es sich hadelt (bbildug 4). bbildug 4: Baumdiagramm für eie 1-stufige Würfelversuch (ausführliche Form) I der bbildug 5 ka jetzt leicht ablese, welches usgäge des Versuches güstig sid ud welche icht. Ebeso sieht ma die Gesamtzahl der mögliche Ergebisse. bbildug 5: Baumdiagramm für eie 1-stufige Würfelversuch: Würfel eier gerade ugezahl I bbildug 5 ist das Würfel eier gerade ugezahl dargestellt. Ma sieht leicht, dass es 6 mögliche Ereigisse gibt ud dass 3 davo güstig sid (rot markiert). Folglich berechet ma die Wahrscheilichkeit so: H. Kopf S. 9

10 3 P2, 4,6 0,5 50% 6 Die Baumdiagramme habe die Eigeschaft, dass sie sehr schell groß ud uübersichtlich werde. Ma muss schließlich alle Möglichkeite darstelle. I der bbildug 6a sehe wir das Baudiagramm für folgedes Szearium: I eier Ure befide sich 2 weiße ud 3 rote Kugel, aus der eie Kugel blid gezoge werde soll. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie weiße Kugel zu ziehe? bbildug 6: Baumdiagramm für Ure-Versuch a) detaillierter Baum b) zusammegefasster Baum Da es ur weige Farbe gibt, der Baum aber trotzdem sich scho stark auffächert, versucht ma de Baum schlak zu halte, idem ma gleichartige Zweige des Baums zusammefasst (bbildug 6b). die Zweige des Baums schreibt ma, wie oft z.b. weiße Kugel (2 vo 5) ud wie oft rote Kugel (3 vo 5) gezoge werde köe. Der Vorteil besteht dari, dass dies gleich der Wahrscheilichkeit der Ereigisse ist Mehrstufige Zufallsexperimete Oft ist es so, dass ei Zufallsexperimet mehrfach wiederholt wird. Z.B. bei der Ziehug der Lottozahle (6 aus 49) werde aus eiem Behälter Kugel mit Zahle gezoge. Die Ziehug der Zahle bzw. Kugel erfolgt acheiader. Die Chace für eie bestimmte Kugel ädert sich bei jeder Ziehug, da sich i diesem Beispiel die Kugelazahl mit jedem Vorgag verrigert. bbildug 7 H. Kopf S. 10

11 Für das Beispiel 6 aus 49 ist ei Baumdiagramm zur Bestimmug der Wahrscheilichkeit ugeeiget, da die Zahl der Möglichkeite sehr hoch ist (dazu später mehr). Stattdesse kehre wir wieder zur Ure mit verschiedefarbige Kugel zurück. Beispiel 7: Ure mit weiße ud rote Kugel us eier Ure mit 2 weiße ud 3 rote Kugel soll acheiader ohe Zurücklege jeweils eie Kugel gezoge werde. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a) zwei weiße Kugel gezoge werde? b) zwei rote Kugel gezoge werde? Zur Lösug des Problems ka ei Baum gezeichet werde (bbildug 8). bbildug 8: detaillierter Baum Ma sieht, dass es isgesamt 20 mögliche Variate gibt, we i zwei Stufe Kugel gezoge werde (bbildug 8). Hiervo sid aber ur 2 Möglichkeite vorhade, dass acheiader ur weiße Kugel komme (bbildug 9). Die Wahrscheilichkeit für zwei weiße Kugel ergibt sich also so: 2 1 PW, W bbildug 9 Für zwei rote Kugel acheiader bekommt ma i ählicher Weise 6 mögliche usgäge des Versuches. Für die Wahrscheilichkeit erhält ma folglich: 6 3 PR, R Die bbildug 8 bis bbildug 9 ermögliche zwar das bequeme uszähle ud damit ei eifaches Bestimme der Wahrscheilichkeit, jedoch ufer scho H. Kopf S. 11

12 bei zwei Stufe ud ur zwei Farbe die Bäume aus. Daher sid die kompakte Forme viel besser geeiget, da sie viel Raum spare (bbildug 10). Ma ka die Wahrscheilichkeit hier ebeso bestimme. bbildug 10: kompakter Baum 1. Versuch 2. Versuch bbildug 11: Lösuge im Baumdiagramme i kompakter Form Da i der kompakte Form der Bäume die uffächerug fehlt, bekommt ma die Gesamtzahl der mögliche Ergebisse durch Multiplikatio der Neer der Katebeschriftuge ud die Zahl der güstige Fälle durch Multiplikatio der Zähler P W, W 0,1 10% bzw P R, R 0,3 30% Die Katebeschriftuge im Baumdiagramm etspreche de Wahrscheilichkeite der dargestellte Ereigisse. ußerdem ist es so, dass die Ereigisse, die eiem Pfad durch de Baum folge, voeiader abhägig sid. Daraus ka ma folgede Regel ableite: H. Kopf S. 12

13 Satz 4: Pfadregel/ Produktregel für abhägige Ereigisse Für die Ereigisse E 1 bis E mit de Wahrscheilichkeite P 1 bis P, die voeiader abhägig sid, ergibt sich die Gesamtwahrscheilichkeit aus dem Produkt der Eizelwahrscheilichkeite. Pfadregel/Produktregel P E1, E2,, E P1 P2 P (9) Bei Ereigisse, die icht voeiader abhägig sid, gilt die sogeate Summeregel: Satz 5: Summeregel für uabhägige Ereigisse Für die Ereigisse E 1 bis E mit de Wahrscheilichkeite P 1 bis P, die voeiader uabhägig sid, ergibt sich die Gesamtwahrscheilichkeit aus dem Summe der Eizelwahrscheilichkeite. Pfadregel/Produktregel P E1, E2,, E P1 P2 P (10) ls Beispiel für uabhägige Ereigisse köe wir das Beispiel 7 abwadel, i dem bei sost gleiche Bediguge ach eiem adere Ereigis gefragt wird. Beispiel 8 us eier Ure mit 2 weiße ud 3 rote Kugel soll acheiader ohe Zurücklege jeweils eie Kugel gezoge werde. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass uabhägig vo der Reihefolge eie weiße ud eie rote Kugel gezoge wird? bbildug 12: rote oder weiße Kugel Die bbildug 12 zeigt deutlich, dass es zwei verschiedee Pfade gibt, um die Ereigisse darzustelle. We zuerst eie weiße ud da eie rote Kugel kommt, so ergibt sich die Wahrscheilichkeit dafür aus der Pfadregel: H. Kopf S. 13

14 PW, R Für die adere Reihefolge gilt: PR, W D.h. für diese beide Fälle wird die Pfadregel agewedet, da hier das 2. Ereigis, ämlich die uswahl der Kugel, vom 1. Ereigis abhägt. Ob aber die Reihefolge weiße Kugel-rote Kugel sei wird oder rote Kugelweiße Kugel, hägt icht voeiader ab. Daher wird im 2. Schritt die Summeregel agewedet. P W, R R, W P W, R P R, W % 10 5 H. Kopf S. 14

15 5.2 Kombiatorik Um die Wahrscheilichkeit ermittel zu köe, beötigt ma die zahl aller mögliche Fälle, die bei eiem Zufallsversuch auftrete köe. Wie wir gesehe habe, ka ma dazu als Hilfsmittel die Baumdiagramme beutze. Jedoch stoße diese Diagramme schell a ihre Greze. Im folgede Kapitel wolle eiige ausgewählte Szearie keelere, bei dee Baumdiagramme ugeeiget sid ud wir werde Formel keelere, mit dee die zahl aller mögliche Fälle berechet werde ka Permutatioe Ei häufig auftretedes Problem ist die Frage, wie viele Möglichkeite existiere um Elemete eier Mege azuorde. ls Beispiel soll hierbei helfe, die Gesetzmäßigkeite zu erkee. Beispiel 9 Die Buchstabe des Wortes HUS sid durcheiader gerate. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma mit geschlossee uge die Buchstabe wieder richtig ordet. Keie Wiederholug vo Buchstabe! Lösug mittels Baumdiagramm: Wir köe das orde der Buchstabe als ei Zufallsexperimet betrachte, welches i 4 Stufe abläuft, da vier Buchstabe azuorde sid (bbildug 13). bbildug 13: Permutatioe ud lexikographische ordug Lösug: Es gibt 24 Möglichkeite die Buchstabe azuorde aber ur 1 richtige Lösug. 1 P 0,0417=4,17% 24 Die Wahrscheilichkeit für ei zufälliges uswähle der Buchstabe beträgt ca. 4,2%. Ma sieht leicht, dass ei solches Diagramm komplex ist ud dass ma für ei lägeres Wort auf keie Fall diese Methode eisetze ka. H. Kopf S. 15

16 Wir aalysiere jetzt de Baum, um Gesetzmäßigkeite zu fide, die us bei größere Probleme helfe solle ohe Baum auszukomme. 1. I der erste Stufe des Experimets existiere 4 uswahlmöglichkeite. 2. Bei der 2. Stufe existiere ur och 3 Möglichkeite. 3. Die 3. Stufe ermöglicht ur och 2 verschiedee Möglichkeite. 4. Die 4. Stufe hat ur och 1 Möglichkeit. bbildug 14 Stufe Berechug Verzweiguge We wir liks die Liste der mögliche Worte (bbildug 13) durchzähle, erhalte wir ebefalls 24 Möglichkeite. Bei Worte mit 4 Buchstabe, die sich icht wiederhole, gibt es Möglichkeite. Bei Worte mit 3 Buchstabe, die sich icht wiederhole, sid es Möglichkeite usw. Diese Produkte et ma Fakultät ud ma schreibt abkürzed ! (sprich: 4 Fakultät) 0! 1 (per Defiitio festgelegt) 1! 1 2! ! ! ! ! ! ! ! ! Für große berechet ma! mit Hilfe der Formel vo Stirlig:: bzw.! 2 e für große (11) 1 1! e (12) für große Der Tascherecher berechet die Fakultäte ur bis ca. 69! Defiitio 6 Eie ordug vo Elemete auf Positioe ohe Wiederholug heißt Permutatio. Die zahl der Permutatioe berechet sich aus P P! (13) H. Kopf S. 16

17 5.2.2 uswahlprobleme Nicht immer soll aus eier Grudgesamtheit eie vollstädige uswahl getroffe ud i eier bestimmte Reihefolge ageordet werde, so wie es bei de Permutatioe war. I diesem Kapitel wird aus eier Gesamtheit ur ei Teil der Elemete ausgewählt Variatioe Bei Variatioe wird aus eier Grudgesamtheit ur ei Teil der Elemete ausgewählt, wobei die Reihefolge berücksichtigt wird. Wie viele Möglichkeite gibt es, aus 5 Ziffer 2 acheiader ohe Zurücklege auszuwähle ud eie zweistellige Zahl zu bilde? (2 aus 5) Beispiel 10 Lösug 1: Baumdiagramm bbildug 15 Das Zähle der Pfade liefert als Ergebis: 20 Möglichkeite. Wie scho agemerkt, sid die Baumdiagramm ur für weige ausgewählte Beispiele geeiget, da sie schell sehr groß werde. Für Berechuge ist Defiitio 7 hilfreich: Defiitio 7 Eie uswahl vo k Elemete aus Elemete (k<) mit Berücksichtigug der Reihefolge heißt Variatio. Die zahl der Möglichkeite ohe Wiederholug berechet sich aus k V, k V (14) k! Die zahl der Möglichkeite mit Wiederholug berechet sich aus W V, k W V k k (15)! H. Kopf S. 17

18 Beispiel 11 Lösug 2 zu Beispiel 10 : Rechug uswahl 2 aus 5 ohe Wiederholug 5! 5! ! 3! Kombiatioe We bei eiem uswahlproblem die Reihefolge keie Rolle spielt, so spricht ma vo eier Kombiatio. Defiitio 8 Eie uswahl vo k Elemete aus Elemete (k<) ohe Berücksichtigug der Reihefolge heißt Kombiatio. Die zahl der Möglichkeite ohe Wiederholug berechet sich aus k! Kombiatio o.w. C, k C k! k! k (16) Der usdruck k heißt Biomialkoeffiziet. Die zahl der Möglichkeite mit Wiederholug berechet sich aus W W k k1! k1 Kombiatio m.w. C, k C 1! k! k (17) Die Biomialkoeffiziete lasse sich mit Hilfe der Gleichug (16) bereche oder aus dem Pascalsche Dreieck bestimme. Das Pascalsche Dreieck wird ebefalls beutzt, um Biome höhere Grades i Summe umzuforme. H. Kopf S. 18

19 Tabelle 1 a b 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 1 =1 1 1 a b a 2ab b a 3a b 3ab b a 4a b 6a b 4ab b a 5a b 10a b 10a b 5ab b 4 5 Die eizele Werte aus dem Pascalsche Dreieck et ma auch Biomialkoeffiziete ud schreibt für diese i der Kurzform z.b ,,,, wird so ausgesproche: 4 über 0 ud bedeutet, dass ma de 1. Koeffiziete (die Nummer begie mit Null) für ei Biom zur 4. Potez meit. Hier- 0 bei werde die Koeffiziete mit Null begied ummeriert. lso für ei Biom zur 4. Potez heiße die Koeffiziete , 4, 6, 4, oder für ei Biom zur 5. Potez , 5, 10, 10, 5, Das Pascalsche Dreieck ka ma sich leicht merke ud ka die Biomialkoeffiziete bestimme, idem ma das Dreieck zeichet. Für Polyome höhere Grades ist das allerdigs eie aufwedige gelegeheit. Viele Tascherecher 4 biete deshalb eie Fuktio zur Berechug der Biomialkoeffiziete. bbildug 16: SHRP EL-531WH: Biomialkoeffiziet Der Sharp-Tascherecher EL-531 WH hat die Fuktio Cr (zweite Belegug der Tastatur i orage) zur Berechug der Biomialkoeffiziete. 4 m BGW ist z.z. der Sharp EL-531 WH ebe dem Casio fx-991 ES im Eisatz. H. Kopf S. 19

20 bbildug 17: Casio fx-991 ES Für de Tascherecher Casio fx-991 ES gibt es die Fuktio Cr ebefalls (zweite Belegug der Tastatur i brau) Zur verwedete Symbolik im folgede Beispiel 12: Für die folgede Recheablaufpläe werde Zahle ormal als Zahle (iklusive Komma) geschriebe. Taste werde mit Hilfe vo Klammer z.b. [:] oder [x] oder [=] oder [Cr] geschriebe. Beispiel 12: Berechug der Biomialkoeffziete mittels des Tascherechers Sharp EL 531 WH Bestimme für ei Biom der 5. Potez die Bimialkoeffiziete. Gesucht sid die Koeffiziete ,,,,, Lösug: Tascherecherfuktio 5 : Cr (Zweitbelegug der Taste 5) 5 Recheablaufpla für : 5[2d][Cr]0[=] Ergebis: Recheablaufpla für : 5[2d][Cr]3[=] Ergebis: 10 3 Beispiel 13: Berechug der Biomialkoeffziete mittels des Tascherechers Casio fx-991 ES Lösug: Tascherecherfuktio 6 : Cr (Zweitbelegug der TasteP) 5 Recheablaufpla für : 5 qp 0 = Ergebis: Recheablaufpla für :5 qp 0 = Ergebis: 10 3 Mit dem Tascherecher bekommt ma recht schell das Ergebis: die Biomialkoeffiziete laute: , 5, 10, 10, 5, Eischlägige Tafelwerke (siehe Literaturahag) liefer Tafel mit de Biomialkoeffiziete. 5 Tasteagabe beziehe sich auf de Sharp EL-531 WH. 6 Tasteagabe beziehe sich auf de Casio fx-991 ES. H. Kopf S. 20

21 Übug 1 1. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit beim Pferderee vo 10 Pferde die erste 3 Plätze geau i der richtige Reihefolge vorherzusage? Lösug: Reihefolge wichtig, keie Wiederholug: Variatio P V ! 10 3! 10! ! Platz123 0,001389=0,14% Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit beim Lotto 6 aus 39 eie Sechser zu bekomme? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit bei 6 aus 49? Lösug: Reihefolge uwichtig, keie Wiederholug Kombiatio P C 6er ! !6! 6 39! !6! ! , , % H. Kopf S. 21

22 P C 6er ! !6! 6 49! 43!6! , , % H. Kopf S. 22

23 5.3 Bedigte Wahrscheilichkeite Verküpfuge vo Ereigisse Mege Mathematik Klasse 10: Stochastik 1 Viele Geschehisse bestehe icht aus eiem eizele Ereigis vielmehr setze sie sich aus mehrere Ereigisse zusamme. Diese Ereigisse köe zusamme auftrete oder es tritt ur ei Ereigis der beide auf. Für eie Beschreibug des Geschehisses ist es zweckmäßig, we ma die verküpfte Ereigisse mathematisch beschreibe ka. Hierbei beutzt ma die Schreibweise, die auch i der Megelehre üblich sid, da zufällige Ereigisse ebefalls als Mege aufgefasst werde köe. Defiitio 9: Mege Eie Mege ist eie Zusammefassug vo bestimmte wohl uterschiedee Objekte aus userer schauug oder userem Deke zu eiem Gaze. Die zusammegefasste Objekte heiße Elemete der Mege. Defiitio 10: Teilmege Eie Mege heißt Teilmege eier Mege B, we jedes Elemet vo auch i B ethalte ist. bbildug 18 bbildug 19 B = B B - ist eie echte Teilmege vo B B - ist eie Teilmege vo B oder gleich B Defiitio 11: Zwei Mege ud B heiße elemetfremd (disjukt), we sie keie gemeisame Elemete besitze. H. Kopf S. 23

24 Defiitio 12: Die Vereiigug der Mege ud B Elemete, die i oder B ethalte sid. Schreibweise: B, ist die Mege aller bbildug 20 bbildug 21 B B Vereiigugsmege B Durchschittsmege B Defiitio 13: Der Durchschitt der Mege ud B Elemete, die i ud B ethalte sid. Schreibweise: B, ist die Mege aller Defiitio 14: Die Komplemetärmege vo Schreibweise:, ist die Mege aller Elemete, die icht i ethalte sid. bbildug 22: Komplemetärmege H. Kopf S. 24

25 Verküpfuge vo Ereigisse Mit Hilfe der soebe eigeführte Mege lasse sich verschiedee Ereigisse, die i eiem gewisse Zusammehag stehe veraschauliche bzw. exakt mathematisch beschreibe. I der Tabelle 2 sid die mögliche Verbiduge vo Ereigisse kurz zusammegestellt. Tabelle 2: Verküpfug vo Ereigisse Verküpfug der Ereigisse Ereigis ud Gegeereigis Schreibweise Megediagramm bbildug 23 Beispiel : Beim Würfel tritt eie 1 1 auf. 2,3,4,5,6 Es tritt das Ereigis ud das Ereigis B auf. Es tritt das Ereigis oder das Ereigis B auf. B bbildug 24 B bbildug 25 B B B B : Beim Würfel tritt eie gerade ugezahl auf. 2,4,6 B: Beim Würfel tritt eie Zahl größer 3 auf. B 4,5,6 B 4,6 : Beim Würfel tritt eie gerade ugezahl auf. 2,4,6 B: Beim Würfel tritt eie ugezahl kleier 3 auf. B 1,2 B 1,2,4,6 Zwei Ereigisse ud B sid uvereibar (d.h. sie trete icht zugleich auf). B bbildug 26 : Beim Würfel tritt eie gerade ugezahl auf. 2,4,6 B B: Beim Würfel tritt eie ugerade ugezahl auf. B 1,3,5 ud B köe icht gleichzeitig auftrete H. Kopf S. 25

26 5.3.2 Bedigte Wahrscheilichkeit Uter bedigter Wahrscheilichkeit zweier Ereigisse ud B, die voeiader abhäge, versteht ma die Wahrscheilichkeit, dass der usgag vom 1. Vorgag de usgag des zweite Vorgags beeiflusst. Beispiel 14: uabhägige Ereigisse Eie Frau bekommt acheiader zwei Kider. bbildug 27 Die Wahrscheilichkeit, dass z.b. ach der Geburt eies Mädches ei Juge gebore wird, ist icht aders als we die Reihefolge aders herum wäre. Beim Kartespiele ist das aders, wie das folgede Beispiel zeigt. Beispiel 15: abhägige Ereigisse I eiem Kartespiel bestehed aus 4 Karte, sei ei ss dabei. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit ei ss zu ziehe? bbildug 28: Start bbildug 29 bbildug 30 bbildug 31 Vor dem 1. Ziehe (bbildug 28) ist die Wahrscheilichkeit für ei ss 1 4. Nach dem Ziehe der erste Karte (bbildug 29) ist die Chace für ei ss 1 3, währed sie ach dem Ziehe der 2. Karte 1 2 die Wahrscheilichkeit da auf 1. beträgt. Für die letzte Karte steigt H. Kopf S. 26

27 bbildug 32 Ma erket schell, dass der usgag des vorherige Vorgags die Wahrscheilichkeit des ächste Ereigisses beeiflusst 7. De Wert für die bedigte Wahrscheilichkeit erhält ma etweder aus dem Baumdiagramm (bbildug 33) oder aus de folgede Formel (19) oder (20). bbildug 33: Baumdiagramm zur bedigte Wahrscheilichkeit P B P B P B P B (Bezeichuge i bbildug 33: P_(B) P ( B), P_(B)=P ( ) B ) us der bbildug 33 ergibt sich für die Wahrscheilichkeit P B mit P B P P B (18) We wir Formel (18) ach P B umstelle, ergibt sich eie Formel für die bedigte Wahrscheilichkeit vo B uter der Bedigug vo. alog geht ma vor, we ma die bedigte Wahrscheilichkeit vo uter der Bedigug vo B bestimme will. 7 Im Jahre 1962 veröffetlichte der amerikaische Mathematiker Edward O. Thorp (geb. 1932) i seiem Buch Beat the Dealer ei System, welches auf der Basis der bedigte Wahrscheilichkeit beruht, um die Gewichace beim Glücksspiel Black Jack (abgeleitet aus dem Spiel Siebzeh ud vier oder Vigt et u ) zu verbesser. Die Spielbake äderte daraufhi die Spielregel. siehe Thorp 1962, Thorp 1966, Wikipedia 2011 Thorp ud Wikipedia 2011 Black Jack H. Kopf S. 27

28 Defiitio 15: bedigte Wahrscheilichkeit Es seie ud B zwei Ereigisse mit de Wahrscheilichkeite P 0 ud PB 0. Da gilt für die bedigte Wahrscheilichkeite P B B (19) PB P B (20) P P B P P B P B B = Wahrscheilichkeit P() uter der Bedigug vo B = Wahrscheilichkeit P(B) uter der Bedigug vo P B P P B P B Die Vierfeldertafel Bei statistische Utersuchuge werde oft mehrere Merkmale vo zufällige Prozesse utersucht ud ma iteressiert sich dafür, ob es eie Zusammehag gibt. m Beispiel vo Prozesse mit zwei Merkmale soll eie Methode erklärt werde, wie bedigte Wahrscheilichkeite durch relative Häufigkeite abgeschätzt werde köe. Wir ehme a, dass es zwei Merkmale M 1 ud M 2 gibt, die Utersucht werde solle. Das köte z.b. der Besitz eies Fahrrades ud das Geschlecht des Besitzers sei. Das Ereigis bzw. köte für das uftrete des Geschlechts stehe ud das Ereigis B bzw. B für de Besitz des Fahrrades. bbildug 34 bbildug 34 bedeutet: Ereigis : Merkmal M 1 tritt auf; Ereigis : Merkmal M 1 tritt icht auf Ereigis B: Merkmal M 2 tritt auf; Ereigis B : Merkmal M 2 tritt icht auf H. Kopf S. 28

29 I der Tabelle 3 habe die Formelzeiche folgede Bedeutug: B, B, B Häufigkeit vo uter der Bedigug vo B Häufigkeit vo uter der Bedigug vo B Häufigkeit vo B B, B, B Häufigkeit vo uter der Bedigug vo B Häufigkeit vo uter der Bedigug vo B Häufigkeit vo B Häufigkeit vo Häufigkeit vo Summe Tabelle 3: Vierfeldertafel allgemei Merkmal M 1 B Merkmal M 2 B B, B, B, B, B Für die Wahrscheilichkeite gilt da: B Summe (21) P B, (22) P B P B, P B P B B (23) We wir die Tafel auf das Beispiel mit dem Fahrrad ud Geschlecht awede, so köte bei eier Befragug vo 1000 Persoe 8 evetuell folgedes Ergebis auftauche: Beispiel 16 Tabelle 4: Vierfeldertafel: Besitz eies Fahrrades i bhägigkeit vom Geschlecht i absolute Zahle Geschlecht Fahrradbesitz Summe Fahrrad Kei Fahrrad siehe Sill et al. 2004; S. 102 H. Kopf S. 29

30 We eie Frau ei Fahrrad besitzt ka die Wahrscheilichkeit des Ereigisses mit P P, Fahrrad 0,9 aus äherugsweise bestimmt werde Die Wahrscheilichkeit eies mäliche Fahrradbesitzers P, Fahrrad ergibt sich mit P P Fahrrad 2 486, 0, , 0, Eie Frau ohe Fahrrad wäre da P P keifahrrad 52 4, 0, Dass ei Ma kei Fahrrad besitzt wäre da P P keifahrrad Die Wahrscheilichkeite für de Fahrradbesitz uter der Bedigug des Geschlechts ist i beide Fälle gleich, d.h. der Fahrradbesitzt ist uabhägig vom Geschlecht. Ma hätte de Zusammehag aalog auch über de Nichtbesitz ermittel köe. Bedigte Wahrscheilichkeite köe i der Praxis zur Erketisgewiug geutzt werde. Z.B. führt ei rzt ei Gespräch mit seiem Patiete. Durch dieses Gespräch erfährt der rzt die erste Fakte über die Krakheit. Da der Patiet keie mediziische usbildug besitzt, sid seie gabe eher ugeau ud die erste Diagose des rztes ist ur mit eier gewisse Wahrscheilichkeit PG richtig. Jetzt lässt der rzt Utersuchuge mache z.b. des Blutes. Hierbei wird mit eier gewisse Wahrscheilichkeit PU ei weiteres Krakheitssymptom festgestellt oder auch icht. Jetzt ka der rzt mit eier eue Wahrscheilichkeit eie Hypothese aufstelle, welche Krakheit der Patiet wohl hat. us der Vierfeldertafel ka ei Baumdiagramm gewoe werde bzw. aus eiem Baumdiagramm lässt sich leicht eie Vierfeldertafel ableite. Im Weitere folge dazu eiige Beispiele. Beispiel 17: Tests i der Medizi Quelle: Roolfs 2011 Bei eiem mediziische Test wird mit 80% Sicherheit erkat, dass ei Patiet erkrakt ist. Bei Gesude wird zeigt der Test zu 2% irrtümlich die Krakheit a. Es sei bekat, dass 0,1% der Bevölkerug a der utersuchte Krakheit erkrakt sid. H. Kopf S. 30

31 Für dieses Bsp. soll die Darstellug i eiem Baumdiagramm bzw. über eie Vierfeldertafel erarbeitet werde. Lösug: Baum-Diagramm I der Medizi wird vo positive ud egative Testergebisse i eier oft missverstadee Weise gesproche: I Tests wird ei bestimmtes Merkmal utersucht. Ma fragt hierbei, ob es auftritt. POSITIV bedeutet, dass das Merkmal azutreffe war. NEGTIV bedeutet, dass das Gesuchte icht auftrat. Zur Lösug des Problems im Beispiel ka das uftrete der Krakheit sowie das Teste auf die Krakheit als Baumdiagramm i 2 Stufe darstelle. bbildug 35: ei Baumdiagramm für mediziische Test 1. Stufe: uftrete der Krakheit 2. Stufe: Test positiv 9 bei krake Patiete Test positiv bei gesude Patiete 0,08% 1,998% Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der Test bei eiem Krake de Erreger fidet? Die Fragestellug ka mittels Pfadregel (Produktregel) beatwortet werde:, P krak Test P krak P Test 0,0010,8 0, , 08% Damit ka das erste Feld der Vierfeldertafel ausgefüllt werde. bbildug 36: Vierfeldertafel (1) Test positiv (+) egativ ( - ) Krakheit krak Gesud 80% 0,1%=0,08% oder 0,8 0,001=0,0008 Summe Für de Fall, dass ei Gesuder ei positives Testergebis bekommt, ka ma aalog dem Pfad aus bbildug 35 folge: 9 Test positiv: d.h. der Test fidet eie Krakheitserreger H. Kopf S. 31

32 , P gesud Test P gesud P Test Mathematik Klasse 10: Stochastik 1 0,999 0,02 0, ,998% bbildug 37: Vierfeldertafel (2) positiv (+) Test egativ ( - ) krak 80% 0,1%=0,08% oder 0,8 0,001=0,0008 Krakheit Gesud 99,9% 2%=1,998% oder 0,999 0,02=0,01998 Summe 2,078% 0,02078 Der Vollstädigkeit wege bereche wir och die fehlede Felder der Tafel, i dee erkebar ist, wie hoch die Wahrscheilichkeit ist, dass für eie Krake der Test versagt (egativer Befud) ud seie Krakheit uerkat bleibt bzw. dass ei Gesuder ei egatives Testergebis bekommt. bbildug 38: ei vollstädiger Baum Kraker mit egativem Befud: Pkrak, Test Pkrak P Test 0,0010,2 0, , 02% Gesuder mit egativem Befud: Pgesud, Test Pgesud PTest 0,999 0,98 0, ,9% bbildug 39: Vierfeldertafel (3) Test positiv (+) krak 80% 0,1%=0,08% oder 0,8 0,001=0,0008 Krakheit gesud 99,9% 2%=1,998% oder 0,999 0,02=0,01998 Summe 2,078% 0,02078 egativ ( - ) 0,0002=0,02% 0,97902=97,9% 0,97922=97,922% Summe 0,001=0,1% 0,999=99,9% 100% H. Kopf S. 32

33 5.4 Register Klasse 10: Stochastik 1 Mathematik Klasse 10: Stochastik 1 uswahlprobleme 17 Baudiagramm 9, 10 Baumdiagramm 9, 10, 11, 12, 15, 17, 27 bedigte Wahrscheilichkeit 26, 27, 28 Beroulli 2, 38 Biom 19, 20 Biomialkoeffiziet 18, 19 Biomialkoeffiziet mit dem Tascherecher bereche 19 Biomialkoeffiziet mit Pascalschem Dreieck bestimme 19 disjukt 23 Durchschitt 24 Durchschittsmege 24 elemetfremd 23 Ereigis 5, 6, 7, 8, 13, 14 Ereigis, abhägiges 13 Ereigis, sicheres 8 Ereigis, uabhägiges 13 Ereigis, umögliches 8 Erketisgewiug 30 Fermat 4, 38 Formel vo Stirlig 16 Gauß 2 Gegeereigis 5, 7 Gesetz der große Zahl 8 Häufigkeit, absolute 5 Häufigkeit, relative 6 Hypothese 30 Kolmogorow 4 Kombiatio 18 Kombiatio mit Wiederholug 18 Kombiatio ohe Wiederholug 18 Kombiatioe 18 Kombiatorik 15 Komplemetärmege 24 lexikographische ordug 15 Mege 5, 15, 23, 24 Näherugswert 8 Pascal 4, 38 Pascalsches Dreieck 18 Permutatio 16 Permutatioe 15, 16, 17 Pfadregel 13, 14 Produktregel 13 Stirlig 16 Stochastik 4, 33, 34, 37 Summeregel 13, 14 Teilmege 23 Ure 10, 11, 13 Variatio 17 Variatio mit Wiederholug 17 Variatio ohe Wiederholug 17 Variatioe 17 Vereiigug 24 Vereiigugsmege 24 Verküpfuge vo Ereigisse 23, 25 Vierfeldertafel 28, 29 Wahrscheilichkeit 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 21, 26, 27, 28, 30 Wahrscheilichkeit abhägiger Ereigisse 13 Wahrscheilichkeit uabhägiger Ereigisse 13 Zeitpukt des uftretes 8 Zufallsereigis 5 Zufallsexperimet 5, 6, 9, 10, 15 Zufallsexperimet, eistufiges 9 Zufallsexperimet, mehrstufiges 9, 10 Zufallsexperimete 9 H. Kopf S. 33

34 5.5 Verzeichis der bbilduge, Tabelle, Quelltexte ud Defiitioe Klasse 10: Stochastik 1 bbilduge: bbildug 1: Blaise Pascal ( ) /4 /... 4 bbildug 2: Pierre de Fermat ( ) /5/... 4 bbildug 3: drei Nikolajewitsch Kolmogorow ( ) /6/... 4 bbildug 4: Baumdiagramm für eie 1-stufige Würfelversuch (ausführliche Form)... 9 bbildug 5: Baumdiagramm für eie 1-stufige Würfelversuch: Würfel eier gerade ugezahl... 9 bbildug 6: Baumdiagramm für Ure-Versuch bbildug bbildug 8: detaillierter Baum bbildug bbildug 10: kompakter Baum bbildug 11: Lösuge im Baumdiagramme i kompakter Form bbildug 12: rote oder weiße Kugel bbildug 13: Permutatioe ud lexikographische ordug bbildug bbildug bbildug 16: SHRP EL-531WH: Biomialkoeffiziet bbildug 17: Casio fx-991 ES bbildug bbildug bbildug bbildug bbildug 22: Komplemetärmege bbildug bbildug bbildug bbildug bbildug bbildug 28: Start bbildug bbildug bbildug bbildug bbildug 33: Baumdiagramm zur bedigte Wahrscheilichkeit bbildug bbildug 35: ei Baumdiagramm für mediziische Test bbildug 36: Vierfeldertafel (1) bbildug 37: Vierfeldertafel (2) H. Kopf S. 34

35 bbildug 38: ei vollstädiger Baum bbildug 39: Vierfeldertafel (3) Defiitioe: Defiitio 1: bsolute Häufigkeit... 5 Defiitio 2: relative Häufigkeit... 6 Defiitio 3: Wahrscheilichkeit... 7 Defiitio 4: Erwartugswert... 7 Defiitio Defiitio Defiitio Defiitio Defiitio 9: Mege Defiitio 10: Teilmege Defiitio 11: Defiitio 12: Defiitio 13: Defiitio 14: Defiitio 15: bedigte Wahrscheilichkeit Gleichuge, Formel H H h 100% (24)... 6 zahl güstiger Ereigisse P zahl möglicher Ereigisse (25)... 7 zahl güstiger Ereigisse P 100% zahl möglicher Ereigisse P P (26) P 1 P P P (27)... 7 (28)... 7 E X P X (29)... 7 P 1 P 0 (30)... 8 hgroß E PE (31)... 8 Pfadregel/Produktregel PE1, E2,, E P1 P2 P (32) Pfadregel/Produktregel PE1, E2,, E P1 P2 P (33) P P! (34) V, k! k! k V (35) (36) V, k V W W k k H. Kopf S. 35

36 k! C k (37)... 18! k! k W W k k1! k1 C, k C 1 (38)... 18! k! k P B P P B (39) Kombiatio o.w. C, k Kombiatio m.w. P B B PB (40) P B P (41) P B P P B P B (42) P B, (43) P B P B, P B P B B (44) Tabelle: Tabelle Tabelle 2: Verküpfug vo Ereigisse Tabelle 3: Vierfeldertafel allgemei Tabelle 4: Vierfeldertafel: Besitz eies Fahrrades i bhägigkeit vom Geschlecht i absolute Zahle Tabelle 5: Literaturquelle Tabelle 6: Bildquelle Übug H. Kopf S. 36

37 5.6 Quelle Klasse 10: Stochastik 1 Mathematik Klasse 10: Stochastik 1 Tabelle 5: Literaturquelle ppelhas et al ppelhas, S.; Klige, C.; Scheele, U.: 10. Schuljahr. Grudkurs. Westerma Schulbuchverlag, Paetec Tafelwerk Becker 2003 Becker, F.-M.: Formelsammlug. Bis zum bitur ; Formel, Tabelle, Wisseswertes ; Versio 2.1. Dude-Paetec-Schulbuchverl, Berli, Bitter 1973 Bitter, R.: Mathematik i Übersichte. Wissesspeicher für die Klasse 8 bis 10. Volk u. Wisse, Berli, Bitter 1977 Bitter, R.: Kompedium der Mathematik. Volk u. Wisse, Berli, Busch et al Busch, E.; Schmid,.: Lambacher-Schweizer Mathematik 10. usgabe für Sachse-halt. Klett-Schulbuchverl., Stuttgart, Gellert et al Gellert, W., Hersg; Käster, H., Hersg; Neubert, S., Hersg: Lexiko der Mathematik. Bibliogr. Ist., Leipzig, Katel et al Katel, I.; Lojewski, H. v.: Stochastik. Formel ud Tabelle ; Sekudarstufe I ud II ; Kombiatorik, Wahrscheilichkeitstheorie, Statistik. Paetec Ges. für Bildug ud Techik, Berli, Kultusmiisterium Sachse-halt 2003 Rahmerichtliie Mathematik Lad Sachse-halt. RRL Mathematik. Mai 2003, Lauter et al Lauter, J.; Jahke, T.: Mathematik Gymasiale Oberstufe. Corelse, Berli, Mader et al Mader, O.; Richter, D.: Wissesspeicher Mathematik. Differetialrechug - Itegralrechug - Vektorrechug ; d. Wichtigste bis zum bitur i Stichworte u. Übersichte. Volk ud Wisse, Berli, Maibaum 1987 Maibaum, G.: Wahrscheilichkeitsrechug. Volk ud Wisse, Berli, Passo 2009 Passo, O.: Vierfeldertafel, Baumdiagramm ud der IDS-Test Roolfs 2011 Roolfs, G.: Vier-Felder-Tafel Sill et al Sill, H.-D., Hersg et al.: Lehrbuch Mathematik 10 Sachse-halt G. DUDEN PETEC, Thorp 1962 Thorp, E. O.: Beat the dealer. wiig strategy for the game of twety-oe ; a scietific aalysis of the world-wide game kow variously as blackjack, twety-oe, vigt-et-u, potoo ad Va Joh. Blaisdell, New York, Thorp 1966 Thorp, E. O.: Beat the dealer. wiig strategy for the game of twety oe. Vitage Books, New York, Wikipedia: Rekursio Wikipedia Wikipedia: Limes (Grezwall) Wikipedia Wikipedia 2010 Wikipedia: Prizip vo Cavalieri Wikipedia Wikipedia 2010 Wikipedia: Zylider (Geometrie) Wikipedia H. Kopf S. 37

38 Wikipedia 2011 Thorp Wikipedia: Edward O. Thorp Wikipedia 2011 Black Jack Wikipedia: Black Jack Wikipedia Tabelle 6: Bildquelle 1 Friedrich_Gauss.jpg/468px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg mial_distributio_pmf.svg/434px- Biomial_distributio_pmf.svg.pg rmat.jpg 6 sch_kolmogorov.jpg H. Kopf S. 38