Extremal Combinatorics Seminar Sommersemester Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

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1 Extremal Combiatorics Semiar Sommersemester 2004 Das Prizip der Iklusio ud Exklusio Semiararbeit im Studiegag Iformatik vo Philipp Krae Matr. Nr Lehr- ud Forschugsgebiet Theoretische Iformatik Prof. Dr. P. Rossmaith Rheiisch-Westfälische Techische Hochschule Aache 4. Mai 2004

2 Ihaltsverzeichis Eileitug 2 2 Iklusio ud Exklusio 3 2. Das Prizip Awedugsbeispiele Boferroi-Ugleichuge 6 4 Erweiteruge 4. Amerkuge zur Iklusio ud Exklusio Verbesserte Boferroi-Ugleichuge Zusammefassug 9

3 Eileitug Das Prizip der Iklusio ud Exklusio, welches ma i der Literatur auch uter dem Name Siebformel oder Das Sieb des Eratosthees fidet, stellt eie Methode dar, mit der sich die Kardialität der Vereiigug vo Mege durch Kardialitäte vo Schittmege eiiger dieser Mege bereche lässt. Seie also Mege i gegebe ud gesucht ist die Azahl der Elemete i der Vereiigug der Mege A bis A. Mit dem Prizip der Iklusio ud Exklusio lässt sich u diese Azahl allei mit Hilfe der Größe vo Schittmege eiiger der bestimme, was de Vorteil hat, dass diese häufig eifacher zu bestimme sid. Dabei ist icht der triviale Fall vo Iteresse, i dem die Mege paarweise disjukt sid, da dort die Kardialität der Vereiigug gleich der Aufsummierug der eizele Kardialitäte ist. Sid die Mege jedoch icht disjukt, so führte die Aufsummierug der Kardialitäte der zu eiem zu große Ergebiss, da Elemete, die im Schitt zweier oder mehrerer Mege liege, mehrfach gezählt würde. Möchte ma die Größe der Vereiigug vo zwei Mege bereche, sieht das Ergebiss wie folgt aus: A B A B A B, d.h. ma addiert die Größe der beide eizele Mege ud subtrahiert aschließed die Größe des Schitts der beide Mege, da ma alle Elemete die im Schitt liege zuvor doppelt gezählt hat. Dabei sid auch A ud B Schittmege ud zwar der eifachste Schitt der Mege A bzw. B mit sich selbst ud keier weitere Mege. Die Größe der Vereiigug dreier Mege ergibt sich zu: A B C A B C A B A C B C A B C Zuächst addiert ma die Größe der eizele Mege, subtrahiert die Größe der Schitte je zweier Mege, da diese Elemete doppelt gezählt wurde, ud addiert wiederum die Größe der Schittmege aller drei Mege, da die Elemete dieser Schittmege erst dreifach addiert ud aschließed wieder dreifach subtrahiert wurde (vgl. Abbildug). Allgemei beutzt ma zur Berechug der Kardialität vo Vereiiguge die Siebformel: i k k i i k k j j Die Siebformel ist die alterierede Summe über der Summe der Kardialitäte aller mögliche Schittmege der Größe k. De Beweis zur Siebformel bzw. dem Prizip der Iklusio ud Exklusio liefert Kapitel 2.. A B C 2

4 Das Prizip der Iklusio ud Exklusio hat seie Name vo der Tatsache, dass das korrekte Ergebiss überschätzt wird, falls ma die erste Summe der Gleichug bei ugeradem k abbreche läßt, ud uterschätzt wird, falls die Summe bei geradem k abgebroche wird. Beispielsweise gilt für k =, dass lediglich die Kardialitäte der eizele Mege addiert werde, was im icht triviale Fall zu eiem zu große Ergebiss führt, für k = 2 higege werde daach die Größe der Schitte je zweier Mege subtrahiert, wodurch das Ergebiss kleier oder gleich der korrekte Lösug ist. Dadurch läßt sich eie Näherug a das tatsächliche Ergebiss erreche ud ma weiss zudem, dass das Ergebis für gerade k uterschätzt ud für ugerade k überschätzt wurde. Diese Tatsache trägt i der Mathematik de Name Boferroi-Ugleichuge. Die Ugleichuge wurde zuächst vo Ch. Jorda etdeckt ud später auch vo Boferroi, sid jedoch heute uter dem Name Boferroi-Ugleichuge bekat. Wie bereits erwäht werde die Ugleichuge i Kapitel 3 äher erläutert ud auch bewiese. Heute gibt es eiige Erweiteruge ud Verbesseruge der Boferroi-Ugleichuge mit dee sich eie exaktere Näherug bereche lässt (siehe Kapitel 4.2). Im folgede Kapitel werde zuächst zwei Sätze zum Prizip der Iklusio ud Exklusio ud dere Beweise vorgestellt, aschließed werde i Kapitel 2.2 eiige Awedugsbeispiele ageführt. Kapitel 3 behadelt die Boferroi-Ugleichuge, welche dort ebefalls bewiese werde. Im Abschitt Erweiteruge werde Amerkuge sowie Verbesseruge vorgestellt, die über die klassische Iklusio ud Exklusio Gleichuge, bzw. die Boferroi-Ugleichuge hiausgehe, Kapitel 5 fasst abschließed die Ergebisse zusamme ud et weiterführede Literatur. 2 Iklusio ud Exklusio 2. Das Prizip Im Weitere Verlauf wird die folgede vereifachede Schreibweise für de Schitt der Mege verwadt, wobei i aus eier Teilmege I der Zahle vo bis ist: Defiitio 2.: Sei I. Da ist A I :! ud folglich A /0 X. Die gegebee Mege sid alle Teilmege eies Uiversums X. Zuächst iteressiert die Azahl der Elemete aus dem Uiversum X, die i keier der Teilmege ethalte sid. Diese Azahl lässt sich mit Hilfe des folgede Satzes bereche. Satz 2.2: Seie A # A X. Da gilt X $ i I%'& ( ( ) *,+ I + A I 3

5 Beweis: Zuächst wird die Summe wie folgt umgeschriebe: + I + A I + I * + + I + I I x" A I x I : x" A I, d.h. für jedes Elemet x des Uiversums wird sei Beitrag zur Summe berechet. Dazu werde zwei Fälle uterschiede:. x ist keier der Mege ethalte, daraus folgt, dass x ur i der Mege A /0 ethalte ist. Somit ist der eizige vorkommede Term + /0 + 0 ud der Beitrag vo x zur Summe ist... / 2. Es Existiert eie ichtleere Teilmege J - i : x der Zahle bis ud folglich gilt x A I I J. Nu lässt sich die zweite Summe ochmals umschreibe zu I% J,+ I +0 + J + J i i 2 0 i,+ J +3 0 Somit trägt jedes x, welches i eier oder mehrere der Mege ethalte ist 0 zur Summe bei. 4 Satz 2.3 gibt us u die Berechugsvorschrift um die Kardialität der Vereiigug vo Mege zu bestimme. Satz 2.3: Seie A # A X i X. Da gilt /05 I%6& ( ( ),+ I + A I Beweis: Die like Seite der Gleichug etspricht X $ X $98 i A /0 ud Satz folgt * * A /0,+ I + A I,+ I + A I I:'& ( ( ) /05 I:6& ( ( ). Mit, idem ma de Summad für I /0 aus der Summe herauszieht ud das egative Vorzeiche i die Summe reimultipliziert. 4 Der Beweis zu Satz 2.3 läßt sich auch per Iduktio über die Azahl der Mege durchführe. Mit de beide voragegagee Sätze habe wir u Werkzeuge um die Kardialität vo Vereiiguge bzw. die Azahl aller Elemete außerhalb eier Vereiigug zu bereche, im folgede Abschitt werde u eiige Awedugsbeispiele gegebe. 4

6 2.2 Awedugsbeispiele Das erste Awedugsbeispiel ist ei sehr eifaches ud ist sicherlich dem ei oder adere Leser bekat. Die Frage lautet, wieviele Zahle kleier oder gleich 000 durch die Zahle drei, füf oder siebe teilbar sid. Dazu werde die Mege A k defiiert, welche alle diejeige Zahle kleier oder gleich 000 ethalte, die durck k teilbar sid. Damit ergibt sich die Größe der Mege zu: 000 A k ; k < A j A kgv = i( j> Beispielsweise ist jede dritte Zahl durch drei teilbar, somit gilt A 3?; 000@ Zahle, die sowohl durch i als auch durch j teilbar sid, sid < auch durch dere kleistes gemeisames Vielfaches teilbar, zum Beispiel ist die Azahl der durch drei ud füf teilbare Zahle A kgv = 3( 5> A Die Atwort auf die Frage ergibt sich mit Satz 2.3 zu Die folgede Awedug verallgemeiert sozusage Satz 2.2. Gegebe seie Teilmege des Uiversums X ud eie Teilmege I der Zahle vo bis. Gesucht ist die Azahl der Elemete, die zu alle i. I, gehöre, aber zu keier der übrige Teilmege. I Satz 2.2 galt I /0, d.h. gesucht ware alle Elemete, die zu keier der Mege gehöre. Zur Lösug der Aufgabe werde folgede Mege defiiert (gegebe I A # ): Sei Y A! ud B k Y! A k k.b # C$ I. Gesucht ist da Y $ 8 k"d& ( ( )FE I B k. Nach Satz ist dies K%6& ( ( )*E I,+ K + B k k" K,+ K + K%'& ( ( )*E I,+ JE I + A J JH I i" K G I Im erste Umformugsschitt wird die Defiitio der Mege B k verwadt, um de Schitt über alle laufe zu lasse, wobei i u aus der Vereiigug vo K ud I ist. Der zweite Umformugsschritt utzt u, dass die Vereiigug vo K ud I eie Obermege J vo I ist ud sich die Größe der Mege K als die Größe der Mege J $ I ausdrücke läßt. Schließlich wird im zweite Schritt och die i Defiitio 2. eigeführte vereifachede Schreibweise eigesetzt. Im Spezialfall I /0 vo Satz 2.2 wird über alle Teilmege der Zahle vo bis summiert ud der Expoet vo - ergibt sich zu der Größe der jeweilige Teilmege. 5

7 J L Die dritte Awedug behadelt die sogeate Deragemetzahle, geauer gesagt iteressiert hier die Azahl der Deragemets. Ei Deragemet ist eie Permutatio ohe Fixpukt, also eie bijektive Abbildug eier Mege i sich selbst, bei der kei Elemet auf sich selber abgebildet wird. Zur Lösug wird X als die Mege aller Permutatioe defiiert ud die Mege als die Mege aller Permutatioe mit Fixpukt i. Da gilt X!!, ud allgemei A I I!. Gesucht sid u alle x. X $ 8 i. Mit Satz 2.2 ergibt sich die Azahl zu I%'& ( ( ),+ I + I * i! i 0 *! i 0 i i! i 2 i! mit i Der Ergebisterm (ohe!) etspricht dem erste Term der Taylor- Etwicklug vo e, d.h. ugefähr e I 00% 38% aller Permutatioe sid Deragemets. Beliebte Aufgabebeispiele zu Deragemetzahle sid betrukee Seemäer oder Hüte, wobei ach der Azahl der Möglichkeite gefragt ist, dass sich Seemäer ach ihrem Ladgag je i die ächstbeste Koje lege ud dabei keier i seier eigee Koje liegt, bzw. dass Leute eie Hut aus eiem Stapel ehme ud achher keier seie eigee Hut auf dem Kopf hat. 3 Boferroi-Ugleichuge I diesem Kapitel werde die Boferroi-Ugleichuge bewiese, mit dee sich das exakte Ergebiss der Iklusio ud Exklusio äher lässt. Folgede Form der Boferroi-Ugleichuge wird verwadt: k * i KJ A I i + I + i i f alls k gerade k * i KL A I i + I + i i f alls k ugerade Beweis: Betrachtet ma ei beliebiges Elemet a aus dem Uiversum, welches i l der Mege ethalte ist, also a. X : a. l, da ist folgedes zu zeige: k i i l i 2NM 6 k gerade k ugerade I

8 L J l, da es Möglichkeite gibt eie i-elemetige Teilmege aus eier i 2 -elemetige Mege zu wähle. Ma zeigt damit, dass bei geradem k jedes Elemet höchstes eimal, bei ugeradem k midestes eimal gezählt wird. Dazu werde drei Fälle uterschiede:. k O l. Der eifachste Fall, da da gilt k i i l i k J l 2. Da aus r J l l l 2 folgt, dass r 2 r gilt, gilt bei 2 geradem k ud somit gerader Azahl Summade, dass je zwei aufeiader folgede Summade zusamme egativ sid ud somit die Summe ebefalls egativ ist. Bei ugeradem k ud somit ugerader Azahl Summade ist der erste Summad positiv ud je 2 darauf folgede Summade zusamme positiv, womit die Summe isgesamt positiv ist. 3. k O l 2. Nach der biomische Formel lässt sich die Summe umschreibe zu k i i l i 2 l * i k i l ud aus r O i 2 l 2 l l folgt aalog zu Pukt 2, dass r 2 r gilt. Nu wird zwische gerade ud ugerade k uterschiede: 2 P Ist k gerade, so ist der erste Summad positiv, somit sid je zwei aufeiader folgede Summade zusamme positiv ud bei eier ugerade Azahl Summade (l gerade) ist der letzte verbleibede Summad ebefalls positiv aufgrud der alterierede Summe. Damit gilt, dass die Summe größer oder gleich Null ist ud somit Eis mius der Summe kleier oder gleich Eis. P Bei ugeradem k ist der erste Summad egativ, somit sid zwei aufeiader folgede Summade zusamme egativ ud bei eier ugerade Azahl Summade (l ugerade) ist der letzte verbleibede Summad ebefalls egativ aufgrud der alterierede Summe. Damit gilt, dass die Summe kleier oder gleich Null ist ud somit Eis mius der Summe größer oder gleich Eis. 4 4 Erweiteruge Im Folgede werde zuächst zwei erweiterde Amerkuge zum Prizip der Iklusio ud Exklusio ageführt ud aschließed zwei verbesserte Variate der Boferroi-Ugleichuge aufgezeigt.

9 L 4. Amerkuge zur Iklusio ud Exklusio Die erste Amerkug bezieht sich auf die Azahl der Terme i der Formel der Iklusio ud Exklusio. Zur Berechug der Kardialität der Vereiigug vo 5 Mege sid bereits Terme otwedig. Bei de obe abgebildete 5 Mege geüge jedoch bereits die folgede 9 Terme: 5 i A Q A 2 R A 3 S A 4 S A 5 A A 2 A 2 A 3 # A 3 A 4 # A 4 A 5 Diese Verbesserug vo 3 auf 9 Terme zeigt ei großes Verbesserugspotetial auf, falls ma Wisse über Symetrie der zu vereiigede Mege hat. Dies ist aber auch zugleich der kritische Pukt, da ohe eie gegebee Symetrie keie Aussage über evetuell überflüssige Terme getroffe werde ka ud somit diese Verbesserug icht verallgemeiert werde ka. Für die zweite Amerkug wird zuächst eie weitere alterative Schreibweise vorgestellt. Dabei gibt die Fuktio χ lediglich die Kardialität der als Argumet übergebee Mege zurück. χ T U /05 I% N,+ I + χ T U Nu lässt sich statt der Fuktio χ jede beliebige adere Maßfuktio µ i die Gleichug eisetze, d.h. µ muss σ-additiv sei ud es muss µ x 0WV x gelte. Damit erhält ma folgede Gleichug: µ T U /05 I% N,+ I + µ T U Obige Gleichug ka beispielsweise zur Berechug vo Wahrscheilichkeite oder Verlässlichkeite eigesetzt werde. Auch i de Boferroi- Ugleichuge lasse sich beliebige Maßfuktioe eisetze. 8

10 J L J L 4.2 Verbesserte Boferroi-Ugleichuge Die folgede Erweiteruge der Boferroi-Ugleichuge werde ohe Beweis ageführt. Zuächst eie Erweiterug ach Galambos χ T U,+ I + r χ T U 0Y[Z IZ \ χ T U r ugerade I r Z IZ] r^ χ T U,+ I + r χ T U 0Y[Z IZ \ χ T U r gerade I r Z IZ] r^, welche aussagt, dass das Ergebis für ugerade r weiterhi größer als das exakte Ergebis ist, falls ma zusätzlich de r+-te Term der Iklusio- Exklusio-Formel mit dem Vorfaktor r + N subtrahiert, wobei N ; aalog + für gerade r. Somit lässt sich eie exaktere Näherug erreiche als mit de klassische Boferroi-Ugleichuge. Eie ebefalls exaktere Näherug lässt sich mit de verbesserte Boferroi-Ugleichuge ach Tomescu erziele: χ T χ T U U 0Y[Z IZ \ r 0Y[Z IZ \ r + I + χ T,+ I + χ T U U χ T I" ε r^ χ T I" ε r^ U r ugerade U r gerade, wobei ε r die Katemege eies sogeate. (r + )-hypertree ist. Auch i de hier geate Erweiteruge lässt sich χ durch eie beliebige Maßfuktio ersetze. 5 Zusammefassug Das Prizip der Iklusio ud Exklusio ermöglicht die Berechug der Kardialität eier Vereiigug allei mit Hilfe vo Kardialitäte vo Schittmege. Die Boferroi-Ugleichuge stelle ei Werkzeug zur Näherug dieses Ergebisses dar, exaktere Näheruge lasse sich mit verbesserte Boferroi- Ugleichuge wie i Kapitel 4.2 vorgestellt erziele. Der Eisatz vo Maßfuktioe ermöglicht de Eisatz der vorgestellte Gleichuge i der Wahrscheilichkeitstheorie sowie i der Berechug vo Verlässlichkeite, des Weitere wird das Prizip der Iklusio ud Exklusio i der Kombiatorik, i der Zahletheorie ud im Bereich der Statistik eigesetzt. Weiterführede Literatur zur Kombiatorik sid [JUKNA 200] ud [STEGER 200], vertiefede Ausführuge zur Iklusio ud Exklusio sowie zu de Boferroi-Ugleichuge ud dere Erweiteruge sid beispielsweise i [DOHMEN 2000] zu fide. 9

11 Literatur [DOHMEN 2000] DOHMEN, K (2000). Improved Iclusio-Exclusio Idetities ad Boferroi Iequalities with Applicatios to Reliability Aalysis of Coheret Systems. Habilitatiosschrift, Mathematisch- Naturwisseschaftliche Fakultaet II der Humboldt-Uiversitaet zu Berli. [JUKNA 200] JUKNA, S (200). Extremal Combiatorics. With Applicatios i Computer Sciece. Spriger-Verlag Berli Heidelberg, ISBN [STEGER 200] STEGER, A (200). Diskrete Strukture, Bad, Kombiatorik - Graphetheorie - Algebra. Spriger-Verlag Berli Heidelberg New York, ISBN