Diskontierung durch Replikation

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1 Diskonierung durch Replikaion Richiges und Falsches bei der Unernehmensbewerung 1 Themaik... Der Rahmen der Bewerung... 7 Die Bewerungsmehodik Der Finanzmark Beschreibung der Zahlung Replikaion Risikoneurale Bewerung Ein Zahlenbeispiel Fallbeispiel Daen Forführung Ergebnisse... 1 Themaik Eine weie Klasse von Modellen bewere eine Unernehmung anhand der Erräge, Überschüsse oder Zahlungen, die sie in Zukunf für die Berechigen generier. Je nach Modell haben die erzeugen Zahlungen die Bedeuung von Dividenden, Gewinnen, Freien Cashflows oder von Excess Reurns, weshalb jede Bewerung als Erses eine Wahl des Ansazes voraussez. Hier bieen sich das Dividenden-Wachsums-Modell, eine Erragsbewerung, der DCF-Ansaz oder eine Bewerung anhand der Residualeinkommen. Wenn der Ansaz gewähl und die Zahlungen der Ar nach spezifizier sind, wird als Zweies eine Vorschau der Zahlungen für alle kommenden Jahre ersell. Selbsversändlich muss diese Vorschau auf geeignee Weise die mumaßliche Höhen und die jeweiligen Unsicherheien der zukünfigen Zahlungen erfassen sowie ihre gegenseiigen sochasischen Abhängigkeien. Hinweise dafür bieen die Ge-

2 Diskonierung durch Replikaion schäfsplanung der bereffenden Unernehmung und die Prognose der allgemeinen Wirschafsenwicklung, von der die Unernehmung abhängig is. Diese Planungen und Prognosen münden in eine Folge unsicherer Zahlungen, Z 1, Z, Z,..., deren Wahrscheinlichkeisvereilungen ypischerweise von der allgemeinen Wirschafsenwicklung abhängen. Im drien Schri der Bewerung muss der Wer der unsicheren Zahlungsreihe Z 1, Z, Z,... ermiel werden. 1 Für diesen drien Schri wird of eine vereinfache Diskonierung (simplified discouning rule) verwende. Hierbei werden die unsicheren Zahlungen Z der kommenden Jahre durch ihre Erwarungswere E [ Z ] beschrieben, = 1,,,..., und die Erwarungswere werden sodann mi einem Saz r diskonier, der neben dem Zinssaz eine Risikoprämie beinhale. Für die Besimmung des Diskonsazes r wird vielfach das CAPM vorgeschlagen und dazu versuch, das Bea zu besimmen. Auch gib es eine umfassende Theorie, wie eine Fremdfinanzierung und wie Unernehmensseuern berücksichig werden können. Diese Theorie führ auf die Weighed-Average-Cos-of-Capial und die Miles-Ezzell-Cos-of- Capial. Jedenfalls wird bei der vereinfachen Diskonierung E Z1 1+ r E Z (1 + r) E Z [ ] [ ] [ ] (1) W = (1 + r) als Wer der Zahlungsreihe Z 1, Z, Z,... und deshalb als Wer der Unernehmung angesehen. Hiner der Werformel (1) sehen vier Problemkreise, die eils schon länger bekann sind, oder deren man sich in den lezen Jahren bewußer geworden is. Der erse Problemkreis beriff die Frage, ob der Wer einer Unernehmung in der modernen Gesellschaf mi verschiedenen Anspruchsgruppen und den Wünschen nach sozialer Gerechigkei mi Erhal von Arbeispläzen, nach dem Respekieren ehischer Grundhalungen und dem Verlangen von Schuz der Umwel sich allein aus den Zahlungsüberschüssen zugunsen von Finanzinvesoren ergib. Es wird argumenier, dass die Unernehmung zahlreiche implizie Konrake mi Sakeholdern zu erfüllen habe und dass ihrer Führung besondere Veranworung für die Gesellschaf und die Zukunf zukomme. Es wird im gesellschaflichen Leben werbesimmende Fakoren geben, die sich nich in den von der Unernehmung für Kapialgeber generieren Zahlungen ausdrücken. Hier dürfe die Anwor auch nich überall die selbe sein. Jede Gesellschaf ha aufgrund ihrer Tradiionen und ihrer Bedürfnisse eigene Vorsellungen von der Unernehmung enwickel, die in den Kulurkreisen unerschiedlich akzenuier sind. Auf diese erse Themaik reen wir aber nich ein. Beim zweien Problemkreis wird die finanzwirschafliche Perspekive angenommen und der Arbeishypohese gefolg, dass sich der Unernehmenswer allein aus den 1 Nach dem Dividend Discoun Model is der Wer der Unernehmung gleich dem Wer der ausgeschüeen Zahlungsüberschüsse, sofern die Transversaliä gil, so dass allfällige Reswere, Lasen oder Perlen bei unendlichen Horizon keinen Einfluß mehr haben.

3 Zahlungen ableie, die sie für die Berechigen generier. Doch es wird die Abhängigkei dieser Zahlungen von den beeiligen und handelnden Personen hemaisier, die unerschiedlich informier und moivier sind. Zu diesen Personen gehören die Eigenkapialgeber sind es Großinvesoren oder Publikumsakionäre? sowie Fremdkapialgeber, vor allem Banken. Allein die Zusammensezung der Kapialgeber ha Einfluß auf die Wirschafsäigkei. Weier sind die Manager in der Unernehmung verschiedensen Moivaionen ausgesez und verfügen bei ihren Enscheidungen über einen erheblichen diskreionären Freiraum. Es kommen Aufsichsgremien und Regulierungen hinzu, evenuell die Einflußnahme der Poliik. Eine umfangreiche Lieraur ha auf diese Einflüsse hingewiesen und sie modellier, vor allem durch Prinzipal-Agenen-Modelle. Im Ergebnis kann ein Unernehmen nich an sich bewere werden sondern immer nur im Hinblick auf eine gewisse Eigenümersrukur sowie eine Corporae Governance, sprich, eine gewisse Finanzierung, weil dadurch die Geschäfs- und Invesiionspläne beeinfluß sind. Die generieren Überschüsse können nich von diesem personellen Umfeld und von der Kapialsrukur gelös werden. Beim drien Problemkreis geh es um die Wahl der bewerungsrelevanen Zahlungen. Sollen es Cashflows, Gewinne, Dividenden sein? Diese Überschüsse unerscheiden sich durch Invesiionen, die neben den laufenden Geschäfen berücksichig werden und daher in die Bewerung einfließen. Schon der Begriff des Freien Cashflows verdeulich die Frage, ob lediglich ein operaiver Plan oder eine Kombinaion aus Geschäfsäigkei und Invesiionsäigkei bewere werden soll. Selbsversändlich gib es Varianen für die budgeieren Invesiionen, und es häng von ihnen ab, wie hoch die Zahlungsüberschüsse lezlich sind. Dabei können komplexe Inerakionen aufreen, so weil die Unernehmung kaum einen sarren Invesiionsplan folgen sondern in Abhängigkei der realisieren Ergebnisse invesieren wird. Die Unernehmung kann Realopionen haben und, späere Informaionen berücksichigend, ihre Invesiionen größer oder geringer auslegen. Dadurch verändern sich die nach Invesiion verbleibenden Zahlungsüberschüsse nich nur der Höhe nach sondern auch in ihren sochasischen Eigenschafen. Wir wollen uns im Folgenden dem vieren Problemkreis der Unernehmensbewerung zuwenden. Die Frage laue: Darf, bei einer rein finanzheoreischen Sich, die gemäß (1) besimme Größe W als Wer der Zahlungsreihe Z 1, Z, Z,... angesehen werden? Den Wer einer zukünfigen und daher meisens unsicheren Zahlung oder einer sich in die Zukunf ersreckenden sochasischen Zahlungsreihe zu besimmen, heiß, zu diskonieren. Die Frage also laue, ob die in (1) angegebene Formel korrek die Diskonierung beschreib. JENSEN und MECKLING (1976), DEMSETZ (198), FAMA und JENSEN (198). Uner vereinfachenden Annahmen komm dann derselbe Wer heraus MODIGLIANI und MILLER konnen Irrelevanz-Thesen aufsellen. Doch in feineren Modellierungen der Realiä, insbesondere bei Berücksichigung von Realopionen, haben die Invesiionsenscheidungen und die Finanzierung Einfluß auf den Unernehmenswer. 4

4 Diskonierung durch Replikaion Über diese Frage ha in der jüngeren Forschung eine inensive und eils konroverse Diskussion eingesez. Dabei geh es nich um die vielleich prakische Schwierigkei, die Diskonrae r zu ermieln, und dazu im CAPM das Bea korrek zu besimmen. Der Punk is auch nich, ob r den Weighed-Average-Cos-of-Capial oder den Miles- Ezzell-Cos-of-Capial ensprechen soll. Es geh um die prinzipielle Korrekhei der sogenannen Risikoprämienmehode. Bei ihr wird () E [ Z ] ( ) 1+ r als Barwer einer zu fälligen, unsicheren Zahlung Z angesehen. Während im Zähler von () der Erwarungswer des unsicheren Zahlungsüberschusses seh, wird das Risiko dadurch berücksichig, dass im Nenner r sich aus dem Zinssaz und einem Zuschlag zusammensez, einer Risikoprämie. 4 Noch dazu is in (1) die Diskonrae für alle Jahre, zu denen Zahlungsüberschüsse anfallen, gleich. Verschiedene Teilfragen sind aufgeworfen worden. 5 So ging es ursprünglich es um eine Klärung, wie das CAPM zur Besimmung der Diskonfakoren bei der Risikoprämienmehode () von einem auf mehrere Jahre überragen werden kann, vergleiche BRENNAN (197, 1979). Im Konex mehrerer Jahre gewinnen Vereilungsparameer wie der Erwarungswer in () neue Bedeuung, weil die Wahrscheinlichkeisvereilung im zunehmendem ypischerweise immer särkere Rechsschiefe zeig (FAMA 1977). Driens ha BALLWIESER posulier, dass die Diskonrae r in (1) vielleich nich für alle Jahre dieselbe sein darf sondern endenziell für Zahlungen mi späeren Fälligkeien geringer werden müße, weil sie ansonsen zu sark diskonier würden. 6 Vierens wurde gefrag, ob anselle der Risikoprämienmehode () nich eine Diskonierung vorzunehmen sei, bei der im Zähler anselle des Erwarungswers ein Sicherheisäquivalen sehen müsse Berücksichigung des Risikos im Zähler durch einen Risikoabschlag während im Nenner der Zinssaz als Rendie der risikofreien Anlage zu sehen habe. Fünfens wurde mi dem Begriff der Risikoauflösung hemaisier, welche Informaionen über die Vereilung von Z im Verlauf der Jahre 1,,..., 1einreen und in wie wei sich dadurch ein Einfluß auf den Wer der Zahlung ergib. Schließlich wurde unersuch, was sich änder, wenn die Wirschafsenwicklung, verreen durch einen Index, nich die klassische Voraussezung seriell unkorrelierer Rendien erfüll und wenn der Zinssaz sochasisch schwank Hierzu: BLACK 1988, BHATTACHARYA und CONSTANTINIDES (1988) und RICHTER (001). Siehe KRUSCHWITZ / LÖFFLER (1998). SCHWETZLER (000), KRUSCHWITZ (00), KÜRSTEN (00), WILHELM (00). BALLWIESER (1990), p

5 Im Folgenden möche ich zu einigen dieser Teilfragen Sellung nehmen. Dazu wird eine Mehode eingesez, die ab 1970 enwickel wurde als die generelle Bewerungsmehode für financial claims akzepier is. Es is die Replikaion der zu bewerenden Zahlung in einem arbiragefreien Finanzmark. 8 Dabei wird die zu diskonierende oder zu bewerende Zahlung durch eine geeignee Kombinaion von Finanzinsrumenen nachgebilde ewa einer Geldanlage zum Zinssaz und einer Invesiionen in einen Index. Da die Invesoren im Finanzmark nur auf die Zahlungen, ihre Fälligkeien, ihre erwareen Höhen und ihre sochasischen Eigenschafen achen, ha der von der Unernehmung erzeuge Zahlungsüberschuß denselben Wer wie das Porfolio, das ihn in seiner Fälligkei, seiner erwareen Höhe und seinen sochasischen Eigenschafen nachbilde. Da die Preise der Insrumene in diesem Replikaionsporfolio vorliegen, is durch die Zusammensezung dieses Porfolios der Wer des zu diskonierenden Zahlungsüberschusses ermiel. 9 Vom Grundsaz her is dieser Ansaz bekann, doch er wird eils rech absrak vorgeragen. Wir wollen im Folgenden sehen, dass sich die Diskonierung durch Replikaion einfach anwenden und praxisnah gesalen läß. Auch dieses Ziel wird mi der nachsehenden Darsellung verfolg. Es is noch nachzuragen, was uner dem Wer einer unsicheren Zahlung versanden wird: Es is der Preis, den diese Zahlung in einem gu funkionierenden Finanzmark ha. Ein gu funkionierender Finanzmark soll vor allem arbiragefrei sein. Das heiß, es lassen sich Porfolios nich so umsrukurieren, dass ohne weieres Risiko ein zusäzlicher Gewinn oder ein Free Lunch möglich is. Im Grunde heiß dies: Der Finanzmark soll sich im Gleichgewich befinden. Sodann soll der Finanzmark so gu enwickel sein und so viele Insrumene bieen, dass sich die von der Unernehmung erzeugen Überschüsse, die bewere werden sollen, mi Kombinaionen der gehandelen Finanzinsrumene replizieren lassen. Das is eine Annahme hinsichlich der Vollsändigkei des Markes. Driens soll der Finanzmark so groß sein, dass das Hineinbringen der zu bewerenden Zahlung keine Rückwirkung auf die Preisbildung der vorhandenen Finanzinsrumene im Mark ha. Er soll also dem in der Mikroökonomie üblichen aomisischen Bild genügen. Die Vorsellung, dass der Wer gleich dem Preis in einem gu funkionierenden Mark is, wurde der allgemeinen Gleichgewichsheorie enlehn, die um 1970 vor allem von ARROW und DEBREU enwickel wurde. Dami soll die iefe Auseinandersezung um diesen in der Wirschaf wichigen Begriff des Wers nich außer Kraf gesez LAITENBERGER (004). In dieser Denkrichung folgen die Arbirage Pricing Theory (ROSS 1976) und weiere Arbeien, so von RUBINSTEIN (1976), BRENNAN (1979), HARRISON und KREPS (1979). Um ein einfaches Beispiel zu nennen: Eine Firma produzier Orangensaf. Im Mark gib es einen gu funkionierenden Handel mi Konzenra, Zucker und Wasser, und aus diesen Ingredienzen kann durch Mischung ein Geränk erzeug werden, dass in allem für die Konsumenen relevanen Eigenschafen mi dem produzieren Saf übereinsimm. Dann muss im gu funkionierenden Mark der Preis für den erzeugen Orangensaf mi den Preisen der sie nachbildenden Ingredienzen übereinsimmen. 6

6 Diskonierung durch Replikaion werden. 10 In der Tradiion von CARL MENGER ( ), Begründer der öserreichischen Schule, wird der Wer eines Objeks vielfach mi dem Nuzen assoziier, den es sife. In der Ta ha die Gleichgewichsheorie oder die Mikroökonomie den Zusammenhang zwischen dem Preis (im Markgleichgewich) und dem Nuzen eines Individuums aufgezeig: Für jeden Einzelnen is der Grenznuzen eines Objeks (bei einer Variaion der Quaniä) gleich dem Preis. Es gib Bewerungsmodelle für Unernehmen, die von der Risikonuzenfunkion eines Invesors ausgehen. Sie rücken das Sicherheisäquivalen eines unsicheren Ergebnisses in den Mielpunk. Allerdings is dies zu beachen: 1. Für einen Enscheidungsräger is das Sicherheisäquivalen jener Geldberag, der denselben Erwarungsnuzen aufweis wie das unsichere Ergebnis. Beim Zusammenhang zwischen Preis und Nuzen wird indessen die Bedeuung des Grenznuzens hervorgehoben. Der Preis is für alle Markeilnehmer gleich dem Grenznuzen, der mi einer Variaion der Quaniä verbunden is. Von daher dürfen Bewerungsmodelle, die auf das Sicherheisäquivalen eines Invesors absellen, nur mi ensprechenden Korrekuren übernommen werden.. In einem Finanzmark sind nur sysemaische Risiken mi einer Prämie verbunden, während unsysemaische Risiken diversifizierbar sind und daher bei einer Bewerung im Mark einen Preis in Höhe ihres Erwarungswers haben. Im Unerschied dazu ha ein einzelner Enscheidungsräger für jedes Risiko, das er übernimm, einen Nuzenengang, ungeache der Frage, ob es im Prinzip diversifizierbar wäre oder nich. Deshalb müssen Bewerungsmodelle, die auf das Sicherheisäquivalen abheben, mi ensprechender Vorsich verwende werden. Ein Bewerung anhand des Sicherheisäquivalens eines Invesors muss zwar nich falsch sein, sie kann durchaus für gewisse Spezifikaionen den korreken Wer liefern. Jedoch zeigen Beispiele, dass sie das nur uner gewissen Voraussezungen un. Gleiches gil auch für die Risikoprämienmehode. Hier ha eine Unersuchung jener Bedingungen eingesez, uner denen sie mi der im Finance generell üblichen Bewerung durch Replikaion konsisen sind. Der Rahmen der Bewerung Eine zu bewerende Zahlung kann nich vom Hinergrund des Finanzmarkes gelös werden, denn es wird mi ihrem Wer jener Preis gesuch, den sie im zugrunde gelegen Mark häe. Nun gib es in jedem Finanzmark Risiken, die noch diversifizier werden können und solche, die nich diversifizierbar sind. Für diese Unerscheidung 10 Zum Beispiel: HICKS (199), STÜTZEL (195, 197), WITTMANN (1956). 7

7 is bereis ein Modell verlang, ewa das CAPM oder die Arbirage Pricing Theory (APT). Die diversifizierbaren Risiken werden im CAPM als unsysemaisch und in der APT als spezifisch bezeichne. Da die diversifizierbaren Risiken im Mark zum Ausgleich gebrach werden können, spielen sie für die Preisbildung (und dami die Bewerung) keine Rolle mehr. Die unsysemaische oder spezifische Unsicherhei in einem Zahlungsüberschuß wird daher so bewere wie eine sichere Zahlung in Höhe ihres Erwarungswers. Dies is wichig, weil of in Beispielen risikobehafee Zahlungsüberschüsse berache werden, of als Loerie bezeichne, deren Risiko durch Diversifikaion im Mark zum Verschwinden gebrach werden könne. Dami würde eine solche Loerie im Mark anhand ihres erwareen Ergebnisses bepreis, und ihr heuiger Wer ensprich daher dem diskonieren Erwarungswer, der wie eine sichere Zahlung mi dem Zinssaz diskonier wird. 11 Der Punk bei der Bewerung unsicherer Zahlungsüberschüsse enseh also insowei, als diese nich-diversifizierbare Risiken enhalen. Denn die Invesoren im Mark sind risikoavers, weshalb sich bei der Preisbildung nich diversifizierbarer Risiken Prämien bilden. Die Markprämien für nich-diversifizierbare Risiken werden bei der Bewerung ses hineinspielen, wenn der von einer Unernehmung erzeuge Zahlungsüberschuß nich-diversifizierbare Risiken aufweis vielleich neben diversifizierbaren Risikoaneilen. Bei der Beschreibung eines Zahlungsüberschusses genüg es daher nich, auf dessen Wahrscheinlichkeisvereilung einzugehen, vielleich auf die Sandardabweichung (neben dem Erwarungswer der zu diskonierenden Zahlung). Es muss gesag werden, in welcher (sochasischen) Beziehung der zu bewerende Überschuß zu anderen, nich-diversifizierbaren Risiken der im Mark gehandelen Insrumene seh. Wird das CAPM zugrunde geleg, werden nich diversifizierbare Risiken durch ein einziges Insrumen perfek beschrieben: das Markporfolio. In diesem Fall muss für den zu diskonierenden Zahlungsüberschuß bekann sein, wie er mi dem Index, der das Markporfolio repräsenier, variier. Uner Umsänden genüg dazu die Kennnis von Sandardabweichung und Korrelaion. Wird die APT zugrunde geleg, könne es durchaus mehr als einen Fakor geben, der mi einer Prämie verbunden is. Dann müssen die Exposures bekann sein, die der zu diskonierende Überschuß hinsichlich aller Fakoren aufweis. Im Folgenden beschreiben wir den Finanzmark (im Sinne der APT) durch ein Ein- Fakor-Modell. 1 Mi einem Ein-Fakor-Modell wird zugegebenermaßen eine Modellbildung des Finanzmarkes vorgenommen. Es wird sudier, welchen Preis der Zah Das is komplizier genug, wenn es keinen zum Bewerungszeipunk bekannen Zinssaz für die ensprechende Fälligkei der Zahlung gib. Wir gehen hier davon aus, dass die Zinssäze für alle Fälligkeien gegeben sind. Wir vermeiden dabei, das Ein-Fakor-Modell als CAPM anzusprechen, weil der Begriff des CAPM an die unzähligen empirischen Sudien erinner, in denen konrovers diskuier wurde, mi welcher Genauigkei Bea die wirklichen Finanzmärke zu beschreiben vermag. 8

8 Diskonierung durch Replikaion lungsüberschuß in diesem Modell eines Finanzmarkes häe. 1 Es soll einen einzigen Index geben, und eine Kapialanlage in diesen Index is mi einer Prämie verbunden. Risiken, die nich mi dem Index korrelier sind, werden als diversifizierbar berache. Die Beschreibung des Zahlungsüberschusses läuf daher vor allem auf die Beschreibung der Abhängigkei hinaus, in der die Zahlung zu den Weren des Index seh, den dieser zum Zeipunk der Fälligkei des Zahlungsüberschusses ha. Dabei darf die Enwicklung des Indexes als die der allgemeinen Wirschaf inerpreier werden. Somi wird für die Beschreibung des zu bewerenden Zahlungsüberschusses unersuch, wie er von der allgemeinen Wirschafsenwicklung abhäng. Die grafische Darsellung der Abhängigkei des Zahlungsüberschusses vom Index is das Payoff- Diagramm. Da der Index das nich-diversifizierbare Risiko und dami die Risikoprämie verkörper, is allein die Abhängigkei vom Index relevan für den Wer. Der Payoff enhäl daher die werrelevanen Informaionen. Zur Bewerung allgemeiner Payoffs wurde um 1970 die Idee der Replikaion enwikkel, bei der ein zu bewerender Payoff durch ein Porfolio anderer Insrumene nachgebilde wird, deren Preise im Finanzmark bekann sind. Wenn ein geeigne zusammengesezes Porfolio denselben Payoff besiz wie ein zu bewerendes Insrumen, dann sind das Porfolio und das Insrumen in allen Aspeken, die im Finanzmark den Wer besimmen, idenisch. Folglich muss der Wer des Insrumens mi der Summe der Were der Komponenen des Porfolios übereinsimmen. 14 Diese Bewerungsmehode wurde ursprünglich für Opionen gedach. Opionen werden als bedinge Zahlungen (coningen claims) aufgefaß, wobei die Höhe der Zahlung, die der Inhaber bei Fälligkei erhäl, eine Funkion des Kurses is, den das Underlying dann haben wird. Nich nowendig muss es sich beim Underlying um den Index handeln. Genau so können die Zahlungsüberschüsse, die eine Unernehmung generier, als coningen claims aufgefaß werden. Gewinne oder Cashflows einer Firma sind nich vom allgemeinen Markgeschehen unabhängig. Vielmehr sind sie in der Regel höher, wenn die allgemeine Wirschafsenwicklung besser läuf, und sie sind geringer, wenn die Enwicklung der wirschaflichen Umgebung schwächer is. Die allgemeine Wirschafsenwicklung als Underlying denk man sich als durch einen Markindex repräsenier und quanifizier. So werden die von der Unernehmung generieren Zahlungsüberschüsse vor allem eine Funkion des Index. Zusäzlich können die von einer Unernehmung generieren Zahlungen unsysemaische oder firmenspezifische Zufälligkeien aufweisen, die wie gesag im Finanzmark keine Relevanz für den Wer haben Eine jede Bewerung geh von einem Finanzmark-Modell aus, und der in einem konkreen Umfeld für eine Transakion ausgehandele Preis kann sich durchaus von diesem Wer unerscheiden. Brennan (1979), Harrison / Kreps (1979), Hubermann (198); für eine Einführung und die frühe Lieraur siehe Spremann (1986). 9

9 Anders als im Fall von Opionen dürfe die Abhängigkei der sysemaischen Zahlungen einer Unernehmung vom Markgeschehen sogar linear sein, weil vielfach die Unernehmung ein konsanes Exposure gegenüber der Wirschafsenwicklung zeig (und das wäre nur anders, wenn Realopionen zu modellieren sind). Aufgrund der Lineariä genügen sehr einfache Diskreisierungen der Wirschafsenwicklung (ein Binomialmodell muss nur eine einzige Verzweigung haben), um die Payoffs exak zu beschreiben. Folglich genügen, wenn Gewinne oder Cashflows einer Firma in der Vorschau aufgesell werden, ausgesprochen einfache Beschreibungen der zu bewerenden Zahlungen. Zwar is es nich hinreichend, nur ihren Erwarungswer oder Median zu kennen. Doch genügen bereis zwei Realisaionen der zukünfigen Gewinne oder Cashflows, um die Bewerung durchführen zu können. Weil eine dermaßen einfache Beschreibung der Zahlungen genüg, sind die nachsehenden Ausführungen rech praxisnah. Wir führen nun diesen Bewerungsansaz vor (Teil ) und illusrieren sie anhand eines Fallbeispiels (Teil 4). Die Bewerungsmehodik.1 Der Finanzmark Gesuch is der Wer W, den die unsichere Folge von Zahlungen Z 1, Z, Z,... im Finanzmark besiz. Hierzu reffen wir fünf Annahmen. Die ersen drei Annahmen beschreiben den Finanzmark, daruner den Index, der die allgemeine Wirschafsenwicklung beschreib. Die viere Annahme beschreib die von der Unernehmung generieren Zahlungen in Bezug auf diesen Finanzmark. 1. Annahme: Der Wer wird als Preis versanden, den der Zahlungssrom im Finanzmark erzielen würde. Annahme: Der Finanzmark is arbiragefrei und enhäl hinreichend viele Insrumene Konrake, so dass die Weraddiiviä gil: Folgerungen: Die Zahlungen des Zahlungssroms Z 1, Z, Z,... können im Finanz- mark gerenn gekauf und verkauf werden. Der Wer W des Zahlungssroms Z 1, Z, Z,... is gleich der Summe der Were W ( Z ) der einzelnen unsicheren Zahlungen Z, = 1,,... Die Aufgabe, den Wer der unsicheren Folge von Zahlungen Z 1, Z, Z,... zu besimmen, zerfäll somi in die Teilaufgaben, den Wer W ( Z ) der einzelnen unsicheren Zahlung Z, = 1,,... zu finden. 10

10 Diskonierung durch Replikaion. Annahme: Es gib einen Index, der das nich diversifizierbare Risiko beschreib. Die Rendie auf den Index erfülle die Sandardannahmen zum Random Walk: Sie sei normalvereil µ sie der Erwarungswer und σ die Sandardabweichung der seigen Rendie auf das dem Index zugrundeliegende Mark- oder Branchenporfolio. Diese Parameer sind gegeben. Zeilich aufeinanderfolgende Rendien sind seriell unkorrelier. Die Höhe des Index S zum Zeipunk is daher lognormalvereil, während ln S normalvereil is. Die zufällige Größe ln S besiz also den Erwarungswer ln S 0 + µ und die Sandardabweichung σ. Schäzungen beispielsweise für den Schweizer Akienmark sind $ µ = 7, 61% und $ σ = 19, 01%.. Annahme: Daneben soll es möglich sein, risikofrei Miel anlegen und aufnehmen zu können. Der Zinssaz in seiger Noaion sei mi i (wie ineres) bezeichne. Der Zinssaz sei für alle beracheen Fälligkeien bekann (sicher). Für die Schweiz erschein ein Zinssaz um 4% realiäsnah. Insowei is der Finanzmark beschrieben. Wir werden dem bei Wachsumsvorgängen generell üblichen Vorgehen folgen und die Logarihmen jener Größen berachen, die dem Wachsumsvorgang unerliegen. Wenn sich der Index ensprechend () ( ein) ) (1 ( ein) (1 )... (1 ( ein) S = S + r + r + r ) ( ein) 0 1 enwickel, r is die einfache Rendie im Jahr, dann is sein Logarihmus ein ein ein (4) S S ( ) r ( ) r ( ) ln = ln ln(1 ) ln(1 )... ln(1 r ) ln S r r = r 1 die Summe von lns 0 und den Rendien r r,..., 1, r in seiger Schreibweise. Da die Rendien der einzelnen Perioden unabhängig voneinander sind, is aufgrund des zenralen Grenzwersazes der Saisik der Logarihmus des Ergebnisses, ln S, normalvereil. Diese für den Markindex of geroffenen Annahme gil lezlich für viele Wachsumsvorgänge. So dürfen auch die von der Unernehmung generieren Zahlungen lognormalvereil sein, oder Verschiebungen der Zahlungsüberschüsse sind lognormalvereil. 15 Ihre Abhängigkei vom Index sei durch die fünfe Annahme beschrieben: Annahme 4: Die zu fällige Zahlung Z is eine lineare Funkion des Markindex S, den dieser zu diesem Zeipunk haben wird, oder eben der Veränderung S / S 0, die der Index vom Bewerungszeipunk bis zur Fälligkei wird: Z = a + b ( S / S ) 0 + ε. Hier erfaß ε unsysemaische oder firmenspezifische Zufälligkeien. Diese unsyse- 15 Wie bei der allgemeinen Wirschafsenwicklung (Index) mach sich auch bei den von der Unernehmung generieren Zahlungen eine gewisse Rechsschiefe bemerkbar, die um so deulicher is, je weier das Jahr in der Zukunf lieg. 11

11 maischen Zufälligkeien gleichen sich durch Diversifikaion über verschiedene Unernehmen aus, weshalb ε keinen Einfluß auf den Wer ausüb. Um die Bezeichnungen nich zu überladen, berachen wir nur noch das sysemaische Risiko. Folglich unersellen wir die Abhängigkei der zu bewerenden Zahlung in der Form (5) Z = a + b S / S = a + b ( r + r r ) Bemerkungen: Hinsichlich der Ensehung des Risikos von Z wird mi der Annahme 4 unersell, dass es von heue bis zur Fälligkei heranreif, genau wie der Index zum Bewerungszeipunk 0 is S 0 eine sichere Größe bis zu S heranreif.. Die Annahme der vollen Reifezei kann man modifizieren: Eine Variaion von (5) beseh darin, für den zu diskonierenden Überschuß Z eine kürzere Reifezei zu unersellen. So hieße Z = a + b ( S / S ) a b 1 = + r, dass die im Jahr fällige Zahlung hinsichlich ihres sysemaischen Risikos nur von der Wirschafsenwicklung (Index) im Jahr abhäng, nich aber von der Indexenwicklung der Jahre 1,,..., 1. Allgemein könne eine Reifezei von m Jahren ausgedrück werden, indem (5) durch Z ( / ) (... = a + b S S m = a + b r m r ) ersez wird. Selbsversändlich üb die Länge der Reifezei Einfluß auf den Wer der Zahlung Z aus. 16. Wir berachen nur die beiden Zeipunke 0 und. Dennoch biee sich die Inuiion an, dass mi dem Heranreifen des Index ein Informaionsprozeß verbunden is. Ensprechend (5) würde man über die Jahre 1,,..., immer mehr über die Vereilung von S erfahren, weil im Verlauf der Zei, sofern ein solcher berache wird, die Realisaionen Rendien (), (4) bekann werden. Insofern is durch (5) eine gleichmäßige Form der Risikoauflösung gegeben.. Beschreibung der Zahlung Wir wenden uns nun der Teilaufgabe zu, die eine Zahlung Z zu beweren, das heiß, ihren Preis zum Zeipunk 0 im Finanzmark zu besimmen. Aus der vieren Annahme folg, dass die zu bewerende Zahlung lognormalvereil is. Um sie zu beschreiben, würde es genügen, das Niveau a und die Seigung b des Payoffs (5) zu besimmen. 16 Wenn alle anderen Größen gleich bleiben, bewirk eine Verkürzung der Reifezei eine Erhöhung des Wers. 1

12 Diskonierung durch Replikaion Sa dessen könne der Erwarungswer und die Sandardabweichung von Z gegeben sein. Eine drie Möglichkei wäre, die zu bewerende Zahlung durch Quanile zu beschreiben, und auch dabei würden zwei Punke genügen. Wir wählen diese drie Möglichkei der Beschreibung von Z, weil sie praxisnah is: Der Geschäfsplanung wird ein besseres und ein schlecheres Szenario ennommen. Dazu hilf beispielsweise ein Inerview mi dem Experen, der die Informaionen beschaff und Z als lezlich subjekive Wahrscheinlichkeisvereilung aufsell. Dem Experen wird gesag: Berachen wir den Plan für das Jahr. Um das Risiko des generieren Zahlungsüberschusses im Jahr genauer zu erfassen, wird eine Angabe benöig, wie hoch er wäre, wenn sich die allgemeine Wirschaf bis dahin gu enwickel. In diesem besseren Szenario soll der Zahlungsüberschuß die mi B bezeichnee Höhe haben. Zusäzlich wird eine Angabe benöig, wie hoch die generiere Zahlung wäre, wenn sich die allgemeine Wirschaf bis dahin schlech enwickel. Die Höhe der Zahlung in diesem schlecheren Szenario sei mi A bezeichne. 50% 50% Lognormalvereilung 15,86% 15,86% A Median B Figure 1: Es genüg, den Zahlungsüberschuß durch einen uneren und einen oberen Wer zu repräsenieren. Die beiden Szenarien und die bei ihnen zu verzeichnenden Höhen des Zahlungsüberschusses A und B sollen sie als Quanile so bemessen sein, dass der Überschuß mi Wahrscheinlichkei 1/ 6, genauer N ( 1) = 0, 1586, noch über der Obergrenze B lieg. Mi derselben Wahrscheinlichkei 1/ 6 soll der Überschuß noch unerhalb der Unergrenze A liegen. Aus dieser Beschreibung folg, dass die Zahlung mi Wahrscheinlichkei / genauer N() 1 N( 1) = 0, 687 zwischen den beiden ermielen Grenzen A und B lieg. Diese Informaionsbeschaffung liefer eine Beschreibung der Zahlung Z durch zwei Realisaionen: A und B. Diese beiden Punke spezifizieren die Abhängigkei (5) vollsändig. Hinweis: Der arihmeische Mielwer ( A + B ) / als mileres Szenario von Z ensprich nich genau dem Erwarungs- 1

13 wer E [ Z ]. Weil Z eine gewisse Rechsschiefe aufweis, lieg das milere Szenario A + B ) / ewas unerhalb des Erwarungswers von Z. ( = 1 = 4 5 Obergrenze B1 B B B4 B 5 Unergrenze A1 A A A4 A 5 Figure : Der Geschäfsplan weis die Were der Zahlungen für zwei Szenarien aus.. Replikaion Wir können nun fragen, welches Porfolio die durch zwei Szenarien beschriebene Zahlung nachbilde. Hierzu wählen wir ein Porfolio, das zum Zeipunk 0 den Geldberag x verzinslich anleg und parallel dazu den Geldberag y in den Index invesier. Dieses Porfolio ha den Wer x + y. Wir besimmen x und y so, dass es die zu bewerende Zahlung Z nachbilde folglich gil dann W ( Z ) = x y. + Nowendig und hinreichend für die Replikaion is, dass das Porfolio zum Zeipunk dieselbe Ober- und Unergrenze wie die Zahlung besiz. Diese Bedingung laue: (6) B = x exp A = x exp ( i ) + y exp( µ + σ ) ( i ) + y µ σ ) Denn die auf das Gesaminervall von 0 bis bezogene seige Rendie auf den Index nochmals: sie is normalvereil lieg im Sigma-Band, das von µ σ bis µ + σ reich. Im Gleichungssysem (6) sind B und A ebenso wie gegeben, auch die Finanzmarkdaen i, µ und σ sind bekann. Gesuch sind die Komponenen x und y, die das Replikaionsporfolio besimmen. Um die Lösung einfacher herzuleien, führen wir die Enwicklungsfakoren (7) u : = exp( µ + σ ), d : = exp( µ σ ) für ein Up und ein Down des Index ein. Den Verzinsungsfakor kürzen wir mi (8) g = exp( i ) ab. Es darf d < g < u unersell werden. Das Gleichungssysem (6) ha mi diesen Bezeichnungen die Form 14

14 Diskonierung durch Replikaion (9) B = x g+ y u A = x g+ y d = Leiche Umformungen führen auf die Lösung. Zieh man in (9) von der oberen die unere Gleichung ab, folg B A = y ( u d) und somi ( B A )(( u d) y. Muliplizier man die obere Gleichung mi d, die unere mi u und addier sie, dann folg d B + u A = x g ( u d) und dami ( d B + u A ) /( g ( u d)) = x. Zusammen laue die gefundene Lösung (10) u A d B g A + g B x=, y= g ( u d) g ( u d) Der gesuche Wer der durch die Schranken A und B beschriebenen und zum Zeipunk anfallenden unsicheren Zahlung is die Summe W ( Z ) = x y, mihin: u g g d (11) W ( Z ) = A + B g ( u d) g ( u d) + Z, beschrie- Dami wären wir ferig: Der Wer der zu fälligen unsicheren Zahlung ben durch ihre Höhen B im guen Szenario (Markenwicklung up) und schlechen Szenario (Markenwicklung down), is besimm. A im.4 Risikoneurale Bewerung Die Werformel (11) ha die Gesal risikoneuraler Bewerung. Um das zu sehen, wird der Verzinsungsfakor g aus (11) herausgezogen. So erhäl die Werformel (11) die Form risikoneuraler Bewerung: (1) W ( Z ) = { (1 q) A + q B } 1 g Die Pseudowahrscheinlichkei (oder risikoneurale Wahrscheinlichkei ) für ein Up is wie üblich mi q bezeichne, (1) q := g d u d womi 1 q = u g /( u d) die Pseudowahrscheinlichkei für ein Down is. Beide Pseudowahrscheinlichkeien liegen zwischen Null und Eins. Mi der risikoneuralen Bewerung ergib sich diese Vorgehensweise: Zunächs wird der Pseudoerwarungswer aus Unerschranke A und Oberschranke B gebilde, ( 1 q) A + q B. Dieser Pseudoerwarungswer wird anschließend mi dem Zinssaz diskonier. Insgesam: 15

15 1. Der Wer eines unsicheren und zu fälligen Zahlungsüberschusses Z is der mi dem Zinssaz diskoniere Pseudoerwarungswer jener beiden Ergebnisse A und B, die der Überschuß bei den beiden Ereignissen schleche beziehungsweise gue Wirschafsenwicklung ha.. Die vorgeführe Replikaion zeige, dass sich der Wer in der Form risikoneuraler Bewerung darsellen läß und liefere die Pseudowahrscheinlichkeien (1).. Die Diskonierung durch Replikaion ensprich genau der Diskreisierung des Underlying, wie sie in einem Binomialmodell vorgenommen wird. Weil die zu bewerende Zahlung annahmegemäß einen linearen Payoff darsell, genüg eine ganz einfache Diskreisierung: Das gesame Zeiinervall von 0 bis wird als eine einzige Zeisufe behandel wird, in der nur ein Up und ein Down möglich sind. 4. Die Bewerungsformel (11) beziehungsweise (1) gil allgemein für eine Zahlung, deren Payoff durch zwei Punke beschreiben werden kann, und als Punke wurden hier jene Realisaionen des Underlying gewähl, auf die ein Up beziehungsweise ein Down führ. Ein besonderer Fall der Anwendung der Bewerung (11), (1) is der, in dem die zu bewerende Zahlung bei beiden Szenarien übereinsimm, A = B. In diesem Fall ha die zu bewerende Zahlung keine (sysemaische) Schwankungsbreie. Ihr Wer is gleich der mi dem Zins diskonieren sicheren Zahlung, W ( Z ) = A / g = B g. /.5 Ein Zahlenbeispiel Dass mi (11) beziehungsweise (1) asächlich eine risikoneurale Bewerung vorgenommen wird zeig sich darin, dass die Daen der zu bewerenden Zahlung, also die Schranken A und B nich in die Berechnung der Pseudowahrscheinlichkeien einfließen: Das Risiko der Zahlung wird nich vorweg benöig, um die Pseudowahrscheinlichkeien zu berechnen. Allein aufgrund der Finanzmarkdaen können die Pseudowahrscheinlichkeien berechne werden. Anschließend können die verschiedensen Zahlungen bewere werden. Dies wird an einem Beispiel deulich. Beispiel 1: Gegeben sind = 1 und die Finanzmarkdaen i = 4%, µ = 7, 61% und σ = 19, 01%. Daraus folgen nach (7) und (8) u = 1, 050, d = 0, 89, g = 1, 0408 und weier nach (1) die Pseudowahrscheinlichkeien q = 5,99% (für ein Up) und 1 q = 64,01% (für ein Down). Nun können beliebige Zahlungen diskonier werden, solange sie nur die Annahme 5 erfüllen (Lineare Abhängigkei von der Wirschafsenwicklung, resliche Zufälligkeien sind unsysemaisch). Selbsversändlich müssen die Zahlungen durch ihre Schranken A 1 und B 1 gegeben sein. 16

16 Diskonierung durch Replikaion 1. Im ersen Fall soll A 1 = 100 und B 1 = 00 sein. Der Wer is gleich ( 1/ 1, 0408) ( 0, , ) = 10, 66.. Für A 1 = 0 und B 1 = 100 is ( 1/ 1, 0408) ( 0, , ) = 4, 58 der Wer.. Für A = 50 und B 50 : ( 1/ 1, 0408) ( 0, 6401 ( 50) + 0, ) = 1, = 4. Für A = 100 und B 0 : ( 1/ 1, 0408) ( 0, 6401 ( 100) + 0, 599 0) = 61, = 5. Für die durch A = 00 und B = 100 beschriebene Zahlung is der Wer 1 1 ( 1/ 1, 0408) ( 0, 6401 ( 00) + 0, 599 ( 100)) = 157, 58. Die Diskonierung durch Replikaion kann auch Zahlungen beweren, die einen sehr geringen oder einen negaiven Erwarungswer aufweisen. Es is möglich, dass eine Zahlung, die einen (geringen) posiiven Erwarungswer besiz, einen negaiven Wer ha. Würde hier an der Risikoprämienmehode fesgehalen werden, müße die Diskonrae r negaiv gewähl werden. 1. Das ensprich nich der Inuiion.. Wenn die Korrelaion mi dem Markporfolio posiiv is, führ das CAPM auf ein posiives Bea. Negaive Diskonraen (bei posiiver Korrelaion mi dem Markporfolio) lassen sich daher nich mi dem CAPM erzeugen. Die Diskonierung durch Replikaion is ses anwendbar, sofern der Finanzmark hinreichend viele Insrumene umfaß die bereis einen Preis haben so dass die zu bewerende Zahlung in allen ihren relevanen Eigenschafen durch ein Porfolio aus diesen Insrumenen nachgebilde werden kann. Is das geschehen, und der Mark arbiragefrei, so muss die zu bewerende Zahlung denselben Wer aufweisen wie das für die Replikaion gebildee Porfolio q 5,99 0,5 6,5,4 0,68 18,9 16,9 14,6 1,07 11,66 1-q 64,01 69,48 7,47 76,66 79, 81,61 8,61 85,7 86,9 88,4 1/g 96,08 9,1 88,69 85,1 81,87 78,66 75,58 7,61 69,77 67,0 Figure : Pseudowahrscheinlichkeien für die Jahre 1 bis 10. Beispiel : Gegeben sind = und wieder die Finanzmarkdaen i = 4%, µ = 7, 61%, σ = 19, 01%. Daraus folgen mi (7) und (8) u = 1, 55, d = 0, 8899, g = 1, 08 und weier die auch in der Tabelle (Figure ) gezeigen Pseudowahrscheinlichkeien q = 0,5% (Up) und 1 q = 69,48% (Down). Nun können wieder beliebige Zahlungen diskonier werden, solange sie nur die Annahme 5 erfüllen (Lineare Abhängigkei von der Wirschafsenwicklung, resliche Zufälligkeien sind unsysemaisch) und durch ihre beiden Schranken A und B gegeben sind. 1. Für A = 0 und B = 100 is der Wer 0, 91 ( 0, , ) = 8,

17 . Für A = 50, B 50 is der Wer 0, 91 ( 0, 6948 ( 50) + 0, 05 50) = 17, 98. =. Für A = 100, B 0 is der Wer 0, 91 ( 0, 6948 ( 100) + 0, 05 0) = 64, 14. = Um die Lineariä der Werfunkion zu illusrieren, weisen wir darauf hin, dass die Summe der ersen und der drien Zahlung gerade das Doppele der zweien Zahlung ergib. Ensprechend is 8, 17 64, 14 = 5, 97 das Doppele von 17, 98. Eine Tabelle zeig für den (seigen) Zins i = 4% und die geschäzen Parameer der seige Markrendie µ = 7, 61% und σ = 19, 01% die beiden Pseudowahrscheinlichkeien q (für ein Up) und 1 q (für ein Down) in Prozen. Außerdem is der Diskonfakor 1/ g = exp( i ) als Prozenzahl angegeben. 4 Fallbeispiel 4.1 Daen Eine Unernehmung plan die Freien Cashflows im Deail für die kommenden drei Jahre. Der Planer nenn hierfür 100 ± 0, 140 ± 50, 00 ± 70. Der auf das Jahr 4 bezogene Forführungswer wird ebenso prognosizier, und zwar zu 000 ± 800. Um die Spannbreie der möglichen Realisaionen zu beschreiben, ha der Planer eine Bandbreie angegeben, so dass nur noch jeweils 1/ der sehr opimisischen Szenarien darüber und 1/ der ganz pessimisischen Szenarien daruner liegen: = 1 = = = 4 Besseres Szenario Schlecheres Szenario Figure 4: Die Geschäfsplanung weis Cashflows für die Jahre 1 bis sowie den auf das Jahr 4 bezogenen Forführungswer durch jeweils zwei Szenarios aus. Es soll mi den bisherigen Finanzmarkdaen ( i = 4%, µ = 7, 61%, σ = 19, 01% ) gerechne werden. Aufgrund dieser Angaben folg für den Wer der Unernehmung: 18

18 Diskonierung durch Replikaion (14) ( ) ( ) ( ) ( ) W = 0, , , , 91 0, , , , , , 851 0, , = 88, , , , 85 = 1688, 6 Ein Anhänger radiioneller Diskonierung kann einwerfen, ob man dieses Ergebnis nich auch mi der Risikoprämienmehode häe finden können, in dem die mileren Szenarien von 100, 140, 00 für die Freien Cashflows und von 000 für den Forführungswer mi geeigneen Vergleichsrendien diskonier werden. Zur Anwor: Der Wer des ersen Freien Cashflows is mi Replikaion zu 88, 00 berechne und dieser Berag läß sich in der Form 100 /(1 + r1 ) der Risikoprämienmehode gewinnen, sofern 1+ r 1 = 100/88,00 = 1, 164 gewähl wird. Das heiß, die Diskonrae für das erse Jahr müße r 1 =1,64% beragen. Achung: Wir erwähn is das milere Szenario ( A + B ) / nich exak der Erwarungswer, der bei der Risikoprämienmehode im Zähler seh. Wir fragen also, mi welcher Rendie des milere Szenario ( A + B ) / zu diskonieren wäre. Diese Bemerkung gil auch für die nachsehenden, illusraiven Rechnungen. Der Wer des zweien Freien Cashflows is 111, 5. Er läß sich in der Form ) = 140/(1 + r gewinnen, sofern (1 + r ) = 140/111,5 1, 584 gewähl wird, das heiß, die Diskonrae mi der das milere Szenario zu diskonieren wäre müße für das zweie Jahr r = 1, 18% beragen. Der Wer des drien Freien Cashflows is 148, 5 und dieser Berag läß sich in der Form 00/(1 + r) gewinnen, sofern (1 + r ) = 00/148,5 = 1, 491 gewähl wird. Die Diskonrae für das Jahr müße r =10,50% beragen. Der Wer des Forführungswers is 140, 85 und dieser Berag läß sich in der 4 4 Form 000/(1 + r4 ) darsellen, sofern (1 + r 4 ) = 000/140,85 = 1, 4916 gewähl wird, das heiß, die Diskonrae für das viere Jahr müße r 4 = 10, 51% beragen. Zusammengefaß: W = = 4 1,164 1,118 1,1050 1,1051 = 88, , , + 140,98= 1688,46 Doch wie häe man die richigen Kapialkosen für die Diskonierung nach der Risikoprämienmehode finden sollen? Noch ein Punk: Man kann auch einen gleichförmigen Kapialkosensaz r finden, der 19

19 = 1688, r (1 + r) (1 + r) (1 + r) bewirk. Mi dem Excel-Solver ergib sich (15) r = 10, 6%. Doch wieder gil: wie wäre man auf diese Kapialkosen gekommen? 4. Forführung Der Planer ha bei der Aufsellung der Cashflows (Figure 4) vergessen, die Invesiionen abzuziehen, wie das die DCF-Mehode verlang. Die Ausgaben für Invesiionen sehen genau fes, es sind sichere Größen. Sie beragen in den ersen drei Jahren je 100 und der auf das viere Jahr bezogene Barwer aller weieren Invesiionen is Die korrigieren Zahlungen sind: 100 ± = 0 ± 0, 140 ± = 40 ± 50, 00 ± = 100 ± 70, 000 ± = 1000 ± 800. Jemand häl fes: Die Freien Cashflows werden im Sinne eines mileren Szenarios mi 0, 40, 100 für die ersen drei Jahre geplan und für das viere Jahr fließen 1000 als Forführungswer in die Bewerung ein. Wenn diese mileren Szenarien mi dem Kapialkosensaz (15) gemäß der Risikoprämienmehode diskonier werden, dann folg: (16) = 774, 9 4 1,106 1,106 1,106 1,106 als Wer. Wir fragen, ob diese Rechnung simm. Die Bewerung mi Diskonierung durch Replikaion geh nach Berücksichigung der Invesiionen von dem Plan aus: = 1 = = = 4 Besseres Szenario Schlecheres Szenario Figure 5: Der Plan mi Berücksichigung der Invesiionen. Der korreke, durch Replikaion besimme Wer der Unernehmung is: (17) ( ) ( ) ( ) ( ) W = 0, , , 6401 ( 0) + 0, 91 0, , 6948 ( 10) + + 0, , , , 851 0, , = = 8, , , , 71 = 559, 1 Zur Aufgabe, diesen korreken Wer von 559, 1 mi der Risikoprämienmehode (angewende auf das milere Szenario) darzusellen: Der Wer des ersen Freien 0

20 Diskonierung durch Replikaion Cashflows is mi Replikaion zu 808, berechne: Eine Posiion, die einen negaiven Wer ha. Wer bei guer Wirschafsenwicklung 0 erhäl aber bei schlecher Wirschafsenwicklung den selben Berag nachlegen muss, der wird diese Posiion nur dann verpflichend übernehmen, wenn man ihm 808, für das Underwriing gib. Jedenfalls läß sich dieser Wer 808, nich in der Form 0/( 1+ r 1) gewinnen, weil ses 0/( 1+ r 1) = 0 gil. Daraufhin berachen wir die anderen Zeipunke nich weier. Immerhin is möglich, einen gleichförmigen Kapialkosensaz r zu finden, der (18) = 559, r (1 + r) (1 + r) (1 + r) bewirk. Mi dem Excel-Solver ergib sich (19) r = 0, 49%. Doch wie wäre man auf diesen Kapialkosensaz gekommen und wie häe man versanden, dass er fas doppel so hoch wie in (15) is? In einer zweien Forführung des Fallbeispiels is der Planer erschrocken, weil er sich bei der Budgeierung der Invesiionen gemäß Abschni. und Figure 5 veran hae. Die Ausgaben für die Invesiionen beragen in den ersen drei Jahren nich je 100 sondern je 00 und der auf das viere Jahr bezogene Barwer aller weieren Invesiionen is nich 1000 sondern 000. Die Freien Cashflows sind gemäß der neuerlichen Korrekur 100 ± 0 00 = 100 ± 0, 140 ± = 60 ± 50, 00 ± = 0 ± 70, 000 ± = 0 ± 800. Ein Anhänger radiioneller Diskonierung mach sich an die Korrekur und häl fes: Die Freien Cashflows werden mi mileren Szenarien von 100, 60, 0 für die ersen drei Jahre geplan und für Jahr 4 fließen 0 als Forführungswer ein. Bei den Kapialkosen is unklar, ob sie nach (15) oder nach (19) zu besimmen sind und es soll mi beiden Säzen gerechne werden. Deshalb solle der Wer im Bereich (0) = 19,4 4 1,106 1,106 1,106 1, = 14, 4 1,049 1,049 1,049 1,049 liegen. Das is ein enger Bereich, weshalb der Wer wohl ziemlich genau besimm is. Um sicher zu gehen, soll mi Replikaion diskonier werden. Die beiden Szenarien der Freien Cashflows sind: = 1 = = = 4 Besseres Szenario Schlecheres Szenario

21 Es wird mi Tabelle (Figure ) bewere: (1) W = ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , 599 ( 70) + 0, 6401 ( 10) + 0, 91 0, 05 ( 10) + 0, 6948 ( 110) + + 0, , , 747 ( 70) + 0, 851 0, , 7666 ( 800 = = 104, 15 7, 7 9, 14 6, 4 = 570, 10 Der große Unerschied zwischen dem durch Replikaion gefundenen Wer (1) und den Rechnungen nach der Risikoprämienmehode (0) überrasch. Wir überlegen, ob der korreke Wer (1) auch mi der simple discouning rule häe gefunden werden können. Der Ansaz laue () = 570, r (1 + r) (1 + r) (1 + r) Für ( 1+ r ) > 1 is diese Gleichung nich erfüllbar; die Diskonrae müße negaiv sein. Sie müße r = 57,6% beragen, dami eine Diskonierung mi ihr den korreken Wer liefer. 4. Ergebnisse 1. Die vorgeführe Diskonierung (Werfindung einer in Zukunf fälligen Zahlung) durch Replikaion sez zwar voraus, dass die zu fällige und zu bewerende unsichere Zahlung durch eine Unergrenze A und eine Obergrenze B beschrieben wird. Indessen sind keine Angaben über ein Bea verlang. Im Unerschied dazu verlang die Risikoprämienmehode die Kennnis der Diskonrae.. Bei der Diskonierung durch Replikaion wirken sich die uneren Realisaionen der zu bewerenden Zahlung besonders sark und abräglich auf den Wer aus: Die Tabelle (Figure ) zeig, dass die Pseudowahrscheinlichkeien für das Down ses größer als die für das Up sind (obwohl beide Enwicklungen dieselbe objekive Wahrscheinlichkei haben). Das sarke Gewich der Unergrenze A der Zahlung is besonders hoch, wenn der Fälligkeiszeipunk spä is. Das bedeue: Für großes is der Wer prakisch allein durch A besimm, die Höhe der Zahlung, die sie bei einer schlechen Wirschafsenwicklung ha.. Besonders wenn die Unergrenze A der Cashflows gering is, wird der Wer durch die Risikoprämienmehode bei Verwendung üblicher Diskonsäze als zu hoch eingeschäz; der korreke (durch Diskonierung mi Replikaion gefundene) Wer is in solchen Siuaionen geringer. Uner Umsänden is der Wer der Zahlung sogar negaiv. Das is zu beachen, wenn die Unernehmung sich in einer Phase der Resrukurierung befinde und besonders in den ersen Jahren die Freien Cashflows

22 Diskonierung durch Replikaion negaiv sind. Hier kann die Risikoprämienmehode leich zu Ergebnissen führen, die den korreken Wer überschäzen. Eine Firma in der Resrukurierung, bei der sehr geringe oder sogar negaive Freie Cashflows einreen oder einreen können, ha einen geringeren Wer als mi der Risikoprämienmehode bei ypischen Kapialkosensäzen ermiel wird. 4. Wird dennoch an der Risikoprämienmehode fesgehalen, so zeig sich, dass gelegenlich nur negaive Diskonraen den korreken Wer erzeugen. Negaive Diskonraen widersprechen der Inuiion. Auch gib es einen Widerspruch zum CAPM insofern, als aufgrund der posiiven Korrelaion der Zahlung mi dem Markindex das Bea posiiv sein solle. Posiive Beas führen auf Diskonsäze, die den Zinssaz überseigen. Zudem gil auch hier, dass man ihre Höhe nur nachräglich ermieln kann, wenn zuvor der Wer (mi Replikaion) besimm wurde. Lieraur: WOLFGANG BALLWIESER (1990): Unernehmensbewerung und Komplexiäsredukion.. Auflage, Gabler, Wiesbaden. FISHER BLACK (1988): A Simple Discouning Rule. Financial Managemen, pp MICHAEL BRENNAN (197): An Approach o he Valuaion of Uncerain Income Sreams. Journal of Finance 8, pp MICHAEL BRENNAN: The Pricing of Coningen Claims in Discree Time Models. Journal of Finance 4 (1979), pp GEORGE CONSTANTINIDES (1988): Theory of Valuaion Overview and Recen Developmens, in BHATTACHARYA und CONSTANTINIDES (Ed.), Theory of Valuaion Froniers of Modern Financial Theory, Volume 1, pp. 1-. HAROLD DEMSETZ: The srucure of ownership and he heory of he firm. Journal of Law and Economics 6 (198), pp EUGENE F. FAMA (1977): Risk-Adjused Discoun Raes And Capial Budgeing Under Uncerainy. Journal of Financial Economics 5, pp. -4. EUGENE F. FAMA und MICHAEL JENSEN: Separaion of ownership and conrol. Journal of Law and Economics 6 (198), pp, J. MICHAEL HARRISON und DAVID M. KREPS (1979): Maringales and arbirage in muliperiod securiies markes. Journal of Economic Theory 0, pp JOHN R. HICKS: Value and Capial. Oxford 199. G. HUBERMANN: A Simple Approach o Arbirage Pricing Theory. Journal of Economic Theory 8 (198), pp LUTZ KRUSCHWITZ und A. LÖFFLER: Unendliche Probleme bei der Unernehemnsbewerung. Die Beriebswirschaf 51, pp LUTZ KRUSCHWITZ (00): Finanzierung und Invesiion,. Auflage, Oldenbourg, München. WOLFGANG KÜRSTEN (00): Unernehmensbewerung uner Unsicherhei oder: Theoriedefizi einer künslichen Diskussion über Sicherheisäquivalen- und Risikozuschlagsmehode Anmerkungen (nich nur) zu dem Beirag von Bernhard Schwezler in der zfbf. Zeischrif für beriebswirschafliche Forschung 54, pp MICHAEL JENSEN und WILLIAM H. MECKLING: Theory of he firm: Managerial behavior, agency coss and ownership srucure. Journal of Financial Economics (1976), pp JÖRG LAITENBERGER: Rendie und Kapialkosen. Working Paper Lehrsuhl Banken und Finanzierung der Universiä Hannover, ROBERT C. MERTON (197): Theory of Raional Opion Pricing, wieder abgedruck in MERTON, Coninuous Finance, Kapiel 8.