1.4.2 Die Schwerkraft

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1 Voleung Epeienalphik I a..999 und J. Ihinge.4. Die Schwekaf Die Schwekaf auf de Ede ehäl an au de allgeeinen Foulieung de Gaviaiongeeze, wenn an eine de beiden Maen duch die Edae eez. F Foel We Einhei Anekung E Die Schwekaf i die Anziehungkaf = G N zwichen de Ede und eine Köpe an E ihe Obefläche N G 6,6759(85) Gaviaionkonane kg 4 E,98 6 E,36 5 kg Schwee Mae de Ede kg Schwee Mae de Köpe an de Edobefläche 6 Edadiu abelle Schwekaf an de Edobefläche al Spezialfall de Gaviaiongeeze.4.. Äquivalenz von chwee und äge Mae Die auf einen Köpe wikende Gaviaionkaf i eine Funkion eine Maßzahl de Köpe, die an al chwee Mae bezeichne. Wid ein Köpe duch eine Kaf bechleunig, dann i, nach de. Newonchen Geez, die Bechleunigung eine Funkion eine andeen Maßzahl de Köpe, die an al äge Mae bezeichne. Die Beziehung beide Maßzahlen zueinande ekenn an, wenn an die Gaviaionkaf zu Bechleunigung heanzieh. Genau da gechieh i Fallveuch. Veuch Fall in eine lufgefüllen und in eine evakuieen Roh. Duck i Roh Fallgechwindigkei Ekläung v < v 5 Pa Fede Kugel Pa v Fede = vkugel < De Lufwideand be - unabhängig von de Maedie Fede äke al die Kugel Offenichlich gil = con De Fallveuch i evakuieen Roh zeig, daß Köpe von beliebige äge ode chwee Mae gleich chnell fallen, wenn allein die Gaviaionkaf auf ie wik. Offenba weden i Gaviaionfeld alle Maen gleich bechleunig. Weil bei Fall die Gaviaionkaf geade gleich de ägheikaf i, egib ich daau die folgende Beziehung zwichen chwee und äge Mae:

2 Foel Ekläung F = ägheikaf, u die Mae i a zu a bechleunigen Schwekaf, die al Folge de Gaviaion auf E F = G die Mae wik Bei feien Fall ind beide Käfe gleich, bei Gleichezung de Käfe folg: Die Bechleunigung i Edfeld häng von E a = G ab Da Fall-Epeien zeig, daß die Bechleunigung i Edfeld fü alle Köpe, unabhängig von ihe ägen Mae, dieelbe i: a con = E = = con = G Bedingung fü gleiche Bechleunigung a fü Köpe i beliebige äge und chwee Mae. Folglich: Schwee und äge Mae ind popoional zueinande Man wähl fü die Konane und bezeichne owohl die äge al auch die chwee Mae einfach al Mae i de Sbol. abelle Äquivalenz de ägen und chween Mae und Edbechleunigung: Alle Köpe fallen gleich chnell äge und chwee Mae ind unechiedlich Begiffe, beide ind abe popoional zueinande. In Pai unecheide an nich zwichen ihnen und bezeichne beide einfach al Mae, wa de Wahl = enpich. E ei daan einne, daß an auch chon i Veuch i de Lufkienfahbahn die Popoionaliä von chwee Mae µ de kleinen Köpe, de zu Bechleunigung diene (deen äge Mae venachläig wude) und äge bechleunige Mae M ekanne. De Fallveuch zeig die Popoionaliä von chwee und äge Mae beonde kla, weil ich chwee und äge Mae auf den gleichen Köpe beziehen und nich venachläig wid..4.. Edbechleunigung, Beiung de Mae de Ede Die genaue Meung de Edbechleunigung zeig fü Oe unechiedliche geogaphiche Beie unechiedliche Wee, wa i de Annahe eine geingen Abweichung de Edgeal (Geoid) von de Kugelgeal übeeini.

3 3 g O We Pol 9,83 5 9,8 Äquao 9,78 Edbechleunigung Dienion Anekung Folge de unechiedlichen Abande zu Edielpunk abelle 3 Edbechleunigung bei unechiedlichen geogaphichen Beien Au de Cavendih Veuch i die Gaviaionkonane unabhängig von de Edae bekann. De Edadiu kann au Meungen an de Edobefläche übe den Ufang bei weden. Die genaue Meung de Edbechleunigung elaub dann die Beiung de in abelle angegeben Edae: Foel F = g Schwekaf Eläueung E F = G Gaviaionkaf Folg au de Gleichezung von Schwe- und de Gaviaionkaf (.u.): Beiung de Edae bei bekanne Ga- g E = E G viaionkonanen und bekanne Edadiu abelle 4 Beiung de Edae au de Edbechleunigung an de Edobefläche Veuch Meung de Edbechleunigung. Au de Weg- Zeigeez bei feien Fall wid g eiel. g = Bechleunigung al Funkion von Weg- und Zei 4 g = = g 3 Fehlefopflanzung von de Zeieung bzw. Zei- und Wegeung auf die Gaviaionkonane i Hilfe de g = g + g Ableiung de Gaviaiongeeze (vgl. hp:// - Dela_v) Veuch # [] [] g Mielwe Siga abelle 5 Beiung de Edbechleunigung au de Fallzei bei Fallhöhe

4 Edbechleunigung al Funkion de Höhe übe de Ede Fü goße Enfenungen von de Ede uß die Abnahe de Gaviaionkaf bzw. de Edbechleunigung i de Gaviaiongeez beechne weden: Au de Gleichhei von Schwe- und Gaviaionkaf folg die Edbechleunigung al Funkion de Aband g 8 g( ) = G E [ k] abelle 6 Edbechleunigung al Funkion de Abande von de Ede Bei kleinen Höhen übe de Ede kann die Vaiaion de Edbechleunigung i Hilfe de Ableiung de Gaviaiongeeze (vgl. Maheaiche Begiffe und Hilfiel) abgechäz weden: dg E ( ) = G Ableiung de Edbechleunigung nach de Aband 3 d df = d ( ) Mi Hilfe de Ableiung kann die Ändeung de Funkionwe an de Selle bei Ändeung de Aguen abgechäz weden (vgl. hp:// - Lineaiieung) dg g = ( E ) Anwendung auf die Edbechleunigung d g, -,5 Geade i Seigung E G 3 E g = G E 3 E -, -,5 -, [ k] g g = E Die Relaive Ändeung de Schwekaf i doppel o goß und von engegengeeze Vozeichen wie die de Abande de Maen

5 5 abelle 7 Vaiaion de Edbechleunigung bei kleine Vaiaion de Edadiu.4..4 Die Fallgeeze Die Fallgeeze beinhalen da Weg-Zei Geez fü bechleunige geadlinige Bewegung une de Einfluß de Edbechleunigung Lezee i ie zu Edielpunk geiche. Eine eindienionale Foulieung genüg ie dann, wenn die Bahn de Bewegung geadlinig in Richung ode Gegenichung de Schwekaf veläuf. Bei eine Wuf nach oben ände zwa die Gechwindigkei ih Vozeichen, die Bahn bleib abe geadlinig. Die Foulieung in zwei ode dei Dienionen i nöig, wenn de Köpe zu Beginn de Bewegung eine Gechwindigkei in beliebige Richung zeig. E übelagen ich dann zwei Bewegungen: Die bei Sa duch den Veko de Gechwindigkei gegebene i de duch die Edbechleunigung veuache. Leg an da Koodinaene in die Ebene de Bahn, dann genüg eine -dienionale Daellung (vgl. die Keibewegung,...). Funkionale Abhängigkei f () ḟ () f ( ) Begiff Weg Gechwindigkei Bechleunigung Geadlinige Bahn in Richung de g ( ) = + v + v ( ) = g + v a = g Schwekaf Beliebige Wuf ( ) v g + = + v + v( ) v g + v = a = g abelle 8 Weg Zei Geez fü den Wuf in und Dienionen. Anfangwee zu Zei =: v bzw. v, v Koponenen de Gechwindigkei, bzw., Koponenen de Oe. I -dienionalen Koodinaene zeige die -Ache nach oben. I die Wufpaabel al Funkion = f () ewünch, dann wid i Auduck fü die Bahnkuve de Paaee Zei eliinie. Analog foulie an die Gechwindigkei: Funkionale Abhängigkei Funkionen i de Zei al Paaee Subiuion de Zei Weg v = g + v = v Gechwindigkei v = g + v Funkionen de - Koponene de Bahn g = ( v ) v + v g = + v v

6 6 Bahn- und Gechwindigkei al Funkion von fü v = v = 5,4,,,8,6,4,, [ ] ẏ Scheielpunk de Paabel -, [ ] [ ] abelle 9 Die Wufpaabel : Höhe und Gechwindigkei in Richung al Funkion de - Koodinae de Wege Veuch 3 Geadlinige Bewegungen in zueinande enkechen Richungen übelagen ich ungeö. Au eine i konane Gechwindigkei fahenden Zug wid eine Kugel enkech nach oben gechoen, diee fäll auf ihen Sapunk i Zug zuück, obwohl diee an eine andeen Selle angekoen i. [ ],4 v = 5,,,8,6,4,, -, [ ] v = Veuch 4 Ein weiee Veuch zeig, daß ich geadlinige Bewegungen ungeö übelagen: Zeigleich läß an eine Kugel enkech nach unen fallen und bechleunig eine zweie waagech duch eine Fede auf 5. Beide effen gleichzeiig a Boden auf, obwohl die zweie einen weieen Weg zuückgeleg ha. Die Fallzei au Höhe beechne ich nach = g

7 7 Senkech fallende Kugel [ ],6,4,, Kugel i Anfanggechwindigkei v = 5 Y Ai ile,8,6,4,,,,5,,5,,5 [ ] Veuch 5 An eine Waeahl wid die Paabelfo fü unechiedliche Richungen de Wuf, d.h. de Anfanggechwindigkei, gezeig..4.3 Die Keplechen Geeze Johanne Keple fand zu Becheibung de Planeenbewegung dei Geeze, wobei eal keine Keifo de Bahnen voaugeez wude: Ee Kepleche Geez: Jede Plane beweg ich in eine Ebene u die Sonne. Seine Bahn i eine Ellipe, in deen eine Bennpunk die Sonne eh. Peihel Aphel Abbildung Ellipenbahn de Planeen i de Sonne in eine Bennpunk. Sonnennäche und fene Punke weden al Peihel und Aphel bezeichne.

8 8 Zweie Kepleche Geez: De Fahahl übeeich in gleichen Zeien gleiche Flächen. Oveko Veko de Gechwindigkei v Abbildung Planeenbahn i den in eine Zeieinhei vo Fahahl übeichenen gleichen Flächen (chaffie) fü zwei Poiionen. Anekung: Mi de Definiion de Vekopoduke i die vo Fahahl, de Oveko, in eine Zeieinhei übeichene Fläche A = v (vgl.. hp:// - Vekopoduk) Wid da in diee Fläche enhalene Vekopoduk i de Mae de Köpe uliplizie, o ehäl an den Dehipul de Köpe. De Dehipul v i, wie de Ipul und die Enegie eine Se, eine Ehalunggöße. Die Flächenkonanz i zweien Kepleche Geez zeig alo die allgeein gülige Dehipulehalung fü den Spezialfall de Bewegung auf Ellipenbahnen. Genauee zu Dehipul, Ipul, Enegie und den Ehalungäzen folg i weieen Velauf diee Voleung. Die Kepleche Geez: Die Quadae de Ulaufzeien und zweie Planeen vehalen ich wie die Kuben de goßen Halbachen und de Bahnellipen. = 3 3 Auch diee Geez folg au de allgeein güligen Enegie- und Ipulehalung. Speziell fü die Keibahn folg diee Geeze auch ohne die Enegiebeachung, ez an die Bechleunigung bei de Keibewegung gleich de Bechleunigung duch die Gaviaion und beache, daß die Ulaufzei in de Keifequenz ϖ enhalen i:

9 9 Foel Eläueung M Bechleunigung duch die Gaviaion a = G de Sonne Bechleunigung zu Zenu de a = ϖ Keibahn (Zenifugalbechleunigung) M G = ϖ Beide Bechleunigungen ind gleich 3 ϖ Egib ich fü zwei unechiedliche = 3 ϖ Bahnen nach Diviion de Gleichungen 3 3 = Mi ϖ = π ehäl an chließlich da 3. Kepleche Geez abelle Die Kepleche Geez in Anwendung auf die Keibahn. Veuch 6 Modell zu Gaviaionpoenial. Eine Kugel beweg ich i Poenial de Modell auf Ellipenbahnen. Au de Gleichhei von Zenifugal- und Gaviaionbechleunigung folg eine Beziehung zwichen de Mae M Z de Köpe i Zenu und de Ulaufzei eine ulaufenden Köpe. Man ekenn, daß die Ulaufzei nu vo Aband und de Mae de Zenalgein, abe nich von de Mae de ulaufenden Köpe abhäng. Foel M z G = ϖ Eläueung Gaviaionbechleunigung = Zenifugalbechleunigung M z 4π G = folg i ϖ = π 3 = π G M z Peiode de Ulauf eine Köpe al Funkion de Mae de Zenalgein und de Aband M Z 3 4 = π Die Mae de Zenalköpe kann au Aband und Ulaufzei igendeine G eine Saellien bei weden abelle Fü Keibahnen gil: Zuaenhang zwichen de Peiode, de Aband vo Zenalköpe zu ulaufenden Köpe und de Mae M. Fü die Sonne folg i de Peiode de Ede =365*4*36 und de Aband =,496 die Mae de Sonne 3 zu M = kg Z Z

10 Die folgende Abbildung zeig die Ulaufzei z.b. eine Saellien u die Ede al Funkion eine Höhe übe de Edobefläche. Unielba an de Obefläche beäg die Ulaufzei 84 Minuen. Geoaionä nenn an Bahnen i 4 h Ulaufzei, diee efoden eine Höhe von 358 k. [ h] 3 5 Geoaionäe Bahn i 4 h Ulaufzei in 358 k Höhe Min. 3 4 Abbildung 3 Ulaufzei u die Ede fü einen Köpe, z.b. einen Saellien, auf eine Keibahn al Funkion eine Höhe übe de Edobefläche in Kiloeen.5 Haoniche Schwingungen, Fedekaf, Reibung.5. Definiion de haonichen Schwingung Die haoniche Schwingung bezeichne die Bewegungfo eine kaeichen Koponene eine Punke, de ich auf eine Keibahn i konane Winkelgechwindigkei beweg. Die Zei Vehalen de Koponenen in eine kaeichen Koodinaene wude chon bei de Keibewegung (...) eingefüh. Neu i hie lediglich, daß noch die Phae ϕ beückichig wid, die den Sawinkel zu Zei = vogib. Foel Eläueung ) = a in( ϖ + ) Haoniche Schwingung ( ϕ [ k] Zei a ϖ = π ϕ Apliude de Schwingung Winkelgechwindigkei ϖ und Peiode Phae abelle Die haoniche Schwingung und ihe Vaiablen

11 Die Vewandchaf de haonichen Schwingung i de Bewegung eine Punke auf de Keibahn i in de folgenden abelle zuaengefaß. Die Apliude a de oben definieen Schwingung enpich de Radiu de Keibahn. (vgl. hp:// - Keibahn) Weg Gechwindigkei Bechleunigung Keibahn, ϖ =con coϖ = in ϖ in ϖ v = ϖ coϖ coϖ a = ϖ in ϖ Al haoniche Schwingung bezeichne an da Zei - Vehalen eine diee Koponenen, z. B. da de Koponene Weg Gechwindigkei Bechleunigung = in( ϖ) = ϖ co( ϖ) = ϖ in( ) ϖ Koponene ϖ,,5 ( ) in ϖ, -,5 -, ϖ abelle 3 Bewegung eine Punke auf de Keibahn und Zei - Vehalen de kaeichen -Koponene, de haonichen Schwingung. Veuch 7 Pojekion de -Koponene eine Punke bei de Keibewegung und Bewegung de Pojekion enlang de Zei Ache i Hilfe eine Dehpiegel Veuch 8 Pojekion de Schwingung eine Sigabel, die duch eine Geige angeeg wid. Man ekenn die Gund- und Obechwingung Zu zeiabhängigen Aguen ϖ de Winkelfunkion kann noch ein konane Phaenwinkel ϕ addie weden: Da Schaubild de in-funkion vechieb ich bei poiive Phaenwinkel auf de Abzie nach link, bei negaive Phaenwinkel nach ech.

12 .5. Die Bewegunggleichung de haonichen Schwingung Beondee Bedeuung ha die haoniche Schwingung al Löung de Bewegunggleichung, die an ehäl, wenn eine phikaliche Göße popoional zu negaiven We ihe zweien zeilichen Ableiung i. Da i in de Mechanik ie dann de Fall, wenn auf einen Köpe eine zu Weg () popoionale Kaf bechleunigend wik. Die ägheikaf i e popoional zu ẋ () und engegen de bechleunigenden Kaf geiche. (vgl. hp:// - DGL_) Foel Eläueung = k Bewegunggleichung de haonichen Ozillao ( ) = a in ϖ Löung de Gleichung: Die haoniche Schwingung Mi diee Löunganaz egib ich: ( ) = a ϖ in ϖ Zweie Ableiung de Funkion ϖ = k () und ẋ () in die Bewegunggleichung eingeez E folgen die Koeffizienen de Löung: k ϖ = π = Winkelgechwindigkei de Schwingung, i deen Peiode a Apliude, jede We efüll die Bewegunggleichung abelle 4 Die Bewegunggleichung de haonichen Ozillao und ihe Löung, die haoniche Schwingung, ihe Winkelgechwindigkei und ihe Apliude Die Winkelgechwindigkei i nu duch die Gößen de Bewegunggleichung bei, ie i unabhängig von de Apliude. Die Apliude i fei wählba, ie i konan und behäl dehalb ihen We de aialen Aulenkung bei Beginn de Schwingung ( Anfangwe ) bei.

13 3.5.. Da Fedependel Ein echaniche Se, da die Anfodeungen de Bewegunggleichung de haonichen Ozillao efüll, i ein fei bewegliche Maenpunk an eine Fede. Die Koeffizienen de Bewegunggleichung ind wie folg den echanichen Gößen zugeodne: Ruhelage, = Veko de Aulenkung () Veko de Bechleunigung ẋ () F F = k () = ( ) F Vekoen de Käfe Abbildung 4 Schea de Fedependel. Gün: Kaf duch die Fede, o: ägheikaf Foel F F F Eläueung = ägheikaf = k Die Fedekaf efülle da Hookeche Geez, ie i de ägheikaf engegengeiche. k i die Fedekonane. F F = Die Sue au ägheikaf und Fedekaf i null: Gleichgewich + F = k Bewegunggleichung ( ) = a in ϖ Löung de Bewegunggleichung: Die haoniche Schwingung Koeffizienen de Löung: k ϖ = π = Winkelgechwindigkei = π k Peiode de Schwingung: Lange Schwingungdaue fü chwee Köpe und weiche Feden abelle 5 Haoniche Schwingung bei Fedependel Veuch 9 Übepüfung de Hookechen Geeze an de Fede, die i nächen Veuch zu Anieb de Pendel dien.

14 4 Veuch Schwingung eine Fedependel. Ein nahezu eibungfei gelagee Wagen eez die i Schea oben gezeichnee Kugel. E wid die Wikung unechiedliche Maen auf die Peiode übepüf Veuch # [ kg] [ ] 8 k = 4π N abelle 6 7 Schwingungdaue bei unechiedlichen Maen Veuch Ein Fedependel wid i unechiedlichen Fedekonanen beieben. Weden vie Feden hineeinande gehäng, dann beäg die Fedekonane de geaen Anodnung ¼ de Wee fü eine einzige Fede. Veuch # [ kg] N k [ ] = π Aufbau: k ¼ abelle 8 Schwingungdaue bei unechiedlichen Fedekonanen Veuch Zwei paallel aufgehänge, ideniche Pendel weden i unechiedlichen Apliuden angeeg. Man ekenn, daß die Schwingungdaue von de Apliude unabhängig i.

15 5.5.. Da aheaiche Pendel Fü kleine Aulenkungen eine u eine Ache chwingenden Pendel efüll die Koponene de Schwekaf enkech zu Aufhängung die Eigenchafen de Hookechen Geeze. ϕ () Veko de Bechleunigung l ϕ ( ) Veko de Aulenkung l ϕ() F = l ϕ () F = g ϕ() Abbildung 5 Schea de aheaichen Pendel. Gün: Aulenkung und aneibende Koponene de Schwekaf, o: Bechleunigung und ägheikaf. Da Hookeche Geez gil alleding nu, olange die Näheung fü die Schwekafkoponene enkech zu Bahn g in ϕ( ) g ϕ( ) geechfeig echein. Une diee Voauezung ehäl an analog zu Fedependel die Bewegunggleichung de haonichen Ozillao. Da Zeivehalen de Winkel de Pendel zu Veikalen folg de haonichen Schwingung. Zu Wüdigung de Pendel bedenke an, daß übe viele Jahhundee die Peiode eine Schwingung den ak de echanichen Uhen beie. Foel Eläueung F = l ϕ ägheikaf F = g ϕ Die Schwekafkoponene enkech zu Aufhängung efülle da Hookeche Geez, ie i de ägheikaf engegengeiche. l ϕ = g ϕ Die Käfe ind zu jede Zei gleich ϕ( ) = a in ϖ Löung de Bewegunggleichung: Die haoniche Schwingung Koeffizienen de Löung: g ϖ = π = Winkelgechwindigkei l = π l g Peiode de Schwingung: Lange Schwingungdaue fü lange Pendel, ie i, i Gegenaz zu Fedependel, unabhängig von de Mae abelle 9 Bewegunggleichung und Peiode de aheaichen Pendel

16 6 Abbildung 6 Pendeluhen. Quelle: Mee Goße Konveaionleikon, 98. In de Foel fü die Daue eine Halbchwingung, de Zei von eine Nullduchgang bi zu nächen, uß ein Duckfehle koigie weden: e i duch l zu eezen.