Bewertungsformeln für Barrier Options im klassischen Optionspreismodell von BLACK, SCHOLES und MERTON

Transkript

1 Beweungsfomeln fü Baie Opions im klassischen Opionspeismodell von BLACK, SCOLES und MERON ANDREAS PECL Es wid zunächs die eellweige Funkion 3 F : mi x x log log y ρ υ y ρ υ F( x, y, z;, υρ, : x z e ρ = N N υ υ υ υ eingefüh Fene definieen wi den sochasischen Pozeß X = { X θ } θ 0 mi υ Xθ = x exp υ Wθ ρ θ, θ 0, wobei W = { W θ } θ 0 einen WIENER-Pozeß bezeichne, so dass die Gleichung ρ (11 F( x, y, z; υρ,, = e E( X z 1 [ X > y] gil Beweung von gewöhnlichen Kauf- und Vekaufsopionen Im klassischen Opionspeismodell wid de Peispozeß S = { S θ } θ 0 des isikobehafeen Basiswees als eine geomeische BROWNsche Bewegung modellie, i e, Sθ = S0 exp{ Yθ} = S0 exp Wθ θ, θ 0 Fü eine gewöhnliche Kaufopion mi Auszahlungspofil ( S K = ( S K 1 [ S > K] egib sich zum Zeipunk 0 < de Opionspeis ( ( ( S K = e S K E, woaus nach Glg (11 unmielba die bekanne Opionspeisfomel (( S K F( S, K, K;,, = =

2 S S log log K ( K = S N K e N folg Enspechend ehalen wi fü eine gewöhnliche Vekaufsopion mi Auszahlungspofil ( K S = ( K S [ S < K] ( 1 zum Zeipunk 0 < die nachsehende Fomel, ( (( exp{ } K S e E K S e E K S Y = = = = E exp W ( ( K exp{ Y } S De Saz von GIRSANOV gesae dann die Dasellung K S = K exp W S ( E Mi ilfe von Glg (11 folg schließlich die ebenfalls bekanne Opionspeisfomel ( ( (,, ;,, K S = e F K S S = K K log log ( S S = K e N S N Beweung eines Down-and-In-Calls Bei de Beweung von Down-and-In-Calls ( S K [ S ] 1 min 0 zum Zeipunk 0 < müssen solange min S 0 > gil, und de Call deshalb noch nich akivie is fü den Basispeis K und die Einisschwelle die beiden Konsellaionen K und > K uneschieden weden Fü K egib sich die Beweungsfomel aus dem Spiegelungspinzip fü den WIENER- Pozeß (Saz von ERDÖS & KAC und dem Saz von GIRSANOV zu ( ( (1 [ min ] ( [ min ] 1 0 E 1 0 S K S = e S K S = 1 log S K = S N S

3 log ( S K K e N = S = F, K, K;,, S S Fü > K nuzen wi zu Emilung de Beweungsfomel eine hiefü geeignee Dasellung des Auszahlungspofils, ( S K 1[ min0 ] = ( S K 1 [ min 0 ; S > K] = ( S K 1[ min 0 ; K S ] ( S K 1 [ min 0 ; S ] = ( S K ( S K 1[ S > ] ( S K 1 [ min S ; S > ] = < > = 0 ieaus egib sich aufgund de Lineaiä von Peisfunkionalen fü den Fall unmielba die folgende Beweungsfomel, > K ( S K min 0 (,, ;,, (,, ;,, F S K K F S K ( 1 [ ] = F,, K;,, S S Die beiden eilfomeln (1 und ( können nun auch zu eine gemeinsamen Fomel (3, die unabhängig von den speziellen Konsellaionen K und > K is, zusammengefass weden, denn allgemein gil fü das Auszahlungspofil eines Down-and-In-Calls die folgende Dasellung, ( S K 1[ min0 ] ( S K 1 [ min 0 ; S K] = ( S K 1 min 0 ; K < S max { ; K} ( S K 1 min S ; S > max { ; K} = = > = 0 = ( S K ( S K 1 S > max { ; K} ( S K 1 min 0 ; S > max { ; K} Die angekündige Opionspeisfomel (3 egib sich aus de Lineaiä des Peisfunkionals, ( S K min 0 (,, ;,, F S K K (3 1 [ ] = F( S,max{ ; K}, K;,, F,max{ ; K}, K;,, S S Beweung eines Down-and-Ou-Calls

4 Die Beweung von Down-and-Ou-Calls ( S K [ S > ] 1 min 0 efolg wiedeum zum Zeipunk 0 < müssen, solange min S 0 > gil, und de Call deshalb noch nich deakivie is Zu Emilung de Opionspeisfomel (4 beachen wi wiedeum lediglich eine geeignee Dasellung des Auszahlungspofils, ( S K [ min S > ] = ( S K ( S K [ min S ] Aufgund de Lineaiä von Opionspeisen kann Glg (4 sofo aus Glg (3 hegeleie weden, ( 0 { } (4 1 [ ] ( S K min S = F S, max ; K, K;,, F,max{ ; K}, K;,, S S Beweung eines Down-and-In-Pus Die Beweung von Down-and-In-Pus ( K S [ S ] 1 min 0 zum Zeipunk 0 < solange min S 0 > gil, und de Pu deshalb noch nich akivie is efolg nun une Vewendung de Pu-Call-Paiä, S K = S K K S Wi ehalen die folgenden Dasellungen des Auszahlungspofils ( K S 1[ min0 ] ( S K 1[ min0 ] ( S K 1[ min0 ] = ( K S ( S K ( 1[ S > ] 1 S > max { ; K} ( S K 1 min S ; S > max { ; K} 1 [ min S ; S > ] = = ( 0 0 An diese Selle sei bemek, dass sich fü K das Auszahlungspofil eines Down-and-In- Pus offenba auf das Auszahlungspofil eines gewöhnlichen Pus eduzieen läss, i e, ( K S [ S ] = ( K S 1 min 0 Allgemein egib sich die dann die Opionspeisfomel (5 ( K S 1 [ min 0 ] = e F( K, S, S;,, F ( S,, K;,, F( S,max { ; K}, K;,,

5 F,max{ ; K}, K;,, F,, K;,, S S S Beweung eines Down-and-Ou-Pus Die Beweung von Down-and-Ou-Pus ( K S [ S > ] 1 min 0 efolg zum Zeipunk 0 <, solange min S 0 > gil, und de Pu deshalb noch nich deakivie is Die Opionspeisfomel (7 egib sich als diekes Pendan zu Glg (6 ( min 0 (6 ( K S 1 [ S ] > = = F,, K;,, F,max{ ; K}, K;,, S S S F S,max ; K, K;,, F S,, K;,, ( { } ( Offenba gil fü K die Ideniä ( K S [ S ] 1 min > 0 0 Beweung von Baie Opions mi Maximum-Nebenbedingung Bislang haben wi fü sämliche ypen von Baie Opions mi Minimum-Nebenbedingung die zugehöigen Opionspeisfomeln (1 (6 im Modell von BLACK, SCOLES und MERON hegeleie Mi ( mn ; { 0;1} { 0;1} lassen sich gundsäzlich alle Auszahlungspofile von Baie Opions mi Minimum-Nebenbedingung duch m n ( ( S K 1 ( 0 min 0 efassen, wobei das Paa ( mn ; den jeweiligen Opionsyp eindeuig fesleg Explizi gelen folgende Idenifizieungen ( 0;0 Down-and-In-Call ( 0;1 Down-and-Ou-Call ( 1; 0 Down-and-In-Pu ( 1;1 Down-and-Ou-Pu In Analogie hiezu lassen sich mi ( jk ; { 1;} { 1;} sämliche Auszahlungspofile von Baie Opions mi Maximum-Nebenbedingung duch j k ( ( S K 1 ( 0 max 0

6 efassen Es gelen die folgenden Idenifizieungen ( 1;1 Up-and-In-Pu ( 1; Up-and-Ou-Pu ( ;1 Up-and-In-Call ( ; Up-and-Ou-Call Fü eine beliebige Baie Opion mi Maximum-Nebenbedingung gil die allgemeine Opionspeisfomel j k ( ( S K 1 ( 0 max 0 = j k = e E ( ( S K ( max0 0 1 = j k = e E ( ( S exp{ Y } K ( max S exp{ Y } 0 1 Mi max 1 1 = min exp S exp Y S { } { Y } egib sich hiefü die Dasellung S K E exp W ( j 1 1 k 1 1 ( 1 exp{ Y } ( 1 min exp{ Y } 0 K S 1 S Nach Anwendung des Sazes von GIRSANOV ehalen wi mi Y : = W ( (,, j ( 1 exp{ k S } ( 1 min exp{ K e e E Y Y } 0 S K 1 S ( ( Sezen wi nun S 1 : S =, K : =, K 1 = und 1 : =, so egib sich die Dasellung ( { } j 1 k ( S K e e E ( S { Y } K 1 S Y exp min exp 0 De em ( j k ( ( { } { } E 1 e 1 S exp Y K 1 min S exp Y 0

7 läss sich also als Opionspeis eine Baie Opion mi Minimum-Nebenbedingung j; k -Baie-Opion mi Maximum- inepeieen Konke koespondie jeweils eine Nebenbedingung mi eine ( j 1; k 1 -Baie-Opion mi Minimum-Nebenbedingung Mi ilfe von Glg (3 egib sich die nachsehende Peisfomel fü einen Up-and-In-Pu ( (( K S 1 [ max 0 ] S K e F( S, K, K ;,, = (,max ;, ;,, ( { } S K e F S K K (,max S { ; }, ;,, K e F K K S S Duch Rücksubsiuion ehalen wi schließlich die explizie Peisfomel, ( 0 (31 1 [ ] ( K S max S = e F K, S, S ;,, ( S K e FK,max ; S, S;,, K e F K,max ;, ;,, S S S S Mi ilfe von Glg (4 egib sich die nachsehende Peisfomel fü einen Up-and-Ou-Pu ( ( 1 [ 0 ] { } ( K S max S = S K e F S, max ; K, K ;,, (,max S { ; }, ;,, K e F K K S S Duch Rücksubsiuion ehalen wi schließlich die explizie Peisfomel, ( ( 0 S K K S max S = e FK, max ; S, S ;,, (3 1 [ ] K e F K,max ;, ;,, S S S S Mi ilfe von Glg (5 egib sich die nachsehende Peisfomel fü einen Up-and-In-Call (( S K 1 [ max 0 ] S K F( K, S, S ;,, = (,, ;,,,max ;, ;,, ( ( { } S K e F S K F S K K

8 ( S K e F,max{ ; K }, K ;,, F,, K ;,, S S S Duch Rücksubsiuion ehalen wi schließlich die explizie Peisfomel, ( S K max 0 (,, ;,, F S K K (33 1 [ ] = ( e, S K F K, S;,, F K,max S K ; S, S;,, K e F K,max ;, ;,, S S S S K e FK,, ;,, S S S Mi ilfe von Glg (6 egib sich die nachsehende Peisfomel fü einen Up-and-Ou-Call (( S K 1 [ max 0 ] = ( S K e,, ;,,,max F K F { ; K }, K ;,, S S S = (,max ;, ;,,,, ;,, ( { } S K e F S K K F S K Duch Rücksubsiuion ehalen wi schließlich die explizie Peisfomel, ( max 0 (34 ( S K 1 [ S ] = K K = e FK,, ;,, F K,max ;, ;,, S S S S S S ( e,max S K F K ; S, S;,, F K, S K, S;,,