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1 Uniesiä e Bunesweh München Suiengang lie Coue an Counicaion Technology (B. Eng.) Pof. D. e. na. Klaus Uhlann Physik als Manuski geuck. EINFÜHRUNG 3. Poga un Mehoe e Physik 3. Physikalische Gößen, Gößengleichungen 4. MECHNIK 9. Kineaik es Masseunkes 9.. Begiffsbesiung 9.. Bewegung längs eine Geaen 9..3 Bewegung in e Ebene..4 Keisbewegung 4. Dynaik es Masseunkes 8.. Die Newon schen ioe 8.. Die Masse 9..3 Käfe..4 bei, oenielle Enegie, Leisung 4..5 Die Weg-Inegaion e Bewegungsgleichung, kineische Enegie, Enegieehalung 6..6 Die Zei-Inegaion e Bewegungsgleichung, Iulsehalung 9..7 Bewegung i Zenalkaffel 3..8 Sysee on Masseunken 33.3 Dynaik sae Köe Feiheisgae Dynaik e Roaion u eine fese chse Massenägheisoen, Saz on Seine Dehiulsehalung fü sae Köe Ebene Bewegung sae Köe Dehung u feie chsen, Keisel SCHWINGUNGEN Die feie ungeäfe Schwingung Die Kineaik e haonischen Schwingung Dasellung e Schwingung in e koleen Zahlenebene Kineaische Heleiung e Diffeenialgleichung e haonischen Schwingung Die Newon sche Bewegungsgleichung fü en haonischen Oszillao Enegiebeachung fü en haonischen Oszillao Veschieene schwingungsfähige Sysee Übelageung on Schwingungen Die feie geäfe Schwingung Die Diffeenialgleichung e feien geäfen Schwingung 6

2 Physik 3.. Enegiebeachung Lösung e Bewegungsgleichung Die ezwungene Schwingung Bewegungsgleichung un Weg-Zei-Gesez Diskussion es Weg-Zei-Gesezes Leisungsbeachung Gekoele Oszillaoen WELLEN llgeeine Eigenschafen on Wellen, Wellengleichung un Wellenfunkion Die O-Zei-Funkion fü eine einiensionale Welle (Wellenfunkion) Heleiung e Wellengleichung 8 4. Übelageung on Wellen - Inefeenz, sehene Wellen Inefeenz zweie ebene Wellensysee Vielfachinefeenz Beugung Refleion, Bechung, Toalefleion Dole-Effek Fühjahsiese 8 Seie

3 . EINFÜHRUNG. Poga un Mehoe e Physik Physikalisches Poga : Beobachung alle Vogänge in e aeiellen Wel, ihe Bescheibung un geankliche Duchingung i en logisch sengen Mehoen e Maheaik. Mehoe e Physik : Inukion Deukion Übeüfung, Eweieung bzw. Einschänkung e Güligkei allgeeines Gesez logische Schi (aheaische bleiung) Ekläung Vohesage konkee Einzelfälle Beobachung, Messung konkee Siuaion Vegleich i e Wiklichkei Wiklichkei Physik sez oaus, ass es eine ußenwel gib, ie unabhängig o Physike un seinen Eeienen un Übelegungen eisie un ass iese ußenwel gunsäzlich ekennba is. Physikalische Geseze haben allgeeinen Chaake. Sie sellen ie Eaolaionen e Efahung a un sin inziiell unbeweisba. Sie sin abe gegebenenfalls eeienell wielegba. Die Egebnisse hysikalische Übelegung üssen i Eeien besäig ween. Es gib keine Beschänkung on en zu bescheibenen Inhalen (z.b. Beschänkung auf unbelebe Nau). Die Beschänkung egib sich aus e Foeung nach quaniaie, aheaische Bescheibung. Kolee Vogänge wie in e Bio- W. Macke: Mechanik e Teilchen, Sysee un Koninua, kaeische Velagsgesellschaf Gees & Poig, Leizig 96 ausfühliche Ekläungen azu finen sich in: K. Sionyi: Kulugeschiche e Physik, Uania-Velag, Leizig, Jena, Belin 99 Physik_ET_8.oc Seie 3

4 Physik logie lassen sich einsweilen nich i hysikalischen Mehoen behaneln. Die Genzen sin fließen. us e hysikalischen Poga un e Mehoe e Physik egib sich as besonee Vehälnis zu Maheaik. Physik kann nich ohne Maheaik beieben ween. Die Physik abeie i Moellen un Veeinfachungen. Sie ienen e Zelegung koliziee Zusaenhänge. Beisiel - Eeiene zu Fallgesez: Läss an ein Sück Keie un einen ockenen Laen gleichzeiig fallen, eeichen sie nich gleichzeiig en Hösaalboen. us e Vesuch kann nich auf as Fallgesez geschlossen ween, a e Lufwiesan as Egebnis wesenlich beeinfluss. U zu eine o Lufwiesan unabhängigen ussage zu gelangen, uss an en Vesuch z.b. in eine eakuieen Röhe uchfühen. I Rahen on Moellosellungen beschänk an sich auf ie zu Bescheibung eines besien Sachehales nowenigen Eigenschafen. Eine solche Moellosellung, ie in e Mechanik ewene wi, is z.b. e Masseunk. Ein Masseunk ha eine enliche Masse, jeoch (als Punk) keine usehnung. Es kann also asächlich keinen Masseunk geben. Es gib abe eine goße Zahl on Syseen, ie sich näheungsweise als Masseunke behaneln lassen. Wozu bauch e Ingenieu Physik? Die Physik is akisch ie Lebensgunlage es Ingenieus. Viele Ingenieuiszilinen sin aus Teilgebieen e Physik heogegangen. In en echnischen Fächen wi ebenfalls i e Mehoe e Physik geabeie. Meis ewene e Ingenieu ie hysikalischen Sachehale in zugeschniene Fo (z.b. als Technische Mechanik, Elekoechnik). Die usbilung in Physik is ahe nowenig, u ie Mehoik e Lösung on ufgaben auf eukie Weg un as Efassen on Eigenschafen un Zusaenhängen uch Messung zu elenen un zu üben. ußee soll Wissen eiel ween, as übe en unielbaen Beeich es gewählen Fachgebiees hinausgeh, a an bei e Beabeiung kolee Sachehale häufig i Pobleen konfonie wi, ie nu ineiszilinä zu lösen sin.. Physikalische Gößen, Gößengleichungen Die Bescheibung eines hysikalischen Sachehales efoe ein eineuiges Begiffssyse. Die eweneen Begiffe sin e Ugangssache enlehn un ensechen efeine un äzisie. Fü ie quaniaie Bescheibung eines Sachehales üssen hysikalische Gößen geessen ween. Eeien Bescheibung eines Objekes (z.b. fel, Banane o.ä.): Man uss sich übe besie Eigenschafen kla sein, wenn ie Bescheibung nachollziehba sein soll: Wägung, Messung on Länge, Duchesse o.ä. Zu Besiung iese Eigenschafen ewene an Gegensäne i bekannen Eigenschafen. Beisiel: Man ewene Kasanien, u as Gewich eines fels zu besien. Ein fel wieg so iel wie Kasanien. Seie 4

5 Messung beeue Vegleich i eine ohe fesgelegen Maßsab. Diese kann ein Pooy (Ealon) oe eine Messoschif sein. Eine Physikalische Göße G sez sich zusaen aus e Zahlenwe {G} un e Einhei [G]. 3 G {G}. [G] z.b.: l 3, De Zahlenwe gib an, welches Vielfache (bzw. welche Bucheil) e Maßeinhei ie zu essene Göße is. Die Maßeinhei iche sich nach e e hysikalischen Göße. In unsee Vesuch wue as Gewich in e Einhei Kasanien angegeben. Diese ngabe ha naülich nu einen begenzen Nuzen, a ie Wägung nich an anee Selle nachollzogen ween könne. Will an eine eouziebae Messung uchfühen, uss an ensechene Pooyen feslegen, nach een Vobil alle Messgeäe angefeig ween. Zunächs efiniee jees Lan fü sich ie ensechenen Maßeinheien. Mi zunehene Waenausausch egaben sich abe i 9. Jahhune Poblee, ie ielen lanessezifischen Einheien eschween ie Kounikaion un en Waenausausch. Meilen anikes Ro.479 eusche geogahische Meile Äquaoialga 5 7.4,4 eische Meile 7.5 Baen 8.9 Peußen 7.53,5 Sachsen 9.6 Wüebeg 7.448,7 Schween.688,44 Öseeich 7.586,66 Biish ile.69,34 Ein ese Schi zu Veeinheilichung wa ie Meekonenion 875. Sei einigen Jahen wi as inenaionale Einheiensyse (SI Sysèe Inenaional Uniés) ewene. uf e. Genealkonfeenz es Inenaionalen Koiees fü Maß un Gewich (CGPM) 954, e aals 4 Läne angehöen, wuen ie sechs Basiseinheien fesgeleg. In en Jahen 967 bis 983 einige an sich übe ie abgeleieen SI-Einheien. Sei 986 is as SI in e Buneseublik Deuschlan gesezlich eanke. Es ween abe ie noch in einzelnen Fachgebieen o SI abweichene Maßeinheien ewene. Basiseinheien es SI Einhei e Länge Mee Einhei e Zei Sekune s Einhei e Masse Kiloga kg Einhei e elekischen Sosäke ee Einhei e Teeau Kelin K 3 gl. azu DIN 33 Physik_ET_8.oc Seie 5

6 Physik Einhei e Soffenge Mol ol Einhei e Lichsäke Canela c Physikalische Gößen, ie sich i iesen Basiseinheien asellen lassen, heißen Basisgößen. Basisgößen sin also uch ie Bescheibung on eeienellen nonungen oe Messoschifen efinie. kuelle Definiion e Basiseinheien 4 : Mee is ie Länge e Secke, ie Lich i Vakuu wähen e Daue on / Sekunen zuückleg 5. Kiloga is gleich e Masse es inenaionalen Kilogaooys. Sekune is as fache e Peioenaue e e Übegang zwischen en beien Hyefeinsukunieaus es Gunzusans on oen es Caesiu-Isoos 33 Cs ensechenen Sahlung. ee is ie Säke eines konsanen elekischen Soes, e, uch zwei aallele, gealinige, unenlich lange un i Vakuu i bsan on Mee oneinane angeonee Leie on enachlässigba kleine, keisföige Queschni fließen, zwischen iesen Leien o Mee Leielänge ie Kaf 7 Newon heoufen wüe 6. Kelin is /73,6-el e heoynaischen Teeau es Tielunkes on Wasses genau efiniee isooische Zusaensezung 7. Mol is ie Soffenge eines Syses, as aus ebenso ielen Einzeleilchen beseh, wie oe in, Kiloga es Kohlensoff-Isoos C in ungebunene Zusan enhalen sin 8. Bei Benuzung es Mol üssen ie Einzeleilchen sezifizie sein un können oe, Moleküle, Ionen, Elekonen sowie anee Teilchen oe Guen solche Teilchen genau angegebene Zusaensezung sein. Canela is ie Lichsäke in eine besien Richung eine Sahlungsquelle, ie onochoaische Sahlung e Fequenz 54 Hz aussene 9 un een Sahlsäke in iese Richung /683 Wa o Seaian beäg. 4 s. z.b.: h://e.wikieia.og/wiki/inenaionales_einheiensyse 5 Duch iese Definiion wue ie Lichgeschwinigkei i Vakuu auf eak /s fesgeleg. c 6 7 Duch iese Definiion wue ie agneische Konsane µ auf eak fesgeleg. 4 π H/ 7 Duch iese Definiion wue ie Teeau es Tielunkes es Wasses auf eak 73,6 K (, C) fesgeleg. Das Wasse genau efiniee isooische Zusaensezung is as Vienna Sana Mean Ocean Wae (VSMOW). Die Bescheibung es Noals efolg uch ie inenaionale Teeauskala aus e Jah 99 (ITS-9). 8 Duch iese Definiion wue ie olae Masse on 3 C auf eak kg/ol fesgeleg. 9 Wellenlänge ca. 555 n Seie 6

7 lle aneen Gößen sin abgeleiee Gößen. bgeleiee Gößen sin uch Gleichungen efinie. z.b.: Geschwinigkei Kaf s F a Die Einheien e abgeleieen Gößen sin abgeleiee Einheien. Dabei unescheie an zwischen kohäenen Einheien, ie aus en Basiseinheien nu i e Fako abgeleie sin z.b. Geschwinigkei [] s kg 3 s elekische Sannung [ U ] V un nichkohäenen Einheien, ie on eschieene Fakoen benöigen z.b. Geschwinigkei k h 3,6 s Egänzene SI-Einheien sin ie Einheien Raian (a ) fü en ebenen Winkel un Seaian (s ) fü en Rauwinkel. Vielfache un Teile e Einheien ween uch Vosäze gekennzeichne. Dabei ween beozug Vielfache ewene, ie ganzzahlige Poenzen on sin. z.b. k W TW - F F -5 f Nu in usnahefällen sin anee Vosäze zulässig (z.b. l hl). Physik_ET_8.oc Seie 7

8 Physik Physikalische Gleichungen Die Gößengleichung enhäl ie Sybole hysikalische Gößen,.h. as Pouk aus Zahlenwe un Einhei; is unabhängig on e Wahl e Maßeinhei. z.b. s Es können hie beliebige Einheien fü, s un eingesez ween. Wi s z.b. in Meilen angegeben, ann ehäl z.b. ie Einhei Meilen / Sune. Die Zugeschniene Gößengleichung enhäl ie Quoienen aus Göße un Einhei (Zahlenwee) z.b. T ϑ + 73, 5 K o C Die Zahlenwegleichung enhäl nu en Zahlenwe e Gößen. Die Einheien sin in eine Legene ogeschieben. z.b. s 36, i s: Weg in Meen : Geschwinigkei in k/h : Zei in Sekunen Seie 8

9 . MECHNIK. Kineaik es Masseunkes.. Begiffsbesiung Une Kineaik eseh an ie Lehe on e Bescheibung on Bewegungen i Hilfe geeignee Kooinaen, Geschwinigkeien, Beschleunigungen usw. Dabei beschänk sich ie Kineaik auf ie bloße Bescheibung e Bewegung, ohne nach e Usache e Bewegung zu fagen. Die hysikalischen Sysee sin in e Regel so kolizie, ass sie in allgeeine Fo nich beschieben ween können. U sie oze behaneln zu können, abeie ie Physik i Moellen un Veeinfachungen. I Rahen on Moellosellungen beschänk an sich auf ie zu Bescheibung eines besien Sachehales nowenigen Eigenschafen. Daauf wue beeis i bschni. eingegangen. n iese Selle wue auch schon as Moell es Masseunkes eingefüh: Ein Masseunk (Punkasse) ha eine enliche Masse, jeoch (als Punk) keine usehnung... Bewegung längs eine Geaen Geschwinigkei un Beschleunigung Die Bewegung eines Masseunkes längs eine Geaen (z.b. in -Richung) wi uch ie O-Zei-Funkion () ollsänig beschieben. Pakische Beeuung on O-Zei-Funkionen: Fahläne sin O-Zei-Funkionen in Tabellenfo k O ICE 588 Gaisch-Paenkichen ab 9:3 München Hbf an :43 ab :58 8 München-Pasing an :4 ab :5 63 ugsbug Hbf an :3 ab : Wüzbug Hbf an 3:6 Naülich bewegen sich ie Züge nich enlang eine Geaen. Man kann abe auch ie kulinige Bewegung in e Ebene oe i Rau auch bescheiben, ass an ie Bewegung enlang e Bahnkue zu Chaakeisieung e Bewegung ewene. n ie Selle e Funkion ( ), welche ie Posiion auf e -chse bescheib, i ann ie Funkion s(), i e ie Posiion längs e Bahnkue als Funkion e Zei agesell wi. (Siehe azu bschni..3) Physik_ET_8.oc Seie 9

10 Physik Den bei e Bewegung o Zeieinhei zuückgelegen Weg bezeichne an als Geschwinigkei: Wenen wi iese Foel auf en oben als Beisiel angefühen Fahlan an, egeben sich fü eschieene Seckenabschnie uneschieliche Geschwinigkeien. us eigene Efahung wissen wi, ass auch ie Geschwinigkei auf en einzelnen bschnien nich konsan is. U ie oenane Geschwinigkei zu eieln, uss an ahe as beachee Zeiineall öglichs klein wählen. ehäl an, wenn an ie Länge es Zei- Die oenane Geschwinigkei zu Zeiunk inealls gegen Null gehen läss: ( ) li li ( + ) ( ) Is ie O-Zei-Funkion als seige Funkion ( ) gegeben, kann an ie Geschwinigkei-Zei Funkion uch ie bleiung e O-Zei-Funkion nach e Zei gewinnen: () li li ( + ) ( ) & Die oben angegebene Foel gil abe ie fü ie ilee Geschwinigkei nalog eseh an une Beschleunigung ie Äneung e Geschwinigkei o Zeiineall: a & Geschwinigkei & Beschleunigung a & & Dai gewinn an uch Diffeeniaion e O-Zei-Funkion () ie Geschwinigkei- Zei-Funkion un ie Beschleunigung-Zei-Funkion a. () ( ) uch e ugekehe Weg is öglich: Kenn an z.b. ie zeiliche bhängigkei e Beschleunigung, so gewinn an uch Inegaion une Beücksichigung e nfangsbeingungen ( ) un ( ) ie Geschwinigkei-Zei-Funkion un ie O-Zei- Funkion. Seie () a () + ( )

11 () () + ( ) Hinweis zu Inegaion: Beisiel e gleichäßig beschleunigen Bewegung ( a a cons ) soll gezeig ween, wie ie Inegaion auch gafisch ausgefüh ween kann. Die ese Inegaion e Beschleunigung ha ie Fo: () ( ) a a ( ) Man ehäl also ie Diffeenz e Geschwinigkeien als Fläche une e Beschleunigung-Zei-Kue a ( ) : a a ( ) ( ) ( ) ( ) Das Vefahen läss sich naülich auch auf ie aneen Bewegungsfoen un auch auf ie Inegaion e Geschwinigkei anwenen, wobei an ann en zuückgelegen Weg als ehäl. Fläche une e Geschwinigkei-Zei-Kue ( ) Bewegungsfoen Beschleunigung Geschwinigkei O Ruhe Gleichföige Bewegung Gleichäßig beschleunige Bewegung Ungleichäßig beschleunige Bewegung a a ( ) a + a () z.b. haonische Schwingung: a ( + ) cos ( ) + ( ) ( ) sin + a + () + ( ) ( + ) cos Zu Veeinfachung wue jeweils gesez. Physik_ET_8.oc Seie

12 Physik Vesuch feie Fall: Ein i konsane Fequenz (5 s - ) oieene Tinenbehäle i eine Düse ezeug bei jee Ulauf,.h. i zeilichen bsan s, Makieungen auf eine fallenen Sab. Die Posiion e Makieung wi geessen ( ( ) Fü ie Bewegung gil: & g 5 ). g ( ) Zu Besiung e Fallbeschleunigung g uss ( ) zweial nach e Zei abgeleie ween. Da () nu unkweise olieg, uss sa es Diffeenialquoienen e Diffeenzenquoien ewene ween. Die usweung geschieh auf eine Daenbla: / ( / ) ( / )/ Man ehäl asächlich aus allen Messunken einen annähen gleichen We fü ie Beschleunigung. Die Bilung es Mielwees liefe schließlich einen bauchbaen We fü ie Fallbeschleunigung...3 Bewegung in e Ebene y P P y s R Kulinige Bewegung Bewegung in e Ebene is i llgeeinen kulinige Bewegung. Je nach ufgabensellung läss sich ie kulinige Bewegung auf uneschieliche Weise bescheiben: M Seie

13 llgeein können beliebige Oe uch Osekoen i eineuig beschieben ween. Die O-Zei-Funkion egib sich ai als Funkion ( ). Ensechen sin auch Geschwinigkei un Beschleunigung Vekoen: () & a () & In e Zei wi längs e Bahn ie Secke s zuückgeleg. Ineessie an sich s s() zu Be- nu fü en blauf e Bewegung längs e Bahn, kann an ahe auch scheibung e Bewegung ewenen. Ha e Weg ie Fo eines Keisbogens, kann ie Bahn uch Raius R, Küungsielunk M un en übesichenen Winkel beschieben ween. (s. Pk...4) y Jee kulinige Bewegung in e Ebene kann in eine echwinkligen Kooinaensyse Bahn y() uch zwei Funkionen () un y() agesell ween. ( ) () () & a && () y y y& a && () y y y Die Bescheibung e Bewegung uch ie Pojekionen auf ie - bzw. y-richung is o alle sinnoll, wenn ie Bewegung in iesen beien Richungen unabhängig oneinane efolg. Beisiel: De hoizonale Wuf läss sich als Übelageung eine gleichföigen Bewegung in hoizonale un eine gleichäßig beschleunigen Bewegung in eikale Richung bescheiben. y y y y () y() ( g> ) y g y ( ) y g Besäigung fü hoizonalen Wuf i Vesuch: Eine hoizonal gewofene Kugel ko gleichzeiig i eine eikal fei fallenen Kugel a Boen an. Physik_ET_8.oc Seie 3

14 Physik Fü kulinige Bewegung gil: De Geschwinigkeiseko () ha ses ie Richung e Bahnangene. De Beschleunigungseko a () wi of zweckäßigeweise in eine Koonene senkech zu Bahnichung, ie Noalbeschleunigung a n, un eine Koonene in Bahnichung, ie Bahn- oe Tangenialbeschleunigung a, zeleg. Bahn- un Noalbeschleunigung sehen senkech aufeinane. Bei eine kulinigen Bewegung is ie Noalbeschleunigung ie ohanen; sie is auf eine Richungsäneung e Geschwinigkei zuückzufühen. De Veko e Noalbeschleunigung zeig zu Küungsielunk. Die Bahnbeschleunigung i agegen nu auf, wenn sich e Beag e Geschwinigkei äne...4 Keisbewegung Ein Masseunk befine sich zu Zeiunk a O (). Kuz aauf (zu Zeiunk + ) befine e sich ann bei + + ( ) ( ) Bei eine Keis o Raius R beäg ie Länge es Keisbogens s übe e Winkel s R. Is hineichen klein, gil näheungsweise auch R. is abe als Veko eingefüh woen. Dai ie Richung on si, uss ebenfalls ein Veko sein: seh senkech auf e Keisebene. Man ehäl: ( + ) ( ) kann an i e angegebenen Keuz- uch en obigen usuck fü en Beag on ouk leich ehalen: sinϑ R a n a a R Bahn () ϑ ( + ) Seie 4

15 Geschwinigkei Die Geschwinigkei egib sich wiee als Genzübegang fü : ( ) ( ) & + li & & i : Winkelgeschwinigkei Beschleunigung a + Zu Diskussion ieses usucks fühen wi ie Einheisekoen e (in Bahnichung), e n (in Richung senkech zu Bahn, zu Keisielunk geiche) un e (in Richung senkech zu Keisbahnebene) ein. Diese Einheisekoen ween uch ie Beziehungen R e ; e un en R efinie. e Mi sinϑ e n + cosϑ e kann an fü en esen Suanen i obigen usuck fü ie Beschleunigung scheiben : ( e ) ( sinϑ en + cosϑ e ) & sinϑ e & R e De zweie Suan efoe eine ewas längee Rechnung: ( ). Wi ehalen ein oeles Keuzouk. Das Egebnis eines oelen Keuzouks is ein Veko (nich zu ewechseln i e Saouk, as nu einen Skala, nälich as on en Vekoen aufgesanne Voluen, liefe): ( ) ( ) ( ) Une Vewenung e oben eingefühen Einheisekoen ehäl an cosϑ; e e n e e e ; e ( e ) e e e ; sinϑ R n n Physik_ET_8.oc Seie 5

16 Physik ( ) cosϑ e sinϑ e + cosϑ e n Subahie an ie lezen beien Zeilen oneinane, fallen ie Gliee i e Kosinus weg, so ass a Ene bleib R en Zusaengefass ehäl an also fü ie Beschleunigung bei eine Keisbewegung: a & R e + R e a & R e n a + a n is ie Bahnbeschleunigung. Sie bescheib ie Beschleunigung längs e Keisbahn, ie ein Masseunk efäh, wenn sich e Beag e Bahngeschwinigkei äne. Bleib e Beag e Bahngeschwinigkei (un ai ie Winkelgeschwinigkei) konsan, is ie Bahnbeschleunigung Null. a R e n n is ie Raialbeschleunigung oe Zeniealbeschleunigung. Sie is zu Keisielunk geiche un fü ie Keisbewegung ses ungleich Null. Die Raialbeschleunigung äne ie Richung es Geschwinigkeisekos. Die Gesabeschleunigung egib sich als Vekosue aus Bahn- un Raialbeschleunigung. Fü ie Beäge gil ensechen a +. a an Zusaenfassung: Keisföige Bewegungen sin ie beschleunig, auch wenn e Beag e Geschwinigkei konsan is. Die abei aufeene Beschleunigung is ie Raial- oe Zeniealbeschleunigung. Zu Äneung es Geschwinigkeisbeages uss a eine Koonene in - Richung haben. Zusaensellung e Foeln: ekoiell Beag O-Zei-Funkion () s s ( ) R ( ) Geschwinigkei & R& R Beschleunigung an ( ) R e an R n R Raialbeschleunigung Raialbeschleunigung a & & R e Bahnbeschleunigung a a n + a Gesabeschleunigung a & R Bahnbeschleunigung a + a n a Gesabeschleunigung Seie 6

17 Vesuch Dehscheibe: uf eine Dehscheibe sin in uneschielichen bsänen on e Dehachse Kugeln in kleinen Mulen angeone. Duch ie Göße e Mulen is ie Beschleunigung, welche ie Kugeln efahen können, begenz. Bei wachsene Winkelgeschwinigkei fliegen zues ie außen liegenen Kugeln aon, fü ie ie Raialbeschleunigung a gößen is. Vesuch Schleifscheibe: Häl an ein Sück Meall an eine oieene Schleifscheibe, fliegen ie abgeschliffenen Mealleilchen (Funken) angenial weg, a keine Raialbeschleunigung aufi. Physik_ET_8.oc Seie 7

18 Physik. Dynaik es Masseunkes.. Die Newon schen ioe Wähen ie i oigen bschni besochene Kineaik (Bewegungslehe) ie Bewegung on Köen bescheib, ohne nach een Usache zu fagen, bescheib ie Dynaik ie Bewegung une e Einfluss on Käfen. ufgabe e Dynaik is ie ufsellung on ynaischen Gungesezen (Bewegungsgleichungen) un een Lösung. Gunlage e Dynaik sin ie Newon schen ioe (687):. Tägheisgesez (Galilei sches Tägheisgesez): Jee Köe eha i Zusan e Ruhe oe gleichföigen, gealinigen Bewegung, solange keine äußeen Käfe auf ihn wiken.. Bewegungsgleichung: Die zeiliche Äneung es Iulsekos is e einwikenen Kaf ooional un geschieh längs ejenigen geaen Linie, in e F wik. F F : Kaf : Masse : Geschwinigkei es Masseunkes a F : Iuls (siehe Punk..6) 3. Gegenwikungsinzi: Die on zwei Köen aufeinane ausgeüben Wikungen (Käfe, Moene) sin ses gleich goß un engegengesez geiche. woo sche Fallaschine zu Ekläung e Newon schen Bewegungsgleichung Zwei Köe un i en Massen un hängen an eine Seil, as übe eine Rolle läuf. Wi ein Köe 3 auf en Köe geleg, so bewegen sich beie abwäs. Die Bewegung soll zu Zei an e Selle s i e Geschwinigkei beginnen. Die Reibung un ie Masse e Rolle ween ebenso wie ie Masse es Seiles enachlässig. s 3 s Die Beschleunigung es Syses kann aus eine geeinsaen Bewegungsgleichung alle ei Köe besi ween, a iese uch as Seil ieinane ebunen sin. ußee efolg ie Bewegung nu enlang es Seiles, weshalb an ie Bewegung einiensional bescheiben kann. Die Bewegungsgleichung laue allgeein & s F Dabei wi i e s-kooinae eine osiie Bewegungs- un Beschleunigungsichung in e Weise eingefüh, ass sich bei osiie Beschleunigung & s& e Köe heb, wähen sich ie Köe un 3 senken. Die in obige Gleichung aufeene Masse is ie äge Masse, ie zu beschleunigen is. ls äge Masse wi ie Sue e ei Einzelassen wiksa. Seie 8

19 In F üssen alle angeifenen Käfe beücksichig ween, wobei sich ie inneen Käfe zwischen en Köen aufgun es Gegenwikungsinzis in e Käfesue aufheben. ls äußee Käfe bleiben ie Gewiche e Massen un in osiie un e Masse in negaie Richung übig: ( + ) s g+ g g &. + & Mi laue ie Bewegungsgleichung ( )& s g Die Beschleunigung egib sich als 3 & s g. + 3 Zu Besiung e Beschleunigung iss an ie Zei, ie Masse benöig, u eine efiniee Secke s zuückzulegen (gleichäßig beschleunige Bewegung): s s& & s && s Das Eeien wue usünglich uchgefüh, u ie Fallbeschleunigung g i e zu Vefügung sehenen Messechnik elai genau besien zu können. Man uss ann ie Gleichungen so usellen, ass aus en bekannen Massen, e Secke s un e Zei ie Fallbeschleunigung beechne ween kann. g s + I Vesuch ewenen wi folgene Gößen: 3 3 5g, 3 4g, s, Die geessene Zei beäg zu Beisiel,7 s. Dai egib sich g 9,3. Die bweichung o inzwischen gu bekannen Tabellenwe is i 6 % elai goß un aauf zuückzu- s fühen, ass ie Seilasse, as Massenägheisoen e Ulenkolle (siehe azu Punk.3.3) un ie Reibung enachlässig wuen... Die Masse Die Masse eines Köes is eine hysikalische Göße un ien als Maß fü seine ägen un schween Eigenschafen. Die Masse is eine Basisgöße. Die Masse ha ie Basiseinhei kg. (Kilogaooy) Die Täghei eines Masseunkes äuße sich ain, ass iese une e Einfluss äußee Käfe eine Beschleunigung efäh, wähen e bei Fehlen äußee Käfe seinen Zusan e Ruhe oe gleichföigen gealinigen Bewegung beibehäl. Die Masse, ie in as. Newon sche Gesez eingeh, is ie äge Masse. Ween zwei uneschieliche Massen uch ie gleiche Kaf beschleunig, so ehalen sich ie Beschleunigungen wie ie Kehwee e Massen. Die Masse, ie in as Gaiaionsgesez eingeh, is seine schwee Masse. Die Masse wi übe ihe Schwee efinie (Kilogaooy). Physik_ET_8.oc Seie 9

20 Physik I Vesuch wue nachgewiesen, ass ie äge Masse gleich e schween Masse is (Äquialenzinzi). Das Masseehälnis zweie Köe kann ahe uch een Gewichsehälnis ausgeück ween (Hebelwaagen). In e Newon schen Mechanik (klassische Mechanik) gil außee: Die Masse is unabhängig on e Geschwinigkei. In abgeschlossenen Syseen bleib ie Masse ehalen. Vesuch Kugel i Faen: Eine schwee Meallkugel is an eine ünnen Faen aufgehäng. n e Kugel häng ein gleichaige Faen, an e gezogen ween kann. Zieh an langsa, eiß e Faen obehalb e Kugel, a sich o ie on außen angeifene Kaf un as Gewich aieen, wähen i uneen Faen nu ie äußee Kaf wik. Bei uckaige Ziehen a uneen Faen eiß jeoch iese zues. Die Kugel kann wegen ihe Täghei e schnellen Bewegung es Faens nich folgen...3 Käfe..3. llgeeine Eigenschafen e Kaf Die Kaf is eine abgeleiee Göße. Sie wi übe ie Gungöße Masse efinie geäß F a. Die abgeleiee SI-Einhei e Kaf is as Newon. Newon is gleich e Kaf, ie einen Köe e Masse kg ie Beschleunigung /s² eeil: N kg s -. Die Kaf is eine ekoielle Göße. Sie is ollsänig besi, wenn an ihen bsolubeag, ihe Richung un ihen ngiffsunk kenn. Geifen an einen Masseunk ehee Käfe an, so is een Wikung e esulieenen Kaf äquialen, ie gleich e Vekosue e wikenen Käfe is. ls Wikungslinie e Kaf wi ie in Richung es Vekos F i liegene Geae bezeichne. Die Wikung auf einen saen Köe bleib gleich, wenn an ie Kaf längs ihe Wikungslinie eschieb. Käfe een ie aaweise auf (Gegewikungsinzi). In eine Syse on Masseunken bzw. Köen ween iejenigen Käfe, ie zwischen en Punken bzw. Köen es Syses wiken als innee Käfe bezeichne. Käfe, ie on Punken bzw. Köen ausgeüb ween, ie nich zu Syse gehöen, heißen äußee Käfe. ls abgeschlossenes Syse bezeichnen wi ein Syse auf as keine äußeen Käfe ausgeüb ween. ( a )( b) ( s ) ( ) ( s ) ( ) b a Fü zwei sukulose Teilchen (a) un (b) wue bishe i Dehwaagen-Eeienen nachgewiesen, ass η, wobei un s ie äge bzw. schwee Masse sin. Wegen seine Beeuung fü ie allgeeine Relaiiäsheoie wue fü 3 ein Saellien-Eeien obeeie, i e as Äquialenzinzi i eine Genauigkei η übeüf ween kann. Seie

21 Vesuch Käfeaalleloga: Übe Ulenkollen geif as Gewich zweie Massen aus eschieenen Richungen an eine ien, fei hängenen Masse an. I Gleichgewich uss ie Sue e on en esen beien Massen ausgeüben Kaf gleich e Gewich e ien Masse sein. Man sieh, ass ie Käfe ekoiell aie ween üssen (Käfeaalleloga). Vesuch Gegenwikungsinzi: Es wi ie Seilkaf fü ie beien Fälle geessen, ass (übe Ulenkollen) in eine Fall an beien Seien es Seiles je eine gleich goße Masse häng un i aneen Fall nu an eine Seie eine Masse häng, wähen as zweie Ene an eine Haken befesig wi. Da ie ebleibene Masse in beien Fällen uh, uss ie Seilkaf in beien Fällen o Beag ieselbe Göße wie as Gewich e Masse haben...3. Gewich Das Gewich (Gewichskaf, Schwekaf) F G bezeichne ie Kaf, i e alle Köe i Schweefel (Gaiaionsfel) e Ee beschleunig ween. Es gil F g G i g als Fallbeschleunigung. F G is zu Eielunk geiche. Die Fallbeschleunigung häng on e geogafischen Beie, e Höhe übe e Meeessiegel un ggf. o geologischen Unegun ab. Die Noalfallbeschleunigung beäg g n 9,8665 /s². Die bweichung on iese Göße beäg auf e Eobefläche nigenwo eh als 3. Schweeanoalien egeben sich uch geologische Foaionen (z.b. len: a. bweichung. -3 /s²,.h., ). Ein Köe e Masse kg wieg 9,8 N. (Fühe: 9,8 N k)..3.3 Elasische Käfe Elasische Käfe een bei Vefoung eines elasischen Köes auf. In allgeeine Fo wi iese Zusaenhang uch as Hooke sche Gesez beschieben, Fn as en Zusaenhang zwischen e Sannung σ un e auch heogeufenen l Dehnung ε eines Köes bescheib: l σ E ε (E: Elasiziäsoul) Hie soll nu ein Sezialfall beache ween, ie Feekaf Eeien Schaubenfee: Es wi ie Velängeung eine Fee bei nhängen on Gewichen beobache. Die Velängeung e Fee is ooional zu angehängen Gewich, ~ FG. I Gleichgewich gil jeweils: FG + FD F D F G Dahe is auch FD ~ un FD D. (D: Feekonsane) Physik_ET_8.oc Seie F D.

22 Physik..3.4 Reibungskäfe Reibungskäfe een akisch bei allen Bewegungen ( ) auf un sin e Geschwinigkei engegen geiche (usnahe: Hafeibung, ie bei olieg). Wegen e uneschielichen Mechanisen, ie zu Reibung beiagen, gib es kein unieselles Reibungsgesez. Fü eschieene Beeiche wuen jeoch ensechene Geseze, z.t. eiisch aufgesell. Vielfach sin Maeialkonsanen enhalen. Reibung zwischen zwei fesen Köen (äußee Reibung): F R µ F n i µ: Reibungskoeffizien (uneschielich fü Haf- un Gleieibung, Rolleibung) Eeien: Köe auf hoizonale Dehscheibe, on Feewaage gehalen Die Reibungskaf bleib bei Veäneung e Ulaufgeschwinigkei e Scheibe gleich. Vegößeung e Noalkaf uch uflegen on Gewichen füh zu Vegößeung e Reibungskaf, Wegnehen e Gewiche wiee zu Vekleineung e Reibungskaf. Reibung in Flüssigkeien un Gasen (innee Reibung): Die Reibungskaf is bei kleinen Geschwinigkeien ooional zu Geschwinigkei ( F R ~ ), bei goßen Geschwinigkeien ( < cs ; c s : Schallgeschwinigkei) ooional zu Quaa e Geschwinigkei ( F R ~ ). Beisiel: Fü eine Kugel in eine Flüssigkei (lainae Söung) gil ie Sokes sche Gleichung: FR 6πη (η: ynaische Viskosiä, : Raius e Kugel) Läss an eine Kugel (Raius, Diche ρ K ) in eine Flüssigkei (Diche ρ Fl, ynaische Viskosiä η) sinken, ni een Geschwinigkei so lange zu, bis sich bei e Geschwinigkei E ein Gleichgewichszusan einsell, bei e ie Sue aus Gewich, ufieb un Reibungskaf gleich Null is: F 4 3 G + F K + F 3 π ρ g R 4 3 π 3 ρ g 6πη Fl E Man ehäl so ie aiale Sinkgeschwinigkei ( ρ ρ ) g K Fl E. 9 η Ähnliche ynaische Gleichgewichszusäne fine an, wenn auch nich in iese einfachen Fo, bei aneen Vogängen wie z.b. bei Fallschisingen. Eeien Söungsesse i Schwebeköe: Eine echnische nwenung eines solchen ynaischen Gleichgewiches fine an bei besien Baufoen on Söungsessen. Vewene an as obige Beisiel, wäe ie Kugel abe nu fü eine besie Söungsgeschwinigkei i Gleichgewich. Bei gößee oe kleinee Söungsgeschwinigkei wüe sie nach oben geück bzw. auf en Boen fallen. Bei en Duchflussessen i Schwebeköe is ahe e Innenzyline leich konisch, so ass e Söungswiesan o Ringsal zwischen Kugel un Glas abhäng un so auch eine Funkion e Höhe e Kugel is. De Gleichgewichszusan sell sich ahe bei uneschieliche Söungsgeschwinigkei in uneschieliche Höhe ein. Seie

23 ..3.5 Zwangskaf Bei e Binung eines Masseunkes an eine besie Fläche oe Kue i Rau, wi ie o Fühungsechanisus aufzubingene Kaf als Zwangskaf bezeichne. Die Zwangskaf seh ie senkech auf e Fläche oe Kue, an ie ie Bewegung gebunen is, a nu Käfe, ie senkech auf e Bahnkue sehen, ie Bahnichung änen können. Sie kann ahe keine bei leisen (Bezeichnung eshalb auch als eloene Kaf ). Beisiel: Keisbewegung (Penel) Eeien: Kugel a Faen füh auf eine Keisbahn eine Penelbewegung aus Eingeäge Kaf F F g ( e : Einheiseko senkech zu Eobefläche) G e z z Fü ie Bescheibung e Penelbewegung is ie Einfühung eines Kooinaensyses sinnoll, as sich i e Masseunk ibeweg: e - Einheiseko in Bahnichung, in Richung es aheaisch osiien Dehsinns; e n - Einheiseko senkech zu Bahn, zu Küungsielunk e Bahn geiche. Mi iesen Einheisekoen kann an ie eingeäge Kaf (Gewich es Masseunkes) scheiben als F F e + F e g sin e g cos e n n De Masseunk wi uch eine Zwangskaf, ie uch en Faen ausgeüb wi, auf e Keisbahn gehalen. Die Zwangskaf seh ses senkech auf e Bahn: F F e Z Z n Die Bewegungsgleichung laue ann: a F + F Z & e i a & e + en R + e R n F n e + ( FZ + Fn ) en Man kann nun ie Koonenen in Bahn- un in Noalenichung geenn behaneln. Fü ie Koonene in Richung e Bahnnoalen gil ann ie Beziehung FZ + Fn, R in Bahnichung ehäl an &. F Die Zwangskaf egib sich ai als: F F Z Z Fn R + g cos R F Z F n Die o Faen ausgeübe Zwangskaf uss also ie Noalkoonene es Gewichs koensieen un ie fü ie Raialbeschleunigung efoeliche Kaf (z.t. als Raialkaf bezeichne) aufbingen. F F G Physik_ET_8.oc Seie 3

24 Physik Eeien Zwangskaf uch ie Unelage: I äglichen Leben fäll eine kau auf, ass z.b. e Tisch eine Zwangskaf auf as Buch ausüb, as an auf ihn leg. Leg an Massen auf ünne Leisen, kann an een Duchbiegung als Maß fü ie ausgeübe Zwangskaf beobachen Zusaenfassene Diskussion e Käfe a Beisiel e schiefen Ebene Eeien Schiefe Ebene: Das Gewich on Masse wi in Koonenen längs e Bahn ( F F Z H ) un senkech azu ( F N ) zeleg. Die Noalkoonene wi uch ie Zwangskaf koensie ( FZ F N ). Da ie Reibungskaf e Bewegung engegen wik, is ihe Richung aon F H g sinα F N g cosα abhängig, ob sich as Syse nach echs oe links bewegen α FG g soll. Beisiel: Das Syse usch nach links, wenn g sinα > g + µ H g cosα,.h. wenn ie Hangabiebskaf on Masse göße is als ie ih engegen wikenen Käfe (Hafeibung on Masse un Gewich on Masse ). Das is e Fall, wenn (bei konsane Neigungswinkel) fü as Vehälnis e Massen gil: < sinα µ cosα..4 bei, oenielle Enegie, Leisung..4. bei H Beweg sich ein Köe une e Einfluss eine Kaf F, so eiche iese Kaf auf e Wege on nach eine bei W a Köe : W F Weginegal e Kaf Fü ie Bewegung längs eine Bahnkue siel nu ie Kaf F ( ) F s ( s) e in Bahnichung (Richung e Bahnangene) eine Rolle, a ie Koonene senkech azu uch ie Zwangskaf koensie wi: i Seie 4 W F s s F s s F s F cosα s s α F F F s g

25 Die aus e Schule bekanne einfachse Beziehung W F s ehäl an nu, wenn ie Kaf in Richung es Weges wik ( F s ) un außee auf e gesaen Weg gleich goß is ( F cons ). Die hysikalische Göße bei is eine abgeleiee Göße. Die Einhei e bei is as Joule (J). Joule is gleich e bei, ie eiche wi, wenn e ngiffsunk e Kaf N in Richung e Kaf u eschoben wi: J N..4. Veschiebungsabei un oenielle Enegie Ein Köe, e une e Einfluss eine Kaf F seh, soll beschleunigungsfei eschoben ween. Dazu uss wähen e Bewegung as Käfegleichgewich uch eine zusäzlich angeifene Kaf F (z.b. Muskelkaf) hegesell ween: Köe une Einfluss eine Kaf F (z.b. Gewich: F g gez ) Veschieben i F' F (i Beisiel: F' g gez ) Bei Veschieben längs eine Bahn gil ensechen F' F, a wiee nu ie Koonene e Kaf in Bahnichung zu beücksichigen is. Duch iese Kaf F ' wi ie Veschiebungsabei W ' eiche: W ' W Läss sich ie Veschiebungsabei uch Ukehen e Bewegung zuückgewinnen, so wa sie zwischenuch geseiche. Eine Kaf F, bei e as e Fall is, heiß Poenialkaf; geseichee Veschiebungsabei is Zuwachs an oenielle Enegie: W W W' ( ) W ( ) F Käfe sin Poenialkäfe, wenn ie geleisee bei nu o nfangs- un Enunk e Bewegung, abe nich o zuückgelegen Weg abhäng. Veschiebungsabei gegen Käfe, ie keine Poenialkäfe sin, läss sich nich zuückgewinnen. Vo alle Reibungskäfe sin keine Poenialkäfe. Die oenielle Enegie eines Syses is nu bis auf eine unbesie Konsane efi- W nichs ausgesag wi. nie, a übe eine nfangsenegie ( ) Beisiele: Veschiebungsabei i Schwekaffel (Hubabei) F g g z W G e z ' g z FG g z ( z z ) W () W () z Poenielle Enegie e Schwekaf ( z) g z W z z F G Physik_ET_8.oc Seie 5

26 Physik Veschiebungsabei bei eine Fee (Sannabei) F D W D e ' D FD D ( ) W () Poenielle Enegie e Feekaf D W ( ) Die oenielle Enegie bezeichne an auch als Poenial. Bei gegebene Poenial ehäl an ie zugehöige Kaf als F ga W ( ) W Flächen i gleiche oenielle Enegie nenn an Poenialflächen oe Äquioenialflächen. Zu Veschiebung eines Masseunkes auf eine Äquioenialfläche uss keine bei eiche ween. W () Gleichgewiche: Ein Köe befine sich i saischen Gleichgewich, wenn W ( ) an iese Selle einen Eewe oe Weneunk i hoizonale Tangene ha. Je nache, ob W ein Miniu oe Maiu besiz oe übe einen gewissen Beeich konsan is, unescheie an zwischen sabile, labile oe iniffeene Gleichgewich. Vesuch Gleichgewich: Mi eine Rolle un eine biegsaen Leise können ie eschieenen en es Gleichgewichs eonsie ween. Füh ie Veschiebung aus e Gleichgewichslage zu eine Ehöhung e oeniellen Enegie, is as Gleichgewich sabil usw Leisung Die Leisung P is e Diffeenialquoien e bei nach e Zei W P. Sez an W F ein, so ehäl an P F...5 Die Weg-Inegaion e Bewegungsgleichung, kineische Enegie, Enegieehalung..5. Beschleunigungsabei un kineische Enegie Wik auf einen Köe ie Kaf F, so wi e ensechen e Bewegungsgleichung F a beschleunig. Die abei eichee bei W heiß Beschleunigungsabei. Beechne an W i Hilfe e Bewegungsgleichung, so kann an zunächs scheiben: Seie 6

27 a F un F Dai ehäl an fü ie Beschleunigungsabei: ( ) ( ) ) ( () k k W W F W Die Göße W k heiß kineische Enegie...5. Ehalungssaz e echanischen Enegie Bishe wue ie Veschiebungsabei nu une e sek eine äußeen Kaf beache, ie einen Masseunk beschleunigungsfei (quasisaisch) on nach + eschoben ha. Die Veschiebungsabei kann abe auch eiche ween, ohne ass äußee Käfe wiken, z.b. ine ein Masseunk abei abgebes wi. Eeien Faenenel: I unesen Punk e Bahn ha ie Masse ihe göße Geschwinigkei un ai ihe göße kineische Enegie. Nach Duchgang uch iesen Punk beweg sich ie Masse auf e Keisbahn aufwäs, wobei sie eineseis an oenielle Enegie gewinn, aneeseis abe abgebes wi (kineische Enegie elie) un i Ukehunk schließlich zu Sillsan ko. De Masseunk bewege sich une e Einfluss e Kaf F. Mulilizie an iese i e Geschwinigkei, ehäl an ie Leisung P : P W F F Diese Beziehung kann an fü ie Inegaion e Newon schen Bewegungsgleichung heanziehen. Mulilizie an ie Bewegungsgleichung i e Geschwinigkei, egib sich: k W P a F & Is ie Kaf F nu o O abhängig ( ( ) F F ), kann an außee ie oenielle Enegie angeben: ( ) ( ) ( ) F W F W W Physik_ET_8.oc Seie 7

28 Physik W P F W. un ( ) Eliinie an nun ie Leisung P aus iesen Gleichungen, ehäl an schließlich en Enegieehalungssaz e Mechanik: [ W +W ] k Is ie Kaf F eine Poenialkaf, so is ie on ih an eine Köe eichee Beschleunigungsabei gleich e bnahe seine oeniellen Enegie. Dai kann auch e Begiff Enegie allgeein efinie ween: Enegie is ie Fähigkei eines Syses, bei zu eichen. Die Sue on oenielle un kineische Enegie eines Köes, e sich une e Einfluss eine Poenialkaf beweg, äne sich nich. W + W W + W ( ) ( ) ( ) ( ) k k Die eallgeeinee Scheibweise es Enegiesazes fü beliebige Oe e Bewegung heiß: W k P ( ) W ( ) W cons + De Enegiesaz is besones geeigne fü ie Lösung on Bewegungsobleen, bei enen e Zusaenhang zwischen O un Geschwinigkei eines Köes benöig wi. Mi e Enegieehalungssaz kann ie Bewegungsgleichung nich ollsänig gelös jeoch Veko is. ween, a ie Enegie nu eine skalae Göße liefe, ( ) Eeien Schleifenbahn: Ein Köe soll eine Schleifenbahn i e Raius eibungsfei uchlaufen, ohne heab zu fallen. Wie goß uss ie Sahöhe z inesens gewähl ween Enegieehalungssaz: ( ) W ( ) W ( ) W + k g z g z + De Köe uchläuf ie Bahn ann geae noch ohne heab zu fallen, wenn a obeen Punk e Schleife as Pouk aus Masse un Raialbeschleunigung gleich e Gewich is: g Einsezen egib: g z g z + g g z z z g Seie 8

29 un g z g + g 5 z. I Vesuch wi sa es Masseunkes, fü en ie Rechnung ausgefüh wue, eine Kugel ewene, u en gefunenen Zusaenhang nachzuweisen. Man uss hie jeoch ie Sahöhe ewas göße wählen ( z, 7 ), a fü iesen Fall ie Roaionsenegie e Kugel beücksichig ween uss (siehe bschni.3)...6 Die Zei-Inegaion e Bewegungsgleichung, Iulsehalung Wenn F als Funkion e Zei gegeben is, kann an ie Bewegungsgleichung & F() ( cons) auf beien Seien übe ie Zei inegieen F. () 443 Kafsoß Das Pouk aus Masse un Geschwinigkei bezeichne an als Iuls: Das Inegal F is e Kafsoß, e ie Iulsäneung eusach. Dabei sin folgene Fälle ineessan: a) F (keine Kaf) cons Iulsehalung b) Fi (Koonene e Kaf is Null) c) F F cons F i cons ; Inegaion:! + C Die Iulsäneung efolg senkech zu Bahn, es äne sich ie Richung, abe nich e Beag es Iulses. Die kineische Enegie is Ehalungsgöße. Beisiel: Loenzkaf FL Q B (Q - elekische Laung; - Geschwinigkei es gelaenen Teilchens; B - agneische Flussiche): Gelaene Teilchen efahen i Magnefel keine Bahnbeschleunigung. De Iuls eines Masseunkes bleib konsan, wenn keine Kaf angeif. Sehen angeifene Kaf un Iuls senkech aufeinane, äne sich nu ie Richung es Iulses, wähen sein Beag konsan bleib. In iese Fall is ie kineische Enegie Ehalungsgöße. Physik_ET_8.oc Seie 9

30 Physik..7 Bewegung i Zenalkaffel..7. Das Newon sche Gaiaionsgesez usgangsunk fü Newon waen ie 3 Kele schen Geseze: Eses Kele sches Gesez: Die Planeenbahnen sin Ellisen, in een eine Bennunk ie Sonne seh. Zweies Kele sches Gesez: De Fahsahl on e Sonne zu Planeen übeseich in gleichen Zeien gleiche Flächen. Dies Kele sches Gesez: Die Quaae e Ulaufzeien ehalen sich wie ie ien 3 3 Poenzen e bsäne T :T s :s. Newon sche Ineeaion, Keisbewegung 3 : us e. Kele schen Gesez folg: li li R s R R cons (Fü kleine Winkel egib sich ie o Fahsahl übesichene Fläche als Deiecksfläche: R s siehe Skizze) Die obige Gleichung bescheib eine gleichföige Keisbewegung ( cons ). Die ensechene Raialbeschleunigung is a n R. Dai kann an fü ie Noalkaf (Raialkaf) scheiben: 4π Fn R R T 3 T R un i T (3. Kele sches Gesez) 3 R 3 4π R 4π R Fn R α 3 T R R R 3 T Man ehäl so as Kafgesez fü Gaiaion. s Die Gößen R un T enhalen abei Infoaionen übe ie Sonne. Bei eine allgeeinen Foulieung es Gaiaionsgesezes scheib an ahe: M F G G G: Gaiaionskonsane, M, : Massen e beeiligen Hielsköe, R: een bsan oneinane R Sonne Plane (z.b. fü Planeen: FG G ) R Bahn R 3 Die Planeenbahnen sin nahezu Keise, ie göße bweichung e zu Newons Zeien bekannen Planeen i bei Meku auf, wo sich ie Längen e beien Halbachsen u % unescheien. Seie 3

31 Die Gaiaionskaf, ie zwei Köe aufeinane ausüben, ha ie Richung e Vebinungslinie e beien Köe. Man ehäl schließlich als ollsänige Foulieung fü ie nziehung on zwei beliebigen Massen: F M G auf e De akuelle We fü ie Gaiaionskonsane is G (6,676 ±,8). - 3 kg - s - Zu Besiung e Gaiaionskonsane uss an ie Kaf essen, ie zwei Köe aufeinane ausüben. Das geschieh z.b. i e Dehwaage nach Caenish...7. Dehiuls un Dehiulsehalung Eine Zenalbewegung is eine Bewegung une e Einfluss eine Zenalkaf. Die Wikungslinie e Kaf geh abei ses uch einen fesen Punk, e als Zenu e Kaf bezeichne wi. Folglich is e Veko e Beschleunigung ses auf as Zenu e Kaf F geiche,.h. ie Beschleunigung is eine Raialbeschleunigung a a. Die Zenalbewegung fine ses in eine Ebene sa, nälich in e on un a aufgesannen: a ( ) ( ) Zenalkäfe sin z.b. ie nziehungskaf zwischen Masseunken (Gaiaionskaf), ie Kaf e elekosaischen Wechselwikung zwischen elekischen Punklaungen (Coulob-Kaf) oe auch eine Kaf e allgeeinen Fo F D (z.b. Feekaf; isoo- e haonische Oszillao). Flächensaz I Gegensaz zu Vogehensweise i Punk..7. kann an bei e allgeeinen Beachung e Bewegung une e Einfluss on Zenalkäfen nich on eine Keisbahn ausgehen. Zu Beechnung e Fläche uss an ahe as Vekoouk heanziehen. Die o Raiuseko übesichene Fläche is ie Hälfe e on en Vekoen un aufgesannen Fläche: i ( ) ehäl an ( ) un i schließlich ( ) Wi fühen hie eine neue Göße ein, en Dehiuls: L Dai kann an ie übesichene Fläche ausücken als Physik_ET_8.oc Seie 3 y

32 Physik L Wenn L konsan is, folg aaus, ass e Raiuseko in gleichen Zeien gleiche Flächen übeseich. (gl.. Kele sches Gesez: De Fahsahl on e Sonne zu Planeen übeseich in gleichen Zeien gleiche Flächen.) De Dehiuls L & seh senkech auf e on un & aufgesannen Bahnebene. Zu Beechnung es Poukes & is es zweckäßig, in Polakooinaen azusellen (gl. nebensehene Skizze). Wie an sieh, liefe nu ie zu senkeche Koonene einen Beiag zu Vekoouk:. Dai ehäl an fü en Beag es Dehiulses L. y Mi e oben angesellen Übelegung zu Richung on L ehäl an schließlich L. Zeiliche Äneung es Dehiulses, Dehiulsehalung Die Zeiableiung es Dehiulses egib: & L & & 3 & + & L & F Das Pouk F wi als Dehoen M bezeichne: M F Die zeiliche Äneung es Dehiulses is also gleich e angeifenen Dehoen: & L M De Dehiuls L bleib konsan (is eine Ehalungsgöße), wenn as Dehoen M eschwine, wenn also F oe F is. Lezees is bei Zenalkäfen e Fall ( F F ). Bei Bewegung i Zenalkaffel is e Dehiuls eine Ehalungsgöße. Seie 3

33 Dehiulsehalungssaz: Is as esulieene Moen e äußeen Käfe in Bezug auf einen Fiunk oe en Schweunk es Syses gleich Null, is e Dehiuls es Syses in Bezug auf iesen Punk zeiunabhängig. In eine abgeschlossenen Syse on Masseunken een keine äußeen Käfe auf. Dahe is e Gesaehiuls eines abgeschlossenen Syses in Bezug auf einen beliebigen uhenen Punk nich on e Zei abhängig. De Dehiulsehalungssaz kann ebenso wie e Enegieehalungssaz un e Iulsehalungssaz zu Lösung e Bewegungsgleichung heangezogen ween. Die Dehiulsehalung läss sich auch auf Fälle anwenen, ie eigenlich ga nichs i eine Dehbewegung zu un haben: Eine Masse beweg sich gealinig i konsane Geschwinigkei. Dabei gil ie Dehiulsehalung: L cons L L sinα α α..8 Sysee on Masseunken..8. Innee Käfe, Iulsehalung, Massenielunk Zunächs soll ein Syse on nu zwei Masseunken i inneen un äußeen Käfen beache ween: i F F F F i + F a + F a Die Sue e Käfe is ann: F F i + F i + F a + F a + i F a F i F a F Wegen es Gegenwikungsinzis (3. Newon sches io) is ie Sue e inneen Käfe gleich Null. Die Gleichung ehäl ie Fo a Fk F k k k Physik_ET_8.oc Seie 33

34 Physik Man ehäl also fü ein Syse on Masseunken ie gleiche Beziehung wie fü einen einzelnen Masseunk, wenn an ie Sue e äußeen Käfe un ie Sue e Iulsäneungen beücksichig. Folgeungen: a) Iulsehalung Teen in eine Syse on eheen (N) Masseunken nu innee Käfe auf (Sue e äußeen Käfe is Null), ann eschwine aufgun es Gegenwikungsinzis in iese Syse ie Gesasue alle wikenen Käfe. Die iion e Bewegungsgleichungen alle Punkassen füh ahe auf ie Beziehung N k a k. k Das Zeiinegal übe iesen usuck is e Iulsehalungssaz: N N k k k k k cons Die Sue e Iulse k k (bzw. e Gesaiuls ) in eine Syse ehee Masseunke is konsan, wenn nu innee Käfe wiken (abgeschlossenes Syse) bzw. ie Sue alle äußeen Käfe eschwine. b) Massenielunk Fü obiges Beisiel gil: ( + ) F un + ( ) F + Mi Einfühung es Massenielunkes oe Schweunkes wi aaus s s + + a s F. N k Daaus folg e Schweunksaz: k k N (bzw. k k ) De Schweunk eines beliebigen Syses on Masseunken beweg sich so, als sei i Schweunk ie Gesaasse es Syses eeinig un als giffen ie äußeen Käfe i Schweunk an. s k Seie 34

35 Eeien Wagen i Penel: Sez an as auf eine Wagen oniee Penel in Bewegung, füh e Wagen ebenfalls eine Bewegung aus. Die Bewegung es Wagens efolg so, ass e Schweunk a usünglichen O bleib...8. De zenale geae Soß zweie Kugeln De Iulsehalungssaz eigne sich besones zu Beechnung es blaufs on Soßogängen, bei enen zwischen en soßenen Köen nu kuzzeiig innee Käfe wiken. Dabei gehö e Soß zweie Kugeln eigenlich nich eh une ie Übeschif Dynaik es Masseunkes, a ie elasischen Eigenschafen sae Köe eine wesenliche Rolle sielen. De zenale geae Soß zweie Kugeln läss sich einiensional behaneln, a ie Bewegung nu längs e Vebinungslinie e Mielunke e beien Kugeln eläuf. Fü en geaen Soß zwischen zwei Köen ie Gesal + + ( un ) ehäl e Iulsehalungssaz Hie sin ie Geschwinigkeien o e Soß s un un un ie Geschwinigkeien nach e Soß. De Iulssaz allein eich abe zu Besiung beie s Engeschwinigkeien un i allgeeinen nich aus, a auch ie e Kafwikung wähen es Soßes eine Rolle siel. Zwei Genzfälle können abei uneschieen ween: De ollkoen elasische Soß fine sa, wenn ie gesae kineische Enegie ehalen bleib. Beie Massen enfenen sich nach e Soß wiee oneinane. Zusäzlich zu Iulsehalungssaz gil e Enegieehalungssaz: + + Man ehäl so ie zweie Gleichung zu Besiung e beien Unbekannen. Ni an in eine einfachen Beisiel an, ass ie Masse o e Soß uh, ehäl an ie Beziehungen un + bzw. ugefo ( ) () () + bzw. ( ) (3) + Gleichung () kann an weie scheiben als ( )( ) Diiie an Gl. (3) uch Gl. () egib sich sofo + (4). Das Egebnis ehäl an uch Einsezen on Gl. (4) in Gl. (): un + + Physik_ET_8.oc Seie 35

36 Physik Sez an in iesen Lösungen, ehäl an un. Eeien ollkoen elasische Soß: Zwei Massen soßen auf eine Schiene aneinane. Die Wechselwikung efolg uch Feen bzw. sich absoßene Magnee. In beien Fällen sin ie Käfe bei e Wechselwikung Poenialkäfe, so ass e ollkoen elasische Soß aufi. Die oben hegeleieen Beziehungen ween besäig. Fü ie Geschwinigkei nach e Soß ehäl an allgeein ( ) + un + ( ) + + Bei ollkoen unelasischen Soß bewegen sich beie Köe i eine geeinsaen Engeschwinigkei weie. Ein Teil e kineischen Enegie wi übe Vefoungsabei in Wäe (Velusenegie W ) ugewanel. ( + ) + Enegiebilanz: W Q Q ( ) ( + ) + W Diskussion: Fü un W ehäl an schnell: W Q 4 Q Eeien ollkoen unelasische Soß: Die Soßanonung wi so gewähl, ass ie beien soßenen Massen aneinane kleben bleiben (Kneasse). Fü einfache Fälle lassen sich ie oben hegeleieen Beziehungen übeüfen. Weiee Eeiene zu Soß (Kugelkee, zwei Kugeln a Penel i un ohne äfenen Puffe) k Seie 36

37 .3 Dynaik sae Köe.3. Feiheisgae ls Feiheisga bezeichne an ie nzahl e fei wählbaen, oneinane unabhängigen Paaee eines hysikalischen Syses, ie ie äuliche Lage es Syses eineuig feslegen: Ein Masseunk besiz 3 Feiheisgae, ie Oskooinaen, y, z. N Masseunke besizen 3 N Feiheisgae, sofen ie Masseunke sich oneinane unabhängig bewegen können. I Gegensaz azu is ie Lage e Masseneleene in eine saen Köe elai zueinane fes. Zu Bescheibung e Lage eines saen Köes i Rau sin 6 Kooinaen nöig; e sae Köe ha 3 Tanslaions- un 3 Roaionsfeiheisgae. Roaion u eine fese chse: Eine fese chse is uch ihe Lage i Rau (Kooinaen, y, z eines Punkes e chse sowie ziuwinkel λ un Ehebungswinkel β) besi. Läss an einen Köe u eine fese chse oieen, bleib ih nu noch ein Feiheisga, e Dehwinkel..3. Dynaik e Roaion u eine fese chse Nich jee Kaf kann eine Dehbewegung in Gang bingen, ieleh sin ngiffsunk un Richung enscheien. In nebensehene Skizze bewik nu F eine Dehung. n ie Selle, ie bei e Tanslaionsbewegung ie Kaf eingenoen hae, i bei e Dehbewegung as Dehoen als Usache fü ie Äneung es Bewegungszusanes: M F Es äng sich ie Fage auf, ob es weiee Äneungen gegenübe eine Tanslaionsbewegung gib, ie uswikungen auf ie Gesal e Bewegungsgleichung haben. z y F 3 β F λ F Eeien: Einfluss e Posiion e Massen elai zu Dehachse auf ie Winkelbeschleunigung Ein an eine chse befesige Sab i zwei eschiebbaen Massen wi uch zwei weiee Massen, ie an u ie chse gewickelen Fäen hängen, beschleunig. (s. Skizze) Physik_ET_8.oc Seie 37

38 Physik Es wi ie Zei geessen, ie fü 5 Uehungen ( 5 36 π ) aus e Ruhe benöig wi. Dabei is as aneibene Dehoen ses gleich. Die beien Massen ween zunächs a Ene es Sabes un ann bei halben Raius osiionie. Man sell fes, ass i zweien Fall ie benöige Zei nu ewa halb so lang wie i esen Fall is: I II I II Ekläung: Bescheibung e gleichäßig beschleunigen Bewegung i e Dehwinkel (gl. Keisbewegung Pk...4): & & cons ( & & : Winkelbeschleunigung) ( ) & && && && ( ) && ( ) II I & && I II Die Winkelbeschleunigung is i zweien Fall also ewa ie al so goß wie i esen. In unsee Fall ehalen sich ie Winkelbeschleunigungen ewa wie ie Kehwee e Quaae e bsäne e Massen on e Dehachse. Es wi eulich, ass ie Täghei es Syses nich (wie bei e Tanslaionsbewegung) allein on e Masse abhäng, sonen auch o bsan e Masse on e Dehachse. Es wi ahe as Massenägheisoen J eingefüh, as in e Bewegungsgleichung an ie Selle e ägen Masse i. De Ine soll abei ie chse bezeichnen, auf ie sich as Tägheisoen bezieh. Fü ie Winkelbeschleunigung ehäl an ahe: & & M J D.h., ie Bewegungsgleichung ehäl ie Fo M J & & Das Massenägheisoen is ein Maß fü ie Täghei eines Köes bei Äneung e Winkelgeschwinigkei (Äneung e Dehzahl). I bschni..7. haen wi beeis en Dehiuls fü ie Bewegung eines Masseunkes i Zenalkaffel beechne: L Diese usuck gil naülich auch fü ie Keisbewegung, welche ie Masseunke eines saen Köes bei Roaion u eine fese chse ausfühen. Mi & L M ehäl an ai M &. Seie 38

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