Kapitel II Bewegungen und Kräfte

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1 Kapiel II Bewegungen und Kräfe 3. Translaion und Roaion Soßprozesse Harmonische Schwingungen Gekoppele Schwingungen Gedämpfe und erzwungene Schwingungen Trägheismomen Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 H.J. Eichler e al., Das neue Physikalische Grundprakikum, Springer-Lehrbuch, DOI / _2

2 3. Translaion und Roaion Beobachung und Analyse des freien Falls. Unersuchung der Grundgeseze für die gleichmäßig beschleunige ranslaorische Bewegung und für die V Roaionsbewegung. Analogien zwischen Translaion und Roaion. Besimmung der Fallbeschleunigung. Sandardlehrbücher (Sichwore: Masse, Kraf, Translaion, Roaion, Fallbeschleunigung). W G Bewegungen von Massenpunken Die Bewegung eines Körpers, hier zunächs als Massenpunk angenommen, wird durch die Angabe des Ores s, an dem sich der Körper zur Zei befinde, beschrieben: s = s(). Die Bewegung wird auch durch die s () Seigung v() s Geschwindigkei (engl. velociy) v = ds = lim Δs Δ 0 Δ v () und die Beschleunigung (engl. acceleraion) a = dv = lim Δv Δ 0 Δ charakerisier, Bild 3.1. Or, Geschwindigkei und Beschleunigung sind im allgemeinen Vekoren und deshalb hier in Fedruck dargesell. Für geradlinige Bewegungen reich es aus, die Beräge der Vekoren anzugeben, die in normaler Schrifsärke und kursiv gedruck sind, z. B. s = s. Seigung a() v Bild 3.1. Zusammenhang zwischen Or, Geschwindigkei und Beschleunigung bei einer willkürlich angenommenen Bewegung eines Massenpunkes Kraf Der Bewegungszusand, genauer die Geschwindigkei und Bewegungsrichung, eines Körpers lassen sich dadurch ändern, dass eine Kraf auf den Körper ausgeüb wird. Kräfe werden durch verschiedene Wechselwirkungen zwischen Körpern hervorgerufen. Es gib im Wesenlichen folgende Aren von Kräfen: Graviaionskraf, auch Massenanziehungskraf; Spezialfälle: Erdanziehungskraf, Schwerkraf; Elekromagneische Kräfe, Coulombkraf; Folgen: elasische Kräfe, chemische Bindungskräfe, Reibungskräfe; Kernkräfe: schwache und sarke Wechselwirkung. Eine Kraf (engl. force) wird mi dem Buchsaben F bezeichne. Außer dem Berag der Kraf muss zur vollsändigen Beschreibung auch noch ihre Richung angegeben werden. Die Kraf is also eine vekorielle Größe. Masse Jeder Körper besiz eine Träghei, d. h. er verharr in seinem Bewegungszusand, wenn keine äußeren Kräfe auf ihn wirken. Wirken Kräfe auf den Körper, so mach

3 28 N 3. Translaion und Roaion sich die Träghei als Widersand gegen die Beschleunigung bemerkbar. Für die Beschreibung der Träghei der Körper verwende man den Begriff räge Masse. Zwischen jeweils zwei Körpern beseh eine Massenanziehung nach dem Graviaionsgesez. Für die Beschreibung der Massenanziehung der Körper verwende man den Begriff schwere Masse. Obwohl beide Massenbegriffe voneinander unabhängig sind, ha die Erfahrung gezeig, dass räge und schwere Masse gleich sind. Deshalb muss man diese nich unerscheiden und sprich allgemein von der Masse als einer Eigenschaf der Körper. Zur Besimmung einer Masse wird diese mi einem Massennormal verglichen und dami gemessen. Der Vergleich erfolg meis direk oder indirek mi einer Waage uner Ausnuzung der Erdanziehungskraf. Innerhalb der klassischen Mechanik, also für Geschwindigkeien, die klein sind gegen die Lichgeschwindigkei, is die Masse von der Geschwindigkei unabhängig. Für sehr große Geschwindigkeien, wie sie z. B. in der Elemenareilchenphysik erreich werden, nimm nach der Relaiviäsheorie die Masse zu: m 0 m = m(v) =, 1 v2 c 2 wobei m 0 = m(0) die Ruhemasse, und c die Vakuumlichgeschwindigkei bedeuen. Bei den im folgenden beschriebenen Experimenen und auch sons bei alläglichen Bewegungen is jedoch v c, so dass man mi m = m 0 =cons. rechnen kann. Newonsche Bewegungsgleichung und Impuls Die Änderung des Bewegungszusandes eines Körpers durch Wirkung einer Kraf is gegeben durch die Newonsche Grundgleichung oder Newonsche Bewegungsgleichung F = d (mv). Das Produk mv nenn man Impuls p oder Bewegungsgröße. Die Kraf is also die Ursache für die zeiliche Änderung des Impulses. Besonders einfach is die Newonsche Bewegungsgleichung bei konsaner Masse: F = m dv = ma bei m =cons. v 0 z y x s() Bild 3.2. Parabolische Bahnkurve s() eines Körpers, der mi einer Geschwindigkei v 0 gesare wird und sich uner dem Einfluss der Erdanziehungskraf weierbeweg Die Kraf is dann direk proporional zur Beschleunigung a, der Proporionaliäsfakor is die Masse m. Wirken keine Kräfe, so änder sich der Impuls mi der Zei nich, und es gil der Erhalungssaz des Impulses. Is zusäzlich die Masse konsan, so beweg sich der Körper mi konsaner Geschwindigkei. In einem Sysem von Körpern, auf das keine äußeren Kräfe wirken, bleib der Gesamimpuls, also die Summe der Einzelimpulse, erhalen. Der Erhalungssaz dieses Gesamimpulses is eine Voraussezung für die Beschreibung von Soßvorgängen (siehe auch Themenkreis 4). Gleichmäßig beschleunige Bewegung Ein wichiger Spezialfall is die Bewegung uner Einwirkung einer konsanen Kraf, die gleichmäßig beschleunige Bewegung; Beispiele siehe Bild 3.2. Da die Kraf konsan is, is auch die Beschleunigung konsan: F =cons., also auch a = F m =cons. Eine zweimalige Inegraion liefer dann die Gleichungen für die Bewegung bei konsaner Beschleunigung: dv = a v = a + v 0

4 Bewegungen von Massenpunken N 29 ds = v s = a v 0 + s 0. Dabei is s 0 der Or zur Zei =0und v 0 die Geschwindigkei zur Zei =0. Bei der Unersuchung des freien Falls eines Körpers im Schwerefeld der Erde oder anderen Experimenen kann man s 0 und v 0 zu Null wählen, so dass die Gleichungen für Geschwindigkei, Weg und Zei die einfachse Form erhalen, Bild 3.3: v a Seigung a Weg-Zei-Gesez v = a s = a 2 2 bei a =cons. sowie s 0 = 0 und v 0 =0. s= a 2 2 Bild 3.3. Geschwindigkei v und zurückgeleger Weg s bei einer Bewegung mi konsaner Beschleunigung a Die Geschwindigkei v und der zurückgelege Weg s haben hier die gleiche Richung wie die Beschleunigung a. Der Berag v der Geschwindigkei läss sich auch aus dem zurückgelegen Weg berechnen: v = 2as. Bei der Bewegung im Schwerefeld der Erde is der Berag a der Beschleunigung gegeben durch die Erdbeschleunigung g. Die Erdbeschleunigung ha den mileren Wer g =9,81 ms 2. Der genaue Wer von g häng allerdings von der geographischen Breie ab (s.a. Tab. 5.2), wie is das erklärbar? Arbei und Energie Will man an einem mechanischen Sysem eine Veränderung vornehmen, z. B. einen Körper verschieben, so muss man dazu in der Regel eine Arbei aufwenden. Arbei bei einer kleinen Verschiebung ds is definier als das (skalare) Produk aus der am Körper angreifenden Kraf F und dem Elemen ds des Verschiebungsweges s. Das Inegral längs des Weges s ergib die gesame Arbei A = (F ds). Schließen Kraf und Wegrichung den Winkel α ein, so gil: A = (F cos α)ds. Heb man einen Körper gegen die Gewichskraf F G = mg auf die Höhe h über ein willkürlich gewähles Nullniveau, so wende man wegen cos α =1dazu die Arbei A = mg(s s 0 )=mgh auf. Dieser Körper kann dann beim Herunerfallen einen Körper mi einer gleich großen Masse auf dieselbe Höhe heben, z. B. über eine Wippe. Diese Fähigkei eines Körpers, Arbei zu verrichen, wird als Energie bezeichne. Die Energie eines gehobenen Körpers der Masse m nenn man s Energie Epo = mgh poenielle Energie im Schwerefeld E po = mgh h oder Lageenergie, weil der gehobene Körper die Energie seiner speziellen Lage relaiv zu einem Nullniveau verdank. Ein Körper besiz aber auch dadurch Energie, dass er eine Geschwindigkei ha. Diese Energie heiß Bewegungsenergie oder kineische Energie E kin.derwer von E kin errechne sich am einfachsen am Beispiel des freien Falles, Bild 3.4. Beim Herabfallen des Körpers aus der Höhe h nimm die poenielle Energie laufend ab und is am Boden Null. Hier besiz der Körper dafür seine größe Geschwindigkei s E kin = 2 mv Bild 3.4. Umwandlung von poenieller in kineische Energie beim freien Fall

5 30 N 3. Translaion und Roaion v = 2gh und Bewegungsenergie. Die ursprünglich vorhandene Energie E po is in kineische Energie E kin umgewandel worden. Mi Hilfe dieser Energie is der Körper nun in der Lage (wenn man von Verlusen durch Reibung absieh), über einen Hebel ein gleich großes Gewich wieder bis zur Höhe h zu heben, also eine Arbei von der Größe E po = mgh = mg v2 2g = m 2 v2 zu liefern. Deshalb wird einem Körper mi der Geschwindigkei v eine kineische Energie E kin = m 2 v2 zugeordne. Im oben beschriebenen Beispiel is zu jedem Zeipunk die Summe aus poenieller Energie und kineischer Energie, d. h. die Gesamenergie konsan: mechanischer Energieerhalungssaz E po + E kin =cons. Dieser Energieerhalungssaz gil auch für andere reibungsfreie, mechanische Syseme, z. B. für eine springende Sahlkugel oder ein schwingendes Pendel. Bei allen mechanischen Geräen ri jedoch als weiere Energiear immer die Reibungswärme auf, so dass der Saz in der oben angegebenen Form bei realen Sysemen nich exak gil. Berücksichig man aber alle aufreenden Energiearen, z. B. Wärme E herm oder chemische Bindungsenergien E chem, so gil: allgemeiner Energiesaz E po + E kin + E herm + E chem +...=cons. a) φ Im allgemeinen bewirken Kräfe, die an einem sarren Körper angreifen, nich nur eine beschleunige Verschiebung (Translaion), sondern auch eine beschleunige Drehbewegung (Roaion). Zur Beschreibung der Drehbewegung werden Winkelgrößen eingeführ, Bild 3.5 a: φ G Drehbewegungen sarrer Körper Winkel ϕ Winkelgeschwindigkei ω = ω = dϕ/ = ϕ Winkelbeschleunigung α = α = dω/ = ω = ϕ, b) A ω r Bild 3.5. (a) Zur Definiion der Winkelgeschwindigkei dϕ/ und (b) des Drehmomens M M F weil diese bei einer Drehung für alle Teile des sarren Körpers gleich sind, während deren Translaionsgrößen wie Weg s, Bahngeschwindigkei v oder Bahnbeschleunigung a mi dem Absand von der Drehachse zunehmen. Drehmomen Um einen Körper in eine Drehung um eine fese Achse A zu versezen, muss eine Kraf F über einen Hebelarm r angreifen (Bild 3.5 b). Der Hebelarm is der Absand r zwischen der Drehachse A und dem Angriffspunk der Kraf. Als sinnvolle Beschreibungsgröße für die Drehbewegung erweis sich das vekorielle Produk aus angreifender Kraf F und dem Hebelarm r, das Drehmomen M = r F. Der Berag des Drehmomens is M = rf sin β, wenn Kraf und Hebelarm den Winkel β einschließen.

6 Drehbewegungen sarrer Körper N 31 Trägheismomen Um den Zusammenhang zwischen dem Drehmomen M und der dadurch verursachen Winkelbeschleunigung ω herzuleien, berachen wir eine beschleunige Kreisbewegung des Körpers, bei dem also Hebelarm r und Kraf F den Winkel β =90 einschließen, d. h. sin β =1is. Weier denken wir uns den sarren Körper zerleg in lauer Massenelemene mi der Masse Δm i (Bild 3.6). Für den Berag des Drehmomens M i auf dieses Massenelemen läss sich dann uner Verwendung der Newonschen Bewegungsgleichung F = d mv schreiben: M i = r i F i = r i (Δm i v i )=r i Δm i r i ω = Δm i ri 2 ω M i = I i ω = I ui α. Die Größe I i = Δm i ri 2 wird als das Trägheismomen des i-en Massenelemenes bei der Roaion um die Achse A definier. Für den gesamen sarren Körper summieren sich die Beiräge der einzelnen Massenelemene (Bild 3.6) m 1, m 2,... v i m i Trägheismomen bei diskreen Massenelemenen Δm i I = i Δm i r 2 i. Bei einer koninuierlichen Vereilung dieser Massenelemene in einem sarren Körper geh die Summe in ein Inegral über: Trägheismomen I = r 2 dm. r i Das Trägheismomen eines sarren Körpers häng von der Lage der Drehachse ab (siehe Themenkreis 8, Saz von Seiner). Drehimpuls Mi dem Trägheismomen erhäl man die Bewegungsgleichung für die Roaion: A Bild 3.6. Zerlegung eines roierenden Körpers in Massenelemene Δm i Grundgleichung für Drehbewegungen M = d (Iω) oder M = I ϕ bei I = cons.. Das Produk aus Trägheismomen und Winkelgeschwindigkei nenn man Drehimpuls L = Iω, so dass sich die Grundgleichung der Drehbewegung schreiben läss als M =dl/. Bei Abwesenhei von äußeren Drehmomenen gil dann der Erhalungssaz für den Drehimpuls, der Drehimpuls bleib zeilich konsan. Die bisher behandelen Zusammenhänge zeigen, dass sich die Roaion formal nach gleichen Gesezen wie die Translaion beschreiben läss, wenn man die jeweils analogen Beschreibungsgrößen verwende. Diese analogen Größen der Translaion und der Roaion sind in Tabelle 3.1 gegenübergesell. Gleichmäßig beschleunige Drehbewegung Ein wichiger Spezialfall is die Drehbewegung uner Einwirkung eines konsanen Drehmomenes, die gleichmäßig beschleunige Drehbewegung. Falls zusäzlich das Trägheismomen konsan is, is auch die Winkelbeschleunigung konsan: α = M I =cons. Eine zweimalige Inegraion liefer dann die Gleichungen für die Drehbewegung bei konsaner Winkelbeschleunigung:

7 32 N 3. Translaion und Roaion Tabelle 3.1. Gegenübersellung der Beragsgrößen der Translaions- und Roaionsbewegung Translaion Roaion Or s Winkel φ Geschwindigkei Beschleunigung v = ds a = dv Winkelgeschwindigkei Winkelbeschleunigung Masse m Trägheismomen I ω = dφ α = dω Kraf F Drehmomen M Impuls p = mv Drehimpuls L = I ω kineische Energie E mv Roaionsenergie Ekin = 1 kin = 1 2 I ω ω = α + ω 0 ϕ = α ω 0 + ϕ 0, siehe hierzu auch Bild 3.5. Dabei is ϕ 0 der Winkel zur Zei =0und ω 0 die Winkelgeschwindigkei zur Zei =0. Wenn man im Experimen ϕ 0 und ω 0 zu Null wähl, so vereinfachen sich diese Gleichungen ähnlich wie bei der Translaion: ω = α und ϕ = α 2 2, falls α =cons.. Kugel Auslöser s Fangschaler Uhr Bild 3.7. Fallversuch 3.1 Weg-Zei-Verlauf beim freien Fall (1/3) Mi einer frei fallenden Sahlkugel soll die Fallzei als Funkion des zurückgelegen Weges gemessen werden. Aus dem gemessenen Zusammenhang V sollen Geschwindigkei und Beschleunigung grafisch besimm werden. Sahlkugel mi Halerung und Auslöser zur Freigabe der Kugel. Fangschaler Z zum Auffangen der Kugel. Saivfuß zur Monage von Auslöser und Fangschaler. Elekronische Uhr. Alernaiv zu einem Fanghaler zur Messung der Fallzei kann auch eine Lichschranke eingesez werden. Die Sahlkugel wird in die Halerung eingespann und schließ dabei den K elekrischen Konak. Beim Auslösen der Kugel wird der elekrische Konak geöffne, und die Zeimessung beginn. Die Kugel riff einen Fangschaler, der die Zeimessung beende. Der Konak im Fangschaler wird dabei durch die Abwärsbewegung des Fangellers geschlossen, Bild 3.7. Dieser muss vor der Messung in seine obere Posiion (Fangschalerkonak geöffne) gezogen werden. In dieser Sellung wird die Höhe s (Absand zwischen den Kugelmielpunken in Auslöser und Fangschaler bei Schließen des Konakes) gemessen. Die Fallzei z. B. für 10 verschiedene Höhen wird jeweils dreimal gemessen (auf genügend viele Messpunke bei kleinen Höhen achen). Zu jeder Höhe s wird aus den gemessenen Zeien der Zeimielwer berechne. In einem Diagramm wird der Weg s in Abhängigkei von der Zei J aufgeragen. J Um zu prüfen, ob der erwaree Zusammenhang s = (g/2)2 (Weg-Zei- Gesez) zwischen dem Weg s und der Zei beseh, werden die Were des Weges s/cm in doppel logarihmischem Papier über der Zei /s aufgezeichne. Man kann auch den Logarihmus des jeweiligen Zahlenweres von s und ausrechnen und linear aufragen. Es handel sich um ein Gesez der Form s = c n oder log(s/cm) = n log(/s) + log c (Geradengleichung). Aus dem Diagramm kann daher die erwaree Seigung n =2und aus log(s/cm) bei log(/s) die Erdbeschleunigung besimm werden. Man unersuche und diskuiere Fehlerquellen, die z. B. bei der Auslösung des Fangschalerkonakes aufreen.

8 In einem zweien Diagramm soll aus dem ersen Diagramm durch grafische J Differeniaion die Geschwindigkei über der Zei aufgeragen werden. Es solle sich ein linearer Zusammenhang nach v = g, d. h. eine Gerade mi der Seigung g, der Erdbeschleunigung, ergeben. Aus dem Diagramm wird nochmals g besimm. 3.2 Besimmung der Erdbeschleunigung (1/3) V Z K Die Erdbeschleunigung g soll durch einen Kugelfallversuch bei feser Fallhöhe besimm werden. Es werden die gleichen Geräe wie in der vorhergehenden Aufgabe 3.1 verwende. Es soll die Erdbeschleunigung g möglichs genau besimm werden. Für eine Höhe s wird dazu die Fallzei mindesens fünfmal gemessen. Die Höhe s wird dabei möglichs groß gewähl. (Warum?) J Aus den gemessenen Zeien wird der Mielwer besimm und mi Hilfe des Gesezes für den freien Fall die Erdbeschleunigung berechne. Es soll eine Fehlerrechnung durchgeführ werden und ein Vergleich mi dem Lieraurwer erfolgen (siehe auch Themenkreis 5). 3.3 Energieerhalungssaz (1/3) 3.5 Beziehung zwischen Drehmomen und Winkelbeschleunigung N 33 V Es soll gezeig werden, dass die kineische Energie E kin = 1 2 mv2 nach einer Fallsrecke h gleich der poeniellen Energie E po = mgh is. Die Messungen sind die gleichen wie in Aufgabe 3.1; wurde diese durchgeführ, können die Messwere verwende werden. Die Masse der Sahlkugel K wird durch Wägung oder Rechnung aus Radius und Diche besimm. Für die verschiedenen Fallhöhen werden die poenielle und kineische Energie berechne und mieinander verglichen. Die Fehler werden abgeschäz. J 3.4 Drehung uner Einwirkung eines Drehmomenes (1/3) An einer um eine horizonale Achse drehbaren Scheibe (Wellrad) mi dem V Trägheismomen I soll ein konsanes Drehmomen M angreifen. Der Drehwinkel wird als Funkion der Zei gemessen. Die Winkelgeschwindigkei und -beschleunigung sollen grafisch besimm werden. Z K Wellrad nach Bild 3.8. Gewichssück mi Faden. Soppuhr. Das konsane Drehmomen wird erzeug durch ein Gewichssück mi der Gewichskraf F, das an einem Faden häng, der um eine Sufe des Wellrades gewickel is, Bild 3.9: Das Wellrad erhäl dadurch eine Winkelbeschleunigung α. Die Zei soll für mindesens 8 verschiedene Winkel (z. B. π, 2π, 3π,...) jeweils dreimal gemessen werden. Auf eine ausreichende Zahl von Messpunken bei kleinen Winkeln achen. Die lineare Abhängigkei der Winkelgeschwindigkei von der Zei sowie die J zeiliche Konsanz der Winkelbeschleunigung sollen durch grafische Auswerung gezeig werden. 3.5 Drehmomen und Winkelbeschleunigung (1/3) Es soll der Zusammenhang zwischen dem Drehmomen als Ursache der V Drehbewegung und den kinemaischen Größen der Drehbewegung, speziell der Winkelbeschleunigung, hergesell werden. Wellrad nach Bild 3.8. Gewichssücke mi Faden. Soppuhr. Plexiglasmaßsab oder Schiebelehre. Z R 1 R 2 Bild 3.8. Wellrad mi drei Sufen F R 1 R 3 I R 2 R 3 Bild 3.9. Das Wellrad erfähr durch ein Drehmomen, verursach durch die Gewichskraf F, eine Winkelbeschleunigung α

9 34 N 3. Translaion und Roaion Die verschiedenen Drehmomene können realisier werden enweder durch K verschiedene Gewichsücke oder durch Veränderung des Hebelarmes, indem man den Faden um verschiedene Sufen des Wellrades (R 1, R 2, R 3 )leg.ausder Messung von Drehwinkel ϕ und Zei wird nach der Beziehung α = 2ϕ 2 die Winkelbeschleunigung α besimm. Es sollen mindesens sechs verschiedene Drehmomene eingesell werden. In einem Diagramm wird die Winkelbeschleunigung in Abhängigkei vom Drehmomen M dargesell. Aus der Seigung läss sich wegen J M = Iα oder α = 1 I M R h r Bild Zur Berechnung des Trägheismomenes eines Vollzylinders dr d das Trägheismomen I des Wellrades besimmen. K J Die geomerischen Größen des Wellrades sind auszumessen. Der experimenell besimme Wer für I soll mi dem aus den Abmessungen des Wellrades berechneen verglichen werden. Für die Berechnung des Trägheismomenes I = r 2 dm eines Vollzylinders bzw. einer Kreisscheibe, Bild 3.10, mi dem Radius R und der Höhe h kann als Massenelemen dm angesez werden: dm = ρ dv = ρ drrdϕh. ρ is die Diche des Maerials und beräg z. B. für Aluminium ρ Al =2,70 g cm 3. Für die Roaion um die Zylinderachse is also I = R Z 2π r=0 ϕ=0 R Z = ρh r=0 r 2 ρdrrdϕh r 3 dr = ρh R4 Z 4 2π = π 2 ρhr4 Z. 2π ϕ=0 dϕ Das Trägheismomen des gesamen Wellrades wird als Summe der Trägheismomene der einzelnen Sufenscheiben abzüglich des Trägheismomenes der Innenbohrung berechne.

10 4. Soßprozesse Wiederholung der wichigsen Grundbegriffe und Erhalungssäze der Mechanik der Massenpunke. Beschreibung von elasischen und inelasischen V Soßvorgängen. Sandardlehrbücher (Sichwore: Impulserhalungssaz, Energieerhalungssaz, Soßprozesse). W G Impuls- und Energieerhalungssaz Für ein Sysem aufeinander soßender Körper mi den Massen m 1, m 2,... m n gil der Impulserhalungssaz m 1 u 1 + m 2 u m n u n = m 1 v 1 + m 2 v m n v n i m iu i = i m iv i, wobei u 1,u 2,... bzw. v 1,v 2,... die Geschwindigkeien der Körper vor bzw. nach dem Soß sind. Dabei wird vorausgesez, dass sich die Körper nur in einer Dimension bewegen. Bei einem vollkommen elasischen Soß bleib außerdem die Summe der kineischen Energien konsan: Energieerhalungssaz für kineische Energien 1 2 m 1u m 2u m nu 2 n = 1 2 m 1v m 2v m nv 2 n i 1 2 m iu 2 i = i 1 2 m iv 2 i. Speziell für den elasischen Soß zweier Körper gleicher Masse m 1 = m 2 folg aus Impuls- und Energieerhalungssaz: u 1 + u 2 = v 1 + v 2 und u u 2 2 = v1 2 + v2 2. Dieses quadraische Gleichungssysem ha zwei Lösungen, die man am einfachsen durch Einsezen überprüf. Die erse Lösung is v 1 = u 1 und v 2 = u 2. Dies bedeue, dass beide Kugeln nach dem Soß mi unveränderer Geschwindigkei weierfliegen, es häe also gar keine Wechselwirkung sagefunden, was physikalisch unineressan is. Die zweie Lösung is v 1 = u 2 und v 2 = u 1, d. h. die beiden Kugeln haben beim Soß ihre Geschwindigkeien ausgeausch. Is z. B. der Körper 2 vor dem Soß in Ruhe, u 2 = 0, so besiz er nach dem Soß die Geschwindigkei des soßenden Körpers 1, während dieser zur Ruhe komm, v 1 =0, Bild 4.1. Bei einem inelasischen Soß gil zwar der Impuls-, aber nich der Erhalungssaz der mechanischen Energien, da ein Teilchen außer der kineischen Energie noch andere Energien aufnehmen kann, z. B. Verformungsenergie. Bei Sößen vollkommen inelasischer Körper werden diese uner Erwärmung solange verform, bis sie die gleiche Geschwindigkei besizen v 1 = v 2 =... = v; dann hör die Wechselwirkung auf. Nach dem Impulserhalungssaz gil in diesem Fall u 1 v 1 0 u 2 0 v 2 Bild 4.1. Elasischer Soß zweier Kugeln, wobei eine Kugel in Ruhe is

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