Lösung parabolischer Differentialgleichungen mit zufälligen Randbedingungen mittels FEM

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1 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen mittels FEM A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Tecnisce Universität Cemnitz, Fakultät für Matematik, 917 Cemnitz, Germany Zusammenfassung In dieser Arbeit werden stocastisce Carakteristiken der Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Neumann-Randbedingungen mit Hilfe der Finite-Elemente-Metode angegeben. Dabei wird der Berecnung der Korrelationsbzw. Varianzfunktion besondere Bedeutung beigemessen. Das stocastisce Randanfangswertproblem wird durc Anwendung von FEM-Tecniken durc ein System gewönlicer Differentialgleicungen mit stocastiscen inomogenen Termen approximiert. Die Modellierung der stocastiscen Eingangsparameter durc ε-korrelierte Felder gestattet Entwicklungen der Lösungscarakteristiken nac der Korrelationslänge. Numerisce Beispiele entalten den Vergleic zwiscen analytiscen Ergebnissen und Simulationsresultaten. Sclagworte: Finite-Elemente-Metode, ε-korreliertes Feld, Moving-Average-Feld, parabolisce Differentialgleicungen MSC2 Klassifikation: 34F5, 6H35, 6G6, 65N3

2 162 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger 1 Einleitung Diese Arbeit bescäftigt sic mit der Lösung paraboliscer Randanfangswertaufgaben mittels Finite-Elemente-Metoden. Das Hauptinteresse liegt dabei auf der Berecnung und Simulation stocastiscer Kenngrößen wie Korrelations- bzw. Varianzfunktion der Lösungen. Beandelt werden parabolisce Differentialgleicungen der Art u 2 ( t λ i (t,x) u ) = f(t,x), x G R 2 x i x i i=1 mit einer Anfangsbedingung und den Randbedingungen u N (t,x) = P(t,x,ω) ( G)1 u(,x) = u (x), x Ḡ (1.1) ( ) u N (t,x) + α(u(t,x) u A(t,x)) =. ( G)2 Der Wärmeeinfluss P(t,x,ω) über den Rand ( G) 1 wird als zufällig betractet. Dieses Problem könnte beispielsweise als Modell eines Bremsvorganges im Rad oder eines Kupplungsvorganges im Farzeug dienen. Der Bremsklotz drückt auf die Bremssceibe, wobei es infolge der Reibung zu einem zufälligen Wärmefluss über die Oberfläce des Bremsklotzes kommt. Je nac Bescaffeneit der Oberfläcen von Bremssceibe und Bremsklotz ist die Reibung und damit der Wärmeeinfluss untersciedlic stark. Anlenend an [1], [2] ersceint es sinnvoll, diesen zufälligen Wärmefluss und damit indirekt die Oberfläcen von Bremsklotz und Bremssceibe als ε-korreliertes, zufälliges Feld zu approximieren. Die Eigenscaft der ε-korrelierteit meint, dass die Korrelationsfunktion R(x,y), x,y R m einer zufälligen Funktion f(x,ω), x R m verscwindet, wenn der Abstand zwiscen den Punkten x und y größer als die Korrelationslänge ε > ist. D.. für x y ε sind die Funktionswerte f(x) und f(y) unkorreliert. Somit sind ε-korrelierte Funktionen carakterisiert als zufällige Funktionen one Distanzeffekt. Im Gegensatz zum vielbenutzten Wite-Noise-Modell können diese Funktionen aber eine beliebige Glatteit besitzen. Von Interesse ist nun die zufällige Wärmeausbreitung inneralb des Mediums und dabei insbesondere deren stocastisce Carakteristiken, wie Korrelations- und Varianzfunktion. Abscnitt 2 get auf einige verwendete Aspekte der Teorie finiter Elemente ein. Als Ergebnis der FE-Diskretisierung ergibt sic das stocastisce Anfangswertproblem M u (t) + K u (t) = f (t) AB: M u () = d,

3 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 163 wobei die Matrizen M und K die Masse- und Steifigkeitsmatrix der diskretisierten Randanfangswertaufgabe (1.1) darstellen. Der Vektor f bezeicnet den inomogenen Term, in welcen der zufällige Wärmestrom P einget. Abscnitt 3 widmet sic der analytiscen Lösung des eraltenen stocastiscen Anfangswertproblems sowie der Berecnung seiner Korrelationsmatrix E{u (t 1 )u T (t 2)}. Die Idee berut auf einer Eigenwertzerlegung der Systemmatrix A = M 1 K. Darauf aufbauend ergibt sic die Korrelationsfunktion E{u (t 1,x 1 )u (t 2,x 2 )} der diskretisierten Lösung u des Randanfangswertproblems (1.1). In den abscließenden beiden Abscnitten werden Möglickeiten einer direkten Simulation des betracteten Randanfangswertproblems aufgezeigt. Die Modellierung des zufälligen Wärmeeinflusses P(t,x,ω) über den Rand ( G) 1 erfolgt dabei als ε-korreliertes, zufälliges Feld. Zur Simulation solcer Felder wurde der Ansatz über Moving-Average-Felder gewält, welcer dadurc motiviert wird, dass die Korrelationsfunktion eines Moving-Average-Feldes der Ordnung (p, q) außeralb einer (p, q)- Umgebung der Null verscwindet. Diese Eigenscaft korrespondiert mit der definierenden Eigenscaft einer ε-korrelierten Funktion, deren Korrelationsfunktion außeralb der ε-umgebung der Null verscwindet. Die Anwendung von Moving-Average-Feldern stellt eine Erweiterung der in [1] vorgesclagenen Vorgeensweise dar. Die Varianzen der simulierten Lösung des Randanfangswertproblems werden mit den in Abscnitt 3 berecneten Varianzen verglicen. 2 Finite-Elemente-Metode Die Überlegungen bezieen sic auf das parabolisce Randanfangswertproblem (RAWP) u t 2 i=1 x i ( λ i (t,x) u ) = f(t,x) x G R 2, x = (x 1,x 2 ) x i AB: u(,x) = u (x) x Ḡ RB 1. Art: u(t,x) = g 1 (t,x) x Γ 1 u 2. Art: N (t,x) = g 2(t,x) x Γ 2 u 3. Art: N (t,x) + α(t,x)u(t,x) = α(t,x)u A(t,x) x Γ 3 (2.1) mit t (,T), u 2 N := u λ i n i x i i=1 ( n = (n 1,n 2 ) T Normalenvektor). Γ i bezeicnen die Randstücke des betracteten Gebietes G mit Γ 1 Γ 2 Γ 3 = G. In der Variationsformulierung besitzt das RAWP die Form (u t,v) + a(t;u,v) = F(t),v v V AB: (u(, ),v) = (u,v) v V. (2.2) Worksop Stocastisce Analysis

4 164 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Dabei werden folgende Bezeicnungen eingefürt: (u t,v) = u t (t,x)v(x)dx a(t;u,v) = F(t),v = G G G 2 λ i (t,x)u xi (t,x)v xi (x)dx + α(t,x)u(t,x)v(x)ds i=1 Γ 3 f(t,x)v(x)dx + g 2 (t,x)v(x)ds + α(t,x)u A (t,x)v(x)ds. Γ 2 Γ 3 Der Raum V bescreibt den Raum der Testfunktionen und ist gegeben durc mit V = {v H 1 (G) : v = auf Γ 1 } H 1 (G) = {u L 2 (G) : verallg. Ableitung u x i L 2 (G),i = 1, 2}. Eine Lösung von (2.2) ist eine Funktion u(t,x), die (2.2) genügt und für die gilt u(t, ) V g1 := {u(t, ) H 1 (G) : u = g 1 auf Γ 1 ;t (,T)}, u(t, ) L 2 (G),t [,T], u(t, ) stetig für t T, u t (t, ) L 2 (G),t (,T], u t (t, ) stetig für < t T. Um eine Diskretisierung des Problems (2.2) zu eralten, wird zunäcst das Gebiet G diskretisiert. Dabei bezeicnet den Diskretisierungsparameter. Im Weiteren werden V und V g1 durc die endlicdimensionalen Mengen V = { v : v (x) = i χ v i p i (x) } bzw. { V g1 = u (t,x) : u (t,x) = u i (t)p i (x) + } g 1 (t,x j )p j (x) i χ j γ ersetzt, wobei χ = {1, 2,..., N } die Indizes aller Knoten x k auf Ḡ, χ = {1, 2,...,N } die Indizes aller Knoten x k auf G Γ 2 Γ 3, γ = {N + 1,..., N } die Indizes aller Knoten x k auf Γ 1 angeben und {p i, i χ } ein System von Ansatzfunktionen mit lokalem Träger bezeicnet.

5 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 165 Bei Zugrundelegung von V und V g1 folgt aus (2.2) die semidiskrete Ersatzaufgabe, die Galerkin-Formulierung, des Randanfangswertproblems (2.1): M u (t) + K (t)u (t) = f (t) AB: M u () = d. (2.3) Dabei wurden die folgenden Ausdrücke eingefürt: M = (( p i,p j ) ) i,j χ Massenmatrix, K (t) = (a(t;p i,p j )) i,j χ Steifigkeitsmatrix, ( f (t) = F(t),p i ġ 1 (t,x j )(p j,p i ) g 1 (t,x j )a(t;p j,p i ) j γ j γ d = ( (u,p i ) j γ g 1 (,x j )(p j,p i ) ) T i χ Lastvektor, ) T i χ Moment der Anfangstemperatur. Der Lösungsvektor u (t) = (u,i (t)) T i χ des Anfangswertproblems (2.3) fürt somit auf eine approximative Lösung von (2.2) u (t,x) = i χ u,i (t)p i (x) + j γ g 1 (t,x j )p j (x). (2.4) Bezüglic der konkreten Finite-Elemente-Tecnologie sei etwa auf [5] verwiesen. 3 Berecnung der Korrelationsfunktion Die Lösung u des im vorigen Abscnitt ergeleiteten stocastiscen Anfangswertproblems (2.3) lässt sic darstellen als t u (t) = G(t)d + G(t s)f (s)ds mit G(t) := e 1 M Kt M 1. (3.1) Hierbei werden λ := λ 1 (t,x) = λ 2 (t,x) als konstant und α(x) als zeitunabängig vorausgesetzt, so dass die Steifigkeitsmatrix K (t) unabängig von der Zeit t ist. Für die weiteren Überlegungen wird das RAWP (2.1) konkretisiert. Das betractete Gebiet sei das in Abbildung 3.1 dargestellte Recteckgebiet. Randbedingungen (RB) 1. Art seien nict voranden, des Weiteren sei die RB 2. Art, welce den Wärmeeinstrom über den Rand Γ 2 bescreibt, zufällig und abe die Gestalt u u (t,x) = λ (t,x) = λp(t,x 1,ω), x Γ 2. N x 2 Worksop Stocastisce Analysis

6 166 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Die Randbedingungen 3. Art dagegen, welce den Wärmestrom infolge von Temperaturunterscieden im Innen- und Außengebiet bescreiben, seien deterministisc und gegeben durc u N (t,x) + α i(u(t,x) u A (t,x)) =, x Γ 3,i, i = 2, 3, 4, wobei die Koeffizienten α i als konstant vorausgesetzt werden sollen. H x 2 Γ 3,3 Γ 3,2 Γ 3,4 G Γ 2 R Abbildung 3.1: Gebiet G R x 1 Damit at (2.1) die Form u t λ u = f(t,x,ω) x G R 2 AB: u(,x) = u (x) x Ḡ RB 2. Art: 3. Art: u x 2 (t,x) = P(t,x 1,ω) x Γ 2 u N (t,x) + α i(u(t,x) u A (t,x)) = x Γ 3,i, i = 2, 3, 4. (3.2) Es bezeicne w(t, x) die Lösung des zu (3.2) geörenden gemittelten Problems, das man erält, wenn man die im obigen RAWP entaltenen zufälligen Größen durc ire Erwartungswerte ersetzt. Dann ergibt sic für ū(t,x,ω) := u(t,x,ω) w(t,x) bei deterministiscer Anfangsbedingung u (x) das RAWP ū t λ ū = f(t,x,ω) x G R 2 AB: ū(,x) = x Ḡ RB 2. Art: 3. Art: ū x 2 (t,x) = P(t,x 1,ω) x Γ 2 ū N (t,x) + α i ū(t,x) = x Γ 3,i, i = 2, 3, 4, (3.3)

7 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 167 wobei f := f E{f} und P := P E{P } gesetzt wurde. In diesem Fall berecnen sic die Elemente der Steifigkeitsmatrix als a(t;p i,p j ) = λ und der Lastvektor als f (t,ω) = G G 2 k=1 p i x k p j x k dx 1 dx α k k=2 f(t,x,ω)p i (x)dx + λ p i (x) P(t,x 1,ω)ds Γ 2 Die Anfangsbedingung in (2.3) at dann die Form d =. Γ 3,k p j p i ds (3.4) Im Weiteren sollen die inneren Wärmequellen f(t, x) nict zufällig sein, so dass sic f(t,x,ω) = ergibt. Somit kann der Lastvektor gescrieben werden als f (t,ω) = R R F i (s) P(t,s,ω)ds T T i χ ḣ i χ (3.5) mit Funktionen F i, die sic aus den Ansatzfunktionen bestimmen. Die F i sind i. allg. von Null verscieden nur für Indizes von Knoten, die auf dem Rand Γ 2 liegen. Die Galerkin-Formulierung des RAWP (3.3) kann in der Form (vgl. (2.3)) M u (t) + K u (t) = f (t) ; u () = (3.6) gescrieben werden, wobei ier die Elemente der Matrix K mit (3.4) und der Vektor f (t) mit (3.5) gegeben sind. Die Lösung von (3.6) lässt sic darstellen als (vgl. (3.1)) t u (t,ω) = G(t s)f (s,ω)ds, G(t) = exp( M 1 K t)m 1. (3.7) Ziel der folgenden Überlegungen ist es, die Korrelationsfunktion und speziell die Varianzfunktion der Lösung zu bestimmen. Wir eralten aus (3.7) unter Einbezieung von (3.5) u (t,ω) = t R R G(t s)f(r) P(s,r,ω)ds dr mit F(t) := (F i (t)) T i χ und für die Korrelationsfunktion E{u (t 1 )u T (t 2 )} t 1 t 2 R R = G(t 1 s 1 )F(r 1 )F T (r 2 )G T (t 2 s 2 )E{ P(s 1,r 1 ) P(s 2,r 2 )}ds 1 ds 2 dr 1 dr 2. R R Worksop Stocastisce Analysis

8 168 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Setzt man für das zufällige Feld P(s,r,ω) die ε-korrelierteit voraus, so ergibt sic lim ε 1,ε 2 1 ε 1 ε 2 E{u (t 1 )u T (t 2 )} = t 12 R R mit t 12 := min{t 1,t 2 } und der Intensität a(t, x) := lim ε 1,ε 2 σ 2 ε 1 ε 2 G(t 1 s)f(r)f T (r)g T (t 2 s)a(s,r)ds dr (3.8) ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 E{ P(t,x) P(t + s,x + r)}ds dr (siee etwa [2]). Die ε-korrelierteit beinaltet die Forderung, dass die Korrelationsfunktion von P der Eigenscaft genügt. E{ P(t,x) P(t + s,x + r)} =, falls s ε 1 oder r ε 2 Eine Korrelationsfunktion mit dieser Eigenscaft ist z.b. gegeben durc E{ P(t,x) P(t + s,x + r)} = R 1 (s)r 2 (r) mit R 1 (s) = σ ( 1 s ε 1 ) 2 s < ε 1 sonst und R 2 (r) = σ ( 1 r ε 2 ) 2 r < ε 2 sonst. (3.9) Die Intensität ierzu berecnet sic aus a = lim ε 1,ε 2 σ 2 ε 1 ε 2 Für kleine ε 1,ε 2 erält man ε 1 ε 1 E{u (t 1 )u T (t 2 )} ε 1 ε 2 R (t 1,t 2 ) ( 1 s ) 2 ε 2 ( ds 1 r ) 2 dr = 4 ε 1 ε 2 9 σ2. ε 2 mit R (t 1,t 2 ) = t 12 R G(t 1 s)f(r)f T (r)g T (t 2 s)a(s,r)ds dr. (3.1) R Aus der Verträglickeit von Anfangsbedingung und Randbedingungen in (3.3) folgt P(,x 1,ω) = auf Γ 2. Auf Γ 3,2 und Γ 3,4 gilt [ ±λ ū ] (t,x 1,x 2 ) + α i ū(t,x 1,x 2 ) = für x 2 H, x 1 x 1 =±R

9 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 169 und Differentiation nac x 2 fürt auf [ ±λ ( ) ] ū ū (t,x 1,x 2 ) + α i (t,x 1,x 2 ) =. x 1 x 2 x 2 x 1 =±R [ ] ū Diese Bezieung in x 2 = betractet und x 2 (t,x 1,x 2 ) = P(t,x 1 ) berücksictigt x 2 = ergibt [ ±λ P ] (t,x 1 ) + α i P(t,x1 ) =. x 1 x 1 =±R Folglic ist eine Intensität a(t,x 1 ) = a = const für t, x 1 R mit diesen Verträglickeitsbedingungen nict vereinbar. Eine Intensität mit ã(t,x 1 ) = a = const für t δ, x 1 R δ ist jedoc mit diesen Bedingungen verträglic. Resultate bezüglic der Korrelationsfunktion der Lösung des RAWP untersceiden sic nur wenig, verwendet man die Intensität a bzw. ã. Wegen der numeriscen Vorteile wird in den folgenden Betractungen eine für t, x 1 R konstante Intensität verwendet. Aus (3.1) erält man in diesem Fall R (t 1,t 2 ) = a t 12 e A (t 1 s) C e AT (t 2 s) ds mit C := M 1 R R F(r)F T (r)drm T, G(t) = e At M 1 und A := M 1 K. (3.11) Die Systemmatrix A ist, wie Lemma 3.1 zeigt, diagonalisierbar. Lemma 3.1 Es seien M und K die Masse- bzw. Steifigkeitsmatrix des Systems (3.6). Dann ist die Systemmatrix A = M 1 K diagonalisierbar, d.. A = V ΛV 1. Dabei bezeicnet Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) eine Diagonalmatrix, deren Einträge die Eigenwerte von A sind. Die Matrix V bestet aus den zu den Eigenwerten geörenden Eigenvektoren als Spalten der Matrix. Beweis. Da M positiv definit und symmetrisc ist, existiert M 1 2. Mit K und M 1 2 ist auc die Matrix M 1 2KM 1 2 symmetrisc und damit diagonalisierbar, d.. es existiert eine Matrix Ṽ mit Ṽ M 1 2 KM 1 2 Ṽ 1 = (Ṽ M 1 2 )M 1 K(Ṽ M 1 2 ) 1 = Λ. Folglic ist auc M 1 K diagonalisierbar. Worksop Stocastisce Analysis

10 17 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Aus A = V Λ V 1 Setzt man so ist folgt e ±A s = V e ±Λ s V 1 und damit aus (3.11) R (t 1,t 2 ) = av C := V 1 C V T t 12 e Λ (t 1 s) V 1 = (M V ) 1 R R C V T R (t 1,t 2 ) = av R (t 1,t 2 )V T mit R (t 1,t 2 ) = e Λ (t 2 s) ds V T. F(r)F T (r)dr (M V ) T, (3.12) t 12 e Λ (t 1 s) C e Λ (t 2 s) ds. Die Elemente der Matrix R (t 1,t 2 ) können gescrieben werden als R,ij (t 1,t 2 ) = C ( ),ij e λ j (t 1 t 2 ) e λ it 1 λ j t 2 für t 1 t 2 λ i + λ j ( ). e λ i (t 2 t 1 ) e λ it 1 λ j t 2 für t 2 t 1 Die approximative Lösung des RAWP (3.3) ū (t,x) = i χ u,i (t)p i (x) fürt auf die Korrelationsfunktion E{ū (t 1,x)ū (t 2,y)} = E{u,i (t 1 )u,j (t 2 )}p i (x)p j (y) i,j χ ε 1 ε 2 R,ij (t 1,t 2 )p i (x)p j (y) i,j χ (vgl. (3.1)). Für die Ansatzfunktionen gilt p i (x i ) = 1, wenn x i den i-ten Knoten bezeicnet. Folglic steen die Hauptdiagonaleinträge R,ii (t 1,t 2 ), i = 1, 2,...,N bis auf den Faktor ε 1 ε 2 für die zeitlice Korrelation im Knoten x i der Vernetzung bzgl. der Zeitpunkte t 1 und t 2. Die Einträge außeralb der Hauptdiagonalen bezeicnen die Korrelationen zwiscen ū (t 1,x i ) und ū (t 2,x j ). Dabei ist zu beacten, dass Matrixelemente von R mit benacbarten Indizes nict benacbarte Punkte der Vernetzung zu sein braucen, sondern die dazugeörigen Punkte der Vernetzung über eine Elementzusammenangstabelle zu ermitteln sind. Es soll nun noc auf die Möglickeit eingegangen werden, die Korrelationsmatrix R aus einer Lyapunov-Gleicung zu berecnen. Die Bezieung (3.11) kann in der Form R (t 1,t 2 ) = ae A t 1 Q(t 12 )e AT t 2

11 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 171 mit Q(τ) := τ e A s C e AT s ds gescrieben werden. Partielle Integration fürt auf A Q(τ) = τ und damit auf die Bezieung A e A s C e AT s ds = e A τ C e AT τ C Q(τ)A T A Q(τ) + Q(τ)A T = e A τ C e AT τ C. Multiplikation dieser Bezieung von rects mit e AT t 2 und von links mit ae A t 1 ergibt die Lyapunov-Gleicung für R (t 1,t 2 ) A R (t 1,t 2 ) + R (t 1,t 2 )A T = ae A t 1 ( e A t 12 C e AT t 12 C ) e AT t 2 (3.13) mit t 12 = min{t 1,t 2 }. Für die Varianzfunktion R (t,t) folgt dann ) A R (t,t) + R (t,t)a T = a (C e At C e AT t. Ein Gleicungssystem der Art A X + XA T = B (ier mit A = M 1 K ), (3.14) wie es für die Korrelations- und Varianzfunktion abgeleitet wurde, wird in der Literatur als Lyapunov-Gleicung bezeicnet. Für eine detaillierte Einfürung in deren Teorie und Lösungsmöglickeiten sei auf [4] verwiesen. Zur Lösung dieser Matrix-Gleicung kann beispielsweise der Algoritmus von Bartels and Stewart [9] genutzt werden. Die Metode basiert auf einer Scur-Reduktion auf Dreiecksform durc Änlickeitstransformationen. aus Lem- Im ier betracteten Fall kann mit Hilfe der Transformation A = V Λ V 1 ma 3.1 die Lyapunov-Gleicung gelöst werden. Aus (3.14) folgt V 1 A V V 1 T XV + V 1 T XV V T A T V T = V 1 B V T und mit X := V 1 T XV ergibt sic eine Lyapunov-Gleicung für X Λ X + XΛ = V 1 B V T. (3.15) ( Im Falle von X = R (t 1,t 2 ) gilt B = ae A t 1 e A t 12 C e AT t 12 C )e AT t 2 und folglic ( V 1 B V T = ae Λ t 1 e Λ t 12 C e Λ t 12 C ) e Λ t 2 =: B mit C nac Gleicung (3.12). Die Lösung der Lyapunov-Gleicung (3.15) ergibt sic dann elementweise als X ij = 1 λ i + λ j B,ij Worksop Stocastisce Analysis

12 172 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger und daraus die Lösungsmatrix X = V XV T. Für die Korrelationsfunktion R (t 1,t 2 ) folgt und für die Varianzfunktion R (t,t) = V ( 1 λ i + λ j B,ij (t,t) R (t 1,t 2 ) = V ( 1 λ i + λ j B,ij (t 1,t 2 ) ) V T i,j χ ) V T i,j χ ( mit B (t,t) = a C e Λ t C e t) Λ. 4 Modellierung ε-korrelierter Felder durc Moving- Average-Felder Abscnitt 3 bescäftigte sic mit der Berecnung der Korrelationsfunktion der Lösung eines stocastiscen Anfangswertproblems der Form (3.6), welces aus der FE- Diskretisierung des Ausgangsproblemes (3.2) ervorgegangen ist. In diesem Abscnitt werden die erzielten analytiscen Resultate mit Simulationsergebnissen in Bezieung gesetzt, wobei der zufällige Wärmeeinstrom über den Rand Γ 2 mit Hilfe von Moving- Average-Feldern (MA-Feldern) als ε-korreliertes, zufälliges Feld modelliert wird. Die Vorgeensweise zur Modellierung derartiger zufälliger Felder gliedert sic in die Diskretisierung des Gebietes ([ R,R] [,t max ]) über ein Stützstellengitter mit äquidistanten Abständen 1 und 2 in Orts- und Zeitrictung, eine Generierung von abängigen Zufallsgrößen η ij über Moving-Average-Felder in jedem Gitterpunkt (i,j) und die Interpolation zwiscen den Gitterpunkten. Mit diesem Konzept kann gesicert werden, dass die Korrelationsfunktion des zufälligen Feldes die Struktur einer vorgegebenen Korrelationsfunktion at. Ein zufälliges Feld (η ts ) t,s Z wird ein zweidimensionales MA-Feld der Ordnung (p,q) genannt, falls es sic durc die Bezieung η ts = p i= q a i b j ξ t i,s j mit t,s Z (4.1) j= darstellen lässt. Dabei bezeicnet (ξ ij ) i,j Z ein Wite-Noise-Feld (d.. die ξ ij sind unabängig und identisc verteilt mit E{ξ ij } = und Var {ξ ij } = σξ 2 ). Eine detaillierte Darstellung zu MA-Feldern im Zusammenang mit ε-korrelierten Feldern ist in [11] zu finden. Für weiterfürende Bemerkungen zu MA-Prozessen sei beispielsweise auf [7] oder [8] verwiesen. Wictige Eigenscaften eines MA-Feldes sind in folgendem Satz zusammengefasst.

13 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 173 Satz 4.1 Sei (η ts ) t,s Z ein Moving-Average-Feld der Ordnung (p,q). Dann gilt: 1. das Feld ist omogen, 2. E{η ts } =, t,s Z, 3. die Korrelationsfunktion des Feldes at die Gestalt E{η t,s η t+τ1,s+τ 2 } ( ) σ 2 p τ 1 q τ 2 ξ a i a i+ τ1 b j b j+ τ2 τ 1 p, τ 2 q =γ η (τ 1,τ 2 ) = i= j= sonst, (4.2) 4. das Feld ist ortotrop. Ein zentriertes Feld α(x), x = (x 1,x 2 ) R 2 wird als omogen bezeicnet, falls für die Korrelationsfunktion E{α(x)α(x + y)} = R αα (y) gilt und im Falle der Bezieung wird α als ortotrop bezeicnet. E{α(x)α(x + y)} = R αα ( y 1, y 2 ) mit y = (y 1,y 2 ) Nac Gleicung (4.2) ergibt sic die Korrelationsfunktion γ η (τ 1,τ 2 ) des zweidimensionalen Falles aus der Multiplikation der Korrelationsfunktionen zweier eindimensionaler MA-Prozesse p q ζ 1,t = a i ξ 1,t i und ζ 2,t = b i ξ 2,t i. i= Dabei bezeicnen (ξ 1,t ) t Z und (ξ 2,t ) t Z Wite-Noise-Prozesse mit den Eigenscaften E{ξ k,t } =, Var {ξ k,t } = σ 2 k, k = 1, 2. σ2 ξ ist mit σ2 ξ = σ2 1σ 2 2 gegeben. Ziel ist es nun, aus einer gegebenen Korrelationsfunktion γ(τ 1,τ 2 ) ein MA-Feld zu erzeugen, welces die gleice Korrelationsstruktur besitzt. Einscränkend wird von einer Korrelationsfunktion der Art γ(τ 1,τ 2 ) = γ 1 (τ 1 )γ 2 (τ 2 ) ausgegangen. Die Bestimmung des MA-Feldes konzentriert sic auf die Berecnung der Koeffizienten (σ1,a 2,a 1,...,a p ) sowie (σ2,b 2,b 1,...,b q ), die sic aus bezieungsweise aus γ 1 (τ) = σ 2 1 γ(τ 1,τ 2 ) = γ 1 (τ 1 )γ 2 (τ 2 ) = p τ i= σ 2 1 p τ 1 i= i= a i a i+ τ1 σ 2 2 a i a i+ τ mit τ p und γ 2 (τ) = σ 2 2 q τ 2 j= q τ i= b j b j+ τ2 b i b i+ τ mit τ q Worksop Stocastisce Analysis

14 174 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger ergeben. Eine Darstellung möglicer Lösungsmetoden ist in [11] angegeben. Mit Hilfe der Interpolation eines MA-Feldes (η ts ) t,s Z aus Gleicung (4.1) wird ein ε- korreliertes Feld f(t,z) erzeugt, welces den zufälligen Wärmestrom P(t,x 1 ) des Randanfangswertproblems (3.3) modelliert. Dazu wird f(t,z) durc f(t,z) = i,j Z p 1,i (t)p 2,j (z)η ij (4.3) definiert, wobei ( ) ( ) t ti z zi p 1,i (t) := p 1, t i = i 1, p 2,i (z) := p 2, z i = i gesetzt wird und p 1,p 2 : R R Funktionen mit den Eigenscaften p (r) für r R, p (r) = für r 1, p () = 1, p ( r) = 1 p (1 r) für r [, 1] bezeicnen sollen. Unter diesen Annamen gelten für die Interpolationsfunktionen p,i die Bezieungen p,i (r j ) = δ ij, p,i (r) + p,i+1 (r) = 1 für r [r i,r i+1 ], p,i (r) = für r R \ (r i 1,r i+1 ), i p,i (r) = 1 für r R. Dabei stet die Variable r für t bzw. z, entsprecend für p 1,i bzw. p 2,i. Das Interpolationsfeld f(t,z) kann für t [t i,t i+1 ] und z [z j,z j+1 ] gescrieben werden als f(t,z) =p 1,i (t)p 2,j (z)η i,j + p 1,i+1 (t)p 2,j (z)η i+1,j + p 1,i (t)p 2,j+1 (z)η i,j+1 + p 1,i+1 (t)p 2,j+1 (z)η i+1,j+1. { 1 r [, 1] Für p (r) = ergibt sic ein Feld mit stückweise konstanten Trajektorien sonst der Art f(t,z) = η ij für t [t i,t i+1 ], z [z j,z j+1 ]. Der Fall p (r) = (1 r ) + fürt auf lineare Interpolation, welce bei den numeriscen Berecnungen verwendet werden soll.

15 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 175 Satz 4.2 Das zufällige Feld f aus (4.3) ist zentriert und ε-korreliert mit der Korrelationslänge ε = (ε 1,ε 2 ) = ((p + 2) 1, (q + 2) 2 ). Des Weiteren ist f periodisc verteilt mit der Periode θ = ( 1, 2 ), d.. es gilt für alle m N und für alle Borelmengen B i aus R P(f(t 1,z 1 ) B 1,...,f(t n,z n ) B n ) = P(f(t 1 + m 1,z 1 + m 2 ) B 1,...,f(t n + m 1,z n + m 2 ) B n ). Es zeigt sic (vgl. Abbildung (4.1)), dass die Varianz von f(t,z) nict konstant ist und folglic f(t,z) sic als nict scwac omogen erweist Abbildung 4.1: Varianzfunktion von f(t,z) Durc eine zufällige Versciebung der Argumente des periodisc verteilten Feldes f(t, z) kann dieses in ein streng omogenes Feld überfürt werden. Satz 4.3 Es sei α = (α 1,α 2 ) ein auf [, 1 ] [, 2 ] gleicverteilter Zufallsvektor, wobei α 1, α 2 als unabängig vorausgesetzt werden. Des Weiteren werde α als unabängig von dem zugrunde liegenden Wite-Noise-Feld (ξ ij ) i,j Z angenommen. Dann ist das Feld ϕ(t,z,ω) = f(t + α 1,z + α 2,ω) (4.4) streng omogen und besitzt eine Korrelationsfunktion der Gestalt E{ϕ(t,z)ϕ(t + τ 1,z + τ 2 )} = =: R ϕϕ (τ 1,τ 2 ). E{f(s,r)f(s + τ 1,r + τ 2 )}ds dr Weiterin ist ϕ(t,z) ε-korreliert mit Korrelationslänge ε=(ε 1,ε 2 )=((p + 2) 1, (q + 2) 2 ). Worksop Stocastisce Analysis

16 176 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger 5 Numerisce Ergebnisse und Simulation Mittels statistiscer Auswertungen über Realisierungen der Lösung des RAWP (3.3) werden eraltene Ergebnisse zur Korrelationsfunktion mit Simulationsergebnissen verglicen. Der ε-korrelierte Wärmeeinfluss P über den Rand Γ 2 wird mit Hilfe des zufälligen Feldes ϕ(t,x) aus Satz 4.3 erzeugt. Die Lösung der FE-Probleme basiert dabei auf der in Abscnitt 2 kurz bescriebenen Vorgeensweise. Dabei ist zu bemerken, dass die Massenmatrix M sowie die Steifigkeitsmatrix K aufgrund der zeitlic konstant angenommenen Parameter unabängig von der Zeit sind und somit nur einmal für alle Zeitscritte generiert werden müssen. Der Lastvektor f ingegen muss aufgrund der Zeitabängigkeit des zufälligen Wärmeeinstroms in jedem Zeitscritt neu berecnet werden. Bemerkung 5.1 Eine Reie von FEM-Programmen benutzt ein festes Netz, d.. Anzal und Lage der Knoten sind festgelegt. In dieser Arbeit wird nur von einem Grobnetz ausgegangen und dieses Scritt für Scritt verfeinert. Im Zusammenspiel mit einer entsprecenden Verwaltung der Netzdaten fürt das auf eine problemangepasste Netzverfeinerung, wie in Abbildung 5.2 dargestellt und die Möglickeit der Implementierung oceffizienter Vorkonditionierer (vgl. [5], [6]). Abbildung 5.1: Total verfeinertes Netz mit 561 Knoten Abbildung 5.2: Adaptiv verfeinertes Netz mit 447 Knoten Die Abbildungen 5.1 und 5.2 zeigen die Struktur eines total verfeinerten und eines adaptiv verfeinerten Netzes. Obwol das adaptiv verfeinerte Netz aus weniger Knoten bestet, wird der Einfluss der zufälligen Randbedingung P über den Rand Γ 2 besser berücksictigt und durc die Verfeinerung der Mittelzone und der zu Γ 2 randnaen Zone kann eine öere Genauigkeit der zu bestimmenden Korrelations- bzw. Varianzgrößen erreict werden. Somit wird ein Kompromiss zwiscen der Auflösung des Gebietes und einer niedrigen Dimension des zu lösenden Anfangswertproblems erreict. Um realistisce Scätzungen stocastiscer Kenngrößen anand von Simulationen des RAWP vornemen zu können, ist eine große Zal von Realisierungen nötig. Auf sequentiellen Recnern ist dies mit oem Zeitaufwand verbunden. Hier bietet es sic an, dieses Problem beispielsweise über eine Master-Slave Variante zu parallelisieren. Der Masterprozess überwact die Verteilung der einzelnen Simulationen sowie die Übergabe der Startwerte, die Realisierung des Wärmeeinstroms P, steuert die Kommunikation und verwaltet die Ergebnisse. Die einzelnen Slaveprozesse füren die Simulationen aus und

17 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 177 geben die Ergebnisse an den Masterprozess zurück. Umgesetzt wurden diese Algoritmen auf dem Cemnitzer Linux Cluster (CLIC) unter LAM-MPI und mit versciedenen Clustergrößen mit bis zu 256 Prozessoren getestet. In Tabelle 5.1 und Abbildung 5.3 sind die Recenzeiten in Sekunden in Abängigkeit von der Anzal der durcgefürten Simulationen aufgefürt. Es wurde das RAWP (3.3) der Dimension 447 mit jeweils 34 Zeitscritten und untersciedlicer Anzal von Simulationen auf untersciedlic vielen Prozessoren des CLIC gerecnet. Die einzelnen Mascinen sind mit 8-MHz-Pentium- III-Prozessoren bestückt. N : p Tabelle 5.1: Recenzeiten in Sekunden bei einer Anzal von N Simulationen mit untersciedlicen Clustergrößen p 1 1 Recenzeiten der Simulationen auf Prozessoren N=8 N=16 N=32 N=1 N=1 N=1 N=1 Recenzeit in Sekunden Prozessoranzal Abbildung 5.3: Recenzeiten in Abängigkeit von der Prozessoranzal Es zeigt sic, dass bei einem sinnvollen Verältnis von Recenaufwand und Prozessoranzal eine naezu lineare Skalierung in der Zeit erreict werden kann. Worksop Stocastisce Analysis

18 178 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger Mit Hilfe der angegebenen Verfaren sollen die berecnete und gescätzte Varianzfunktion der approximativen Lösung ū des stocastiscen RAWP (3.3) mit f verglicen werden. Dabei wurden die Materialparameter R = 1, H = 8, λ = 1, α 2 =, α 4 =, α 3 = 1 gewält und für die Simulation des ε-korrelierten Feldes P wurden die Vereinbarungen die Korrelationsfunktion von P, an die ein MA-Feld der Ordnung (5, 5) (vgl. (4.1)) angepasst wird, besitzt die Gestalt ( ) 2 ( ) 2 E{ P(t,x) P(t σ 1 s ε + s,x + r)} = 1 σ 1 r ε 2 s < ε 1, r < ε 2 sonst, ε = (ε 1,ε 2 ) = (1, 1), d.. die Korrelationslängen in t- bzw. x-rictung betragen 1, getroffen. Bezeicnet man mit V (t,x) = V (t,x 1,x 2 ) = E{ū 2 (t,x)} die Varianzfunktion der approximativen Lösung des RAWP (3.3), so kann diese aus den Betractungen von Abscnitt 3 berecnet werden (vgl. (3.11)). Die Realisierungen der Lösung des RAWP (3.3) werden als ū i (t,x) gescrieben, so dass sic eine Scätzung von V (t,x) aus V S (t,x) = 1 n 1 n (ūi (t,x) M S (t,x) ) 2 i= gescätzte Standardabweicung mit 1 6 Simulationen berecnete Standardabweicung V (t,,x 2 ) x 2 Abbildung 5.4: Vergleic berecneter und gescätzter Standardabweicungen, t = 1

19 Lösung paraboliscer Differentialgleicungen mit zufälligen Randbedingungen 179 mit der Scätzung M S (t,x) = 1 n n ū i (t,x) der Erwartungswertfunktion M(t, x) = E{ū(t, x)} = ergibt. n bezeicnet die Anzal der Realisierungen. Ein weiteres Beispiel get auf Untersucungen von Bremsvorgängen in Kraftfarzeugen mit Hilfe elektroanaloger Metoden zurück. Das Prinzip bestand in einer Intervall- Aufteilung der Reibfläce, wobei in jedem Intervall unabängig mit der Warsceinlickeit p ein Wärmeeinstrom P simuliert wurde. Nac der Zeit t = 34.1µs wurde die Temperatur in versciedenen Tiefen des Materials gemessen und daraus die Varianzfunktion gescätzt. Die eraltenen experimentellen Ergebnisse konnten in [2] mit einer analytiscen Berecnung der Varianzfunktion verglicen werden. Mit Hilfe der ier untersucten Metoden kann ein Vergleic dieser Messungen mit den über FE-Metoden berecneten und gescätzten Resultaten gegeben werden. t i=1 t corr R x corr R x 1 Abbildung 5.5: Realisierungen des Wärmeeinstroms P(t,x 1,ω) Die Materialparameter wurden entsprecend der elektroanalogen Messungen mit R = 48µm, H = 25.3µm, P m = K m, α 2 = α 4 =, λ = m2 s, α 3 = m s gewält. Der zufällige Wärmeeinstrom wird für (t,x) [iε 1, (i + 1)ε 1 ] [jε 2, (j + 1)ε 2 ] modelliert als P m mit Warsceinlickeit p P(t,x,ω) = mit Warsceinlickeit 1 p und besitzt damit die Eigenscaften E{ P(t,x)} = P m p, E{ P(t,x) 2 } = (P m ) 2 (1 p)p, Worksop Stocastisce Analysis

20 18 A. Kandler, J. vom Sceidt, R. Unger P(t,x,ω) ist ε-korreliert mit ε = (ε 1,ε 2 ) = (5µs, 5µm). Abbildung 5.6 stellt den Vergleic der berecneten und gescätzten Standardabweicungen dar. Das Simulationsresultat wurde dabei auf einer Basis von 1 6 Realisierungen eralten gescätzte Standardabweicung mit 1 6 Simulationen berecnete Standardabweicung V (t,,x 2 ) e-6 1e-5 1.5e-5 2e-5 2.5e-5 x 2 [m] Abbildung 5.6: Vergleic simulierter und berecneter Standardabweicungen, t = 34.1µs Literatur [1] J. vom Sceidt, B. Fellenberg und U. Wörl. Analyse und Simulation stocastiscer Scwingungssysteme. B. G. Teubner Stuttgart, [2] J. vom Sceidt. Stocastic Equations of Matematical Pysics. Akademie-Verlag, Berlin, 199. [3] A. Kielbasinski und H. Scwetlik. Numerisce Lineare Algebra. Matematik für Naturwissenscaften und Tecnik, Band 18, Deutscer Verlag der Wissenscaften, [4] Z. Gajic und M. T. J. Quresi. Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control. Matematics in Science and Engineering, Volume 195, Academic Press, [5] M. Jung und U. Langer. Metode der finiten Elemente für Ingenieure. B. G. Teubner Stuttgart, 21. [6] W. Hackbusc. Iterative Lösung großer scwacbesetzter Gleicungssysteme. B. G. Teubner Stuttgart, 1993.

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