Master E/BMT/DFHI. Lösungen zu Übung 11 Vektoranalysis HM1. Prof. Dr. B. Grabowski

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Sofie Kalb
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1 Z Afge Wi etchten einen Keis-Zline mit is essen ottionschse ie -Achse ist n e ch ie Höhen n egent ist. Ailng Wie goß ist e lss es ektofeles ch ie geschlossene Oefläche es Zlines? eenen Sie en Integlst on Gss! Nch Gss ist e lss es ektofeles ch ie geschlossene Oefläche es Zlines gleich: i eechnng et Zlineolmen in Zlinekoointen: : sin cos etg e koieteminnte: cos sin sin cos

2 et et cos sin sin cos Diegen es ektofeles i cos Ds egit sich fü en lss es eles ch : cos cos et i Z Afge eechnen Sie mittels St on Gss s lssintegl S S oei S ie Oefläche eine Kgel mit is n Mittelpnkt n sin! egleichen Sie Ih Egenis mit em Egenis s Afge 5 Üngsltt! Nch St on Gss gilt: Ds geschte Integl ist

3 i eechnng Ds olmen e Kgel in Kgelkoointen mit is : cos sin sin cos sin Die koieteminnte e Kgelkoointen: sin sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin et et Diese ist fü imme positi.h. e etg iese Deteminnte ist: sin sin Weitehin ist fü i

4 olglich gilt fü s geschte Oeflächenintegl: sin 6 sin i eechnng ϑ ϑ Ds gleiche Egenis hen i in Afge 5 Üngsltt ehlten n ot ets mstänliche Z Afge Wie goß ist e lss s Oeflächenintegl es ektofeles ch ie geschlossene Oefläche es Zlines in Ailng Afge? eenen Sie en St on Gss! egleichen Sie Ih Egenis mit em Egenis s Afge 7 Üngsltt! Nch Gss ist e lss es ektofeles ch ie geschlossene Oefläche es Zlines gleich: i eechnng et Zlineolmen in Zlinekoointen: : sin cos etg e koieteminnte:

5 5 cos sin sin cos et et cos sin sin cos Diegen es ektofeles cos i Ds egit sich fü en lss es eles ch : cos cos et i Ds ist s gleiche Egenis ie in Afge 7 Üngsltt n hie ets elegnte n effiiente eeicht! Z Afge eechnen Sie mittels St on Gss en lss es ektofeles ch ie geschlossene Oefläche e Hlkgel mit oenfläche in e --Eene Mittelpnkt e oenfläche n fü en is! egleichen Sie Ih Egenis mit em Egenis s Afge 8c Üngsltt! Nch St on Gss gilt: Ds geschte Integl ist

6 6 i eechnng Ds olmen e Hlkgel in Kgelkoointen fü : / cos sin sin cos sin Die koieteminnte e Kgelkoointen: sin sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin et et Diese ist fü / imme positi.h. e etg iese Deteminnte ist: sin sin Weitehin ist fü sin sin i

7 7 olglich gilt fü s geschte Oeflächenintegl: sin sin sin sin / / ϑ ϑ i eechnng Ds gleiche Egenis hen i in 8c Üngsltt ehlten n ot ets mstänliche Z Afge 5 eechnen Sie en Wielflss es ektofeles ch ie Mntelfläche e Hlkgel mit oenfläche in e --Eene Mittelpnkt e oenfläche f ei eschieene Aten mit Hilfe es Stes on Stokes.h. eifiieen Sie en St on Stokes fü ieses eispiel! lächennomle N ist nch ßen geichtet ie in e --Eene liegene nke i in Gegenheigeichtng chlfen! St on Stokes: ot eechnng. inte: Diekte eechnng es Wielflsses echte Seite es Stes on Stokes: ot

8 8 läche in Kgelkoointen: Die Oefläche e Hlkgel ist fü : Die Aleitngen n ie Koointenlinien sin: sin sin cos cos cos cos sin sin sin ϑ cos sin sin sin cos sin ϑ emekng: De Nomlenekto. ieses Kepokt mss on e Kgeloefläche nch ßen eigen. Dch ist ie eihenfolge es Kepoktes festgelegt siehe Skie oen. sin sin ot ot sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos 8sin φ

9 Demfolge ist s geschte Integl: / ot 8 / sin Integltellen Int fü Int 8 cos sin 8 / sin sin. inte: eechnng es Wielflsses ls Kenintegl linke Seite es Stes on Stokes: nke : In Polkoointen: { cos sin } sin cos Ds ektofel f e Ke: 8sin n folglich ist 8sin sin cos 6sin Dmit ist s geschte Integl gleich: 9

10 6 Integlt elle Int sin 6 [ 8sin sin ] Z Afge 6 Wi etchten en im I.Oktnt gelegenen eil e Eene. Dieses eieckige eene lächenstück i on eine geschlossenen Ke egent. eechnen Sie nte eenng es Stoke schen Integlstes s Kenintegl fü s ektofeles Gemäß St on Stokes gilt:! ot eechnng läche : { }

11 ot ot Demfolge ist s geschte Integl: ot Z Afge 7 Z o: ote.h. ist ein ottionsfel eh:

12 eeis: Gemäß St on Gss gilt: i ot E D ie i fühe eiesen hen siehe Üngsltt.. Afge. - stets gilt: i ot E ist ch i ot E Z o: gω.h. ist ein Gientenfel eh: eeis: Gemäß St on Stokes gilt: ot g q.e.. D ie i fühe eiesen hen siehe Üngsltt.. Afge. - stets gilt: ot g ist ch ot g q.e.

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