CJT-Gymnasium Lauf Grundwissen (& Aufgaben) Jahrgangsstufe 10 (7/2009)

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Sabine Kuntz
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1 CJT-Gmnsim L Gndwissen (& gben) Jhgngsste 0 (/00) Wissen / Können eispiele. Keis nd Kgel Fü einen Keissekto mit Rdis nd Mittelpnktswinkel gilt: Länge des Keisbogens b 60 Flächeninhlt des Keissektos 60 Zsmmenhng zwischen Gdmß nd ogenmß: 60 im Gdmß ogenmß im estimmen Sie Inhlt nd Umng de schieten Fläche in bhängigkeit von. Segment m is Vietelke FM Deieck m F is Vietelke M b EM b C U M CE Fü eine Kgel mit Rdis gilt: Volmen V Obeläche O Die Skizze zeigt den Qeschnitt eines s, s dem eine Hlbkgel hesgeäst wde. estimmen Sie ds Volmen V nd die Obeläche O des Köpes in bhängigkeit von. Kgel Hlbkgel Kege h V l V V,, Keis kleine goßekeis Kgel Keising Hlbkgel m O M O 0 ) (,

2 . Geometische nd nktionle spekte de Tigonometie Ist P ( / ) ein beliebige Pnkt dem Einheitskeis nd de Winkel zwischen de positiven -chse nd de Hlbgeden vom Uspng s dch P, so legt mn est: sin ; cos. Die Sins- nd Kosinswete hben ü den spitzen Winkel sowie ü 0, 0 nd 60 den gleichen etg. Dch die Festsetzngen sin ( k ) sin nd cos( k ) cos ü lle 0; nd k Z sind Sins- nd Kosinsnktion ü lle eellen Zhlen deiniet. Die beiden Fnktionen sind peiodisch mit de Peiode. Die llgemeine Sinsnktion lässt sich dch : sinb ( c) d ; R mit 0, b 0; c, d R bescheiben. Einlss de Pmete den Gphen: Stecken bzw. Stchen in -Richtng mit dem Fkto ( mplitde ) Stecken bzw. Stchen in -Richtng mit dem Fkto ( Peiode ) b b Veschiebng in -Richtng m c Veschiebng in -Richtng m d estimmen Sie lle Winkel im Gd- nd ogenmß, ü die gilt: ) sin 0,60 nd 0; 60 [ sin 0,60, 0, ; 60, ;,, im ogenmß:, 0;, 6 ] b) cos 0,0 nd 0; 60 [, ; 60, 6 ;, 0,6 6 im ogenmß: 0, ;, ] Geben Sie zwei Nchkommstellen gen lle Zhlen [,0, ; 0 (Peiode ) R n, ü die cos 0, gilt. 0,0 k mit k Z ode, k mit k Z ] estimmen Sie mplitde, Peiode nd Veschiebng de Fnktion : sin ; D R. [ mplitde, Peiode, Veschiebng m : nch echts, keinelei Veschiebng in -Richtng ] estimmen Sie ü den nebenstehenden Gphen einen geeigneten Fnktionstem. [ mplitde 0, ; Peiode b 0, ; Veschiebng m 0 nch echts/links; Veschiebng m nch oben; ( ) 0,sin (0,) ]

3 . Eponentilnktion nd Logithms Eine Fnktion de Fom : b ; D R ; mit, b R ( 0,, b 0) heißt Eponentilnktion z sis. Eigenschten: S ( 0 / b) G keine Nllstelle Monotonievehlten: : G ist steng monoton steigend 0 : G ist steng monoton llend -chse ist (wgechte) smptote die Gphen von b nd b b sind smmetisch bezüglich de - chse Die eindetige Lösng de Eponentilgleichng b ( 0,, b 0), heißt Logithms von b z sis : log b. Mekstz: ist die Zhl, mit de mn potenzieen mss, m b z ehlten. Folglich gilt: log b b. estimmen Sie, b R so, dss die beiden Pnkte P nd Q dem Gphen G de Eponentilnktion : b ; D R ; liegen. Geben Sie ds Monotonievehlten von bezüglich de -chse smmetisch z ) P ( / ) nd Q ( /) [ ( ) () ( I) ( II ) b b G n nd skizziee den Gphen. De Gph welche Fnktion liegt G? ( II) : ( I) ( entällt) ( II ) b : Wegen velät G steng monoton steigend; smmetisch bezüglich de -chse liegt de Gph von b) P ( / 6) nd Q ( / ) [. ] : 0,, G velät steng monoton llend, smmetisch: estimmen Sie die eellen Lösngen olgende Gleichngen: ),, 6,, log,, 0, b) log 0, c) 0, d) ] [ log 0, 0, 06 ] log 6 [ ]

4 Rechengesetze ü Logithmen: ( ü 0, v 0, 0, ) log v log log v log : v log log v log log lg log lg Zehnelogithms: lg log0 Lösngssttegien ü Eponentilgleichngen: beidseitiges Logithmieen, gg. nch voheigem Fktoisieen Sbstittion Wchstmsvogänge: linees Wchstm: konstnte Zwchs eponentielles Wchstm: konstnte Wchstmskto Fssen Sie jeweils z einem einzigen Logithms zsmmen: ) log log log log log log log log b) log log log log log log log [ estimmen Sie die eellen Lösngen olgende Gleichngen: ) b) lg 6 6 lg lg 6 lg lg lg lg lg lg lg 6, lg lg log Logithmi een lg lg 6 lg lg [, 6 ] lg lg ] c) ( Sbstittion: ) [ log ; log ] d) ( Sbstittion) [ ; entällt ] e) Ein Kpitl von 000 wid mit % vezinst. Nch wie vielen Jhen ht sich ds Kpitl vedoppelt, wenn mn keine Zinseszinsen ehält? [ Jhe ] wenn mn Zinseszinsen ehält? [ log, 0, Jhe ] ) Ds Nklid Jod besitzt eine Hlbwetszeit von Tgen. Nch wie vielen Tgen sind % de spünglich vohndenen Kene zellen? [ log 0,, Tge ] 0, g) Wie ot müsste mn ein ltt Ppie de Dicke 0, mm lten, so dss es bis zm Mond (Entenng 000 km) eicht? [ log, 0 ml]

5 . Whscheinlichkeitsechnng In de Schnittmenge von nd liegen die Elemente, die z Menge nd zgleich z Menge gehöen. In de Veeinigngsmenge von nd liegen die Elemente, die z Menge ode z Menge gehöen, lso mindestens z eine de beiden Mengen. ei einem Zllsepeiment lieen zwei Eeignisse nd eine Zelegng de Egebnismenge in die Teilmengen,, nd. Jedes Egebnis gehöt dnn gen eine diese Teilmengen n. In eine Schlklsse mit 0 Kinden gibt es Mädchen. de Schüleinnen nd Schüle tgen eine ille. Fün Jngs sind illentäge. : Mädchen, : illentäge mögliche mdigmme: Vieeldetel P() P() P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) 0 P ( ) 0 P ( ) P ( ) 0 0 P ( ) P ( ) 0 Z jede Vieeldetel können zwei sog. mdigmme gezeichnet weden. P P P P P P P P Sind nd Eeignisse eines Zllsepeiments mit P ( ) 0, so bescheibt die bedingte Whscheinlichkeit P () die Whscheinlichkeit des Eintetens von nte de edingng (Vossetzng), dss eintitt: P ( ) P ( ). P ( ) Eine Peson s de Klsse wid zällig sgewählt. estimmen Sie die Whscheinlichkeit, dss mn nte den illentägen einen Jngen swählt, P ( ) 0 [ P ( ) ] P ( ) 0 die sgewählte Peson ein Mädchen ist nd ille tägt:, [ P ( ) ] 0 be: Whscheinlichkeit, dss ein Mädchen s de Klsse ille tägt: P ( ) 0 P ( ) P ( ) 0

6 . Gnztionle Fnktionen Eine Fnktion de Fom n : ; n : N, 0, D R, bezeichnet mn ls Potenznktion vom Gd n. De zgehöige Gph n gede: G heißt Pbel. G chsensmmetisch z -chse Wetemenge R 0 (ü 0) bzw. R 0 (ü 0 ) n ngede: G pnktsmmetisch z O (0 / 0) Wetemenge R Ein Tem de Fom n n n n... o mit 0 heißt Polnom vom Gd n; n die i heißen Koeizienten. Eine Fnktion : ( ) ; D R ; mit n n ( ) n n... o heißt Polnomnktion vom Gd n ode gnztionle Fnktion n-ten Gdes. Dbei gilt: Ist o Nllstelle eine Polnomnktion vom Gd n, so lässt sich de Fnktionstem ktoisieen z g( ) ( ) o, woin g () ein Polnom vom Gd n dstellt. :, : 0, estimmng de Nllstellen de Fnktion : : ; D R : Kndidten ü Nllstellen sind die Teile von, lso, nd. : 0, - O - O - O - O - Die Nllstelle indet mn dch gezieltes Pobieen. Hies ehält mn dch Polnomdivision: : G 0 Die vollständig ktoisiete Dstellng de Polnomnktion ltet demnch : - Die Polnomnktion ht somit die dei einchen Nllstellen, nd. (-chse nskliet!) O -

7 Ist n nd o gnzzhlig, so ist stets ein Teile von o. g() ehält mn dch Polnomdivision. o Eine Polnomnktion vom Gd n ht höchstens n Nllstellen. n De Smmnd n mit dem gößten Eponenten bestimmt ds Vehlten de Fnktion ü. Weitee eispiele: ) : ; D ] R [ ( ) R [ ( ) b) : 6 ; D c) : 6 ; D ] R [ ( ) ] 6. Eigenschten von Fnktionen nd ihen Gphen Mnipltion von Fnktionstemen: Ändengen des Fnktionstems nd deen swikngen den Gphen G eine Fnktion : ( ); D : g : ( ) c : Veschiebng m c in -Richtng g : ( b) : Veschiebng m b in -Richtng g : ( ) : Steckng m Fkto in -Richtng Steckng m Fkto g : ( d ) : d in -Richtng ( ) sin ; g( ) sin ( ) cos ; g( ) sin 0, - O O - (Die Gphen de Fnktionen sind jeweils gestichelt gezeichnet.) De Gph G eine geden Fnktion : ( ) mit ( ) ( ) ü lle D velät smmetisch z -chse eines ktesischen Koodintensstems. De Gph eine ngeden Fnktion mit ( ) ( ) ü lle D velät pnktsmmetisch z dessen Uspng. Unteschen Sie die in gnz R deinieten Fnktionen : 0, cos, g : nd h : sin einche Smmetieeigenschten. ) ( ) 0,( ) cos( ) 0, cos ( ) [ gede ] b) g( ) ( ) ( ) g( ) [ g wede gede noch ngede ] c) h( ) ( ) ( ) sin ( ) sin h( ) [ h ngede ]

8 Eine Fnktion konvegiet ü gegen den (endlichen) Genzwet, wenn die Fnktionswete de Zhl beliebig nhe kommen, wenn lso de Temwet ( ) ü hineichend goße Zhlen veschwindend klein wid. Scheibweise: lim ( ). Entspechend ist ch de Genzwet ü deiniet. Nicht konvegente Fnktionen heißen divegent. Unteschen Sie ds Genzvehlten de Fnktion : ; D R \ ; ü.. Möglichkeit: lim lim lim. Möglichkeit: lim lim lim lim Die Fnktion ist somit konvegent mit dem Genzwet. Die Gede mit de Gleichng bildet eine (wgechte) smptote des zgehöigen Fnktionsgphen O

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