Kurve im Ê 2 ist, etwa der Graph einer Funktion f : [a,b] Ê. Auch der Rand eines Gebiets des Ê 2,

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1 1 Kurven 1.1 Kurven im Ê 2 Wir hben eine nschuliche Vorstellung dvon, ws eine Kurve im Ê 2 ist, etw der Grph einer Funktion f : [,b] Ê. Auch der Rnd eines Gebiets des Ê 2, z.b. die Einheitskreislinie, ist eine Kurve. Diese ist ber nicht ls Grph drstellbr, sondern ls Zusmmensetzung von Grphen. Bei der Definition, ws eine llgemeine Kurve sein soll, hilft die kinemtische Vorstellung eines physiklischen Prtikels, ds in einem Zeitintervll [, b] einen Weg {φ(t),t [,b]} im Ê 2 durchläuft. Dbei knn es pssieren, dss die Bhnkurve gewisse Punkte mehrfch durchläuft, z.b. die Bhnkurven φ(t) = (t 2 1,t 3 t), t Ê, φ(t) = (cos(2t),sin(2t)), t [,2π]. Die erste ht einen sog. Doppelpunkt x(1) = x( 1) und bei der zweiten durchläuft der Punkt den Einheitskreis zweiml. Wir müssen lso unterscheiden zwischen dem Weg, den ein Prtikel in dem Zeitintervll durchläuft, und der entstehenden Kurve ls Punktmenge des Ê 2. Ein solcher Weg ht eine ntürliche Orientierung, gegeben durch die zeitliche Bewegung des Prtikels. UntereinemWegverstehenwireinestetigeAbbildungφ : [,b] Ê 2 ufeinembgeschlossenen (nicht degenerierten) Intervll I = [,b] Ê. (Die Fälle I = (,b], I = [, ) und I = (, ) sind gelegentlich zugelssen.) Die Bildmenge φ = {φ(t) Ê 2, t [,b]} Ê 2 eines Weges φ : [,b] Ê 2 wird ls Kurve im Ê 2 bezeichnet, mit Prmeterdrstellung φ. Im Flle I = [,b] nennen wir φ() und φ(b) den Anfngspunkt sowie den Endpunkt der Kurve. Im Flle φ() = φ(b) heißt diese geschlossen. Ist φ(t 1 ) = φ(t 2 ) für zwei Prmeterwerte t 1 t 2, so ht die Kurve dort einen Doppelpunkt. Wir werden im Folgenden von einer Kurve ls einem geometrischen Objekt bzw. Punktmenge in Ê 2 sprechen, die durch einen Weg φ : [,b] Ê 2 prmetrisiert ist. Dbei können unterschiedliche Prmetrisierungen durchus dieselbe Kurve erzeugen; z.b. gehört zu den Wegen φ(t) = (cos(t),sin(t)),t [,2π], φ(t) = (cos(t), sin(t)),t [,2π], φ(t) = (cos(2t),sin(2t)),t [,π], ls Kurve jeweils die Einheitskreislinie, nur uf unterschiedliche Weise durchlufen. Häufig ht mn für eine geometrische Kurve keine vollständige Prmeterdrstellung gegeben, sondern nur für Teilstücke, us denen die Kurve zusmmengesetzt ist. Durch Aneinnderfügung von endlich vielen Kurvenstücken 1,..., r erhält mn eine Kurve; diese heißt geschlossen, wenn der Endpunkt von r gleich dem Anfngspunkt von 1 ist. Beispiele 1.1 Wir geben weitere einfche Beispiele von Wegen und Kurven: (i) Für eine stetige Funktion f : [,b] Ê knn die Abbildung φ(t) := (t,f(t)), t [,b], ls Weg im R 2 ufgefsst werden; die zugehörige Kurve ist der Grph der Funktion f. Wir sprechen in diesem Fll uch von einer expliziten Prmetrisierung der Kurve durch die Funktion f. (ii) Der Abbildung φ : Ê Ê 2 mit φ(t) = ( 1 + v 1 t, 2 + v 2 t) = + vt beschreibt eine Gerde in der Ebene durch den Punkt = ( 1, 2 ) in Richtung des Vektors v = (v 1,v 2 ). Schränkt mn den Definitionsbereich von φ uf ds Intervll [, 1] ein, so erhält mn die Prmetrisierung der Verbindungsstrecke der Punkte und + v. Die Verbindungstrecke der Punkte x,y Ê 2 wird dher prmetrisiert durch φ(t) = x+t(y x), t [,1]. Sei Ê 2 eine Kurve mit (wie immer ls stetig vorusgesetzter) Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2. Ist φ injektiv, so nennen wir die Kurve eine Jordn-Kurve und die Prmetrisierung einen Jordn- Weg. Ist φ : [,b) Ê 2 injektiv mit φ() = φ(b) ls einzigem Doppelpunkt, so sprechen wir von einer geschlossenen Jordn-Kurve. 1

2 Es scheint nschulich klr, dss zu einer geschlossenen Jordn-Kurve immer ein wohldefiniertes, von dieser umschlossenes Gebiet existiert. Dies ist die Aussge des Jordnschen Kurvenstzes. Der Beweis dieser Aussge ist sehr schwierig und knn hier nicht gegeben werden. Stz 1.2 (Jordnscher Kurvenstz) Jede geschlossene ebene Jordn-Kurve Ê 2 zerlegt Ê 2 in zwei Gebiete, die von ihr berndet werden Ê 2 \ = G 1 G 2, G 1 G 2 =, G 1 = G 2 =. Genu eines dieser beiden Gebiete ist beschränkt. Dieses wird ls ds Innengebiet von bezeichnet. Eine Kurve heißt stetig differenzierbr, wenn für sie eine stetig differenzierbre Prmetrisierung φ : I Ê 2 (kurz eine C 1 -Prmetrisierung) existiert. Eine C 1 -Prmetrisierung mit der Eigenschft φ (t) für lle t [,b] wird ls regulär oder gltt bezeichnet. Singuläre Prmeterwerte t [,b] bzw. die zugehörigen Punkte φ(t) Ê 2 sind solche mit φ (t) =. Eine Kurve heißt stückweise differenzierbr, wenn sie us endlich vielen differenzierbren Kurvenstücken besteht (siehe Bild rechts). Beispiel 1.3 Die Neilsche Prbel ht die Prmetrisierung φ(t) = (t 2,t 3 ), t Ê. Die zugehörige Kurve ist (siehe Bild links) y = {(x,y) Ê 2 : x,y = ±x 3/2 }. y = x 3/2 1 x 2 y = -x 3/2 3 Wegen φ (t) = (2t,3t 2 ) liegt für t = in der Spitze der Kurve ein singulärer Punkt. Allgemein sprechen wir von einer impliziten Drstellung einer Kurve des Ê 2, wenn = {(x,y) : f(x,y) = } füreinefunktionf : Ê 2 Ê.EineimplizitegegebeneKurvegenügtnichtgenuunsererDefinition, weil sie nicht orientiert ist, ws ber hier ohne Belng ist. Die Neilsche Prbel lässt sich ls Nullstellengebilde der Funktion f(x,y) = y 2 x 3, drstellen. Dies ist gleichzeitig ein Beispiel für die Ttsche, dss eine gltte Funktion ein nichtglttes Nullstellengebilde besitzen knn. Dies erklärt sich us grdf(,) =, so dss der Stz über implizite Funktionen weder für die lokle Auflösung des Nullstellengebildes nch x noch nch y herngezogen werden knn. Eine injektive Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2 der Kurve prägt dieser eine Orientierung uf, d.h. eine Reihenfolge, in der ihre Punkte für wchsenden Prmeter t erreicht werden. Ds folgende Lemm zeigt, dss lle regulären, injektiven Prmetrisierungen einer Kurve isomorph sind. Lemm 1.4 Seien φ : I = [,b] Ê 2 und φ : I = [,b ] Ê 2 zwei reguläre, injektive Prmetrisierungen derselben Kurve Ê 2. Dnn gibt es genu eine bijektive Abbildung h : I I derrt, dss gilt φ = φ h. Sind die Prmetrisierungen φ und φ (stückweise) stetig differenzierbr, so uch h, und es ist h, wo die Ableitung existiert. Also ist h monoton steigend oder monoton fllend; im letzteren Fll durchlufen die Punkte φ (t), t I, und die Punkte φ(t), t I, die Kurve zueinnder im entgegengesetzten Sinn, d.h. die zugehörigen Wege hben entgegengesetzte Orientierungen. 2

3 Beweis: D φ injektiv und stetig ist, existiert nch einem beknnten Stz der Anlysis die Umkehrbbildung φ 1 und ist stetig. Folglich ist uch die Abbildung h := φ 1 φ : I I stetig und bijektiv. Ferner ist φ h = φ φ 1 φ = φ. Gilt nun φ = φ h mit eine zweiten bijektiven Abbildung h : I I, so ist h = φ 1 φ = φ 1 φ h, d.h. h ist eindeutig bestimmt. Die stetige und bijektive Abbildung h : I I ist notwendig streng monoton. Es bleibt die Differenzierbrkeit von h zu zeigen. Sei t I und t = h(t ) I. Wegen φ (t ) muss für eine Komponente φ j (t ) sein. Sei etw φ j (t ) >. Dnn ist uch φ j (t) > in einer gnzen Intervllumgebung I I von t. Dzu gehört ein Intervll I = h 1 (I ) I. In I ist φ j streng monoton wchsend, und die Umkehrfunktion φ 1 j ist im Intervll φ j (I ) ebenflls (stückweise) stetig differenzierbr. Wegen φ j = φ j h ist h = φ 1 j φ j in I. Also ist h in I (stückweise) stetig differenzierbr. Aus φ = φ h folgt dnn φ = φ (h)h und, wegen φ,φ, schließlich h. 1.2 Kurvenlänge Zur Definition der Länge einer Kurve ls Punktmenge des Ê 2 beschränken wir uns uf die Teilklsse der Jordn-Kurven mit Prmetrisierungen φ : I Ê 2 uf kompkten Intervllen I = [,b]. Der Zustz Jordn wird dher meist weglssen. Wir wollen die Länge einer solchen Kurve des Ê 2 bestimmen. Sei Z eine Zerlegung des Prmeterintervlls [,b] in Teilpunkte = t < t 1 <... < t m = b, mit Feinheit Z = mx,...,m (t k t k1 ). Die Menge solcher Zerlegungen wird mit Z(, b) bezeichnet. Wir pproximieren die Kurve durch einen Polygonzug p Z (), der us den Strecken durch die Punkte φ(t k ) besteht. Die Länge p Z () des Polygonzugs ist die Summe der Längen seiner einzelnen lineren Teilstücke, welche wiederum ls die euklidischen Abstände ihrer Endpunkte definiert sind, d.h. p Z () = m φ(t k ) φ(t k 1 ). Die Länge des Polygonzugs nimmt bei Hinzunhme eines weiteren Punktes t (t k 1,t k ) wegen t k t k 1 t k t + t t k 1 nicht b. Hierus folgt, dss im Flle L = sup p Z () < Z Z(,b) für jede Zerlegungsfolge (Z k ) Z(,b), mit Z k (k ) die zugehörigen Polygonzuglängen gegen L konvergieren. Eine Kurve heißt rektifizierbr mit der Länge, wenn die Längen ller Polygonzüge p Z () gleichmäßig beschränkt sind mit = sup p Z () = lim p Z(). Z Z(,b) Z Z(,b), Z Stz 1.5 Ist die Prmeterdrstellung φ : [,b] Ê 2 der Kurve stetig differenzierbr, so ist sie rektifizierbr, und ihre Länge ist gegeben durch = φ (t) dt, wobei der Wert des Integrls nicht von der (stetig differenzierbren) Prmetrisierung φ der Kurve bhängt. Beweis: Mit φ ist uch φ stetig und dmit integrierbr. Sei Z Z(,b) eine Zerlegung. Mit 3

4 dem Mittelwertstz erhlten wir m p Z () = φ(t k ) φ(t k 1 = = m (φ1 (t k ) φ 1 (t k 1 ) ) 2 ( φ2 (t k ) φ 2 (t k 1 ) ) 2 (t k t k 1 ) + t k t k 1 t k t k 1 m (t k t k 1 ) φ 1 (τ k,1) 2 +φ 2 (τ k,2) 2 mit τ k,i [t k 1,t k ]. Hier entsteht ds kleine Problem, dss die τ k,i in der Regel verschieden sind. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von φ uf dem Intervll [,b] existiert zu beliebig gewähltem ε > ein h ε >, so dss für jede Zerlegung Z mit Feinheit h h ε gilt mx,...,m φ i(τ k,1 ) φ i(τ k,2 ) < ε. Ferner können wir wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von φ (x) (eventuell nch Verkleinerung von h ε ) uch nnehmen, dss φ (t) dt m (t k t k 1 ) φ (τ k,1 ) < ε. Aus den beiden letzten Abschätzungen folgt dnn Dmit ist die Konvergenz bewiesen. φ (t) dt + m (t k t k 1 ) φ (τ k,1 ) 2 +φ (τ k,2 ) 2 <ε+ φ (t) dt m (t k t k 1 ) φ (τ k,1 ) m ( (t k t k 1 ) φ (τ k,1 ) φ (τ k,1 ) 2 +φ (τ k,2 ) 2 ) m (t k t k 1 ) φ (τ k,1 φ (τ k,2 ) ε+ b ε. p Z () φ (t) dt Wir zeigen nun die Unbhängigkeit der Kurvenlänge von der Whl der Prmetrisierung. Sei ψ : [c,d] Ê 2 eine zweite injektive, stetig differenzierbre Prmetrisierung der Kurve. Dnn ist nch Lemm 1.4 die Abbildung h = ψ 1 φ : [,b] [c,d], h() = c, h(b) = d, bijektiv und stetig differenzierbr. Mit der Substitutionsregel gilt dnn wegen h φ (t) dt = = (ψ h) dt = ψ(h(t)) h (t) dt = ψ (h(t))h (t) dt d c ψ (s) ds. 4

5 Ist die Kurve us endlich vielen Stücken j, j = 1,...,N zusmmengesetzt, wobei die j regulär prmetrisiert sind, so gilt ntürlich = N j = j=1 N j=1 tj t j 1 φ (t) dt, wobei die j n den Punkten t 1,...,t n 1 miteinnder verknüpft sind. 1.3 Geometrie der Kurven Im Folgenden wollen wir einige geometrische Eigenschften von Kurven studieren. D wir uns dbei der Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2 der Kurve bedienen, müssen wir druf chten, inwieweit die gefundenen Eigenschften eventuell von der gewählten Prmetrisierung bhängen. Sei eine stetig differenzierbre Jordn-Kurve mit Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2. Für t [,b] wird der Vektor φ (t ) Tngentenvektor n die Kurve im Punkt φ(t ) und die Gerde durch φ(t ) in Richtung φ (t ) Tngente gennnt. Flls φ (t ) ist, ist der Tngenten-Einheitsvektor gegeben durch τ(t ) = φ (t ) 1 φ (t ). Der Tngentenvektor n eine stetig differenzierbre Jordn-Kurve lässt sich ls Limes von Sekntenvektoren uffssen φ φ(t +h) φ(t ) (t ) = lim. h h Ist φ : [,b] Ê 2 eine zweite Prmetrisierung der Kurve, so gibt es nch Lemm 1.4 einen Diffeomorphismus h : [,b ] [,b] derrt, dss φ (t ) = φ(h(t )), t [,b ]. Nch der Kettenregel gilt dnn, φ (t ) = φ (h(t ))h (t ), d.h. die durch die beiden Prmetrisierungen φ und φ der Kurve im Punkt φ(t ) = φ (t ) erzeugten Tngenten stimmen überein. Prmetrisierung mit der Bogenlänge Sei eine rektifizierbre Kurve mit regulärer Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2. Für t [,b] bezeichnen wir mit [,t] die Teilkurve mit der Prmetrisierung φ [,t]. Die Bogenlängenfunktion s(t) = [,t] = t φ (τ) dτ, t [,b], ist stetig und wegen φ (t) > streng monoton wchsend. Die Integrldrstellung gilt uch, wenn die Prmetrisierung φ nur stückweise stetig differenzierbr ist. In diesem Sinne ist dnn uch s(t) stückweise stetig differenzierbr mit der (stückweisen) Ableitung s (t) = φ (t) >, t [,b]. Also existiert die Umkehrung t(s) mit denselben Eigenschften. Die Prmetrisierung ψ(s) = φ(t(s), s [, ] beschreibt ebenflls die Kurve ; sie wird ls die Prmetrisierung von mit der Bogenlänge bezeichnet. Lemm 1.6 Für die Prmetrisierung ψ[, ] Ê 2 einer Kurve mit der Bodenlänge gilt ψ (s) = 1. 5

6 Beweis: ψ (s) = φ (t) d ( d ) 1 ds t(s) = φ (t) dt s(t) = φ (t) φ (t) 1 und dmit ψ (s) = 1. Die zur Prmetrisierung mit der Bogenlänge gehörende Bogenlängenfunktion ist [,s] = s ψ (τ) dτ = s, ws nch Konstruktion zu erwrten wr. Die Prmetrisierung einer Kurve mit der Bogenlänge ist die ntürlichste unter vielen nderen Prmetrisierungsmöglichkeiten; sie bietet mnchml theoretische Vorteile, ist ber prktisch kum nutzbr. Der Prmeter s ht eine nur von der Kurve und der ihr ufgeprägten Orientierung bhängige Bedeutung, und die Drstellung ψ(s) ist bgesehen von der Orienterung wegen des Ausschlusses von Doppelpunkten eindeutig bestimmt (bei geschlossenen Kurven bis uf den Anfngspunkt). Krümmung einer Kurve Verläuft eine Kurve in der Umgebung eines ihrer Punkte nicht gerdlinig, so spricht mn von einer gekrümmten Kurve. Um ein Mß für die Krümmung einer Kurve in jedem ihrer Punkte zu gewinnen, gehen wir von ihrer ntürlichen Prmetrisierung mit der Bogenlänge us. Die Definition soll mit der Vorstellung verträglich sein, dss eine Gerde die Krümmung Null und ein Kreis eine konstnte Krümmung ht, und dss bei Kreisen mit zunehmendem Rdius die Krümmung bnimmt. Für eine Kurve R n mit zweiml stetig differenzierbrer Prmetrisierung ψ : [, ] Ê 2 mit der Bogenlänge ist die Krümmung definiert durch κ(s) = ψ (s), s [, ]. Beispiel 1.7 Die Kreiskurve um den Nullpunkt mit Rdius r ht die Länge 2πr. Ihre Prmetrisierung mit der Bodenlänge lutet lso Die zugehörige Formel für die Krümmung ist x(s) = rcos(s/r), y(s) = rsin(s/r), s [,2πr]. κ(s) = x (s) 2 +y (s) 2 = 1 r. Die Krümmung der Kreiskurve ist lso konstnt κ = 1/r und wächst mit bnehmendem Rdius. Differentition der Beziehung 1 = ψ (s) ψ (s) ergibt ψ (s) ψ (s) =, d.h.: Der Krümmungsvektor ψ (s) steht senkrecht zum Tngentenvektor ψ (s). Im Fll ψ (s) heißt der Einheitsvektor Huptnormlvektor zur Kurve im Punkt ψ(t). ν(s) = ψ (s) ψ (s) Beispiel 1.8 Als kleine Übung wollen wir den Krümmungsvektor für eine reguläre C 2 - Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2 bestimmen. Wir schreiben φ = d dtφ. Dnn gilt ufgrund der Definition der Bogenlänge s (t) = φ (t) d ds t(s) = φ (t(s)) 1. Wegen d dsψ = 1 muss die Ableitung von ψ nch der Bogenlänge mit dem Tngenteneinheitsvektor übereinstimmen τ(t) = φ (t) φ (t) = d ds ψ(s(t)). 6

7 Ferner benötigen wir d ds φ (t(s)) = d φ 1 ds (t(s)) 2 + φ 2 (t(s)) 2 = 1 2 φ 1 2 j=1 2φ jφ j d ds t(s) = φ 2 (φ,φ ) Mit diesen Beziehungen folgt dnn mit Produkt- und Kettenregel d ds τ(t(s)) = d φ (t(s)) ds φ (t(s)) = φ φ 1 φ φ φ 2 (φ,φ ) φ 2, dher lso d 2 ds 2ψ(s) = d ds τ(t(s)) = φ φ 2 φ (φ,φ ) φ Kurvenintegrle Sei eine rektifizierbre Jordn-Kurve mit einer C 1 -Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2 mit Bogenlängenfunktion s(t). Für eine Funktion f : Ê wird ds Integrl f(x(s))ds := f(φ(t)) φ (t) dt, sofern es existiert, ds Kurvenintegrl von f über gennnt. Mn bezeichnet ds = φ (t) dt ls Streckenelement entlng der Kurve. Stz 1.9 Ist f entlng stückweise stetig, so existiert ds Kurvenintegrl und ht für lle C 1 - Prmetrisierungen denselben Wert. Beweis: Der Integrnd ist stückweise stetig und dmit regelintegrierbr. Sei ψ : Ê 2 die Prmetrisierung der Kurve mit der Bogenlänge. Nch Lemm 1.4 gibt es eine Bijektion h : [,b] [, ] derrt, dss φ(t) = ψ(h(t)). Ferner gilt φ = ψ (h(t)h (t) und dher wegen ψ (s) = 1 φ (t) = ψ (h(t)) h (t) = h (t). Mit Integrtion durch Substitution folgt dnn f(x(s))ds = f(φ(t)) h (t) dt = f(φ(t)) φ (t) dt. Für ds Kurvenintegrl gelten dieselben Regeln wie für ds Regelintegrl, wobei die Beweise genuso geführt werden können. Die drei wichtigsten Eigenschften sind: Linerität: Für integrierbre Funktionen f,g : Ê und α,β Ê gilt ( αf(x)+βg(x) ) ds = α f(x)ds+β Additivität: Für eine disjunkte Zerlegung = 1 2 gilt f(x)ds = f(x)ds+ f(x)ds. 1 2 g(x) ds. f ist genu dnn über integrierbr, wenn es über 1 und 2 integrierbr ist. 7

8 Beschränktheit: Ist f über integrierbr, so gilt f(x)ds sup f(x). Beispiele 1.1 (i) Mit φ : [,b] Ê 2 mit φ(t) = (t,) gilt f(x)ds = f(t)dt wegen φ (t) = 1. Ds Kurvenintegrl über einem Intervll stimmt mit dem gewöhnlichen Integrl überein. (ii) Ist die Kurve mit einer Msse der Dichte ρ(x) belegt, so ergibt die Gesmtmsse µ( ) = ρ(x)ds = ρ(φ(t))φ (t)dt. (iii) Ds Prbelstück = {(x,y) Ê 2 : y = x 2, x 1} ht die Prmetrisierung φ(t) = (t,t 2 ), t 1. Ds Kurvenintegl einer Funktion f : Ê ist gegeben durch 1 f(x)ds = f(x(t)) 1+4t 2 dt. Für f = 1 ergibt sich = 1 1+4t 2 dt = u 2 2 du = 1 ( u 1+u 4 2 +ln(u+ 1+u 2) 2 = 1 ( ) 2 5+ln(2+ 5) = 1, x 1.5 Wegintegrle Hier betrchten wir Wegintegrle von Vektorfeldern, wie sie etw in der Physik uftreten, z.b. Krftfelder, elektrische Felder, Geschwindigkeitsfelder und so fort. Seiφ : [,b] Ê 2 eindifferenzierbrerjordn-wegund Ê 2 diedurchdiesenprmetrisierte (und orientierte) Jordn-Kurve. Für ein stetiges Vektorfeld v = (v 1,v 2 ) : Ê 2 Ê 2 heißt v(x) ds = v(φ(t)) φ (t)dt = n i=1 v i (φ(t))φ i(t)dt ds Wegintegrl (oder uch Zirkultionsintegrl oder Arbeitsintegrl) von v über. Ds Vorzeichen des Wegintegrls hängt dbei von der Orientierung des Weges b. Zwischen dem Wegintegrl eines Vektorfelds und dem Kurvenintegrl einer sklren Funktion besteht eine enge Beziehung. Der Tngenteneinheitsvektor zur Kurve im Punkt x ist gegeben durch τ = φ (t) φ, x = φ(t), t [,b]. (t) Mit der Tngentilkomponente v τ = v τ eines Vektorfelds v : Ê 2 Ê 2 gilt dher v(x) ds = v(φ(t)) φ (t)dt = v τ (φ(t)) φ (t) dt = v τ ds, für den Wert des Wegintegrls zählt dher nur die Tngentilkomponente des Vektorfelds. Gleichzeitig hben wir dmit gezeigt, dss bei (stückweise) regulärer Prmetrisierung der Wert des Wegintegrls nicht von der Prmetrisierung, sondern nur von der Orientierung bhängt. Ds Wegintegrl ht wie ds Kurvenintegrl die folgenden Eigenschften: 8

9 Linerität: Für integrierbre Vektorfelder v,w : Ê 2 und α,β Ê gilt ( αv(x)+βw(x) ) ds = α v(x) ds+β Additivität: Für eine disjunkte Zerlegung = 1 2 gilt v(x) ds = v(x) ds+ v(x) ds. 1 2 w(x) ds. v ist genu dnn über integrierbr, wenn es über 1 und 2 integrierbr ist. Beschränktheit: Für beschränkte Vektorfelder gilt v(x) ds sup v(x). Istv einkrftfeld,sobedeutetdswegintegrl v(x) dsübereinekurvediearbeit,welchevon dem Krftfeld n einem Mssepunkt entlng der Kurve geleistet wird. Wie wir bereits festgestellt hben, ist ds Wegintegrl unbhängig von der Prmetrisierung der Kurve gleicher Orientierung, insbesondere unbhängig von der Geschwindigkeit, mit der ds Krftfeld durchlufen wird. Für ein konstntes Feld v = ˆv gilt v(x) ds = n ˆv i=1 x φ (t)dt = ˆv(φ(b) φ()). In diesem Fll hängt ds Wegintegrl nur von den Endpunkten der Kurve b. Als Beispiel betrchten wir ds Schwerefeld n der Erdoberfläche, ds wir bei kurzen Wegen ls konstnt v = (, g) nsehen können, v(x) ds = gφ 2(t)dt = g ( φ 2 () φ 2 (b) ). Die durch ds Schwerefeld geleistete Arbeit hängt nur von der Höhendifferenz b. Im Folgenden untersuchen wir, für welche Felder ds Wegintegrl nur von den Endpunkten der Kurve bhängt. Ein Vektorfeld v : D Ê 2 Ê 2 heißt Grdientenfeld, wenn es Grdient einer Funktion f : D Ê ist, lso v = grdf = f. In diesem Fll wird f Stmmfunktion von v gennnt. Im physiklischen Kontext wird v uch ls Potentilfeld und U = f ls Potentil bezeichnet. Ht ein Vektorfeld v eine Stmmfunktion f C 2 (D), lso v i = i f, so folgt us dem Stz von Schwrz, dss 1 v 2 = 2 v 1. Dies ist ntürlich ein spezieller Fll und im Allgemeinen gr nicht erfüllt. Beispielsweise gilt für v = (,x), dss x v 2 = 1, ber y v 1 =. WirnennendsWegintegrl v(x) dswegunbhängig,wennseinwertnurvondenendpunkten der Kurve bhängt. Stz 1.11 () Sei D Ê 2 ein Gebiet und v ein stetiges Vektorfeld. Für eine beliebige orientierte Jordn-Kurve D ist ds Wegintegrl I (v) = v(x) ds genu dnn wegunbhängig, wenn v ein Grdientenfeld ist. 9

10 (b) Ist f eine Stmmfunktion von v, so ht ds Wegintegrl über eine beliebige Kurve mit Anfngspunkt x und Endpunkt x b den Wert I (v) = f(x b ) f(x ). insbesondere ist für jede geschlossene Kurve I (v) =. (c) Eine Stmmfunktion von v existiere. Dnn erhält mn usgehend von einem festen Punkt D durch f(x) = v(y) ds, x D, (,x) eine Stmmfunktion von v. Dbei ist (,x) eine beliebige Jordn-Kurve in D, die mit x verbindet. (d) Die Stmmfunktion eines Vektorfelds ist bis uf eine Konstnte eindeutig bestimmt. Beweis: () Sei v ein Grdientenfeld mit Stmmfunktion f. Für eine beliebige C 1 - Prmetrisierung φ : [,b] Ê 2 von gilt nch der Kettenregel d 2 dt f(φ(t)) = i f(φ(t))φ i(t) = i=1 2 v i (φ(t))φ i(t) = v(φ(t)) φ (t), i=1 dher (1.1) v(x) ds = v(φ(t)) φ (t)dt = d dt f(φ(t))dt = f(x b) f(x ). Sei nun umgekehrt ds Wegintegrl wegunbhängig. Dnn ist die Funktion f(x) = v(y) ds, x D, (x,x) wohldefiniert. Für ξ D und hinreichend kleinem h Ê 2 gilt (1.2) v(y) ds = v(y) ds+ v(y) ds. (x,ξ+h) (x,ξ) (ξ,ξ+h) D ds Integrl wegunbhängig ist, können wir in (ξ,ξ+h) v(y) ds einfch die Verbindungsstrecke von ξ und ξ +h nehmen. Diese wird prmetrisiert durch φ : [,1] Ê 2, φ(t) = ξ +th, Aus (1.2) folgt dnn (ξ,ξ+h) v(y) ds = Dmit ist f differenzierbr mit f = v. (b) folgt us (1.1). (c) folgt us dem Beweis von (). 1 v(φ(t)) hdt = v(ξ)h+o( h ). f(ξ +h) = f(ξ)+v(ξ) h+o( h ). (d) Für die Differenz h = f g zweier Stmmfunktionen von v gilt h = in D. Dmit ist h konstnt. Wirhttenbereitsgesehen,dssfürdieExistenzeinerStmmfunktioneinesVektorfeldesv C 1 notwendigerweise (1.3) 1 v 2 = 1 2 f = 2 1 f = 2 v 1 1

11 gelten muss. Dmit knnn mn im konkreten Fll leicht nchprüfen, ob eine Stmmfunktion existieren knn. Beispiele (i) Für ds Vektorfeld v = (ye xy,xe xy +2y) gilt x v y = e xy +xye xy = y v x. In der Tt ist f(x,y) = e xy +y 2 eine Stmmfunktion von v. (ii) Ds durch v(x,y) = ( y x ) x 2 +y 2, x 2 +y 2 definierte Vektorfeld v : Ê 2 \{} erfüllt zwr der Verträglichkeitsbedingung (1.3), y v x = (x2 +y 2 )+2y 2 (x 2 +y 2 ) 2 = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = (x2 +y 2 ) 2x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = x v y. Ds Wegintegrl entlng des geschlossenen Einheitskreises mit Prmetisierung φ(t) = (cost,sint) ist jedoch nicht Null wegen 2π 2π ( ysint v(x,y) ds = v(x,y) φ (t)dt = x 2 +y 2 + xcost ) 2π x 2 +y 2 dt = dt = 2π. Die Bedingung (1.3) reicht dher nicht us, um uf eine Stmmfunktion schließen zu können. Wir sgen, ein Gebiet D Ê 2 ist einfch zusmmenhängend, wenn sich jede geschlossene Jordn- Kurve in stetiger Weise innerhlb von D zu einem Punkt zusmmenziehen lässt. Im Ê 2 drf ein einfch zusmmenhängendes Gebiet keine Löcher hben. Stz 1.12 Gilt für ein Vektorfeld v C 1 (D) 2 im einfch zusmmenhängenden Gebiet D die Bedingung (1.3), so existiert eine Stmmfunktion f C 2 (D) von v. Beweis: Sei zunächst die Einheitskugel B 1 () in D enthlten. Wir setzen für x B 1 () und φ(t) = tx Wegen 1 v 2 = 2 v 1 gilt sowie Dmit gilt f(x) = 1 v(φ(t)) φ (t)dt = 1 v(tx) xdt. ( ) 2 v(tx) x = i v j (tx)x j t+v i (tx) = v i (tx) (tx)+v i (tx) x i ( vi (tx)t ) = t j=1 2 j v i (tx)tx j +v i (tx) = v i (tx) (tx)+v i (tx). j=1 1 ( ) f(x) = v(tx) x dt = x i x i = 1 1 ( vi (tx)t ) dt = tv i (tx) 1 t = v i(x) ( vi (tx) (tx)+v i (tx) ) dt Bei einem llgemeinen Gebiet können wir mit diesem Verfhren uf einer kleinen Kugel eine Stmmfunktion konstruieren und diese Konstruktion m Rnde dieser Kugel mit den dort beknnten Werten von f fortsetzen. Auf diese Weise erschließen wir immer größere Bereiche von D. Treffen wir dnn uf einen bereits erschlossenen Bereich, so müssen die vorhndenen Werte mit den neu zu definierenden Werte übereinstimmen. Andernflls hätten wir ein nichtverschwindendes Wegintegrl über eine geschlossene Kurve, ws einen Widerspruch uslösen würde, weil wir die Kurve zu einem Punkt zusmmenziehen könnten. 11