1 Einführung in die Fehlerrechnung

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1 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug Eiführug i die Fehlerrechug Tiefemessschiee Abbildug: Messschieber. Theoretische Grudlage Bei jeder physikalische Messug trete Ugeauigkeite auf, die sich prizipiell icht vermeide lasse. Dies liegt i der Natur des Messes, de eie physikalische Größe zu messe bedeutet, sie mit eiem willkürlich, aber zweckmäßig festgelegte Maßstab zu vergleiche. Aus zwei Grüde ka ei solcher Vergleich keie absolut "wahre" Zahlewert ergebe. Zum eie ist der "wahre" Wert eier Größe ei Kostrukt, eifach deswege, weil sich dieser Wert ie gaz geau festlege lässt (wie lag ist ei Seil wirklich, auf eier atomare Skala beurteilt?) Zum zweite ka ma mit eiem Zollstock als Vergleichsmaßstab icht Lägemessug mit eier Geauigkeit im Mikrometer-Bereich durchführe, mit eier Bügelmessschraube icht im Naometer-Bereich; es gibt grudsätzlich weder absolut geaue Messgeräte och absolut geaue Messmethode. Jede Messug ka ur mit eier edliche Geauigkeit durchgeführt werde; auch moderste Hochpräzisiosexperimete liefer Zahlewerte, die mit eier - we auch kleie Ugeauigkeit behaftet sid (i bestimmte Experimete kommt ma auf relative Messugeauigkeite vo 0 ud besser). Die Ugeauigkeit eies Messwertes ist also als Abweichug des Messwertes vo dem Kostrukt eies als "wahr" ageommee Wertes zu verstehe. Nu hat sich seit Jahrhuderte eigebürgert, icht Ugeauigkeit zu sage, soder Fehler, icht Messugeauigkeit, soder Messfehler, icht Ugeauigkeitstheorie, soder Fehlertheorie. Mit dem Wort 'Fehler' verbidet ma ja eigetlich Begriffe wie Irrtum, Versehe das ist aber icht gemeit, we ma vom Messfehler spricht (= Messugeauigkeit). Die Agabe des Messfehlers bedeutet icht, etwas sei falsch gemacht worde; sie liefert vielmehr ei (otwediges) Maß für die Geauigkeit ud Zuverlässigkeit der Messug. Isbesodere hat die Fehlerrechug icht de Si, am Schreibtisch (d.h. ohe Wiederholug der Messug) "falsche" Messwerte zu "richtige" zu mache. Wichtig bei der Fehlerbetrachtug ist zuächst die Berechug der Messfehler der eizele Größe ud darüber hiaus die Klärug der Frage, wie diese Fehler das Gesamtergebis beeiflusse. Die Berechug ud Agabe der Messfehler gehört immer ud selbstverstädlich ebeso zur Messug wie die Agabe der Messgröße selbst. Das Ergebis z.b. eier Massebestimmug lautet also icht "m=4", soder "m=(4,0±0,) kg". Ausahme ist atürlich das Abzähle kleier Mege diskreter Objekte wie Billardkugel oder Frösche.

2 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug.. Fehlerklassifizierug Alle auftretede Messfehler lasse sich wie folgt kategorisiere: a) Grobe Fehler: Solche Fehler werde ausschließlich vo de Experimetierede begage. Sie beruhe z.b. auf usachgemäßer Hadhabug oder falscher Ablesug vo Messgeräte, auf falscher Aordug (z.b. Schaltug) des apparative Aufbaus, auf Nichtbeachtug physikalischer Nebebediguge usw.. Grobe Fehler sid bei eiiger Sorgfalt ud guter Vorbereitug prizipiell vermeidbar; sie sid icht Gegestad der Fehlertheorie. Zwei Beispiele aus diesem Praktikum: ) Ei Thermometer falsch herum i eie Flüssigkeit stecke ud da folger, die Temperatur sei über lage Zeit kostat gleich der Raumtemperatur. ) Eie Messschaltug falsch aufbaue, die Azeige des Amperemeters als "Spaug" iterpretiere, außerdem och mit eiem falsche Skalefaktor umreche macht gleich drei grobe Fehler. b) Systematische Fehler: Hier liege die Ursache meist im Messverfahre bzw. im Messgerät selbst. So köe z.b. Messgeräte auf de zu messede Vorgag zurückwirke ud dadurch Fehler verursache: Ei Quecksilber-Thermometer, mit dem die Temperatur eier relativ gerige Flüssigkeitsmege bestimmt werde soll, erwärmt sich selbst ud kühlt dabei die Flüssigkeit ab. Die Temperatur wird also zu iedrig agezeigt. Darüber hiaus köe Messgeräte kostruktiv ugeau oder magelhaft kalibriert sei. Beispiele sid zu schell oder zu lagsam gehede Uhre, Nullpuktfehler, ugleichmäßige Teilug eies Maßstabs usw.. Kezeiched für das Vorliege systematischer Fehler ist die Tatsache, dass bei Wiederholug der Messug die Messwerte immer zu groß oder immer zu klei sid. Systematische Fehler sid bisweile schwer erkebar. Sie lasse sich jedoch prizipiell durch Wechsel der Messgeräte bzw. durch Äderug der Versuchseirichtug vermeide. c) Statistische Fehler, Zufallsfehler: Auch bei völliger Vermeidug grober ud systematischer Fehler liefert die mehrfache Messug ei ud derselbe Größe kaum jemals geau übereistimmede Ergebisse. Ursache hierfür ka z.b. sei, dass bei Ablesug eier Skala Werte zwische zwei Skalestriche geschätzt werde müsse oder dass bei Eitritt eies bestimmte Ereigisses die Stoppuhr zu betätige ist (subjektiv bedigte Zufallsfehler). Sie köe aber auch durch magelde Reproduzierbarkeit i eiem Messsystem etstehe, z.b. bei Lagerreibug im Messwerk eies Strommessers, Eifluss vo Temperaturäderuge auf Läge- ud Volumemessgeräte usw. Darüber hiaus ka die zu messede Größe selbst gewisse Schwakuge uterliege (objektiv bedigte Zufallsfehler). Zufallsfehler sid erkebar dara, dass bei eier Reihe gleicher Messuge etwa ebeso viele positive wie egative Abweichuge vom "wahre" Wert etstehe. Ma sagt, dass die uter gleiche Bediguge erhaltee Messwerte um de "wahre" Wert "streue". Usorgfältig, achlässig ud/oder mit ugeeigete Messgeräte durchgeführte Messuge werde durch die Fehlerrechug icht aussagefähiger... Fehlerberechug Der "wahre" Wert eier physikalische Größe lässt sich aus de obe geate Grüde icht feststelle. Ziel eier Fehlerrechug ist es, aus de Messwerte eie Bereich zu bereche, ierhalb desse der "wahre" Wert wahrscheilich azutreffe ist. Die Agabe f ( 56 ) = ± mm für die Breweite eier Lise bedeutet, dass die wahre Breweite mit eier gewisse Wahrscheilichkeit (ca. 68% bzw. rud /3) im Bereich zwische 54mm ud 58mm f = 56,6 ± 0,4 mm, dass mit der gleiche Wahrscheilichkeit die wahre liegt. Dagege bedeutet ( ) Breweite zwische 56,mm ud 57,0mm zu fide ist. Im letztere Fall wurde demach ei präziseres Messverfahre agewedet.

3 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 3 Die Agabe des Fehlerbereichs zum Messergebis lässt daher Rückschlüsse auf die Präzisio der Messug zu ud ist deshalb bei Dokumetatioe (d.h. auch bei Protokolle) ebeso uetbehrlich wie die Agabe der Maßeiheit.... Mittelwert ud Stadardabweichug Ageomme, eie Läge l werde -mal uter gleiche Bediguge gemesse. Aus de eizele Messwerte l i ergibt sich der Mittelwert l zu ( ) l = l l l li = (.) i= Der Mittelwert sagt u och ichts über die Qualität oder die Präzisio der Messug. Ei qualitatives Kriterium hierfür ist die Streuug der Messwerte um de Mittelwert. I der folgede Abbildug. repräsetiert die zweite Messreihe eie "bessere", d.h. präzisere Messreihe als die erste, da die eizele Messpukte äher am Mittelwert liege. Abb..: Streuug vo Messwerte um eie Mittelwert: liks größere, rechts kleiere Streuug. Die übliche Charakterisierug der Streuug beruht auf der Summe der Quadrate der Abweichuge: σ bzw. = ( li l) i= = i= σ ( l l) i (.) Die so errechete Größe σ heißt Variaz der Eizelmessug, die Quadratwurzel σ heißt Stadardabweichug der Eizelmessug. Vereifacht sagt ma statt Stadardabweichug auch oft "Stadardfehler" oder och kürzer eifach "Fehler". Wege des Neers i der letzte Gleichug ist die Variaz für eie Eizelmessug (d.h. = ) icht defiiert; erst ab = wird die Berechug sivoll. Für de häufig auftretede Fall geüged großer ka ma dagege ohe große Fehler durch aäher. Bemerkug: We ma geüged häufig misst, sollte die Stadardabweichug uabhägig vo der Zahl der Messuge werde. Dies liegt aschaulich dara, dass mit größer werdedem icht ur der

4 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 4 Neer des Wurzelausdrucks i Gleichug (.) wächst, soder auch der Zähler (Summatio über Messuge). Für de sehr häufige Fall ormalverteilter Date (siehe folgede Abschitt) folgt daraus, dass für große die Stadardabweichug uabhägig vo wird.... Darstellug vo Messwerte Verteilugsfuktio Die Messwerte l, l, l lasse sich i eier Häufigkeitskurve, auch Histogramm geat, graphisch darstelle: Ma uterteilt de gesamte Bereich der Messwerte (vom kleiste bis zum größte gemessee Wert) i gleich große Itervalle, dere Breite beliebig ist, jedoch i der Regel so, dass i jedem Itervall midestes ei Messwert vorkommt. Die Itervalle werde oftmals auch als Klasse bezeichet. Die Häufigkeit des Auftretes des Messwertes l i wird da als Fuktio des jeweilige Itervalls aufgetrage. Beispiel: die Läge l sei 3 mal gemesse worde. Aufgrud der Streuug werde Messwerte zwische 9,9 mm ud,3 mm gemesse. Zur Erstellug eies Histogramms wird dieser gesamte Bereich i gleich große Itervalle uterteilt ud die Zahl der Messwerte pro Itervall bestimmt, siehe achfolgede Tabelle: Itervall / mm 9,9 0, 0, 0,3 0,3 0,5 0,5 0,7 0,7 0,9 0,9,,,3 Zahl der Werte i diesem Itervall Nu wird für jedes Itervall die Zahl der Messwerte i Form eies Balkes aufgetrage. Ma erhält auf diese Weise ei Balkediagramm, dem zu etehme ist, wie häufig die eizele Messwerte vorgekomme sid (Abb..). 0 5 Abb..: Häufigkeitskurve oder Histogramm der Messwerte l Bei eier sehr große Zahl vo Messwerte köe die Itervalle sehr klei gewählt werde; es etsteht da eie "glatte" Kurve. Häufig sid die Messwerte gaußverteilt (= ormalverteilt); sie liege da auf der Gaußsche Verteilugsfuktio (oder auch wege ihrer Form Gaußsche Glockekurve geat). Ihre mathematische Formulierug lautet: l/mm

5 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 5 ( l l) ( l l) f( l) = exp e σ = σ p σ σ p (.3) Die erste beide Ableituge dieser Fuktio liefer folgede Ergebisse: Das Maximum liegt a der Stelle l ; dies ist der bereits errechete Mittelwert aus userer Messreihe. Die Wedepukte P ud P der Kurve liege a de Stelle l ± σ, wobei σ die i Gl. (.) beschriebee Stadardabweichug der Eizelmessug ist. Die folgede Grafik i Abb..3 zeige Gaußsche Glockekurve für die Werte l = 0 ud σ = (liks) bzw. σ =,5 (rechts) σ = σ =,5 l σ l + σ l σ l + σ Abb..3: Gaußkurve mit gleichem Mittelwert, aber uterschiedliche Stadardabweichuge σ. Die beide Sekrechte jeweils bei l ± σ begreze eie Abschitt der uter der Verteilugskurve liegede Fläche, der umso breiter wird, je größer die Stadardabweichug σ ist. Der Ateil dieser Fläche im Vergleich zur Gesamtfläche beträgt immer etwa 68%. Die Fehlertheorie besagt daher, dass irgedei aus der Gesamtheit aller Messwerte willkürlich herausgegriffeer Wert mit 68% Wahrscheilichkeit i diese Bereich fällt aders ausgedrückt: Wiederholt ma die Messug uter gleiche Bediguge, so falle etwa /3 der Messwerte i de Bereich zwische l ± σ. Je kleier σ, desto größer ist demach die Präzisio der Messug....3 Stadardabweichug des Mittelwertes eier Messreihe Mit Gleichug (.) ist der Stadardfehler eier Eizelmessug defiiert. I der Praxis ist aber häufig die Frage relevat, wie geau der Mittelwert eier Messreihe vo Messuge ist. Kezeiched hierfür ist der Stadardfehler σ des Mittelwertes eier Messreihe. Es gilt σ σ = = ( li l). (.4) ( ) i=

6 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 6 Währed σ im Wesetliche vo der Präzisio der Eizelmessug abhägt, hägt σ auch vo der Azahl der Messuge ab. Mit adere Worte: der Mittelwert eier Messreihe ist um de Faktor geauer als jeder eizele Messwert. Darüber hiaus besagt die letzte Gleichug: Wiederholt ma icht ur eie Eizelmessug, soder eie Messreihe mit Messuge ud berechet hieraus eie eue Mittelwert, so liegt dieser mit der Wahrscheilichkeit 68% (also rud /3) zwische de Greze l ± σ....4 Fehlerfortpflazug I viele Fälle ka eie physikalische Größe f icht direkt gemesse werde, soder muss aus zwei oder mehrere adere, direkt messbare Größe xyz,,, errechet werde (zum Beispiel ist der Druck eies Gases eie Fuktio vo Volume ud Temperatur). I der Fehlerfortpflazugsrechug wird utersucht, welcher Fehler bei der zu errechede Größe auftritt, we die Fehler der direkt messbare Größe bekat sid. Die mathematische Formulierug fidet sich im Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz. Bevor wir dieses Gesetz hischreibe, solle eiige folgede Ausführuge es vielleicht etwas plausibler mache. Sie erier sich (hoffetlich) och aus der Schule och a die Defiitio der Ableitug. We eie Größe f (etspricht userer idirekt messbare Größe) vo der Variable x (etspricht userer direkt messbare Größe) abhägt, da ist die Ableitug am Pukt x 0 defiiert als df f( x + x) f( x ) f f x = = = 0 0 ( 0) lim lim dx x 0 x 0 x x x = x 0 x= x0, (.5) was der Steigug der Tagete am Pukt x 0 etspricht, siehe Abbildug.4. Da diese Defiitio für (fast) jede Pukt x 0 gilt, lässt ma i der Regel de Idex Null weg ud schreibt df f( x+ x) f( x) f f ( x) = = lim = lim dx x 0 x x 0 x (.6) Vielleicht habe Sie ur die Schreibweise f ( x) keegelert; sie bedeutet zwar geau das gleiche wie df df, ist aber fürs folgede viel upraktischer; wir werde ausschließlich dx dx verwede. Aschaulich ist die Ableitug ei Maß dafür, wie stark sich f ädert, we ma x um x ädert. We f zum Beispiel kostat ist, da gilt f( x+ x) = f( x) ud damit ist die Ableitug Null. Zur Techik des Ableites fide Sie eiige Iformatioe im Ahag.

7 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 7 Abb..4: zur Veraschaulich der Ableitug: Steigug der Tagete am Pukt x. Wir wolle u für die Zwecke der Fehlerrechug die exakte Defiitio der Ableitug etwas "aufweiche", idem wir folgedes sage: we x geüged klei ist, da köe wir de Limes weglasse ud erhalte aus Gleichug (.6) i guter Näherug f df x dx bzw. df f x (.7) dx Das bedeutet, we die Äderug x vo x klei geug ist, da ist die Äderug f vo f df (aäherd) gegebe durch f = x. Mit adere Worte: we wir bei der Bestimmug vo x dx eie Fehler x mache, da ist der Fehler i f ugefähr durch f gegebe. Damit habe wir de Kotakt zur Fehlerrechug hergestellt. Allerdigs iteressiert us dort ja im allgemeie das Vorzeiche der Fehler ur bedigt; deswege gehe wir eie Schritt weiter ud schreibe df dx ( f ) ( x) df dx oder ugeauer, aber eifacher ( f ) = ( x) Bemerkug: statt ( f ) gibt es i der Fehlerrechug auch die Schreibweise f. (.8) Mit Gleichug (.8) köe wir also eie Aussage über de Fehler f mache, we wir die Messgröße x mit dem Fehler x messe. Was passiert u, we f vo mehrere Variable xyz,,, abhägt? Aschaulich heißt das, dass sich f icht ur bei Äderug vo x ädert, soder auch bei Äderug vo yz.,, Mit adere Worte: statt der eie Ableitug vo f ach x, also df, gibt es u mehrere dx Ableituge, ämlich ach xyz,,,. Um das auch i der Schreibweise hervorzuhebe, verwedet ma f f f im Fall mehrer Variabler ei spezielles rudes 'd' ud schreibt,, Ma bezeichet diese x y z Ableituge als 'partielle Ableituge'. Zur Techik des partielle Ableites fide Sie eiige Iformatioe im Ahag.

8 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 8 Zurück zum Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz. Die detaillierte Herleitug dieses Gesetzes wäre hier zu aufwedig, aber we Sie sich Gleichug (.8) aschaue, ist es vielleicht eisichtig, dass ma die Fehler aufsummiert f f f = (.9) x y z ( f ) ( x) ( y) ( z) We wir jetzt och die vo us salopp 'Fehler' geate Terme x, y, z, durch die Stadardabweichuge ersetze, habe wir schließlich das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz i aller Schöheit. Es besagt: We die physikalische Größe f( xyz,,, ) aus de Messgröße xyz,,, mit de Stadardabweichuge σx, σ y, σz,, berechet wird, gilt für de Fehler f : σx σ y σz f f f f = (.0) x y z Setzt ma statt der Stadardfehler σ x etc. de Messfehler x etc. ei, schreibt sich die letzte Gleichug als f f f f = ( x) + ( y) + ( z) + (.) x y z Statt dieses absolute Fehlers wird auch oft der relative Fehler agegebe, ämlich f f x f y f z = (.) f x f y f z f Dabei werde uter der Wurzel für xyz,,, die Mittelwerte xyz,,, eigesetzt. Beispiel: Die Dichte eies homogee Metallblocks soll gemäß der Defiitio ρ = mv / ermittelt werde. Die Masse wird mit eier Waage bestimmt, das Volume über die Messug vo Läge, Breite ud Höhe des Metallblocks, V = l b h. Jede dieser vier Messuge ist mit eiem Fehler behaftet. Wie groß ist der Gesamtfehler bei der Bestimmug der Dichte? Wir bereche zuerst die partielle Ableituge vo ρ ach de beide Variable m ud V : ρ ρ m = ud = m V V V (.3) Die Fehler bei der Masse- ud Volumebestimmug sid m ud V ; damit folgt ρ ρ m ρ = + = + m V V V² ( m) ( V) ( m) ( V) (.4) Dies ist der absolute Fehler bei der Dichtebestimmug. Der relative Fehler ergibt sich etspreched zu ρ V ( m) m V ( V) m V = + = + ρ V m V² m m V (.5)

9 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 9 Dabei werde uter der Wurzel für die Größe m ud V die Mittelwerte eigesetzt. m ist der bei der Wägug etstehede Fehler, über de allgemei hier ichts weiter gesagt werde ka. Bei der Volumebestimmug köe bei der Läge-, Breite- ud Höhemessug verschiede große Fehler auftrete: V V V V = l + b + h l b h ( ) ( ) ( ) (.6) Mit V = l b h folgt V = b h, l V = l h, b V h = l b ud damit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V = bh l + lh b + lb h bzw V l b h = + + V l b h (.7) Weitere Beispiele zur partielle Differetiatio fide Sie im Ahag. Bemerkug: Bessere Tascherecher ud alle Tabellekalkulatiosprogramme besitze zur Berechug des Mittelwertes ud der Stadardabweichuge feste Fuktiostaste bzw. Fuktioe. Prüfe Sie jedoch, ob die eiprogrammierte Fuktioe mit de hier agegebee Defiitioe übereistimme....5 Agabe des Messergebisses Zu jeder Agabe eies Messergebisses gehört gaz selbstverstädlich die Maßeiheit, wie eigetlich jede ud jeder weiß: "Das kostet 4" Euro, Cet, Dollar? oder "Das wiegt 78" Gramm, Toe, Mikrogramm? Ergebisse ohe Maßeiheit sid sileer. Zur Agabe eies Messergebisses gehört außerdem immer auch die Agabe des Messfehlers. Vo dieser ehere Regel gibt es wie gesagt ur ei paar triviale Ausahme zwei Frösche sid (weigstes im allgemeie) icht ± 0, Frösche, soder ebe zwei. Asoste aber gilt immer: Messresultat = Messwert + Messfehler + (physikalische) Maßeiheit Bei mache Messuge wird ma ur eie Wert erhalte, so dass ma keie Mittelwert bilde ka, beispielsweise beim Ablese eies Thermometers, eies Zollstocks oder eier Waage. Hier wird als Fehler die Ablesegeauigkeit agegebe; bei eiem Zollstock z.b. ca. 0,5 mm. Das Resultat eier Lägemessug würde da laute L = 34, cm ± 0,5 mm. Bei mache Messuge erhält ma zwar verschiedee Messwerte, aber deoch ka die Agabe eies berechete Mittelwertes usiig sei. Beispiel: Sie wiege eie Gegestad auf eier (ugeaue) Waage ud erhalte als Ergebis mal 36,6 g, mal 36,7 g ud mal 36,5 g. Natürlich köte Sie jetzt 00 Mal messe ud eie scheibar phatastisch geaue Wert ermittel aber das wäre eie Scheigeauigkeit, de Ihre Waage hat offesichtlich eie Ugeauigkeit vo 0, g ud gibt u mal icht mehr her als das Resultat m = 36,6 g ± 0, g. Grudsätzlich gilt: ma gibt icht mehr Stelle im Edergebis a, als ma mit de Messgeräte och sicher erfasse ka; bei eiem Messschieber sid das zum Beispiel 0,05 mm. Das bedeutet: auch we die Agabe eies berechete Mittelwertes sivoll ist, darf ma icht eifach de umerisch ermittelte Wert überehme. Jemad misst z.b. die Schwigugsdauer eies Pedels ud fidet T = 8,5s, T = 8, 7s, T3 = 8, 6s, T4 = 8,5s, T5 = 8,5s, T6 = 8, 6s, T7 = 8, 6s ud gibt

10 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 0 als Ergebis de vom Recher agegebee Mittelwert a, ämlich T = 8,574857s. Damit wird suggeriert, die Messug sei mit eier Geauigkeit vo eier milliardstel Sekude erfolgt, was offesichtlich Usi ist. We die verwedete Stoppuhr auf Hudertstelsekude geau ist, heißt das Ergebis vielmehrt = 8,57s. Die gleiche Überleguge gelte atürlich auch bei der Agabe des Fehlers, im Beispiel berechet zu T = ± 0,085749s ud 'verüftig' agegebe zu T = ± 0,03s. Das Edergebis lautet also T = 8,57s± 0,03s (ud bei eier auf Zehtelsekude geaue Stoppuhr T = 8,6s± 0,s). Wie viele Stelle ach dem Komma agegebe werde, hägt also vo der Geauigkeit der Messug ab je mehr Stelle, desto geauer, je weiger, desto ugeauer. Um dieses Prizip auch bei sehr große oder sehr kleie Zahle realisiere zu köe, schreibt ma das Ergebis als Produkt eier 6-4 Zeherpotez: Statt z.b s besser,69 0 s, statt 0, m besser 3,55 0 m. Auch hier gilt die Regel: Nicht mehr Stelle ach dem Komma als messtechisch möglich sid oder durch die Fehleragabe sivoll sid. Ähliches gilt atürlich auch, we ma statt des absolute Fehlers de relative (i Prozet) agibt. Rei recherisch wird aus der absolute Fehleragabe T = 8,57s± 0,03s die relative Agabe T = 8,57s± 0,036338%. Auch diese Agabe spiegelt eie bizarre Geauigkeit vor; die agemessee Agabe lautet stattdesse T = 8,57s± 0,05% oder T = 8,57s± 0,% (ud bei eier auf Zehtelsekude geaue Stoppuhr T = 8,6s± %. Geerell gilt: Im Zweifelsfall de Fehler lieber etwas höher als iedriger agebe. Ei letztes Beispiel: Sie habe vier Kristalle gezüchtet ud messe ihre Läge zu (7,4 ; 8,9 ; 9,6 ; 0,7) cm. Der Recher liefert de Mittelwert 9,5 cm ud die Variaz 0, cm. Das Aführe aller Nachkommastelle wäre hier wieder überkadidelt; sivoll ist eie Agabe der Art (9, ± 0,7) cm (beziehugsweise 9, cm ± 8%). Also: Überehme Sie icht ukritisch das Ergebis Ihres Rechers (das ist eie geerelle Regel), soder überlege Sie, wie viele Dezimale im Messergebis überhaupt sivoll sid.. Experimetelle Aufgabe.. Wurfpfeil Experimet Geräte: Wurfpfeile, Zielscheibe (Dieses Experimet hat icht die Utersuchug vo physikalische Ihalte zum Ziel, soder soll der Veraschaulichug der Fehlerrechug diee.) Die Messwerte irgedeier hypothetische Größe werde dadurch simuliert, dass Wurfpfeile ach der sekrechte Mittelliie eier Zielscheibe geworfe werde. Die Mittelliie hat de Wert Null, liks davo liege Streife mit de Werte bis 0, rechts Streife mit + bis +0. Damit ist die Abweichug vo der Nullliie gleich der Zahl auf dem getroffee Streife. Jede/r TeilehmerI hat zwei Serie zu je füf Würfe. Versuche Sie, die schwarze Mittelliie der Scheibe zu treffe, möglichst ohe sich vo der Lage der voragegagee Würfe beeiflusse zu lasse. VORSICHT: Achte Sie darauf, dass sich währed des Werfes iemad zwische Zielscheibe ud Abwurfliie aufhält! Spielregel:. Fällt ei Wurfpfeil vo der Scheibe, ohe eie Eistich zu hiterlasse, wird der Wurf wiederholt.

11 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug. Falls ei Pfeil außerhalb ±0 ladet, wird die Etferug des Eistichs zur schwarze Mittelliie vermesse ud die etsprechede Zahl eigetrage. 3. Trifft ei Pfeil geau auf eier Treugsliie zwische zwei Streife, so wird die ugüstigere Zahl otiert. Trage Sie i die vorbereitete Tabelle ach ute stehedem Muster die Ergebisse Ihres Teams ei. Übertrage Sie die Ergebisse i eie Excel-Liste auf dem bereitgestellte Computer. Bereche Sie de Mittelwert der 4 mal 5 Würfe Ihres Teams, die Stadardabweichug des eizele Wurfs für 0 Würfe, die Stadardabweichug des Mittelwertes aller 0 Würfe. Zeiche Sie ei Histogramm für die 0 Würfe Ihres Teams. Der Mittelwert ud die Stadardabweichug der Ergebisse aller Teams solle berechet werde (Ergebisse währed der Verastaltug sammel). Zeiche Sie für diese ca. 00 Würfe die Verteilugskurve. Welche Uterschiede zu de Ergebisse Ihrer Zweiergruppe ergebe sich? Nr. x x x x = ( x x) ( x x) ( ) σ = =.. Volume ud Dichte eies Metallkörpers Geräte: Bügelmessschraube, Metallblöcke, Waage Mit Hilfe eier Bügelmessschraube (auch Messschraube oder Mikrometer geat, siehe Abb..5) soll das Volume eies quaderförmige Metallblocks bestimmt werde. Abb..5: Bügelmessschraube. Mache Sie sich zuächst mit der Fuktiosweise dieses Messgerätes vertraut. Durch das Zusammewirke der Skale auf der Trommel ud der Spidel ka eie Messgeauigkeit vo 0,0 mm = 0 µm erreicht werde.

12 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug Prüfe Sie auf Nullpuktfehler ud berücksichtige Sie diese bei der Messug. Betätige Sie beim Messe die Kupplugsschraube (= Rutschkupplug, Ratsche, 'Gefühlsschraube'). Diese verhidert, dass die Probe durch evtl. zu hohe Druck deformiert wird. Messe Sie je zehmal die Läge l, die Breite b ud die Höhe h des Metallblocks (Messschraube jeweils a adere Stelle asetze). Bereche Sie die Mittelwerte der Läge, Breite ud Höhe, sowie dere Stadardfehler. Bestimme Sie de Mittelwert des Volumes sowie desse Fehler. Die Dichte ρ des Materials ist bei homogee Körper defiiert durch das Verhältis vo Masse zu Volume: ρ = m V, mit der Maßeiheit kg m 3. (.8) Zur Bestimmug der Masse des Metallblocks diet eie Waage, die auf 0,0 g geau misst. Um de Stadardfehler der Masse zu bereche, wäre es usiig, de Metallblock mehrmals auf die Waage zu lege. Es geügt daher, de Fehler der Masse mit ±0,0 g azusetze. Bestimme Sie die Dichte ρ des Metallblocks ud de Stadardfehler des Mittelwertes uter Asatz des Volumefehlers ud des Massefehlers. Ei Beispiel für das Ablese eier Bügelmessschraube ist i der Abbildug.6 gezeigt: Abb..6: Bügelmessschraube zeigt d = 5,78 mm. Die obere Striche der waagrechte Skala zeige die Millimeter, die utere Striche sid um eie halbe Millimeter versetzt. Damit ergibt sich zuächst ei Maß vo 5,5 mm plus eie kleie Größe. Diese kleie Größe ka ma a der im Bild vertikale Skala als otierte 8 ablese, also als 0,8 mm. Damit ergibt sich isgesamt d = 5,5 mm + 0,8 mm = 5,78 mm. Bei sorgfältigem Ablese ist also eie Geauigkeit vo ± 0,0 mm durchaus erreichbar...3 Messug der Schwigugszeit eies Pedels Geräte: Pedel verschiedeer Läge, Maßstab, Stoppuhre Die Schwigzeit eies sogeate Fadepedels soll so exakt wie möglich bestimmt werde. Messe Sie zehmal die Zeit für eie eizele Schwigug (d.h. 0 Werte pro Gruppe), eimal die Zeit für 0 Schwiguge (d.h. Werte pro Gruppe). Bemerkug: es hadelt sich hier um das kleie griechische ρ (rho), icht um das lateiische p. Das griechische Alphabet fide Sie im Ahag.

13 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 3 Bereche Sie i beide Fälle de Mittelwert sowie de Stadardfehler. Überlege Sie, welche systematische Fehler auftrete ud schätze Sie ihre Größeordug ab. Vergleiche Sie mit dem statistische Stadardfehler. Die Mechaik zeigt, dass die Schwigugszeit T eies solche Pedels uabhägig vom Gewicht bzw. vo der Masse des Pedelkörpers ist. Sie ist ur vo der Läge des Pedels abhägig, wobei uter der Läge der Abstad zwische Aufhägepukt ud Schwerpukt des Pedelkörpers verstade wird: T = π l g mit T : Schwigugszeit; l : Pedelläge; g : Fallbeschleuigug Bereche Sie die Fallbeschleuigug g mit ihrem Stadardfehler. Vergleiche Sie mit dem im Ahag agegebee Wert. Liegt er i de Fehlergreze Ihres Ergebisses?..4 Wirkugsgrad eier Heizplatte Geräte: Kochplatte, Topf mit Deckel, Powermeter, Widerstadsthermometer. Wirkugsgrade spiele icht ur i der Physik, soder überall dort eie Rolle, wo Eergieforme ieiader umgewadelt werde, etwa i der Eergiewirtschaft oder bei der Auswahl ud Förderug vo Verkehrsmittel. Es lasse sich aber auch Wirkugsgrade vo chemische ud biologische Prozesse utersuche. Der Wirkugsgrad η ('Eta') ist gaz allgemei defiiert als das Verhältis vo Nutzeergie zu aufgewedeter Eergie ud stellt im allgemeie eie Zahl zwische 0 (0 % Wirkugsgrad) ud (00 % Wirkugsgrad) dar. Wirkugsgrade größer deute auf eie Fehler i der Bilazierug, ei Perpetuum Mobile oder auf ei "offees System" (Eergie wird versteckt vo woaders aufgeomme) hi. Näheres ist bei Iteresse aus etsprecheder Literatur zu etehme. Wir wolle de Wirkugsgrad i dieser Versuchsreihe exemplarisch a eiem eifache ud jedem vertraute System utersuche, eier elektrische Herdplatte mit Wasserkessel. Zur Messug des Wirkugsgrades der Heizplatte wird Wasser eier bekate Masse m im Kessel erhitzt. Dabei immt das Wasser die Wärmemege Q= cw m ϑ (.9) auf; ϑ ist die Temperaturdifferez, c W die spezifische Wärmekapazität des Wassers (ist im Ahag agegebe). Die Heizplatte setzt i der Zeit t die Eergie W el = UIt um (U : Spaug, I : Stromstärke; elektrische Leistug P : UI.) Diese Eergie kommt wege der Wärmekapazität z.b. des Wasserkessels ud der Platte selbst ud wege der Verluste durch Wärmekovektio, -leitug ud strahlug dem Wasserihalt des Kessels icht voll zugute. Die vom Wasser aufgeommee Wärmeeergie Q ist deshalb erheblich kleier als die aufgewedete Eergie W el. Das Verhältis Q cw m ϑ η = = W U I t el (.0) ist der Wirkugsgrad des Systems Heizplatte Kocher Wasser. Durchführug: Messe Sie zuächst Masse ud Temperatur des Wassers. Die Temperatur wird hier mithilfe eies Widerstadsthermometers gemesse, desse Widerstad proportioal zur Temperatur ist.

14 Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug 4 Eie ausführlichere Beschreibug befidet sich i diesem Skript im Kapitel 4: Temperatur ud Wärme, auf Seite 4. Daach wird die Heizplatte auf Maximalleistug gestellt ud gleichzeitig die Stoppuhr betätigt. I geeigete Schritte wird jetzt die Temperatur ud die zugehörige Zeit abgelese, bis das Wasser kocht. Daach wird abgeschaltet ud die abgelaufee Zeit otiert. Die Heizplatte ist über ei hadelsübliches Powermeter ( Eergiemoitor ) mit dem Wechselstrometz verbude, so dass währed des Heizvorgags die Stromstärke ud die Spaug abgelese werde köe.. Wie groß ist der Wirkugsgrad des Kochers bei der Erwärmug des Wassers vo Zimmertemperatur bis 40 C? Wie groß ist er bei der Erwärmug vo Zimmertemperatur auf die erreichte Edtemperatur? Vergleiche Sie diese beide Werte ud begrüde Sie de evetuelle Uterschiede. Was würde wohl ei Vergleich dieser Werte bei Beutzug eier Stahlkochplatte ergebe?. Zeige Sie, dass der relative Fehler bei der Bestimmug des Wirkugsgrades (= η ) gegebe ist η durch η σ c W σ σ m ϑ σ σ σ = U + I + t η cw m ϑ U I t (.) Welche Größe liefert de größte Beitrag zum Gesamtfehler? 3. Welche Rolle spielt der Topfdeckel? Bei ausreiched viele Gruppe eiige Sie sich, wer de Versuch mit ud ohe Deckel durchführt ud vergleiche Sie die Ergebisse "mit" ud "ohe" mit ei bis zwei Sätze. 4. I Aufgabe habe Sie de Wirkugsgrad des Systems "ab Steckdose" gemesse. Das de Strom lieferde Kohlekraftwerk habe de Wirkugsgrad η = 0,3 (üblicher Wert). Welche 'Gesamt'- Wirkugsgrad hat user System "ab Kohle"?..5 Recheaufgabe Bearbeite Sie diese Aufgabe bitte schriftlich im Protokoll (iklusive Lösugsweg). Ei (ugedämpfter) elektrischer Schwigkreis ethält eie Kodesator (Kapazität C ) ud eie Spule (Iduktivität L ). Er schwigt mit der Frequez ω = (.) LC Durch Messug der Frequez ud der Kapazität soll die Iduktivität bestimmt werde. Leite Sie ach der Gaußsche Fehlerfortpflazug die Gleichug für de relative Fehler L/ L her. Welche Größe muss besoders geau bestimmt werde? Wie groß ist der relative Fehler L/ L, we die relative Geauigkeit der Frequez bzw. der Kapazität bei % bzw. % liegt?