Kein Anspruch auf Vollständigkeit und Fehlerfreiheit

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1 Kein nspuc auf Vollständigkeit 8. Geometisce Köpe 8.1. as geade Pisma Netz und Obefläce des geaden Pismas Ezeugung eines Quades duc Paallelvesciebung Einen Quade kann man duc Paallelvesciebung eines Rectecks ezeugen. ie des Vesciebungsvektos steen dabei auf de E- Repäsentanten ', ', ' und ' bene senkect as n-seitige geade Pisma Vesciebt man ein beliebiges ebenes n-eck senkect zu Ebene des n-ecks, so entstet ein n-seitiges (geades) Pisma. Ist das n-eck egelmäßig ( egulä ), so spict man von einem n-seitigen, eguläen Pisma. Ein Quade ist also ein pezialfall eines Pismas. ie Fläce, die vescoben wid (ie E) nennen wi Gundfläce G, ien Inalt G. ie Fläce E eißt eckfläce. Gund- und eckfläce sind zueinande konguent und paallel. ie eitenfläcen sind Rectecke. ie Vebindungslinien entspecende Eckpunkte von Gund- und eckfläce eißen eitenkanten. ie eitenfläcen zusammen bilden die antelfläce (kuz antel). antel-, Gund- und eckfläce egeben zusammen die Obefläce. en Inalt de antelfläce bezeicnen wi mit, den de Obefläce mit O Netz des geaden Pismas ie Obefläce eines Pismas lässt sic in die Ebene ausbeiten: an kann die Obefläce abwickeln. ie ausgebeitete Obefläce eißt Netz. E E Volumen des geaden Pismas Zelegungsgleiceit von Köpen Wi zelegen ein deiseitiges, geades Pisma mit dem eieck als Gundfläce duc zwei ebene cnitte senkect zu Gundfläce (vgl. kizze). abei weden die eiten [] und [] albiet. ie Teilköpe kann man zu einem Quade zusammensetzen. cägbild Gundiss Quade und Pisma besitzen zelegungsgleice Gundfläcen und gleice Höen. eide Köpe sind also zelegungsgleic. a sic duc die ewegungen de Rauminalt de Teilköpe nict veändet, gilt:

2 Kein nspuc auf Vollständigkeit Volumen des deiseitigen geaden Pismas as deiseitige geade Pisma ist volumengleic einem Quade, de mit diesem im Inalt de Gundfläce und in de Höe übeeinstimmt. Wegen de Zelegungsgleiceit gilt: V Pisma = V Quade = G Volumen eines n-seitigen geaden Pismas Jedes n-eck kann in n eiecke zelegt weden. Ein n- seitiges geades Pisma kann also in n deiseitige Pismen mit gleice Höe zelegt weden. Fü das Pismenvolumen gilt: V = n = ( n ) = G G 1 G 3 G 8.. as Pinzip von avaliei Volumen von Teppenköpen Wi betacten zwei Köpe K 1 und K mit konguente Gund- und eckfläce. an denkt sic die beiden Köpe duc Ebenen paallel zu den Gundfläcen in Teilköpe zelegt. Je zwei benacbate Ebenen sollen denselben bstand d aben. Jeden entstandenen Teilköpe esetzt man duc einen Quade mit de gleicen Gundfläce und de Höe d. K1 1 d K IE uf diese Weise wid jede de beiden Köpe duc einen Teppenköpe esetzt. Je zwei Teile des Teppenköpes, die auf de gleicen cnittebene steen, aben den gleicen Rauminalt, wenn ie Gundfläcen den gleicen Fläceninalt aben. Gilt dies fü alle Teile, so sind die beiden Teppenköpe zelegungsgleic, aben also den gleicen Rauminalt. d 8... Genzfall fü d gegen Null enkt man sic den bstand d de Ebenen imme kleine, so weden die Quade imme dünne. ie Teppenköpe untesceiden sic imme wenige von den uspünglicen Köpen. Im Genzfall (man sagt: d get gegen Null ) geen die Quade in paaweise inaltsgleice Rectecke übe Eweiteung Obige Übelegung gilt auc, wenn Gund- und eckfläce des einen Köpes zu Gund- und eckfläce des andeen Köpes zwa nict konguent, abe inaltsgleic sind. Entsceidend ist also nict die Fom de Köpe, sonden de gleice Inalt de Gundfläcen sowie de eckfläcen, die gleice Höe und de gleice Inalt de cnittfläcen in jede cnittebene. e Zusammenang zwiscen den Volumina de oben besciebenen Köpe wude von ONVENTUR VLIERI ( ) entdeckt. d 0 d get gegen Null Pinzip von avaliei Zwei Köpe sind volumengleic, wenn sie folgende edingungen efüllen: 1. ie Gundfläcen sind inaltsgleic und liegen in deselben Ebene IE 1.. ie eckfläcen sind inaltsgleic und liegen in eine Ebene IE IE Paallelebenen IE n zu IE 1 scneiden aus beiden Köpen inaltsgleice Fläcen aus.

3 Kein nspuc auf Vollständigkeit Volumen des sciefen Pismas Wi vegleicen ein sciefes Pisma mit einem geaden Pisma, welces so gewält wid, dass gilt: 1. ie beiden Pismen aben inaltsgleice Gundfläcen. IE. ie Pismen aben gleice Höen. ie Köpe kann man sic duc Paallelvesciebung de jeweiligen Gundfläce entstanden denken. Innealb eines IE n Köpes sind sämtlice cnittfläcen, die duc Pa- allelebenen zu IE 1 entsteen, zu Gundfläce konguent. Wegen de Inaltsgleiceit de Gundfläcen sind auc je zwei Figuen de cnittebene inaltsgleic. IE 1 G G ie edingungen des Pinzips von avaliei sind efüllt, also sind das sciefe und das geade Pisma volumengleic e geade Keiszylindes ezeicnungen uc eung (Rotation) eines Rectecks um eine eite entstet als Rotationsköpe ein geade Keiszylinde, auc kuz Zylinde genannt. ie Recteckseite, um die gedet wid, ist ymmetieacse (auc Rotationsacse). en bstand de eckfläce zu Gundfläce nennt man Höe. cneidet man den antel eines Zylindes senkect zu Gundfläce, so eält man eine antellinie. ie Länge jede antellinie ist gleic de Höe. cneidet man einen Zylinde mit eine Ebene senkect zu Gundfläce, so eält man als cnittfigu ein Recteck. Entält die Ebene die cse, so at das Recteck die eitenlängen und. an spict dann von einem ialscnitt. antellinie cse Obefläce des geaden Keiszylindes ie Obefläce des geaden Keiszylindes bestet aus de Gund- und de eckfläce sowie de antelfläce (Recteck). iese lässt sic in die Zeicenebene abwickeln. an eält so das Netz des Zylindes cse O = G + O = π + π O = π ( + ) a = π b = ialscnitt Netz des Zylindes Volumen des geaden Keiszylindes Einem geaden Keiszylinde mit dem Radius wid ein n- seitiges eguläes Pisma einbescieben bzw. umbescieben. Einbesciebenes eguläes Pisma (n = 6) Zylinde Umbesciebenes eguläes Pisma (n = 6) e Rauminalt V E des einbesciebenen Pismas ist kleine als de Rauminalt V des Zylindes. e Rauminalt V U des umbesciebenen Pismas ist göße als V. lso gilt: V E < V < V U E < V < u

4 Kein nspuc auf Vollständigkeit ndeeseits gilt fü die Gundfläcen: E < G < u us diese Ungleicung eält man die obee duc ultiplikation mit. lso gilt in diesem Fall: V = G V = G ei fotgesetzte Vedoppelung de Eckenzal n vegößet sic das Volumen des einbesciebenen Pismas und vekleinet sic das Volumen des umbesciebenen Pismas. as Volumen des Zylindes liegt stets dazwiscen. lso ist eine Intevallscactelung fü das Volumen des Zylindes festgelegt. ie obige ezieung gilt fü jeden einzelnen Fall, also auc fü den Genzfall. Wegen G = π gilt: V = π 8.4. ie Pyamide ezeicnungen Vebindet man die Eckpunkte eines n- Ecks mit einem Punkt außealb de Ebene des n- Ecks, so entstet eine n-seitige Pyamide. as n-eck eißt Gundfläce, eißt pitze de Pyamide. E F Fünfseitige sciefe Pyamide = F ciefe Pyamide mit quad- atisce Gundfläce F eiseitige geade Pyamide e bstand de pitze von de Gundfläce eißt Höe. ie eiten de Gundfläce eißen Gundkanten, die Vebindungsstecken de Eckpunkte de Gundfläce mit de pitze sind die eitenkanten. ie eitenfläcen sind eiecke, sie bilden zusammen den Pyamidenmantel. einen Inalt bezeicnet man mit. esitzt die Gundfläce einen ittelpunkt und liegt die pitze senkect daübe, so spict man von eine geaden Pyamide, andenfalls von eine sciefen Pyamide. Ist die Gundfläce eine geaden Pyamide ein eguläes n-eck, so spict man von eine eguläen Pyamide Obefläce de Pyamide Gundfläce und antelfläce zusammen egeben die Obefläce de Pyamide. Inalt de Pyamidenobefläce: O = G Netz de Pyamide cneidet man eine Pyamide entlang de eitenkanten auf und klappt die eitenfläcen in die E- bene de Gundfläce, so eält man das Netz de Pyamide Netz eine deiseitigen Pyamide 1

5 Kein nspuc auf Vollständigkeit Volumen de Pyamide Pyamiden mit inaltsgleicen Gundfläcen und gleicen Höen Wi betacten zwei 1 Pyamiden mit inaltsgleicen Gundfläcen und gleicen Höen. Nac dem Pinzip von G1 avaliei aben sie das gleice Volumen, wenn jede Paallelebene zu Gundfläce aus beiden Köpen inaltsgleice Fläcen ausscneidet. G1 G F G F E E IE IE ie pitzen 1 und können als Zenten äumlice zentisce teckungen aufgefasst weden, welce Δ auf Δ bzw. Δ EF auf Δ E F abbilden. Fü beide teckungen gilt: ' = k (teckungsfakto) ildfläce Ufläce = k aaus folgt fü die Inalte 1,, 1, de Fläcen G 1, G, G 1, G : ' 1 ' = k 1 1 k = = 1, da nac Voaussetzung 1 = gilt. amit ist auc die 3. edingung des Pinzips von avaliei efüllt. Es folgt: lle Pyamiden mit inaltsgleicen Gundfläcen und gleicen Höen sind volumengleic. P P I Q Q II III R R Volumen de deiseitigen Pyamide Wi zelegen ein deiseitiges Pisma mit dem Gundfläceninalt G P und de Höe in dei Pyamiden (vegleice Zeicnung). P P Vegleic de Pyamiden P I, P II und P III R Q P I und P III P II und P III Gundfläcen: ΔPQR = ΔP Q R ΔRQ R = ΔRQQ Q Höen: PP' = RR ' P ' = P ' III Folgeung: V I = V III V II = V III I amit gilt: V I = V II = V III ie dei Pyamiden sind also inaltsgleic. Folglic ist das Volumen de deiseitigen Pyamide gleic dem ditten Teil des P Volumens des Pismas. Volumen de deiseitigen Pyamide: V = 1 3 G II R R Volumen de n-seitigen Pyamide Eine n-seitige Pyamide lässt sic in n deiseitige Pyamiden mit gleicen Höen zelegen. V Py. = n Q Q V Py. = 3 1 ( n ) = 3 1 G Volumen de n-seitigen Pyamide: V = 1 3 G 1 3

6 Kein nspuc auf Vollständigkeit 8.5. e geade Keiskegels ezeicnungen uc eung (Rotation) eines ectwinkligen eiecks um eine Katete als cse entstet als Rotationsköpe ein geade Keiskegel, kuz Kegel. eißt pitze. eißt Höe. [] eißt antellinie. Ie Länge wid mit s bezeicnet: s = ' = '' = ''' s antelfläce und Obefläce ie antelfläce ist ein Keissekto mit dem aß μ des ittelpunktswinkels, dem Radius s (antellinie) und de ogenlänge b = π. Fü die ogenlänge b des Keissektos mit dem Radius s gilt: μ μ b = 360 sπ π = 360 sπ μ 360 = π s π μ = s 360 Fü den Inalt eines Keissektos mit dem Radius s und dem ogen b gilt: ekto = 1 b s ekto = 1 π s ekto = πs iese Keissekto ist fläcengleic mit dem antel des Kegels Inalt de antelfläce des Kegels: = π s ie Obefläce des Kegels setzt sic zusammen aus de Gundfläce und de antelfläce. O = G + O = π + π s O = π ( + s) s ialscnitt μ π G Netz des Kegels Volumen des Kegels Einem Kegel weden n-seitige eguläe Pyamiden ein- bzw. umbescieben. Einbesciebene Pyamide Kegel Umbesciebene Pyamide uc Genzbetactungen wie beim Zylinde eält man die Volumenfomel. Volumen des geaden Keiskegels: V = 1 3 π

7 Kein nspuc auf Vollständigkeit 8.6. ie Kugel efinition ei Rotation eines Keises um einen beliebigen ucmesse als cse entstet eine Kugel. uc die Kugel ist also ein Rotationsköpe Volumen de Kugel Wi leiten zunäcst die Volumenfomel fü eine Halbkugel e. azu vegleicen wi diese mit einem Köpe, dessen Rauminalt beeits beecnet weden kann, und wenden das Pinzip von VLIERI an. ls Vegleicsköpe wälen wi einen Zylinde, aus dem ein Kegel ausgebot ist. Halbkugel Vegleicsköpe ρ = a 45 a 1 = π inaltsgleice Gundfläcen = π = gleice Höen = ie beiden Köpe weden paallel zu den Gundfläcen in beliebigem bstand a gescnitten. ls cnittfläce entstet eine Keisfläce mit dem Radius ρ ein Keising mit den Radien und a 1 = ρ π mit ρ = a = π a π 1 = ( a ) π = π ( a ) lso gilt: 1 = ie edingungen des Pinzips von avaliei sind efüllt. ie beiden Köpe sind folglic volumengleic: V 1 = V Wi beecnen das Volumen V des Vegleicsköpes als iffeenz aus dem Volumen V Z des Zylindes und dem Volumen V K des Kegels: V = V Z V K V = π 1 3 π mit = V = π 1 3 π V = 3 π π V = 3 3 π amit ist auc das Volumen de Halbkugel bestimmt. as Volumen de Vollkugel eält man duc Vedoppelung des Volumens de Halbkugel. Volumen de Kugel: V Kugel = π

8 Kein nspuc auf Vollständigkeit Obefläce de Kugel Um den Inalt de Obefläce zu bestimmen, füen wi eine Genzwetbetactung duc. an denkt sic die Obefläce de Kugel in kleine Teilfläcen zelegt. Vebindet man deen Randlinien mit dem Kugelmittelpunkt, so entsteen Köpe, die näeungsweise duc Pyamiden esetzt weden können, deen pitzen im Kugelmittelpunkt liegen. ie Gundfläcen de Pyamiden sind eiecke ode Tapeze. ie Höen sind näeungsweise gleic dem Kugeladius. ie umme de Gundfläceninalte ist ein Näeungswet fü den Inalt de Kugelobefläce. ie umme V* de Rauminalte ist ein Näeungswet fü das Kugelvolumen. V Kugel V* mit V* = n V* = 1 3 ( n ) ei Vefeineung de Einteilung wid de Untescied zwiscen O und de umme ( n ) imme geinge. V* näet sic imme me dem Volumen de Kugel. Im Genzfall gilt: V Kugel = 1 3 O π = 1 3 O 4 π = O Inalt de Kugelobefläce: O = 4 π

9 Kein nspuc auf Vollständigkeit 8.7. Übungsblatt: Geometisce Köpe ufgabe n allen Ecken eines Wüfels mit de Kantenlänge a = 8 cm weden Pyamiden mit den eitenkanten de Länge cm abgescnitten (siee Zeicnung). 1.1 eecne das Volumen des Restköpes in bängigkeit von. [ Egebnis: V () = 4 3 (384 3 ) cm 3 ] 1. Tabellaisiee V() fü [0 ; 4] mit Δ = 0,5 und zeicne den Gapen. 1.3 Welces Volumen at de Restköpe bei maimalem bscnitt? 1.4 Entnimm de Gafik aus 8. den Wet von, fü den das Volumen des Restköpes actmal so goß ist wie de des bscnitts. 1.5 Fü welcen Wet von sind die egenzungsfläcen des Restköpes egelmäßige ctecke? ufgabe.0 Gegeben ist ein 1 cm oe Quade mit dem Quadat als Gundfläce und de Gundkantenlänge a = 4 cm. an eält neue Quade, indem man die zwei paallelen Kanten [] und [] jeweils nac beiden eiten um cm velänget, die Länge de andeen Gundkanten beibeält und die Höe um cm vekleinet..1 Zeicne ein cägbild des uspünglicen Quades und des zu = 1 geöenden neuen Quades. q = 1 ω = 30 cägbildacse:. eecne das Volumen de Quade in bängigkeit von. [Egebnis: V() = 16 ( ) cm 3 ].3 Fü welcen Wet von ist das Quadevolumen 11 cm 3?.4 Fü welcen Wet von ist das Quadevolumen göße als 19 cm 3 (gapisce und ecneisce Lösung)?.5 Fü welcen Wet von nimmt das Volumen einen Etemwet an? ufgabe ie iagonalen eines acenvieecks scneiden sic mit de ymmetieacse im Punkt. as acenvieeck ist die Gundfläce eine geaden Pyamide. = 1 cm = 8 cm = 4 cm = 7 cm 3.1 Zeicne ein cägbild de Pyamide. [] soll auf de cägbildacse liegen. q = 1 ω = us de Pyamide entsteen neue Pyamiden n n, indem man [] von aus um cm veküzt und zugleic die Höe [] übe inaus um cm velänget. Zeicne die Pyamide 1 1 fü = in das cägbild ein. 3.3 telle das Volumen V() de Pyamiden n n in bängigkeit von da. [Egebnis: V() = 4 3 ( 5 84) cm 3 ] 3.4 Unte den Pyamiden at die Pyamide 0 0 das gößte Volumen. eecne V ma. ufgabe 4 4 eecne Obefläceninalt und Volumen des Rotationsköpes in bängigkeit von. a) b) 4 3

10 Kein nspuc auf Vollständigkeit Lösungen 1.1 V = V W 8 V Pyamide V Pyamide = cm 3 = cm 3 V Rest() = ( ) cm 3 = 4 3 (384 3 ) cm ,5 1 V() ,8 510,7 1,5,5 V() 507,5 501,3 491, 3 3,5 4 V() ,8 46,7 y = 4 V = 46,7 cm V Rest = 8 V Pyamide = 3,7 V = 465,38 cm = =,34 cm O vgl. Zeicnung. V() =(a + ) a (1 cm ) V() = (4 cm + ) 4 cm (1 cm ) = 16 ( ) cm 3 I = [0; 6[.3 11 cm 3 = 16 ( ) cm = 0 = 5 [ = 1].4 16 ( ) cm 3 > 19 cm 3 ( 4) < 0 0 < < 4.5 V() = [ 16 ( ) + 56] cm 3 V ma = 56 cm 3 fü = E H 1 H F G G 1 y E 1 F Zu O Zu vgl. Zeicnung 3. vgl. Zeicnung 3.3 () = 1 () = 1 (1 ) 8 cm = 4 (1 ) cm V() = (1 ) (7 + ) cm 3 = 4 3 ( 5 84)) cm V() =[ 4 3 (,5) + 10,33] cm 3 V ma = 10,33 cm 3 fü =,5 Zu 15.1

11 Kein nspuc auf Vollständigkeit 4 a) KU = Zyl = Ke = Zyl = s Ke = Ke = O = 1 O KU + Zyl + Ke = 1 4 π + π + π = π (6 + ) V = 1 V KU + V Zyl V Ke = π + π 1 3 π = 7 3 π 3 b) KU = Zyl = Ke = 3 Zyl = 4 Ke = s Ke = 10 O = Zyl π KU π + 1 O KU + Zyl + Ke = (3) π π π + 3 π π = π ( ) V = V Zyl 1 V KU + V Ke = (3) π π (3) π = π 3