7. Geometrische Flächen

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1 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7. Geometisce Fläcen 7.. Fläceninlt eene geometisce Figuen 7... elegungsgleiceit s neensteende Recteck und ds llelogmm sind jeweils in vie Teildeiecke zelegt. iese sind pweise zueinnde konguent und esitzen somit gleicen Fläceninlt. Mn ezeicnet ds Recteck und ds llelogmm ls zelegungsgleice Figuen. e Fläceninlt de Gesmtfigu lässt sic jeweils duc ddition de Fläceninlte de Teilfiguen gewinnen. lso muss ds llelogmm den gleicen Fläceninlt en wie ds Recteck. elegungsgleiceit und Fläceninlt wei Figuen eißen lso zelegungsgleic, wenn sie sic in pweise konguente Teilfiguen zelegen lssen. Somit en zelegungsgleice Figuen gleicen Fläceninlt. mit lässt sic die eecnung des Fläceninlts von Figuen, fü die keine eecnungsfomel eknnt ist, uf solce Figuen zuückfüen, fü die eine solce Fomel eeits voliegt Fläceninlt des llelogmms Wi vegleicen ds llelogmm mit einem dzu zelegungsgleicen Recteck mit de gleicen Gundlinie und de gleicen Höe. Um ein solces Recteck zu finden, scneiden wi ei dem llelogmm uf de einen Seite ein ectwinkliges eieck und fügen es uf de ndeen Seite dzu. g ie Teilfiguen sind pweise konguent. lso ist ds llelogmm zu einem Recteck mit deselen Gundlinie und deselen Höe zelegungsgleic. lso gilt: F F F F F F s llelogmm ist zelegungsgleic dem Recteck llelogmm = Recteck llelogmm = g F F e Fläceninlt des eiecks Jedes eieck lässt sic duc Spiegelung m Mittelpunkt eine Seite zu einem llelogmm mit de gleicen Gundlinie und de gleicen Höe egänzen. esl füen wi die eecnung des Fläceninlts eines eiecks uf die eecnung des Fläceninlts eines llelogmms zuück. g M s ilddeieck esitzt denselen Fläceninlt wie ds Uild. lso ist de Fläceninlt des eiecks l so goß wie de des llelogmms. Fläceninlt des eiecks: eieck = g Oige Üelegung ist unängig von de speziellen Wl de Gundlinie. Sie gilt lso fü lle dei Gundlinien und deen zugeöigen Höen in gleice Weise: Δ = = = c c

2 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Fläceninlt des Tpezes Länge de Mittellinie ie Länge de Mittellinie lässt sic us den Längen de eiden Gundlinien eecnen. Es gelten folgende ezieungen: s I m = g ( + s) g II m = g + ( + s) I + II: m = g + g m us folgt fü die Länge de Mittellinie: g s m = (g + g ) Fläceninlt des Tpezes Wi füen die Tpezfläce nc dem inzip de elegungsgleiceit uf eine Rectecksfläce zuück. F F F F F F F F3 F3 F 3 F F 3 Jedes Tpez ist inltsgleic einem Recteck mit de gleicen Höe und de Mittellinie des Tpezes ls Gundlinie. Fläceninlt des Tpezes: Tpez = m = (g + g ) Fläceninlt von cen und Rute Fläceninlt des symmetiscen cens Ein symmetisce cen wid duc seine igonle [] in zwei konguente eiecke und mit gemeinsme Gundlinie [] zelegt. ie Höen [S] und [S] sind gleic lng. Gundlinie: = e Höen: S = S = lso gilt: cen = Δ + Δ = f e + f e = f e ( f + f ) S f f e Fläceninlt de Rute Eine Rute knn ls Spezilfll eines llelogmms und eines symmetiscen cens ngeseen weden. Mn knn desl, je nc Voge, eide Fomeln vewenden. Mit = e, = f, = g und d(; ) = gilt: Fläceninlt de Rute: Rute = g Rute = e f S f e

3 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Üungsltt: Fläceneecnung ufge eicne die Figuen ins Heft und zeige, dss die figen Fläcen den gleicen Inlt en. ufge eecne die eite eines 0 cm lngen Rectecks, welces den gleicen Fläceninlt t wie ein llelogmm mit de Gundlinie 5 cm und de Höe 5 cm. ufge 3 ie Fomel fü den Fläceninlt eines eiecks eält mn uc us neensteende eicnung. egünde! F M E M ufge 4 4 In einem Tpez mit den Gundlinien g und g und dem Fläceninlt ist de stnd de Gundlinien. eecne die felende Göße. ) g = 80 cm g = 0,5 m = 6 dm ) g = 5 cm = 7,5 dm = 0,75 m c) g = g =6,4 cm = 4,4 cm Lösung ufge ufge ufge 3 Figuen usscneiden und duc Umlegen die elegungsgleiceit zeigen Recteck = llelogmm 0 cm = 5 cm 5 cm = 7,5 cm F = = g = eieck ufge 4 ) 6 dm = (8 dm + 5 dm) = 6 ) 75 dm = (g +,5 dm) 7,5 dm g = c) 4,4 cm = ( g + g ) 6,4 cm g = dm 3 dm 75 dm 7,5 dm 4,4 cm 6,4 cm 3 = 4 dm, 5 dm = 8,5 dm =,5 cm g = 3 cm

4 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7.. Winkelsätze m Keis 7... usmmenng zwiscen Rndwinkel und Mittelpunktswinkel Wi legen uf dem Keis k einen ogen fest sowie einen unkt, und vegleicen den Rndwinkel )< üe mit dem zugeöigen Mittelpunktswinkel )< M. Nc dem ußenwinkelstz gilt: μ = ϕ und μ = ϕ us folgt: μ = μ + μ μ = ϕ + ϕ μ = ( ϕ + ϕ ) μ = ϕ ϕ = μ Fü ndee Lgen von lässt sic diese usmmenng in änlice Weise zeigen Konstuktion des Fsskeisogenpes eecne μ us μ = ϕ eecne α us α = 90 ϕ Konstuiee ds gleicscenklige Δ M us α und eicne den Keisogen üe [] mit Rdius = M Spiegle den Keisogen n. k M M k e Stz des Tles Wält mn ls Fsskeisogen einen Hlkeis, so gilt: μ = 80 (gesteckte Winkel) lso gilt: ϕ = 90 ϕ iese Spezilfll des Umfngswinkelstzes wid nc dem gieciscen Mtemtike Tles von Milet ls Stz des Tles ezeicnet. μ Folgeungen )< * ist ußenwinkel im eieck Δ *. lso muss wegen des ußenwinkelstzes gelten: γ* = 90 + α* γ* > 90 )< ist ußenwinkel im eieck Δ '. lso muss wegen des ußenwinkelstzes gelten: 90 = γ + α γ = 90 α γ < 90

5 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Üungsltt: Winkelsätze m Keis ufge.0 ei eine Filmvofüung ist de II. ltz usvekuft.. Fetige nc untensteende Skizze eine mßstsgeteue eicnung (m =^ cm). eicne fü die Reien 3, 4 und 5 uc die Sitzplätze ein, woei ein ltz 50 cm eit sein soll.. Wie viele Filmesuce uf dem II. ltz seen die Leinwnd unte einem lickwinkel, de gleic (kleine ls, göße ls) 90 ist? 4 m 0,5 m 0,5 m 5 m m 4. II. ltz ufge.0 Gegeen sind die Stecken [ n ] mit (3 6) und n (x 3 x) mit x QI.. eicne die Stecken [ ],..., [ 5 ] fü x { 3; 0; ; 4; 6}.. ie Stecken [ n ] sind die sen gleicscenklig - ectwinklige eiecke n n. Konstuiee fü die in 5. gezeicneten sen die unkte,..., 5 und zeicne die eiecke Δ,..., Δ Mit M n weden die Mittelpunkte de sen [ n ] ezeicnet. Ws lässt sic üe die Lge de unkte M n und n ussgen? Lösungen: u 9 = 7 m > 90 = 90 < 90. ( 3 6) (0 3) 3 ( ) 4 (4 ) 5 (6 3). eicnung mit Geometiepogmm.3 ie unkte M n liegen uf de Mittelsenkecten zu [ 5 ], die unkte n uf eine llelen zu x-cse im stnd 3 cm.

6 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7.3. Stzguppe des ytgos e Höenstz Jedes ectwinklige eieck wid duc die Höe in zwei ectwinklige Teildeiecke zelegt. diese in llen Winkeln üeeinstimmen, sind sie zueinnde änlic: Δ H Δ H Mn nennt [H] und [H] die zu zw. zu geöenden Hypotenusenscnitte. iese Stecken zw. ie Längen weden mit p zw. q ezeicnet. α q β α H p β In änlicen eiecken steen entspecende Seiten im gleicen Veältnis: H : H = H : H H H = H q p = = p q q H q p p q Höenstz Im ectwinkligen eieck ist ds Qudt üe eine Höe fläceninltsgleic dem Recteck us den eiden Hypotenusenscnitt e Ktetenstz In den Teildeiecken H und H teten Winkel mit den Mßen α, β und 90 uf. iese Winkelmße t e uc ds eieck. lso gilt: Δ H Δ Δ H Δ q H : H = : : H = : = H = H = c q = c p c c q Ktetenstz Im ectwinkligen eieck ist ds Qudt üe eine Ktete fläceninltsgleic dem Recteck us de Hypotenuse und dem n diese Ktete nliegenden Hypotenusenscnitt. Mit Hilfe de eiden Fläcensätze lssen sic in einem eieck, von dem uße dem ecten Winkel noc zwei Stücke eknnt sind, die ndeen eecnen e Stz des ytgos q p ie eiden Figuen, mit denen de Ktetenstz vensculict wude, können zu neensteende Gesmtfigu zusmmengesetzt weden. I = c p Ktetenstz II = c q Ktetenstz + = c p + c q I + II + = c (p + q) istiutivgesetz + = c c p + q = c + = c c c q c c p c Stz des ytgos Im ectwinkligen eieck ist die Summe de Fläceninlte de Ktetenqudte gleic dem Fläceninlt des Hypotenusenqudts. Mit Hilfe des Stzes des ytgos knn ei Voge zweie Seiten eines ectwinkligen eiecks die ditte eecnet weden.

7 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Üungsltt: Winkelsätze m Keis ufge eecne x in ängigkeit vom Rdius. x ) x ) x c) d) x ufge.0 Gegeen ist ein ei ectwinkliges eieck mit = c = 8 cm. Fene gelte = x cm.. Welce Wete sind fü x zulässig?. Stelle den Fläceninlt (x) des eiecks in ängigkeit von x d..3 Welcen Wet t fü x = 5 cm?.4 Wie goß ist x, wenn ds zugeöige eieck gleicscenkligectwinklig ist? ufge 3 3 Ein Seil ängt von de ecke eine Hlle fei nc unten. 60 cm Seil liegen uf dem oden. Um ds Seil von de ecke is zum oden spnnen zu können, muss mn 3 m zu Seite geen. Wie oc ist die Hlle? ufge ie Gundfläce eine 4,5 cm oen, geden ymide ist ein egelmäßiges Secseck EF mit de Seitenlänge = 3 cm. 4. eicne ein Scägild (q = ; ω = 450 ). 4. eecne die Länge eine Seitenknte. 4.3 eecne den Inlt de Oefläce. S E F M ufge em Qudt ist ein Qudt EFG einescieen. 5. eecne den Fläceninlt des Tpezes EF in ängigkeit von und. 5. s Tpez wid duc die eingetgenen Stecken in dei eiecke zelegt. eecne den Fläceninlt des Tpezes mit Hilfe diese eiecke. 5.3 Weise duc Gleicsetzen de in 0. und 0. eecneten Teme die Gültigkeit des Stzes von ytgos nc. G c F E

8 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Lösungen ufge ) x = x x ( + ) = x = ) ) + x = ( ( + ( x) = ( + x) 4 + x + x = x x = 3 c) ( ) + x = ( x) + x = x + x x = d) + ( + x) = ( x) + + x + x = 4 4x + x x = 3 ) ufge. x ]0 ; 8[. = 64 x = 64 x (x) = (x) = x 64 x cm.3 (5) = (x) = 5,6 cm.4 = x = z cm z = 64 z z = 64 z x = 64 z = 5,66 x = 5,66 cm ufge 3 3 Höe de Hlle: x m (x + 0,6) = x + 3 x = 7, ie Höe de Hlle etägt 7, m, die Länge des Seils 7,8 m. ufge 4 4. vgl. eicnung 4. s = + s = x cm x = 4,5 + 3 x = 5,4 s = 9,0 cm s = S wid im 4.3 s = z cm s = + ( z = 4,5 + ( z = 5,0 s = y cm 3 ) 3 3 ) s = 5,0 cm s = s y = 3 5,0 y = 7,8 s = 7,8 cm O = G + 6 S O = O = (6 4,5 4 O = 99,4 cm + 6 S ,8) cm s ufge 5 5. Tpez = ( + ) ( + ) Tpez = ( + ) 5. Tpez = + + c = + c 5.3 ( + ) = + c + + = + c + = c

9 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7.4. ie zentisce Steckung efinition de zentiscen Steckung fü k IR+ ist ein unkt de eiceneene. Jedem unkt de eiceneene IE wid nc folgende Voscift genu ein ildpunkt IE zugeodnet. Q Fü gilt: () liegt uf de Hlgeden [ Q () ' = k mit k IRI + (in de eicnung k = 3) Fü = gilt: = ie so festgelegte ildung eißt zentisce Steckung. R S Fü k > liegt eine Vegößeung, fü 0 < k < eine Vekleineung, fü k = die Identität vo. R S nmekung: Fü ds Steckungszentum und den Steckungsfkto k sind uc ndee ezeicnungen möglic Geometisce edeutung von k us ' = k folgt: k = ' : Länge de ildstecke k = Länge de Ustecke Specweise: k ist ds Veältnis von ildstecke zu Ustecke. ei vestet mn unte dem Veältnis zweie Stecken ds Veältnis ie Längenmßzlen, die in gleicen Eineiten zu messen sind. Vegößeung Oiginl Vekleineung Gundkonstuktionen zu zentiscen Steckung Konstuktion von ildpunkten Gegeen: Upunkt, entum und Fkto k = m n = 9 4 Gesuct: ildpunkt uf eine elieigen Hilfsgeden duc tägt mn von us zwei Stecken mit den Längen m zw. n LE n, Endpunkte Q zw. R. ie llele p zu R duc Q scneidet g = [ im unkt. g p = { } k = 9 4 p Q g m R n Konstuktion von Upunkten Gegeen: entum, ildpunkt und Fkto k = m n = 8 5 Gesuct: Upunkt uf eine elieigen Hilfsgeden duc tägt mn von us zwei Stecken mit den Längen m zw. n LE n, Endpunkte Q und R. ie llele p zu Q duc R scneidet [ im unkt : p = { } n m Q p Q' 8 k = 5 g

10 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Konstuktion des Steckungszentums Gegeen: Upunkt, ildpunkt und Fkto k = m n = 5 3 Gesuct: Steckungszentum uf zwei llelen duc und tägt mn Stecken de Längen m LE und n LE n. ist de Scnittpunkt de Veindungslinien de Endpunkte: QQ = { } k = ie zentisce Steckung mit elieigem Steckungsfkto ie zentisce Steckung mit k < 0 Mn eält die ildpunkte eine zentiscen Steckung mit negtivem Steckungsfkto k, indem mn die Upunkte est duc die unktspiegelung n ildet (k = ) und deen ildpunkte mit dem positiven Fkto k steckt Gundkonstuktion zu zentiscen Steckung mit k < 0 Gegeen: Steckungszentum, Upunkt Steckungsfkto k = m = n 3 Gesuct: ildpunkt ei de zentiscen Steckung I ; k Lösung:. Mn veindet mit duc eine Gede g.. uf eine elieigen Hilfsgeden duc tägt mn von us m zw. n Eineiten nc vesciedenen Seiten g n (Endpunkte Q zw. Q'). 3. ie llele p zu Q duc Q' scneidet im ildpunkt ildungsvoscift de zentiscen Steckung fü k IR \ {0} Q m Q n + Q Q Q Q + * l ; k * l k = 3 p Q' entisce Steckung: estimmungsstücke: ildungsvoscift: ; k I Steckungszentum, Steckungsfkto k : e ildpunkt liegt uf de Geden. Seine Entfenung von ist ds k -fce de Entfenung von zu : ' = k und liegen fü k < 0 uf entgegen gesetzten fü k > 0 uf deselen Hlgeden von us. = : s entum wid uf sic selst geildet.

11 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7.5. ie Viesteckensätze Wi etcten einen Winkel )< (s ; s ), dessen Scenkel von einem llelenp (g; ) gescnitten weden. uf den Scenkeln des Winkels weden Stecken gescnitten, fü die estimmte ezieungen gelten. Mn fsst sie unte g dem Nmen Viesteckenstz zusmmen e este Viesteckenstz Mn knn die Figu uc so deuten, dss die Gede g vom Sceitel us zentisc gesteckt wid uf die zu g pllele ildgede. Folglic gilt zum eispiel: = k und = k, wous folgt: : = : uf diese Weise lssen sic eine Reie weitee ezieungen eleiten, uc fü negtive Steckungsfktoen. s s : = : : = : : = : : = : llgemein Weden zwei duc velufende Geden von zwei llelen gescnitten, so velten sic zwei elieige scnitte uf de einen Geden wie die entspecenden scnitte uf de ndeen e zweite Viesteckenstz uc die llelstecken weden im Veältnis k gesteckt. ies gilt eenso ei eine zentiscen Steckung mit negtivem Steckungsfkto. = k und = k dus folgt: : = : llgemein Weden zwei duc velufende Geden von zwei llelen gescnitten, so velten sic die llelstecken zueinnde wie die Entfenungen ie Endpunkte von uf deselen Geden.

12 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit 7.6. Änlickeit von Figuen Veknüpfung von zentiscen Steckungen mit Konguenzildungen Wi ilden eieck zuest duc eine zentisce * ϕ Steckung und dnn ds ilddeieck *** weite duc eine eung: Δ ; k ; ϕ I Δ *** I Δ * Es gelten folgende ussgen: * ; k zentisce Steckung I * () U- und ildwinkel en gleices Mß. () ildstecken en die k -fce Länge de Ustecken. ; ϕ eung * I () Oiginl- und ildwinkel en gleices Mß. () Oiginl- und ildstecken en gleice Länge Änlickeit ie Veknüpfung eine zentiscen Steckung mit eine Konguenzildung ezeicnet mn ls Änlickeitsildung. wei Figuen F und F, die duc eine Änlickeitsildung ufeinnde geildet weden, eißen zueinnde änlic. Mn sceit: F F. Es gilt: Änlice Figuen stimmen üeein. in den Mßen entspecende Winkel.. in den Veältnissen entspecende Seiten Änlice eiecke Fü zwei änlice eiecke und egeen sic folgende ezieungen: : = : α = α : c = : c β = β β : c = : c γ = γ Im Folgenden sucen wi Kennzeicen γ fü die Änlickeit von ei- ecken, die ineicend sind, um die c Änlickeit von eiecken zu gntieen. Wi ezeicnen sie ls β α Änlickeitssätze. u jedem α Konguenzstz git es einen entspecenden γ Änlickeitsstz Änlickeitssätze fü eiecke Nc dem Konguenzstz WSW sind zwei eiecke konguent, wenn β sie in de Länge eine Seite und den Mßen de nliegenden Winkel üeeinstimmen. ei de zentiscen Steckung leien die Winkelmße elten. uc zwei Winkel ist e die Fom eines eiecks e- γ c eits festgelegt Änlickeitsstz eiecke sind änlic, wenn sie in den Mßen zweie Winkel üeeinstimmen. β γ α = α β = β Δ ~ Δ c Esetzt mn in den Konguenzsätzen SSS, SWS und SSW g Längengleiceit von Seiten duc Veältnisgleiceit, so eält mn die α α weiteen Änlickeitssätze. =

13 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Änlickeitsstz wei eiecke sind änlic, wenn sie in den Veältnissen zweie Seiten und im Mß des von inen eingesclossenen Winkels üeeinstimmen. : c = : c β = β Δ ~ Δ Änlickeitsstz wei eiecke sind änlic, wenn sie in den Veältnissen de dei Seiten üeeinstimmen. : = : : c = : c Δ ~ Δ Änlickeitsstz wei eiecke sind änlic, wenn sie in den Veältnissen zweie Seiten und im Mß des Gegenwinkels de gößeen Seite üeeinstimmen. : c = : c α = α > c Δ ~ Δ Fü ndee Seiten und Winkelezeicnungen gilt Entspecendes.

14 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Üungsltt: ie zentisce Steckung ufge.0 eieck wid duc zentisce Steckung uf eieck ''' geildet. ( 3,5 0,5) ( 0,5 4) ( 6,5,5) ' (4 ) ' ( ).. eicne eieck sowie die Seite ['']. Konstuiee ds Steckungszentum und den unkt '. eicne ds eieck '''.. estimme den Steckungsfkto k und die Koodinten des Steckungszentums. [ Teilegenis: k = 3 ].4 eecne den Fläceninlt de eiecke und '''. ufge.0 ie Stecke [] mit ( 3 4) und ( 7) wid duc zentisce Steckung mit dem entum ( 6 9) und dem Steckungsfkto k =,5 uf die Stecke [''] geildet.. eicne die Stecke [] in ein Koodintensystem ein und füe die ildung duc.. us de eicnung egit sic: ' (,5 3,5), ' (4 4).3 [] knn uc duc zentisce Steckung mit k =,5 uf [''] geildet weden, mit ; k ; k I ' und I '. Konstuiee ds zugeöige Steckungszentum im Koodintensystem von eecne die Koodinten des Steckungszentums. ufge eieck mit (0 ), ( 0) und (4 ) wid duc zentisce Steckung uf ds eieck ''' mit ' ( 0) und ' ( ) geildet. 3. Konstuiee ds entum und Δ '''. 3. Emittle den Steckungsfkto k. ufge Von einem Tpez kennt mn die Gundlinien = 6,6 cm, c = 3 cm, die Höe = 3,5 cm sowie ds Winkelmß ß = Konstuiee ds Tpez. 4. eecne seinen Fläceninlt. 4.3 Velängee die eiden Scenkel is zum Scnittpunkt. s Tpez wid vom entum us so gesteckt, dss die Seite [] uf die Mittelpllele von geildet wid. Konstuiee ds ild ''''. 4.4 eecne den Steckungsfkto k und dmit möglicst einfc den Fläceninlt des Tpezes ''''.

15 WS 008/ Elementmtemtik (LH) Kein nspuc uf Vollständigkeit Lösungen. Siee eicnung. k = 3 ( ).3 Δ =,5 FE Δ = 5 FE. Siee eicnung. (,5 3,5) (4 4).3 Siee eicnung.4 ( 4) 3. Siee eicnung 3. = ' ' = lso k = 3.3 ( 4 ) (0 0) 4. Mn knn folgendemßen vogeen:. [] mit = 6,6 cm ntgen.. Winkel mit β = 48 ntgen in n [ ntgen, feie Scenkel s. 3. llele p zu im stnd = 3,5 cm zeicnen. 4. Scnittpunkt von p und s ist. 5. Keis k um mit Rdius = 3 cm zeicnen. 6. e Keis k scneidet p in. Es git ei 3. und 6. jeweils zwei Möglickeiten, die u e zu flsc oientieten eiecken füen. 4. = (6,6 cm + 3 cm) 3,5 cm = 6,8 cm 4.3 vgl. eicgnung 4.4 Steckungsfkto k = ' c =,6' = k ' =,6 6,8 cm = 43 cm u 3 p s u 4