Die Definitionen des Rauminhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

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1 Rauminalt 1 Rauminalt 2 Volumenfunktion Kapitel 2: Räumlice Köpe und Rauminalt De Rauminalt eines Köpes soll etwas übe dessen Göße aussagen, de Rauminaltsbegiff ist intuitiv igendwie kla, ab de Gundscule duc Bauen von Köpen mit Wüfeln vobeeitet. Abgenzung gegenübe einem andeen Begiff von Göße, de Obefläce eines Köpes. Die Definitionen des Rauminaltsbegiffs weden imme me vefeinet, duc den Messpozess festgelegt. Viele Aussagen übe den Fläceninalt und den Umfang ebene Figuen lassen sic analog dazu fü das Volumen und die Obefläce äumlice Köpe entwickeln. Definition eine Rauminaltsfunktion V V odnet möglicst vielen Köpen K eine (Maß-)Zal V(K) zu, so dass die folgenden Eigenscaften gelten: 1. V(K) 0 fü alle Köpe K, 2. V(K) = V(K ) K konguent zu K, 3. V(K 1 K 2 ) = V(K 1 )+V(K 2 ) K 1 und K 2 aben keine gemeinsamen inneen Punkte, 4. V(W e ) = 1 W e beliebig gewälte Eineitswüfel Hie weden nu die in de Sculmatematik wictigen Köpe beandelt, die Metoden bei einigen Beispielen angewandt.

2 Banac-Taski A.Pilszezky Banac-Taski-Paadoxon Eine Konstuktion de polniscen Matematike Stefan Banac und Alfed Taski von 1924 zeigt eindücklic, dass man nict allen von Matematiken ausgedacten Köpen (Punktmengen im Raum) ein Volumenmaß zuodnen kann. Danac kann man eine Kugel so in endlic viele Stücke zelegen, dass sic daaus zwei Kugeln zusammensetzen lassen, die konguent zu Ausgangskugel sind!!! Diesen Stücken kann natülic kein Volumen zugeodnet weden. A.Pilszezkys-Paadoxon Das Spektum de Wissenscaft bescieb in de Mäz Ausgabe vo vielen Jaen im Zusammenang mit dem Banac-Taski-Paadoxon folgende einface (und seit langem bekannte) Tecnik des Polen A.Pilszezky: Pilszezky lie sic Gold, und stellte daaus 1 cm dicke quadatisce Goldplatten mit de Seitenlänge 8 cm e. E zesägte diese und fügte sie zu ecteckigen Goldplatten mit den Seitenlängen 5 cm und 13 cm zusammen, entspecend de Skizze unten. Dann gab e das gelieene Gold zuück und von den übig bleibenden 1 cm 3 -Goldwüfelcen konnte e sic einen luxuiösen Lebensstil elauben. 8 cm 5 cm 13 cm 8 cm Pobieen Sie es aus!

3 Fomenkunde 1 Aufgabenblatt 1.1 Definitionen einige Köpe Definieen Sie folgende Begiffe (oft zunäcst nict eindeutig): Wüfel Quade Pisma (Säule) Zylinde Pyamide Kegel Pyamidenstumpf Kegelstumpf Kugel Polyede Senkectes Pisma Senkecte Pyamide Konvexe Köpe Keiszylinde Keiskegel Senkecte Pyamidenstumpf Senkecte Kegelstumpf Antipisma Reguläe Köpe (Platonisce Köpe) Lösungsinweise Blatt 1 Aufgabe 1 Tapeze 0, , , , , Summe 0, π 3, De Fläceninalt de Tapezfläcen ist de Mittelwet aus den Fläceninalten de äußeen und inneen Balken. De Näeungswet fü π ist dae auc de Mittelwet de obeen und de unteen Scanke aus de Balkenmetode.

4 Aufgabenblatt 1.2 Aufgabenblatt 1.3 Lösungsinweise Blatt 1 Aufgabe A 12-Eck = 12 A günes Deieck = 12 1/2 /2 = 3 2 π 3 Lösungsinweise Blatt 1 Aufgabe 3 C = a S 2n p = A 1 M q=2-p p B 1 S n =2 A 1 M q=2-p 1 C p B T n S n T n = 2S n 4 S 2 n

5 Platonisce Köpe 1 Quellen, Liteatu Reguläe Köpe (Platonisce Köpe) Platonisce Köpe sind Polyede mit den Eigenscaften Sie sind konvex, alle Seitenfläcen sind zueinande konguente eguläe Vielecke, an jede Ecke stoßen gleic viele Seitenfläcen und Kanten zusammen (d.. die Ecken sind nict untesceidba, zu je zwei Ecken gibt es eine Deckabbildung des Köpes, die eine Ecke auf die zweite abbildet.) Begünden Sie: Es gibt öcstens 5 platonisce Köpe. Vesucen Sie, diese zu besceiben und ein Netz zu zeicnen. Quellen fü die Inalte zu Fomenlee von Köpen, Volumen- und Obefläcenbeecnung ttp:// ttp:// ttp:// /Skipte/Vol-Wo12.pdf Kaute, Elebnis Elementageometie, S.84-90, S Beispiele: matematisce-basteleien.de matematisce-basteleien.de/platonisc.tm Skipte/Vol-Wo12.pdf

6 Platonisce Köpe 2 Platonisce Köpe 3 Reguläe Köpe (Platonisce Köpe) Die Platoniscen Köpe Reguläe Köpe (Platonisce Köpe) Die Netze de Platoniscen Köpe

7 Platonisce Köpe 4 Eulesce Polyedefomel Duale Köpe Vebindet man die Mittelpunkte benacbate Seitenfläcen de platoniscen Köpe, dann entstet de dazu duale Köpe, de wiedeum platonisc ist. Geben Sie jeweils den duale Köpe an. Was ist de zum dualen Köpe duale Köpe? (Was?! Ac so!) Eulesce Polyedefomel Fü Köpe wälen wi folgende Bezeicnungen: e: Anzal de Ecken, k: Anzal de Kanten, f: Anzal de Fläcen. Eulesce Polyedefomel (Leonad Eule, ) Fü jeden konvexen Köpe ist e + f = k + 2 Übepüfen Sie die Aussage an den platoniscen Köpen. Übepüfen Sie die Aussage an weiteen Polyeden Ie Wal.

8 Satz von Den Cavaliei Raum Satz von Den In de Ebene konnten wi zeigen: Jedes Polygon ist zelegungsgleic zu einem Recteck (soga zu einem Quadat). Damit konnten die Fläceninaltsfomeln alleine duc Zelegen und geeignetes Zusammensetzen auf die Beecnung von Rectecksfläcen zuück gefüt weden. Ein Satz von Max Den (1902) zeigt, dass das analoge Vogeen im Raum nict möglic ist: Satz von Den Ein Tetaede und ein volumengleice Wüfel sind nict zelegungsgleic. Wi baucen also neue Pinzipien! Das Pinzip von Cavaliei ( ) Satz von Cavaliei im Raum Liegen zwei Köpe zwiscen zwei paallelen Ebenen E 1 und E 2, und sind in jede Höe die Scnittfläcen de beiden Köpe mit de zu E 1 paallelen Ebene E gleic goß, so aben die Köpe dasselbe Volumen. x Anscaulice Ekläung des Pinzips, kein Beweis!

9 Volumengleice Pyamiden mit Cavaliei Übesict übe die Beweise de Volumenfomeln 1 Wi benutzen den Satz von Cavaliei, um zu zeigen: Je zwei Pyamiden (ode Kegel) mit gleice Höe und gleic goße Gundfläce aben das gleice Volumen. Die Scnittfläcen Q 1 und Q 2 geen duc zentisce Steckung aus den fläceninaltsgleicen Gundfläcen G 1 und G 2 evo. x De Steckfakto ist jeweils. Damit ist x 2 x Q 1 = G 1 und x Q 2 = G 2 2 Q 1 und Q 2 aben also gleicen Fläceninalt. Diesen Zusammenang weden wi in de folgenden Fom späte imme wiede benötigen: Q = G x 2 2 Übesict übe die Beweise de Volumenfomeln Begündung de Fomeln one Pinzip von Cavaliei Köpe Quade Senkecte ectwinklige Deieckspismen Senkecte Pismen Paallelflac (Spat, Paallelepiped) Sciefe ectwinklige Deieckspismen Sciefe Pismen Zylinde und sciefe Zylinde Metode Volumenfomel folgt aus den Fodeungen an eine Volumenfunktion V Konguent egänzen zu einem Quade Zelegen in senkecte Deieckspismen Zelegungsgleic zu einem Quade Konguent egänzen von zu einem Paallelflac Zelegen in sciefe ectwinklige Deieckspismen Genzwetbetactungen: Köpe als Genzköpe geeignete Pismen

10 Übesict übe die Beweise de Volumenfomeln 2 Übesict übe die Beweise de Volumenfomeln 3 Begündung de Fomeln mit Pinzip von Cavaliei Köpe Metode Deieckspyamide mit de Spitze senkect übe eine Ecke de Gundfläce G Beliebige Deieckspyamide mit Gundfläce G und Höe Beliebige Pyamide Kegel Pyamiden- ode Kegelstümpfe Kugel Duc 2 Pyamiden, die zu Ausgangspyamide volumengleic sind, zu einem senkecten Pisma mit Gundfläce G egänzen. Nacweis de Volumengleiceit mit dem Satz des Cavaliei. Rückfüung auf den Fall eine Deieckspyamide mit de Spitze senkect übe eine Ecke de Gundfläce G mit Höe (nocmals Satz des Cavaliei) Zelegung de Gundfläce in Deiecke und damit de Pyamide in Deieckspyamiden gleice Höe. Genzwetbetactungen: Köpe als Genzköpe geeignete Pyamiden Diffeenz von Volumina von Pyamiden ode Kegeln (Stalensätze) Vegleic mit Zylinde mit ausgespaten Kegel (Stalensatz und Satz des Cavaliei). Matematisc koekte Begündung de Egebnisse de Umfüllvesuce aus de SI. Altenativen mit Pinzip von Cavaliei ode Genzwetbetactungen Köpe Beliebige Deieckspyamide mit Gundfläce G und Höe Beliebige Deieckspyamide Kegel Kugel Metode Duc 2 Pyamiden, die zu Ausgangspyamide volumengleic sind, zu einem sciefen Pisma mit Gundfläce G egänzen und Höe. Nacweis de Volumengleiceit mit dem Satz des Cavaliei. (Beweis diekte, abe wenige anscaulic) Pyamide duc Teppenköpe aus senkecten Pismen annäen. Analog zu Annäeung de Keisfläce duc Rectecke. Benötigt Summenfomel fü Quadatzalen. Kegel duc Teppenköpe aus senkecten Zylinden annäen. Kugel duc Teppenköpe aus senkecten Zylinden annäen. Benötigt Summenfomel fü Quadatzalen.

11 Quade 1 Quade 2 Quade Quade, deen Kantenlänge ationale Vielface a, b, c de Längeneineit sind. Wie bei de Beecnung von Fläceninalten de Rectecke ealten wi auc ie wiede aus den Eigenscaften de Volumenfunktion V V(Quade) = a b c V(W e ), W e Eineitswüfel c LE Geeignete ationale Bucteil des Eineitswüfels W e a LE Dies kann auc als Fomel b LE V = G aufgefasst weden. Im Bild soll a = 3, b = 1, c = 4/3 sein. 3 LE 4/3 LE Geeignete ationale Bucteil des Eineitswüfels W e 1 LE Welcen Anteil des Eineitswüfels stellt das kleine gelbe Wüfelcen da? Begünden Sie damit die Fomel V(Quade) = a b c V(W e ), W e Eineitswüfel

12 Quade 3 Rectwinkliges Deieckspisma Im Bild soll jetzt a = 3/4, b = 1/4, c = 1/3 sein. 3/4 LE 1/3 LE Geeignete ationale Bucteil des Eineitswüfels W e 1/4 LE Welcen Anteil des Eineitswüfels stellt jetzt das kleine gelbe Wüfelcen da? Begünden Sie auc damit die Fomel V(Quade) = a b c V(W e ), W e Eineitswüfel Rectwinkliges Deieckspisma Gegeben ist ein Deieckspisma, dessen Gundfläce G ein ectwinkliges Deieck ist (Rectwinkliges Deieckspisma). Wi egänzen dieses duc ein dazu konguentes zu einem Quade V(Quade) = 2G V(Pisma) = G

13 Beliebige senkecte Pismen Zylinde Beliebige senkecte Pismen Gegeben ist ein beliebiges senkectes Pisma mit de Gundfläce G. G wid in ectwinklige Deiecke zelegt, die das Pisma dann in senkecte ectwinklige Deieckspismen mit Gundseiten G 1, G 2, G n aufteilen. V(Pisma) = G 1 + G 2 + G 3 + G 4 = ( G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) = G Zylinde Ein Zylinde mit einem Keis als Gundfläce G und de Höe kann von innen und außen duc Pismen beliebig genau angenäet weden. V(Zylinde) = Genzwet von V(n-Eckspisma) = Genzwet von G n = G

14 Pyamiden 1 Pyamiden 2 Pyamiden Hinfüung zu Beecnungsfomel: Vebinde alle Eckpunkte eines Wüfels mit dem Wüfelmittelpunkt. Wie viele Pyamiden entsteen? Pyamiden Hinfüung zu Beecnungsfomel: V(Pyamide) = 1/6 V(Wüfel) = 1/6 a 3 = 1/6 a 2 a = 1/3 a 2 a/2 = 1/3 G

15 Pyamiden 3 Pyamiden 4 Pyamiden Andee Zelegung Vebinde einen Eckpunkte eines Wüfels mit den benacbaten Eckpunkten, so dass 3 Pyamiden entsteen. Pyamiden V(Pyamide) = 1/3 V(Wüfel) = 1/3 a 3 = 1/3 a 2 a = 1/3 G

16 Pyamiden 5 Pyamiden 6 Spezielle Deieckspyamiden Gegeben ist eine Pyamide, bei de die Spitze senkect übe eine Ecke de Gundfläce G liegt. Wi egänzen diese Pyamide duc 2 weitee Pyamiden, so dass ein senkectes Deieckspisma entstet. Spezielle Deieckspyamiden Wi einnen uns: Zwei Pyamiden mit inaltsgleicen Gundfläcen und gleicen Höen aben das gleice Volumen. S S S Alle dei Pyamiden aben das gleice Volumen V(Pyamide) = 1/3 V(Deieckspisma) = 1/3 G

17 Pyamiden 7 Pyamiden 8 Pyamiden allgemein Zu jede Deieckspyamide kann man eine Deieckspyamide finden, bei de die Spitze senkect übe eine Ecke de Gundfläce G liegt und die gleice Höe at. Damit stimmt die Fomel auc fü beliebige Deieckspyamiden. Analog zu allgemeinen Volumenfomel fü Pismen siet, man, dass jede Pyamide in Deieckspyamiden zelegt weden kann. Daaus gewinnt man die Fomel auc fü den allgemeinen Fall V(Pyamide) = 1/3 G 1 + 1/3 G /3 G n = 1/3 ( G 1 + G G n ) = 1/3 G Deieckspyamiden: Altenative Statt mit speziellen Deieckspyamiden (bei de die Spitze senkect übe eine Ecke de Gundfläce G liegt) zu abeiten kann man die Egänzung zu sciefen Pismen auc unmittelba ducfüen, analog zu zuvo ducgefüten Konstuktion. Mit einem dynamiscen Geometiepogamm (DynaGeo) kann man dies gut veanscaulicen. Vesciebung_Gundfläce A' G' B' C' A G B C Die Pyamiden mit den konguenten Gundfläcen G und G' und den Spitzen A' (scwaz) bzw. C (blau) aben offensictlic gleice Höe und dae gleices Volumen. Das Vieeck BCC'B' ist ein Recteck (Vesciebung von BC senkect zu BC auf B'C'). Dae sind die Deiecke BCB' und CC'B' fläceninaltsgleic. Die Pyamiden mit diesen Deiecken als Gundfläcen und de Spitze A' (blau und gün) aben wiedeum gleice Höe und dae auc gleices Volumen.

18 Kegel Kugel 1 Kegel Ein Kegel mit einem Keis als Gundfläce G und de Höe kann von innen und außen duc Pyamiden beliebig genau angenäet weden. V(Kegel) = Genzwet von V(n-Pyamide) = Genzwet von 1/3 G n = 1/3 G Kugel Expeimentell (Scule): Um das Volumen eine Kugel zu bestimmen, wid eine Kugel in einen geeigneten mit Wasse gefüllten Zylinde eingetauct (=2) =2 =2 2 1 = Wid die Kugel wiede entfent, bleibt des Wasses noc übig. 3 Das lässt vemuten: V Kugel = 2/3 V Zylinde = 2/3 2 π 2 = 4/3 π 3

19 Kugel 2 Kugel 3 Um diese Vemutung exakt zu bestätigen, vegleicen wi das Volumen eine Halbkugel mit dem Volumen des Restköpes aus einem Zylinde mit Radius und Höe, aus dem ein Kegel mit de Höe und dem Radius entfent wude. Wi zeigen mit Hilfe des Satzes von Cavaliei, dass diese Volumina gleic sind. Da de Kegel 1/3 des Zylindevolumens einnimmt, wid damit die Vemutung bestätigt. E E x x x x E x x x x Es genügt zu zeigen, dass die Scnittfläcen de beiden Köpe mit jede zu Gundfläce paallelen Ebene E in de Höe x den gleicen Fläceninalt aben. Keising in de Höe x: De innee Keis at offensictlic den Radius x. A Ring = π 2 - π x 2 = π ( 2 - x 2 ) Keisfläce, in de Höe x aus de Kugel ausgescnitten: Radius x2 = 2 x 2 A Keis = π ( 2 - x 2 ) Damit ist gezeigt: V Kugel = 2/3 V Zylinde = 2/3 2 π 2 = 4/3 π 3

20 Obefläce und Mantel Kegelmantel 1 Obefläce und Mantel Bei Pismen und Pyamiden wid die Beecnung auf die Beecnung geeignete Polygone zuückgefüt. Metoden um felende Längen zu ealten: Zentisce Steckung, Stalensätze, Änlickeit Satzguppe des Pytagoas Tigonometie Zu speziellen Fomeln fü egelmäßige Pismen und Pyamiden Übungen Beweisen Sie: Fü egelmäßige Pyamiden, Pyamidenstümpfe, Kegel und Kegelstümpfe gilt fü die Mantelfläce M M = mittlee Umfang Seitenöe Päzisieen Sie die in ie vokommenden Begiffe. Kegelmantel und Obefläce α s Ein Kegel sei mit de Höe = 5 cm und = 3 cm sei gegeben. Fetigen Sie eine Skizze des Mantels. Beecnen Sie die Länge de Seitenlinie s, den Öffnungswinkel α, die Göße de Mantelfläce die Obefläce. Zeicnen Sie die Mantelfläce genau. Wie ängen die einzelnen Gößen zusammen? Sceiben Sie die Bezieungen zwiscen den Gößen auf. Beweisen Sie die in Ie Fomelsammlung angegebenen Fomeln.

21 Kegelmantel 2 Kugelobefläce α s Ein Kegel mit de Seitenlinie s = 5 cm und einem Öffnungswinkel von α = 40 sei gegeben. Zeicnen Sie den Mantel so, dass Sie daaus ein Modell des Kegels bauen können. Kugelobefläce Um die Obefläce eine Kugel mit Radius zu beecnen stellt man sic die Kugel in kleine Kugelsektoen zelegt vo, die annäend Pyamiden sind. Es ist V Kugel = Summe alle Pyamidenvolumen = Summe (1/3 G i ) = 1/3 (Summe G i ) = 1/3 O Kugel V Kugel = 1/3 O Kugel O Kugel = 3/ V Kugel = 3/ 4/3 π 3 O Kugel = 4 π 2