Quantentheorie auf einer Folie

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1 Quantenteoie auf eine Folie Wesentlice Elemente de Quantenmecanik sind: Die Enegie ist gequantelt (Potoeffekt). Plancksces Wikungsquantum. Lict und Mateie: Welle / Teilcendualismus (Vesuc am Doppelspalt, E mc ) Unscäfeelation: p E t Teilcen weden duc Wellenfunktionen bescieben. Tunneleffekt (Ducqueen eine Enegiebaiee möglic, obwol Enegie eigentlic nict auseict).. Volesung SS 006 Computational Cemisty 1 1

2 Review Scödinge-Gleicung Die Elektonenveteilung um die Atomkene eines Moleküls wid duc eine Wellenfunktion bescieben. Wenn man den Zustand eines quantenmecaniscen Systems zu dem gegenwätigen Zeitpunkt kennt, gibt die zeitabängige Scödinge-Gleicung dessen zukünftige Entwicklung an: i t (, t) (, t) m + V (, t) (, t) Dies ist die Fom fü ein Teilcen in einem 1-dimensionalen System.. Volesung SS 006 Computational Cemisty

3 () in (1) eingetzt gibt: Review Scödinge-Gleicung Wi bescänken uns jetzt auf den Fall, dass die potentielle Enegie V nict von de Zeit, sonden nu vom Ot abängt (d.. es wiken keine zeitabängigen etenen Käfte). (, t) (, t) + V ( ) (, t) i t m (1) Setze an: i i df dt 1 f ( t) ( t) ( t) f ( t) ( ) (, t) df ( t), df dt t ( ) f ( t) ( t) m 1 m ( ) dt (, t) ( ), ( ) d d d d ( ) + V + V ( ) f ( t) ( ) ( ) f ( t) d d ( ) teile duc Die ecte Seite ängt nict von t ab die linke Seite muss unabängig von t sein. Die linke Seite ängt auc nict von ab. Dae muss f eine Konstante sein. f (). Volesung SS 006 Computational Cemisty 3 3

4 Wenn man die linke Seite gleic E setzt, eält man: Review Scödinge-Gleicung df f ln f ( t) ( t) f ( t) ie dt ie + C ie ( ) e C t e integiee übe t Wenn man die ecte Seite gleic E setzt, eält man: d m d ( ) + V ( ) ( ) E ( ) kuz: H E mit H T + V Dies ist die zeitunabängige Scödingegleicung fü die Bewegung eines Teilcens de Masse m, das sic in eine Dimension bewegt. Falls also die potentielle Enegie nu von abängt, gibt es Wellenfunktionen de Fom: iet ( t) e ( ), die zu Zuständen konstante Enegie E geöen.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 4 4

5 Review Scödinge-Gleicung Epeimentell beobactba ist die Wasceinlickeitsdicte (,t), das Quadat de Wellenfunktion. Wellenfunktionen weden in de Quantencemie übliceweise duc Lineakombinationen aus geeigneten atomae Basisfunktionen ( Atomobitale) dagestellt. Me zu zeitunabängigen Scödingegleicung späte in de Volesung.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 5 5

6 Elektostatik Elektisce Wecselwikungen zwiscen Ladungen bestimmen gosse Teile de Pysik, Cemie und Biologie. z.b. Sie sind die Gundlage fü stake wie scwace cemisce Bindungen. Salze lösen sic in Wasse um Lösungen geladene Ionen zu bilden, die dei Vietel de Edobefläce bedecken. Salzwasse ist die Flüssigkeit in lebenden Zellen. ph und Salze egulieen die Wecselwikungen von Poteinen, DNA, Zellen und Kolloiden und die Konfomation von Biopolymeen. Nevensysteme könnten one Ionenstöme nict funktionieen.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 6 6

7 Coulomb-Gesetz Das Coulomb-Gesetz wude duc Heny Cavendis ( ), J Piestley ( ) und CA Coulomb ( ) in sogfältigen Epeimenten an makoskopiscen Objekten wie Magneten, Glasfäden, geladenen Kugeln und Kleidung aus Seide entdeckt. Cales Coulomb Es gilt auf eine se weiten Gößenskala einscließlic de Welt de Atome, Moleküle und biologiscen Zellen. Heny Cavendis Die Wecselwikungsenegie u() zwiscen Ladungen q 1 und q im Abstand voneinande ist im Vakuum: mit de Popotionalitätskonstante C ( ). Volesung SS 006 Computational Cemisty q1q C u

8 Popotionalitätskonstante Die Popotionalitätskonstante ängt von den Eineiten ab, mit denen die Ladungen und deen Abstand gemessen weden. Im SI-System ist die Eineit de Ladung das Coulomb C, die Eineit de Enegie das Joule J und die Eineit de Länge ein Mete m. Damit gilt C (4 0 ) ist die Dielektizitätskonstante des Vakuums. In SI-Eineiten faad m -1. Die SI-Eineit Faad F ist die Eineit de Kapazität, 1 F 1 Coulomb / 1 Volt. Die SI-Eineit Volt V ist die Eineit de Spannung, 1 V 1 Joule / 1 Coulomb also gilt auc C (Jm) -1.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 8 8

9 Popotionalitätskonstante Die Ladung eines Potons ist e C, die eines Elektons e C, N e C mol -1 Beispiel: die Coulomb-Anzieung zwiscen einem Na + und Cl - Ionenpaa in.8 Å Abstand: e N u( ) kj mol. Volesung SS 006 Computational Cemisty 9 9

10 Ladungswecselwikungen sind langeicweitig Coulomb-Wecselwikungen fallen mit -1 ab, also wesentlic langsame als die van-de-waals-wecselwikung, die mit -6 abfällt. Beispiel: die Beecnung de Gitteenegie eines NaCl-Kistalls efodet die Beecnung eine unendlicen Summe, die nu langsam konvegiet.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 10 10

11 Ladungen wecselwiken scwäce in Lösungen In Lösung wecselwiken Ladungen scwäce miteinande als im Vakuum. Flüssigkeiten können in untesciedlicem Ausmaß polaisiet weden, siee die bevozugten Anodnungen de Dipolteilcen de Lösung um die beiden entgegengesetzt geladenen Teilcen in de Abb. sie bewiken eine Abscimung deen Wecselwikung Dies dückt man duc die elative Dielektizitätskonstante des Mediums aus. Beispiele: Wasse bei 0º C 88 Wasse bei 5 º C 78,54 Glykol 37 Metanol 33 Heptan bei 0º C 1,958 Heptan bei 30 º C 1,916. Volesung SS 006 Computational Cemisty 11 11

12 Elektostatisce Käfte addieen sic wie Vektoen Das Coulomb-Gesetz kann entwede fü die Enegie u() ode die Kaft ausgedückt weden. f u ( ) q1q C Enegien sind skalae Gößen, die man einfac zusammenzälen kann, wogegen Käfte Vektoen sind, die man komponentenweise addieen muß. Ein wictige Gundsatz ist das Supepositionspinzip: sowol elektostatisce Enegien als auc Käfte sind additiv.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 1 1

13 Elektostatisce Käfte addieen sic wie Vektoen Die gesamte elektostatisce Kaft auf ein Teilcen ist die Vektosumme de elektostatiscen Käfte de andeen Teilcen. z.b. gilt fü die Kaft von Teilcen A auf B f AB Cq q A B AB wobei AB / AB ein Vekto von Teilcen A nac B de Eineitslänge ist. Die Kaft f AB zeigt in dieselbe Rictung. AB AB Fü die Kaft f BC gilt das Entspecende. Die esultieende Kaft f total egibt als vektoielle Summe de beiden Einzelkäfte auf B. Fü die Komponenten des Vebindungsvektos gilt cos, y sin und das Analoge fü die Kaftkomponenten.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 13 13

14 Das Konzept des elektostatiscen Feldes E() elaubt es uns, die Käfte auf ein geladenes Teilcen zu besceiben, das igendwo im Raum platziet wid. Das elektostatisce Feld Das elektostatisce Feld ist ein Vektofeld. Die Abb. zeigt die Käfte von A und B auf ein Teilcen C in untesciedlicen Positionen. Man definiet E() duc seine Auswikung auf eine Testladung q test. Die Eineit von E() ist V m -1. E ( ) f q ( ) test q fied 4 0. Volesung SS 006 Computational Cemisty 14 14

15 Das elektostatisce Potential Wi geen nun vom Vektofeld elektostatisces Feld zu einem skalaen Feld, dem elektostatiscen Potential übe. Das Ziel ist die Ableitung de Poisson-Gleicung. Betacte die Abeit dw um eine Ladung q in einem statiscen elektiscen Feld E um eine kleine Stecke dl zu vescieben: dw f dl qe dl Das Minuszeicen bedeutet, dass die Abeit gegen das Feld veictet wid. Die gesamte Abeit w AB um eine Ladung q von Punkt A nac Punkt B zu vescieben, egibt sic übe das Wegintegal w AB B q E dl A. Volesung SS 006 Computational Cemisty 15 15

16 Das elektostatisce Potential De Untescied des elektostatiscen Potentials A und B ist definiet als die Abeit w AB um eine Eineitstestladung q test vom Punkt A nac Punkt B zu bewegen, geteilt duc die Eineitstestladung; B A w q AB test B E dl A Wenn man das Feld E kennt, das von eine Ladungsanodnung ezeugt wid, kann man mit diese Bezieung den Untescied des elektostatiscen Potentials beecnen. Im folgenden möcten wi aus einem gegebenen Potential das elektisce Feld E beecnen.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 16 16

17 . Volesung SS 006 Computational Cemisty De Zusammenang zwiscen E und Dieses Integal fomen wi nun eine Diffeentialgleicung um. Die Punkte A und B seien se nae bei einande, bei (,y,z) und (+d,y,z). B A B A B A z z z y y y B A A B dz E dy E d E dl E B A A B E d E Aussedem egibt eine Taylo-Entwicklung von : De Vegleic beide Gleicungen egibt: und analoge Bezieungen fü E y und E z. In Kuzsceibweise gilt Das elektisce Potential ist de negative Gadient des elektostatiscen Potentials E z y z y E

18 Abeit im elektostatiscen Potential Gegeben sei das statisce Feld eine Punktladung q 1. Es at adiale Symmetie, ändet sic also nu mit dem Abstand. Um eine Ladung von A übe D nac C zu vescieben bedaf de gleicen Abeit wie um diese Ladung von B nac C zu vescieben. Gund: Abeit wid nu entlang de adialen Abscnitte geleistet.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 18 18

19 Elektostatisce Wecselwikungen sind konsevativ Solange keine Reibungsveluste aufteten ist die elektostatisce Abeit evesibel und wegunabängig. Um eine Ladung entlang eines gesclossenen Keises zu bewegen, ist keine Abeit notwendig. In de Abbildung sind die Äquipotentialfläcen in dem Potein Supeoid-Dismutase gezeigt. Auc ie gilt: Die benötigte Abeit um eine Testladung auf einem gesclossenen Keis von A übe B und C nac A zuück zu bewegen ist gleic Null.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 19 19

20 Äquipotential Obefläcen um positive Ladungen positive Ladungen befinden sic bei -l / und bei +l /. In weite Entfenung kann man das elektostatisce Potential betacten als ob es von eine doppelt so gossen Ladung im Punkt 0 stammt.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 0 0

21 Dipole Ein Dipol ist eine Anodnung von Ladungen +q und q im Abstand l. Dipole sind im Raum oientiet. Die Oientieung ist duc den Vekto l von q nac +q gegeben. Das Dipolmoment ist ein Vekto µ q l In de unteen Abbildung ist die Kaft auf einen Dipol in einem elektiscen Feld gezeigt. Die Kaft auf den Dipol ist f q E. Die den Dipol deende Komponente ist f f c sin.. Volesung SS 006 Computational Cemisty 1 1

22 Wecselwikung eine Ladung mit einem Dipol Ein Ion befinde sic im Punkt P mit eine Punktladung Q in dem Feld eines Dipols im Abstand. Die Wecselwikungsenegie u(,) entspict de Abeit um die beiden Moleküle an diese Position zu bingen. u, Q Cµ Q cos Es egibt sic: ( ) Bemekenswet ist daß diese Wecselwikung umgeket popotional zum Quadat des Abstands ist, also eeblic scnelle abfällt als die Wecselwikung zweie Ladungen. De Gund ist einfac, daß sic aus einige Entfenung die Dipolladungen gegenseitig neutalisieen. Anwendung: Ladungsguppen in MM-Kaftfelden. Volesung SS 006 Computational Cemisty

23 Die Poisson-Gleicung Die Poisson-Gleicung besceibt das von eine Ladungsveteilung ezeugte elektostatisce Potential : 0 Hiebei gilt: E. Volesung SS 006 Computational Cemisty 3 3