7. Mechanik deformierbarer Körper

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1 7. Mechanik defomiebae Köpe Mateie ist aus tomen aufgebaut, die duch Bindungen zusammengehaten weden. Bei höheen Tempeatuen füht die themische Enegie de tome zum teiweisen ode vöigem Buch de Bindungen. ggegatzustände est (niedige Temp.): fomstabi, eastisch, kann bechen (spöde); häufig geodnete ufbau üssig (mittee Temp.): ähniche Dichte wie feste Zustand, voumeneastisch, nicht fomstabi; ungeodnete ufbau Gasfömig (hohe Temp.): geinge Dichte, seh kompessibe; ungeodnet, keine Bindungen tome Bindungen 6 ständig wechsende Bindungen Genaue: de ggegatzustand hängt von de Tempeatu und dem Duck ab. 7. üssigkeiten üssigkeit (ode Gas) Koben (äche ) Definition: Duck ist Kaft po äche p = Einheit Pasca [Pa] = [N/m ] ( 5 Pa = ba) üssigkeiten und Gase geben Duck weite; in einem Behäte mit uhendem Medium wikt auf ae ächen desebe Duck (Schwekaft venachässigt). 7.. Hydauik De geichmässige Duck in einem Behäte äßt sich zu Kaft- Weitegabe und Kaft estäkung ausnutzen. äche Duck im Behäte: äche p = Kaft auf zweiten Koben: = p = 7

2 Die Kaft kann aso beiebig vestäkt weden! Schweeduck 9 age: äßt sich so Enegie gewinnen? Beechnung de geeisteten beit: Koben bewege sich um Stecke ; dabei wid ein oumen bewegt von = Wenn die üssigkeit as inkompessibe angenommen wid, bewegt sich Koben damit um: Geeistete beit: = = Koben : W = W = Koben : = = Die am Koben und vom Koben geeistete beit ist identisch; wie beim aschenzug äßt sich nu die Kaft vestäken; die beit (Kaft ma Weg) beibt diesebe! gemein: die oumenabeit an üssigkeiten ode Gasen ist gegeben duch W = = = p bzw. W = p( ) d h Im Schweefed entsteht Duck aufgund de Masse eine üssigkeit (bzw. eines Gases) äche üssigkeit mit Dichte ρ g obee Tei de üssigkeit wikt as Koben Duck in de Tiefe h (äußee Duck venachässigt: p = Beispie: fü Wasse ist ρ = kg/m 3 ; damit ist p N 98 h m = 3 ρg = p = ρhg ρhg = De Duck nimmt inea mit de Tiefe zu! De Duck im Wasse steigt aso ae m Wassetiefe um etwa 5 Pa ode ba. Senkecht zu Schwekaft ist de Duck konstant (aufgund des geichmässigen Ducks innehab eine üssigkeit) de Duck in einem beiebigen Gefäß hängt nicht von de om des Gefäßes, sonden nu vom senkechten bstand zu üssigkeitsobefäche ab! ( hydostatisches Padoxon )

3 7..3 uftieb Jede Köpe in eine üssigkeit im Schweefed efäht eine uftiebskaft. Damit git fü die uftiebskaft eines Köpes in eine üssigkeit im Schweefed: = ρg uftiebskaft äußee Duck p g ü einen senkechten Quade git: ρ: Dichte de üssigkeit : oumen des Köpes äche h h Quade in üssigkeit Kaft auf untee äche = ( p + p ) = ( ρh g + p ) Kaft auf obee äche = p + p ) = ( ρh g p ) ( + Die uftiebskaft entspicht de Gewichtskaft de von dem Köpe vedängten üssigkeit! 7.. Obefächenspannung Um eine neue Obefäche zu ezeugen, müssen Bindungen gebochen weden. Diffeenz: = ρ g h h ) = ρg ( : oumen des Quades Es wikt aso eine nach oben geichtete Kaft, die dem oumen des Quades und de Dichte de üssigkeit popotiona ist (die Käfte auf die Seitenfächen kompensieen sich, da de Duck auf geiche Höhe geich ist). Git fü beiebige Köpe: diese assen sich in senkechte Quade aufteien; die gesamte uftiebskaft ist dann n n = i = ρ gi = ρg i= i= Die aufzubingende Enegie ist popotiona zu ezeugten äche: E O = σ : äche σ : Obefächenspannung Beispie: Kaft auf einen benetzten Büge x b üssigkeit üssigkeitsfim neue Obefächen gebochene Bindungen Eine eschiebung um x vegößet die Obefäche des ims: = b x (de im hat zwei Obefächen!)

4 Obefächenenegie: E = σ = σ b x Geeistete beit aso: Damit ist die Kaft: Zahenwete: W = x = σ b x = σb eaubt Messung de Obefächenspannung! Wasse Quecksibe Ethyethe Beispie: Duck in Seifenbase p a p i σ = 7.3* m N σ =.7* m N σ =.7* m N gesamte Obefäche des ims: = π (zwei Genzfächen!) beitung nach : Ändeung von bei Ändeung von um d: d =6πd d =6π d Damit vebundene Ändeung de Obefächenenegie: de = σd = σ6πd om Gas in de Base geeistete beit: dw = ( p p ) d = ( p p )π d i Im Geichgewicht ist dies geich de: de = dw a i a σ pi pa = Seifenbase: Duckdiffeenz zwischen innen und außen Duck in de Seifenbase steigt bei ekeineung! Git anaog fü den Duck in Topfen (eine Genzfäche). Hie git: σ pi pa = Zahenwet: Wassetopfen, = µm: 7..5 Benetzung, Kapiawikung p = Topfen: Duckdiffeenz zwischen innen und außen 5.* Pa Obefächenspannung besteht nicht nu an de Genzfäche üssigkeit-luft, sonden auch an de Genzfäche üssigkeit-estköpe (Gefäßwand). Dies füht zu einem Kontaktwinke zwischen üssigkeit und estköpeobefäche. 3

5 5 α ' Diskussion Wand α Genzfäche üssigk.-gas üssigkeit dh Kontaktpunkt α b Je nach dem ehätnis de Obefächenspannungen egeben sich unteschiediche Kontaktfomen. σ > σ. W G α ist nicht definiet. Es gibt kein Geichgewicht, die üssigkeit kiecht die Wand hoch vo benetzend Genzfäche üssigk.-wand Eine nhebung des Kontaktpunkts um dh ezeugt eine feste Punkt. σ < σ ; σ < W G W benetzend egößeung de Genzfäche Wand-üssigkeit um d = dh egößeung de Genzfäche üssigkeit-gas um d' = b = dh cos α ' dh cosα Im Geichgewicht git fü die damit vebundenen Obefächenenegien: σ W d + σ d' = G σ dh = σ dh cosα W σw cosα = Kontaktwinke σ G G σ : Obefächenspanung üssigk.-gas bzw. üssigk.-wand < α < 9 3. σ < σ ; σ > W G W 9 < α < 8 Beispie: Kapiae α α Kontaktwinke üssigkeit nicht benetzend Dünnes Roh, teiweise mit üssigkeit gefüt Kümmungsadius de Obefäche: ' = cosα

6 6 7 Die Kümmung de Obefäche füht zu einem zusätzichen Duck von: σ G σ p = = ' G cosα 7..6 Stömungen Stömungen haben otsabhängige Geschwindigkeiten: v = v( ) Die veändet die Steighöhe in de Kapiae um p h = ρ g σ G h = cosα ρ g veändete Steighöhe in einekapiae v Massenstomdichte: j = ρ( ) v( ) Massenfuß duch eine äche : ρ: Massendichte Einheit de Stomdichte: kg m s φ = j ( = j fas j ) Die Ändeung ist positiv fü benetzende (cosα >) und negativ fü nicht benetzende (cosα <) üssigkeiten! ü eine inkompessibe üssigkeit ist die Massendichte otsunabhängig. Damit git bei eine Ändeung des Queschnitts eines duchstömten Rohs: dh dh v üssigkeit v De Massenfuß duch und muss geich sein φ = j = φ j ρv ρ v = benetzend (z.b. Wasse, Gas) nicht benetzend (z.b. Quecksibe, Gas) bzw. v = Kontinuitätsgeichung v aso v = v Die Stömungsgeschwindigkeit nimmt an Engsteen zu!

7 7..7 Benoui-Geichung In eine Stömung eine inkompessiben üssigkeit (ode eines Gases) sind Duck und Stömungsgeschwindigkeit diekt miteinande veknüpft. 8 agemein: + ρ p Benoui p v = konstant = De Duck in eine Stömung nimmt mit de Geschwindigkeit ab! 9 v p p v Roh mit ejüngung: das in eine Zeit t eintetende oumen ist geich dem austetenden oumen: = n de üssigkeit wid am Eintitt beit geeistet: W = p x m ustitt eistet die üssigkeit beit: W = p x = De oumenfuß ezeugt einen Zu- und bfuß kinetische Enegie: E = ρ v E = ρ v Im Geichgewicht muss die Enegiebianz ausgegichen sein: aso E + W = E + W ρ v + p = ρ v + p ρv + p = ρv + p 7..8 üssigkeit mit innee Reibung z üssigkeit v äche ü die Reibungskaft zwischen zwei ächen, zwischen denen sich eine viskose üssigkeit befindet, git: v = η z η: iskositätskonstante : ächengöße v: eative Geschwindigkeit z: bstand Diese Reibungskaft titt auch zwischen üssigkeitsschichten auf; hie git das obige Gesetz in diffeentiee om: dv = η dz Zahenwete: Luft ( C) η =.7* -5 Ns/m Wasse ( C) η =.* -3 Ns/m Gyzein ( C) η = 8.5* - Ns/m Die innee Reibung bestimmt das Geschwindigkeitspofi eine Stömung.

8 3 3 Beispie: undes Roh Roh p v p Teivoumen L stömende üssigkeit Betachten ein Teivoumen mit Radius, weches sich mit de Geschwindigkeit v de Stömung bei bewegt. uf dieses wikt die Reibungskaft: R dv dv = η = ηπl d d Diese muss duch die Diffeenz de Duckkäfte auf das Teivoumen aufgebacht weden: so: p = ( p π p) dv ηπl = ( p p) π d dv p = d ηl Dies git fü Teivoumina ae Radien; damit äßt sich das Geschwindigkeitspofi im Roh duch Integieen beechnen p v + ηl ( ) = v Das Stömungspofi im Roh hat as die om eine Paabe: v De Gesamtfuß duch das Roh egibt sich duch Integation des Stömungspofis: φ = ρ pπ ρv( )πd = ( ηl ρ pπ = ( ηl φ = p ηl ρπ p 8η L v() ) d ρ pπ ) = ηl Hagen-Poisseuie De Gesamtfuß duch ein Roh bei gegebene Duckdiffeenz und Rohänge ist popotiona zu vieten Potenz des Rohadius! Da die Geschwindigkeit an de Rohwand ( = ) Nu sein muss, egibt sich: p v( ) = ( η L )

9 3 33 Beispie: Stömung um eine Kuge bnahme de Geschwindigkeit in de Nähe de Obefäche: dv d v 7..9 Wibe In eine üssigkeit mit geinge Reibung können Wibe aufteten. stake Reibung geinge Reibung Die genaue Rechnung egibt: v Resutieende Reibungskaft auf de Kugeobefäche: dv R η d v π η = π η v aminae Stömung Wibe tubuente Stömung v! 6π ηv R = Stokes Reibungskaft auf eine eativ zu einem vikosen Medium bewegten Kuge (emögicht die Messung von η in einem Kugefaviskosimete ) Das ufteten von Tubuenz hängt von dem ehätnis zwischen kinetische Enegie de Stömung und de Reibungsabeit ab. Kin. Enegie eines oumeneements : Ekin = ρ v 3 = 3 Reibungsabeit bei Bewegung des oumens um : v W = η6 = 6η v

10 3 35 Division de Gößen (ofaktoen venachässigt): 3 v v Re = ρ ρ ηv = η Reynodszah 7. Defomiebae feste Köpe 7.. Kaftgesetze ρ : Dichte v : Stömungsgeschwindigkeit : typische Länge η : iskosität Stab Definition: mechanische Spannung σ = N m Je göße Re, desto göße die Tendenz zu Wibebidung (Umschag amina-tubuent). Bei gatten Rohen efogt de Umschag zu tubuente Stömung bei Zahenwete: Roh mit cm Radius Genzgeschwindigkeit Luft: v =.5 m/s Wasse v =. m/s v = η ρv De Übegang amina-tubuent veändet das Reibungsgesetz (aus wid ) R v Re R k v Re die Reibung (Stömungswidestand) nimmt stak zu! k äche ü die Längenändeung des Stabs git: bzw. σ = = E E σ = E (negative Duck) Hook sches Gesetz E: Eastizitätsmodu (Mateiakonstante) Die Längenändeung ist popotiona zu Kaft! ndee Scheibweise: die Gegenkaft ist gegeben duch E = = D D: edekonstante

11 36 37 Das Kaftgesetz git nu fü geinge efomungen; bei gößeeen Spannungen efogt de Übegang von eastische zu pastische (pemanente) efomung. Beispie Kupfe ( E = 9 Pa) * 8 σ N m eastisch -3-3 pastisch 3-3 Genauee Betachtung: de gedehnte Stab wid dünne Rundstab d De Stab hat das oumen:. Definition: Poisson-Zah µ = = π Die oumenändeung bei Dehnung ist aso: d d eisst d = δ δ d d πd π d π ( d d) δ + δ = + = + d d d d d d => = + = µ + = ( µ ) d d σ = ( µ ) = ( µ ) E µ ist eine Mateiakonstante. Sie nimmt Wete an von.5 < µ <.5 (µ =.5 bedeutet keineei oumenändeung bei Dehnung; titt auf bei imkompessiben Systemen, wie z.b. ein ein wassegefüte Schauch) Weitee efomungen Kompession Es git: p Köpe unte Duck oumenabnahme = κ p κ : Kompessibiität K=/κ : Kompessionsmodu d d 3( µ ) κ = = 3 = p σ E (aseitige Duck entspicht mechanische Spannung von 3 Seiten)

12 38 39 Scheung Tangentiae Kaft auf äche: Schubspannung τ = N m Zusammenhang zwischen den Moduen: sowie E: Eastizitätsmodu (Youngs moduus) G: Tosionsmodu (Schubmodu, igidity moduus) K: Kompessionsmodu (Buk moduus) µ: Poisson-Zah α Die Schubspannung ezeugt eine Scheung um den Winke α: α = τ G E G E 3K = + µ = µ Diung G : Tosionsmodu ode Schubmodu Zahenwete R m : Zugfestigkeit α T Das Dehmoment ezeugt einen ediungswinke α α = T = πgr D R T D R : Richtgöße Mateia edestah God Kupfe Quatz E G K µ R m e Wete in GPa ( 9 N/m ) ü ae efomungen git: die efomung ist popotiona zu Kaft fü keine efomungen! Die potentiee Enegie ist damit popotiona zum Quadat de efomung.