Landeswettbewerb der 34. Österreichischen Physikolympiade Theoretische Aufgaben

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1 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben. Mechanik Lösungen LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz In den nachfogenden Aufgaben daf de Luft-Widestand übea enachässigt weden. Vewende fü die dbescheunigung auf de dobefäche einen Zahenwet on g 9,87 m/s und eine eakt kugefömige de mi einem Radius on 67km.. [ P] Das höchste Gebäude de Wet Fazeit.. insetzen in: t h / g egibt t 8/ 9,87,s. [ P] Die Intenationae Raumstation ISS umkeist die de Die Massenanziehung duch Gaitation ezeugt die efodeiche Zentipetakaft, um die ISS auf eine Keisbahn mit Radius h zu haten. m M m G Aufösen nach egibt G M h 6,67 6,7 5, m/s 76 km/h. [ P] Nehmen wi an, wi könnten am Äquato einen um eichten,. in Punkt am Äquato (Fußpunkt des umes) bewegt sich mit s t 46,m/s 668km/h. 4 6 Fü die umspitze ehaten wi entspechend Die umspitze bewegt sich somit um 49,4 m/s =77km/s 9,9m/s bzw. 6, % schnee as de Fußpunkt..4 [ P] Wie goß ist die Fazeit eine Masse m on de Spitze des ums Wi können wiede die Fome fü die feie Fazeit ewenden und ehaten t h g 4 9,87 Da sich die umspitze um 5 85,6 s 9,9m/s schnee gegenübe de dobefäche bewegt, beibt diese hoizontae Geschwindigkeitskomponente wähend des feien Fuges bestehen und füht zu eine seitichen Abweichung on s t 9,9 85,6 88m. Wüde die faende Masse duch eine Voichtung genau adia zum dboden geeitet, so wüde eine seitiche Kaftkomponente diese Abweichung untedücken. Diese Kaft wäe geade die Coioiskaft aufgund de Bewegung in einem bescheunigten Sstem..5 [ P] In weche Himmesichtung ist de Aufschagspunkt esetzt? Die Sonne geht im Osten auf. Aso deht sich die de in Richtung Osten. Auf de umspitze ist diese Dehgeschwindigkeit göße. Beim Heuntefaen weicht die Masse somit nach Osten aus. Seite on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

2 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz.6 [ P] stee eine Fome, die angibt, wie de seitiche Vesatz on de Höhe Die Geschwindigkeitsdiffeenz zwischen eine umspitze mit Höhe h und dem dboden egibt sich mit de dumdehungszeit 4 6s agemein zu diff insetzen on diff egibt s s h ( h ). und de Fazeit t h / g h h s diff t h g g in die Geichung fü die hoizontae Abweichung / Die seitiche Abweichung hängt mit de Potenz / de Höhe h zusammen..7 [ P] Ändet sich de Vesatz des Aufschagspunktes, wenn de um am Südpo De Südpo otiet zwa um seine eigene Achse, abe es besteht keine etikae Geschwindigkeit gegenübe dem dmittepunkt. Auch auf einem hohen um ist die etikae Geschwindigkeit dot Nu. De Aufschagspunkt beim feien Fa ist somit gegenübe dem Fußpunkt des umes nicht hoizonta esetzt..8 [ P] unne duch die de Die mittee Dichte de de betägt M / V M /(4 / ). Die Masse, die sich innehab eine Kuge mit Radius befindet und zu Gaitationsanziehung beitägt, betägt M 4 M / 4 4 / / M und die Gaitationskaft im Abstand om Mittepunkt kann ausgedückt weden as F G m M G m M G m M G m M G g Man ehät das gebnis, dass die dbescheunigung zum Mittepunkt hin inea abnimmt. ine Kaft, die sich inea mit dem Abstand ändet kennt man in de Phsik as die ücksteende Kaft eine Fede unte eine Längenändeung as F K. In unseem Fa entspicht g / de Fedekonstante K und de Abstand om dmittepunkt de Ausenkung. Um die Bewegung que duch die de zu bescheiben können wi die Lösung fü die Schwingung de Fede mit Fedekonstante K ewenden. s handet sich um eine hamonische Schwingung mit de K / m g / Winkegeschwindigkeit. Die Schwingungsdaue ist hie gegeben duch. ine Duchqueung de de entspicht eine haben Schwingung und wi ehaten / f / somit t e g 6,7 9,87 6 5s = 4, min Duch einen unne que duch die de könnte man diese in 4, Minuten im feien Fa duchqueen..9 [ P] Wie goß wäe die höchste Bescheunigung, die man spüen wüde, Da man sich imme im feien Fa befindet spüt man zu keine Zeit eine Bescheunigung. Man spüt nu 4, Minuten ang Schweeosigkeit und ist dann auf de andeen Seite de de angeangt! Seite on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

3 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben. Ween und Optik LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz. [ P] ine tansesae Wee beitet sich entang eines Seies aus. Die Weenänge ist gegeben duch den Abstand de Maima,4 m. Die Fequenz betägt f / /( t / n) /(9,/ 5) 5/ 9,,549 Hz. Die Ausbeitungsgeschwindigkeit c f,4,549, m/s.. [ P] Intefeenzmuste ( ) ( s ) ( ) ( s ) d Phase: d ine bestimmte Phasendiffeenz entspicht somit eine Längendiffeenz d, die zwischen den Abständen und bestehen so. s git aso d. insetzen fü und egibt beeits die Bestimmungsgeichung fü die Funktion () : d ( s ) ( s ) festgeegt ist. Wenn wobei d eine Konstante dastet, die duch die ogegeben Phasendiffeenz man wi kann man auch noch diekt nach d / aufösen und ehät dann f (, ) ( s ) ( s ) / In diesem Fa ist die Konstante de Bestimmungsgeichung diekt duch die ogegebene Phaseneschiebung gegeben. Bemekung: Die Bestimmungsgeichung ässt sich mit ein bisschen Rechenaufwand so umfomen, dass man fogende Beziehung ehät, die eine Hpebe in este Hauptage entspicht. ( d / ) s ( d / ) Vegeiche z.b. (In diese Dasteung ist die Hpebe um 9 gedeht) s entspicht dahe ( d / ) a und s ( d / ) b e a Das Intefeenzmuste zwischen den beiden Quepunkten P und P ässt sich duch Hpeben bescheiben!. [ P] Beechne den Winke fü die otaefeion eines Lichtstahs. n sin n sin Sneiussches Bechungsgesetz: nach einfache Umfomung fogt n, acsin acsin 6, 46 n,5.4 [ P] Wie goß ist de Antei des Lichtes eine punktfömigen Quee, Seite on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

4 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz Man muss den ei eine Kugeobefäche beechnen, de duch den Kege mit dem Öffnungswinke de otaefeion eingeschossen wid und in Bezug setzen zu gesamten Kugeobefäche on A Ages 4 sin ( / ) sin ( / ) sin (6,46 / ),69 4 s teten somit 6,9% des Lichtes duch die Obefäche aus, de Rest wid totaefektiet o- de eäuft ohnehin ins Innee des Mateias. 4 :.5 [ P] in Punkt-eichen bewegt sich mit de Geschwindigkeit im inken Beeich Die Zeitdaue t um eine Länge mit eine Geschwindigkeit zuückzuegen betägt: t /. Fü die Zeiten inks und echts ehät man aufgund de Wegängen t und t Die gesamte Höhendiffeenz Y ist konstant, abe die Aufteiung zwischen und so aiiet weden. Wi esetzen Y und haben damit beide Zeiten bzw. die Gesamtzeit as Funktion on : t ges t ( ) t ( ) ( Y ) Um das Minimum fü t ges zu bestimmen beechnen wi die este Abeitung nach und setzen diese geich Nu. dt ges d ( Y ) ( ) ( Y ) fü das Minimum Y Wi esetzen die Wuzeausdücke wiede duch die Längen und esetzen Duch einfache Umfomung ehät man das Vehätnis on zu fü die minimae Zeit as.6 [ P] Dücken Sie die Bedingung im oheigen Beispie duch den Winke Im Sneiusschen Bechungsgesetz kommt sin GK/AK / o. ntspechendes esetzen in de oheigen Geichung egibt: sin sin Fü Licht betägt die Geschwindigkeit in einem Medium mit Bechungsinde n : c n c / n c, wobei die Vakuumichtgeschwindigkeit dastet. Wi esetzen aso duch c c / n und duch n n c c / n und ehaten sin sin c c Küzen duch die Lichtgeschwindigkeit c egibt dann das Sneiussche Bechungsgesetz: n sin n sin..7 [ P] in Lichtstah in Luft fät unte einem Winke on 45 zu Lotechten Seite 4 on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

5 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz Duch das Sneiussche Bechungsgesetz wid de Winke je nach Bechungsinde n angegeben. Wenn sich zwischen eine Lage mit n und n noch eine weitee Lage mit andeem Bechungsinde befindet, ändet dies abe nichts daan, dass bei n dann wiede de Winke besteht. Dies sieht man sofot, indem man eine beiebige Zwischenschicht i einfüht n sin ni sin i n sin. Wi woen, dass de Stah entang on sin() eäuft. Die Abeitung de Funktion ist eicht beechnet: cos() GK d Die Abeitung stet den Anstieg da, de übe die Beziehung tan AK d mit dem Winke zusammenhängt. Im Bechungsgesetz haben wi abe den Sinus gegeben, nicht den angens. Wi müssen den einen duch den andeen ausdücken: GK GK sin H GK AK AK GK tan ( ) Duch einsetzen de Abeitung cos() in dieses Beziehung kann mithife des Bechungsgesetzes de notwendige Veauf des Bechungsinde angegeben weden: n( ) n sin n sin n sin sin ( ) cos Fü n in Luft und sin sin 45 / n( ) / cos ehät man schießich: Kommenta: Man kann sich noch fagen, wie weit die Kue sin() efüt weden kann. Fü ehät man fü den Cosinus einen Wet on und somit n (). Das Mateia auf de echten Seite muss zu Beginn denseben Bechungsinde wie die Luft auf de inken Seite besitzen, damit de Stah unte 45 weiteäuft. in Pobem ehät man abe fü /, da hie de Cosinus gegen Nu geht und eine Diision duch Nu den efodeichen Bechungsinde gegen unendich eangen wüde. Man kann de Vogabe sin() nu fogen, bis man den höchstmögichen Bechungsinde fü Mateiaien eaisiet hat, dann kommt es zwangsäufig zu eine Abweichung on de Vogabe. Seite 5 on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

6 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz. ektizität und Magnetismus. [ P] Wie goß ist das eektische Fed eines Pattenkondensatos insetzen in die Fome fü das Fed eines Pattenkondensatos egibt diekt Q 5.9 V/m. 4 A 8,854 De Pattenabstand spiet hie keine Roe.. [ P] Wie goß muss die Ladung auf einem Seidenpape ( g/m ). Fü den Betag des eektischen Fedes kann man wiede diesebe Fome wie in Beisp.. ewenden abe Achtung es gibt noch einen besondeen ffekt, den wi im nächsten Beispie bespechen. Die Kaft auf die Fäche ist eteit und man bekommt mit de Fächenadungsdichte Q / A einen Duck on p m. Abe Vosicht, hie muss man das mittee eektische Fed einsetzen, das auf die Papiefäche wikt. Das Fed ändet sich on eine Seite de Papiefäche zu andeen on Nu auf den Wet, den man aus de Fome fü den Kondensato ehät. Im Mitte wikt somit nu das habe Fed auf die Fächenadung on m /. Die gesamte Kaft egibt sich dann as fü eine Punktadung geten wüde. insetzen fü Q m g F Q Q A Aufösen nach Q und einsetzen 4 F p A A Q / A m m bzw. egibt m A Q m, wie es auch Q mg A, 9,87 8,854,864 C egibt die gesuchte Ladung, die auf beiden Patten sowoh positi as auch negati sein könnte, abe fü die notwendige Abstoßung auf jeden Fa geiches Vozeichen haben muss. Den Pattenabstand on mm benötigt man nicht, da die Fedstäke (unte Venachässigung de Randeffekte) unabhängig daon ist.. [ P] Wie goß ist das eektische Fed zwischen den geadenen Fächen in Beispie.? Das eektische Fed im Inneen ist Nu, da die Ladungen auf den Fächen geiches Vozeichen haben und sich das Fed aus Smmetiegünden aufhebt. Die Fedstäke, die man mit de übichen Fome beechnet, hescht in diesem Fae außehab de Papiefächen. Übe die Dicke de Papiefächen steigt das Fed on Nu auf den beechneten Wet an. De Mittewet im Inneen de Papiefächen ist hab so goß wie de Wet außehab dies wude im oheigen Beispie ewendet!.4 [ P] Zwei keine, geich stak homogen geadene Kugen Die senkechte Kaft auf eine Kuge ist F g m g, die waagechte Komponente entspicht de Couomb-Abstoßung F C q /(4 ) im Abstand. Wenn man das Deieck habiet, ehät man in de Mitte die Höhe h und es git die Beziehung. Da die esutieend Kaft aus de ektoieen Addition on h F / F g C Fü h kann man q 4 bzw. F g und F C / Fg h 4 ( / ) h L F C entang on des Fadens wikt, git die geometische Beziehung: bzw. q 4 / mg h L ( / ) einsetzen und ehät somit / mg 4 h L / ( / ) mg 4 L / - mg Seite 6 on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

7 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae s so ewähnt weden, dass de Ausduck /( / ) Seite 7 on 8 Uniesität-Linz L auch /sin ist und de gesamte Buch tan entspicht, wobei den haben obeen Winke des Deiecks dastet. Abe wi haben die Beechnung aus den geometischen Reationen ohne die Winkefunktionen duchgefüht. Die gesuchte Ladung ehät man schießich, wenn man die Wuze aus de oheigen Geichung zieht und einsetzt: q 4,9-8 C L / mg, 4 8,854,/ 9,87.5 [ P] in homogenes eektisches Fed mit eine Intensität on V/cm In diesem Beispie wid nu de Ha-ffekt on eine andeen Seite betachtet. Wenn sich das ekton nicht bewegen wüde, so wüde es aufgund des eektischen Fedes bescheunigt, die Loentzkaft aufgund des Magnetfedes hätte zunächst keine Wikung. Damit das ekton nicht bescheunigt wid, muss es sich zu Beginn so schne bewegen, dass die Kaftwikung F e duch das eektische Fed genau duch die Loentzkaft kompensiet wid. Da fü die Loentzkaft F L e B git, kann sich das nu ausgehen, wenn sich das ekton in die z-richtung bewegt. Die Gesamtkaft auf das ekton muss Nu sein. Fges FL F e B B Wenn in die positie z-richtung zeigt, so zeigt B in die negatie -Richtung und somit entgegen de Richtung on, wie es benötigt wid. De Betag on wid emittet aus: / B 4 / 4 m/s Das ekton muss sich mit eine Geschwindigkeit on 4 m/s in die positie z-richtung bewegen, damit die Kaftwikung des eektischen Fedes geade kompensiet wid. [Zusätzich kann das ekton noch eine beiebige Geschwindigkeitskomponente paae zum B-Fed (aso in - Richtung) aufweisen, da dies zu keine Loentzkaft füht und die eektische Fedkaft daduch nicht eändet wid.].6 [ P] Das Magnetfed im Mittepunkt M eine ingfömigen Leitescheife Im Mittepunkt de Leitescheife tägt jedes Segment des gesamten Ringes geich ie bei. Wenn zwei Ditte entfent weden, beibt genau ein Ditte de Fedstäke in de Mitte übig. Die Zueitungen zeigen genau om Zentum de Leitescheife weg. in Magnetfed duch geade Leitungen wid nu außehab undheum ezeugt. In de (eängeten) Mitte wid kein Beitag ezeugt. Das Magnetfed im Punkt M hat dahe genau den Wet I /(6 )..7 [ P] Außehab eine Spue wid in einem bestimmten Voumenbeeich Da sich die beiden Magnetfede übeagen ist die Stäke nun doppet so hoch und fü die gespeichete negie egibt sich de iefache Wet. Wie ist dies mögich? Git hie die negieehatung nicht? Natüich git die negieehatung, abe man muss das gesamte Sstem im Auge behaten. Wenn die zweite Spue angenähet wid, so muss diese Spue sebst auch das Magnetfed de esten Spue "spüen" und umgekeht. s wid wähend de Annäheung in de jeweis andeen Spue ein eektisches Fed induziet, das zu einem Stom füht und aufgund de Lentzschen Rege eine abstoßende Kaft ezeugt. Diese Kaft muss bei de Annäheung in Fom on Abeit übewunden weden und füht etztich zu de zusätzichen negie im übeageten Magnetfed de beiden Spuen..8 [ P] Die Widestände in einem eektischen Schatkeis sind fü. Da de Stom duch die Widestände inea on den Spannungen abhängt, kann man die Wete fü die einzenen Batteien übeagen. Wenn wi uns U wegdenken, so sind R und R paae geschatet und da sie geich goß sind egibt sich as satzwidestand R de habe Wet, aso 5. Von de Batteie U aus gesehen, sind R und die Paaeschatung R in Seie und egeben in Summe einen Wet on R ges, 5. Duch R fießt ein Stom on I, U U / Rges, 9 /5,6 A LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc

8 Landeswettbeweb de 4. Östeeichischen Phsikompiade heoetische Aufgaben LÖSUNGN Gehad Bunthae Uniesität-Linz Wenn wi uns U wegdenken, sind R und R paae geschatet und egeben einen Wet on R geich 5. In Seie mit R egibt sich fü U ein Gesamtwidestand on R ges, 5. Duch R fießt ein Stom on I, U U / Rges, 6/5,4 A. Diese Stom teit sich in de Paaeschatung on R und R in jeweis die Häft on,a auf. Duch ae Widestände fießt die Übeageung de Stöme de einzenen Spannungsqueen, wenn beide geichzeitig ohanden sind. Aus de Schatung sieht man, dass de Stom duch R on beiden Batteien in die sebe Richtung getieben wid und es egibt sich fü R : I,6,,8A. Die Leistung am Widestand R betägt: P R I 5,8,96W De Widestand sote aso mindestens fü eine Leistung on Watt ausgeegt weden. Seite 8 on 8 LWB-5-heoie-Lösung_fina.doc