Vektor Skalar. Ein Skalar hat zwar einen Betrag aber keine Richtung!
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- Imke Solberg
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1 V. Vektoren:. Definition: Geometrishe Definition: Shreibweise:,, r Vgl. Untershied: gerihtete Streke, mit Länge nd Rihtng Bsp.: Geshwindigkeit Vektor Sklr. Ein Sklr ht zwr einen Betrg ber keine Rihtng! Def: (, ) oder (,, ) i sind die Komponenten eines Vektors (Zeilen- oder Spltenvektoren). Eigenshften von Vektoren: Betrg (Länge): (,, ) z.b. (,) Rihtng: β α (, ) os α os β osα, osβ geben Rihtng n Rihtngsosins (reltiv z den Koordintenhsen) sgewählte Rihtngen: () Vektoren sind orthogonl, wenn sie senkreht feinnder stehen. Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
2 () Vektoren sind kolliner, wenn sie prllel zr selben Gerden sind. () Vektoren sind komplnr, wenn sie prllel zr selben Ebene verlfen.. Gleihheit von Vektoren: Geometrishe Definition: Vektoren sind dnn gleih, wenn sie drh eine Prllelvershiebng seinnder hervorgehen. es gibt viele Vektoren die gleih sind (Vektorfeld) (nlogie zr Integrtionskonstnten bei der Differentilgleihng) rithmetishe Definition: Vektoren sind dnn gleih, wenn sie in ihren Komponenten übereinstimmen b (, ) b (b,b ) wenn ( b ); ( b ). rten von Vektoren: () Freie Vektoren: Entstehen drh Prllelvershiebng (b) Ortsvektoren: Hben einen gemeinsmen Ursprng, ndere Rihtng ber gleihen Betrg z.b. Rottion (Uhrzeiger) () hsile Vektoren: Hben ntershiedlihe Beträge, ber gleihe Rihtng (Bsp. Drehimpls) Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
3 Spezielle Vektoren: Einheitsvektoren: Länge, Rihtng einer Koordintenhse e e e Behte die Rihtngen der hsen!! Definition eines Vektors drh seine Einheitsvektoren: (e, e, e ) (,, ) ( e e e ),, sind die Beträge, e,e,e die Einheitsvektoren, die die Rihtng ngeben. Normlerweise werden in der Drstellng nr die Beträge geshrieben Nllvektor: Betrg 0, ht keine Rihtng sein) z.b. 0; (in Vektorgleihng mss 0 ein Vektor Normierter Vektor: b Vektoropertionen ht die Rihtng von, nd den Betrg. ddition von Vektoren: geometrish: b ; Pfeilspitze n Pfeilnfng, (Resltierende eines Prllelogrmmes) Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
4 rithmetish: (, ) b ( b, b ) b ( b, b ) ; komponentenweise ddieren der Koordinten z.b. (,), b (, ) ; b (5,). Sbtrktion von Vektoren: -b geometrish: d (-b) b b Vektor - rithmetish: (, ) - (-,- ) geometrish: gleiher Betrg, ber entgegengesetzten Rihtng (80 ) rithmetish: (, ) b (b,b ) - b ( - b, - b ) z.b. (,); b (,-) b (-. -(-)) (,5) Sonderfll: 0 Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
5 . Mltipliktion eines Vektors mit einem Sklr: geom: nlog zr Drstellng von drh Einheitsvektoren rith: λ (λ, λ ); λ reelle Zhl Bei Mltipliktion jeder Komponente mit λ bleibt die Rihtng gleih, ber der Betrg ändert sih. Bsp: λ (,) λ (.) (.) λ λ λ Mltipliktion mit - λ bedetet Rihtngsänderng von 80. Inneres oder sklres Prodkt (Sklrprodkt) SW: diese Vektoropertion wird mit einem Pnkt b oder einer rnden Klmmer (,b) gekennzeihnet. Ds Ergebnis ist ein Sklr (Betrg) b geometrishe Interprettion: Projektion des Vektors b f den Vektor b b osα rithmetish: b b b Bsp: (,) b (,.5); b (9-0) - (Bsp. s der Phsik: W Fs) Der Winkel zwishen Vektoren ist s dem Sklrprodkt erhältlih: os α b b Sonderfälle: () ² osα (b) b 0, b 0 osα 0; α 90 ; b () b b os α ; α 0 ; b Mthemtishe Übngen Kp. 5/5 Hofmnn / Lettner
6 (d) b b, kommttive Rehenopertion 5. Äßeres oder vektorielles Prodkt Ds Ergebnis ist ein Vektor mit Betrg nd Rihtng Nr im dimensionlen Rm möglih!! SW: [,b] oder b geometrishe Drstellng: b Die Vektoren,b, bilden in dieser Reihenfolge ein Rehtssstem: Bei der Drehng von über den kleineren Winkel in Rihtng b entsteht eine Drehrihtng, die eine Rehtsshrbe in Rihtng nd Orientierng von bewegt (Rehtsshrbenregel). () steht senkreht f de Ebene die drh nd b fgespnnt wird () Rihtng von : rehtsgängige Shrberegel, wird f kürzesten Weg nh b gedreht () Betrg: b b sinα rithmetishe Berehnng: (,, ) mit: b b b b b b Bsp: (,,); b (,,5) (Erklärng bei Mtrizen nd Determinnten) (7,-,-) Mthemtishe Übngen Kp. 6/5 Hofmnn / Lettner
7 Sonderfälle / Regeln: () ( b) -(b ); Betrg ist gleih, ber entgegengesetzte Rihtng, ergibt sih s der Rehtsshrbenregel (b) () α 0 ; sinα 0; b 0; beide Vektoren sind prllel α 90 ; sinα ; b b ; beide Vektoren sind feinnder VI. Linere Gleihngsssteme, Mtrizen nd Determinnten Motivtion: Wie können linere Gleihngsssteme gelöst werden? ) Einsetzen ) Gß shes Elimintionsverfhren ) Mtrizen nd Determinnten Für etw miml Unbeknnte sind Verfhren nd ngebrht, bei mehr Unbeknnten sind die Methoden nd günstiger. Betrhte lineres Gleihngssstem () () () Lösng ohne Mtrizen mit Einsetzen: s () oder () eine Unbeknnte drh die ndere sdrüken nd in die ndere Gleihng einsetzen Z. B.s () : Einsetzen in () ( ) 8 5; Drh Einsetzen von 5 in () oer () wird berehnet Mthemtishe Übngen Kp. 7/5 Hofmnn / Lettner
8 Mthemtishe Übngen Kp. 8/5 Hofmnn / Lettner - (b) Lösng mit Mtrizen: ndere Shreibweise. Diese Gleihngssstem ht die Form:.. b Bildng der inversen Mtri - Lösng: gleihe Opertion f beiden Seiten (wie mn f kommt, wird später erklärt) Koeffizientenmtri Spltenvektoren nd b
9 Terminologie Immer: m { n { Mtri Zeilen Splten... n... n m m... mn Spltennzhl: n Zeilenzhl: m Der erste Inde eines Elements ij kennzeihnet die Position in der Zeile, der zweite in der Splte Bei Mltipliktion: Immer Zeilenvektor Spltenvektor Smme Inneres Prodkt der Vektorrehnng! Beispiel. oder/bzw. Berehne die einzelnen Elemente für - E (bzw. I) nwendngen?ws mhen Mtrizen? : Im Prinzip bbildngen Bsp: () Trnsformtionsmtri T Bsp: Rottion m ϕ bbildngen (-sinϕ,osϕ) (0,) ϕ ϕ (osϕ,sinϕ) (,0) Mthemtishe Übngen Kp. 9/5 Hofmnn / Lettner
10 Eine Drehng m den Winkel ϕ bildet die Einheitsvektoren e 0 nd e 0 b f: 0 0 T osϕ -sinϕ sinϕ osϕ osϕ -sinϕ sinϕ osϕ T heißt Trnsformtionsmtri Bsp.: Rottion des Vektors (,) m 5, ws sind die neen Koordinten? T / / T / / / / / / (, ) 5 (,) Stte mtri, Trnsition mtri, stte vetor, Zstndsvektor Bsp.: Bevölkerngsverteilng Lnd (L), Vororte nd kleinere Orte (V), Stdt (S) Sm Stte mtri L V S Sv Stte vetor ( ) Zstnd zr Zeit t 0 Tm Trnsition Mtri Tm L V S L V Mthemtishe Übngen Kp. 0/5 Hofmnn / Lettner
11 S Diese Trnsition Mtri (Übergngsmtri) qntifiziert die Wnderngsbewegngen zwishen den einzelnen Bereihen L, V nd S. In diesem Zsmmenhng ist ntürlih wihtig, wie die Mtri z lesen ist, ds mß festgelegt sein. In diesem Beispiel ist die vertikle Splte LVS die Qelle nd die horizontle Reihe LVS ds Ziel. So bedetet z.b. die Zhl 5, der Shnittpnkt der V Zeile nd der S Splte, dß pro Jhr von den Vororten 5% in die Stdt ziehen sw. Wie sieht nn die Bevölkerngsverteilng in,,...n Jhren s? In Jhr (sgngssittion: Sm Sv (0) ) Sm. Tm Sv () ( ) L t 0 V S 0,6 0,0 0, 0, 0,7 0,5 0, L 0,5 0,55 V S ( t ) ( t ) ( t ) (,9,6,5) %-nteile der Bev. in L, V, S Nh Jhren Nh n Jhren n S T S S m Tm Tm Sv ( t) m m v( t n) Trnsponieren: Sttevektor ls Spltenvektor: Drh Shreibweise ls trnsponierte Form verändert sih die Reihenfolge von S m nd T m nh der Regel: S m. T m T m T. S m T T T T ( T ) ( S ) ( S ) m m v Determinnten Linere Gleihngsssteme nd ihre Lösng mit Determinntenrehng b d v In Mtri-Nottion. Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
12 b d v Lösng drh ( Gßshes ) Elimintionsverfhren Elimintion von für die Berehnng von : d b d b d v b d vb d vb d b Elimintion von für die Berehnng von : b d b d v v v d b Def.: det b d b d b v d b d v b d Zr Berehnng von nd verwende die Crmer`she Regel: b d In ersetze für die Berehnng von den. Spltenvektor b Spltenvektor drh d, v drh, für den. v Bsp Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
13 .. Lösng von Gleihngssstemen mit mehr ls Unbeknnten. Nh längerer Rehnng erhält mn:,, sind Linerkombintionen von,, Sstemtik: Elemente der. Splte Entwikeln der Determinnte - Crmer`she Regel - - det det Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
14 det Vorzeihenregel det nloge Erweiterng für größere Mtrizen Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
15 Mthemtishe Übngen Kp. 5/5 Hofmnn / Lettner Die Inverse Mtri Nh gewöhnliher lgebr: -.. ; -. I; I ist die Einheitsmtri oder Identität,, sind Linerkombintionen von,, : Dher:. det Die Berehnng der inversen Mtri ermögliht eine sehr effiziente Lösng eines lineren Gleihngssstems Ursprünglihes Beispiel gelöst mit der inversen Mtri: det det Shrittweise
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Wirtshftsmthemtik - Üungen WS 8 Bltt : Linere Alger. Gegeen ist eine eine 3 3 Mtrix C =( ij ) mit un eine Mtrix B = A ) Shreien Sie ie Mtrix C n! Y _] j i für ij
Dritte Klausur. 3 x 2 7 x dx = 3 x 2 7 x dx. 3 x 2 7 x dx = 7 x 3 x 2 dx. x 3 2 x + 5 dx = x 3 2 x + 5 dx + x 3 2 x + 5 dx. x dx = x dx
École Interntionle Allemnde Dritte Klsr Vornme, Nme Mthemtik Klsse Mittwoch, 7. März. Kreze n, whr oder flsch! Jede richtige Antwort zählt einen Pnkt, bei flschem Krez wird ein Pnkt bgezogen. Kein Krez
Fußpunktdreiecke und Fußpunktvierecke. Eckart Schmidt. Vorbemerkungen
Voremerkngen Fßpnktdreieke nd Fßpnktiereke Ekrt hmidt Lotet mn on einem Pnkt P der Dreiekseene f die eitengerden, so erhält mn die Eken des Fßpnktdreieks on P. Einfhstes eispiel ist ds eitenmittendreiek
5.2 Quadratische Gleichungen
Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe
Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen.
Inhltsüersicht Kpitel 5: evil forces: Vektorrechnung Vektorrechnung in der Eene Ungleichungen in zwei Vrilen Der Vektorrum R n, Vektoropertionen Eenen im Rum Linere Gleichungssysteme Gußsche Elimintion
10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
Vektoren. Karin Haenelt
Vektoren Grundbegriffe für ds Informtion Retrievl Krin Henelt 13.10.2013 Anltische Geometrie und Linere Algebr Geometrie: Konstruktionsverfhren mit Zirkel und Linel Anltische Geometrie: Umsetzung geometrischer
a Z1 a 1 a 1,2 Diese Matrix hat genau dann Rang 2, ist also genau dann invertierbar, wenn a 2,2 a 1,2a 2,1
18 Determinnten 207 18 Determinnten Nchdem wir nun schon recht usführlich Mtrizen und linere Gleichungssysteme studiert hben, wollen wir jetzt die sogennnten Determinnten einführen, die beim Rechnen mit
Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner
Abiturvorbereitung Mthemtik Linere Algebr / Anlytische Geometrie Copyright 2013 Rlph Werner 1 Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem (LGS) besteht us einer Anzhl linerer Gleichungen. (m,n)-lgs
Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1
Fchhochschule Jen Fchbereich GW Tutorium Mthemtik I Studiengng: BT/MT - Bchelor Serie Nr.: 2 Semester: Them: Vektorrechnung und Geometrie Auf die Lehrmterilien im Internet ( Zum selbständigen Üben ) empfehle
29 Uneigentliche Riemann-Integrale
29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe
P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ
I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2015/16
Wirtshftsmthemtik - Üungen WS 25/6 Bltt 2: Linere Alger. Gegeen sin ie Punkte P =( 2, 2) un =(4, ). ) Bestimmen Sie ie Prmeterrstellung er Geren urh iese Punkte! Zeihnen Sie ie Gere! Wie lutet ie Koorintenrstellung
Aufgabensammlung der höheren Mathematik
Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik von Vsili P. Minorski 5., ktulisierte Auflge Hnser München 2008 Verlg C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 466 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei
UNKONVENTIONELLE COMPUTER Seminar SS2001
UNKONVENTIONELLE COMPUTER Seminr SS Vortrg von Jn Rödling Technische Universität Brnschweig 4XDQWHQJDWWHUXQG4XDQWHQVFKDOWNUHLVH Ds Modell Qntengtter Qntenschltkreis Qntenmessngen Universelle Qntengtter
x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
Fachbereich Mathematik
Oberstufenzentrum Krftfhrzeugtechnik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule und Berufsoberschule Berlin, Bezirk Chrlottenburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits- und Informtionsblätter zum Fch
Mathematische Probleme, SS 2018 Dienstag 5.6. $Id: dreieck.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v 1.43 2018/06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz
7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
1 Algebra. Addition und Subtraktion. Minuend. Differenz. Subtrahend. In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. (Kommutativgesetz)
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 1 1 Alger Addition und Sutrktion In einer Summe drf mn die Summnden vertushen. (Kommuttivgesetz) + + Summnd Summ nd Beim ddieren drf mn die Summnden zu Teilsummen zusmmenfssen.
Symmetrien und Winkel
5-04 1 10 mthuh 1 LU reitsheft + weitere ufgen «Grundnforderungen» Symmetrien 301 Zeihne Grossuhsten des lphets, sortiert nh vier Typen: hsensymmetrish punktsymmetrish hsen- und punktsymmetrish weder hsen-
Komplexe Kurvenintegrale
Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b
Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -
Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..
Übungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Lineren Algebr Lösungen Wintersemester 9/ Universität Heidelberg Mthemtisches Institut Lösungen Bltt Dr. D. Vogel Michel Mier Aufgbe 44. b 4 b b 4 ( )b Fll : = ( )b 4 b ( ) b ( ) ( )(b ) b
Einführungsmöglichkeiten des Skalarprodukts. r r
Einfühungsmöglihkeiten des Sklpodukts Jügen Zumdik I. Geometishe Zugänge im Euklidishen Vektoum Euklidishe Länge eines Vektos ist eeits eingefüht Polem Winkel zwishen Vektoen R² α β ϕ α-β osϕ osα-β osαosβ
(2) Mathematische Grundlagen. Vorlesung Computergrafik T. Grosch
(2) Mthemtische Grundlgen Vorlesung Computergrfik T. Grosch Mthemtische Grundlgen Mthemtik für die Computergrfik Vektorrechnung Trigonometrie Gerden & Eenen Mtrizen Grundlge ieler lgorithmen Dher heute
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!
Geometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
Einleitung. Mathematik für Volkswirte. Literatur. Über die mathematische Methode. Weitere Übungsbeispiele. Statische (Gleichgewichts-) Analyse
Mthemtik für Volkswirte Mthemticl Methods for Economists Josef Leydold Institute for Sttistics nd Mthemtics WU Wien Wintersemester 07/8 009 07 Josef Leydold This work is licensed under the Cretive Commons
{ } { } {( ) 0 x 1 1,0 x 2 1} ( ) 0 x 1 1,0 x 2 1,0 x 3 1
Hns Wlser, [2473] Anlogie zu Qudrt i Ru Woru geht es? Üblicherweise wird der Würfel ls ds Anlogon des Qudrtes i Ru ngesehen. Es gibt llerdings uch ndere Möglichkeiten, ds Qudrt in den Ru zu nlogisieren.
Berechnung der inversen Matrix.
Inverse Mtrix Berechnung der inversen Mtrix. Es ist ds LGS A X = E zu lösen. X = A 1 ist eine Mtrix. Verwendung des Guss-Algorithmus: Trnsformiere (A E in (E X. Steffen Voigtmnn Beuth Hochschule für Technik
Miquel-, Poncelet- und Bennett-Punkt eines Vierecks. Eckart Schmidt
Miqel-, Ponelet- nd ennett-pnkt eines Viereks Ekrt hmidt Für eine rentrishe ehndlng on Viereken lssen sih ershiedene egsdreieke enten Hier erden d eines der Teildreieke, eines der Teildreiseite, ds Digonldreiek
Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
Vektoren werden addiert, bzw. subtrahiert, indem man die einander entsprechenden Komponenten addiert bzw. subtrahiert.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.9. Vektoren im kartesishen Koordinatensystem Rehengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion von Vektoren: Vektoren werden addiert,
Zwei-Punkt Randwertprobleme. Fahed Bakar
Zwei-Punkt Rndwertprobleme Fhed Bkr Contents Inhltsverzeichnis II 1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme (RWP) 1 1.1 Zwei-Punkt Rndwertprobleme.................... 1 1.2 Vritionle Formulierung des RWP..................
Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200:
Wir legen einen neuen Folder n: VAR-LINK F, 5 (CREATE FOLDER) Nme: vektor3 Wechseln in den Folder: MODE Current Folder vektor3 uswählen Vektorrechnung im R 3 mit dem Voge 00: Punkte und Vektoren werden
Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 $Id: dreiek.tex,v 1.15 2015/04/20 08:57:49 hk Exp $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke