Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2001

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1 Bueswettbewerb Mthemt Wsseschftszetrum ostfch Bo Fo: Fx: e-ml: fo@bueswettbewerb-mthemt.e homege: htt:// Korreturommsso Krl Fegert Aufgbe u Lösuge. Rue St: 9. M

2 BWM I Lösugsbesele Aufgbe : Auf em Tsch legt e Hufe mt Selstee er schrttwese Hufe mt je re Stee umgewelt were soll. Dbe besteht e Schrtt r ss e Hufe usgewählt rus e Ste etfert u er Resthufe zwe Hufe zerlegt wr. K es mt eer Folge vo vollstäg usgeführte Schrtte errecht were? Atwort: Ne es gbt ee Folge vo vollstäg usgeführte Schrtte mt er eser Zust errecht were.. Bewes urch Wersruch: Offeschtlch etsteht mt jeem Zug geu e zusätzlcher Hufe u es wr mt jeem Zug geu e Ste etfert. Wr bezeche e Azhl er Hufe ch Züge mt h e er Stee uf em Tsch ch Züge mt s; st h A sowe s B. Hätte u ch Schrtte jeer Hufe geu 3 Stee so wäre uch 3h s C. Setzt m u A u B C e so erhält m 3 oer äquvlet D 998 cht urch 4 telbr st ese Begug für ee türlche Zhl erfüllt were. Vrte: De Summe h s st vrt. Hätte u ch Schrtte jeer Hufe geu 3 Stee so wäre uch s 3h lso h s h 3h 4h. D cht urch 4 telbr st ese Begug für ee türlche Zhl h erfüllt were.. Bewes urch Umehrug er Zugfolge: E Hufe were ls zulässg bezechet we see Selste-Azhl vo er Form 4m3 mn st; lle ere Fälle.h. we e Selste- Azhl vo er Form 4m mn {} st ls uzulässg. Jeer möglche Schrtt lässt sch eeutg umehre em m e zwe gere etstee Hufe veregt u ee Ste hzufügt. Wre e bee betroffee Hufe zulässg hre Selstezhle lso vo er Form 4m 3 bzw. 4m 3 so st e Selstezhl es be er Umehrug etstehee Hufes vo er Form 4m 3 4m 3 4m3 lso weer zulässg. Im gewüschte Ezust s lle uf em Tsch legee Hufe zulässg. Mehrfches Awee es obge Schlusses ergbt ss eser ur errecht were we vor jeem Schrtt lso uch er Ausggsstuto lle Hufe uf em Tsch zulässg s. D e Selstezhl m Afg vo er Form 45 st st es jeoch cht er Fll. Bemerug: Der. Bewes lässt sch türlch uch urch vollstäge Iuto über e Kotrosto führe: Ist uf em Tsch e uzulässger Hufe we z.b. er Ausggsstuto so ht m ch jeer Schrttfolge mestes ee uzulässge Hufe uf em Tsch. Aufgbe : Vo eer Folge... reeller Zhle se bet: u für lle türlche Zhle. M bewese ss ur ee ezge Folge mt ese Egeschfte exstert u gebe ee exlzte Formel für. Atwort: De Folge er Dreecszhle lso e Folge mt Egeschft u se st e ezge Folge mt ese Egeschft. Bewestel : De Folge ht e geforerte Egeschft. Bewes: Es st ttsächlch ; sowe für lle N 3 ht e geforerte Mt N se m Gegestz zur früher verweete Bezechug er DIN-Norm folge e Mege er türlche Zhle eschleßlch er Null bezechet.

3 BWM I Lösugsbesele Bewestel : Es gbt höchstes ee Folge mt eser Egeschft.. Bewes: Flls es überhut ee solche Folge mt gbt so muss für lle N ee er bee Lösuge er qurtsche Glechug bzw. er herzu äquvlete Glechug se. Des s ± 4 ±. 4 Vo ese bee Lösuge für jee Wert vo höchstes ejege mt em ""-Zeche zu eem exsteree führe: D für lle N st e Folge er mooto stege. Wege s sbesoere lle ostv e Folge lso sogr streg mooto stege. Dmt führt e Lösug mt em " "-Zeche zum Wersruch < u scheet somt us. 4 4 Bemerug: De " "-Lösug muss für lle Werte vo usgeschlosse were!. Bewes: urch Wersruch: Flls es überhut Folge mt e geforerte Egeschfte gbt s ese wege mooto stege; st sbesoere für lle N. Wr betrchte ee zwete Folge b e ebeflls e geforerte Egeschft ht. Wäre e bee Folge verschee gäbe es chem b ee leste Iex für e b ber b. Für folgt us e bee Glechuge u b b b b b b b b ; sofort urch Subtrto es urch Multlto mt em wege er Mootoe er Folge ostve Term b b sowe uter Berücschtgug vo b äquvlet umgeformt were zu b b b b oer b b b. Des führt zum gewüschte Wersruch eer er bee Ftore verschwet: Nch Vorussetzug st b lso b sowe b b. 3. Bewes: Wr efere uter er Ahme ss ee Folge überhut exstert für lle N e Hlfsgröße b : u c : ; es st b c sowe b c. Mt ese Bezechuge folgt us er zwete Begug er Aufgbestellug sofort lle Aussge gelte für lle N bzw. flls e Größe b oer c voromme für lle N\{}: 3

4 BWM I Lösugsbesele b c u c. D st b c c c c c c b b c c D st e Folge er mooto stege wege s sbesoere lle ostv e Folge mt sogr streg mooto stege u c c. Wr öe lso bee Sete obger Glechug urch ese Term tele u erhlte so c c für lle N\{}. Herus erhlte wr über e Telesosumme c c c c c c c... c c c e exlzte Drstelluge c c u b c c. Es folgt b c c c c c c ; st lso ch Vorgbe vo u c eeutg bestmmt. c st ber ebeflls bestmmt: Es st b c c c ; ese ± 8 qurtsche Glechug ht zwr zuächst zwe Lösuge c lso c oer c. 4 Wege er strege Mootoe er Folge st ber c : es blebt lso c ls ezge möglche Lösug. Esetze ergbt zusmmefsse: Flls e Folge überhut exstert glt c c c 3 für lle N. Bemerug: Auch we eser 3. Bewes uf ee exlzte Formel für führt st mt zuächst ur ee otwege Egeschft er Folge gezegt. Bewestel st mt cht überflüssg. Aufgbe 3: Gegebe se e stzwlges Dreec ABC mt Umresmttelut O. De Gere BO schee e Umres ochmls D u e Verlägerug er vo A usgehee Höhe schee e Kres E. M bewese ss s Verec BECD u s Dreec ABC e gleche Flächehlt hbe. D" D O C E' H E. Bewes Zerlegugsbewes uter Verweug er Dgole BC: Wr bezeche e Fußut er Höhe vo A uf BC mt H e Fußut es Lotes vo D uf AE mt H '. D s Dreec stzwlg st st H erer ut sowohl vo Strece BC ls uch vo Strece AE. Mt er gleche Begrüug st O erer ut es Dreecs ABC; mt legt H ' zwsche A u H u e Dgole CB verläuft m Ier es Verecs BECD. A H' B Nch Kostruto vo D st er Umres vo Dreec ABC glechzetg Thlesres über DB lso st DCB 9. Dmt stehe DC u AE bee serecht uf BC s lso rllele Sehe m gleche Kres. Se bestze lso ee gemesme Mttelserechte e glechzetg Symmetrechse für s Trez ADCE st. Isbesoere hbe e Strece AH ' u H E gleche Läge; ebeso m 4

5 BWM I Lösugsbesele Rechtec H H 'CD e gegeüberlegee Sete CD u H H '. Nu verschee weter rgumetert were: Vrte : Ds Verec BECD setzt sch us e Dreece DBC u CBE zusmme; für e Flächehlte glt lso we behutet ABC 5 BC 5 BC AH ' H ' H 5 BC H E DC AH BCE BCD BECD. Vrte : Ds Verec ABCD wr re schulüblche Schrtte s flächegleche Dreec ABC umgewelt: Wr verschebe E um H C mt ommt E zu eem ut e wr E' ee. E' legt uf er Gere DC ferer st H CBC lso st BECDBE'D. Nu verschebe wr e Strece DE' um EH mt ommt E' ch C u D zu eem ut e wr D" ee; EH DC st BE'D BCD". Zuletzt verschebe wr D" um CH ; EH u H 'A gleche Läge hbe ommt be D" ch A u D"ABC st BECD BE'D BCD" BCA.. Bewes: Zerlegug uter Verweug es C Umresmttelutes: D s Dreec ABC stzwlg st legt se Umresmttelut O m Ier mt st D ABC BOC AOB COA. Nch Kostruto lege uf emjege Hlbresboge über BD er e ut A cht ethält er ut E E zwsche B u C sowe C zwsche E u D; mt st H O BECD COD EOC BOE. Wr zege e Behutug em wr zege ss e bee Summe e Summe rwese glech s: A B Vrte : D O Mttelut er Strece BD st telt e Strece CO s Dreec BCD zwe flächegleche Dreece COD u BOC uf lso st COD BOC. AE st ee Verlägerug er Höhe uf BC C legt uf em Thlesres über BD lso bestze DC u AE s gemesme Lot BC. Se s lso rllele Sehe m gleche Kres u bestze her ee gemesme Symmetre-Achse bezüglch erer uch e Strece EC u AD symmetrsch lege. Also st EOC DOA mt gbt es ee Drehug um e ut O e s Dreec EOC s Dreec DOA überführt. Letzteres blet zusmme mt em Dreec AOB s Dreec DAB. Deses wr we obe urch e Strece AO zwe flächegleche Dreece ufgetelt lso st EOC AOD AOB. I loger Wese führe wr mt eer Drehug um e ut O s Dreec AOC s Dreec DOE über; u telt e Strece EO s Dreec DBE zwe flächegleche Dreece uf; lso st COA DOE BOE. Vrte : De Rus es Umreses vo Dreec ABC bezeche wr mt r. Mt bete Formel glt : AOB γ Umfgswel über Boge AB 9 H AC Iewelsumme m rechtwlge Dreec H AC 8 EAC Kostruto vo E 8 EOC Umfgswel über Boge CE. Dmt st AOB 5r²s AOB 5r²s8 EOC 5r²s EOC EOC. Ferer st BOC 5r²s BOC 5r²s8 COD 5r²s COD COD. Alog zur erste Überlegug schleße wr COA β Umfgswel über Boge CA 9 BAH Iewelsumme m rechtwlge Dreec BAH 8 BAE Kostruto vo E 8 BOE Umfgswel über Boge BE. Dmt st COA 5r²s COA 5r²s8 BOE 5r²s BOE BOE. Herus folgt sofort e Behutug ABC AOBBOCCOA EOCCODBOEBECD. Bemerug: De Flächeglechhet er betrchtete Dreece m uch ohe Verweug er Susfuto bewese em m se urch e Höhe vo O jewels zwe rechtwlge Telreece zerlegt. Alle ese ver Telreece s ogruet. 5

6 BWM I Lösugsbesele DB' A C' O H C H A' B E 3. Bewes: Zerlegug uter Verweug es Höheschttutes H: D s Dreec ABC stzwlg st legt se Höheschttut H m Ier se Flächehlt st lso e Summe er Flächehlte er Dreece AHB BHC u CHA. D ch Kostruto E zwsche B u C sowe C zwsche E u D legt st er Flächehlt es Verecs BECD e Summe er Flächehlte er Dreece EOC COD u BOE. Wr segel e ute A B u C m Umresmttelut O u erhlte so e ute A' B' u C'. Ntürlch st B' D u lle ute lege ebeflls uf em Umres vo Dreec ABC. Aschleße zege wr ss s Dreec ABC u s Verec BECD bee e hlbe Flächehlt vo Sechsec AC'BA'CB' hbe: Es st CHA'B ese Gere s gemesme Lot AB hbe CH st Höhe m Dreec ABC u B legt uf em Thlesres über AA'; log st BHA'C se s gemesme Lot AC hbe. Dmt st s Verec CHBA' e rllelogrmm s urch e Dgole BC ch betem Lehrstz zwe flächegleche Dreece getelt wr lso st CHBA' BHC. Nch glecher Argumetto m muss ur e ute zylsch umbeee s e Verece AHCD bzw. BHAC' rllelogrmme mt AHCD AHC bzw. BHAC' AHB. Isgesmt st ABC AC'BA'CB'. Nu forme wr s Verec BECD flächeglech um: Es st AE Höhe m Dreec ABC steht lso serecht uf BC glechzetg st E uf em Hlbres über AA' lso steht AE uch serecht uf A'E mth st A'EBC. Dmt hbe e Dreece BCE u BCA' gleche Höhe u Grusete s lso flächeglech. Dmt st BECD BA'CB'. De utsegelug O führt s Verec BA'CD s Verec DAC'B über Urbl u Bl lege uf verscheee Sete er gemesme Sete BD. Dmt st BECD BA'CD AC'BA'CB'. Vrte ls Bewesszze formulert: M efert H ls Schttut vo AE mt er rllele zu AD urch C; AD AB Thles! st uch AH AB. We m. Bewes st zu zege ss BC HE DC BC AH. D AHCD e rllelogrmm st st DC AH u es geügt HH HE zu zege. Ee Betrchtug er Wel be C BCE BAE glecher Boge BE HCB Scheel stehe rwese serecht ergbt ss m Dreec HCE e Höhe CH glechzetg Welhlberee u mt uch Setehlberee st. Des etsrcht gere er Behutug. Bemerug: D s Verec CHBA' e rllelogrmm st hbe e Dreece BHC u CBA' e gleche Höhe u mt uch s Dreec CBE. Ds heßt ber ss CB e Strece HE hlbert. Des oer uch e Geeführug er Vrte führt zu folgeem Lehrstz: Segelt m e Höheschttut eem stzwlge Dreec esse Sete so lege e Segelbler uf em Umres es Dreecs. 4. Bewes über ählche Dreece: Zur Bewesführug S ergäze wr e Fgur urch e scher ußerhlb es C Kreses legee Schttut er Gere DC u BE er wr mt S bezechet. De Dreece ABC DBS u ECS s ählch se gleche Iewel D bestze: A O H B E BDS BAC bee s Wel über em Boge BC 8 CEB gegeüberlegeer Wel m Seheverec ABEC CES Nchbrwel; ferer st ACB AEB bee s Wel über em Boge AB DSB Stufewel e Gere AE DS ESC C uf DS legt. 6

7 BWM I Lösugsbesele Zum Nchwes ss AEDS beütze wr ss ch Kostruto BC AE u ch Thlesstz BC DC lso st BS gemesmes Lot zu DS u AE. Wege er Ählchet öe wr e Flächehlt er Dreece DBS u ECS ls Velfches es Flächehltes es Dreecs ABC rstelle: DBS BS ABC u BC ECS CS ABC. BC Ferer st ch em Stz vo Thles s Dreec BCS be C rechtwlg: Dmt st BS CS BC u es folgt umttelbr e Behutug S legt scher ußerhlb es Verecs BECD!: BECD DBS ECS ABC BS BC ABC CS BC BS CS ABC ABC. BC Bemerug: Zu eem vollstäge Bewes gehört stets ee Dsusso er Lgebezehuge er ezele verweete geometrsche Objete. Z.B. glt e Bezehug ABC BOC AOB COA ur we er ut O m Ier es Dreecs ABC legt. Im Rhme er erste Rue wure s Fehle eer solche Dsusso cht resmer gewertet. Aufgbe 4: M bewese: Be jeer ostve gze Zhl st e Azhl er Teler ere Dezmlrstellug uf oer 9 eet cht leer ls e Azhl er Teler ere Dezmlrstellug uf 3 oer eet. e Alle folgee Aussge über Zffer eer Zhl bezehe sch stets uf ere Drstellug m Zehersystem. I er Bewesführug wähle wr folgee Bezechuge: T se e Mege er Teler vo T xy... e Mege er Teler vo ere Ezffer us {xy...} st t xy... : T xy... se e Mege er rmzhle xy... e Mege erjege rmzhle ere Ezffer us {xy...} st. Ohe Bewes were m Folgee mehrfch e häufg us er Schule bete ber ort uch cht bewesee Sätze gewt : Jee ostve gze Zhl bestzt ee bs uf Rehefolge eeutge rmftorzerlegug bgeürzt: FZ. Dbe see... e er Größe ch georete rmzhle e see chtegtve gze Zhle; mt e für lle ht m mt em leere rout uch er Zhl ee FZ zugewese. Der Exoet e hägt türlch uch vo b es wr zur bessere Lesbret cht extr urch ee Iex gegebe. Bemerug: Aus formulerugstechsche Grüe wure für e Bewese bs 3 e FZ eer Zhl ls uelches rout rgestellt.h. e rout em e oteze ller rmzhle voromme; be hbe fst lle Exoete e e e Wert. Im 4. Bewes wr e elche Drstellug e ur e "echte" rmzhle er FZ verweet.h. her s lle e. gewählt; her were Jeer Teler m er ostve gze Zhl lässt sch mt m wobe e für lle 3... eeutg ls Telrout eser FZ schrebe; u jees solches Telrout er FZ vo st Teler vo. e

8 BWM I Lösugsbesele Umttelbr eschtg s e folgee wetere Hlfssätze: De Ezffer ees routes st e Ezffer es routes er Ezffer er Ftore. Herus ergbt sch umttelbr: 3 Ethält e rout mestes ee Ftor mt eer Ezffer us {; ; 4; 5; 6; 8} so st e Ezffer es routes gere oer 5 lso cht us {; 3; ; 9}. 3' E rout ht lso geu ee Ezffer us {; 3; ; 9} we lle Ftore ee Ezffer us {; 3; ; 9} hbe oer we es s leere rout st. We ee efche Multltostbelle zegt glt schärfer: 4 E rout us Ftore mt Ezffer us {; 3; ; 9} ht geu ee Ezffer us {3} we e Azhl er Ftore mt Ezffer us {3; } ugere st; sost st e Ezffer us {9}. Der Fll es leere routes mt Ezffer st her ethlte.. Bewes vollstäge Iuto ch : Iutosfg: Für st offebr T 9 {} u T 3 {}. Dmt st mt t 9 t 3 e Aussge rchtg. Iutoshme: Für e bestmmtes se t 9 t 3 für lle. Iutosschluss: Be er Utersuchug vo uterschee wr zwe Fälle: Fll : De FZ ethält weger ls zwe rmftore mt ostvem Exoete. e Es st lso ee ree rmzhlotez. h. e für e geegetes u e geegetes en; st sogr e. D st T {... e }. We chfolgee Flluterscheug zegt st ch Hlfsstz 3 u 4 stets t 9 e t 3 e : Fll Ezffer vo st us {5}: Für lle u en st T 9 e {} u T 3 e {} lso mt t 9 e t 3 e e Aussge rchtg. Fll Ezffer vo st us {9}: D st jeer Teler e rout vo esse Ftore eer ee Ezffer us {3} ht. Dmt st e Ezffer jees Telers us {9} u mt t 9 e e t 3 e e Aussge rchtg. Fll Ezffer vo st us {3}: De Ezffer vo e st für gere e lso für e 4... us {9}; für ugere e lso e us {3}. Durch efches Abzähle folgt für ugere e e Bezehug t 9 e t 3 e für gere e folgt t 9 e t 3 e bee Fälle lso t 9 e t 3 e. Wetere rmzhle gbt es cht e Flluterscheug st mt bgeschlosse. Fll : De FZ ethält mestes zwe rmftore mt ostvem Exoete. e E solcher rmftor se. Wr slte e zugehörge rmzhlotez er FZ vo b e e schrebe lso e e r s mt r : u s : ls rout zweer telerfremer Zhle. D ußer e och e weteres e ostv st st < r < u < s <. Alog schrebe wr u jee Teler m vo ls rout: m r' s' mt ': r u s' :. Aus er Eeutget er FZ folgt sofort ss r' Teler vo r u s' Teler vo s st u ss zu jeem solche m geu e solches r r' s' gehört; umgeehrt führt uch jees rout vo Teler vo r bzw. s zu eem Teler vo. Dmt st T {r's' r' st Teler vo r u s' st Teler vo s } u ch em Zählrz zusätzlch: T TrTs. 8

9 BWM I Lösugsbesele Nch Hlfsstz 4 ht be m geu e Ezffer us {9} we bee Ftore r' u s' Ezffer us {9} hbe oer we bee Ftore r' u s' Ezffer us {3} hbe. m ht geu Ezffer us {3} we eer er bee Ftore r' u s' Ezffer us {9} u er ere Ezffer us {3} ht. Also glt ch em Zählrz t 9 t 9 r t 9 s t 3 r t 3 s u t 3 t 9 r t 3 s t 3 r t 9 s. D r < u s < glt für bee Zhle e Iutoshme. Es st lso t 9 r t 3 r u t 9 s t 3 s. Nu lässt sch e Behutug lecht chwese: t 9 t 3 t 9 r t 9 s t 3 r t 3 s [ t 9 r t 3 s t 3 r t 9 s ] t 9 r [t 9 s t 3 r] t 3 r [ t 3 s t 9 s ] [t 9 r t 3 r] [t 9 s t 3 s] ch Vorussetzug bee Ftore cht egtv s.. Bewes vollstäge Iuto ch er Azhl r verscheeer rmzhloteze mt ostvem Exoete er FZ vo : Deser Bewes verläuft letztlch glech we er erste Bewes: De m Iutosschrtt hzuommee r-te rmzhlotez wr ls egeer Ftor bgeslte. Dbe lässt sch evtl. ürzer rgumetere wel m ret mt er Ezffer er hzuommee rmzhl rgumetere. e 3. Bewes: Für st ch er eletee Bemerug T 39 e Ds rout eser Megeefto slte wr uf zwe route: s erste rout ethält lle oteze vo rmzhle mt Ezffer 3 oer s zwete lle solche mt Ezffer oer 9; ere rmzhle gbt es wege es Ausschlusses vo u 5 cht. Glechzetg schrebe wr etws ürzer em wr e Beguge e cht mehr exlzt führe u e Zählzes weglsse: T Dese Mege zerlege wr sjute Telmege vo ee jee etweer gz T 9 oer gz T 3 ethlte st. Aschleße zege wr e Behutug em wr ere Mächtgete vergleche. Fll : I er FZ vo ht mestes ee rmzhl us 3 ee ugere Exoete. De zugehörge rmzhl ee wr es st lso e. De zugehörge rmzhlotez slte wr b u zerlege weter ver Telmege e wr etsreche hrer Kostruto mt T gg T uu T gu u T ug bezeche: 9

10 BWM I Lösugsbesele T gere u gere ugere u ugere ugere u gere gere u ugere Offeschtlch ommt jeer Teler us T 39 geu eer eser ver Telmege vor; mt T gg T uu T gu u T ug st lso ttsächlch ee Zerlegug vo T 39 gegebe. I jeem rout us T gg bzw. T uu st ch Kostruto 3 lso e Summe er Exoete er rmftore mt Ezffer 3 oer ls Summe zweer gerer bzw. ugerer Zhle weer gere. Dmt st ch Hlfsstz 4 T gg T 9 u uch T uu T 9 ; mt glecher Argumetto glt T gu T 3 u T ug T 3. Dmt st T 9 T gg T uu.u T 3 T gu T ug. Aerersets ethlte es be ugerem e er Mege {...e } glech vele gere we ugere Zhle gbt T gg u T ug glech vele Elemete ebeso T gu u T uu. Herus folgt schärfer ls behutet: T 9 T gg T uu T gu T ug T 3. Fll : I er FZ vo ht jee rmzhl us 3 ee gere Exoete. M bechte ss her er Fll ethlte st. Ählch we Fll zerlege wr T 39 jetzt llergs füf Telmege. Dbe ethält e erste Telmege se se mt T Null bezechet lle solche Teler us T 39 ere FZ ee rmzhl us 3 voromme.h. ere FZ lle rmzhle us 3 e Exoete Null hbe; ch Hlfsstz 4 hbe lle ese Teler Ezffer oer 9. I e ere ver Telmege omme lle ere Teler.h. ejege ere FZ wegstes ee rmzhl us 3 mt ostvem Exoete vorommt flls ee solche rmzhl exstert blebe ese Telmege efch leer. De leste eser rmzhle bezeche wr e mt ; ee wetere Auftelug we Fll ergbt T 39 9 gere u gere ugere u ugere ugere u gere gere u ugere

11 BWM I Lösugsbesele Be gerem e gbt es er Mege {...e } glech vele gere we ugere Zhle; mt öe wr glecher Wese we Fll e Behutug us Hlfsstz 4 schleße be se e erste Mege mt T Null bezechet: T 9 T Null T gg T uu T Null T gu T ug T Null T 3 T Bewes ret ch eer Iee es Telehmers Johes Gerberg: Wr efere e Hlfsfuto f : N { } f x : flls x flls x e Ezffer e Ezffer oer ht sost.h. flls x e Ezffer 3 oer 9 ht oer 8 ht e Behutug t 9 t 3 st äquvlet zu f t. t Dese Hlfsfuto ht folgee Egeschfte: 5 f b f f b für lle bn; es folgt sofort us Vorbemerug 4. α 6 f f f... f für lle αn; uch es st ch eer urze Flluterscheug schell eschtg: α α Mt 5 glt f f f... f f f... f ; flls f ht ese Summe offeschtlch e Wert α ; flls f ht e Summe e Wert ; flls f st f β für ugere β u f β für gere β e Summe ht lso für ugere α e Wert u für gere α e Wert. Zum egetlche Bewes betrchte wr zur FZ vo e f f f... f e s rout. Der Fll st herbe z.b. mt e ethlte. Nch 6 st e Ftor eses routes egtv mt st s rout selbst ebeflls cht egtv. E efches Ausmultlzere ergbt e Behutug: e f f f... f e e f f f... f f f f... f e... f f f... f... f f... f f... f t. t D bem Ausmultlzere jee Kombto vo Gleer er ezele Klmmer geu eml vorommt tucht e bee Summe jee möglche Kombto... mt e... geu eml uf mt erhält m ttsächlch jee Teler vo geu eml.

12 BWM I Lösugsbesele Bemerug : De Bewese ermöglche folgee qutttve Aussge über t 9 u t 3 : t 9 t 3 t t f De FZ vo ethält mestes ee rmftor us 3 mt ugerem Exoete. Zusätzlch glt t 9 t 3 5 e. t 9 t 3 t t f jeer rmftor us 3 er FZ vo ht ee gere Exoete. Zusätzlch glt t e e sowe t e e. Bemerug : De Argumetto m 4. Bewes st e gleche mt er Euler Telsumme er hrmosche Rehe lso N urch s rout N bschätzt: Se e N ee FZ vo N wr setze be cht vorus ss ese eeutg st wobe e Drstellug so gewählt se ss {... } e Mege ller rmzhle us {... N} bezeche. Jee ostve gze Zhl N ht ee cht otwegerwese eeutge FZ er Form er e gleche rmftore... voromme u er u N.... Nu betrchtet m lle möglche route vo rmzhloteze T ; jees eser route st be eeutg beschrebe urch e -tuel T :... mt N u N. Uter ese route ommt jee Zhl us {... N} mestes eml vor. D m bschätze u mt er Summeformel für e geometrsche Rehe umforme: T T T N } mx{... < N } mx{ Aus eser Abschätzug folgt z.b. wege er Dvergez er hrmosche Rehe sofort ss es uelch vele rmzhle gbt; e Abschätzug uch beützt were um e Azhl er rmzhle bs zu eer bestmmte Zhl N bzuschätze.