Potenzmenge (power set) FB Technologie und Management. Kartesisches Produkt. Kartesisches Produkt (product set, cartesian product)

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Stefanie Kerner
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1 F echologie ud aagemet Potezmege (power set) Defiitio 3: Die Potezmege P() eier ege ist die Gesamtheit aller eilmege vo. Die leere ege ist immer ei Elemet der Potezmege eispiel. ei = {a, b, c}. Da ist Dateverarbeitug 1 (Kapitel 3 ege) P() = {Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} atz 1: Hat eie ege Elemete, so hat ihre Potezmege 2 Elemete. Defiitio: Die zahl der Elemete eier ege heißt. Für ={0,1} ist P() = {Ø,{0},{1},{0,1}} eie ege mit 4 eilmege (Elemete). Für = {1,2,3} ist P() = {Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} eie ege mit 2 3 = 8 eilmege (Elemete). a sagt auch: Die ege hat die Kardialität Kartesisches Produkt (product set, cartesia product) Defiitio 5: Es seie ud zwei ege. Das kartesische Produkt x vo ud ist die ege aller geordete Paare (s, t) mit s ud t, also x = {(s, t) s ud t } eispiel. Ist = {1, 2, 3} ud = {2, 3}, da ist x ={(1, 2),(1, 3),(2, 2),(2, 3), (3,2),(3,3)} ud x ={(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3,1),(3,2),(3, 3)} Kartesisches Produkt, Kreuzprodukt, egeprodukt, Produktmege, bei de ege ud die ege x (gelese kreuz ) aller geordete Paare (a,b) mit a " ud b ". Kartesisches Produkt eispiel. Es seie ud die folgede ege reeller Zahle: Da ist = {x x reell, 0 x 1} ud = {y y reell, 0 y 2} x = {(x, y) 0 x 1, 0 y 2} We ma ud als Itervalle auffaßt, da ist ihr kartesisches Produkt das echteck, desse Eckpukte i eiem kartesische Koordiatesystem die Koordiate (0,0), (1,0), (1,2), (0,2) habe. llgemeier ist die Ebee i diesem ie das kartesische Produkt zweier Gerade. x 3 4

Komplemetbildug Descartes, eé Descartes [de'kart], eé, latiisiert eatus Cartesius, frz. Philosoph, athematiker ud Naturwisseschaftler, *La Haye (heute La Haye-Descartes, ouraie) 31. 3. 1596, tockholm 11.

2 Komplemetbildug Descartes, eé Descartes [de'kart], eé, latiisiert eatus Cartesius, frz. Philosoph, athematiker ud Naturwisseschaftler, *La Haye (heute La Haye-Descartes, ouraie) , tockholm us altem delsgeschlecht stammed, wurde D am damals reomierte Jesuitekolleg i La Fleche i der scholast. Philosophie ud Naturwisseschaft ausgebildet; daach tudium der echte i Poitiers (bis 1616), seit 1618 Kriegsdieste i de rmee OIz' vo Nassau ud des Kurfürste XIILIN vo ayer; seie mathemat. ud physikal. Fragestelluge wurde wesetlich ageregt durch die egegug mit J. EEKNN (1618/19). Es folgte eise durch Europa ud ei ufethalt i Paris. D. emigrierte 1629 ach Hollad, widmete sich dort wisseschaftl. tudie, verfaßte de größte eil seier mathemat., physikal., medizi. ud metaphysisch-philosoph. Werke ud pflegte Kotakte zu viele Wisseschaftler seier Zeit, v. a. zu. EENNE. Im Herbst 1649 folgte er eier Eiladug der Köigi CHIINE ach tockholm, wo er vier oate später verstarb. Das Wort Komplemet leitet sich aus dem lateiische ab; complemetum = Ergäzug. I der egelehre werde die egriffe Komplemetärmege, Komplemet, Ergäzugsmege verwedet. ls Komplemetärmege eier eilmege vo der Grudmege G bezeichet ma die Differezmege G -, d.h. die ege aller Elemete vo G, die icht zu gehöre. a bezeichet da die Komplemetärmege als (sprich: > quer<) Dabei ist eie echte Utermege vo G Das Komplemet zu wird bezüglich der ege G gebildet. G 5 oolesche lgebra der eilmege 6 Vereiigug der ege ud " ( # ) = ( " ) # ( " ) Darstellug durch eie Formel ( " ) " ( # ) ( " ) # ( " ) " = + # $ Veraschaulichug mit Ve-Diagramm ( " ) " ( " ) Im Durchschitt für " werde die Elemete zweimal gezählt, daher muss der Wert eimal subtrahiert werde. 7 8

3 Vereiigug dreier ege, ud b drei ud mehr ege geht das mit Ve-Diagramme, wird aber sehr uübersichtlich " " " " = + + # $ # $ # $ + $ $ Vereiigug dreier ege, ud lgebraische Lösug X " = X + # X $ X = " " " = " + # ( " ) $ " " = + # $ + # ( $ ) " ( $ ) { } " " = + + # $ # $ + $ # $ $ $ " " = + + # $ # $ # $ + $ $ a geht davo aus, dass das Ergebis für zwei ege bekat ist ud substituiert. Es fällt auf, dass i der letzte Zeile alle zugehörige eilmege der Potezmege vo, ud verwedet werde; außer der Ø-ege dere Kardialität aber 0 ist ud die daher keie Eifluss auf das Ergebis hat Vergleich verschiedeer lgebre oolesche lgebra (xiomesystem vo Hutigto) Name der lgebra chaltalgebra lgebra der ussage egealgebra Elemete der lgebra chaltvariable (zweiertige Variable) ussage eilmege eier gegebee ege eeug ud dditio + Disjuktio " Vereiigug # ezeichug ultiplikatio Kojuktio Durchschitt der. & $ Verküpfuge Komplemetierug Negatio ildug der komplemetäre ege Vereiigug der ege,, C ud D lgebraische Lösug Für zwei ege gilt: Gesucht wird: Wir substituiere : Ud erhalte : X "Y = X + Y # X $Y " " C " D X = " Y = C " D ( " ) " ( C " D) = ( " ) + ( C " D) # ( " ) $ ( C " D) ( " ) " ( C " D) = + # + C + D # CD # C " D" C " D 11 12

4 Vereiigug der ege,, C ud D lgebraische Lösug etrachtug des eilausdrucks : C " D" C " D = ( C " D) " ( C " D) = ( C " D) + ( C " D) # ( C " D) $ ( C " D) = C + D # CD + C + D # CD # ( C " CD" CD" D) = C + D # CD + C + D # CD # ( C " CD" D) = C + D # CD + C + D # CD # ( C " D) " CD = C + D # CD + C + D # CD # ( C " D) + CD # CD( C " D) = C + D # CD + C + D # CD # C + D # CD + CD # CD" CD = C + D # CD + C + D # CD # C + D # CD + CD # CD = C + D # CD + C + D # CD # C + D # CD = C + D # CD + C + D # CD # C # D + CD = C + D + C + D # CD # CD # C # D + CD Vereiigug der ege,, C ud D lgebraische Lösug Ud erhalte : ( " ) " ( C " D) = + # + C + D # CD # C + D + C + D # CD # CD # C # D + CD = + # + C + D # CD # C # D # C # D + CD + CD + C + D # CD = + + C + D # # CD # C # D # C # D + CD + CD + C + D # CD Es fällt auf, dass i der letzte Zeile alle zugehörige eilmege der Potezmege vo {,, C, D} verwedet werde; außer der Ø-ege dere Kardialität aber 0 ist ud die daher keie Eifluss auf das Ergebis hat. Zusamme mit de vorhergehede eispiele besteht u die Vermutug, dass immer da, we der Durchschitt eier geradzahlige zahl vo ege gebildet wird das Vorzeiche egativ ist atz vo de orga " " = # atz vo de orga " = # " " 15 16

5 Verallgemeierug der ätze vo De orga Wir gehe davo aus, dass die Gültigkeit der ätze vo de orga für je zwei ege gezeigt wurde. " = # = C " D " C " D = # C " D C " D = C # D " C " D = # C # D Dies sei gegebe. Wir substituiere für de Durchschitt vo C ud D ud wede darauf wieder die ursprügliche Formel a. Dies lässt sich sigemäß beliebig fortsetzte. Verallgemeierug der ätze vo De orga Wir gehe davo aus, dass die Gültigkeit der ätze vo de orga für je zwei ege gezeigt wurde. " = # = C " D " C " D = # C " D C " D = C # D " C " D = # C # D Dies sei gegebe. Wir substituiere für die Vereiigug vo C ud D ud wede darauf wieder die ursprügliche Formel a. Dies lässt sich sigemäß beliebig fortsetzte. Das verallgemeierte Gesetz lautet also: i = U I i Das verallgemeierte Gesetz lautet also: i = I U i Differez - " = # Differez - " = # 19 20

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Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach! Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud