Vorbemerkung. 1 Vom Sehen reeller und virtueller Bilder. Lutz Schön. (aus: DPG (Hrsg.). Didaktik der Physik Vortrag auf der Tagung in Jena 1996.

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1 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel 1 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel Lutz Schön Universität Osnrück (us: DPG (Hrsg.). Didktik der Physik Vortrg uf der Tgung in Jen 1996.) Voremerkung Im Vortrg wurde ein einfches Verfhren vorgestellt, mit dessen Hilfe die Form von gekrümmten Spiegeln estimmt wird, die vorher festgelegte optische Eigenschften hen sollen. Im vorliegenden Beitrg wird die Ausgngssitution eschrieen und die physiklische Begründung für ds vorgestellte Kontruktionsverfhren erläutert. 1 Vom Sehen reeller und virtueller Bilder Wenn wir unsere Augen öffnen, schuen wir vielleicht us dem Fenster und sehen üer eine Stdt hinweg uf ewldete Hügel. Dort, wo diese nicht sichtr sind, werden sie von einem Vordergrund verdeckt, vielleicht von einem Fensterkreuz. In diesem Pnorm git es keine Stelle, die nicht mit Sichinhlt gefüllt wäre. Kein linder Fleck stört die Sicht, owohl ein solcher uf der Netzhut vorhnden ist 1. Der Sehinhlt korrespondiert mit unserer Erfhrung ei der Bewegung im Rum: Wir können zu vielen sichtren Ojekten hingehen und ihre Anordnung durch Aschreiten usmessen; wir erühren die Dinge und spüren eispielsweise deren Oerflächeneschffenheit. Eener Spiegel Auch der Blick in den eenen Spiegel zeigt uns eine wohleknnte Welt, in der wir uns gut uskennen, denn die Anordnung der im Spiegel gesehenen Ojekte entspricht der Anordnung der Ojekte vor dem Spiegel, lediglich der Drehsinn ist verändert 2. Bei gut geputzten Spiegeln knn mn diese Spiegelwelt für die wirkliche hlten. Es git jedoch einen grundsätzlichen Unterschied: Wir sehen im Spiegel etws, ds wir nicht greifen können, und ei dem Versuch, es dennoch zu tun, stoßen wir uns n der Oerfläche des Spiegels. Nur Alice 3 knn in die 1 Ds Bild, ds die Augenlinse uf die Netzhut entwirft, fällt im Bereich des sog. Blinden Fleckes uf ein Netzhutgeiet ohne Sehzellen (Stächen oder Zpfen). Eigentlich könnte mn erwrten, dss n dieser Stelle Sehinhlt fehlt. Die nchgeschltete Signlereitung im Gehirn ergänzt diese Lücke. 2 Die vom Betrchter whrgenommene Links-Rechts-Vertuschung ist die Folge der Veränderung des Drehsinnes in der Spiegelwelt. Die Umkehrung des Drehsinnes ist wiederum eine Folge der Umkehrung der Richtungen senkrecht zur Spiegeloerfläche. 3 Alice wr nicht nur im Wunderlnd, sondern uch hinter den Spiegeln, so der Titel des etws weniger eknnten meriknischen Märchens.

2 2 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel Spiegelwelt gelngen und sich dort frei ewegen und die Dinge erühren. Für uns gilt dgegen: Die Spiegelwelt ist keine Tstwelt, sie ist nur Sehwelt [BM89]. Wölspiegel Der Rückspiegel im Auto gehört sicherlich zu den m meisten genutzten Spiegeln. Wir hen uns so sehr n ihn gewöhnt, dss wir kum noch emerken, dss er ein verändertes Bild der Welt zeigt: Alle Dinge dieser Spiegelwelt sind kleiner ls die Dinge vor dem Spiegel, uch die Astände zwischen ihnen sind geschrumpft. Je stärker die spiegelnde Fläche gekrümmt ist, desto kleiner werden die Spiegeldinge und desto mehr der wirklichen Welt ist in dem Spiegel zu sehen. Die verspiegelte Christumkugel zeigt (fst) die gnze Welt, und der Beochter sieht sich im Mittelpunkt (Aildung 1). Hohlspiegel Der Hohlspiegel zeigt uns dgegen eine veränderte Welt, die je nch Beochtungsort nders usschut: Im Nhereich sehen wir uns selst (und ndere nhe Dinge) vergrößert, us der Ferne eochtet, stehen wir Kopf und erscheinen verkleinert. Wenn wir eine rennende Kerze, lso einen leuchtenden Aildung 1: Hnd mit spiegelnder Kugel (M.C.Escher 1935) Gegenstnd vor den Hohlspiegel stellen, können wir einen Ort finden, n dem ein kopfstehendes und seitenverkehrtes Bild der Kerze uf einem Schirm ufgefngen werden knn 4. Genu n dieser Stelle knn ein n geeignetem Ort stehender Beochter ds Bild der kopfstehendseitenverkehrten Kerze uch ohne Schirm sehen. In sehr verkürzter Form wurde hier ds eschrieen, ws die Physiker ls virtuelle und reelle Bilder ezeichnen. Wenn mn jedoch nichts von der Konstruktion der Bilder weiß und sich nur uf ds Gesehene stützt, wird mn den Unterschied zwischen diesen eiden Bildrten 4 Diese Aussge gilt selstverständlich nicht nur für leuchtende Ojekte, sondern für lle Gegenstände; helle Ojekte sind jedoch esser uf einem Schirm sichtr zu mchen.

3 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel 3 kum emerken. Der unelstete Beochter sieht entweder Gegenstände oder deren Bilder im Spiegel, und eide sind sich oft sehr ähnlich. 2 Optische Eigenschften von Gegenstnd und Bild Wenn Gegenstnd und Bild für den Beochter (fst) nicht zu unterscheiden sind, müssen diese identische optische Eigenschften hen. Bevor wir eine uf ds Fermt-Prinzip gestützte Formulierung dieser gemeinsmen Eigenschften vorstellen, sollen dem Leser die in der Schulphysik ülichen Bildedingungen in Erinnerung gercht werden. Strhlenoptik In der Strhlenoptik gehen von jedem Gegenstndspunkt rdil verlufende Strhlen us. Im reellen Bildpunkt schneiden sich die von einem Gegenstndspunkt kommenden Strhlen wieder und verlufen in einem egrenzten Rumwinkelereich rdil weiter. Kommen divergentrdil verlufende Strhlen weder von einem Gegenstnds-, noch von einem reellen Bildpunkt zum Auge eines Beochters, so ezeichnet mn den Ursprung dieser Strhlen ls virtuellen Bildpunkt. Wellenoptik Von jedem Gegenstnd geht (in Rum und Zeit) ein typisches divergierendes Wellenfeld us, ds von Kugelwellen geildet wird, die von jedem Gegenstndspunkt usgehen (Huygenssches Prinzip). Ist die Lufrichtung eines solchen Wellenfeldes umgekehrt, konvergiert es lso, so entsteht ein reelles Bild m Ort der kleinsten Ausdehnung dieses Wellenfeldes; nschließend divergiert es wieder. Erreicht den Beochter ein divergierendes Wellenfeld, dessen Ursprung nicht ein Gegenstnd ist, so wird jener ls virtuelles Bild ezeichnet. Fermt-Prinzip Ds Fermt-Prinzip verknüpft Gegenstndspunkt und Beochter durch die Bedingung, dss ds Licht zwischen ihnen den schnellsten zw. optisch kürzesten Weg nimmt 5. Wird dersele Gegenstndspunkt von mehreren Beochtern us unterschiedlichen Entfernungen gesehen, so sind die Lichtwege unterschiedlich lng. Die Informtion üer den momentnen Zustnd des Gegenstndes erreicht solche Beochter lso zu verschiedenen Zeitpunkten 6. Nur die Beochter, die gleichweit vom Gegenstndspunkt entfernt sind, erhlten gleichzeitig exkt diesele 5 Wir gehen hier dvon us, dss sich zwischen Ojekt und Beochter ein homogenes Medium efindet. 6 Wegen der sehr großen Lichtgeschwindigkeit wird die unterschiedliche Lufzeit des Lichtes nicht eochtr sein. Erst ei stronomischen Entfernungen knn sie eine Rolle spielen.

4 4 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel Informtion üer dessen (Rum/Zeit-)Zustnd. Solche Beochter müssen sich i.. uf einem Kreis um den Gegenstndspunkt efinden 7 : Die gennnte Bedingung muss in gleicher Weise für jeden Bildpunkt gelten, für reelle eenso wie für virtuelle. Am Beispiel der Schllusreitung knn der Gehlt dieser Aussge deutlich gemcht werden: Wenn zwei Hörer gleichzeitig eine kustische Informtion ufnehmen sollen, müssen sie gleich weit von der Schllquelle entfernt sein. Und wenn umgekehrt zwei Lutsprecher einen Hörer eschllen sollen, müssen eide denselen Astnd von ihm hen, dmit er eine korrekte, lso phsenrichtige Informtion erhält. Nicht nur dnn, wenn ds Fermt-Prinzip ereits im Unterricht ehndelt worden ist, sollte es mit Hilfe solcher und ähnlicher Beispiele möglich sein, die gennnte Bedingung in der folgenden Formulierung plusiel zu mchen: Sind die Beochter gleichweit von einem Gegenstnd entfernt, efinden sie sich lso eispielsweise uf einem Kreis zw. Kreisusschnitt um den Gegenstnd, dnn sehen sie ihn stets im selen (räumlichen und zeitlichen) Zustnd. Für Bilder gilt ds gleiche: Wir sprechen dnn von einem Bild, wenn es einen Kreis zw. Kreisusschnitt git, von dem us ds Bild gleichzeitig im selen Zustnd gesehen werden knn. 3 Die Fdenkonstruktion Wenn ds Licht uf dem Weg vom Ojekt zum Beochter m Spiegel seine Richtung ändert, muss die gennnte Bedingung weiterhin gelten: Nur solche Beochter können ds Ojekt im selen Zustnd whrnehmen, die gleichweit vom Ojekt entfernt sind. Beim Blick in den Spiegel müssen lso zwei Bedingungen zugleich erfüllt sein: 1. Bildpunkt A ist Mittelpunkt eines Kreises zw. Kreisusschnittes mit Rdius r, von dem us lle Beochter Punkt A (gleichzeitig) sehen können. 2. Die Länge des Lichtweges von Gegenstndpunkt A üer den Spiegel zum Beochter muss für lle Beochter uf dem Kreis gleichlng sein. Diese Bedingung lässt sich durch eine Fdenkonstruktion relisieren, mit der zugleich die Form des Spiegels gezeichnet werden knn (Aildung 2 uf der nächsten Seite): Etw in der Mitte erhält der Fden eine Knoten, der den Beochterpunkt P mrkiert. Ds eine Ende des Fdens wird im Gegenstndspunkt A, ds ndere im Bildpunkt A efestigt. Ds ei A efestigte Fdenstück wird m Knoten (Punkt P ) strff gehlten. Ds ndere, ei A efestigte Fdenstück wird mit einem Bleistift so gespnnt, dss die Bleistiftspitze m nderen 7 Streng genommen muss diese Bedingung für jeden einzelnen Punkt des Ojektes erfüllt sein.

5 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel 5 Aildung 2: Konstruktion der Spiegelform Fdenstück nliegt (Punkt C). Unter Beiehltung dieser Bedingungen werden Knoten und Bleistift ewegt: Der Knoten mcht einen Kreis um den Bildpunkt, und der Bleistift zeichnet eine Kurve, deren Form von dem Längenverhältnis der Fdenstücke hängt. Wenn die eiden Fdenstücke gleichlng sind, zeichnet der Bleistift eine gerde Linie. Wir erhlten dei einen eenen Spiegel, ei welchem Gegenstndspunkt A und Bildpunkt A genu gleich weit von der spiegelnden Fläche entfernt sind (Aildung 3 ()). Ist ds gegenstndsseitige Fdenstück etws länger ls ds ildseitige, zeichnet der Stift eine Hyperel, es ergit sich lso ein Wölspiegel (Aildung 3 ()). Ist umgekehrt ds ildseitige Stück länger ls ds gegenstndsseitige, zeichnet der Stift den offenen Ast einer Hyperel, es entsteht ein Hohlspiegel (Aildung 3 (c)). Wenn ds gegenstndsseitige Fdenstück viel länger ist ls ds ildseitige, zeichnet der Stift einen Hohlspiegel, der jenseits von Bildpunkt A liegt. Dieser Hohlspiegel ist keine Hyperel, sondern ein Ellipsenusschnitt (Aildung 3 (d)). 3.1 Experimentelle Prüfung Anders ls ei den isher gezeichneten Spiegeln liegt ei dem letzten der Bildpunkt A vor dem Spiegel, und lle Lichtwege von A üer den Spiegel kreuzen sich dort. Mit Hilfe eines iegsmen Kunststoffspiegels knn mn diesen Ellipsenspiegel nchformen. Wenn m Punkt A eine rennende Kerze ufgestellt wird, erscheint uf dem (kleinen) Schirm ei Punkt A eine helle Linie; wäre der Spiegel in zwei Dimensionen, lso ls Ellipsoid gekrümmt, würde ei A ds Bild der Kerze zu sehen sein 8 [Er95]. 8 Selstverständlich lssen sich mit dem Kunststoffspiegel uch die nderen Spiegelformen ilden. Auf diese Weise können die Spiegelilder etrchtet werden. Es entstehen sicht- und erkennre Bilder, lso gilt die Konstruktion nicht nur für den Punkt A, sondern näherungsweise uch für dessen nähere Umgeung.

6 6 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel Voruss.: = P r S A C r +(r ) = +(r ) = eener Spiegel A Voruss.: > A P r r C +(r ) = +(r ) = const. > 0 A Hyperel S () Eener Spiegel () Wölspiegel Voruss.: < r P A C S r +(r ) = +(r ) = const. < 0 Hyperel A A Voruss.: > AA P r A ++r = ++r + = const. > 0 Ellipse S C (c) Hohlspiegel (virtuelles Bild) (d) Hohlspiegel (reelles Bild) Aildung 3: Konstruktion verschiedener Spiegelformen Ds vorgestellte Verfhren ist nicht nur geeignet, ei gegeenem Astnd von Gegenstnd und Bild die geeignete Spiegelform zu estimmen, sondern es knn uch ei gegeenem Spiegel der Bildpunkt zeichnerisch gefunden werden. Wenn der Hyperel- zw. Ellipsenspiegel durch einen sphärischen Spiegel, dessen Rdius gleich dem Rdius des Scheitelkreises ist, ersetzt wird, knn durch eine einfche Konstruktion die Größe des Spiegelildes und seine Orientierung (kopfstehend oder ufrecht) estimmt werden. Eine usführlichere Drstellung der Möglichkeiten dieser Bildkonstruktion ist eine späteren Puliktion vorehlten. Die Fdenkonstruktion knn durch einen einfchen Hyperelzirkel usgeführt werden, wie er in Aildung 4 uf der nächsten Seite skizziert ist.

7 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel 7 Aildung 4: Ein einfcher Hyperzirkel 4 Ein Vorschlg für den Physikunterricht? In diesem Beitrg soll zunächst nur deutlich gemcht werden, dss sich us der Anlyse des Sehens die Bedingungen für die Form von Spiegel ergeen, und zwr ohne ds Reflexionsgesetz voruszusetzen. Ähnliche Betrchtungen, die sich letztlich uf ds Fermt-Prinzip stützen, hen [Er94] und [Rie95] für die Konstruktion von Linsen ngestellt. Es ist dmit noch nicht der Anspruch verunden, solche Spiegel- und Bildkonstruktionen in der vorgestellten Weise im Physikunterricht zu ehndeln. Hierzu edrf es gründlicher Klärung der notwendigen Vorussetzungen und der möglichen Konsequenzen für die weitere Vorgehensweise in der Optik.

8 8 Die Fdenkonstruktion gekrümmter Spiegel Litertur [BM89] Buck, P. ; v. Mckensen, M.: Nturphänomene erleend verstehen. Köln : Aulis, 1989 [Er94] Er, R.: Optik mit Lichtwegen Ds Fermt-Prinzip ls Grundlge für ds Verstehen der Optik. Bochum, Mgdeurg : Westrp-Wissenschften, Disserttion [Er95] Er, R.: Curved Mirrors. In: Physics Eduction 30 (1995), S [Rie95] Riede, H.: Üer die Form von Konvexlinsen. In: MNU 48/7 (1995), S