2 Numerische Methode. 2.1 Erhaltungssätze der Fluiddynamik

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1 Numershe Mehode 5 Numershe Mehode. Erhalungssäze der Fluddynamk De Fluddynamk beass sh m der Beshrebung des makroskopshen Verhalens von Srömungen n Fluden, das durh de makroskopshen Größen der Dhe, des Drukes und der Geshwndgke harakerser wrd. Mahemash wrd deses Verhalen üblherwese durh de au der makroskopshen Ebene ormuleren Erhalungssäze von Masse und Impuls beshreben. De Glehung ür de Massenerhalung, de auh als Konnuäsglehung bezehne wrd, laue ρ + ( ρu) = 0. (.) De Impulserhalungsglehung oder Naver-Sokes-Glehung kann ohne äußere Kräe und uner Vernahlässgung der Volumenvskosä we olg geshreben werden worn ür den Spannungsensor ρu + ( ρuu + pi ) = τ, (.) T τ = η u + ( u ) ui (.) gl und der Proporonaläsakor η dynamshe Vskosä heß. Deses Glehungssysem beseh aus ver Glehungen und ün Unbekannen. De zur Lösung des Glehungssysems benöge üne Glehung s de hermshe Zusandsglehung, de den Zusammenhang zwshen Druk und Dhe beshreb. De hermshe Zusandsglehung des dealen Gases laue s worn s de soherme Shallgeshwndgke p = ρ, (.4) = s kt m T (.5) s.

2 6 Numershe Mehode. Lae-Bolzmann-Verahren.. Lae-Bolzmann-Glehung Enen alernaven Ansaz zu der numershen Lösung der au der makroskopshen Ebene ormuleren Erhalungsglehungen (.) und (.) sell das Lae-Bolzmann-Verahren dar, das das Verhalen von Fluden au molekularer Ebene beshreb. De Lae-Bolzmann- Glehung s ene spezelle ne Derenzenorm der Bolzmann-Glehung [76], wobe neben Or und Ze auh der Geshwndgkesraum dskreser wrd. Vorele des Lae- Bolzmann-Verahrens snd sene numershe Ezenz durh sene Enahhe und den lokalen Charaker der Modellglehungen und de dreke Berehnung der au Wände, Hndernsse oder rkel wrkenden Kräe durh de Impulsänderung der Fludelhen be Sößen au ene ese Oberlähe. De Anwendbarke des Lae-Bolzmann-Verahrens ür de Smulaon von Suspensonen wurde z.b. von Ladd [98], Adun e al. [] und Q [5] demonsrer. Se smuleren de Durhsrömung von Kugelpakungen [98], de Sedmenaon von rkeln [,5] und de Roaon von rkeln n Shersrömungen [] und erhelen ene sehr gue Überensmmung m Ergebnssen anderer numersher Mehoden, m analyshen Ergebnssen und m expermenellen Weren. De grundlegende Größe n der Bolzmann-Sask s de Verelungsunkon ( x, ξ, ). Se gb de Wahrshenlhke an, en Fludelhen am Or x m der Geshwndgke ξ zu der Ze anzureen. Se s durh de Bezehung m = ξ x ( x,, ) d x d ξ ξ dener, d.h. hr Inegral über en Volumenelemen d x (.6) und en Geshwndgkeselemen d ξ s de Masse der Fludelhen, de sh zur Ze m Volumenelemen d x und m Geshwndgkeselemen d ξ bende. Aus Glehung (.6) olgen de Momenenglehungen zur Besmmung der Dhe, des Impulses und der mleren kneshen Energe des Fluds ρ = = ξ ( x, ξ, ) d ξ, (.7)

3 Numershe Mehode 7 und ρu = ξ = ξ ( x, ξ, ) d ξ (.8) ρe = mt ( ξ = ξ u ) ( x, ξ, ) d ξ. (.9) De zelhe Enwklung der Verelungsunkon wrd durh de Bolzmann-Glehung beshreben. De Bolzmann-Glehung m Enzelzerelaxaon zur sogenannen Glehgewhsverelung, auh BGK-Näherung [7] genann, laue + ξ ( x, ξ, ) = τ ( 0 ) ( ( x, ξ, ) ( x, ξ, )) n der τ de sogenanne Relaxaonsze s. Für de Glehgewhsverelung gl ( 0 ) ( x,, (.0) ( ξ u ) ρ ξ, ) = e s. (.) ( π ) s De Glehgewhsverelung erüll sowohl de hermshe Zusandsglehung des dealen Gases (.4) als auh de sogenanne kalorshe Zusandsglehung des dealen Gases e = kt (.) zwshen der mleren kneshen Energe des Fluds und der Fludemperaur. M der Chapman-Enskog-Analyse kann gezeg werden, dass m olgender Bezehung ür de Vskosä s η= τ p= τ ρ (.) de Bolzmann-Glehung m BGK-Näherung au makroskopsher Ebene de Konnuäsglehung (.) und de Naver-Sokes-Glehung (.) erüll [80]. Durh de Dskreserung der Telhengeshwndgke n enen dskreen Saz von Geshwndgkeen Glehung wobe ξ enseh aus der Bolzmann-Glehung de dskree Bolzmann + ξ ( x, ) = τ ( 0 ) ( ( x, ) ( x, )), (.4) σ de Rhung der dskreen Geshwndgkeen bezehne. Durh de Dskreserung der dskreen Bolzmann-Glehung (.4) n Raum und Ze mels ner

4 8 Numershe Mehode 0 Abbldung. Dskree Geshwndgkesvekoren m DQ9 Modell. Derenzen erhäl man de Lae-Bolzmann-Glehung [8,5] ( 0 ) ( ( x, ) ( x, )) ( x + ξ, + ) ( x, ) σ =, (.5) τ wobe ξ Δ der Raumshrwee Δ x σ ensprh. Dese Glehung kann n zwe Telshre, nämlh n den Relaxaons- oder Kollsonsshr und n den Propagaonsshr augeel werden. ( 0 ) ( ( x, ) ( x, )) ( x, ) = σ ( x, ) (.6) + τ σ ( x + ξ, + ) = σ ( x, + ) (.7) Es gb je nah Gerorm und Anzahl der Geshwndgkesvekoren vershedene Möglhkeen, de Telhengeshwndgkeen zu dskreseren. Innerhalb deser Arbe wrd das dredmensonale DQ9-Modell [5] verwende, n dem de Raumger ene kubshe Form m der Gerwee Δ x beszen und neunzehn dskree Geshwndgkeen exseren. Dese dskreen Geshwndgkesvekoren elen sh n enen Vekor ür ruhende Telhen ( σ = 0 ), n sehs waagerehe oder senkrehe Vekoren ( σ = ) und n zwöl dagonale Vekoren ( σ = ) au. Se snd n Abbldung. dargesell und lauen we olg ( 0, 0, 0), ( ) ( ) ( ) ± 0,, 0, 0, ±, 0, 0, 0, ±, ( ±, ± 0, ), ( ±, 0, ± ), ( 0, ±, ± ) ξ σ = σ =, = K6, (.8), σ = 0, σ =, = = K

5 Numershe Mehode 9 wo Gerkonsane heß, de gleh dem Verhälns der Gerwee zur Zeshrwee Δx = (.9) s. Daraus olg, dass de Verelungsunkonen n allen Rhungen n enem Zeshr um genau ene Zelle propager werden. De Raumpunke, de Inormaonsräger der Verelungsunkon snd, werden, we n Abbldung. dargesell, als Melpunke der Zellen berahe und werden Knoen genann. Im DQ9-Modell laue de dskree Glehgewhsverelung worn ( 0 ) ξ u 9( ξ u ) ( x, ) = ωσ ρ /, σ = 0, = ωσ = / 8, σ =, = K6 / 6, σ =, = K u, (.0) gl. M (.) kann ür de hermshe Zusandsglehung (.4) = s (.) geshreben werden p = ρ (.) De dskreen Formen der Momenenglehungen (.7) und (.8) lauen und ρ = σ = σ (.) ( x, ) ρu ξ ( x, ). (.4) De Relaxaonsze besmm, analog zu Glehung (.) ür de Bolzmann-Glehung, de Vskosä n der Lae-Bolzmann-Glehung durh de Bezehung [80] ( τ ) η = ρ 6. (.5) De dskree Glehgewhsverelung (.0) wurde aus ener Rehenenwklung um de sogenanne absolue Glehgewhsverelung, d.h. de Glehgewhsverelung (.) m u = 0, be konsaner Shallgeshwndgke gewonnen. Gemäß Glehung (.) wrd dam

6 0 Numershe Mehode de Konsanz der Gerkonsane gewährlese. De Bedngung u = 0 gl nur ür klene Mah-Zahlen. Numershe Unersuhungen zegen Ma < 0, als Grenze. Des Weeren s der Relaxaonszeparameer τ / aus numershen Sabläsgründen au τ / > 0, 55 begrenz. Werden dese zwe Beshränkungen n de Denon ür de rkel-reynolds- Zahl (.) engesez und m den Glehungen (.9), (.), (.5) und (.) verenah, so ergb sh Re < 40 / dv / Δx, wobe / Δ x der dmensonslose rkeldurhmesser s. d V De n deser Arbe rehenehnsh maxmal möglhe Aulösung ür ene Kugel s en Durhmesser d V / Δ x von 4 Zellen. Daraus olg Re < 0, also ene ür de Kugel maxmal smulerbare rkel-reynolds-zahl von Randbedngungen De enahse Randbedngung s de perodshe Randbedngung. Dabe reen de das Rehengebe verlassenden Verelungsunkonen am gegenüberlegenden Rand weder n das Rehengebe en. Als Randbedngungen ür de Seenwände wurden außerdem de Harandbedngung an ener beweglher Wand und de Symmererandbedngung mplemener. Für de Harandbedngung an ener beweglhen Wand laue, alls ξ au de Wand ' zeg und ξ der n der Rhung engegengeseze Vekor von de Glehung ür den Propagaonsshr [] ( x, + ) = σ ' ( x,+ ) + ρ( x,+ ) ωσ uwand ( x,+ ) ξ s (sehe Abbldung.), ' ξ. (.6) Dabe wrd angenommen, dass sh de Wand genau n der Me zwshen zwe Knoen bende, sehe Abbldung.. De Grenzlähe ha som de Form von Treppensuen. In Abbldung. s der Fall dargesell, dass de Wand kene Geshwndgke ha ( u = 0 ); n desem Fall werden de Verelungsunkonen n de Rhung, aus der se kamen, weder enah zurükgeworen. Für de Symmererandbedngung werden dagegen de Verelungsunkonen an der Wand releker. Wand Am Enr kann en belebges Srömungsprol vorgegeben werden. Dazu wrd auh am Enr de Wandrandbedngung (.6) angewand, wobe de Wandgeshwndgke durh de Enrsgeshwndgke ersez wrd, d.h. [] ξ. (.7) ( x, + ) = σ ' ( x,+ ) + ρ( x,+ ) ωσ u En( x,+ )

7 Numershe Mehode Am Ausr gl de senkreh zur Ausrslähe spannungsree Randbedngung [], d.h. es reen kene Geshwndgkesgradenen senkreh zur Ausrslähe au. Dazu werden de Verelungsunkonen von ξ, alls ξ au den Ausr zeg, umgekehr propager, d.h. ' σ x, + ) = σ ( x + ξ, ). (.8) ( + Zur Enhalung der Massenerhalung m gesamen Rehengebe wrd der Massensrom am En- und Ausr durh de Bedngung δ ( x, ) = ( x, + ) = ( x, ) + δ ( x, ) ( σ ' ( x,+ ) σ ( x + ξ, + )) ρ( x,+ ) ωσ u En( x,+ ) σ ' Aus ' En ξ ' (.9) ür de Verelungsunkon ruhender Telhen ( ξ = 0 ) glehgesez. Es se darau hngewesen, dass sowohl n der Enrsrandbedngung (.7) als auh n der Ausrsrandbedngung (.8) Tele der Verelungsunkon am En- bzw. Ausr releker werden. Des s unphyskalsh, jedoh s es unumgänglh, wel m Lae-Bolzmann-Verahren am Enund Ausr sowohl de n das Rehengebe enreenden als auh de das Rehengebe verlassenden Verelungsunkonen n de Randbedngung enbezogen werden müssen. De rkelrandbedngung s prnzpell gleh der Harandbedngung an ener beweglhen Wand (.6), wobe anselle der Wandgeshwndgke jez de Umangsgeshwndgke des rkels u Um ( x x ) ( x ) = u + ω (.0) gesez wrd. Jedoh wrd ür de rkelrandbedngung der genaue Or der rkeloberlähe nnerhalb ener Zelle n den -Rhungen mels der rameer rameer q σ berükshg. De q σ snd n Abbldung. dargesell und geben de relave Enernung zwshen der Grenzlähe und dem nähsen Fludknoen n -Rhung an. De rkelrandbedngung laue [5] ( x, + ) = qσ σ ' ( x,+ ) + ( qσ ) σ ' ( x + ξ, ) + ρ( x, ) ω u σ Um( x, ) σ ür q σ <, q ( x, + ) = σ ' ( x,+ ) + σ ( x,+ ) + ρ( x,+ ) ωσ uum( x, ) + qσ qσ qσ ξ ξ (.) ür q σ.

8 Numershe Mehode ξ 4 ξ =ξ ξ ξ ξ q lud ξ ξ =ξ es lud q q es ξ ξ 4 =ξ Abbldung. Wandrandbedngung (Treppensuenrandbedngung). De Verelungsunkonen werden m Propagaonsshr weder enah zurükgeworen. Abbldung. rameer q σ zur Berükshgung der genauen Lage der rkeloberlähe n der rkelrandbedngung (gekrümme Randbedngung). De au en rkel, ene Wand oder en sonsges Hnderns wrkende Srömungskra wrd durh den Impulsausaush zwshen dem Flud und dem Hnderns berehne [5,]. De Impulsänderung enes Fludelhens, d.h. de Derenz zwshen dem Impuls des Fludelhens nah und vor dem Soß, zum Zepunk + 0, 5 s p p ' ' ( x, + 0, 5 ) ξ (.) Δ ) = σ ( x, + ) ξ ' ( x, σ + ' ( σ ( x, + ) + σ ' ( x, )) ξ ' ( x, + 0, 5Δ ) = + (.) bzw. de daraus resulerende Gegenkra au das rkel F und das Drehmomen F ΔV ( x, + 0, 5 ) = p ( x, + 0, ) (.4) ' ' 5 ΔV 0 ( σ ( x, + ) + σ ' ( x, ) ξ (.5) ' '( x, +, 5Δ ) = + ) ( x x ) F ( x, 0, ) M ' ( x, + 0, 5 ) = ' + 5. (.6) Um de Gesamkra und das Gesamdrehmomen zu erhalen, müssen de Kräe bzw. Drehmomene über de rkeloberlähe und de dskreen Geshwndgkesvekoren ausummer F( + 0, 5 ) = F ( x, + 0, 5 x ' ' ) (.7) M( + 0, 5 ) = M ( x, + 0, 5 x ' ' ) (.8)

9 Numershe Mehode und über zwe Zepunke gemel werden. F( ) M( ) = ( F( 0, 5 ) + F( + 0, 5 )) (.9) = ( M( 0, 5 ) + M( + 0, 5 )) (.40) Wehsel de Lage enes Knoens von es au lud, so wrd de Verelungsunkon deses neuen Fludknoens aus der Glehgewhsverelung m der Dhe, de gleh dem Durhshn der Dhen der benahbaren Fludzellen s, und m der Fludgeshwndgke, de analog zur Umangsgeshwndgke des rkels (.0) u = u + ω x x ) gesez wrd, besmm []. (. rkelberehnung Zur Berehnung der Bewegung enes rkels werden de Grundgeseze der Dynamk, d.h. das zwee Newonshe Gesez ür de Translaon du F = m (.4) d und de Eulershen Bewegungsglehungen ür de Roaon dωa M a = J aa ( J bb J ) ωbω d dωb M b = J bb ( J J aa ) ωωa (.4) d dω M = J ( J aa J bb ) ωaωb d angewand. De Eulershen Bewegungsglehungen gelen nur m Haupahsenkoordnaensysem ( a,b, ) des Körpers. Des s das Koordnaensysem, n dem de Nhdagonalelemene des Träghesensors ( J j, j ) vershwnden. De Träghesmomene au der Haupdagonalen lassen sh m J = V ( x x ) + ( x x ) ) ρ dv j, k, j k (.4) j, j berehnen. Dessen dskree Form J = k, k ( x x ) + ( x x ) ρ j; k; j k (.44) nδvn ) n, j, j n, k, k n

10 4 Numershe Mehode wrd numersh ür de Körper m Grundzusand gelös, alls kene analyshe Lösung exser. Da, we späer n desem Kapel beshreben, de n deser Arbe beraheen Körper m Grundzusand zu den Koordnaenebenen spegelsymmersh snd, snd de Träghesmomene um de Koordnaenahsen Haupräghesmomenen J aa, J bb und J. J xx, J yy und J zz m Grundzusand gleh den Mels der knemashen Glehungen ür de Translaon d x u = (.45) d und de Roaon dσ ω = (.46) d können aus der Translaons- und der Wnkelgeshwndgke de Lageparameer des Körpers, d.h. der Orsvekor des rkelmelpunkes bzw. de dre Drehwnkel des Körpers, ermel werden. Das zwee Newonshe Gesez (.4) und de knemashen Glehungen ür de Translaon (.45) und de Roaon (.46) werden durh das enahe Euler-Verahren numersh gelös F u u = m (.47) u = x x (.48) σ σ ω =. (.49) Für de Eulershen Bewegungsglehungen (.4) wurde olgendes dskrees Shema gewähl M M M a b = J = J = J aa bb a ω ω ωb ω ω ω a b ( J ( J ( J bb aa J J J aa bb ) ω ) ω ) ω b a ω ω ω a b. (.50) Deses nhlneare Glehungssysem s nh analysh lösbar und muss daher erav gelös werden. Das au das rkel wrkende Drehmomen s durh Glehung (.6) m raumesen Koordnaensysem gegeben, wrd aber n den Eulershen Bewegungsglehungen (.50) m

11 Numershe Mehode 5 körperesen Haupahsenkoordnaensysem benög. M den Wnkelgeshwndgkeen verhäl es sh gerade umgekehr. Se werden m den Eulershen Bewegungsglehungen m Haupahsenkoordnaensysem berehne, werden jedoh n der knemashen Glehung ür de Roaon (.49) m raumesen Koordnaensysem benög. De Transormaon zwshen raum- und körperesem Koordnaensysem wrd genau we de Drehung enes Körpers mahemash durh de Abbldungsvorshr a * = R a (.5) beshreben, wobe R der Drehensor, a der Vekor m körperesen und a * der ensprehende Vekor m raumesen Koordnaensysem bzw. a der Vekor vor der Drehung und * a der ensprehende Vekor nah der Drehung s. De Deermnane von Drehensoren s gleh ens, wodurh der Berag enes Vekors vor und nah der Drehung unveränder bleb. Drehensoren snd des Weeren orhogonal ( Koordnaenahsen lauen de Marzen der Drehensoren R = T R ). Für Drehungen um de x-ahse als Drehahse y-ahse als Drehahse z-ahse als Drehahse osσ snσ x x 0 snσ x osσ x osσ y 0 snσ y 0 0 snσ y 0 osσ y osσ z snσ z 0 snσ osσ 0 z z 0 0. Der Gesamdrehensor, m dem belebge Drehungen möglh snd, s durh dre Wnkel endeug dener. De knemashen Glehungen ür de Roaon (.49) leern de dre Drehwnkel σ x, σ y und σ z. Aus desen Wnkeln kann m Allgemenen jedoh nh au de Lage des rkels geshlossen werden, wel vershedene Rehenolgen der Drehungen um de x -, y - und z -Ahse m Allgemenen enen vershedenen Gesamdrehensor und dam ene versheden Gesamdrehung zur Folge haben. Daher wrd de Drehung nnerhalb enes Zeshres n mehrere klenere Drehungen m jewels gleh großen Wnkeln augeel, wobe der maxmale Wnkel 0, 000 rad s. De Marx des Drehensors ür de Drehung m klenem Wnkel ha de Form [59] R = os σ + osσ y snσ z snσ y z snσ osσ + osσ x snσ x z z snσ y snσ x. (.5) osσ + x osσ y

12 6 Numershe Mehode Der Gesamdrehensor ergb sh aus der skalaren Mulplkaon der Drehensoren aller Telshre R = R n R n... R 0. (.5) Es se erwähn, dass auh en Glehungssysem zur Besmmung des Gesamdrehensors aus den körperesen Wnkelgeshwndgkeen ohne Berükshgung von klenen Teldrehungen exser [68]. Deses besz jedoh ersens ene Sngularä um σ = 0. Zweens ha das her gewähle Verahren den Vorel, dass de Drehung um ene raumese Ahse n dem Snne völlg exak s, dass be der Drehung um z.b. de x -Ahse de Elemene der ersen Zele des Drehensors, d.h. de x -Komponenen, physkalsh korrek unveränder bleben. y De n deser Arbe beraheen rkel werden m der Glehung [59] x x a d y y + b e z z + d, e, ; d, e, = n n N (.54) generer. M deser Glehung lassen sh sämlhe zu den dre Koordnaenebenen spegelsymmershe enahe Körper beshreben. De rameer a, b und geben de halbe maxmale Länge des Körpers n der x -, y - bzw. z -Rhung an. Für d = e = = beshreb de Glehung en Ellpsod. Je größer de rameer d, e und snd, deso ekger s de Form des Körpers n der x y - und x z -Ebene, n der x y - und y z - Ebene bzw. n der x z - und y z -Ebene. Ha ener der dre rameer d, e oder den Wer unendlh und de beden anderen den Wer zwe und snd de beden dazugehörgen Längen gleh groß, so beshreb de Glehung enen Zylnder. Für Quader wedergegeben. d = e = = wrd en.4 Konvergenzverhalen De Anzahl der Zeshre, de zum Errehen des saonären Zusandes ener rkelumsrömung nög snd, hängen von der Aulösung, der saonären Relavgeshwndgke zwshen Flud und rkel und der Vskosä ab. Für den n Kapel. beshrebenen Fall der Umsrömung ener essehenden Kugel n ener glehörmgen Srömung (sehe Abbldung.6) s de Anzahl der Zeshre, de benög werden, um 99% des saonären W -Weres zu errehen, n Abbldung.4 als Funkon der Aulösung, n Abbldung.5 als

13 Numershe Mehode 7 Normere Zeshre be 99% des saonären Wdersandsbeweres,5,0,5,0,5, Dmensonsloser rkeldurhmesser n Zellen Abbldung.4 Normere Zeshre zum Errehen von 99% des saonären Wdersandsbeweres ener Kugel als Funkon der Aulösung. Funkon der knemashen Vskosä und n Abbldung.6 als Funkon der Fludgeshwndgke, de her gleh der Relavgeshwndgke s, dargesell. M segender Aulösung, d.h. größerem dmensonslosen rkeldurhmesser, seg de Rehenze erwarungsgemäß an. De Ze bs zum Errehen des 99%gen saonären Zusandes s deso klener, je höher de Vskosä oder de Fludgeshwndgke s. De Abhänggke von der Vskosä ensprh dem Trend der analyshen nsaonären Lösung ür de Snkgeshwndgke ener Kugel aus dem Ruhezusand m Sokes-Bereh ( ( 8( ρ / ρ ) υ / d u / u = e )). De kürzere Dauer m segender Relavgeshwndgke s m Enklang m der Lösung m Newon- Bereh ( u / u, = + ( 4 / )( ρ / ρ )( d / W u,, ). ) Normere Zeshre be 99% des saonären Wdersandsbeweres 4,0,5,0,5,0,5,0 0,0 0, Dmensonslose knemashe Vskosä Normere Zeshre be 99% des saonären Wdersandsbeweres,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 E-6 E-5 E-4 E- 0,0 0, Dmensonslose Fludgeshwndgke Abbldung.5 Normere Zeshre zum Errehen von 99% des saonären Wdersandsbeweres ener Kugel als Funkon der dmensonslosen Vskosä. Abbldung.6 Normere Zeshre zum Errehen von 99% des saonären Wdersandsbeweres ener Kugel als Funkon der dmensonslosen Fludgeshwndgke.

14 8 Numershe Mehode.5 Enluss der Aulösung De Anzahl der Zellen, m der das Rehengebe enshleßlh des rkels augelös wrd, kann das numershe Ergebns der Srömung erheblh beenlussen. Für enen waagerehen essehenden Würel und ene essehende Kugel n ener glehörmgen Srömung (Srömungskonguraon sehe Abbldung.6) s de Abhänggke des W -Weres von der Aulösung n Abbldung.7 bzw. Abbldung.8 dargesell. Erwarungsgemäß ha de Aulösung des Würels augrund sener ebenen Oberlähe wenger Enluss au de Srömung als de Aulösung der Kugel m hrer gekrümmen Oberlähe. Der Enluss der Aulösung nmm m segender Re -Zahl sark zu. We m Kapel.. erwähn, berükshg de rkelrandbedngung de Krümmung der rkeloberlähe nnerhalb ener Zelle. Der Vergleh m der Treppensuenrandbedngung, d.h. der Randbedngung ohne Berükshgung der Krümmung der rkeloberlähe nnerhalb ener Zelle, ür de Kugel n Abbldung.8 zeg, dass durh de Berükshgung der Krümmung der Enluss der rkelaulösung erheblh reduzer wrd..6 Wandenluss De Absände zwshen rkel und den Rändern des Rehengebees können enen bedeuenden Enluss au das Srömungseld ausüben. Is der Absand zwshen rkel und Enr größer als der Absand zwshen den Seenwänden ( h ges n Abbldung.6), der Normerer Wdersandsbewer,5,4,,,,0 Re=0, Re=0 Re=90 Re= Kanenlänge n Zellen Normerer Wdersandsbewer,5,4,,,,0 Re=0, Re=90 Re=0 Re=40 Treppensuenrandbedngung Durhmesser n Zellen Abbldung.7 Normerer Wdersandsbewer enes Würels als Funkon der Aulösung. Abbldung.8 Normerer Wdersandsbewer ener Kugel als Funkon der Aulösung.

15 Numershe Mehode 9,5 Normerer Wdersandsbewer,0,5,0,5,0 Re=80 Re= Re=, Re=0,04 Re=0,00 Re=0, Rehengebeshöhe / rkeldurhmesser Abbldung.9 Normerer Wdersandsbewer ener roerenden Kugel als Funkon der Rehengebeshöhe Rehengebeshöhe genann werden soll, und der Absand zwshen rkel und Ausr größer als,5 mal der Rehengebeshöhe, so haben En- und Ausr be den her unersuhen Re -Zahlen so gu we kenen Enluss au de Srömung. Für ene roerende Kugel n ener glehörmgen Srömung (Srömungskonguraon sehe Abbldung.0) s der Enluss der Seenwände au den W -Wer n Abbldung.9 dargesell. Darn s de Abszsse de zum rkeldurhmesser relave Höhe des Rehengebees. Au ene roerende Kugel wrk, we n Kapel.5 erläuer, augrund des Magnus- Eekes zusäzlh ene Aurebskra und en Drehmomen, deren Bewere n Abbldung.0 und n Abbldung. als Funkon der Rehengebeshöhe dargesell snd. Be jeder unersuhen Re -Zahl wrd der Drehmomenenbewer ab ener Rehengebeshöhe von 4 mal dem rkeldurhmesser von den Seenwänden kaum beenluss. Für den W -Wer und den Aurebsbewer nmm der Enluss der Seenwände m zunehmender Re -Zahl ab. De Graphen des W -Weres sreben be klenen und großen Re -Zahlen ener asymposhen Funkon zu. Dagegen wähs der Enluss der Seenwände au den Aurebsbewer m snkender Re -Zahl mmer weer an. Daher s der särkse Enluss überhaup der der Seenwände au den Aurebsbewer be klener Re -Zahl. Des Weeren zegen Rehnungen, dass der Enluss der Seenwände ür vershedene rkelormen ungeähr gleh groß s, wenn er als Funkon von h / d berükshg wrd, V

16 0 Numershe Mehode Normerer dynamsher Aurebsbewer Re=80 Re= Re=, Re=0,04 Re=0,00 Re=0, Rehengebeshöhe / rkeldurhmesser Normerer Drehmomenenbewer,0,05,00 0,95 Re=80 Re= Re=, Re=0,04 Re=0,00 Re=0, Rehengebeshöhe / rkeldurhmesser Abbldung.0 Normerer dynamsher Aurebsbewer ener roerenden Kugel als Funkon der Rehengebeshöhe. Abbldung. Normerer Drehmomenenbewer ener roerenden Kugel als Funkon der Rehengebeshöhe. wobe h der Absand zwshen der Seenwand und der nähsen rkeloberlähe (sehe Abbldung.6) und d V der Durhmesser der volumenäquvalenen Kugel s. Des wrd ür den W -Wer von essehenden rkeln n ener glehörmgen Srömung be Re = 0, n Abbldung. und be Re = 90 n Abbldung. demonsrer. De unersuhen rkel snd de Kugel, der waagerehe Würel und der quer- und längsangesröme Quader m dem Ahsenverhälns von,5. Alle Punke n Abbldung. und Abbldung. legen nahezu au jewels ener Kurve. Es se erwähn, dass n ener ersen egenen Veröenlhung [8] der Enluss der Seenwände nur ür de Kugel besmm und au andere rkelormen als Funkon von h / d angewand wurde, wobe h der Absand zwshen rkelmelpunk und der Seenwand und d de maxmale Abmessung des rkels senkreh zur Seenwand s. De Verwendung von h / d ansa von h / dv ühr zu merklhen Veränderungen des W - Weres nhsphärsher rkel be Re = 0,. Für dese Arbe wurde der Enluss der Seenwände jedoh durhgehend als Funkon von h / d berükshg. Is der Absand zu den ver Seenwänden nh gleh groß, so ergb sh der gesame Seenwandenluss aus dem arhmeshen Mel der ver Seenwandenlüsse. V

17 Numershe Mehode,0,00 Normerer Wdersandsbewer,5,0,5,0 Kugel Würel Quader längs Quader quer Normerer Wdersandsbewer,75,50,5 Kugel Würel Quader längs Quader quer, h / d V h / d V Abbldung. Normerer Wdersandsbewer der Kugel, des Würels und des quer- und längsangesrömen Quaders als Funkon des Absandes zwshen der Seenwand und der nähsen rkeloberlähe be Re = 0,. Abbldung. Normerer Wdersandsbewer der Kugel, des Würels und des quer- und längsangesrömen Quaders als Funkon des Absandes zwshen der Seenwand und der nähsen rkeloberlähe be Re = 90. Im Fall ener lnearen Shersrömung, d.h. m der Harandbedngung an ener beweglhen Wand an der oberen und uneren Seenwand (Abbldung.8), snd de Abhänggkeen des W -Weres und des Drehmomenenbeweres von den Seenwänden denen be Symmererandbedngung an allen Seenwänden ähnlh. En gänzlh anderes Verhalen zeg dagegen der Aurebsbewer ür Re 0,. We n Abbldung.4 zu sehen, verhäl sh der Aurebsbewer nh mehr asymposh, sondern wähs n ewa lnear m segender Rehengebeshöhe. Daher s be klenen Re -Zahlen der Enluss der oberen und uneren Wand auh be großen Rehengebeshöhen maßgeblh. Deses Verhalen wurde heoresh von Vasseur und Cox [98] ür ene Kugel vorausgesag. Bende sh de Kugel n der Me v m = (Fg. 4 n [98]), zwshen den zwe Seenwänden, so besmmen se / ( ReU ) 0 06, was ür den Aurebsbewer A = 48 0, 06 S Flhges / d (.55) bedeue. Vasseur und Cox Glehung s n Abbldung.4 augeragen und smm sehr gu m den Ergebnssen be Re = 0, und 0, überen. Der Graph be Re = 0, 0 verläu jedoh we uner Vasseur und Cox Glehung, shen sh aber m größer werdender Rehengebeshöhe deser Glehung anzunähern. De Ursahe daür, dass der Graph be Re = 0,0 de höhse Abwehung zu Vasseur und Cox Glehung auwes, obwohl er de klense Re -Zahl besz und daher ene bessere Überensmmung zu erwaren s, s unklar

18 Numershe Mehode Dynamsher Aurebsbewer,0 0,5 0,0-0,5 -,0 -,5 Re=, Re=0, Re=0, Re=0,0 heoresh Vasseur und Cox Rehengebeshöhe / rkeldurhmesser Normerer dynamsher Aurebsbewer Re=80 Re=0 Re= Re=, Rehengebeshöhe / rkeldurhmesser Abbldung.4 Dynamsher Aurebsbewer ener Kugel n ener lnearen Shersrömung als Funkon der Rehengebeshöhe be S Fl = 0, 05. Abbldung.5 Normerer dynamsher Aurebsbewer ener Kugel n ener lnearen Shersrömung als Funkon der Rehengebeshöhe be S = 0, 05. Fl und bedar weerer Unersuhungen, de jedoh über den Rahmen deser Arbe hnausgehen würden. Für Re, snd, we Abbldung.5 zeg, de Funkonen asymposh. Dam üben be Re, de Seenwände auh m Harandbedngung an ener beweglhen Wand be großen Rehengebeshöhen kenen Enluss au den Aurebsbewer aus.