Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung Leverkusen Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen

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1 Zentrum für sculpraktisce Lererausbildung Leverkusen Seminar für das Leramt an Gymnasien und Gesamtsculen Brückenstr Leverkusen Unterrictsentwurf für den 3. Unterrictsbesuc im Fac Matematik Studienreferendar: Ausbildungsscule: Dr. Daniel J. Wieczorek Freierr-vom-Stein-Gymnasium Leverkusen Datum: Dienstag, Zeit: Lerngruppe:. Stunde (8:0-9:0 Ur) 9x (y Scülerinnen, z Scüler) Unterrict seit: Raum: Faclerer: Facseminarleiter: Kernseminarleiterin: Ausbildungsbeauftragter: Sculleiterin: Tema der Unterrictsreie: Tema der eutigen Stunde: Hausaufgabe zur eutigen Stunde: Trigonometrie Wie kann man die Höe von Gebäuden mit Hilfe der Trigonometrie bestimmen? Begründung eines Verfarens mit anscließender Messung der Höe unserer Aula in Partnerarbeit S. 62 Nr. 5a eingefürtes Lerbuc: LS Matematik 9

2 Inaltsverzeicnis Aufbau des Unterrictsvorabens 3 2 Lernziele und Kompetenzen 3 3 Didaktisc-metodisce Überlegungen 4 3. Sacanalyse Lernvoraussetzungen und Lernausgangslage Didaktisce Überlegungen Begründung der wesentlicen metodiscen Entsceidungen Verlaufsplan 9 5 Literatur 0 6 Erklärung 0 2

3 Aufbau des Unterrictsvorabens Datum Tema Ziel Welce Bezieungen besteen zwiscen Definition von sin und Winkeln und Seitenlängen im rectwinkligen Dreieck? Einfürung von Sinus cos inkl. Planskizze nennen können und Cosinus Rund um sciefe Türme Übungen zur Anwendung von Sinus und Cosinus Definition von sin und cos anwenden können Wiederolungsstunde Klassenarbeit Wie bestimmt man die Sonnenöe mit einem Scattenstab? Problemorientierte Einfürung des Tangens Definition von tan inkl. Planskizze nennen und anwenden können Probleme lösen mit rectwinkligen sin, cos und tan für die Lösung Dreiecken komplexerer geome- triscer Probleme anwenden können Rückgabe der Klassenarbeit eutige Stunde s.u. Die Unterrictsreie ist durc äußere Zwänge zerfasert : Aufgrund der großen Anzal mündlicer Nacprüfungen stand längere Zeit der Ausfall der Doppelstunde am zur Debatte, die Doppelstunde am fällt wegen der Zeugniskonferenzen aus und im Anscluss nimmt ein Drittel der Klasse an der Lateinfart teil, sodass für diese Scülerinnen und Scüler der Matematikunterrict bereits am endet. Um den im Kernlerplan explizit geforderten Kompetenzaufbau im Bereic Geometrie für alle Scüler gewärleisten zu können, wurde der erste Teil der Reie daer noc vor der Klassenarbeit durcgefürt. 2 Lernziele und Kompetenzen Durc das gewälte Lernarrangement soll als Stundenziel erreict werden, dass die Scülerinnen und Scüler ein Verfaren zur Vermessung der Höe eines unzugänglicen Gebäudes skizzieren und anwenden sowie die zugeörige Formel erleiten können. Im folgenden Text wird zur besseren Lesbarkeit nur die Formulierung Scüler verwendet; es sind jedoc stets sämtlice Gesclecter gemeint. 3

4 3 Didaktisc-metodisce Überlegungen 3. Sacanalyse Die Höe eines Gebäudes kann durc Längen- und Winkelmessungen auf zwei Arten bestimmt werden: Wenn der Abstand s zum Gebäude einer direkten Messung zugänglic ist, so muss zusätzlic nur der Winkel α gemessen werden; dies zeigt der linke Teil von Abbildung. Für die Höe ergibt sic = s tan α. Wenn der Abstand zum Gebäude nict bestimmt werden kann, z.b. weil unwegsames Gelände zwiscen dem Gebäude und zugänglicen Messpunkten liegt, so lässt sic dennoc durc Messung zweier Winkel α und β und Bestimmung der Strecke s zwiscen den entsprecenden Messpunkten die Höe bestimmen; dies ist im recten Teil von Abbildung dargestellt. Für die beiden rectwinkligen Dreiecke gilt x = tan α, x + s = tan β. Die erste Gleicung kann nac y aufgelöst und in die zweite eingesetzt werden. Es ergibt sic tan β = s + tan α = tan β s = = ( tan β s s + tan β tan α ) tan α tan β = s + tan α ( tan β ) tan α tan α tan β = s tan α tan β. tan α = In der Praxis wird die Winkelmessung nict auf Boden-, sondern auf Augenöe 0 erfolgen, sodass sic für die Gesamtöe mit obigen Bezeicnungen + 0 ergibt. α s. β s α x. Abbildung : Zwei Möglickeiten zur Bestimmung einer Gebäudeöe durc Längenund Winkelmessungen 4

5 3.2 Lernvoraussetzungen und Lernausgangslage Zur Erreicung der Lernziele müssen die Scüler die Definition des Tangens anwenden können, das Einsetzungsverfaren anwenden können eine Gleicung der Form = c durc Äquivalenzumformungen lösen können. x a+bx Der Autor unterrictet die Klasse seit Beginn des Halbjares zusammen mit dem vorerigen Faclerer im Team. Die Scüler aben untereinander und zu beiden Lerern ein gutes Verältnis, sodass kooperative Arbeitspasen in der Regel problemlos durczufüren und unkritisc in der Zusammensetzung der Paare oder Gruppen sind. Bei Präsentationen oder im Unterrictsgespräc bestet noc eine rect oe Lererfixierung, die sic durc vergewissernden Blickkontakt oder ein direktes Ansprecen des Lerers (statt eines offenen Sprecens ins Plenum oder des direkten Bezugnemens auf einen vorerigen Beitrag) äußert. Für Übungs- und Vertiefungspasen wurde die Klasse nac einer demokratiscen Entsceidung für diese Maßname in eine leistungsstärkere und eine leistungsscwäcere Gruppe getrennt, wobei der Autor letztere übernommen at. Als Indikator wurde die Leistung in der ersten Klassenarbeit erangezogen. Viele sonst stillere Scüler sind dadurc in Bezug auf die mündlice Leistung regelrect aufgeblüt und trauen sic anscließend auc in Pasen, in denen die Klasse gemeinsam unterrictet wurde, merklic mer Beteiligung zu. Durc die engere Betreuung ist es zudem möglic, die Scüler beim geometriscen Problemlösen detaillierter zu beobacten, zu unterstützen und auc äufiger dazu anzuregen, über versciedene Zugänge zu diskutieren. Ein Kausalzusammenang zu dieser Maßname ist zwar nict erzustellen, aber fünf Scüler dieser Gruppe aben es gescafft, eine gute oder sogar ser gute zweite Klassenarbeit zu screiben. 3.3 Didaktisce Überlegungen Die Beandlung trigonometriscer Probleme ist unmittelbar durc den Kernlerplan legitimiert, der insbesondere die Berecnung geometriscer Größen unter Verwendung der Definition von Tangens als inaltsbezogene Kompetenzerwartung ausweist []. Das vorliegende Problem eignet sic zudem exemplarisc zur Vertiefung der Problemlösekompetenz Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten : Um die gesucte Höe zu berecnen, müssen die Scüler zunäcst Gleicungen für zwei Dreiecke aufstellen (Vorwärtsarbeiten). Anscließend müssen sie erkennen, dass inen zur Berecnung von in beiden Gleicungen die Entfernung x zwiscen dem ersten Messpunkt und 5

6 dem Gebäude felt. x kann dann (in Abängigkeit von ) aus einer der beiden Gleicungen eralten und in die andere eingesetzt werden (Rückwärtsarbeiten). Die in Abscnitt 3.. vorgestellte, allgemeine algebraisce Lösung ist für viele Scüler ser ansprucsvoll. Es bietet sic an, die Recnung gemäß dem didaktiscen Prinzip vom Speziellen zum Allgemeinen zunäcst für konkrete Werte durcfüren zu lassen. Eine weitere Vereinfacung, die das Einsetzen von x() und das anscließende Auflösen nac wesentlic erleictert, ist die Verwendung dezimaler Näerungswerte für den Tangens der vorkommenden Winkel sowie entsprecender Kerwerte. Mit s = 4, β = 25 und α = 40 nimmt die elementarisierte Recnung dann die folgende, für Scüler andabbare Form an: tan 25 = = tan 40 = = x x = = (4 +.98) = = = Zur allgemeinen Lösung gelangt man nun in zwei Scritten: Zunäcst werden die Näerungswerte wieder durc tan 25 bzw. ersetzt, wobei aufgrund von Scwierigkeiten mit der Brucrecnung die Form y = der Screibweise y = tan 40 tan 40 tan 40 4 tan 25 vorzuzieen ist. Man erält in Analogie zu obiger Recnung = tan 25. In diesem tan 40 Ausdruck müssen dann nur noc die konkreten Größen durc s, α und β ersetzt werden. Die Anbindung an den Kontext der Höenmessung ist bei diesem Problem zur Sinnstiftung zwingend, da die kontextfreie Lösung von den Scülern eer als Zalenverstecken interpretiert werden und entsprecend von geringer Motivation begleitet sein dürfte. Vielmer bietet sic ier die Gelegeneit, eine der von Winter propagierten und im Kernlerplan als Rictziele aufgegriffenen Dimensionen matematiscer Grundbildung zu tangieren: Matematik kommt in der realen Welt, ier im Zusammenang mit Vermessungstecnik, zur Anwendung [2]. Zur Unterstützung dieses langfristigen Ziels soll den Scülern zusätzlic auc die Möglickeit eingeräumt werden, das Verfaren selbst anzuwenden. Ludwig sprict im Zusammenang mit derartiger Outdoormatematik von der waren Öffnung des Unterricts, da die Matematik mit der erlebten Umwelt verbunden werde [3]. Die Höe der Aula soll mit beiden in 3. vorgestellten Verfaren das erste ist deutlic einfacer und wurde als Hausaufgabe vorbereitet vermessen werden. Dieser Gebäudeteil ist insofern autentisc, als dass die zur Straße gewandte Seite auf einer Breite von mereren Metern zugewacsen und daer keiner direkten Entfernungsmessung zugänglic ist. Die Messung erfolgt mit Bandmaßen und dem abgebildeten, selbstgebauten Fernror mit Winkelmesser, das aus einer Papprolle 6

7 zum Anpeilen, einem mit Klebepads befestigten Geodreieck sowie einer Scraube als Lot bestet. Abbildung 2: Seror mit Winkelmesser aus Hausaltsgegenständen Die Durcfürung der Messung erfolgt dabei bewusst erst nac der Lösung des Problems, da die umgekerte Reienfolge von motivationalen Scwierigkeiten begleitet sein dürfe: liegen bereits fertige Ergebnisse durc Einsetzen in ein Kocrezept vor, so bestet für viele Scüler kein Begründungsbedürfnis mer. Dagegen ist es ein übergeordnetes Anliegen des Autors, seinen Scülern die Erfarung zu ermöglicen, dass die Erscließung eines Teils der Welt mit Hilfe der Matematik sowol interessant ist als auc prinzipiell auc von inen selbst geleistet werden kann. Dazu trägt das gewälte Problem und seine Anwendung exemplarisc bei. 3.4 Begründung der wesentlicen metodiscen Entsceidungen Die Stunde folgt dem metodiscen Prinzip des problemorientierten Unterricts nac Rot, dessen lernpsycologisce Vorzüge von Bleicrot et al. diskutiert werden [4]. Das erste in 3. vorgestellte Verfaren war Gegenstand der Hausaufgabe. Eine Scülerin at zuvor eine Folie eralten und wird die Lösung am OHP vorstellen, da dies die zeitokönomiscste Variante ist. Die Scüler können das im Zentrum steende Verfaren kaum selbstständig erarbeiten. Der Lerer demonstriert daer zunäcst enaktiv durc Vorspielen im Klassenraum das Vorgeen, um einen an die Wand geklebten Turm aus Papier zu vermessen, wobei die Scüler die Rolle des Gebüscs übernemen. Anscließend folgt die Präsentation der konkreten Aufgabe auf dem OHP. 7

8 Die folgenden Arbeitspasen erfolgen kooperativ [5]. Nac dem Skizzieren der Situation können selbstständig Lösungsideen entwickelt und anscließend mit dem Partner diskutiert werden, bevor eine Zusammenfürung im Plenum erfolgt. Diese Pase sollte im Sinne einer Zwiscensicerung die Bezieungen tan α = /x und tan α = /(x+s) sowie die Strategie, die erste Gleicung nac x aufzulösen und in die zweite einzusetzen, bereitstellen. Dies scließt die Pase der Lösung im Rot scen Scema ab. In der zweiten Erarbeitungspase soll die Strategie in Partnerarbeit ausgefürt werden. Die didaktisce Analyse weist den Weg für die Niveaudifferenzierung: Scüler können je nac Leistungsstärke mit dezimalen Näerungswerten recnen, die Ausdrücke tan 25 und tan 40 so belassen und am Ende auf einen allgemeinen Ausdruck scließen oder sogar direkt die allgemeine Herleitung durcfüren, wobei letzteres aufgrund der rect geringeren Erfarung mit umfrangreicen Termumformungen unwarsceinlic ist. Diese Pase wird durc eine Hilfekarte unterstützt; die Scüler können auf diese Weise selbstständig zu einer Lösung gelangen. Dennoc beobactet der Lerer die Arbeit der Scüler und gibt auf Wunsc zusätzlice Hilfestellungen. Die Ausgestaltung der Sicerungspase rictet sic flexibel nac den Arbeitsergebnissen der Scüler. Falls von der Lerngruppe merere Wege bescritten wurden, können die Lösung mit dezimalen Näerungswerten und eine allgemeinere Recnung gegenübergestellt werden; als Informationsträger bietet sic die Wandtafel an, da diese die Planskizze bereits entält und alle Informationen übersictlic dargestellt und sogar parallel angescrieben werden können. Falls allen Scülern auf Anieb die Lösung one Näerungswerte gelingt, kann die Präsentation auf einer OHP-Folie erfolgen. Gelingt ingegen allen nur die einfacste Recnung, so kann ieraus die allgemeinere Lösung in einem kurzen Unterrictsgespräc gemeinsam an der Tafel erarbeitet werden. Je nac Zeitbedarf der vorerigen Pasen ist an dieser Stelle eine sinnvolle Pause möglic. Die Scüler eralten nun die Gelegeneit, mit Hilfe des gelösten Problems selbstständig die Höe der Aula zu vermessen. Die Messung wird in Partnerarbeit durcgefürt, weil stets eine zweite Person zum Ablesen des Winkels erforderlic ist. In größeren Arbeitsgruppen würde ingegen mindestens ein Scüler untätig sein. Das Verständnis der Funktionsweise des verwendeten Instruments wäre eer als Lernziel für den Pysikunterrict geeignet, daer gibt es im Klassenraum nur eine kurze Einweisung. Um die Sicereit erzustellen, dass alle Scüler zu sinnvollen Messergebnissen kommen, sollen alle Paare mit dem Messgerät einen bestimmten Winkel zur Horizontalen einstellen. Zur Entlastung des Messprozesses wird ein Arbeitsblatt mit Protokollfunktion eingesetzt. 8

9 4 Verlaufsplan Pase Lernscritt/Unterrictsinalt (Impulse, Sclüsselfragen, geplantes Lererveralten, erwartetes Scülerveralten) Lernorganisation (Sozial- /Aktionsformen, Medien) 9 Begrüßung L begrüßt den Kurs und stellt den Besuc vor HA S stellt die HA vor, Rest der Klasse stellt ggf. Fragen / korrigiert ggf. die Bearbeitung SV; OHP Motivation/Problem Lösung Tun und Ausfüren Tun und Ausfüren L erklärt das Problem (zunäcst Vorfürung im Klassenraum, dann Folie) und gibt den Ausblick, dass die Messung zum Stundenende selbst durcgefürt werden soll L deckt Folie mit Arbeitsaufrag auf,s lesen und erklären S skizzieren und entwickeln Ideen S stellen ire Ideen zur Lösungsstrategie der Klasse vor, man einigt sic auf eine Lösung (L so zurückaltend wie möglic, notiert ggf. noc Strategie an der Tafel und stellt Sicereit er, dass es so funktioniert) L zeigt zweiten Arbeitsauftrag, S lesen und stellen ggf. Fragen S wälen einen Weg und lösen das Problem, L gibt bei Bedarf Hilfestellung S präsentieren und diskutieren je nac Wal in der vorerigen Arbeitspase ire vorerigen Ergebnisse (alle one Näerungswerte direkt OHP, L mact nur allgemeine Formel klar) (alle nur Näerungswerte Tafel, Herleitung mit tan 25 und tan 40 im UG erarbeiten) möglice Pause L gibt eine kurze Einweisung in das Messgerät, S sollen Winkel 23 einstellen L erklärt kurz, wie die Abstandsmessungen erfolgen und verteilt Protokollblatt LV; OHP EA/SV; OHP EA/PA SV/UG; Tafel LV; OHP PA; Hilfekarten SV; Tafel/OHP LV, PA; Ror mit Winkelmesser S füren die Messung auf dem Sculof durc, L beobactet und gibt ggf. Hilfestellung PA; Ror mit Winkelmesser, Maßbänder möglice Pause LV; AB Tun & Ausf. S berecnen aus iren Messwerten die Höe der Aula PA; AB möglice Pause

10 5 Literatur [] Kernlerplan für das Gymnasium Sekundarstufe I (G8) in Nordrein- Westfalen: Matematik [2] H. Winter: Matematikunterrict und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellscaft für Didaktik der Matematik Nr. 6, [3] M. Ludwig: Matematikunterrict öffnen. In: T. Leuders (Hrsg.), Matematikdidaktik (Cornelsen, 2003) [4] W. Bleicrot et al., Facdidaktik Pysik (Aulis, 999) [5] L. Brüning, T. Saum, Erfolgreic unterricten durc Kooperatives Lernen. Strategien zur Scüleraktivierung. Band (Neue Deutsce Scule, 2009) 6 Erklärung Ic versicere, dass ic die Scriftlice Arbeit eigenständig verfasst, keine anderen Quellen und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt und die Stellen der Scriftlicen Arbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder Sinn nac entnommen sind, in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quelle als Entlenung kenntlic gemact abe. Das Gleice gilt auc für beigegebene Zeicnungen, Kartenskizzen und Darstellungen. Anfang und Ende von wörtlicen Textübernamen abe ic durc Anund Abfürungszeicen, sinngemäße Übernamen durc direkten Verweis auf die Verfasserin oder den Verfasser gekennzeicnet. Ort, Datum Unterscriftf Anang erwartetes Tafelbild Einstiegsfolie Hilfekarten 0

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12 Wie misst man die Höe eines unzugänglicen Turms? Ein alter Turm ist von oem und dictem Gestrüpp umwacsen, die direkte Messung der Entfernung zum Turm ist nict möglic. Von einem Beobactungspunkt aus siet man die Oberkante des Turm unter einem Winkel von 40. Get man 4m weiter zurück, so siet man die Oberkante unter einem Winkel von 25. (die Originalversion entält ier eine Abbildung aus LS9) Arbeitsauftrag : Ziel ist es, zunäcst eine Strategie zur Lösung des Problems zu entwickeln. Fertige eine passende Skizze in deinem Heft an. Notiere deine Ideen zur Berecnung von. (Einzelarbeit, 3min) Vergleice und diskutiere deine Ideen mit deiner Partnerin bzw. deinem Partner. (Partnerarbeit, 2min) Arbeitsauftrag 2: Die erarbeitete Stratagie zur Berecnung von soll nun ausgefürt werden. (Partnerarbeit, 8min) Entsceide dic mit deinem Partner für eine der folgenden Möglickeiten: Verwendet bei der Recnung sofort Näerungswerte mit 4 Nackommastellen, z.b. tan 25 = (einfac). Lasst die Ausdrücke tan 25 und tan 40 so steen und tippt euren Ausdruck für erst am Ende in den Tascenrecner (mittel). Verwendet direkt zu Beginn die allgemeinen Ausdrücke tan α, tan β, y und leitet einen allgemeine Formel zur Berecnung von er (scwer).

13 Wir vermessen die Höe unserer Aula Verfaren (aus der Hausaufgabe): Direkt neben dem Haupteingang findet ir Abstandsmarkierungen auf dem Sculof. Wält eine Messposition und bestimmt s und α. α s. s = α = Verfaren 2 (aus der Stunde): Wir legen auf der zur Straße gewandten Seite der Aula ein langes Maßband auf den Sculof. Suct euc einen ersten Messpunkt aus und messt α. Überlegt euc eine Entfernung s (nict zu klein, ruig 5m oder mer) β s α. und get so weit zurück. Messt dann β. α = s = β = Und zuletzt... vergesst nict, eure Augenöe zu messen! Augenöe A = Recnung : = s tan α = Gesamtöe: H = + A = Recnung 2: = s tan β = tan tan α β Gesamtöe H = + A =

14 HILFEKARTE Setze tan 40 für x in Gleicung 2 ein. Wenn du mit Dezimalzalen recnen willst, kannst du tan 40 =.98 und tan 25 = verwenden (4 Nackommastellen). Bringe den Nenner des Brucs auf die andere Seite. Vergiss nict, Klammern zu setzen! Multipliziere aus und löse nac auf. HILFEKARTE Setze tan 40 für x in Gleicung 2 ein. Wenn du mit Dezimalzalen recnen willst, kannst du tan 40 =.98 und tan 25 = verwenden (4 Nackommastellen). Bringe den Nenner des Brucs auf die andere Seite. Vergiss nict, Klammern zu setzen! Multipliziere aus und löse nac auf. HILFEKARTE Setze tan 40 für x in Gleicung 2 ein. Wenn du mit Dezimalzalen recnen willst, kannst du tan 40 =.98 und tan 25 = verwenden (4 Nackommastellen). Bringe den Nenner des Brucs auf die andere Seite. Vergiss nict, Klammern zu setzen! Multipliziere aus und löse nac auf. HILFEKARTE Setze tan 40 für x in Gleicung 2 ein. Wenn du mit Dezimalzalen recnen willst, kannst du tan 40 =.98 und tan 25 = verwenden (4 Nackommastellen). Bringe den Nenner des Brucs auf die andere Seite. Vergiss nict, Klammern zu setzen! Multipliziere aus und löse nac auf. HILFEKARTE Setze tan 40 für x in Gleicung 2 ein. Wenn du mit Dezimalzalen recnen willst, kannst du tan 40 =.98 und tan 25 = verwenden (4 Nackommastellen). Bringe den Nenner des Brucs auf die andere Seite. Vergiss nict, Klammern zu setzen! Multipliziere aus und löse nac auf.