Darstellung univariater Datenmengen

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1 Darstellng nvarater Datenmengen Häfgketstabellen/ Häfgketsvertelngen Grafsche Darstellng Emprsche Vertelngsfnktn Endmensnale Häfgketstabelle bzw. Häfgketsvertelng Ene Häfgketstabelle st ene besndere Verdchtngsfrm (Grpperng bzw. Klasserng ener Rehe vn Bebachtngen, ach Uhrlste benannt. Dese Tabelle enthält mndestens zwe Spalten. In der erste Spalte befnden sch de Grppen bzw. Klassen nd n der anderen Spalten de abslten bzw. relatven Häfgketen der Grppen bzw. Klassen. Dese Tabelle wrd ach als Häfgketsvertelng bezechnet. 2

2 Allgemener Afba ener endmensnalen Häfgketstabelle Grppen bzw. Klassen kmlerte Häfgketen Häfgketen abslte relatve abslte relatve h f H F h f H F 2 h 2 f 2 H 2 F 2 : : : : : k h k f k N N Smme N - - k h h = N f = H = h j F = f = N j= j= j = De abslten Häfgketen lassen sch enfach drch Aszählen ermtteln. H N 3 Bespel: Häfgketstabelle für en nmnalskalertes Merkmal Herknftsgebet kmlerte Häfgketen Häfgketen abslte relatve abslte relatve h f H F MV 250 0, ,625 ABL 50 0, ,750 NBL 00 0, Smme f = h N H = h j j= F = f j De Grppen müssen ncht nbedent srtert werden. = j= H N 4

3 Bespel: Häfgketstabelle für en rdnalskalertes Merkmal Anzahl der Geschwster kmlerte Häfgketen Häfgketen abslte relatve abslte relatve h f H F , , , , , ,925 3 der mehr 30 0, Smme h f = H = h j F = f j N j= De Grppen werden srtert dargestellt. = j= H N 5 Bespel: Häfgketstabelle für en metrsch skalertes Merkmal Mtrlestng vn bs nter n PS kmlerte Häfgketen Häfgketen abslte relatve abslte relatve h f H F nter , , , , ,80 2 0, , , , , der mehr 6 0, Smme

4 Charakterserng der Klassen Klassenbrete ntere Klassengrenze = bere Klassengrenze ' = + 2 Klassenmtte 7 Klasserngsprnzpen Bldng möglchst glech breter (äqdstanter Klassen. Bldng ncht äqdstanter Klassen mt gerngerer Brete drt, w Merkmalsasprägngen sehr dcht legen. Bldng ncht äqdstanter Klassen mt größerer Brete drt, w nr wenge Merkmalsasprägngen legen. 8

5 Klasserngsprnzpen Es sllen ncht wenger als 5 Klassen nd ncht mehr als 5 sen. Fastregel: de Anzahl der Klassen sll etwa der Wrzel des Gesamthetsmfanges entsprechen, das st nr en Anhaltspnkt. Wchtger st jedch, dass das Spezfkm des Datenmaterals erhalten blebt. Aftretende Löcher dürfen ncht drch de Klassenbldng verdeckt werden. 9 Grafsche Darstellng vn Häfgketsvertelngen Nach Skalentyp werden flgende Dagrammen gentzt: Kresdagramme, Sälen- nd Balkendagramme Für nmnalskalerte Merkmale Sälen- nd Balkendagramme Für rdnalskalerte Merkmale Hstgramm, Freqenzplygn Für metrsch skalerte Merkmale 0

6 Kresdagramm... st besnders geegnet, m de Vertelng enes nmnalskalerten Merkmals abzblden, wbe der Vllkres de Gesamthet repräsentert nd de Sektren de Antele der Telmengen an der Grndgesamthet afzegen. Jra 0% WWss 7% AUWss 6% IngWss 5% MatNat 8% GeWss 9% LÄ 4% Med % Bespel: Stderende m Wntersemester 0/02 an der Unverstät Rstck nach Fächergrppen (Gesamt Stderende Jra 0% WWss 7% AUWss 6% IngWss 5% MatNat 8% GeWss 9% LÄ 4% Med % 2

7 Bespel: Gestaltngsmöglchketen be Kresdagrammen Paare hne Knder 27% Partner/n 7% Strktr der Bevölkerng nach Lebensfrmen 200 8,5 M. Allen Lebende 7% snstge Persnen Paare mt Kndern 47% 3 Bespel: Lestngsempfänger nach dem Asylgesetz gegledert, nach Herknftsregn Afrka 8,2% nbekannt 7,0% Asen 23,8% übrge Staaten, Staatenls 0,4% Erpa 60,6% Sr Lanka 8% Vetnam 3% übrges Aen 37% Bsnen- Herzegwna 3% übrges Erpa 3% Pakstan 6% Türke 9% Lbann 2% Iran 7% Afganstan 7% Rsssche Förderatn % Serben nd Mntenegr 64% 4

8 Balken- bzw. Sälendagramm... Se snd besnders geegnet, m Vertelngen enes nmnal-, bzw. rdnalskalerten Merkmals abzblden. De Länge der Balken bzw. der Sälen stellen de abslten bzw. relatven Häfgketen der Grppen dar. 5 Bespel: Balkendagramm - nebenenander 7- nd 8-jährge Schüler der gymnasalen Oberstfe gegledert nach berflcher Stellng der Eltern nd Regn Arbeter Angestellte Beamte Nee Länder nd Berln-Ost Früheres Bndesgebet Selbständge Assage: 64% der Schüler, deren Eltern Beamte snd, beschen n den alten Ländern das Gymnasm während es n den neen Ländern ledglch 46% snd. 6

9 Bertelen Se selbst an Bespelen der Amtlchen Statstk 7 Hstgramm En Hstgramm st ene spezelle Darstellngsfrm des Sälendagramms, welches de relatven Häfgketen enes klasserten stetges Merkmal vermttelt. Da es sch her m ene stetges Merkmals handelt, darf zwschen den Sälen ken leerer Ram bleben. De relatven Häfgketen werden n deser Darstellngsfrm drch de Fläche nd ncht drch de Höhe der Sälen charaktersert! De Gesamtfläche des Hstgramm sll glech Ens sen. Besnders vrschtg mss man her handelt, wenn de Klassen ncht äqdstant snd. Für bretere Klassen mss de Höhe der dazgehörenden Säle entsprechend verklenert werden nd mgekehrt. Man kann mt dem Hstgramm ach de abslten Häfgketen darstellen. 8

10 Przente Bespel: Hstgramm 25% 20% 5% 0% De Gesamtfläche st Ens! 5% Lestng [PS] 9 Bespel: Hstgramm 25% Przente 20% 5% 0% 5% Ist ene Klasse drefach s bret we de anderen Klassen, dann mss de Häfgket deser Klasse drch dre dvdert werden, damt de gesamte Fläche (Ens erhalten blebt! Lestng [PS] 20

11 Bertelen Se selbst an Bespelen der Amtlchen Statstk 2 Zsammenhang zwschen Häfgket nd Smmenhäfgketsfnktn f F k = 00% Afsmmeren De Sälenfläche des Hstgramms kmleren sch nd blden de entsprechenden Sälen m Dagramm der Smmenhäfgketen. 22

12 Przente Bertelng vn Hstgrammen Hstgramme verschaffen enen vsellen Endrck der Vertelng Der Endrck st jedch vn der Wahl der Klassenbrete (vn der Zahl der Klassen abhängg! Be nchtbreten Klassen wrd de Anschalchket des Dagramms erschwert, zmal de Häfgketen ncht mt der Höhe der Sälen, sndern mt der Fläche zm Asdrck gebracht werden! Wel das qanttatve Merkmal stetge skalert st, sllte zwschen den Sälen ken Zwschenram sen. 23 Freqenzplygn Verbndet man de Mttelpnkte der Sälen enes Hstgramm drch Lnenabschntte, bekmmt man en Freqenzplygn. Deses Plygn sll an der X-Achse begnnen nd enden. Daz fügt man zwe nee Klassen en, de lgscherwese de Freqenz Nll haben. 25% 20% 5% 0% 5% Lestng [PS] 24

13 Bertelen Se selbst an Bespelen der Amtlchen Statstk 25 Emprsche Vertelngsfnktn De emprsche Vertelngsfnktn F enes kardnalskalerten Merkmals X wrd für alle reelle Zahlen defnert nd gbt den Antel F( der Bebachtngen an, de klener der glech den Wert snd. F(=W(X De relatven Smmenhäfgketen der entsprechenden Häfgketstabelle blden de Bass für de Berechnng der emprschen Vertelngsfnktn des nterschten Merkmals. Man nterschedet zwschen dskreten nd stetgen Merkmalen. 26

14 F( = Emprsche Vertelngsfnktn enes dskreten Merkmals Wert Nll für alle, de klener snd als de erfassten Werte. 0 F für < für für < k + ( =,..., k F( = 00% Ens für alle, de größer snd als de erfassten Werte. + k F für alle zwschen ener Asprägng nd der nächsten. An jeder Asprägng sprngt de Fnktn m f Bespel: Emprsche Vertelngsfnktn für Geschwsteranzahl De grafsche Darstellng der emprschen Vertelngsfnktn enes dskreten Merkmals ergbt das Bld ener Treppenfnktn: = 00% 0,85 = 85 % 0,55 = 55 % Nte f F 0,30 0,30 2 0,25 0,55 0,3 = 30 % Assage 3 0,30 0,85 4 0,5,00 Alle Stdenten legen m Ntenberech vn bs 4, 55% aller Stdenten wrden mt Nte 2 nd besser bentet, 85 % aller Stdenten wrden mt Nte 3 nd besser bentet. 28

15 Emprschen Vertelngsfnktn enes klasserten stetgen Merkmals De emprsche Vertelngsfnktn enes stetgen klasserten Merkmals entsprcht der relatven Smmenhäfgket an der Klassengrenze. Für alle andere st F( nbekannt. Man kann se nter der Annahme Glechvertelng nnerhalb der Klassen drch lneare Interplatn apprmatv berechnen. De grafsche Darstellng der emprschen Vertelngsfnktn enes stetgen klasserten Merkmals ergbt das Bld enes Smmenplygns. 29 Smmenplygn F( k F( F( F( 30

16 Bespel: Emprsche Vertelngsfnktn enes stetg skalerten Merkmals De grafsche Darstellng der emprschen Vertelngsfnktn enes stetgen klasserten Merkmals ergbt das Bld enes Smmenplygns. = 00% 0,85 = 85 % 0,55 = 55 % 0, = 0 % Brttmnatsverdenst Assage Alle befragten Persnen haben höchstens en Enkmmen vn 4.000, 55% aller befragten Persnen haben en mnatl. Brttenkmmen vn mamal 2.000, 0 % aller Befragten erhalten en mnatl. Brttenkmmen vn ma Emprsche Vertelngsfnktn enes stetg Merkmals F ( = 0 - F( + Nll für alle, de klener snd als de nterste Klassengrenze. f für < für für < k ( =,...,k Ens für alle, de größer snd als de bere Klassengrenze der letzten Klasse Für jeden anderen Wert, der nnerhalb der abgebldeten Klassen legt, lassen sch drch de gegebene Frmel (lneare Interplatn apprmatv bestmmen. 32

17 Lneare Interplatn Asgangspnkt se: en klassertes stetges Merkmal Glechvertelng nnerhalb der Klassen Gescht: De Ordnate F( der rten Strecke an jeder Stelle F( F( F( gescht f = F( F( F( - = Klassenbrete 33 Vrgehen zr Ordnatenbestmmng Es glt: a c b d a b = c d b = a c d b = a c d F( - b f F( = F( - + f 34

18 Vrgehen zr Abszssenbestmmng In desem Fall st F( = p gegeben. Es wrd den entsprechenden -Wert gescht. Generell handelt man analg zr Ermttlng der F(-Werte. Man verwendet de lneare Interplatn. Daz st ene andere Strecke m Verhältnsdreeck z bestmmen.! p F( F( F( F( gescht Klassenbrete ( = ( 35 Vrgehen zr Abszssenbestmmng a c b p d = + a c = b d c b a = d p F F( F( c bzw. a = b d ( ( 36

19 Verwendng vn F( Antelsbestmmng Es kann mt der emprschen Vertelngsfnktn de Frage beantwrtet werden, welcher Antel (bzw. wevel Przent aller erfassten Enheten enen bestmmten Merkmalswert ncht überschreten. Man nmmt ene Antelsbestmmng vr. (rechnersch, ndem man de angeführte Frmel der emprschen Vertelngsfnktn verwendet We hch st der Antel der Hashalte mt Hashaltsenkmmen vn höchstens 500 Er? 37 Verwendng vn F( Merkmalasprägngsbestmmng Se kann aber ach zr Beantwrtng der mgekehrten Fragestellng bentzt werden, ndem vn enem gegebenen Qantl asgegangen wrd nd der entsprechende Merkmalswert ermttelt wrd. Man nmmt ene Asprägngsbestmmng vr. (rechnersch, ndem man de angeführte Glechng der emprschen Vertelngsfnktn für löst We hch st das ma. Hashaltsenkmmen der ntersten 0% der prvaten Hashalte? 38

20 Bespel Erwerbsstatstk vn DESTATIS: Vertelngsfnktn berechnen, damt Se de flgenden Fragen beantwrten können! 39 Beantwrten Se af Grnd der Erwerbsdaten flgende Fragen: We alt st das ntere Vertel der erwerbstätgen Männer (Fraen n Detschland per ? We alt st de mttlere Hälfte der erwerbstätgen Männer (Fraen n Detschland per ? Geben Se de Grenzen des Altersbereches an! 20 Przent der Erwerbstätgen n Detschland snd per ncht älter als... Jahre alt. De Hälfte der Erwerbstätgen n Detschland st per höchstens Jahre alt. 40

21 Bespel Erwerbsstatstk vn DESTATIS, Qelle EVS 2003: HHNE vn bs nter Er Früheres Bndesgebet Unter 900 7,2 2, ,7 6, ,6 7, ,7 7, ,7 6, , 5, ,6 8, ,2 5,4 Mt Persnen m HH 36,8 35,6 2 33,6 35,4 3 3,7 6,9 4,4 9,7 5 nd mehr 4,6 2,4 Nee Länder nd Berln- Ost 4 Beantwrten Se af Grnd der Erwerbsdaten flgende Fragen: Welches Hashaltsnettenkmmen hat de Hälfte der Hashalte n Detschland (Früheres Bndesgebet, Nee Länder nd Berln- Ost 2003? We hch st das Hashaltsnettenkmmen mndestens für de 0 Przent höchsten Enkmmensbezeher m Früheren Bndesgebet nd n den Neen Ländern nd Berln-Ost m Jahr 2003? Dre Vertel der Hashalte n Detschland (Früheres Bndesgebet, Nee Länder nd Berln-Ost verfügen 2003 über höchstens Er mnatlches Nettenkmmen. In der Hälfte der detschen Hashalte (Früheres Bndesgebet, Nee Länder nd Berln-Ost leben 2003 ncht mehr als Persnen. 42