Günther Holzmann Heinz Meyer Georg Schumpich. Technische Mechanik Kinematik und Kinetik

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1 Günher Holzmann Heinz Meyer Georg Schumpich Technische Mechanik Kinemaik und Kineik

2 Günher Holzmann Heinz Meyer Georg Schumpich Technische Mechanik Kinemaik und Kineik 10., überarbeiee Auflage Mi 315 Abbildungen, 138 Beispielen und 172 Aufgaben Von Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer uner Miwirkung von Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich überarbeie von Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller und Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer STUDIUM

3 Bibliografische Informaion der Deuschen Naionalbibliohek Die Deusche Naionalbibliohek verzeichne diese Publikaion in der Deuschen Naionalbibliografie; deailliere bibliografische Daen sind im Inerne über <hp://dnb.d-nb.de> abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller verri die Lehrgebiee Mechanik und Finie-Elemen-Mehoden im Fachbereich Maschinenbau und Verfahrensechnik der Hochschule Niederrhein, Krefeld. Seine Forschungsineressen liegen auf dem Gebie der saischen und dynamischen Sabiliä mechanischer Srukuren. Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer lehre Technische Mechanik, Leichbausaik und Finie Elemene im Fachbereich Fahrzeugechnik der Hochschule für Angewande Wissenschafen und außerdem Technische Mechanik im hochschulübergreifenden Sudiengang Schiffbau in Hamburg. Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer (vers.), Osnabrück Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich (vers.), Hannover 1. Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage , überarbeiee Auflage 2010 Alle Reche vorbehalen Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lekora: Thomas Zipsner Ellen Klabunde Vieweg+Teubner Verlag is eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien is Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile is urheberrechlich ge schüz. Jede Verwerung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechs ge se zes is ohne Zusimmung des Verlags unzuläs sig und sraf bar. Das gil ins be sondere für Vervielfäligungen, Übersezungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeiung in elekronischen Sysemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechig auch ohne besondere Kennzeichnung nich zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschuz-Gesezgebung als frei zu berachen wären und daher von jedermann benuz werden dürfen. Umschlaggesalung: KünkelLopka Medienenwicklung, Heidelberg Saz: Fromm MediaDesign, Selers/Ts Druck und buchbinderische Verarbeiung: MercedesDruck, Berlin Gedruck auf säurefreiem und chlorfrei gebleichem Papier. Prined in Germany ISBN

4 Vorwor Der vorliegende Teil 2 des dreibändigen Lehrbuches Technische Mechanik behandel die Kinemaik und Kineik. Das Buch riche sich an Sudierende der Ingenieurwissenschafen sowie an den in der Berufspraxis sehenden Ingenieur. Großer Wer wurde auf eine klar srukuriere und versändliche Darsellung des Lehrsoffes geleg. Anschaulichen Herleiungen gal dabei der Vorzug gegenüber rein heoreischen Ableiungen. Die Kinemaik und Kineik bilden die Grundlage für die Behandlung zeivarianer Problemsellungen der Mechanik. Die Kinemaik is die Lehre von den Bewegungen, wobei die während des Bewegungsvorgangs wirkenden Kräfe nich berücksichig werden. In der Kineik hingegen werden die durch die einwirkenden Kräfe verursachen Bewegungsänderungen verfolg. Im vorliegenden Band werden zunächs die Grundgleichungen der Kinemaik des Massenpunkes und des sarren Körpers enwickel. Ergänz werden diese Berachungen durch die kinemaischen Beziehungen zur Beschreibung der Relaivbewegung. Ein zenrales Problem der Kineik is das Aufsellen der Bewegungsgleichungen. Dem Anfänger bereie die zweckmäßige Wahl eines Koordinaensysems und die dami verbundene Feslegung der Vorzeichen in den Bewegungsgleichungen vielfach Schwierigkeien. Ausgehend vom 2. Newonschen Grundgesez bzw. dem daraus abgeleieen Prinzip von d Alember werden die einzelnen Schrie erläuer, die zum Aufsellen der Bewegungsgleichungen führen. Zahlreiche Problemsellungen der Kineik lassen sich voreilhaf mi Hilfe der Erhalungssäze (Energiesaz, Impulserhalungssaz, Impulsmomenerhalungssaz) lösen. Die genannen Säze werden ausführlich hergeleie und ihre Anwendung in der Kineik anhand von aussagekräfigen Beispielen dokumenier. Eine besondere Bedeuung in der Ingenieurpraxis besizen die mechanischen Schwingungen, die im lezen Kapiel behandel werden. Nach der Einführung in die freien und erzwungenen Schwingungen von einfachen Feder-Masse-Sysemen werden die Unersuchungen auf Koppelschwinger erweier. Hieran anschließend werden die Torsions- und Biegeschwingungen von Wellen behandel, und der für den Ingenieur wichige Begriff der biegekriischen Drehzahl wird erklär. Das didakische Konzep des vorliegenden Buches beseh darin, dass jeweils nach einer versändlichen Einführung in die heoreischen Grundlagen der Lehrsoff anhand von aussagekräfigen Beispielen erklär und verief wird. Die zahlreichen Übungsbeispiele am Ende jedes Abschnies bieen die Möglichkei, den erlernen Soff im Selbssudium zu veriefen. Hamburg / Krefeld, im Juli 2005 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller

5 Vorwor zur 10. Auflage Im Vordergrund der Bearbeiung zur vorliegenden 10. Auflage sand die Verbesserung des Buchlayous. So wurde ein Großeil der Bilder durch neue Compuergraphiken ersez. Wichige Merksäze und Formeln wurden durch farbliche Hinerlegung opisch hervorgehoben. In Anlehnung an die Bände Saik und Fesigkeislehre des Werkes wurde die Nummerierung der Gleichungen, Tabellen und Bilder umgesell. Um Hinweise auf Tabellen und Bilder im laufenden Tex schneller auffinden zu können, wurden diese fe gedruck. In zahlreichen Leserzuschrifen wurde der Wunsch nach einem Abschni zu den Schwingungen koninuierlicher Syseme geäußer. Dieser wurde in der vorliegenden Auflage am Ende des Abschnies 7 ergänz. Die in den zurückliegenden Auflagen im Abschni 7 behandele Beschreibung gedämpfer Schwingungen mi Hilfe von Orskurven wurde herausgenommen. Diese Darsellung, die vornehmlich in der Regel- und Elekroechnik benuz wird, wird im Zusammenhang mi den mechanischen Schwingungen kaum verwende. Sämliche Abschnie des Buches wurden sorgfälig durchgesehen und dabei alle konsrukiven Anregungen der Leser berücksichig. Allen Benuzern des Buches, von denen wir Anregungen und Hinweise zur Verbesserung erhielen, danken wir herzlich. Für weiere Vorschläge zur Verbesserung des Buches sind wir ses dankbar. Ein besonderer Dank gil auch dem Verlag Vieweg + Teubner, und hier insbesondere Herrn Thomas Zipsner vom Lekora Maschinenbau, für die angenehme Zusammenarbei und die gue Aussaung des Buches. Hamburg / Krefeld, im Augus 2010 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller

6 Inhal Vorwor... Vorwor zur 10. Auflage... Formelzeichen (Auswahl)... V VI XI 1 Kinemaik des Punkes Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn Bogenlänge, Bahngeschwindigkei, Bahnbeschleunigung Kinemaische Diagramme Gleichförmige Bewegung Gleichförmig beschleunige Bewegung Ungleichförmige Bewegung Aufgaben zu Abschni Allgemeine Bewegung eines Punkes Orsvekor, Bahnkurve Geschwindigkeisvekor Beschleunigungsvekor Bahn- und Normalbeschleunigung Aufgaben zu Abschni Bewegung auf kreisförmiger Bahn Winkelgeschwindigkei, Winkelbeschleunigung Beschreibung der Kreisbewegung in karesischen Koordinaen Gleichförmige Kreisbewegung Gleichförmig beschleunige Kreisbewegung Anwendungen der Kreisbewegung Aufgaben zu Abschni Beschreibung der ebenen Bewegung eines Punkes in Polarkoordinaen Kineik des Massenpunkes Das Newonsche Grundgesez Das Grundgesez und die Axiome der Kineik Das Grundgesez in Komponenenform Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben der Kineik Bewegung bei konsaner Bahnkomponene der Kraf Prinzip von d Alember Bahnkomponene der Kraf abhängig vom Or, freie Schwingungen Aufgaben zu Abschni Arbei, Energie, Leisung Arbei einer Kraf Energie Arbeissaz und Energieerhalungssaz Leisung einer Kraf, Wirkungsgrad Aufgaben zu Abschni Bewegung eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium

7 VIII Inhal Widersandsgeseze Fall eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium Aufgaben zu Abschni Impulssaz, Impulsmomensaz Impuls, Impulssaz Impulsmomen, Impulsmomensaz Kinemaik des Körpers Ebene Bewegung eines sarren Körpers Momenanpol, Polbahnen Aufgaben zu Abschni Geschwindigkeis- und Beschleunigungszusand einer Scheibe Momenanpol als Geschwindigkeispol Saz von Euler Maßsäbe und Konsrukion der Normalbeschleunigung Aufgaben zu Abschni Kinemaik der Relaivbewegung Führungs- und Relaivbewegung Absolu- und Coriolisbeschleunigung Aufgaben zu Abschni Kineik des Massenpunksysems Schwerpunksaz Impuls- und Impulserhalungssaz Impulsmomen, Impulsmomensaz Bewegung bei veränderlicher Masse Rakeenbewegung Aufgaben zu Abschni Kineik des Körpers Allgemeine Bewegung. Körper als Grenzfall eines Massenpunksysems Drehung eines sarren Körpers um eine fese Achse Grundgesez für die Drehbewegung, Impulsmomensaz Grundgesez für die Drehung um eine fese Achse Massenrägheismomene einfacher Körper Massenrägheismomene um parallele Achsen, Saz von Seiner Reduziere Masse, Trägheisradius Anwendungen des Grundgesezes für die Drehbewegung Impulsmomensaz bei Drehung um eine fese Achse Zenrifugalmomene, Haupachsen, Hauprägheismomene Anwendungen des Impulsmomensazes. Dynamische... Auflagerreakionen. Auswuchen Resulierende Trägheiskraf, Trägheismielpunk Aufgaben zu Abschni

8 Inhal IX Arbei, Energie und Leisung bei der Drehbewegung Arbei Kineische Energie Arbeissaz Poenzielle Energie, Energieerhalungssaz Leisung Aufgaben zu Abschni Ebene Bewegung eines sarren Körpers Bewegungsgleichungen Impulsmomenerhalungssaz Aufgaben zu Abschni Kineik der Relaivbewegung Aufgaben zu Abschni Energie, Arbei und Leisung bei allgemeiner und ebener Bewegung Kineische Energie Leisung Arbei Arbeissaz, Leisungssaz, Energieerhalungssaz Aufgaben zu Abschni Drehung eines sarren Körpers um einen fesen Punk Impulsmomensaz Der geführe symmerische Kreisel Aufgaben zu Abschni Soß Allgemeines, Definiionen Gerader zenraler Soß Elasischer Soß Plasischer Soß Wirklicher Soß Gerader exzenrischer Soß gegen einen drehbar gelageren Körper, Soßmielpunk Aufgaben zu Abschni Mechanische Schwingungen Grundbegriffe Freie ungedämpfe Schwingungen Freie Schwingungen mi geschwindigkeisproporionaler Dämpfung Aperiodische Bewegung Freie gedämpfe Schwingung Aperiodischer Grenzfall Erzwungene Schwingungen Erregung über eine Feder Erzwungene Schwingungen durch Fliehkraferregung Koppelschwingung. Schwingungsilger

9 X Inhal 7.5 Schwingungen von Wellen Torsion einer einfach besezen Welle Biegekriische Drehzahl der mi einer Scheibe besezen Welle Die mi mehreren Scheiben beseze Welle Schwingungen koninuierlicher Syseme Aufgaben zu Abschni Anhang Lösungen zu den Aufgaben Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Abschni Weierführende Lieraur Sichworverzeichnis Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk ensprechen dem Sande der Normung bei Abschluss des Manuskripes. Maßgebend sind die jeweils neuesen Ausgaben der Normbläer des DIN Deusches Insiu für Normung e.v. im Forma A 4, die durch den Beuh-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind. Sinngemäß gil das Gleiche für alle in diesem Buche angezogenen amlichen Besimmungen, Richlinien, Verordnungen usw.

10 Formelzeichen (Auswahl) A Fläche F R, F R resulierende Kraf A, B, C Inegraionskonsanen F S Seilkraf a Beschleunigung F, F n Bahn- und Normalkomponene a Beschleunigungsvekor der Kraf a abs absolue Beschleunigung F W Widersandskraf a B, a C,... Beschleunigung der Punke F x, F y, F z skalare Komponenen der Kraf B, C,... f s saische Auslenkung einer a CB Roaionsbeschleunigung des Feder Punkes C bezüglich B G Gleimodul a Cor Coriolisbeschleunigung g Fallbeschleunigung a F Führungsbeschleunigung H Heizwer a n Normal- oder Zenripeal- h Höhe beschleunigung I axiales Flächenmomen a r Radialbeschleunigung 2. Grades a rel Relaivbeschleunigung I p polares Flächenmomen a S Schwerpunkbeschleunigung 2. Grades a Tangenial- oder Bahn- I x, I y, I z Flächenmomen bezüglich der beschleunigung x-, y- und z-achse a x, a y, a z skalare Komponenen des i Trägheisradius Beschleunigungsvekors i Übersezungsverhälnis a Umfangsbeschleunigung J Massenrägheismomen c Federkonsane J red reduzieres Massenrägheisc d Drehfederkonsane momen c g Ersazfederkonsane J S Massenrägheismomen c W Widersandsbeiwer bezogen auf den Schwerpunk d Durchmesser J x, J y, J z Massenrägheismomen E Energie, Elasiziäsmodul J, J, J bezüglich der x-, y- und z-achse E k kineische Energie bzw. der -, - und -Achse E p poenzielle Energie J xy, J yz, J zx Zenrifugalmomen E pf poenzielle Energie der Feder J, J, J Zenrifugalmomen E ph poenzielle Energie der Lage j imaginäre Einhei e r, e, e z Einsvekoren des Zylinder- (s. DIN 1302) e, e n, e b koordinaensysems k Dämpfungskonsane Einsvekoren des naürlichen L Impulsmomen Koordinaensysems, Tangenen-, L 0, L S Impulsmomen bezüglich eines Normalen- und Binormalen- fesen Punkes 0 und bezüglich Einsvekor des Schwerpunkes e x, e y, e z Einsvekoren des karesischen l Länge F, F Koordinaensysems l red reduziere Pendellänge Kraf, Krafvekor M, M Drehmomen, Drehmomen- F A Aufriebskraf vekor F F Fliehkraf M K Kreiselmomen F G, F G Gewichskraf M x, M y, M z Komponenen des F h, F r Haf-, Gleireibungskraf Drehmomenvekors F q Querkraf m Masse

11 XII Formelzeichen (Auswahl) m a Beschleunigungsmaßsabsfakor v S, v S saionäre Sinkgeschwindigkei, m L Längenmaßsabsfakor Schwerpunkgeschwindigkei m red reduziere Masse v x,v y,v z skalare Komponenen des m v Geschwindigkeismaßsabsfakor Geschwindigkeisvekors m Maßsabsfakor für die W Arbei Durchbiegung W N Arbei der Kräfe ohne n = 1/T Drehzahl, Frequenz, Poenzial Schwingungszahl W n, W v Nuz- und Verlusarbei P Leisung W z zugeführe Arbei P e, P i effekive und indiziere Leisung w Durchbiegung, Auslenkung P n, P v, P z Nuz-, Verlus- und zugeführe eines Balkens p, p Leisung x, y, z Koordinaen Impuls, Impulsvekor p x, p y, p z des skalare Komponenen = Winkelbeschleunigung q Impulsvekors,,,, Winkel Orsvekor von bewegem = 1/c Einflusszahl Bezugspunk aus Abklingkonsane R Erdradius Wirkungsgrad r Orsvekor m, h mechanischer, hermischer r Radius Wirkungsgrad r S Schwerpunkabsand = / 0 Dämpfungsgrad S a, S v, S 1... Srecke, durch die eine Beschleunigung, logarihmisches Dekremen eine Geschwindigkei, eine Schubsangenverhälnis Länge usw. in der Zeichnung dargesell Gleireibungszahl is 0 Hafzahl s Orskoordinae r Roll- bzw. Fahrwidersands- T Schwingungsdauer zahl Zei z Zapfenreibungszahl u Geschwindigkei, Treibsrahl-,, Koordinaen v, v geschwindigkei Krümmungsradius Geschwindigkei, Diche Geschwindigkeisvekor F1, K, L Diche von Flüssigkei, v A Geschwindigkei am Anfang Körper, Luf des ersen Soßabschnis Normalspannung v abs absolue Geschwindigkei Inegraionsvariable v B, v C... Geschwindigkei der Punke Drehwinkel, Nullphasenwinkel B, C,... Winkel, Neigungswinkel der v CB Roaionsgeschwindigkei des Biegelinie Punkes C bezüglich B = Winkelgeschwindigkei, auch v F, v rel Führungs- und Relaiv- kriische geschwindigkei 0 konsane Winkelgeschwindigkei, v P, v E, v W Geschwindigkei nach dem Kennkreisfrequenz plasischen, elasischen und d Eigenkreisfrequenz wirklichen Soß r Resonanzfrequenz v r, v Radial- und Umfangsgeschwindigkei

12 1 1 Kinemaik des Punkes Die Saik befass sich mi Körpern im Ruhezusand. Änder sich die Lage eines Körpers mi der Zei, so sag man, er beweg sich. Es is Aufgabe der Kinemaik, die Bewegung eines Körpers oder die eines Sysems von Körpern (kurz eines mechanischen Sysems) möglichs einfach und vollsändig zu beschreiben. Die Kinemaik gib keinen Aufschluss über die Ursache der Bewegung, sie is eine reine Bewegungsgeomerie. Verschiedene Punke eines Körpers oder Teile eines mechanischen Sysems können zur gleichen Zei ganz verschiedene Bewegungen ausführen. Man denke an die Bewegung eines Fahrzeugs auf der Sraße. Aus einiger Enfernung berache, scheinen alle Teile dieselbe Bewegung zu vollziehen. In Wirklichkei beweg sich aber der Punk eines Rades gegenüber der Sraße ganz anders als ein Punk der Karosserie. Zur vollsändigen Beschreibung der Bewegung eines Körpers oder eines mechanischen Sysems gehör die Angabe der Bewegung aller seiner Punke. Die Bewegung eines Körpers oder die eines mechanischen Sysems kann sehr komplizier sein. Bei vielen echnischen Fragesellungen is es jedoch häufig ausreichend, die Bewegung eines Sysempunkes anzugeben. Ineressier man sich z. B. nur für die Bewegung des Fahrzeugs als Ganzes gegenüber der Sraße, so genüg es, die Bewegung eines Karosseriepunkes oder die seines Schwerpunkes zu beschreiben. Die Bewegung eines Punkes bilde also die Grundlage für die Beschreibung der Bewegung von Körpern. Deshalb wenden wir uns zunächs der Kinemaik des Punkes zu. 1.1 Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn Bogenlänge, Bahngeschwindigkei, Bahnbeschleunigung Ein Punk, der sich beweg, nimm im Laufe der Zei verschiedene Lagen ein. Die Gesamhei aller Ore, die der Punk nacheinander einnimm, nenn man seine Bahnkurve oder kurz seine Bahn. Bahnkurven werden of in einfacher Weise sichbar. Man denke ewa an den Kondenssreifen eines Düsenflugzeuges, an die Linie, die die Spize eines bewegen Bleisifes auf einem Bla Papier hinerläss oder an die Spuren eines Fahrzeugs im Schnee. In vielen echnischen Fällen is die Bahn eines Punkes von vornherein gegeben, man sprich von geführer Bewegung (z. B. Schienenfahrzeuge, Schlien von Werkzeugmaschinen u. a. m.). Is die Bahnkurve bekann, so kann die Lage des Punkes durch eine einzige Koordinae, z. B. durch die von einem fesen Punk 0 aus gemessene Bogenlänge s fesgeleg werden (Bild 1.1), und der Bewegungsablauf is vollsändig beschrieben, wenn diese in Abhängigkei von der Zei bekann is.

13 2 1.1 Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn s P() P(+ ) P2 P1 Bahn P-1 0 P0 Bild 1.1: Bahn eines Punkes Da für die Zählung der Bogenlänge s ein Richungssinn angenommen wird, kann sie als Koordinae posiive und negaive Were annehmen. So is die Orskoordinae s des Punkes P 1 in Bild 1.1 posiiv und die des Punkes P 1 negaiv. Man beache: Die Orskoordinae s gib den von einem Punk zurückgelegen Weg nur dann direk an, wenn die Bewegung an der Selle s = 0 beginn und dann sändig im Sinne wachsender Bogenlänge (in posiiver Koordinaenrichung) erfolg. In Bild 1.1 is die Bahn eines Punkes P gezeichne. Die Bahn allein gib keinen Aufschluss über den zeilichen Ablauf der Bewegung. Kennzeichne man jedoch die Sellen, an denen sich der Punk P nach Versreichen gleicher Zeiabschnie befinde, nacheinander mi P 0, P 1, P 2 usw., so erhäl man durch die Wegsrecken s 0, s 1, s 2 usw. zwischen je zwei Punken einen Eindruck vom zeilichen Verlauf der Bewegung. So is die Bewegung in Bild 1.1 von P 0 aus zunächs langsam und wird dann schneller, da der Punk mi wachsender Zei in gleichen Zeiabschnien größere Wegsrecken zurückleg. Bahngeschwindigkei Leg man nun die Ore P () und P ( + ), an denen sich der Punk zu der Zei und der späeren Zei ( + ) befinde, durch die Orskoordinaen s () und s ( + ) fes, so is der Differenzenquoien s( ) s( ) s vm (1.1) ( ) ein Maß für die Schnelligkei der Bewegung zwischen den beracheen Oren. Er is um so größer (bzw. kleiner), je schneller (bzw. langsamer) sich der Punk von P () nach P ( + ) beweg. Der Quoien is unabhängig von der Gesal der Bahn und wird als milere Bahngeschwindigkei bezeichne. Die milere Bahngeschwindigkei v m is der Quoien aus Wegdifferenz und zugehöriger Zeidifferenz. Durch die milere Bahngeschwindigkei is die Bewegung zwischen den beracheen Oren nich genau beschrieben. Je näher man aber den Punk P ( + ) bei P () wähl, eine deso genauere Aussage gib die milere Geschwindigkei nach Gl. (1.1) über die Schnelligkei der Bewegung des Punkes beim Passieren des Ores P (). Man definier daher die Bahngeschwindigkei in einem Punk der Bahn durch den Grenzwer

14 1.1.1 Bogenlänge, Bahngeschwindigkei, Bahnbeschleunigung 3 v s d s lim s 1) (1.2) 0 d Die Bahngeschwindigkei is die Ableiung der Bogenlänge, der Orskoordinae s nach der Zei. Die Geschwindigkei wird z. B. in den Einheien m/s, m/min oder km/h angegeben. In der Gl. (1.2) is > 0. Daher is die Bahngeschwindigkei v posiiv, wenn s > 0 is, wenn sich also der Punk in posiiver Koordinaenrichung beweg. Die Geschwindigkei is negaiv, wenn sich der Punk in negaiver Koordinaenrichung beweg. Bahnbeschleunigung Bezeichne man die Bahngeschwindigkei zu den Zeien und + mi v () und v ( + ), so wird durch den Differenzenquoienen v ( ) v( ) v a m (1.3) ( ) die milere Bahnbeschleunigung definier. Die milere Bahnbeschleunigung is der Quoien aus Geschwindigkeisdifferenz und zugehöriger Zeidifferenz. Durch den Grenzwer des Differenzenquoienen in Gl. (1.3) für 0 is die Bahnbeschleunigung in einem Punk der Bahn definier a v dv lim v 0 d (1.4) Berücksichig man Gl. (1.2), so kann auch geschrieben werden dv d ds d2s a s (1.5) d d d d 2 Die Bahnbeschleunigung a is die erse Ableiung der Bahngeschwindigkei v oder die zweie Ableiung der Orskoordinae s nach der Zei 2). Die Beschleunigung wird z. B. in den Einheien m/s 2 oder cm/s 2 angegeben. In der Gl. (1.3) is > 0. Daher is die Bahnbeschleunigung a posiiv, wenn v > 0 is, wenn also die Geschwindigkei mi der Zei wächs. Die Beschleunigung is negaiv, wenn v < 0 is. Man sprich auch 1) Ableiungen nach der Zei werden in der Mechanik durch einen Punk über dem Formelzeichen der abzuleienden Größe gekennzeichne. 2) In Abschn werden wir den Begriff der Normalbeschleunigung kennen lernen. Im Unerschied dazu wird das Formelzeichen a für die Bahnbeschleunigung, die man auch Tangenialbeschleunigung nenn, mi dem Index versehen. Wo keine Verwechslungen möglich sind, wie z. B. in diesem Abschn. 1.1, wollen wir den Index im Allgemeinen forlassen.

15 4 1.1 Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn von einer verzögeren Bewegung, wenn der Berag der Geschwindigkei mi der Zei abnimm. Bahnbeschleunigung und Bahngeschwindigkei haben in diesem Fall engegengesezes Vorzeichen. Is die Bahnbeschleunigung a 0, so wird die Bahn mi konsaner Bahngeschwindigkei durchlaufen. Eine solche Bewegung nenn man gleichförmig (s. Abschn ) Kinemaische Diagramme Einen anschaulichen Eindruck von der Bewegung eines Punkes gewinn man, wenn man die Orskoordinae s (die Bogenlänge), die Bahngeschwindigkei v und die Bahnbeschleunigung a über der Zei aufräg. Diese Diagramme werden als Or-Zei- 1), Geschwindigkei-Zei- und Beschleunigung-Zei-Diagramm bezeichne (kurz s, -, v, - und a, -Diagramm). In Bild 1.2 sind diese Diagramme für eine allgemeine Bewegung dargesell. Vereinfachend is neben der Orskoordinae eine geradlinige Bahn angenommen. s W d ds a v a) s s s s-s 0 v v v-v 0 d dv b) v 0 s - s c) a 0 a 0 a 0 v-v 0 Bild 1.2: a) s, -, b) v, - und c) a, -Diagramm der ungleichförmigen Bewegung 1) Das Or-Zei-Diagramm wird häufig auch als Weg-Zei-Diagramm bezeichne. Dies kann zu Missversändnissen führen, da die Koordinae s nich den Weg, sondern den Or des Punkes angib. Beweg sich z. B. ein Punk auf der gleichen Bahn hin und her, so kann der zurückgelege Weg beliebig groß werden, während sich sein Or nur zwischen zwei Grenzen s 1 und s 2 änder.

16 1.1.2 Kinemaische Diagramme 5 Den Diagrammen in Bild 1.2 ennimm man: Zur Zei 0 is der Or des Punkes auf seiner Bahn durch die Koordinae s 0 angegeben. Mi wachsender Zei ( > 0 ) beweg sich der Punk zunächs in Richung der posiiv angenommenen Orskoordinae, wobei seine Geschwindigkei anfänglich zunimm (in gleichen Zeiinervallen werden immer größere Wegsrecken zurückgeleg). Da der Differenzialquoien d s/d der Seigung der Tangene an die Or-Zei-Kurve proporional is (Bild 1.2a) d s an ~ v (1.6) d is diese ein Maß für die Bahngeschwindigkei des Punkes. Je größer also die Seigung der Or-Zei-Linie, deso größer die Bahngeschwindigkei. Die größe Seigung wird im Wendepunk (W) der s, -Kurve erreich, daher ha der Punk an dieser Selle seine größe Geschwindigkei (Maximum der v, -Kurve). Nach Überschreien des Wendepunkes nimm die Bahngeschwindigkei ab und wird Null, wenn die Seigung der s, -Kurve Null wird (hier Maximum der s, -Kurve, Umkehrlage der Bewegung). Anschließend beweg sich der Punk rückwärs, also engegen der posiiven Orskoordinaenrichung, seine Geschwindigkei is negaiv (Bild 1.2b). Die Seigung der Tangene an die Geschwindigkei-Zei-Kurve is der Bahnbeschleunigung proporional d v an ~ a (1.7) d Daher is die Bahnbeschleunigung um so größer, je größer die Seigung der v, -Kurve is. Im vorliegenden Fall beginn die v, -Kurve mi großer Seigung (große Bahnbeschleunigung), die Seigung nimm ab und wird Null im Maximum der v, -Kurve (a = 0). Bis zu diesem Zeipunk wächs die Geschwindigkei (Bahngeschwindigkei und Bahnbeschleunigung haben gleiches Vorzeichen). Anschließend nimm die Geschwindigkei ab, die Seigung der v, -Kurve und dami die Bahnbeschleunigung sind negaiv. Bis zum Schnipunk der v, -Kurve mi der -Achse (Maximum der s, -Kurve) haben Bahngeschwindigkei und Bahnbeschleunigung verschiedene Vorzeichen (verzögere Bewegung). Von da an nimm der Berag der Bahngeschwindigkei wieder zu (beschleunige Bewegung in Richung der negaiven Orskoordinae). Da die Bahnbeschleunigung als Ableiung der Bahngeschwindigkei nach der Zei definier is, erhäl man umgekehr die Bahngeschwindigkei als Zeiinegral der Bahnbeschleunigung. Berücksichig man bei der Inegraion die Anfangsbedingung, nach der zur Zei = 0 der Punk die Bahngeschwindigkei v = v 0 ha, so gil 0 d 0 v v a ( Inegraionsvariable) (1.8) Da man das besimme Inegral als Fläche uner einer Kurve deuen kann, is die Geschwindigkeisdifferenz (v v 0 ) der Fläche uner der Beschleunigung-Zei-Kurve zwischen den Zeimarken 0 und proporional (Bild 1.2c). Ensprechend erhäl man aus dem Geschwindigkei-Zei-Gesez v () = d s/d durch Inegraion über die Zei das Or-Zei-Gesez. Berücksichig man dabei die Anfangsbedingung, nach der sich der Punk zur Zei = 0 an dem durch die Koordinae s = s 0 fesgelegen Or befinde, so gil

17 6 1.1 Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn s s0 vd (1.9) 0 Das besimme Inegral auf der rechen Seie is der Fläche uner der v, -Kurve proporional. Diese Fläche is also ein Maß für die Wegdifferenz (s s 0 ) (Bild 1.2b). In der Technik sind außer den erwähnen Funkionen s (), v () und a () manchmal auch das Geschwindigkei-Or-Gesez v (s), das Beschleunigung-Or-Gesez a (s) und das Beschleunigung-Geschwindigkei-Gesez a (v) von Ineresse. Deren Graphen werden ebenfalls als kinemaische Diagramme bezeichne, wir werden sie an geeigneer Selle einführen Gleichförmige Bewegung Die Bewegung eines Punkes nenn man gleichförmig, wenn die Bahnbeschleunigung is. a 0 (1.10) Dann is nach Gl. (1.4) bzw. (1.8) die Bahngeschwindigkei konsan v = v 0 = cons (1.11) Das Or-Zei-Gesez erhäl man uner Berücksichigung der Anfangsbedingung aus Gl. (1.9). Befinde sich der Punk zur Zei = 0 an dem durch die Orskoordinae s = s 0 fesgelegen Or, so gil s = s 0 + v 0 ( 0 ) (1.12) Die Or-Zei-Kurve der gleichförmigen Bewegung is eine Gerade (Bild 1.3a). Ihre Seigung is der Geschwindigkei proporional s an ~ v0 Die Geschwindigkei-Zei-Kurve v () = v 0 is eine Parallele zur Zeiachse (Bild 1.3b). Die Recheckfläche uner der v, -Kurve is dem Wegzuwachs (s s 0 ) = v 0 ( 0 ) proporional. Man gewinn den Wegzuwachs aus dem v, -Diagramm, wenn man die Recheckhöhe (Ordinae) in Geschwindigkeiseinheien und die Recheckbreie (Abszissendifferenz) in Zeieinheien ablies und mieinander muliplizier. In vielen Fällen is es günsig, das Koordinaensysem so zu legen, dass sich der Punk zu Beginn der Zeizählung im Koordinaenursprung befinde. Dann folgen aus Gl. (1.12) mi 0 = 0 und s 0 = 0 die einfachen Beziehungen s v0 s = v 0 (1.13)

18 1.1.3 Gleichförmige Bewegung 7 Die Or-Zei-Linie geh in diesem Fall durch den Koordinaenursprung (Bild 1.4). 0 a) Bahn s 0 s v 0 s 0 s 0 v 0 (- 0 ) s b) 0 v 0 0 s-s 0 v 0 (- 0 ) 0 v 0 Bild 1.3: a) s, - und b) v, -Diagramm der gleichförmigen Bewegung Bild 1.4: s, -Diagramm für 0 = 0 und s 0 = 0 Obwohl die gleichförmige Bewegung nur ein Sonderfall der Bewegung eines Punkes is, spiel sie doch in der Technik eine nich unbedeuende Rolle. Viele echnische Vorgänge lassen sich, wie auch die folgenden Beispiele zeigen, mi ausreichender Genauigkei als gleichförmige Bewegung beschreiben. Beispiel 1.1: Ein Pkw-Fahrer will die Anzeige seines Tachomeers überprüfen. Zwischen den Kilomeerseinen 103,0 und 104,5 km zeig der Tachomeer die konsane Geschwindigkei 90 km/h an, er leg die Srecke in 62 s zurück. Wie groß is der Fehler in der Anzeige? Mi s 0 = 103,0 km, s = 104,5 km, 0 = 0 und = 62 s folg aus Gl. (1.12) s s0 (104,5 103,0) km 1500 m m v0 24, s 62 s s und mi der häufig gebrauchen Umrechnung, die man sich zweckmäßig einpräg is km 1000 m 1 m 1 bzw. h 3600 s 3,6 s km v 0 24,2 3,6 87,1 km/h h m km 1 3,6 (1.14) s h Der Fehler in der Anzeige beräg also (90 87,1) km/h = 2,9 km/h. Bezogen auf den Iswer der Geschwindigkei is dann der relaive Fehler 2,9 km/h 3,3 % 87,1 km/h

19 8 1.1 Eindimensionale Kinemaik, Bewegung eines Punkes auf gegebener Bahn Beispiel 1.2: Grafischer Fahrplan. Eine Regionalbahn (RB) fähr von Saion A über B und C nach D; Enfernung AB = 12 km, BC = 24 km, CD = 18 km. Zwischen zwei Saionen wird die Bewegung als gleichförmig angesehen, die Geschwindigkei beräg v R = 72 km/h. In B und C ha der Zug je 10 min Aufenhal. Während seines Aufenhales auf Saion C soll der Zug einen von A nach D durchfahrenden Inerciy-Express (ICE) (Geschwindigkei v I = 108 km/h) vorbeilassen. Wann muss der ICE frühesens bzw. späesens in A abfahren, und wie viel Minuen riff er mindesens vor der RB in D ein? Die Aufgabe is übersichlich in einem s, -Diagramm darsellbar. Für den Weg wähl man zweckmäßig die Einhei km, für die Zei min. In diesen Einheien is die Geschwindigkei der beiden Züge RB v R = 72 km/h = 72 km/60 min = 1,2 km/min = 12 km/10 min ICE v I = 108 km/h = 1,8 km/min = 18 km/10 min Das Or-Zei-Diagramm der RB is in Bild 1.5a dargesell. Die Abfahrszei des ICE finde man wie folg: Die s, -Linie des ICE muss die der RB zwischen den Punken III und IV schneiden (Aufenhal der RB auf Saion C ). Ihre Seigung is der Geschwindigkei proporional. Die Fahrzei von A bis C beräg s 36 km 20 min vi 1,8 km / min Der ICE darf also höchsens (40 20) min = 20 min (Punk I) und muss späesens (50 20) min = 30 min (Punk II) nach Abfahr der RB in A abfahren. Verfolg man die s, -Linie des ICE durch den Punk II, dann komm dieser mindesens 5 min vor der RB in D an. In Bild 1.5b is das v, -Diagramm angegeben. Die Fläche uner der v, -Linie ensprich dem zurückgelegen Weg. Die grau schaiere Recheckfläche ha in Geschwindigkeiseinheien die Höhe 1,2 km/min, die Länge der Grundlinie is in Zeieinheien 10 min und das Produk beräg (1,2 km/min) (10 min) = 12 km = Enfernung AB. Für die v, -Linie des ICE wurde die Abfahrzei hier mi 25 min gewähl. D 50 s [km] 54 C III IV 30 Bahn 20 B A a) I II [min] 2 1 b) v [km/min] 1,8 ICE 1,2 RB 12 km [min] Bild 1.5: Fahrdiagramme

20 1.1.4 Gleichförmig beschleunige Bewegung Gleichförmig beschleunige Bewegung Man nenn eine Bewegung gleichförmig beschleunig, wenn die Bahnbeschleunigung is. a = a 0 = cons (1.15) Leg man die Anfangsbedingungen der Bewegung so fes, dass der Punk zur Zei = 0 die Geschwindigkei v = v 0 ha und sich an dem durch die Koordinae s = s 0 fesgelegen Or befinde, so folg ensprechend Gl. (1.8) durch Inegraion das Geschwindigkei-Zei-Gesez v = v 0 + a 0 ( 0 ) (1.16) Sez man diese Beziehung in Gl. (1.9) ein, so erhäl man durch eine weiere Inegraion mi der obigen Anfangsbedingung das Or-Zei-Gesez ( 2 0 ) s s0 v0( 0) a 0 (1.17) 2 Die Beschleunigung-Zei-Kurve der gleichförmig beschleunigen Bewegung is eine Parallele zur Zeiachse (Bild 1.6c). Das Produk a 0 ( 0 ) in Gl. (1.16) is der Recheckfläche uner dieser Kurve zwischen den Zeien und 0 proporional, sie is also ein Maß für die Geschwindigkeisdifferenz (v v 0 ). Die Geschwindigkei-Zei-Kurve is eine Gerade (Bild 1.6b). Ihre Seigung is nach Gl. (1.7) ein Maß für die Bahnbeschleunigung a 0. Ensprechend Gl. (1.9) is die Trapezfläche uner der v, -Kurve der Wegdifferenz zwischen den Zeimarken und 0 proporional v v0 s s0 ( 0) (1.18) 2 Wird in diese Beziehung v aus Gl. (1.16) eingesez, so erhäl man wieder das Or-Zei-Gesez der Gl. (1.17). Die Or-Zei-Kurve is eine Parabel. In Bild 1.6a is sie auch für negaive -Were gezeichne, dami man sieh, dass der Scheiel der Parabel (Minimum der Funkion s ()) dor lieg, wo die Geschwindigkei (Ableiung der Funkion s ()) gleich Null wird. In manchen Fällen ineressier die Geschwindigkei als Funkion des Ores. Diese Abhängigkei gewinn man, indem man aus Gl. (1.16) und Gl. (1.18) die Zei eliminier. Mi v v0 0 (1.19) a0 aus Gl. (1.16) folg aus Gl. (1.18) v0 v v v0 1 s s ( v v0 ) 2 a0 2a0 a 1 s s ) ( 2 0 v ) (1.20) 2 ( 2 0 v 0