ANALYSIS II. Literatur. Prof. König, SS [1] O. Forster; Analysis II, III, Vieweg. [2] W. Walter; Analysis II, Springer HTB

Transkript

1 ANALYSIS II Prof. König, SS 3 Litertur [] O. Forster; Anlysis II, III, Vieweg [] W. Wlter; Anlysis II, Springer HTB [3] H. Heuser; Lehrbuch der Anlysis II, Teubner [4] M. Brner, M. Flohr; Anlysis II, de Gruyter [5] H. Amnn, J. Escher; Anlysis II, Birkhäuser [6] W. Kbllo; Einführung in die Anlysis I, II, Spektrum [7] S. Lng; Anlysis, Addison Wesley [8] J. Dieudonné; Foundtions of Modern Anlysis, Acdemic Press

2 Inhltsverzeichnis 5 Integrlrechnung (Riemnn-Integrl) 3 5. Archimedes Ausschöpfungsmethode Riemnn-Integrierbrkeit Beispiele für integrierbre Funktionen Riemnn-Summen Integrtions-Rechenregeln Stmmfunktionen Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Elementre Integrtionen Prtielle Integrtion und Substitutionsregel Mittelwertstz der Integrlrechnung Nullstellen von Polynomen Prtilbruchzerlegung rtionler Funktionen Integrtion rtionler Funktionen Bogenlänge ebener Kurven Uneigentliche Integrle Konvergenzkriterien Ds Integrlkriterium für Reihen Die Γ-Funktion Integrtion unendlicher Reihen Differentition unendlicher Reihen In dieser Vorlesung behndeln wir zunächst die Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen: wie berechnet mn Flächen unter dem Grph einer gegebenen Funktion? Der Huptstz zeigt, dss Differentition und Integrtion zueinnder inverse Probleme sind. Wir werden uch verschiedene Integrtionstechniken kennenlernen. Im zweiten Teil der Vorlesung wenden wir uns der Differentilrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher zu, die für viele prktische Anwendungen essentiell ist; so würde etw die Geschwindigkeit eines Teilchens in Abhängigkeit von der Zeit durch eine Funktion v : R 4 R 3, (x, t) R 4 v(x, t) R 3, modelliert. Dzu muss zunächst ein geeigneter Abstndsbegriff im R n eingeführt werden, dmit mn Konvergenz und Stetigkeit für solche Funktionen über kleine Umgebungen von Punkten definieren knn. Ds führt zu den Begriffen des normierten und llgemeiner des metrischen Rumes. Der Grph einer Funktion f : R R knn ls Fläche im R 3 visulisiert werden. Ist x R und P = (x, f(x )) R 3 ein Punkt dieser ls gltt ngenommenen Fläche, knn mn diese nhe P durch durch die Tngentilebene in P nnähern. Die Tngentilebene wird durch zwei Richtungsvektoren ( x, f x (x ) ) und ( x, f x (x ) ) ufgespnnt, wobei die pr-

3 tiellen Ableitungen f x i (x ) ds Änderungsverhlten von Kurven in der Fläche in den Koordinntenrichtungen x i beschreiben. Wir untersuchen dnn llgemein die Differentition für Funktionen zwischen vollständigen normierten Räumen, nlog zum Vorgehen in R. Wir zeigen Versionen des Mittelwertstzes, der Tylorschen Formel und studieren Extremwertprobleme für Funktionen f : R n R. 5 Integrlrechnung (Riemnn-Integrl) Schon im Altertum versuchte mn, den Flächeninhlt krummrndig begrenzter Gebiete durch Approximtion von ußen bzw. von innen zu bestimmen. Dies geschieht durch die Berechnung des Flächeninhlts unterhlb von Treppenfunktionen, die die Funktion nnähern. Die drus im 7. Jhrhundert entstndene Integrlrechnung ist die Umkehrung der Differentition. 5. Archimedes Ausschöpfungsmethode Sei F die Fläche zwischen x-achse, der Gerden x = und der Prbel y = x. Wir illustrieren Archimedes Methode hiern (er berechnete uch Volumin, etw der Kugel). Wir wählen = und benutzen die Zerlegung von [, b] in äquidistnte Intervlle durch Punkte x i = i n b (i =,, n) für große n N. n b f(x n i) = n i= i= F n = n i= b n f(x i ) i= b n b n ( ib n ) = b 3 n 3 ( ib n ) = b 3 n 3 n i= n i= i i 3

4 ( n Also F = lim n i= n i= i /n 3 ) b 3, flls der Grenzwert existiert. D i = n(n + )(n + ) 6 lim n ( n finden wir F = b 3 /3. Als Funktion der oberen Grenze x = b ist i= F (x) = x 3 /3, F (x) = x! i /n 3 ) = /3, Dss dies eine llgemeine Beziehung zwischen Funktionen und der zugehörigen Fläche unter den Grphen ist, erknnten Newton und Leibniz zwischen 666 und Riemnn-Integrierbrkeit Im Folgenden sei I = [, b] ein kompktes Intervll und f : I R eine Funktion. Wir untersuchen zunächst, wnn mn dem Gebiet unter dem Grphen von f sinnvoll einen Flächeninhlt zuordnen knn. Definition. (i) Z = {x,, x n } heißt Zerlegung von I : = x < x < < x n = b. I k := [x k, x k ] heißt k-tes Teilintervll von Z und I k := x k x k die Länge von I k. Z := mx k n I k nennt mn Feinheit von Z. Wir schreiben uch Z := n. (ii) Seien Z, Z Zerlegungen von I. Z ist feiner ls Z : Z Z mengenmäßig. Wir pproximieren den Flächeninhlt unter dem Grphen von f durch Ober-, Unter- und Riemnn-Summen. Dbei wird f uf I k durch sup f, inf f ersetzt, und es ergibt sich eine I k I k Treppenfunktions-Approximtion von f. Definition. Sei Z eine Zerlegung von I. Seien m k := inf{f(x) x I k }, M k := sup{f(x) x I k }. Dnn heißen S(Z) = n k= m k I k und S(Z) = n k= M k I k Unter- und Obersumme von f zu Z. Offensichtlich ist S(Z) S(Z). Definition. f(x) := inf Z f(x) := sup Z S(Z) heißt Unterintegrl von f. S(Z) heißt Oberintegrl von f. Definition. Eine Funktion f : I R heißt Riemnn-integrierbr (R-integrierbr) : f(x) = Integrl über I. f(x) =: f(x). In diesem Fll heißt 4 f(x) ds Riemnn-

5 Es gilt: Flls f integrierbr ist, ist f beschränkt (sup, inf I k I k wären sonst ± ). Lemm. Seien Z, Z Zerlegungen von I und sei Z feiner ls Z, f : I R. Dnn gilt: S(Z) S(Z ) S(Z ) S(Z). Beweisidee. Z.z. nur S(Z ) S(Z). Durch induktives Vorgehen knn mn o.b.d.a. nnehmen, dss Z = Z + ist. Ein Intervll I k von Z wird in Z neu unterteilt; der weitere Punkt sei ζ. Sei I k := [x k, x k ], I k := [x k, ζ], I k := [ζ, x k]. Dnn gilt S(Z) S(Z) = (x k x k ) sup I k D sup I j k f(x) sup I k größer gleich Null. (Im Bild ist sup I k f(x) (ζ x k ) sup I k f(x) (x k x k ) sup f(x). Ik f(x), j {, } und (x k x k ) = (x k ζ) + (ζ x k ), ist dies f(x) < sup I k f(x).) Folgerung: Es gilt stets f(x) f(x). Riemnnsches Integrierbrkeitskriterium. Sei f : I R beschränkt. Dnn folgt: Beweis. (f R-integrierbr ε> Zerlegung Z S(Z) S(Z) < ε.) f(x) f(x) S(Z) S(Z) < ε. Sei f R-integrierbr und ε >. Nch der Definition von Supremum und Infimum gibt es Zerlegungen Z, Z von I mit S(Z ) f(x) + ε, f(x) ε S(Z ). Sei Z := Z Z. Dnn ist Z feiner ls Z oder Z. Nch obigem Lemm ist S(Z) S(Z) S(Z ) S(Z ) < ε. 5

6 5.3 Beispiele für integrierbre Funktionen Sei I := [, b], f : I R.. f(x) = : S(Z) = S(Z) = b unbhängig von Z, = b. { } x Q. f(x) = : Q dicht in R Zerlegungen Z gilt S(Z) = und x Q S(Z) = : f ist nicht integrierbr. 3. Stz. Sei f stetig. Dnn ist f R-integrierbr. Beweis. Sei ε >. D f nch 3.8. uf dem( kompkten Intervll I gleichmäßig stetig ist, gibt es δ = δ(ε) > mit: x, x I x x < δ f(x ) f(x ) < ε ). b Sei Z = {x,, x n } eine Zerlegung von I mit Feinheit Z < δ. D f stetig ist, nimmt f Ik sein Mximum und sein Minimum n (nch Stz 3.7). Es gibt lso ζ k, ζ k I k = [x k, x k ] mit: M k = f(ζ k ), m k = f(ζ k ). Also gilt S(Z) S(Z) = n k= (M k m k ) I k = n k= (f(ζ k) f(ζ k )) I k n k= I k = ε, < ε b mit n k= I k = I = b und ζ k ζ k I k Z < δ. 4. Stz. Sei f : I R beschränkt und monoton. Dnn ist f R-integrierbr. Beweis. Sei f o.b.d.a. monoton wchsend, f() < f(b). Sei Z eine Zerlegung von I. Dnn ist S(Z) S(Z) = n k= (M k m k ) I k Z n k= (f(x k) f(x k )) = Z (f(b) f()), denn die Suprem und Infim uf I k werden in den Endpunkten von I k ngenommen. ε Zu ε > wähle δ :=. Ist dnn Z < δ, folgt f(b) f() S(Z) S(Z) < ε. Auf Lebesgue geht folgender Stz zurück (Heuser S. 473): 5. Stz. f : [, b] R sei beschränkt und {x [, b] f ist unstetig in x} sei höchstens bzählbr. Dnn ist f R-integrierbr. 6

7 5.4 Riemnn-Summen Sttt m k = inf f, M k = sup f zu nehmen, könnte mn uch Werte f(ζ k ) mit ζ k I k I k I k nehmen. Ds ergibt Riemnn-Summen: Definition. Z = {x < < x n } Zerlegung von I, ζ k [x k, x k ] = I k, ζ = (ζ,, ζ n ). Dnn heißt S(Z, ζ) := n f(ζ k ) I k Riemnn-Summe von f zu (Z, ζ). k= Die R-Integrierbrkeit knn mn uch ddurch chrkterisieren, dss sich lle Riemnn- Summen für kleine Z beliebig genu dem Integrlwert nnähern, unbhängig von ζ. Stz. Sei f : I R. Dnn gilt: (f ist R-integrierbr S R ε > δ > Z Zerlegung von I, Z < δ, ζ = (ζ,, ζ n ) wie oben S(Z, ζ) S < ε). Mn ht dnn S = f(x). Beweis. Siehe Heuser. Mn muss im Wesentlichen zeigen: S(z) f(x) < ε ε > δ > Z < δ f(x) S(z) < ε. Für die Berechnung reichen bzählbr viele Zerlegungen: Stz. Sei f : I R R-integrierbr und seien Z m Zerlegungen von I mit Feinheiten Z m (m ). Dnn gilt f(x) = lim m S(Zm, ζ m ) (der Limes existiert für beliebige Whlen von ζ m zu Z m ). Wir beweisen diese Sätze nicht; wir rbeiten nur mit Ober- und Untersummen. 5.5 Integrtions-Rechenregeln Stz. Seien f, g : I R integrierbr, c R. Dnn gilt: () f ± g und c f sind integrierbr mit (f ± g) = f ± g, cf = c f. (b) Flls ( x I f(x) g(x)) gilt, so ist uch f g. 7

8 Bemerkung: Also: : {f : [, b] K f integrierbre Funktion} R ist eine linere Abbildung. Der Beweis wird uf Ober- und Untersummen-Addition zurückgeführt, unter Benutzung von inf I k f + inf I k g inf I k (f + g) sup I k (f + g) sup I k f + sup I k g. Definition. Für f : I R sind f + (x) = mx(f(x), ), positive und der negtive Anteil von f. Es gilt f = f + f, f = f + + f. f (x) = min(f(x), ) der Bemerkung. Ist f integrierbr, so ist im Allgemeinen f nicht integrierbr. Beispiel: f = χ Q [,]. Aber: Stz. Sei f : I R integrierbr. Dnn sind uch f +, f, f integrierbr und es gilt: f(x) f(x) (b ) sup f(x) x I (I = [, b]). Beweis. Sei Z eine Zerlegung von I und seien m + k = inf f +, M + k = sup f +. Mn findet I k I k durch Unterscheidung von 3 Fällen, dss M + k m+ k M k m k gilt. Multipliktion mit I k und Summtion n k= liefert S(Z, f + ) S(Z, f + ) S(Z, f) S(Z, f). Mit dem Riemnnschen Integrierbrkeitskriterium folgt, dss f + integrierbr ist. Anlog ist uch f integrierbr. Es folgt: uch f = f + + f ist integrierbr. D f(x) sup f(x), folgt die letzte Ungleichung us Stz, (b). x I ( ) Ferner gilt: f(x) ± f + (x) f (x) = ± f(x). Stz 3. Seien f, g : I = [, b] R integrierbr. Dnn ist uch f g integrierbr und, flls g(x) c > gilt, ist uch f/g integrierbr über I. inf x I Definition. Für b < setzen wir f(x) =. f(x) := b f(x). Ferner sei Stz 4. (i) Sei f : [, b] R integrierbr und sei [c, d] [, b]. Dnn ist f [c,d] integrierbr. 8

9 (ii) Seien f : [, b] R, f : [b, c] R integrierbr. Dnn ist uch f : [, c] R integrierbr und es gilt: c f(x) = Die Formel gilt für, b, c in beliebiger Lge. f(x) + c b f(x) Bemerkung. Mit f, g sind uch mx(f, g) und min(f, g) integrierbr, d z.b. mx(f, g) = (f + g + f g ) ist. 5.6 Stmmfunktionen Definition. Sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion oder unbestimmtes Integrl von f : x I F (x) = f(x). Sind F, F zwei Stmmfunktionen von f, gilt (F F ) =, lso F F = c konstnt. Schreibweise: F (x) = f(x) + c. Bechte: F ht zunächst noch nichts mit dem bestimmten Integrl von f über I zu tun. Die Verbindung zwischen beiden Begriffen erfolgt durch den Huptstz der Differentilund Integrl-Rechnung. Im Allgemeinen fllen die Funktionen mit Stmmfunktion uch nicht mit den R-integrierbren Funktionen zusmmen: Beispiele. () Es gibt eine Riemnn-integrierbre Funktion f : [, ] R, die keine Stmmfunktion F ht: { } x [, ) Sei f(x) =. Angenommen, es gäbe eine differenzierbre Funktion F : [, ] R mit F = f. O.B.d.A. sei F () =. D F = f, ist x [, ] F streng monoton fllend (wchsend) uf [, ) (bzw. (, ]). Es sei o.b.d.a. F () F ( ) > = F (). D F stetig ist, gibt es nch dem Zwischenwertstz ein ξ, < ξ, mit F (ξ) = F ( ) >. Nch dem Mittelwertstz ist = F (ξ) F ( ) = F (y)(ξ + ) = ±( + ξ) für ein geeignetes y (, ξ). Ds ist ein Widerspruch. () Es gibt eine nicht-riemnn-integrierbre Funktion f : [, ] R, die eine Stmmfunktion F ht: x cos π x Sei F (x) = x. Dnn ist F differenzierbr uf [, ] mit x =. x cos π f(x) := F (x) = x + π x sin π x x. Aber F ist unbeschränkt, lso x = nicht R-integrierbr. 9

10 Ds Beispiel () funktioniert nur, d f unstetig ist. Stetige Funktionen hben stets eine Stmmfunktion (5.7). Mn ht lso die Impliktionskette f differenzierbr f stetig f integrierbr ( ht bestimmtes Integrl ) f ht Stmmfunktion ( ht unbestimmtes Integrl ) 5.7 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung HAUPTSATZ. () Sei f : [, b] R integrierbr und sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt f(x) = F (b) F () ( =: F (x) b = [F (x)] b ) (b) Jede stetige Funktion f : [, b] R ist integrierbr und besitzt eine Stmmfunktion F : F (x) := x f(t)dt erfüllt F (x) = f(x). Bemerkung. Teil () ist für die prktische Berechnung von Flächen und Integrlen von immenser Bedeutung; Teil (b) ist von theoretischem Interesse, d die Gegenbeispiele us 5.6. so usgeschlossen werden (durch die Stetigkeit von f). Beweis. () Sei ε > und sei Z eine Zerlegung von [, b] mit f(t) dt ε < S(Z) S(Z) < f(t) dt + ε (gemäß des Riemnnschen Integrierbrkeitskriteriums S S < ε, S ε S f(t) dt S S + ε. ) Mit Z = { = x < < x n = b} ist F (b) F () = Die Anwendung des Mittelwertstzes uf F Ik n (F (x k ) F (x k )). k= liefert Punkte ξ k (x k, x k ) mit F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ) = f(ξ k ) I k. Also Die Summtion ergibt m k I k F (x k ) F (x k ) M k I k. f(t) dt ε S(Z) F (b) F () S(Z) Dher ist F (b) F () = f(t) dt. f(t) dt + ε.

11 (b) Wir zeigen: F (x) := Für x x ist x f(t) dt ist Stmmfunktion von f, d.h. F = f. F (x) F (x ) f(x ) = x (f(t) f(x ))dt. x x x x x Sei ε >. D f stetig ist, gibt es δ > mit: t [, b] [x δ, x + δ] f(t) f(x ) < ε. Also folgt: F (x) F (x ) f(x ) x x x x x sofern x x < δ (dnn ist uch t x < δ). Bildet mn den Limes für x x, folgt F (x ) = f(x ). x f(t) f(x ) dt ε x x x x = ε, Bemerkung. Der Nme Unbestimmtes Integrl für F rührt von Teil () her. Nottion: F = f(x). 5.8 Elementre Integrtionen Der Huptstz zeigt: Differentition und Integrtion sind zueinnder inverse Opertionen. Jede Differentitionsformel liefert lso uch eine Integrtionsformel. Die Flächen unter f können berechnet werden, wenn mn Stmmfunktionen F von f finden knn. Beispiele. () () [ x x 3 = 3 ] b = b3 3 ( ) x, d 3 3 = x. 3 x = [ln x] = ln ( > ), d (ln x) = x. Es gelten folgende Formeln: x α = xα+ α +, α R\{ }; = ln x, x cos = sin x, sin x = cos x, e x = e x, cosh x = sinh x, sinh x = cosh x,

12 = rctn x, + x x = ln + x x, + x = rsinh x = ln(x + + x ), { x = x } rcosh x x (, ), rcosh( x) x (, ) = tn x, cos x sin = cot x, x tn x = ln cos x, cot x = ln sin x. = rcsin x ( x < ), Mittels der Additionstheoreme des sin und cos können Integrle von sin(αx) cos(βx) etc. berechnet werden, etw cos x sin x = = x sin x. 4 f (x)/f(x) = ln f(x). 5.9 Prtielle Integrtion und Substitutionsregel Wir behndeln zwei llgemeine Integrtionstechniken. Stz. (Prtielle Integrtion). Seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt: f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x). Beweis. f(x)g (x) = (f(x)g(x)) f (x)g(x). Korollr. Beispiele. (i) ln x = f(x)g (x) = [f(x)g(x)] b ln x = x ln x x x f (x)g(x). = x ln x x. (ii) x cos x = x sin x sin x = x sin x + cos x. Der llgemeine Typ x n cos x ist dmit für n N berechenbr. (iii) x n e x = x n e x n ( n ( ) n x n e x = ( ) j j! )x n j e x. j j=

13 Stz. (Substitutionsregel). Sei g : [, b] [c, d] stetig differenzierbr und sei f : [c, d] R stetig mit Stmmfunktion F. Dnn gilt: (f g)(y) g (y)dy = f(x) = (F g)(y). x=g(y) Flls g (y) für lle y [, b] ist, existiert g : g([, b]) [, b] und [ ] f(x) = (f g)(y) g (y)dy Bemerkung. Eine typische Anwendungssitution ist: Sei. y=g (x) f(x) zu berechnen. Mn wähle eine Substitution x = g(y) so, dss eine Stmmfunktion von f g(y) g (y) einfcher zu finden ist. Merkregel: x = g(y), = dy g (y), d.h. = g (y)dy f(x) = f(g(y)) g (y)dy. Beweis. (i) F (x) = d f(x), x = g(y), F = f. Mit der Kettenregel folgt d d dg (F g)(y) = F (g(y)) dy dy (y), lso F (x) = F (g(y)) = (f g)(y) g (y)dy. (ii) Flls g (y) ist, existiert g und ist stetig (Kpitel 3, Umkehrstz). Korollr. d f(x) = g (d) c g (c) f(g(y)) g (y)dy, flls g > in [, b]. Beispiele. ln g(y) α = () g α (y) g (y)dy = g α+ (y) α mit Substitutionsfunktion f(x) = xα, α + ln y etw y dy = (ln y). () xe x = e y dy = ey = : Substitution x = y, y = x. ex 3

14 (3) rcsin x = rcsin x = x rcsin x x x. Substitution y = x, x = dy. Also rcsin x = x rcsin x dy = x rcsin x + y y = x rcsin x +. x (4) = + b x = b + ( b x) : Substitution y = b x, dy + y = ( ) b b rctn x dy = b (5) x. Substitution x = g(y) = sin y, g (y) = cos y, f(x) = x : x = f(g(y)) g (y) dy = cos y dy = y + sin y 4 = (rcsin x + x x ), d sin y = sin y cos y. Die Fläche des Kreises mit Rdius ist lso (6) Integrle der Form J = x = [ rcsin x + x x ] = rcsin = π. x + bx + c = [ (x ) + b ( + c ) ] können b 4 durch eine Substitution y = x + b behndelt werden: Mit A := c b 4 ist J = dy und, bhängig dvon, ob A > oder A < ist, knn mn ds y + A dz Integrl J uf z + oder dz z zurückführen. (7) Integrle der Form werden nlog durch qudrtische Ergänzung x + bx + c uf die Typen zurückgeführt. + x, x, x 4

15 (8) Flls der Integrnd eine rtionle Funktion in (cos x, sin x) ist, substituiere mn y = tn x. Dnn ist x = rctn y, = dy tn(x/), sin x = + y + tn (x/) = y + y, cos x = tn (x/) + tn (x/) = y + y. Als neuen Integrnden erhält mn eine rtionle Funktion in y. + y Beispiel: sin x = dy dy tn y + y = y = ln y = ln x. Tylorformel mit Integrlrestglied Mittels prtieller Integrtion knn mn neben der Lgrnge- und Cuchyform des Restgliedes bei der Tylorreihe uch eine Integrlform des Restgliedes herleiten: Stz. Sei I = [, b] und I R ein nichttriviles Intervll und f C n+ (I). Sei x I fest. Dnn gilt für lle x I f(x) = R n (f, x) = n! n k= x Beweis. Durch Induktion über n N : f (k) (x ) (x x ) k + R n (f, x), k! x f (n+) (t)(x t) n dt. Induktions-Anfng n = : f(x) = f(x ) + f (t) dt (Huptstz der Differentil- und x Integrlrechnung) Induktions-Schritt n n + : Mittels prtieller Integrtion ergibt sich für f C n+ (I) x R n (f, x) = n! = n! = x x f (n+) (t)(x t) n dt [ f (n+) (t) ( )] x (x t)n+ + n + t=x n! (n + )! f n+ (x )(x x ) n+ + R n+ (f, x), n + x x f (n+) (t)(x t) n+ dt womit sich die Formel für (n + ) ergibt, wenn diejenige für n gilt. Beispiel: f : (, ) R, f(x) = ln( + x), x =. Dnn folgt Für < x < ergibt sich f(x) = x x + + ( )n xn n + R n(f, x). 5

16 d ( t x + t Für < x < gilt R n (f, x) = R n (f, x) = n! = x x x n (t x) n ( + t) x f (n+) (t)(x t) n dt ( ) n dt t x n+ = dt x + t + t ( ) dt + t = x n ln, + x ) n x n für x t gilt. Es ist dnn lim n x n ln x (x t) n dt xn ( + t) n+ x ( ) =. + x dt + t = xn ln( + x) (n ). Es folgt lso für x <, wenn der Limes für n gebildet wird: ln( + x) = n N n xn ( ) n. 5. Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz. Seien f, g : [, b] R integrierbr und sei g sowie f stetig. Dnn gibt es ein ζ [, b] mit f(x) g(x) = f(ζ) Speziell ergibt sich für g = : g(x) f(x) = f(ζ)(b ). Beweis. Sei m := inf f und M := sup f. Mit g folgt: [,b] [,b] m g(x) f(x)g(x) M g(x), lso m Also gibt es µ [m, M] mit g(x) f(x)g(x) M f(x)g(x) = µ g(x). g(x). Nch dem Zwischenwertstz existiert ζ [, b] mit f(ζ) = µ, d f stetig ist. 5. Nullstellen von Polynomen Um rtionle Funktionen f = p/q zu integrieren, muss mn die Nullstellen von q kennen. Ein qudrtisches Polynom z + z + b = ht zwei Nullstellen in C, berechnet durch z, = ± ( ) b. 6

17 Fundmentlstz der Algebr. Jedes komplexe Polynom p(z) = n z n + + C, n ) vom Grd n ht mindestens eine komplexe Nullstelle. ( i Beweis. Algebr-/ Funktionentheorie-Vorlesung oder Heuser. Korollr. Jedes komplexe Polynom vom Grd n besitzt eine eindeutige Zerlegung p(z) = n (z z ) m (z z r ) mr mit verschiedenen Werten z i C und Zhlen m i N, r die m i = n erfüllen. Diese sind eindeutig bis uf Permuttion der z i : die z i sind die i= Nullstellen von p, die m i die Vielfchheiten der Nullstellen z i. Also: Ein Polynom vom Grd n ht genu n Nullstellen, wenn mn sie ihrer Vielfchheit entsprechend zählt. Beweis. (i) Sei p(z ) = mit z C nch dem Nullstellenstz. Dnn folgt p(z) = p(z) p(z ) = n i= i (z i z i ) = (z z ) n i= i (z i + + z i ) =: (z z )p (z) mit Grd p = n. (ii) Induktionsbeweis des Korollrs. ) ( ) n = : p(z) = z + = (z Nullstelle n n + : Grd p = n +. Aus dem Nullstellenstz folgt: Es gibt z C mit p(z ) =, lso nch (i) p(z) = (z z )p (z) mit Grd p = n. Aus der Induktionsvorussetzung folgt: p (z) = n+ (z z ) m (z z r ) mr. Im reellen Fll ergibt sich folgende reelle Form: Stz. Sei p ein Polynom n-ten Grdes mit reellen Koeffizienten. Dnn gilt: () Ist z C Nullstelle von p, so ist z C ebenflls Nullstelle. (b) x,, x r R; A,, A s, B,, B s R, ϱ,, ϱ r, σ,, σ s N p(x) = n = n (x x ) ϱ (x x r ) ϱr (x + A x + B ) σ (x + A s x + B s ) σs und n = ϱ + + ϱ r + σ + + σ s, wobei keiner der Terme x + A i x + B i reelle Nullstellen ht. 7

18 Beweis. () p(z) = n i= i z i = p(z); p(z ) = p(z ) =. (b) Seien x,, x r die reellen Nullstellen von p und (z, z ),, (z s, z s ) die Pre konjugiert komplexer Nullstellen, mit (gleicher) Vielfchheit σ,, σ s. Also nch Korollr Aber p(x) = n (x x ) ϱ (x x r ) ϱr [(x z )(x z )] σ [(x z s )(x z s )] σs. (x z j )(x z j ) x R ==== x z j = x (Re z j )x + z j, A j := Re z j, B j = z j R. Beispiel. x 4 x = x(x )(x + x + ). 5. Prtilbruchzerlegung rtionler Funktionen Zur Integrtion rtionler Funktionen f = p/q zerlegt mn sie in einfchere Bruchstücke. Flls Grd p Grd q, knn mn durch Polynomdivision p(x) q(x) = r(x) + p (x) q(x) erreichen, mit Grd r = Grd p Grd q und Grd p < Grd q (Division mit Rest). Ds Polynom r ist elementr zu integrieren und p (x)/q(x) sind nch folgendem Stz zu zerlegen und die Bruchstücke sind dnn gemäß 5.3 zu integrieren. Zur Nullstellensuche knn mn die Intervllhlbierung oder ds Newton-Verfhren für Nullstellen nichtlinerer Gleichungen benutzen. Es gibt keine llgemeinen Nullstellen-Formeln für Polynome vom Grd > 4, die nur Wurzel-Ausdrücke enthlten. Stz. (Prtilbruchzerlegung). Sei f(x) = p(x) eine reelle rtionle Funktion mit Polynomen p, q, die Grd p < Grd q erfüllen. Es hbe q die q(x) Zerlegung q(x) = (x x ) ϱ (x x r ) ϱr (x + A x + B ) σ (x + A s x + B s ) σs. Drus folgt: es gibt ij, α ij R, i {,, r}, j {,, mx{ϱ,, σ s }} mit ( ) ( ) ϱ r rϱr f(x) = x x (x x ) ϱ x x r (x x r ) ϱr ( ) α x + β + (x + A x + B ) + + α σ x + β σ +. (x + A x + B ) σ () 8

19 Beweis. Es reicht, den Fll s =, ber komplexe x i, zu untersuchen, d j (x x j ) + j (x x j ) = α j x + β j (x + A j x + B j ) etc. ist. Induktion über Grd q = n = ϱ + + ϱ r (σ i = ). n = : f(z) = c (z x ). (,, n ) n : Sei q(z) = (z z ) ϱ s(z) mit s(z) = n (z z ) ϱ (z z r ) ϱr. C p(z) q(z) (z z ) ϱ = p(z) s(z) (z z ) ϱ s(z). Mit s(z ) sei := p(z )/s(z ) gewählt. Dnn ist p(z ) s(z ) =. (i) Flls p s, fertig, d p(z) q(z) = (z z ) ϱ. (ii) Flls p s, p(z) s(z) = (z z )P (z), Grd P < Grd (z z ) ϱ s(z). p(z) q(z) = (z z ) ϱ + P (z) (z z ) ϱ s(z). Der zweite Summnd knn nch Induktionsvorussetzung zerlegt werden. Prktische Bestimmung der Koeffizienten: () Multipliktion des unbestimmten Anstzes () mit dem Nennerpolynom und Koeffizientenvergleich ergibt lineres Gleichungssystem für die ij. (b) Die höchsten Koeffizienten iϱi sind durch eine Grenzwertmethode berechenbr: Multipliktion von () mit (x x i ) ϱ i, dnn x x i : Grenzwert ist iϱi. Diesen Term uf die linke Seite bringen und Methode fortsetzen: ds ergibt die. Methode. z + Beispiel: f(z) = z 3 z + z, z3 z + z = z(z ). Anstz f(z) = z + b z + c (z ).. Methode: Multipliktion von f mit z : z + (z ) = + bz z + cz z= = = (z ) Multipliktion von f mit (z ) : z + z Eine kurze Rechnung zeigt b =. f(z) = z + (z ). = c + b(z ) + z (z ) z= = c = 9

20 5.3 Integrtion rtionler Funktionen Es ist noch zu zeigen, wie Terme folgender Art integriert werden können: (x x ), αx + β n (x + x + b) mit m < 4b (keine reelle Nullstelle). Der Fll m = des zweiten Integrls knn durch qudrtische Ergänzung und prtielle Integrtion gelöst werden: x + x + b = x + rctn 4b 4b αx + β x + x + b = α ln(x + x + b) + Übung: Fll m > für < 4b. ( β α Beispiel: f(x) = x + x 4 x, x4 x = x(x )(x + x + ). Anstz f(x) = x + b x + αx + β x + x +. ) x + x + b. Multipliktion mit x ergibt =, Multipliktion mit (x ) ergibt b = /3. Wähle x =, ; setze, b ein; bestimme α, β us dem Gleichungssystem = 3 α + β 3 = α + 7 β Also f(x) = x + 3 x + 3 x x + x +. α β = α = 3 3 α + β = β =. 3 3 f(x) = ln x + 3 ln x + 6 ln(x + x + ) 3 rctn x Bogenlänge ebener Kurven Problem. Sei f : [, b] R. Bestimme die Länge der durch den Grphen {(x, y) y = f(x), x [, b]} gegeben Kurve C f. Definition. Z = {x <... < x n } Zerlegung von [, b]. Dnn ist L(Z, f) := n k= (xk x k ) + (f(x k ) f(x k )) die Länge des durch Z gegebenen Polygonzuges.

21 Bemerkung. Ist Z eine Verfeinerung von Z, gilt L(Z, f) L(Z, f): O.B.d.A. Z = Z {x k }, x k < x k < x k. D L L + L wegen der Dreiecksungleichung in R = C gilt, folgt die Behuptung. Definition. Die durch f gegebene Kurve C f ist rektifizierbr (,d.h. eine Längenzuordnung ist möglich), wenn sup L(Z, f) <. L(C f ) := sup L(Z, f) heißt dnn die Bogenlänge Z Z von C f. Stz. Sei f : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn ist C f rektifizierbr und es gilt L(C f ) = + f (x). Beweis. Sei Z eine Zerlegung. Der Polygonzug dzu ht die Länge n ( ) f(xk ) f(x k ) L(Z, f) = + (x k x k ). x k x k k= Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gibt es ζ k (x k, x k ) mit f (ζ k ) = f(x k) f(x k ) x k x k. Somit ist L(Z, f) = n + f (ζ k ) I k k=

22 eine Riemnn-Summe der stetigen, lso integrierbren Funktion g = + f : Aus der Riemnn-Integrierbrkeit der Ableitung einer differenzierbren Funktion f folgt die Rektifizierbrkeit der Funktion f. b Also ist L(C f ) = + f (x). Beispiele. () Kreis: f : [, ] R, f(x) := x : C f ist der Hlbkreis mit Rdius. Es gilt: + f (x) = (nicht definiert für x = ±). x Sei < < <. Dnn L(C f ;, ) = = rcsin x = rcsin. x Für gilt lim L(C f ;, ) = rcsin = π. (Uneigentliche Integrle: siehe 5.5). () Kettenlinie: f : [, b] R, f(x) = cosh x. f ist stetig differenzierbr, und mit dem obigen Stz folgt L(C f ) = + sinh x = cosh x = sinh b sinh. (3) Prbel: f : [, b] R, f(x) = x / uf (, b], f (x) = x. L(C f ) = 5.5 Uneigentliche Integrle Bisher wurde ds bestimmte Integrl + x = (b + b + ln(b + + b )). f(x) nur definiert für i) f ist beschränkt, ii) [, b] ist beschränkt, bgeschlossen. In Anwendungen sind beide Bedingungen zu einschränkend. Über Limites knn mn in etlichen Fällen uneigentliche Integrle definieren, vgl. über [, ] in 5.4. x Definition. Sei < < b. f : [, b) R heißt uneigentlich integrierbr uf [, b), wenn f uf jedem kompkten Teilintervll [, c], < c < b integrierbr ist und f(x) := lim c b c f(x) existiert. Der Grenzwert heißt Uneigentliches Integrl von f. Obiges gilt nlog für (, b] und (, b), uch für = oder für gnz R. Ds schließt für b = unendliche Intervlle oder für b R Integrtion über unbeschränkte Funktionen f ein.

23 Beispiele. { ln ε α = () ε x = α ( (α R). α ε α ) α Also: lim existiert α <, ε ε xα x = integrierbre Singulrität. + α α c ln c α = () x = (α R). α α (c α ) α c Somit: lim existiert α >, c xα (3) x α = α. c = lim = lim x c x c [ x] c = existiert. S (4) + x = lim R,S R + x = lim rctn S lim rctn( R) = π ( S R π ) = π. Beide Limites wurden unbhängig voneinnder vorgenommen. (5) log x = lim ε + ε log x = lim ε +[x log x x] ε = lim ε +( ε log ε + ε) =, d ε log ε (ε ). 5.6 Konvergenzkriterien Ds Konvergenzkriterium von Cuchy nimmt hier die folgende Form n: Stz. Sei f : [, b) R uf jedem kompkten Teilintervll integrierbr. Ds Integrl f(x) existiert genu dnn, wenn es für lle ε > eine δ-umgebung U von b gibt, y so dss für lle x, y U f(ζ)dζ < ε gilt. (Für b = : U = {x R x > /δ}.) x Stz. Sei f : [, b) R uf jedem kompkten Teilintervll integrierbr. Existiert dnn f(x), so uch f(x). Beweis. Es ist g(x) := f(x) + f(x), sup c<b c g(x) f(x). Also g(x) f(x) <. 3

24 D für jede monoton wchsende Folge (c n ) n N uch cn ( cn ) g(x) n N monoton wchsend ist, existiert lim g(x) nch Bolzno-Weierstrß. Also ist uch f = g f n uneigentlich integrierbr (Linerität des Limes). Wrnung. Auf kompkten Intervllen gilt: f integrierbr = = f integrierbr. Hier: (f kompkt integrierbr + f uneigentlich integrierbr) f uneigentlich integrierbr. Es gilt nicht: f uneigentlich integrierbr f uneigentlich integrierbr. Sei f : [, ) R gegeben durch x ( ) n+ /n für x [n, n). Dnn ergibt sich: n n f(x) f(x) = n i= ( )n+ /n ln lternierende Reihe, n = n i= /n hrmonische Reihe. n Stz 3. (Mjorntenkriterium). Sei f g uf [, b), beide uf llen kompkten Teilintervllen integrierbr und f(x) und Dies folgt wie bei Reihen. Beispiele. () Sei α >. g(x) uneigentlich integrierbr. Dnn gilt: f(x) sind uneigentlich integrierbr. x t α e t dt konvergiert nch Stz 3, d t α e t M t für t und t α e t t α für t. Aber t α dt dt und existieren nch 5.5. t sin t () Dirichlet-Integrl dt konvergiert (= π/): t Nchweis mit dem Cuchy-Kriterium. Sei < x < y. Prtielle Integrtion ergibt y [ sin t dt = cos t ] y y cos t t t t dt x x Aber y sin t dt x t x + y y + x sin t t dt = (Übung). dt t = x für y > x. 4

25 5.7 Ds Integrlkriterium für Reihen Integrlkriterium. Sei f : [, ) R positiv und monoton fllend. Dnn gilt: ( ) f(x) existiert f(n) konvergiert. n= Beweis. D f monoton ist, ist f uf jedem kompkten Intervll integrierbr. Wegen der Monotonie gilt für lle x [k, k + ], dss f(k + ) f(x) f(k) ist. Also: m m k+ m f(k + ) f(x) f(k). k=n k=n k k=n Der Stz folgt hierus mit dem Monotoniekriterium für Reihen und Integrle. Beispiel. n α konvergiert α >, d n= x α konvergiert α >. 5.8 Die Γ-Funktion Definition. Γ : (, ) R, Γ(x) := (existiert nch Beispiel, 5.6). + t x e t dt. Γ heißt Eulersche Γ-Funktion Die Γ-Funktion ist wichtig, d sie die Fkultäten extrpoliert : Stz. () x> Γ(x + ) = x Γ(x) () n N Γ(n + ) = n! Beweis. () Sei < < < b <. Prtielle Integrtion liefert Γ(x + ) = t x e t dt = ( e bx t x e t dt t x e t dt ) b e + x t x e t dt, b = + x t x e t dt, e = ( x e e + t x e t dt = e + x + t x e t dt = = x 5 ) + x t x e t dt, + t x e t dt, + t x e t dt + + t x e t dt = xγ(x). t x e t dt,

26 () n = : Γ() = e t dt =. n n + : Sei Γ(n + ) = n!. Dnn ist Γ(n + ) () = (n + ) Γ(n + ) Vor. = (n + )n! = (n + )! Die Funktionlgleichung Γ(x + n) = x(x + ) (x + n )Γ(x), x >, benutzt mn zur Definition von Γ(x) uch für x < : Definition. x <, x Z: Sei n N mit < x + n < und setze Γ(x) := Γ(x + n)/(x(x + ) (x + n )). Mn ht: log Γ ist konvex, Γ ( ) = π. Für die Fkultäten gilt die Stirlingsche Formel. n! π n n+/ e n (Quotient für n. Ohne Beweis.) Z.B. ist! mit Genuigkeit von, %. 5.9 Integrtion unendlicher Reihen Stz. Sei I R ein Intervll und seien f n : I R stetig und die Reihe f := f n : I R n m sei gleichmäßig konvergent, d.h. ε> n N m>n n, x I f n (x) < ε. Dnn ist f k=n stetig. 6

27 Beweis. Sei ε > und x I. D f = n f n gleichmäßig konvergent ist, gibt es N N, so dss für lle x I gilt N f n (x) f(x) = n=n+ f n (x) ε/3. N D f n in x stetig ist, gibt es δ >, so dss für lle x I gilt: N x x < δ (f n (x) f n (x )) ε/3. Also folgt für lle x I mit x x < δ: f(x) f(x ) N f(x) 3 ε/3 = ε. f n (x) + N (f n (x) f n (x )) + N f n (x ) f(x ) Beispiel: Für punktweise Konvergenz gilt der Stz nicht: f n (x) = x n x n+, n N. Dnn ist n s N (x) = f n (x) = x N+, f(x) = lim N s N (x) = { x = x < }. Aber f ist unstetig in x =. Stz. (Vertuschung von Integrtion und Summtion). Seien f n : [, b] R stetig und sei f := f n gleichmäßig konvergent uf [, b]. Dnn ist f integrierbr und n= Also: f n = n n f n. f(x) = n= f n (x). 7

28 Beweis. Nch Stz ist f stetig, lso integrierbr. Mn ht wegen der Linerität des Integrls N ( ) b N f(x) f n (x) = f(x) f n= n (x) n= N f(x) f n (x) n= (b ) f(x) N n= f n(x) sup x [,b] n= sup x [,b] Wegen der gleichmäßigen Konvergenz gibt es zu ε > ein N N mit: N N N f(x) f n (x) ε b. Korollr. Die Potenzreihe f(x) = n (x x ) n hbe einen Konvergenzrdius r >. Dnn ist f uf llen kompkten Teilintervllen [, b] (x r, x + r) integrierbr, und es gilt n f(x) = n + (x x ) n+ b. Beweis. Nch 4.5 ist die Potenzreihe uf [, b] gleichmäßig konvergent. Bemerkungen. Ohne die gleichmäßige Konvergenz -Vorussetzung ist der Stz i.. flsch. Es gibt wichtige, nicht in geschlossener Form integrierbre Funktionen, etw e x, sin x x, e x x, cos x. Mn knn sie in Reihen entwickeln und dnn gliedweise integrieren: Beispiele: () e t = (b) sin t t = ( t ) n n! x ist gleichmäßig konvergent uf [, x], lso e t dt = ( ) n n! x t n dt = ( ) n n! x n+ n +. ( ) n t n ist gleichmäßig konvergent uf [, x]; folglich (n + )! x sin t dt = t ( ) n (n + ) 8 x n+ (n + )!.

29 (c) Die Reihenentwicklung des rcsin x in eine Tylorreihe knn mn so zeigen: Für x q < konvergiert die binomische Reihe (rcsin x) = gleichmäßig. Also gilt: rcsin x = x < folgt Anlog gilt: rctn x = rcsin x = = ( ) / ( ) n x n x dt t x n + c, und c = wegen rcsin =. Für ( ) / x ( ) n n+ n n +. ( ) n n + xn+, π 4 = rctn = Differentition unendlicher Reihen Stz. Seien f n : [, b] R stetig differenzierbr mit: () Die Reihe f := n N f n ist punktweise konvergent in [, b]. (b) Die Ableitungsreihe n N f n ist gleichmäßig konvergent. Dnn ist f differenzierbr in [, b] und f (x) = n N f n(x), x [, b]. Also ( f n ) = f n. Beweis. Sei g(x) := n f n(x). Nch 5.9 ist g stetig und es gilt x g(t)dt = n N = lim N x x N f n(t)dt = lim f n(t)dt N n= N (f n (x) f n ()) = f(x) f(). n= Nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ist f (x) = g(x). Korollr. Sei f(x) := n (x x ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r >. Dnn knn f für lle x mit x x < r beliebig oft (gliedweise) differenziert werden, f (x) = n n (x x ) n. n= Der Konvergenzrdius der Reihe für f ist wieder r. 9

30 Beweis. Mn ht lim n n n n = lim n n n, d n n. Beispiel: x <. n x n n= = x n x n n= ( = x d ) x n = x d ( ) x = x ( x), Übung: n x n für x <. n= Bemerkung. Der Stz ist flsch, wenn n f n gleichmäßig konvergiert): n f n nicht gleichmäßig konvergiert (selbst wenn f n (x) := n sin n x n + sin(n + )x, n N ; f (x) := sin x. N Dnn ist f n (x) = N + sin(n +)x. Drus folgt, dss f n(x) = gleichmäßig konvergent ist. Aber ( N f n(x) = cos(n + )x = = f n (x)). Wiederholte Anwendung des Korollrs liefert für f(x) = f (k) (x) = n (x x ) n, n(n ) (n k + ) n (x x ) n k, n=k insbesondere: f (k) (x ) = k! n, n = f (k) (x )/k!. Also hben wir ds Korollr. Jede Potenzreihe ist die Tylorreihe ihrer Summenfunktion. 3