Versuch 213. Motivation: Die spezifische Wärme c ist ein Maß für die pro Masse m und Temperaturänderung T m von einem Stoff aufgenommene Wärmemenge Q

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1 Versuch 213 Kalorieer Moivaion: Die spezifische Wäre c is ein Maß für die pro Masse und Teperauränderung T von eine Soff aufgenoene Wäreenge Q Q = c T (1) Die spezifische Wäre von Fesörperproben ann zwecäßigerweise in eine Mischexperien besi werden Dabei wird der erwäre Probeörper in ein ales Kalorieer eingeführ, und die Teperauränderung i Kalorieer wird regisrier Die Auswerung erfolg uner Benuzung des Energieerhalungssazes für die ausgeauschen Wäreengen Gleichzeiig wird aber auch vo Kalorieer Wäre an die Ugebung abgegeben, was bei genaueren Messungen berücsichig werden uss I vorliegenden Versuch ann durch sorgfälige Auswerung des zeiabhängigen Teperaurverlaufs während des Mischprozesses und der nachfolgenden Abühlung des Kalorieers die durch die Wäreabgabe an die Ugebung verursache syseaische Messabweichung orrigier werden 1 Aufgabensellung: 11 Besien Sie die Kalorieeronsane! 12 Besien Sie die spezifischen Wären von 3 unerschiedlichen Meallen! 13 Disuieren Sie die Messabweichungen und deren Einfluss auf das Gesaergebnis! 2 Grundlagen Sichwore: Ficsches Gesez, Wäreleiungsgleichung, Kalorieeronsane, Wäreapaziä 21 Aufbau des Kalorieers: Abbildung 1 zeig scheaisch den Aufbau der Versuchsanordnung, die aus de Kalorieergefäß, de Therosa, einer elerischen Versorgungseinhei i Messwererfassung sowie de PC beseh I Therosa werden die zylindrischen Meallproben auf eine onsane, essbare Teperaur erwär Der Therosa wird auf das Kalorieer aufgesez, und nach Enfernen des Arreiersabs fallen die Proben in das Kalorieer Die zeiabhängige Theroeereperaur wird alle 6 Seunden erfass und vo PC übernoen Dor erfolg anschließend die Daenauswerung Die Versorgungseinhei ha 3 Aufgaben: Sie sell ersens die Heizspannung für die Kalorieereichung zur Verfügung Zweiens realisier sie die digiale Teperauranzeige für Kalorieer und Therosa, und driens liefer sie die einsellbare Heizspannung für den Therosa Das Kalorieer is an einen Wasserühlreis angeschlossen, wobei ein usecbarer Kühlfinger die Abühlung des erwären Kalorieers auf Ausgangseperaur beschleunig 1

2 Kalorieer heizung Digialvoleer Therosa heizung Anzeige Therosa M Kühlfinger R E M H H Abb 1: Schea des Versuchsaufbaus 22 Kalorierie: (Vergleichen Sie hierzu auch Versuch 203): Es wird ein erwärer Probeörper beanner Masse und Teperaur T 0 (T o größer als Ugebungseperaur T ) in ein Kalorieer von beanner Wäreapaziä ν eingeführ Geessen werden die Ugebungseperaur T, die Teperaur der erhizen Probe T 0 und die Mischungseperaur T e Bei idealen Kalorieer (ohne Wäreabgabe an die Ugebung) wird die spezifische Wäre besi durch v Te T c = T T (2) Dai ein Teperaurausgleich zwischen Probe und Kalorieer einri, uss ein Wäresro fließen Dieser erforder aber ein Teperaurgefälle zwischen Probe und Kalorieer Man ha folglich zwischen der Mischungseperaur der Probe T und der des Kalorieers T zu unerscheiden Deshalb is Gl(2) zu verbessern o e v T c = T o T T (3) 23 Besiung der Wäreapaziä des Kalorieers ν: Für die Auswerung des Mischungsexperiens benöig an die Wäreapaziä des Kalorieers (Kalorieeronsane) ν, die für das leere Kalorieer das Verhälnis von aufgenoener Wäreenge Q zu resulierender Teperaurerhöhung T angib, wenn alle Wäreverluse an die Ugebung vernachlässig werden 2

3 Q v = T (4) Das Kalorieer wird definier elerisch aufgeheiz, inde für die Zeidauer die Heizspannung U an den Widersand R der Heizwiclung i Kalorieer angeleg wird Dabei wird de Kalorieer die Joulesche Wäre Q zugeführ 2 U Q = (5) R Das gegenüber der Ugebungseperaur T erwäre Kalorieer gib einen Teil seiner Wäre an die Ugebung ab Die Abühlung ann dadurch beschrieben werden, dass die oenan abgegebene Leisung dq h /d proporional zu oenanen Teperaurunerschied is dqh = h( T T (6) ) d Die Größe h is der Wäreübergangsoeffizien Dai ergib sich bei Berücsichigung der Wäreverluse und der Anfangsbedingung T(0) = T folgende Leisungsbilanz für das Kalorieer: dt dq v = ht ( T ) d d (7) Nach Inegraion über die Zei erhäl an und daraus v dt + h ( T( ') T ) d ' = dq, h v ( T ( ) T) + ( T ( ') T) d' = Q v 0 (8) (9) Wir definieren i εo = h/ν eine orrigiere Kalorieereperaur T als T = T + ε0 T T d 0 () () ( (') ) ' T is die Teperaur nach erfolge Aufheizen, die sich für ein vollsändig gegen die Ugebung isolieres Kalorieer einsellen würde Bei richig gewähle εo is T onsan, und wir erhalen aus Gl(4) (10) Q Q v = = T T T (11) Wie Abb2 zeig, ann die Abühlrae εo aus de Teperaurverlauf bei Abühlen des Kalorieers besi werden Wegen dq/d=0 verürz sich Gl(7) zu i der Lösung dtabühl h = ( T abühl T ) d v (12) 3

4 0 T () = T + Ce ε abühl (13) Nach de Aufheizen geh also die Kalorieereperaur exponeniell i der gesuchen Abühlrae εo auf die Ugebungseperaur T zurüc 24 Besiung der Mischungseperauren Wir beschreiben das Syse Kalorieer i Probe durch das in Abb3 dargeselle Modell Zwischen Probe, Kalorieer und Ugebung wird Wäre ausgeausch Dabei fließen zeiabhängige Wäresröe von der Probe ( Probeneperaur T (), Wäreapaziä w) zu Kalorieer (Teperaur T()) und von dor zur Ugebung (onsane Ugebungseperaur T angenoen) Die jeweiligen Wäreübergangsoeffizienen sind bzw h Die Leisungsbilanz i Kalorieer nach Einbringen einer erwären Probe laue dt () dt () v + w = h T T d d ( () ) (14) i den Anfangsbedingungen des Mischungsexperiens T (0)=T 0 und T(0)=T In Gl(14) is T durch T zu ersezen Dazu berache an den Wäresro von der Probe zu Kalorieer: dt w = T ( T) (15) d Nach erneue Differenzieren von Gl (14) ann an i Gl (15) T und dt /d durch Ausdrüce in T ersezen 16,0 15,5 T elő- orrigál hőérséle 15,0 ε 0 T [ o C] 14,5 14,0 13,5 T 13, Heiz fő- Abühlphase [in] uószaasz Abb 2: Besiung der orrigieren Kalorieereperaur T aus de Zeiabfall während der Abühlphase 4

5 Ugebung Kalorieergehäuse Probe T () w h T Abb 3: Therisches Modell von Kalorieer i Probe Dai geh Gl(14) in eine gewöhnliche Differenialgleichung für T() über 2 d T h dt h h + T T 2 d + + w v v + = d vw vw Als Lösung finde an hier ε ε' T () = Ae + Be + T (16) (17) i den unerschiedlichen Abühlraen ε und ε wobei p und q als Abürzungen eingeführ wurden: h h 2 p = + + q = w v v wv Für den i Experien verwendeen Versuchsaufbau gil näherungsweise ε >>ε ( ε 35ε ) ε ε ε = + = 2 2 p p q, ε' p p q und o U ε zu besien, uss die Zeienwiclung der Probeneperaur T berache werden Die ware Probe gib Wäre an das Kalorieer ab In Analogie zu Gl(15) gil also dt dt () bzw w = T ( (18) T) + at( ) = at ( ) d d i a = /w Gl(18) is eine inhoogene Differenialgleichung, deren Lösung die Sue von allgeeiner Lösung der hoogenen DGL und spezieller Lösung der inhoogenen DGL is Die hoogene Lösung finde an sofor als T = Ke a ho, (19) 5

6 Die inhoogenen DGL ann an iels der Variaion der Konsanen (hier: K()) lösen, T() -T [ o C] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0 -ε Ae -ε ' Ae -ε +Be -ε ' Be [in] Abb 4: Die Teperaururve des Kalorieers nach Einführen der waren Probe sez sich aus eine schnellen Aufheizen (Zeionsane ε ) und einer langsaen Abühlung (Zeionsane ε ) zusaen T() -T [ o C] 4 2 T - T T() -T [ o C] 0 T -T [in] Abb 5: Proben- und Kalorieereperaur während des Ausgleichsprozesses wobei an i der Kalorieereperaur T() aus Gl(17) erhäl a ( a ε ) a K() = Ae + T e a ε Schließlich wird a ε a T () = Ae + Ke + T a ε 6 (20) (21)

7 Wie Abb 5 zeig, is ier T ( ) größer als T(), näher sich aber für große Zeien (>>1/ ε) der Kalorieereperaur an Nachde die Bedeuung der Zeionsanen lar geworden is, ann Gl(14) über die Zei inegrier werden Gleichzeiig werden Anfangsbedingungen T(0)=T und T (0)=T 0 berücsichig Man erhäl v( T () T) + wt ( () T ) = h ( T () T) d o o und nach Einführung der orrigieren Kalorieereperaur T (siehe auch Gl(10)) (22) T ( ) = T( ) + ε ( T( ') T ) d ' o (23) schließlich die Wäreapaziä w der Probe w = ν ( T T ) T T ε T T o + ( ) ε εo (24) Dieser Ausdruc ni nach Einführung der orrigieren Probeneperaur T T T ε = + T T ( ) ε εo (25) eine einprägsae Gesal an, aus der die spezifische Wäre der Probe berechne werden ann c = v T T o T T (26) 3 Versuchsdurchführung: 31 Aufheizen der Proben i Therosa Einbringen der Proben in den Therosa bei eingeschaleer Therosaheizung Die Teperaur i Therosa solle 30 0 C nich wesenlich überseigen Probe i Therosa belassen, bis sich nach ca 15 Minuen die Teperaur nich ehr änder 32 Messung der Kalorieeronsanen Prüfen Sie, dass sich i Kalorieer eine Probe befinde! Of wird nach der lezen Messung die Ennahe der Probe vergessen! Wasserreislauf öffnen, Teperauranzeige verfolgen, bis sich nach ehreren Minuen eine onsane Kühlwassereperaur einsell und das Kalorieer auch diese Teperaur T angenoen ha Messweraufnahe T1() a PC saren Nach ca 2 Minuen Anlegen einer onsanen Heizspannung für eine fes vorgegebene Zeidauer (zb 200 s) an die Heizwiclung des Therosas 7

8 Regisrieren der Abühlung des Kalorieers über weiere 10 Minuen Messweraufnahe beenden Einsecen des Kühlfingers in das Kalorieer und Abwaren, bis sich wieder die onsane Teperaur T eingesell ha 33 Messung bei Mischvorgang: Achen Sie darauf, dass sich i Kalorieer nich noch eine Probe befinde! Of wird nach der lezen Messung die Ennahe der Probe vergessen! Aufsezen des Therosas i aufgeheizer Probe auf das Kalorieer Saren der Messweraufnahe T2() Noieren der Probeneperaur T o Lösen der Probenarreierung i Therosa und Beobachen des Teperaurausgleichs i Kalorieer Die Kalorieereperaur is ewa 15 Minuen lang zu regisrieren, danach Beenden der Messweraufnahe Einsecen des Kühlfingers in das Kalorieer und Abwaren, bis sich wieder eine onsane Teperaur T eingesell ha Währen der Mischphase is bereis eine weiere Probe in den Therosa einzuführen und dor auf Ausgangseperaur aufzuheizen! 34 Forsezung der Messung wie bei 33 4 Versuchsauswerung: Es wird epfohlen, die Teperaurverläufe T1() und T2() i ORIGIN auszuweren 1 In die Berechnung der Wäreapaziä des Kalorieers nach Gl(4) geh die orrigiere Teperaur T ein Diese erhalen Sie aus Gl(10) Die dor benöige Abühlrae ε0 önnen Sie i Hilfe eines Nichlinearen Kurvenfis (Fifunion exponenial; ExpDec1) aus de Abfall der Kurve besien 2 Die orrigiere Kalorieereperaur bei Mischen T() berechnen Sie analog Pun 1, wobei jez der Kurvenabfall von T2() zur Besiung von ε herangezogen wird Aus de Ansieg von T() berechnen Sie i Hilfe eines Nichlinearen Kurvenfis (Fifunion exponenial; BoxLucas1) die Ansiegsrae ε 3 Für die Auswerung von Gl(26) sehen Ihnen jez alle erforderlichen Daen ν,, T, T 0, ε0 und ε zur Verfügung 8

9 20,0 Mischprozess főszaasz előszaasz uószaasz Abühlphase 19,6 T() [ o C] 19,2 18,8 T [in] Abb 6: Teperaurausgleich und nachfolgende Abühlung des Kalorieers 1,5 T()-T [ o C] 1,0 0,5 0, [in] Abb7: Besiung von ε aus de Ansieg der berechneen orrigieren Teperaur T 9