Funktionentheorie I. Funktionentheorie von Dr. Kurzke im Sommersemester 2010 an der Universität Karlsruhe. Vorlesungsmitschrieb der Vorlesung

Transkript

1 Funktionentheorie I Vorlesungsmitschrieb der Vorlesung Funktionentheorie von Dr. Kurzke im Sommersemester 200 n der Universität Krlsruhe. getexed von Judith Stumpp 9. Juli 200

2 Inhltsverzeichnis Die komplexen Zhlen Topologie der komplexen Zhlen Spezielle Funktionen ls Limites. Kurze Erinnerung n Reihen 6 2 Komplexe Differenzierbrkeit 6 3 Abbildungseigenschften holomorpher Funktionen, Möbiustrnsformtionen 27 4 Komplexe Integrlrechnung 34 5 Folgen und Reihen holomorpher Funktionen 5 6 Abbildungsverhlten und Singulritäten holomorpher Funktionen 62 7 Lurentreihen und Residuen 72 8 Der Riemnnsche Abbildungsstz 88 Hinweis: Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung Funktionentheorie im Sommersemester 200 n der Universität Krlsruhe, gehlten von Dr. Kurzke. Der Mitschrieb erhebt weder Anspruch uf Vollständigkeit noch uf Richtigkeit!

3 Kpitel Die komplexen Zhlen Definition und Stz. Auf der Menge R R definieren wir folgende Verknüpfungen: + : (, b ) + ( 2, b 2 ) := ( + 2, b + b 2 ) : (, 2 ) (b, b 2 ) := ( 2 b b 2, b b ). Dnn ist (R R, +, ) ein Körper mit Null (0, 0) und Eins (, 0). Wir nennen diese Struktur die komplexen Zhlen C. Beweis: Nchrechnen der Körperxiome (R R, +) ist eine belsche Gruppe (Addition im Vektorrum R 2 ) (R R \ {(0, 0)}, ) ist eine belsche Gruppe: Assozitivität: (, b ) (( 2, b 2 ) ( 3, b 3 )) = (, b ) ( 2 3 b 2 b 3, 3 b b 3 ) = ( 2 3 b 2 b 3 3 b b 2 2 b b 3, 3 b b b b b 2 b 3 ) = ( 2 b b 2, b b ) ( 3, b 3 ) = ((, b ) ( 2, b 2 ))( 3, b 3 ). Kommuttivität: offensichtlich neutrles Element: (, 0) (, b) = ( b 0, b + 0 ) = (, b) inverses ( Element: ) Sei (, b) ((0, 0). Dnn ist ), b (, b) = 2 ( b)b, b b = (, 0) 2 +b 2 2 +b 2 2 +b 2 2 +b 2 Distributivgesetz ist einfch.

4 2 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Stz.2 (Eigenschften der komplexen Zhlen) (i) R ist isomorph zu einem Teilkörper von C. (ii) Die Gleichung x 2 + = 0 ht genu zwei Lösungen in C. i := (0, ) und i := (0, ) Beweis: (i) R (, 0) (, 0) ( 2, 0) = ( 2 0, 0 + 0) = ( 2, 0) (, 0) + ( 2, 0) = ( + 2, 0) (ii) (0, ) 2 = (0 0, 0 + 0) = (, 0) = C, (0, ) 2 = C mindestens zwei; genu zwei, d Polynom von Grd 2. Bemerkung.3 Wir identifizieren R mit dem zu R isomorphen Teilkörper von C. Dnn ist C = {+ib :, b R}. Insbesondere gibt es zu jedem z C eindeutig bestimmte, b R mit z = + ib. Wir nennen den Relteil und b den Imginärteil: = Re z, b = Im z. Stz.4 Die Abbildung : C C + ib ib (komplexe Konjugtion) ist ein Körperutomorphismus uf C. Es ist z = z z R. Des weiteren: z = z für lle z C. Beweis: z + w = z + w z, w C einfch. zw = z w : Sei z = + ib, w = c + id. zw = c bd i(bc + d) = ( ib) (c id) = z w z = z + ib = ib b = 0 z R Bemerkung.5 z C ist Re z = z+z 2 und Im z = z z 2i. Definition.6 Für z C setzen wir z := zz den Betrg von z. Bemerkung.7 (Eigenschften des Betrgs) () z = x + iy zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 0

5 3 (b) z ist der Abstnd von (x, y) zu (0, 0) in der euklidischen Ebene. (c) (i) z w = z w (ii) Re z z, Im z z (iii) z + w z + w (iv) z w z w (d) D zz = z 2, folgt für z 0 : z = Beispiele: z z 2 + 2i = ( + 2i)( 2i) = ( 4) = 5 ( + i) = i + = ( i) 2 2 ( + i)( i) = 2 ( ( ) + i( )) = (2 + 0) = 2 ( i 2 ) 2 = 3 2 = 3 2 i Grphische Vernschulichung der komplexen Zhlen: Gußsche Zhlenebene (Skizze) (Skizze) Addition entspricht der Vektorddition in der Ebene. (Skizze) Komplexe Konjugtion ist Spiegelung n der reellen Achse. (Skizze) Bemerkung.8 (Polrkoordinten komplexer Zhlen) Für (x, y) R 2 gibt ein ϕ R mit (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ). Dbei ist r = x 2 + y 2 0, lso x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ). Die Abbildung R + R C \ {0}, (r, ϕ) r(cos ϕ + i sin ϕ) ist surjektiv. Wenn r (cos ϕ + i sin ϕ ) = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) gilt, dnn folgt r = r 2 und ϕ ϕ 2 2πZ. Also bestimmt ein z C eindeutig r = z. Ds Argument ϕ ist nur bis uf ein gnzzhliges Vielfches im 2π bestimmt. ϕ heißt ein Argument von z, wenn z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Bemerkung.9 (Multipliktion in Polrkoordinten) Für z = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = (cos ψ + i sin ψ), r,, ϕ, ψ R, r, 0, ist zw = r(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). (Komplexe Zhlen werden multipliziert, indem mn Beträge multipliziert und Argumente ddiert.) Beweis: (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) = cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)

6 4 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN (Skizze) Definition.0 (Huptwert des Arguments) Wir definieren Arg : C \ {0} ( π, π] durch Arg z = (ds eindeutige ϕ ( π, π] mit z = z (cos ϕ + i sin ϕ)) Beispiele: Arg = 0, Arg (i) = π 2, Arg ( ) = π, Arg ( i) π. 000 Wrnung: Andere Definitionen sind möglich. Beispielsweise mit Bild [0, 2π). Arg (zw) (Arg z + Arg w) 2πZ 2 Arg ( + i) = π, Arg (( + i)2 ) = Arg ( 2i) = π 2 }{{} Differenz 2πZ Stz. (n-te Einheitswurzel) Sei n N. Es gibt genu n Lösungen der Gleichung z n = 0 und zwr ζ j = cos( 2πj 2πj n ) + i sin( n ) (j = 0,..., n ). (Skizze) Beweis: Die ζ j sind lle verschieden, d die Argumente in [0, 2π) liegen. Moivresche Formel: (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) ζj n 2πj 2πj = cos( n n) + i sin( n n) = + i 0 = Die n-ten Einheitswurzeln liegen uf den Ecken eines dem Einheitskreis einbeschriebenen gleichseitigen n-ecks. n = 4 :, i,, i (Skizze) n = 3 :, 2 + i 3 2, 2 i 3 2 (Skizze) Anlog: n-te Wurzel us komplexen Zhlen. Wenn z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r > 0, so ist w = n r ( cos( ϕ n ) + i sin( ϕ n )) eine Lösung von w = z n. Andere Lösungen: ζ j w, j =,..., n. Topologie der komplexen Zhlen Definition.2 (i) Für z 0 C und ɛ > 0 setzen wir U ɛ (z 0 ) := B ɛ (z 0 ) = {z C : z z 0 < ɛ} die offene ɛ-umgebung von z 0 / den offenen ɛ-bll um z 0.

7 . TOPOLOGIE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5 (ii) Eine Menge U C heißt offen, wenn z 0 U ɛ > 0 : U ɛ (z 0 ) U. (iii) Eine Menge M C heißt bgeschlossen, wenn C \ M offen ist. Beispiele: C \ {z 0 } ist offen; C, sind offen und bgeschlossen. (i) Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Men- Bemerkung.3 gen ist offen. (ii) Der Schnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen. Beweis: (i) U = U i, U i offen. z U z U i ɛ > 0 : U ɛ (z) U i U. i I (ii) U = n U i. Sei z U ɛ,..., ɛ n : U ɛi (z) U i, i= ɛ := min(ɛ,..., ɛ n ), U ɛ (z) n U ɛi (z) n U i = U. i= i= Beispiel: Endliche Mengen sind bgeschlossen. Definition.4 Wir setzen für M C M := M := U M U offen U ds Innere von M. A M A bgeschlossen A der Abschluss von M. M = M \ M der Rnd von M. Bemerkung.5 M ist offen. M ist offen M = M. M ist bgeschlossen. M ist bgeschlossen M = M. Definition.6 (i) M heißt dicht in N, wenn M N und M N. (ii) M N heißt diskret in N, wenn z N ɛ > 0 : U ɛ (z)\{z} M =. keine Folge in M einen Häufungspunkt n N ht. (iii) N heißt Umgebung von M, wenn M N.

8 6 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Beispiele: () M = B r () \ {} : M = M, M = B r () = {z C : z r} M = {z C : z = r} {}. (b) M = B (0) (Q + iq) : M = B (0) M ist dicht in B (0). (c) { n : n N} ist diskret in C \ {0} und R \ {0}, ber nicht in R. (d) N ist diskret in R. Definition.7 Eine Folge (z n ) komplexer Zhlen heißt konvergent gegen z C, flls in jeder Umgebung um z fst lle Folgenglieder liegen, d.h., flls ɛ > 0 N N : [n N z z n < ɛ]. Bemerkung.8 (i) Cuchy-Kriterium: (z n ) ist konvergent genu dnn, wenn ɛ > 0 N N : [n, m N z n z m < ɛ]. (ii) z n z Re z n Re z und Im z n Im z. (iii) Stetigkeit der Körperopertionen: Ist z n z, w n w, so z n + w n z + w, z n w n z w, z n z, z n z und flls z n, z 0 z n z. Beweis: Der Beweis bsiert uf folgender Überlegung: z n Re z n + Im z n 2 z n [z n 0 Re z n 0, Im z n 0] Definition.9 (i) Ein z C heißt Häufungswert (HW) der Folge (z n ), wenn es zu jedem ɛ > 0 unendlich viele n N gibt mit z n z < ɛ. (ii) Ein z C heißt Häufungspunkt (HP) der Menge M, wenn in jeder Umgebung von z unendlich viele Punkte von M liegen. Bemerkung: (i) z HW von (z n ) es gibt eine Teilfolge (z nk ) k N mit z nk z. (ii) z HP von M Es existiert eine Folge z n M \ {z} mit z n z. 2 Spezielle Funktionen ls Limites. Kurze Erinnerung n Reihen Bemerkung.20 (i) Mnche Folgen werden ls Reihen geschrieben. s n = n k Folge der Prtilsummen von k Reihe k=0 k=0

9 2. SPEZIELLE FUNKTIONEN ALS LIMITES. KURZE ERINNERUNG AN REIHEN 7 ( n bezeichnet sowohl die Folge (s n ), ls uch lim s n, flls (s n ) n konvergiert.) k=0 (ii) Flls k konvergiert, so konvergiert uch k ( k heißt bsolut konvergent) (iii) Vergleichsstz: Ist k b k gilt: b k konvergiert k konvergiert bsolut. k=0 k=0 k=0 (iv) Quotientenkriterium: Ist k+ k q <, so konvergiert k=0 k=0 k. m Beweis: Sei N > 0 so groß, dss s m s n = k m k < ɛ für k=n+ k=n+ m, n N (Cuchykriterium für Betrgsreihe Cuchykriterium für Reihe ohne Beträge). Der Beweis des Vergleichsstzes geht genuso. (iv) k Cq k (per Induktion) q k = q (für q < ). k=0 Also folgt us dem Vergleichskriterium die Konvergenz. Definition und Stz.2 Die folgenden Reihen konvergieren für jedes z C: (i) Exponentilreihe: exp z := z n n! (ii) Sinusreihe: sin z := ( ) n z2n+ (2n+)! (iii) Cosinusreihe: cos z := ( ) n z2n Beweis: (2n)! (i) Quotientenkriterium: zn+ (n+)! z n = z n + 0 q < für n N 0 n! (ii),(iii) genuso.

10 8 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Bemerkung.22 (Cuchyprodukt von Reihen) Flls z := n, b n bsolut konvergent sind, so konvergiert ( n k b n k ), ds Cuchyprodukt, bsolut und k=0 ( n ) ( k b n k = n b n ). k=0 Beweis: folgt us dem Beweis in R für Rel- und Imginärteile. Stz.23 (Funktionlgleichung der Exponentilfunktion) Seien z, w C. Dnn ist exp(z + w) = exp(z) exp(w). Beweis: exp(z + w) = = Bem..22 = (z + w) n k=0 ( n n! k! zk }{{} k n! zn = binomische Formel {}}{ n ( ) n z k w n k n! k k=0 (n k)! wn k }{{} ) = exp(z) exp(w) b n k ( ) n! wn Korollr.24 exp(z) 0 z C exp(z) exp( z) = exp(z z) = exp 0 = exp ist ein Gruppenhomomorphismus von (C, +) nch (C \ {0}, ). Bemerkung.25 (i) Für lle z C ist exp(iz) = cos z + i sin z. (ii) cos z = exp(iz)+exp( iz) 2. (iii) sin z = exp(iz) exp( iz) 2i. Beweis:

11 2. SPEZIELLE FUNKTIONEN ALS LIMITES. KURZE ERINNERUNG AN REIHEN 9 (i) exp(iz) = = (iz) n k=0 n! = ( ) k z 2k (2k)! = cos z + i sin z k=0 + i (iz) 2k (2k)! + (iz) 2k+ (2k + )! k=0 k=0 ( ) k z 2k+ (2k + )! (ii) cos( w) = cos w exp(iz) + exp( iz) = cos z + i sin z + cos( z) + i sin( z) = 2 cos z (iii) sin( w) = sin(w) exp(iz) exp( iz) = cos z + i sin z cos( z) i sin( z) = 2i sin z }{{} =+i sin z Definition.26 Wir definieren e z := exp(z). Korollr.27 Für z = x + iy, x, y R gilt: (i) e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y). (ii) Re (e z ) = e x cos y, Im (e z ) = e x sin y. (iii) e z = e x. (iv) e iπ + = 0. Korollr.28 (Additionstheorem für Sinus und Cosinus) Für lle z, w C ist (i) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, (ii) cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w.

12 0 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Beweis: sin(z + w) = (exp(iz + iw) exp( iz iw)) 2i = (exp(iz) exp(iw) exp( iz) exp( iw)) 2i sin z cos w + cosz sin w = 2i (exp(iz) exp( iz)) (exp(iw) + exp( iw)) (exp(iz) + exp( iz)) (exp(iw) exp( iw)) 2i = (exp(iz) exp(iw) exp( iz) exp(iw) 4i + exp(iz) exp( iw) exp( iz) exp( iw) + exp(iz) exp(iw) + exp( iz) exp(iw) exp(iz) exp( iw) exp( iz) exp( iw)) = (exp(iz) exp(iw) exp( iz) exp( iw)) 2i = sin(z + w). Wie injektiv ist exp : C C \ {0}? Erinnerung: f : G H Homomorphismus. Kern f = f (e H ) = {g G : f(g) = e H } Stz.29 Kern (exp) = 2πiZ Beweis: Wnn ist exp(z) =? : Sei k Z. exp(2πik) = cos(2πk) +i sin(2πk) = + i0 = }{{}}{{} 0 Kor.27 : Sei z = x + iy, x, y R, exp(x + iy) = = e x+iy = e x x = 0. = e z = cos y + i sin y cos y = und sin y = 0 y = 2πk, k Z z 2πiZ Korollr.30 Die komplexe Exponentilfunktion ist periodisch mit Periode 2πi. Beweis: exp(z + 2πi) = exp(z) exp (2πi) }{{} Kern exp = exp(z) = exp(z). Flls exp(z + p) = exp(z) z, so exp(z) exp(p) = exp(z) exp(p) = p 2πiZ.

13 2. SPEZIELLE FUNKTIONEN ALS LIMITES. KURZE ERINNERUNG AN REIHEN Korollr.3 (Nullstelllen von Sinus und Cosinus) sin z = 0 z = kπ, k Z, cos z = 0 z = (k + 2 )π, k Z. Insbesondere sind lle Nullstellen von Sinus und Cosinus reell. Beweis: sin z = 0 e iz = e iz e 2iz = 2iz 2πiZ. cos z = 0 e iz = e iz e 2iz = e 2iz e iπ = 2iz + iπ 2πiZ Bemerkung.32 Abbildungseigenschften der komplexen Exponentilfunktion Skizze Gerdenstücke prllel zur imginären Achse werden in Kreise um 0 bgebildet. Skizze Gerdenstücke prllel zur reellen Achse werden in in 0 usgehende Hlbgerden bgebildet. 4 Skizzen Definition.33 (Huptzweig des Logrithmus) Wir setzen S := {z C : π < Im z π}. Die Exponentilbbildung ist von S C \ {0} bijektiv. Wir schreiben: Log : C\{0} S für die Umkehrfunktion und nennen diese den Huptzweig des Logrithmus. Bemerkung.34 (i) Für z R, z > 0 ist Log z = log z(= ln z) der gewöhnliche reelle Logrithmus. (ii) Für z C \ {0} ist Log z = log z + i Arg (z) (Arg = Huptwert des Arguments) Bemerkung.35 (Komplexe Potenzen) In R ist für > 0, s R s := exp(s log ). In C : exp nicht injektiv. Unklr, ob exp(z Log w) oder exp(z(log w + 2πik)), k Z die richtige Whl für w z ist. z Z : exp(z 2πik) =, d.h. exp(z Log w) = exp(z(log w + 2πik)) = w z Beispiel: 2? exp( 2 Log ) = exp 0 =, exp( 2 (Log + 2πik)) = exp(πik) = ( )k i i? exp(i Log i) = exp(i i π 2 ) = e π 2, exp(i(log i + 2πik)) = exp(i iπ 2 + i 2πik) = e π 2 e 2πk

14 2 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Wir definieren w z := exp(z Log w) und sind uns bewusst, dss wir eine Whl getroffen hben. Wrnung: Die üblichen Potenzgesetze gelten nicht. Es gibt z, w, C mit (zw) z w. ( ) 2 ( ) 2 = i i = ( ) 2 = exp( 2 Log( )) = exp( 2 πi) = i (( ) ( )) 2 = Erinnerung: Stetige Funktionen, kompkte Mengen, Grenzwerte von Funktionen Definition.36 (i) Sei D R p oder D C p eine Menge. Eine Funktion f : D R q (oder f : D C q ) heißt stetig in D, flls gilt: ɛ > 0 δ > 0 : (z D, z < δ) f(z) f() < ɛ (Hier ist für ζ = (ζ,..., ζ p ) C p p, ζ := ζ j 2 ) j= (ii) Eine Funktion f : D R q (C q ) heißt stetig uf D, flls sie stetig in llen D ist. Stz.37 Sei D C p (R p ) und f : D C q (R q ), D. Dnn sind gleichwertig (i) f stetig in. (ii) Für jede Folge ( n ) D mit n gilt f( n ) f(). Beweis: Sei n und sei ɛ > 0. Für z < δ = δ(ɛ) ist f(z) f() < ɛ. Wähle N so groß, dss n < δ für n > N. Dnn ist f( n ) f() < ɛ. Angenommen, es gibt ɛ > 0 so, dss für lle δ > 0 ein z D existiert mit z < δ, ber f(z) f() ɛ. Wähle zu δ n = n eine Folge ( n ) D mit n < n, ber f( n) f() ɛ. Dnn ist n, ber f( n ) f() d 0 ɛ. Stz.38 Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig.

15 2. SPEZIELLE FUNKTIONEN ALS LIMITES. KURZE ERINNERUNG AN REIHEN 3 Beweis: Seien f, g stetig in D. Sei n. Dnn ist (f + g)( n ) = f( n ) + g( n ) f() + g() = (f + g)(). Genuso für ds Produkt. Stz.39 Die Funktion f : C \ {0} C, f(z) = z ist stetig. Beweis: z n z, z n, z 0 Bem..8 z n z. Stz.40 Die Zusmmensetzung stetiger Funktionen ist stetig, d.h. ist f stetig in D, g stetig in f(), so ist g f stetig in. (f : D C q, g : D C r, f(d) D ) Beweis: Wie oben. Beispiel.4 (i) Konstnten sind stetig. (ii) Die Identität z z ist stetig ( δ = ɛ ). z < δ z < ɛ für δ = ɛ. (iii) Alle Polynome P (z) = m k z k, k C sind stetig. k=0 (iv) f stetig uf D C, f 0 (d.h. f(z) 0 z D) f stetig uf D. (v) Gebrochenrtionle Funktionen f(z) = P (z) Q(z), P (z), Q(z) Polynome, sind stetig uf C \ {Q(z) = 0}. (vi) f : D C stetig uf D C Re f und Im f stetig. (vii) f : D C stetig C f : D C stetig. (viii) f stetig f stetig.. Beispiel.42 Der Huptwert des Arguments (und des Logrithmus) ist unstetig für M = {z C : Re z < 0, Im z = 0} Beweis: M Arg () = π. z n := i n, Arg (z n) π für n, lso ist Arg nicht stetig. Log(z) = log z + i Arg z. Korollr.43 Es gibt stetige und bijektive Funktionen, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist. (Bsp.: f : ( π, π] S = {z C : z = }, f(t) = e it. Die Umkehrfunktion ist Arg : S ( π, π].) Definition.44 Eine Menge K R p (oder C p ) heißt kompkt, flls sie die folgende (Heine-Borel)-Eigenschft erfüllt: Ist K U λ, U λ offen, Λ eine beliebige Indexmenge, so existieren λ Λ

16 4 KAPITEL. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN λ,..., λ n Λ (endlich viele) mit K n j= U λj. ( Jede offene Überdeckung ht eine endliche Teilüberdeckung ). Bemerkung.45 Für Mengen K R p /K C p gilt: K kompkt K bgeschlossen und beschränkt jede Folge ( n ) in K ht eine in K konvergente Teilfolge. Beispiel.46 () C ist nicht kompkt,b Z (i) nicht beschränkt (ii) U 2 ( + bi) ist offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung. U ɛ () := {z C : z < ɛ} (b) S = {z C : z = } ist kompkt, d bgeschlossen und beschränkt. (c) Cntormenge C = { j 3 j : j {0, 2}} ist kompkt. j=0 Stz.47 Sei f : K R p (C p ) stetig, K kompkt. Dnn is f(k) kompkt. Beweis: Sei (z n ) eine Folge in f(k). Wir wollen zeigen z nk z 0. z n = f(p n ), p n K. Wähle konvergente Teilfolge p nk p 0 z nk = f(p nk ) f(p 0 ) = z 0. Korollr.48 Sei f : K R eine stetige Funktion, K kompkt. Dnn nimmt f uf K Minimum und Mximum n, d.h. es gibt x m K, x M K mit f(x m ) = inf f(x) und f(x M) = sup f(x). x K x K Beweis. f(k) kompkt. sup f(k) = b <, inf f(k) = >, f(k) bgeschlossen, b f(k). Korollr.49 Sei K kompkt, f : K C stetig. Wenn f(z) 0 z K, so existiert ein δ > 0 mit f(z) δ z K. Beweis: g = f erfüllt Vorussetzungen von Korollr.48. Es ist g 0, g 0. Wäre inf g = 0, so existiert z K mit g(z) = 0 Also inf g > 0. K K Definition.50 (Grenzwert von Funktionen) Sei f : D C. Wir schreiben f(z) b für z [ lim z f(z) = b z ], flls gilt:

17 2. SPEZIELLE FUNKTIONEN ALS LIMITES. KURZE ERINNERUNG AN REIHEN 5 (i) ist ein Häufungspunkt von D. { (ii) f : D {} C f(z) f(z) = b z D \ {} z = ist stetig in. Bemerkung.5 Sei D ein Häufungspunkt. f stetig in lim z f(z) = f(). z Bemerkung.52 Grenzwerte sind eindeutig. (b, b Grenzwerte, n, b b b f( n ) + f( n ) b 0 b = b)

18 Kpitel 2 Komplexe Differenzierbrkeit Definition 2. Sei D C und ein Häufungspunkt von D. f : D C f(z) f() heißt in komplex differenzierbr, flls der Grenzwert lim z z existiert. z Der Grenzwert heißt komplexe Ableitung und wird mit dem Symbol f () bezeichnet. Beispiel 2.2 (i) f(z) = z ist überll uf C komplex differenzierbr. z C, z, z = z, lso f () = C. (ii) Die Funktion f(z) = Re z ist nirgends komplex differenzierbr. Sei C z n = + +i n, f(z n) f() z n = +i w n = + i n, existiert nicht. f(w n) f() w n = Re + n Re +i n = Re + n Re i n = i f(z) f() lim z z Stz 2.3 (äquivlente Chrkterisierungen der komplexen Differenzierbrkeit) Sei D C, D ein Häufungspunkt in D, b C. Die folgenden Aussgen sind gleichwertig: () f ist in komplex differenzierbr mit Ableitung f () = b. (b) Es gibt eine in stetige Funktion ϕ : D C mit f(z) = f() + ϕ(z)(z ) und ϕ() = b. (c) Es gibt eine in stetige Funktion ρ : D C mit f(z) = f() + b(z ) + ρ(z)(z ) und ρ() = 0. r(z) (d) Die Funktion r(z) = f(z) f() b(z ) erfüllt lim z z = 0 6

19 7 Beweis: { f(z) f() z z () (b) Setze ϕ(z) = b z = D f differenzierbr in ϕ stetig in. (b) (c) ρ(z) = ϕ(z) b. { ρ(z)(z ) z (c) (d) r(z) = 0 z = r(z) z = ρ(z) 0 z (d) () f(z) f() z = b + r(z) z b. z Korollr 2.4 f differenzierbr in f stetig in. (2.3(b)) Stz 2.5 (i) Die in D, Häufungspunkt von D, komplex differenzierbre Funktionen bilden eine C-Algebr, dh. für f, g in komplex differenzierbr, λ C sind f + g, f g und λf in komplex differenzierbr. Es gilt: (f + g) () = f () + g (), (λf) () = λf (), (fg) () = f ()g() + f()g () (ii) Ist zusätzlich f() 0, so ist f ( ) () f = f () (f()) 2 in komplex differenzierbr und

20 8 KAPITEL 2. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT Beweis: (f(z) + g(z)) (f() + g()) z f(z)g(z) f()g() z f(z) f() z = = f(z) f() g(z) g() + f () + g () z z f(z)g(z) f()g(z) + f()g(z) f()g() z f(z) f() g(z) g() +f() z z = g(z) }{{} = = (2.4) g() } {{ } f () g()f () + f()g () f() f(z) f()f(z) z f()f(z) }{{} (f()) 2 f(z) f() z } {{ } f () } {{ } g () f () (f()) 2 Korollr 2.6 Polynome sind überll komplex differenzierbr. Ist P (z) = n k z k, so ist P (z) = n k k z k. k=0 k= Beweis: (Per Induktion) (z n ) = nz n, n = 0, n n + : (z z n ) = z n + z nz n = ( + n)z n. Bemerkung 2.7 Die Funktion z z ist nirgendwo komplex differenzierbr (sonst wäre Re z = z+z 2 differenzierbr). Mn knn zeigen: Ein Polynom Q(z, z) in z und z ist genu dnn überll differenzierbr, wenn es nicht von z bhängt. Beispiel: z 2 = zz ist ußer m Nullpunkt nicht komplex differenzierbr. Stz 2.8 (Kettenregel) Seien f : D C, g : D C, f(d) D. Flls D ein Häufungspunkt von D ist, b = f() einer von D und f in und g in b komplex differenzierbr ist, so folgt: (g f) ist in komplex differenzierbr und (g f) () = g (f())f () Beweis: Sei f(z) f() = ϕ(z)(z ), ϕ in stetig, ϕ() = f () g(w) g(b) = ψ(w)(w b), ψ in b stetig, ψ(b) = g (b). Für z ist dnn g(f(z)) g(f()) z f(z) f() = ψ(f(z)) g (f())f (). z

21 9 Bemerkung 2.9 Quotientenregel: ( f g ) = f g fg g 2 Bemerkung 2.0 (i) (Potenzreihen) Ist f(z) = kz k eine konvergente Potenzreihe, so drf innerhlb des Konvergenzrdius gliedweise differenziert werden. f (z) = k k z k (Beweis später) k= (ii) exp ist differenzierbr mit exp = exp (Beweis morgen (Stz 2.8(iv))). (iii) Log ist differenzierbr in C \ {Re z 0, Im = 0}, Log (z) = z. (Beweis später (Beispiel 2.28)) (iv) z z s = exp(s Log z) ist differenzierbr in der geschlitzten Ebene C \ {Re z 0, Im = 0}, (z s ) = exp(s Log z) s z = zs s z = szs. Definition 2. (Reelle Differenzierbrkeit) Eine Abbildung f : D R q, D R p offen, heißt in D (totl) differenzierbr, flls gilt: Es gibt eine linere Abbildung A : R p R q so, dss f(x) = f() + A(x ) + r(x) mit lim x k=0 r(x) x = 0. Die Abbildung A ist eindeutig bestimmt und heißt Jcobi-Abbildung von f bei. A =: J (f; ). Bemerkung 2.2 Flls f : D R 2, D R 2 totl differenzierbr in = (, 2 ), dnn ( ) f (x, x 2 ) f(x) = f(x, x 2 ) = f 2 (x, x 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (, 2 ) A A = + 2 x2 2 r (x, x 2 ) + f 2 (, 2 ) A 2 A 22 x 2 2 r 2 (x, x 2 ) r i (x, x 2 ) mit lim = 0 x x Flls f : D C komplex differenzierbr in = + i 2 f(x + ix 2 ) = f( + i 2 ) + A }{{} ((x + ix 2 ) ( + i 2 )) + r(x + ix 2 ) ( ) ( ) = komplexe Multipliktion mit A = f () Wnn sind diese Begriffe äquivlent? Stz 2.3 (Drstellbrkeit reell linerer Abbildungen durch komplexe Zhlen) Für eine R-linere Abbildung A : C C sind äquivlent:

22 20 KAPITEL 2. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT (i) Es existiert ein w C mit A(z) = wz. (ii) A ist C-liner, d.h. A(λz) = λa(z) λ C, z C. (iii) A(i) = ia(). (iv) Die Mtrix ( von ) A bezüglich der Stndrd-R-Bsis, i von C ht die α β Form für α, β R. β α Beweis: (i) (ii) (iii) (i): klr. (i) (iv): ( ) x C x + iy R 2, w C, w = u + iv y ( ) ( ) ( ) ux vy u v x w(x + iy) = (ux vy) + i(uy + vx), = uy + vx v u y }{{} Ã ( (iv) (iii): ) ( ) ( ) α β α β α ( α β β α ) ( 0 = 0 ) = ( β β α A() = α + iβ ) A(i) = β + iα = i(α + iβ) = ia() Bemerkung 2.4 (Multipliktion mit w = re iϕ ) Mtrizenmultipliktion ( ) ( mit w ): ( ) r cos ϕ r sin ϕ r 0 cos ϕ sin ϕ = r sin ϕ r cos ϕ 0 r sin ϕ cos ϕ }{{}}{{} Streckung Drehung um ϕ (i) Drehstreckung (ii) winkel- und orientierungstreu Bemerkung ( 2.5 ) (Prtielle Ableitung und Jcobimtrix) f (x, y) Sei f = : D R 2, D offen, f totl reell differenzierbr. In der f 2 (x, y) Bsis {( ( 0), 0 )} ht die Jcobi-Abbildung die Mtrix ( ) f f ( x y f i () f i ( + h ) 0 ) f(), = lim x h 0 h f 2 x f 2 y Andere Schreibweisen: f x = f x = f, x Theorem 2.6 (Cuchy-Riemnnsche Differenzilgleichungen) Sei f : D C, D C offen, D. Es sind äquivlent:

23 2 (i) f ist in komplex differenzierbr. (ii) f ist in ls Abbildung von D R 2 totl reell differenzierbr und u = Re{ f und v = Im f erfüllen in die folgenden Gleichungen: u v x () = y (CRD) () u v y () = x () Es gilt f () = u v v u x () + i x () = y () i y () Beweis: = + i 2 f(z) = f() + f ()(z ) + r(z), lim r(z) z = 0. Also ist ( ) ( ) ( u(x, y) u(, = 2 ) Re f + () Im f ) ( () x v(x, y) v(, 2 ) Im f () Re f () y 2 r(x,y) lim (x,y) (, 2 ) = 0 f reell differenzierbr, ( Re f () Im f ) () (x,y) (, 2 ( ) u u x v y v x y f () = Im f () Re f () ) +r(x, y) CRD und Drstellung von Stz 2.3 (iv): Flls J (f; ) diese Gestlt ht, entspricht ds der Multipliktion mit f (). Bemerkung 2.7 Flls f in komplex differenzierbr, so erfüllt die zugehörige Jcobi Abbildung: ( Re f det J (f; ) = f () 2 : det () Im f ) () Im f () Re f = (Re f () ()) 2 + (Im f ()) 2. Beispiel 2.8 (i) f(z) = z = x + iy. u = Re f = x, v = Im f = y u x = = v y =, u y = 0 = v x = 0 erfüllt überll CRD (ii) f(z) = z 2, u = Re (x + iy) 2 = x 2 y 2, v = Im (x + iy) 2 = 2xy u x = 2x, u y = 2y, v y = 2x, v x = 2y CRD überll erfüllt (iii) f(z) = z = x iy, u = Re f = x, v = Im f = y u x = v y = erfüllt nirgendwo CRD, ist lso nirgends komplex differenzierbr. (iv) exp z ist überll komplex differenzierbr (z = x + iy): Re (exp z) = e x cos y =: u(x, y), Im (exp z) = e x sin y =: v(x, y)

24 22 KAPITEL 2. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT u x (x, y) = e x cos y, u y (x, y) = e x sin y, v x (x, y) = e x sin y, v y (x, y) = e x cos y. (v) f(z) ( = z ) 2 = ( zz, u = ) Re f = x 2 + y 2, v = Im f = 0 ux u y 2x 2y = v x v y 0 0 ( ) α β Diese ist in der Form x = y = 0 β α f ist im Nullpunkt differenzierbr, nirgendwo sonst. Definition 2.9 Eine Funktion f : D C, D C offen heißt holomorph uf D, flls f in jedem Punkt D komplex differenzierbr ist. Beispiel 2.20 (i) f : D C, f(z) = e z ist holomorph uf C. (ii) Es gibt keine offene Menge D C, in der f(z) = z 2 holomorph ist. Definition 2.2 f : M C, M C heißt lokl konstnt, flls für jedes M eine Umgebung U um in C existiert so, dss f M U konstnt ist. Beispiel 2.22 (i) Ist M diskret in C, so ist jede Funktion f : M C lokl konstnt. (f : Z C) (ii) Ist f uf {z C : z < } lokl konstnt, so ist f konstnt. (iii) M = [ 2, ] [, 2], f(x) = sgn x f lokl konstnt. Stz 2.23 Sei D C offen, f : D C eine Funktion. Dnn sind gleichwertig: (i) f ist lokl konstnt uf D. (ii) f ist holomorph uf D und f (z) = 0 z D. Beweis: (i) (ii) f(z) f() z = 0 für z in einer Umgebung von, uf der f konstnt ist f differenzierbr, f = 0 ( ) (ii) (i) f ux v = 0 x = 0 D u = 0, v = 0 Anlysis II u y v y u, v lokl konstnt f lokl konstnt.

25 23 Korollr 2.24 Eine holomorphe Funktion uf einer offenen Menge D C, die nur reelle (imginäre) Werte nnimmt, ist lokl konstnt. Beweis: u x = v y = 0, u y = v x = 0 f = 0 Definition 2.25 (Zusmmenhängende Mengen) Eine Menge M C heißt zusmmenhängend, flls jede lokl konstnte Funktion uf M konstnt ist. Korollr 2.26 Sei D C offen und zusmmenhängend. Der Relteil einer holomorphen Funktion f uf D bestimmt den Imginärteil eindeutig bis uf eine dditive Konstnte. Beweis: f = u + iv, f 2 = u + iv 2 holomorph f 2 f = i(v 2 v ) holomorph Kor.2.24 v v 2 = k = const. Stz 2.27 (Lokle Umkehrbrkeit und Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f : D C holomorph, D C offen, f stetig uf D. (i) Ist D mit f () 0, so existiert eine offene Menge D 0 D, D 0 so, dss f D0 injektiv ist. (ii) Ist f injektiv uf D und f (z) 0 z D, so ist f(d) offen und f : f(d) C ist holomorph mit (f ) (f(z)) = f (z). Beweis: (i) Folgt us dem Stz für die Umkehrfunktion in R 2. Wir müssen nur zeigen, dss J (f; ) invertierbr ist. det J (f; ) = f () 2 > 0. J (f; ) invertierbr Anlysis II f lokl invertierbr. (ii) Reelle Anlysis f differenzierbr bei f() mit Ableitung ( ) ( α β α β J (f ; f()) = (J (f; )) α = = 2 +β 2 β α β α 2 +β 2 CRD f ist komplex differenzierbr. Kettenregel: z = f (f(z)), = z = (f ) (f(z))f (z). Beispiel 2.28 exp : {z C : π < Im z π} }{{} nicht offen α 2 +β 2 α α 2 +β 2 C \ {0} bijektiv. Etws kleinere offene Menge D = {z C : π < Im z < π} exp : D C := C \ {z R, z 0} ist bijektiv. exp (z) = exp(z) 0. Umkehrfunktion: Log : C D Log (exp z) exp z =, Log (w) = w =w )

26 24 KAPITEL 2. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT Welche reellen Funktionen sind Relteile holomorpher Funktionen? Definition 2.29 Sei D R n offen. u C 2 (D) heißt hrmonisch, flls 0 = u := n k= 2 u. x 2 k Stz 2.30 Ist D C offen, f C 2 (D; C) (f : D C zweiml reell stetig differenzierbr) und erfüllt f die CRD, so sind Re f und Im f hrmonisch. Beweis: u := Re f, v := Im f u xx + u yy = v yx + ( v xy ) = 0, CRD v xx + v yy = ( u y ) x + u xy = 0 Beispiel 2.3 (i) f(z) = z 2 : z = x + iy Re z 2 = x 2 y 2, (x 2 y 2 ) = 2 2 = 0 Im z 2 = 2xy, (2xy) = = 0. (ii) f(z) = e z : Re e z = e x cos y, (e x cos y) = e x cos y e x cos y = 0. Stz 2.32 Sei D C ein chsenprlleles Rechteck und sei u : D R hrmonisch. Dnn existiert eine Funktion v : D R mit u + iv holomorph in D. Beweis: Wir suchen v mit { v x = u y v y = u x. Setze x v(x, y) := ( v y (s, y 0 )) ds + x 0 v y (x, y) = 0 + u x (x, y) v x (x, y) = u y (x, y 0 ) y y y 0 u xx (x, t) }{{} y 0 =u yy(x,t) u x (x, t) dt = u y (x, y 0 ) (u y (x, y) u y (x, y 0 )) = u y (x, y) dt (u, v) erfüllen CRD. Existenz Eindeutigkeit nch Korollr 2.26 Bemerkung 2.33 () Jeder ndere Weg wäre uch ok gewesen. (b) Nicht whr für D = C \ {0} (Löcher mchen Probleme) u(x, y) = log x + iy = 2 log(x2 + y 2 ) u ist hrmonisch: 2x x u = 2(x 2 +y 2 ), xxu = x2 +y 2 x 2x = y2 x 2 (x 2 +yf (x 2 +y 2 ) 2 y u = y, x 2 +y 2 yy u = x2 y 2 u = 0 (x 2 +y 2 ) 2

27 25 Flls v existiert mit u + iv holomorph in C \ {0} u + iv holomorph in C Eind. u + iv = Log z + ik, k R v knn nicht stetig uf der negtiven reellen Achse sein. Definition 2.34 (Wirtinger-Klkül) Ist f : D C reell differenzierbr, so setzen wir f := f z := ( ) f z 2 x i f y f=u+iv = 2 (u x + iv x i(u y + iv y )) = 2 (u x + v y + i(v x u y )) f := f z := ( ) f z 2 x + i f y f=u+iv = 2 (u x v y + i(u y + v x )) Bemerkung 2.35 (ii) z z = 2 ( + i( i)) = (iii) f holomorph f = f z (i) f holomorph in D f z = 0 in D. holomorphe Funktionen hängen nur von z, nicht von z b Bemerkung 2.36 f : D C reell differenzierbr f(z) f() = f() f() (z ) + z z (z ) + r (z)(z ) + r 2 (z)(z ) r i () = 0, r i stetig. Beweis der Bemerkung: = + i 2 f(z) f() = f() x (x ) + f() y (y 2) + Rest obda. = 0. f z z + f z z = ( ) f 2 x i f (x + iy) y + ( ) f 2 x + i f (x iy) y = ( x f 2 x + y f ( y + i y f ) x x f + x f y x +y f y + i = x f x + y f y ( x f y y f x ) )

28 26 KAPITEL 2. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT Stz 2.37 Ist f : D C zweiml stetig reell differenzierbr, so gilt: f = 4 z z f = 4 z z f Beweis: (für u = Re f) u z = 2 (u x iu y ) u zz = 2 (u xz iu yz ) = 4 (u xx + iu xy iu yx + u yy ) = 4 (u xx + u yy )

29 Kpitel 3 Abbildungseigenschften holomorpher Funktionen, Möbiustrnsformtionen Definition 3. Eine injektiv linere Abbildung T : R n R n heißt orientierungstreu, wenn det > 0. T heißt winkeltreu, wenn für lle v, w 0 gilt: T v, T w v, w = T v T w v w, Sklrprodukt in R n ( ) ( ) x x Beispiel 3.2 () T : R 2 R 2, T = ( ) y y 0 det T = det = T nicht orientierungstreu. 0 ( ) ( ) v w v =, w =. v 2 ( w) 2 ( ) v w T v, T w =, = v w + v 2 w 2 = v, w v 2 w 2 v = T v T winkelerhltend. d.h. z z ist winkel- ber nicht orientierungstreu. (b) Drehstreckungen sind winkel- und orientierungstreu. Stz 3.3 Eine R-linere Abbildung T : C C ist orientierungs- und winkeltreu T (z) = wz für ein w C, w 0 Beweis: 27

30 28 KAPITEL 3. ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN, MÖBIUSTRANSFORMATIONEN Multiplizieren mit komplexer Zhl reiϕ, r > 0 ist Drehstreckung winkel- und orientierungstreu. := T () 0 d T injektiv, i = 0 0 = T (), T (i) b:= T (i) =, b = Re (b) = 2 Re b b = ir, r R. T (x + iy) = xt () + yt (i) = (x + iry) zu zeigen: r = Winkeltreue: T (x + iy), T () x + iy = x + iy, T (x + iy) T () 2 x x + iy = x (x + iry) Für x 0 ist x + iy = x + iry r = ± T (x + iy) = (x ± iy) Orientierungstreu + Definition 3.4 Eine differenzierbre Abbildung f : D R n, D R n offen, heißt lokl konform, flls die Jcobi-Abbildung J(f; ) in jedem Punkt winkel- und orientierungstreu ist. Stz 3.5 Eine reell differenzierbre Abbildung f : D C, D C offen, ist lokl konform f holomorph, f (z) 0 z D. Beweis: Bemerkung oben und CRD. Bemerkung 3.6 (Geometrische Deutung der loklen Konformität) Sei f : D C lokl konform. Sind γ, γ 2 : [, b] D C differenzierbre Wege, so gilt: Flls γ und γ 2 sich in einem Punkt p mit Schnittwinkel β schneiden, so schneiden sich die Bildwege f γ, f γ 2 in f(p) ebenso mit Winkel β.

31 29 Beweis: Sei obda. γ (c) = γ 2 (c) = p, γ (c) 0 γ 2 (c). γ (c), γ 2 (c) γ (c) γ 2 (c) = cos β (f γ ) (c) = ( (f γ ) γ ) (c) = f (p) γ (c) (f γ ) (c), (f γ 2 ) (c) = f (p) γ (c), f (p) γ 2 (c) (f γ ) (c), (f γ 2 ) (c) (f γ ) (c) (f γ 2 ) (c) = f (p) 2 γ (c), γ 2 (c) f (p) 2 γ (c), γ 2 (c) = f (p) γ (c) f (p) γ 2 (c) = γ (c), γ 2 (c) γ (c) γ = cos β 2 (c) Beispiel 3.7 (i) f : C \ {0} C \ {0}, f(z) = z 2, f (z) = 2z 0 u = x 2 y 2, v = 2xy x = u = 2 y 2, v = 2y v 2 = 4 2 y 2 = 4 2 ( 2 u) Prbel y = b u = x 2 b 2, v = 2bx v 2 = 4b 2 x 2 = 4b 2 (b 2 + u) Skizze (ii) f : C \ {0} C \ {0}, f(z) = 2 (z + z ), f (z) = 2 ( ) 0 für z 2 z ± f ist in C \ {0; ; } lokl konform. z = r, ξ = x r, η = y r, ξ2 + η 2 = Re f(z) = ξr 2 (ξr + ) = r 2 2 (r + r )ξ Im f(z) = ηr 2 (ηr u2 4 (r+ r r 2 ) = 2 (r r )η v2 + = )2 4 (r+ ξ2 + η 2 = r )2 Skizze ( ) b Definition 3.8 Sei A GL (2, C), A =, d bc 0. c d Zu A definieren wir die zugehörige gebrochen linere Funktion h A (z) = z + b cz + d für z d, (fürlle z, flls c = 0). c Diese gebrochen linere Abbildungen heißen Möbiustrnsformtionen. Stz 3.9 Seien A, B GL (2, C). Dnn ist für lle z, wo lles definiert ist, h AB (z) = h A (h B (z)) Außerdem ist h Id (z) = z. Insbesondere sind Möbiustrnsformtionen invertierbr.

32 30 KAPITEL 3. ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN, MÖBIUSTRANSFORMATIONEN Beweis: ( ) ( ) b Sei A = 2 b, B = 2. c d c 2 d 2 ( ) Dnn AB = 2 + b c 2 b 2 + b d 2 und c 2 + d c 2 c b 2 + d d 2 h A (h B (z)) = 2z+b 2 c 2 z+d 2 + b c 2 z+b 2 = c 2 z+d 2 + d h 0 0 A 2 z + b 2 + b 2 c 2 z + b d 2 c 2 z + c b 2 + c 2 d z + d d 2 = ( 2 + b c 2 )z + b 2 + b d 2 (c 2 + c 2 d )z + c b 2 + d d 2 = h AB (z). (z) = z z + = z. Bemerkung 3.0 z+b cz+d ist in d c nicht definiert. Wir ersetzen C durch Ĉ = C { } und setzen h A : Ĉ Ĉ, flls c 0 : h A (z) = flls c = 0 : h A (z) = z+b cz+d c { z+b d z d c, z = d c z = z z =. Mn knn eine Topologie uf Ĉ definieren (Ein-Punkt-Kompktifizierung von C), in der lle Möbiustrnsformtionen bijektiv und stetig sind. Stz 3. Ist h eine Möbiustrnsformtion, h Id, so besitzt h genu einen oder zwei Fixpunkte, d.h. z Ĉ mit h(z) = z Beweis: Sei h(z) = z+b cz+d (Klr: h αa = h A α C \ {0}). Fll : c = 0. OBdA. d =. h(z) = z + b = z? h( ) =. z = z + b, z( ) = b (.Fixpunkt). Flls 0 : z = ist zweiter Fixpunkt. b

33 3 Fll 2: c 0. OBdA. c =. Löse: z+b cz+d = z z + b = z 2 + dz, lso z 2 + (d )z b = 0. Qudrtische Gleichung oder 2 Lösungen. Korollr 3.2 Möbiustrnsformtionen sind durch Angbe dreier Punkte und ihrer Bildpunkte eindeutig festgelegt. Beweis: Seien z, z 2, z 3 verschiedene Punkte, h, h 2 Möbiustrnsformtionen mit h (z j ) = h 2 (z j ), j =, 2, 3. Möbiustrnsformtionen sind invertierbr. (h 2 h )(z j ) = z j, j =, 2, 3 h 2 h ist Möbiustrnsformtion mit 3 Fixpunkten h 2 h = Id h = h 2. Bemerkung 3.3 (Spezielle Möbiustrnsformtionen) ( ) b () h(z) = z + b, Trnsltion, Fixpunkt. 0 ( ) r 0 (b), r R \ {0} h(z) = rz, Streckung, Fixpunkte 0,. 0 ( e (c) iϕ ) 0, ϕ R h(z) = e 0 iϕ z Drehung, Fixpunkte 0,. ( ) 0 (d), C \ {0} Drehstreckung ((b) und (c) zusmmen). 0 ( ) 0 (e) h(z) = 0 z Inversion, Fixpunkte ±. Stz 3.4 Jede Möbiustrnsformtion lässt sich ls Hintereinnderusführung von Trnsltion, Multipliktion ( ˆ=Drehstreckung) und Inversion schreiben. Beweis: Betrchte z+b cz+d Fll : c = 0. d 0, 0. d z + b d = d (z + b ) ( ˆ= Drehstreckung nch Trnsltion)

34 32 KAPITEL 3. ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN, MÖBIUSTRANSFORMATIONEN Fll 2: c 0. OBdA.: c =. z+b z+d = (z+d) z+d + b d z+d d.h. z z + d z+d = + b d b d z+d z+d, + b d z+d. Definition 3.5 Ein verllgemeinerter Kreis in Ĉ ist entweder ein Kreis in C oder eine Gerde in C und der Punkt. Stz 3.6 Möbiustrnsformtionen bilden verllgemeinerte Kreise uf verllgemeinerte Kreise b. Beweis: Klr für Trnsltion und Drehstreckungen. Wegen Stz 3.4 reicht es zu, die Aussge für z z zu zeigen. Kreis: {z : z = r}, r > 0, C. Fll : = 0. w = z erfüllt w = z = r Fll 2: 0. w = r w = r w w = r L3.7 Kreis oder Gerde. w 0 Kreis um 0. Gerde: z p = z p 2 w p w p 2 = p,p 2 0 w p w p 2 = p 2 p L3.7 Kreis oder Gerde. p = 0 : w = w p 2 p 2 = p 2 w Kreis. Lemm 3.7 Seien p, q C, p q, k > 0. Die Menge {z C : ist eine Gerde, flls k =, ndernflls ein Kreis. z p z q = k} Beweis: Flls k = : Gerde. Flls k : Kreis: z 2 = r 2 z z z āz + ā r 2 = 0, C, r > 0. k, obda. k < z p 2 = k 2 z q 2 z z p z pz + p p = k 2 (z z q z qz + q q). z z( k 2 ) (p k 2 q) z ( p k 2 q)z + p p k 2 q q = 0. z z p ( k2 q p k k 2 z 2 ) q k 2 z + p p k2 q q k 2 = 0. ( ) ( ) Wollen: p p k2 q q! = p k 2 q p k2 q R 2, R > 0. k 2 k 2 k 2 D ( p 2 k 2 q 2 )( k 2 ) < p k 2 q 2 es gibt R mit dieser Eigenschft.

35 ( ) Beispiel 3.8 Die Cyleybbildung z z i i z+i = h C(z), C = bildet die obere Hlbebene H := {z C : Im z > 0} bijektiv und holomorph i uf die offene Einheitskreisscheibe E := {z C : z < } b. Die Umkehrfunktion ist z i +z z. Ds Bild der reellen Achse ist der Rnd des Einheitskreises ohne die ( E \ {}) h C ( ) =. i 0, 0, i +i = ( i)2 2 = i. Skizzen Beispiel 3.9 Die Abbildung g : z z 2 bildet H bijektiv und holomorph uf die geschlitze Ebene C = C \ {z : z R, z 0}b. 33 Beweis: g(h) C, denn: z 2 0 z R H. Injektivität: z 2 = z2 2 z = ±z 2 (z H z H). Korollr 3.20 Die Abbildung z ( z+ z ) 2 bildet den Einheitskreis E holomorph und bijektiv uf die geschlitzte Ebene C b.

36 Kpitel 4 Komplexe Integrlrechnung ( integrierbr := Riemnn-integrierbr ) Definition 4. Sei [, b] R ein Intervll, f : [, b] C. f heißt integrierbr, wenn Re f und Im f integrierbr sind, und wir setzen Beispiel 4.2 b π 2 0 f(x) dx = e it dt = π 2 0 b (Re f(x)) dx + i cos t dt + i π 2 0 b sin t dt = + i. Stz 4.3 (Rechenregeln für komplexe Integrle) Setze C := {f : [, b] C, f stetig} = C 0 ([, b]; C) (Im f(x)) dx. (i) Ds Integrl ist eine C-linere Abbildung d.h. b b (ii) (iii) b b (f(x) + g(x)) dx = λf(x) dx = λ f(x) dx = p b b f(x) dx + b f(x) dx, λ C, f C. f(x) dx + b f(x) dx f(x) dx b p b f(x) dx, p [, b] dα : C C g(x) dx, f, g C 34

37 35 Beweis: (i)-(ii) klr us Definition und Eigenschften reeller Integrle (iii) Sei ζ C, ζ = mit ζ b f(x) dx b f(x) dx R. Dnn ist = = Stz us An I b b b b ζf(x) dx Re (ζf(x)) dx Re (ζf(x)) dx }{{} f(x) f(x) dx. Stz 4.4 (Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung für Intervlle) () Ist f C 0 ([, b]; C), so ist die Funktion F (x) = x f(t) dt differenzierbr (reell/komplex) mit F = f (eine Stmmfunktion von f). (b) Ist f C 0 ([, b]; C) und F eine Stmmfunktion von f, so ist F (b) F (). (c) Sind F, F 2 Stmmfunktionen zu f, so ist F 2 F konstnt. b f(x) dx = Beweis: Folgt us dem Huptstz für reelle Integrle durch Zerlegen in Rel- und Imginärteil. Stz 4.5 (Substitutionsregel) Seien I, I 2 Intervlle,, b I, ϕ : I I 2 stetig differenzierbr und f C 0 (I 2 ; C). Dnn ist ϕ(b) ϕ() f(x) dx = b f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Beweis: F = f (F ϕ) = (F ϕ) ϕ ϕ(b) f(x) dx = F (ϕ(b)) F (ϕ()) = ϕ() b f(ϕ(t))ϕ (t) dt

38 36 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG Stz 4.6 (Prtielle Integrtion) Sind u, v : [, b] C stetig differenzierbr, so ist b u (x)v(x) dx = u(b)v(b) u()v() b u(x)v (x) dx Beweis: (uv) = u v + uv und Huptstz. Definition 4.7 Eine Kurve (oder ein Weg) ist eine stetige Abbildung α : [, b] C, < b R. Eine Kurve heißt stetig differenzierbr (C ), wenn α stetig differenzierbr ist. Eine Kurve heißt stückweise C (stückweise stetig differenzierbr), wenn es endlich viele Punkte = 0 < <... < n < n = b mit der Eigenschft gibt, dss α k := α [k, k+ ] stetig differenzerbr sind für k = 0,..., n. Beispiel 4.8 (i) α : [0, ] C, α (t) := 0. α 2 : [0, 2] C, α 2 (t) := 0. (ii) Seien z z 2 C. α : [0, ] C, α (t) := tz 2 + ( t)z. α 2 : [0, ] C, α 2 (t) := tz + ( t)z 2 = α ( t). (iii) Sei p C, r > 0, k Z \ {0}. α k : [0, 2π] C, α k (t) := p + re ikt. (iv) Polygonzüge sind stückweise C : z.b. α : [, 6] C, α(s) = (s k)z k+ + (k + s)z k für s [k, k + ] (Konsistenz z.b.: α(2) = (2 )z = z 2 = 0 + z 2 = z 2.) Bemerkung 4.9 Wir unterscheiden eine Kurve α : [, b] C und ihr Bild α([, b]). Definition 4.0 (Kurvenintegrl) () Sei α : [, b] C eine C -Kurve und f : D C stetig, α([, b]) D. Dnn definieren wir α f := α f(ζ) dζ := b f(α(t))α (t) dt.

39 37 (b) Ist α nur stückweise C mit Zerlegung = 0 < <... < n = b, so setze α f := n k=0 α [k, k+ ] b (c) Die Bogenlänge ist L(α) = f = n k+ k=0 k α (t) dt bzw. n f(α(t))α (t) dt. k=0 k+ Beispiel 4. (i) α : [0, ] C, α(t) = tz 2 + ( t)z. L(α) = 0 z 2 z dt = z 2 z. (ii) α= konstnte Kurve us 4.8(i). L(α) = 0. α 0. Für jedes f mit f = 0. α (iii) α : [0, 2] C, α(s) := e πis, f(z) := z α f = 2 0 α(s)α (s) ds = 2 0 e iπs iπe iπs ds = Stz 4.2 (Eigenschften des Kurvenintegrls) (i) Ds Integrl ist C-liner, (f + g) = f + g. α α α (λf) = λ f, λ C. α α 2 0 k iπ ds = 2πi. α (t) dt. (ii) Ds Integrl ist konsistent mit Integrlen über Intervlle: Ist α : [, b] C, α(t) = t, so ist α f = b f(t) dt. (iii) Trnsformtionsinvrinz: Ist α : [, b] C eine stückweise C - Kurve, f : D C stetig. Bild α = α([, b]) D. Und ist ϕ : [c, d] [, b] eine stetig differenzierbre Funktion mit ϕ(c) =, ϕ(d) = b. Dnn ist f = f. α ϕ α (iv) Stndrdbschätzung: Ist sup f(x) M, so ist f M L(α). x Bild α α Beweis:

40 38 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG (i) f b + g = (f + g)(α(t))α b (t) dt = f(α(t))α b (t) dt + g(α(t))α (t) dt α = f + g. α α (ii) α b b. f = f(t) dt = f(t) dt. α d (iii) f = f(α(ϕ(s))) (α(ϕ(s))) ds Substitution b = f(α(t))α (t) dt = f. α ϕ c }{{} α α (ϕ(s))ϕ (s) b (iv) f = f(α(t)) α b (t) dt α }{{} sup f α b (t) dt M α (t) dt }{{} M = ML(α). sup f Bild α Definition 4.3 Sei D C offen, f : D C stetig. F : D C heißt Stmmfunktion von f, flls F holomorph und F = f. Stz 4.4 Ist f : D C stetig, F : D C eine Stmmfunktion, so gilt: (i) Für jede stückweise C -Kurve α : [, b] D ist f = F (α(b)) F (α()). α (ii) Ist α geschlossen, (d.h. α() = α(b)), so ist f = 0. α Beweis: (i) b f(α(t))α (t) =? Berechne d dt F (α(t)) = F (α(t))α (t) = f(α(t))α (t) (d F holomorph und Bem. 2.36) b (ii) klr. f(α(t))α (t) dt = (F α) (t) dt = F (α(b)) F (α()).

41 Beispiel 4.5 () f(z) = z ht keine Stmmfunktion in C, d z dz = 2πi für α wie in Beispiel 4.. α (b) k Z, γ : [0, 2π] C, γ(t) = re it 2π z k dz = r k e ikt rie it dt = r k+ i e i(k+)t dt γ 0 0 r k+ i i(k+) ei(k+)t 2π = 0 k 0 = 2π i dt = 2πi k =. ht in C \ {0} keine Stmm- Bemerkung 4.6 funktion. 0 2π () Die Funktion z z 39 (b) k+ zk+ ist für k, k Z eine Stmmfunktion in C von z z k. (c) Stmmfunktionen sind uf zusmmenhängenden Mengen (fst) eindeutig, (bis uf eine dditive Konstnte). Definition 4.7 (Opertionen mit Wegen) Seien α : [, b] C, β : [b, c] C stückweise C, α(b) = β(b). Dnn ist die Summe der Wege α β : [, c] C { α(t) t [, b] α β(t) = β(t) t (b, c] und der reziproke Weg α : [, b] C, α (t) = α(b t + ) Stz 4.8 D C offen, f : D C stetig. α : [, b] D, β : [b, c] D stückweise C, α(b) = β(b). Dnn ist (i) f = f + α β f. α β (ii) f = f. α α Beweis: (i) klr. (ii) b f(α (t)) (α ) }{{} dt = α (b t+) ( ) s=b t+ = b f(α(s))α (s) ds = b b f(α(b t + ))α (b t + ) ( ) dt f(α(s))α (s) ds.

42 40 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG Erinnerung: M heißt zusmmenhängend, flls jede lokl konstnte Funktion uf M konstnt ist. Definition 4.9 Eine Menge M C heißt wegzusmmenhängend oder bogenzusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten z, w M eine Kurve α : [, b] C mit α([, b]) M und α() = z, α(b) = w gibt. Beispiel 4.20 M = {x + iy : x > 0, y = sin x } {x + iy : x = 0, y } ist zusmmenhängend, ber nicht bogenzusmmenhängend. Stz 4.2 Sei M C offen. Dnn sind gleichwertig: (i) M zusmmenhängend, (ii) M bogenweise zusmmenhängend, (iii) zu je zwei Punkten z, w M existiert eine stückweise C -Kurve α : [, b] M mit α() = z, α(b) = w. Beweis: (iii) (ii) trivil. (ii) (i) Sei f : M C, f lokl konstnt, z, w M. Sei α [, b] M stetig, α() = z, α(b) = w. Dnn ist f α : [, b] C lokl konstnt. [, b] zusmmenhängend f α konstnt. f(z) = f(w) f konstnt. (i) (iii) Sei z 0 M. Setzte W := {w M : es gibt eine stückweise { C -Kurve, z W die z 0 und w verbindet}. Setze f : M C, f(z) = 0 z / W. Zeige: f ist lokl konstnt. Sei z M. Wähle ɛ > 0 mit U ɛ (z) M. Fll : z W es gibt einen stückweise C -Weg α von z 0 nch z. Sei z U ɛ (z). Die Verbindungsstrecke β von z nch z liegt in M. α β ist stückweise C -Verbindung von z 0 nch z f(z ) = f lokl konstnt nhe Punkten in W. Fll 2: z / W. f(z) = 0. Nimm n, es gibt (siehe oben) ein z U ɛ (z) mit f(z ) =. es gibt einen Weg nch z. Wie im.fll folgt: es gibt einen stückweise C -Weg nch z. f(z) =

43 4 f, W = M jeder Punkt knn stückweise C mit jedem nderen verbunden werden. Definition 4.22 Eine Menge M C heißt Gebiet, wenn M offen und zusmmenhängend ist. Generlvorussetzung 4.23 Wenn wir über Kurven integrieren, sind diese stets ls stückweise C vorusgesetzt. Stz 4.24 Sei D C ein Gebiet, f : D C stetig. Dnn sind gleichwertig: (i) f besitzt eine Stmmfunktion. (ii) Ds Integrl von f über jeden geschlossenen Weg ist Null. (iii) Ds Integrl von f über eine Kurve hängt nur von Anfngs- und Endpunkt b. Beweis: (i) (ii) Stz 4.4 (ii) (iii) Seien α : [, b ] D, α 2 : [ 2, b 2 ] D mit α ( ) = α 2 ( 2 ), α (b ) = α 2 (b 2 ). OBdA. ist b = 2. Dnn ist α α2 : [, b 2 ] D ein geschlossener Weg 0 = α α 2 f = α f + α 2 f = α f α 2 f (iii) (i) Sei z 0 D. Zu z D sei α z ein stückweise C -Weg von z 0 nch z. Setze F (z) = α z f. (D unbhängig von Whl von α z, können wir z schreiben f(ζ) dζ) z 0 Zeige: F ist komplex differenzierbr mit F = f. Sei r > 0 mit U r (z) D, w U r (z). Es ist F (w) = f(ζ) dζ = z 0 z z 0 f(ζ) dζ + w z f(ζ) dζ d.h. F (w) F (z) = w z f(ζ) dζ. Wir nehmen einen Weg σ : [0, ] U r (z), σ(t) = z +t(w z), σ(0) = w

44 42 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG z, σ() = w, σ (t) = w z. Es ist dζ = w z. σ F (w) F (z) f(z)(w z) = (f(ζ) f(z)) dζ σ = 0 [f(z + t(w z)) f(z)](w z) dt F (w) F (z) w z f(z) = 0 [f(z + t(z w)) f(z)] dt } {{ } zu zeigen: 0, für w z Sei ɛ > 0. Wähle δ > 0 mit f(ξ) f(z) < ɛ für ξ z < δ. Für w z < δ z + t(w z) z = t w z < δ F (w) F (z) w z f(z) < 0 ɛ dt = ɛ. F ist differenzierbr, F = f. Definition 4.25 (Dreiecke und Dreieckswege) Für ein Dreieck := (z, z 2, z 3 ) := {t z + t 2 z 2 + t 3 z 3 : t + t 2 + t 3 =, t, t 2, t 2 0} mit Rnd := {t z +t 2 z 2 +t 3 z 3 : t k 0, t +t 2 +t 3 =, eines der t k = 0} definieren wir den Dreiecksweg α := α z z 2 z 3 := (Strecke z nch z 2 ) (Strecke z 2 nch z 3 ) (Strecke z 3 nch z ). tz 2 + ( t)z 0 t < z.b. α : [0, 3] C, α = (t )z 3 + (2 t)z 2 t < 2. (t 2)z + (3 t)z 3 2 t 3 Wir setzen f := f (etws unsuber). α Stz 4.26 (Lemm von Gourst) Sei D C offen, f : D C holomorph. Dnn gilt für jedes Dreieck D f = 0. Beweis: Zerlege = 0 in kongruente Teildreiecke mit Ecken z, z 2, z 3, z +z 2 2, z +z 3 2, z 2+z 3 2. Es ist f = f + f + f + f. (Stz 4.8) Betrchte ds Teildreieck = k, für ds f m größten ist. k Dnn ist 4, L( ) = 2 L( 0 ). 0 f f

45 43 Definiere induktiv eine Folge von Dreiecken n mit f 4n f und L( n ) = 2 L( 0 ) n 0 n (Cntorscher Durchschnittsstz (vgl. Aufgbe 28b(ii))). Nch dem Prinzip der Intervllschchtelung ist n = {z 0 }. f ist in z 0 differenzierbr f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + r(z), lim z z0 n 0 z f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) besitzt die Stmmfunktion z f(z 0 )z + 2 f (z 0 )(z z 0 ) 2 f(ζ) dζ = r(ζ) dζ. n n r(z) z z 0 = 0, r stetig. r(z) Sei ɛ > 0. Sei δ > 0 mit z z 0 < ɛ für z z 0 < δ. Sei N N mit n U δ (z 0 ) für n N. r(ζ) dζ ɛ(l( n )) L( n ) n f 4n ɛ(l( n )) 2 4 n ɛ4 n (L( 0 )) 2 = (L( 0 )) 2 ɛ 0 f = 0. 0 Definition 4.27 Eine Menge M C heißt sternförmig, wenn es einen Punkt z M gibt mit der Eigenschft: für lle z M, lle t [0, ] ist tz + ( t)z M. Ist M offen und sternförmig, so heißt M ein Sterngebiet. Bemerkung 4.28 Sterngebiete sind Gebiete (wegzusmmenhängend: zu z, w M gibt es einen Weg z z w) Beispiel 4.29 () U r () ist sternförmig für jede Whl von z U r (). (b) Konvexe Mengen sind sternförmig. (c) C ist sternförmig. (Wähle z R mit z > 0.) (d) Sei 0 < r < R. U R () \ U r () ist kein Sterngebiet. (e) C \ {0} ist kein Sterngebiet. Theorem 4.30 (Cuchyscher Integrlstz für Sterngebiete) Sei D C ein Sterngebiet, f : D C holomorph. Dnn gilt für jede geschlossene Kurve γ in D: f = 0 γ

46 44 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG Beweis: Nch Stz 4.24 reicht es zu zeigen, dss f eine Stmmfunktion besitzt. Sei zu z D α z die Verbindungsstrecke von z nch z. Setze F (z) = α z f =: z z f(ζ) dζ. D D offen ist, gibt es ɛ > 0 mit U ɛ (z) D. Sei w U ɛ (z). Nebenrechnung: (Gourst): f = 0 = f(ζ) dζ + f(ζ) dζ f(ζ) dζ z z z F (w) F (z) = w f(ζ) dζ = z 0 z w f(z + t(w z))(w z) dt w Wie im Beweis von 4.24 (iii) (i): F differenzierbr, F = f f = 0. γ Stz 4.3 Theorem 4.30 gilt uch, wenn f : D C stetig und f : D \ {z } C holomorph ist. Beweis: Müssen zeigen: f = 0 für Dreieck D mit einer Ecke z. Skizze f = f Wähle zu ɛ > 0 ein mit L( ) < ɛ f mx f ɛ Cɛ (d f stetig) }{{} C f = 0 Rest des Beweises wie eben. f + f + f + f 2 3 }{{ 4 } =0 nch Gourst f mx f L( ). Definition 4.32 Ein Gebiet D C heißt Elementrgebiet, wenn jede holomorphe Funktion f : D C eine Stmmfunktion ht. (Beispiele: Sterngebiete; C\{0} ist kein Elementrgebiet, d z keine Stmmfunktion besitzt)

47 45 Stz 4.33 Sind D, D 2 Elementrgebiete und ist D D 2 nichtleer und zusmmenhängend, so ist D D 2 ein Elementrgebiet. Beweis: Sei f : D D 2 C holomorph. Sei z 0 D D 2. Sei F : D C eine Stmmfunktion von f uf D, F 2 : D 2 C eine uf D 2 mit F (z 0 ) = F 2 (z 0 ). Dnn ist { F (z) für z D F (z) = F 2 (z) für z D 2 \ D eine Stmmfunktion. In D D 2 ist F = f = F 2 F F 2 = 0 F F 2 lokl konstnt. D D 2 F F 2 konstnt F = F 2 uf D D 2. zusmmenhängend F = f in D D 2. Stz 4.34 Ist D D 2... eine ufsteigende Folge von Elementrgebieten, so ist D n ein Elementrgebiet n= Beweis: offen: klr zusmmenhängend: n= D n D k für ein k, b n= D n b D l für ein l Drus folgt:, b D mx(l,k) es gibt einen Weg, der, b verbindet D n wegzusmmenhängend. n= Sei f : n= D n C holomorph, sei p D. Sei F n : D n C mit F n = f Dn, F n (p) = 0. F n = F m uf D min(n,m). F (z) := F n (z), z D n (konsistent, d lle F n gleich sind, wo definiert). z D n z D n F (z) = F n(z) = f(z). n= Definition 4.35 Ist h : D D, D, D C offen, lokl konform (holomorph und h nirgendwo 0) und h bijektiv, so heißt h eine konforme Abbildung. ( (Beispiel: Möbiustrnsformtion, E C, z z+ 2) z ) Bemerkung 4.36 Ist D C ein Elementrgebiet und h : D D konform, so ist D ein Elementrgebiet. Beweis: Nimm zusätzlich n: h ist holomorph (beweisen wir später). Sei f : D C holomorph. Sei F eine Stmmfunktion von

48 46 KAPITEL 4. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG (f h) h : D C F = F h : D C holomorph, F = (f h h ) (h h ) h h = f. Bemerkung 4.37 (Riemnnscher Abbildungsstz) Ist D C ein Elementrgebiet, so gibt es eine konforme Abbildung h : D E (Einheitskreis). Beweis: später. Lemm 4.38 Sei U r (z 0 ). dz Dnn ist z = 2πi (egl welcher Punkt ). U r(z 0 ) Konvention: := in mthemtisch positiver Richtung prmetrisiert U r(z 0 ) Beweis:.Schritt: Behuptung: Für U ρ () U r (z 0 ) ist U r(z 0 ) dz z = U ρ() dz z. Benutze: z ist holomorph in C \ {}. Sei γ der Weg entlng U r (z 0 ) und γ 2 der entlng U ρ (). dz Dnn ist z + dz z = dz z dz z α α 2 γ γ 2 Skizzen α liegt in einer geschlitzten Ebene, uf der z Cuchy dz z = 0 α z holomorph ist. α 2 liegt uch in einer geschlitzten Ebene, uf der z dz z = 0 α 2 γ dz z = γ 2 2π dz z = 0 iρe it 2π ρe it + dt = 0 i dt = 2πi z holomorph ist. Theorem 4.39 (Cuchysche Integrlformel) Sei D C offen, F : D C holomorph. Sei U r (z 0 ) D. Dnn ist für jeden Punkt z U r (z 0 ): f(z) = 2πi U r(z 0 ) f(ζ) ζ z dζ. Beweis: Es gibt{ R > r mit U R (z 0 ) D. Betrchte uf D = UR (z 0 ) die f(w) f(z) Funktion g(w) = w z w z f (z) w = z.