Finanzmathematik Grundlagen - Prinzipien - Beispiele

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1 Tobias Mari Fiazmahemaik Grudlage - Prizipie - Beispiele ISBN-1: ISBN-13: Vorwor Weiere Iformaioe oder Beselluge uer hp:// sowie im Buchhadel.

2 Vorwor Wozu brauche ich späer scho die Mahemaik? Dieser ud ähliche Frage begege ma a usere Schule ud Hochschule immer wieder. We die Awor idividuell auch gaz uerschiedlich ausfäll, so is eies sicher: Ob bei der Verzisug vo Geldalage, der Aufahme eies Darlehes, urs- ud Redievergleiche vo Aleihe oder bei der Alersvorsorge mi der Fiazmahemaik komm früher oder späer jeder i Berührug. Nach der Leküre dieses Buches werde Sie erkee, dass sich die beschriebee Formel ud Prizipie meis iuiiv ud direk auf viele prakische Probleme i der Wel der Fiazproduke awede lasse. Darüber hiaus werde zum Versädis der Zusammehäge ur sehr weige mahemaische eisse ud Techike beöig, ei Voreil, de besoders der Leser ohe ausgepräge mahemaische Vorbildug zu schäze weiß. Deoch: Sie hale ei Mahemaikbuch i de Häde, das die wichigse Grudlage ud Prizipie der Fiazmahemaik sysemaisch, logisch ud i klarer Formelsprache erläuer. Zahlreiche, ausführlich besprochee Beispiele sid agefüg, sie werde ergäz durch eie Reihe vo Aufgabe mi Lösuge. Das Buch folg i seiem Aufbau der klassische Gliederug der elemeare Fiazmahemaik ud is deshalb als Begleimaerial zu viele urse über Fiazmahemaik a Hoch- ud Fachschule, allgemeibildede Schule ud i Wirschafsuerehme geeige. Es sprich dabei isbesodere Sudierede aller Fachrichuge sowie Beschäfige i kaufmäische Berufe, im Bakud Versicherugswese sowie i der Verwalug a. Ihallich reich der Boge vo eifache Verzisugsfrage über Zahlugssröme, Ree, Tilgugs- ud Abschreibugsprozesse bis hi zu urs- ud Redieberechuge. Aufgrud des beschräke Umfags köe ur die wichigse Begriffe ud Grudlage erläuer werde, eie Ergäzug durch weierführede Lehrbücher is daher empfehleswer. Auf sochassiche Modelle wurde gaz verziche. Adererseis biee die kappe Darsellug gue Möglichkeie, das Buch zur Prüfugsvorbereiug oder auch als Formelsammlug bzw. Nachschlagewerk zu verwede. Gaz i diesem Sie sid wichige Formel, Defiiioe, Säze ud Beispiele jeweils grafisch ud auch umielbar verbal gekezeiche. Mei Dak gil meier Familie für die Uersüzug ud dem Fachbuchverlag Leipzig für die Aufahme dieses Tiels i die Mahemaik- Sudiehilfe, besoders Frau Chrisie Frizsch, die mi zahlreiche Hiweise i ses sehr ageehmer Zusammearbei zum Gelige beigerage ha. Leipzig, im Herbs 27 Tobias Mari

3 Tobias Mari Fiazmahemaik Grudlage - Prizipie - Beispiele ISBN-1: ISBN-13: Leseprobe Weiere Iformaioe oder Beselluge uer hp:// sowie im Buchhadel.

4 5.2 Spezielle Tilgugsprozesse Auiäeschuld Die Auiäeschuld oder Auiäeilgug is wei verbreie. Ihr ezeiche sid kosae Auiäe. DieseFormwirdvovieleSchulderbevorzug, da sie eie zeilich gleichmäßige ud dami gu kalkulierbare fiazielle Belasug bedeue. Bezeiche wir mi A = A die für alle Zeipuke = 1,..., gleich große Auiä, so selle die Zahluge des Schulders eie (kosae) Ree mi der Raehöhe A dar, die ei apial abbau. Diese Siuaio habe wir für ei -Periode-Modell mi kosaem Zissaz bereis im Abschi 4.7 behadel. Wolle wir i = i zuächs auch hier vorausseze, weil dieser Fall besoders häufig vorkomm, beispielsweise bei eiem Hypohekedarlehe mi Zisbidug über eie besimme Azahl vo Jahre. Die Sparkasseformel (4.21) beschrieb de Zusammehag für >1: = + R. I der jezige Bezeichug is R = A ud = zu seze, wege =folg = A. Im Fall = 1 laue die esprechede Beziehug = A, also ergib sich daraus für die Höhe der Auiä für i >, A = (5.14) für i =. (Auiä eier Auiäeschuld bei kosaer Verzisug) Mi dieser Formel ka die Auiäehöhe A bei vorgegebeem (kosaem) Zissaz i ud vorgegebeer Laufzei ermiel werde. De dari für >1 vorkommede Fakor e ma Auiäefakor oder auch apialwiedergewiugsfakor, eris für verschiedee ud i Tafelwerke abellier (vgl. z. B. [3]). Wir wolle die Abhägigkeie der Größe i (5.14) diskuiere. Zuächs is die Auiä A bei eier Auiäeschuld offesichlich proporioal zur afägliche Schuld. Sie is isbesodere wege

5 122 5 Tilgug eier Schuld = 1 >, falls i >, posiiv ud i Abhägigkei vo der Laufzei mooo falled. (5.14) is sogar ach auflösbar, wir gebe die esprechede Formel weier ue a (siehe (5.18)). Aus der Umformug = = des Auiäefakors erke ma weierhi, dass A als Fukio vo auf dem Iervall [1, ) sreg mooo wachsed ud seig is. Lezeres folg u. a. aus lim 1 =. 1 + Aus diesem Grud gib es für jede Laufzei ud jede Auiä A ^ / geau eie Aufzisugsfakor ^ 1 (ud dami Zissaz i ^ ), so dass A als Auiä eier Auiäeschuld aufri, (5.14) also erfüll is. Beispiel 5.5: Auiä, Laufzei ud Zissaz bei Auiäeschuld Familie Bommel beöig zur Fiazierug ihres Hauskaufs ei Darlehe über 17.. Die moaliche Rae (Auiäe eier Auiäeschuld) zur Tilgug der Schuld dürfe aufgrud der Eikommesverhälisse 1.3 ich überschreie. I 2 Jahre soll das Darlehe vollsädig geilg sei. Bis zu welchem (moaliche) Zissaz köe sich Bommels das Haus leise? + 1 Lösug: A = ( A + ) + A =. (5.14) Es is also die (ach obiger Folgerug eideuig besimme) Nullselle dieses Polyoms gesuch, wobei = 17., A =1.3 ud =1. 12 = 24 zu seze is. Mi Hilfe eies Ieraiosverfahres erhäl ma 1,5686, d. h. i =,5686 % als Moaszissaz. Wir wolle u de oosad zum Zeipuk bei eier Auiäeschuld (mi kosaem Zissaz) besimme. Dazu ka wieder (4.21) agewede werde, we ma sich vorsell, dass ur Rae der Ree gezahl werde: 1 A falls i >, = (5.15) A falls i =. (Resschuld eier Auiäeilgug bei kosaer Verzisug)

6 5.2 Spezielle Tilgugsprozesse 123 Diese Formel spezialisier (5.7) auf die hier besprochee Tilgugsar eier Auiäeschuld. Seze wir (5.14) i (5.15) ei, so ergib sich eie weiere Resschuldformel, die ohe die Auiäehöhe A auskomm: also = ( = = (1 1 ) falls i >, falls i =. 1) ( 1) (5.16) (Resschuld eier Auiäeilgug bei kosaer Verzisug) Saz 5.3: Moooie ud okaviä der Resschuld Die Resschuldwere, =,1,,, bilde i eiem -Periode-Modell mi kosaer Verzisug bei eier Auiäeilgug eie kokave ud sreg mooo fallede Folge. Für i > gil auch die okaviä im srege Sie. Beweis: Für i = bilde die oosäde eie sreg mooo fallede, arihmeische Folge, die Behaupug is also erfüll. Berache wir u ei feses i >. Die Fukio f()= is für alle sreg kovex ud sreg mooo wachsed, demzufolge auch die Folge ( ) =1,,. Nach (5.16) is aber = α β.,, α, β >, woraus sich die Behaupug ergib. ¾ Bild 5.6: Resschuldverlauf eier Auiäeilgug Folgeruge: 1. Uer de geae Voraussezuge is auch (Z ) mooo falled ud kokav ud wege (5.2) Z + T = A die Folge (T ) der Tilgugsaeile mooo wachsed ud kovex (bei i > sreg).

7 124 5 Tilgug eier Schuld T Z Bild 5.7: Zusammesezug der Auiä eier Auiäeilgug 2. Die ach (5.14) besimme Auiä A is größer als die je Periode zu zahlede Zise Z, de = Z A A > Z. > 1 Saz 5.3 (5.3) Als oseuez is T >, = 1,...,, es wird also mi jeder Auiäezahlug auch posiiv geilg. 3. Die Resschuld is bei kosaer Laufzei für jedes =1,..., 1 eie auf dem Iervall [1, ) seige, sreg mooo wachsede ud sreg kokave Fukio vo (dami auch vo i). De ewas lägere echische Beweis wolle wir weglasse, sadesse diese Eigeschaf aber illusriere (Bild 5.8). 1% 9% 8% 7% 6% 1 () 2 () 3 () 4 () 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Bild 5.8: Abhägigkei der Resschuld vom Aufzisfakor Bei posiivem Zissaz wird eie Auiäeschuld vo Periode zu Periode immer scheller geilg. Die Ursache lieg dari, dass sich die Resschuld durch posiive Tilgug verriger, i der Folgeperiode deshalb weiger Zise zu zahle sid ud folglich ei zuehmeder Aeil der ächse Auiä für die Tilgug zur Verfügug seh. Ma e diese Tilgugsar deshalb auch Tilgug durch (um die erspare Zise) wachsede Tilgugsrae. Eie geauere Aussage riff