Teil 1: Mechanik. lim0 t. 1. Grundlagen. Newtonsche Axiome. D. Michel Vorlesung Experimentalphysik (revidierte Fassung, 2004)

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1 D. Mchel Volesng Expeentalphysk (edete Fassng, 4) Tel : Mechank. Gndlagen. Newtonsche Axoe.. Wo geht es n de Mechank? Bezehng zwschen Kneatk nd Dynak Kneatk: Beschebng de Bewegng enes Köpes. Be Massenpnkten: Angabe on Ot, Geschwndgket, Beschlengng n Abhänggket on de Zet. Dabe wd (znächst) ncht nach de Usache fü de Bewegng gefagt. Dynak: Usache de Bewegng afkläen, wkende Käfte feststellen nd afkläen, Lösng on Bewegngsglechngen, Beschebng de Bewegng Bespel fü Poblestellng Astotelessche Dynak (Pepatetsche Dynak) Lehenng o klassschen Altet bs n das 7. Jh. Newtonsche Dynak Z Afechtehaltng de Bewegngs- Bewegng wd ene Kaft benötgt: ~ F (Kaft) wenn (Geschwndgket), dann F Bewegng st en Pozess. Z Veändeng des zstandes wd Kaft benötgt ~ F (Kaft) l t t wenn F, dann konst. Bewegng st en Zstand. nd F snd ektoelle Gößen (Betag, Rchtng)

2 .. Newtonsche Axoe Axo: ncht bewesbae, allgeene Zsaenhang. Gndsatz, de kenes Beweses bedaf.. Axo: En Köpe ehat n Rhe ode n geadlnge, glechföge Bewegng, solange kene Kaft af hn wkt. (Täghetspnzp) Vesch: Tch schnell nte Flasche wegzehen Vesch: Kgel ollt af Ebene, glechföge Bewegng (be seh genge Rebng). Axo: Wenn ene Kaft F af enen Köpe wkt, so eändet sch sene Bewegngsgöße (p, p Ipls st ene ektoelle Göße): F l t ( ) t d ( ) dt (Aktonspnzp) W weden späte noch dastellen, daß en wesentlche Bestandtel de Newtonschen Axoe das Postlat de Glechhet on täge nd schwee Masse dastellt. Vesch: Bewegng af schefe Ebene, t, 3. Axo: Acto Reacto (Reaktonspnzp) Vesch: Zwe Wagen t nteschedlchen Massen beladen. Kaft ezegt Gegenkaft!.3. Messen physkalsche Gößen.3.. Allgeene Enfühng Wet ene physkalschen Göße: Podkt as Zahlenwet nd Enhet (Maßenhet) Übeschten z: - Bassgößenaten, Systee Intenatonale d Untés (SI) - Abgeletete Gößenaten - Dezale Velfache nd Tele - SI fede Enheten.3.. Bassenheten Länge (Mete, ) Ekldsche Geoete z Defnton on Länge, Fläche, Volen

3 Weg, den das Lcht Vak nnehalb on c zücklegt, wobe c s -. Fühe: - Uete (Pas) - Abstand Nodpol Äqato Ededan fast gena 7 - Anschlß an Wellenlänge de gelben Stahlng des 86 K Vak. Wnkel Radant (ad) Vollwnkel 36 π ad Wnkel ϕ Zet Seknde Bogenlänge Rads Dae on z Peoden de Stahlng des 33 Cs, z , Übegang zwschen zwe Hypefenstkt (hfs)- Neas enegetschen Gndzstand des Atos Sybole: h, d, a (lat.: hoa Stnde, des Tag, ann Jah) Masse: kg Masse des ntenatonalen Pototyps, Zylnde as Pl I, 39 Höhe, 39 Dchesse Das genae Veständns de Usache de Masse st en noch offenes physkalsches Poble (z. B.: gegenwätge Goßesche be CERN, Genf, Sche nach de Hggsschen Boson).3.3. Meßngenagket Nach de DIN 39 wde de tadtonelle Begff Messfehle dch den Begff Messabwechng bzw. Abwechng esetzt. Be Messgeäten weden de systeatschen Abwechngen wetehn als Fehle bezechnet. x x x x x x abgelesene Wet gescht: eale Wet x absolte Abwechng elate Abwechng I) Appoxaton on x dch Mttelwet x be n Messngen (,..., n)

4 n x x n II) Fehletheoe Annahen: - n zfällge Fehle (glt also n fü en statstsche Fehle, abe ncht fü systeatsche F.) - Anzahl de Messngen n se seh goß Vesch: Messwetetelng be ene GALTON - Bett Vesch: Slaton des Vesches Ad: Vesch t GALTON Bett. Tel Dastellng Sälendaga n Messngen x (n Enheten on x) Höhe de Säle: elate Anzahl de Meßwete zwschen x nd x x n ( x, x x) n p(x) x p(x) x Wahschenlchket, daß x zwschen x... x x legt p(x) Wahschenlchketsdchte. Tel: seh ele Messngen n ; es st das zentale Genzwettheoe nach Gass anwendba: p(x) st fü n nd dx gegeben dch de Fnkton (noete Gaß-Ke) p(x) σ π exp ( x x) σ

5 Gass Ke (Glockenke): Noaletelng ode Gass Vetelng Ad Vesch: Zege: Rechnesche Slaton fü Galtonbett Vaanz σ (ach Steng genannt): n n>> n n σ ( x x) ( x x) n x - x x n x n Def. de Steng: ( x x) p( x) dx σ Noeng: ] n ( x) dx p : x befndet sch t Schehet n [-, x σ w(σ) p ( x) dx,683: x t Wahschenlchket on 68,3 % x σ [ x σ, x σ ] w(σ),954; w(3σ),997; sw. Fehle (Standadabwechng des Mttelwetes):

6 σ x σ n x ± σ Fehlefotpflanzng Se de z bestende Göße y ene Fnkton ehee andee Gößen: y f(x, x....,x k ) Wenn de Fehle de x bekannt snd, x, nd es glt x << x, so egbt sch de Fehle on y, y, nach de Fehlefotpflanzngsgesetz: y k f x x (folgt as de Taylo Entwcklng)

7 . Anwendng de Newtonschen Axoe.. Käfte. Gatatonskaft Nach nsee Kenntns behen alle Käfte af e fndentalen Wechselwkngsaten: () Gataton () Schwache Wechselwkng (3) Elektoagnetsche Wechselwkng (4) Stake Wechselwkng I folgenden: Betachte n Gatatonskäfte, daneben abe ach Käfte, de dch elastsche Defoatonen feste Köpe entstehen. Gatatonskaft (GK) GK Anzehende Kaft nfolge Wechselwkng zwschen zwe Massen Allgeen bekannt st de Gewchtskaft, d.h. de GK nahe de Edobefläche: F g Masse. De Masse bestzt de Egenschaft, schwe z sen (Begff de schween Masse), schwee Masse s : F st en Vekto, de on ene Pnkt af de Obefläche z Mttelpnkt M de Ede zegt: M Edttelpnkt E Edads Vekto F F (oft: Pfel übe Bchstaben), F steht z Edobefläche n Rchtng z M. Betag F on F st Länge des Vektos F : F F De Göße g st de Edbeschlengng: g 9,8 kg s - (üblche Wet n nseen geogaphschen Beten). Enhet on F: Newton (N) kg s - (SI) SI fedeenheten: dyn g c s - -5 N kp 9,8 kg s - ( kp st de Gewchtskaft, de ene Masse on kg Schweefeld de Ede nahe de Edobe-fläche efäht, nd zwa dot, wo g desen Wet bestzt.) Allgeene Asdck fü de Gatatonskaft GKaft n gößee Abstand h on de Edobefläche: h E, >> E.

8 F M E γ e, γ Gatatonskonstante Masse des Köpes M E Masse de Ede e Enhetsekto n Rchtng on. Bezehng zwschen γ nd g γ M E γ M E Fü E glt: F g, g (s..) E E De Gatatonskonstante γ kann Labo geessen weden (Vesch nach Caendsh, sehe spätee Eläteng daz!) Messng on Käften: Fedewaage (elastsche Kaft dch Velängeng ode Veküzng ene Fede) F G z z z (n gewssen Genzen on z) (ohne ) (t Masse ) Axo: Ansatz: F G -k(z z ) Hookesches Gesetz Nach de 3. Newtonschen & z F G - k(z z ) Zege: As: folgt fü h << E : F F M γ E e, t E h, g e

9 NB: ( h) E 6x ( x ) x... F M E γ E e h E, setze x E g e h nd beachte x << : E.. Ot enes Massenpnktes Ra Ekldsche Geoete Katessches Koodnatensyste: x, y, z Rechtssyste. Pnkt P Ra Pojektonen x, y, z de gechteten Stecke OP af de othogonale Rchtngen e, {x, y, z} x, e y e z : Enfühng enes Otsektos Vekto o Uspng O z Pnkt P: {x, y, z}, () t beschebt Bewegng enes Köpes: De Pojektonen x, y, z (Koponenten des Vektos) snd Fnktonen de Zet: x x(t), y y(t), z z(t) x( t) e x y( t) e y z( t) e z De Enhetsektoen e x e y, e y e z, e z (Vewendng enes Inetalsystes, s. späte). e x. x e y e z e snd zetlch konstant

10 Andee Beschebng des Otsektos t (t) : ( t) e ( t), ( t) ( t) e tbewegte Enhetsekto, e e(t)..3. Geschwndgket, Beschlengng a Geschwndgket: Sybol,. allg. ektoelle Göße Weg Geschwndgket Zet Dffeenzenqotent (ttlee Geschw.) Dffeentalqotent (Agenblcksgeschw.) Betachte Bewegng dedensonalen ekldschen Ra Katessches Kood.- Syste x, y, z, das ncht bewegt wd (Enhetsektoen e x, e y, e z ode, j, k snd zetlch konstant) e z (senkecht z) Edobefläche; e x, ey (paallel z) Edobefläche Mttlee Geschwndgket: ( t ), ( t ) : t t t x t x t e z... t z t x e z z. B. be Bewegng n z-rchtng: z z z t t z t

11 Agenblcksgeschwndgket: z z t l t dz dt z& Allgeen: d dt & { x&, y&, z& }. Ganz analog wd de Beschlengng a a defnet: a d/dt.4. Anwendngen de Newtonschen Axoe d( t ) dt F s g e z Als Bespel fü Bewegng nte Gatatonskaft. Beachte: Wesentlches Postlat on Newton st de Assage: t täge Masse s schwee Masse. Des läßt sch Vesch.a. dch de Atwoodsche Fallaschne deonsteen. N so lassen sch de Bewegngsglechngen lösen!.4.. Geadlng, glechföge Bewegng Betachte Bewegng n x Rchtng. Glechföge Bewegng Konstante Geschwndgket x const. Täghetskaft (nach de. Newtonsche Axo): F d( ) / dt, also ach: d / dt a Beschlengng. x x Weg: Fläche nte Ke on t bs t pls Anfangswet x z Zet t. x x t Matheatsch: t t t dx x dx dt dx x x dt dt t dt x x t : Weg Zet Gesetz fü geadlnge, glechföge Bewegng. Vesche: ) Hookesches Gesetz F ~ z, z z z, Aslenkng as Glechgewchtslage ) Beschlengng ene tägen Masse dch schwee Masse 3) Atwoodsche Fallaschne

12 4) Vesch: >, Sel se ohne Masse, T Zgkaft a Beschlengng a a g a g g Zgkaft T: a T g ode a g - T T g.4.. Glechfög beschlengte, geadlnge Bewegng. Fee Fall. Schefe Ebene. Bewegng egfolge n z Rchtng. Beschlengng st be glechfög-beschlengte Bewegng a z a const. Enfache geoetsche Betachtngen: Fläche des Rechteckes: z z a z z t, a a z z z Gesatfläche z z t a t Bespel: Fee Fall F g e z, g a Beachte wede: täge Masse schwee Masse.

13 Matheatsch: d dt dz dt z z( t) g t t z z( t) h( t), z h( ) F d z g dt t d dt g const. dz g dt dz g z ( t) z () g t z ( t) t t z t) g t dz dt g ( t g z( t) t t z ( g t) z( t) z dt g t dt t z t : Weg Zet Gesetz de glechfög beschlengten Bewegng n Bespel: Schefe Ebene z Rchtng t Beschlengng a z - g const. g t F H Hangabtebskaft gsnα F N Noalkaft gcosα a g snα.4.3. Zsaengesetzte Bewegng. Schefe Wf. F De Glechngen: x& d &, dt (,, ), () (,,), {&& x, && y & z } (,, g), x z & x t) x ( x( t) x t & y& y ( t) y ( t) g & z& g z ( t) z g t z( t) z t t

14 Z Defnton de Anfangsgeschwndgket Z Begffsbldng Bahnke (Flgbahn): Löse x(t) nd z(t) n Fo on z f (x) af: g z tanα x cos α ( ) x Wfwete x ax : x x ax be z : Wfhöhe : ax z ( t ax ) z () t α g t z z z sn t ( ) ax t ax x ax ax on x ax g g ax snα ( snα ) ( snα ) sn g g Vesch: Paabelke enes asstöenden Wassestahles dch Höhe des Wassestandes Gefäß (Tocell) bestt Vesch: Schps : Gleche Fallzet fü feen Fall nd fü schefen Wf. ( α ) π be α α Kesbewegng, Wnkelgeschwndgket [ω] [ad s - ] () t, const. x² ² Otsekto : y s Länge des Kesbogens : s() t () t s ϕ Wnkel : ϕ() t, dϕ ds dt dt ω Wnkelgeschwndgket

15 Se ω const. : glechföge Kesbewegng dϕ ω dt ϕ ω t ϕ he : ϕ, ( belebgeanfangsphase) π Falls also ω const., ω Kesfeqenz π (haonsche Kesbewegng) T Dastellng katesschen Koodnatensyste: x cosϕ, y snϕ ( cosωt,snωt,) ω ( sn ω t, cos t) ω ( cosω t,snω t) ω ω a a a ω De glechföge Kesbewegng st ene beschlengte Bewegng, denn es glt a : U den Köpe af ene Kesbahn z halten, st de z Mttelpnkt hn gechtete Zentpetalkaft efodelch, entgegengesetzt z h wkt de Zentfgalkaft. Newton: Zentfgalkaft Masse Beschlengng ω De Wnkelgeschwndgket ω st en Vekto, paallel z z Achse: ω (,,ω ) Zege: As obgen Glechngen folgt: ω a ω Fü ene belebge, ncht haonsche Kesbewegng glt: x() t cos[ ϕ() t ], y sn[ ϕ() t ].6. Haonsche Schwngngen Dese Abschntt behandelt den haonschen Oszllato nd das atheatsche Pendel. In beden Fällen kann an nte de Bedngng klene Aslenkngen x as de Rhelage ene peodsche Bewegng beobachten t ene defneten Schwngngsdae π T ω In Analoge z haonschen Kesbewegng latet de Bewegngsglechng:

16 () t x cos( t ϕ ), x ax ω x Apltde, ϕ Phasenwnkel fü t. x ax ax, ϕ belebg wählba. We hängt des zsaen?.6.. Haonsche Schwngngen Wkng on Fedekäften nfolge elastsche Defoaton enes festen Köpes. Hookesches Gesetz (s. Kap...) De Bewegngschtng se x, de bewegte Köpe habe de konstante Masse. I Falle de Aslenkng as de Rhelage be x efäht de Köpe ene ücktebende Kaft dch de Fede: F - k x (Hookesches Gesetz) k st Fedekonstante De Anwendng des. Newtonschen Axos füht z Bewegngsglechng: d dt d d x dt x ( ) F k x dt Allgeene Fo de Dffeentalglechng: d x & x& dt k x ode: & x ω x k π ω, ω π T Des st de Bewegngsglechng fü ene haonsche Schwngng, deen Lösng latet (Bewes dch Ensetzen nach Dffeentaton): x () t x ( ω t ) sn α x Elongaton, d. h. ax. Apltde de Schwngng x () t (): ω t α Phase de Schwngng, t α t ω k ax π fü ω t α, Kesfeqenz [Wnkelgeschwndgket] de Schwngng

17 () t d ω α Wnkelgeschwndgket const. dt π π ω π ν, T π T ω k T Schwngngsdae, ν Feqenz T α Anfangsphase fü t α π Fü α : Fü α : x() t x cosω t x() t x snω t spezelle Lösngen Fü de folgenden Betachtngen st de koplexe Schebwese nützlch: ( ω t α ) () t x e x [ ωt α ) sn( ω )] x cos( t α As de Realtel on x(t), Re[x(t)] x cos (ωt α ), lassen sch lecht de spezellen Lösngen be entspechenden Anfangsphasen α konsteen Fadenpendel. Matheatsches Pendel. De asselose Faden habe de Länge l Massenpnkt de Masse bewege sch af ene Kesbahn. Es wke de Schwekaft: F - g (nach nten). Käftezelegng: F g cosϕ F R N g snϕ Noalkaft; Selspannng Rücktebende Kaft

18 Bogenlänge s(t) af Kesbahn (Kessekto t Wnkel ϕ): Newton: Täghetskaft & s () t F R Rücktebende Kaft Bewegngsglechng: & s& gsnϕ Bogenlänge: s() t l ϕ() t, l Länge des Fadens const. Haonsche Genzfall: Da & s () t l ϕ& & () t glt, folgt g & ϕ () t snϕ() t. l ϕ ϕ ϕ Se ϕ <<, so daß n Rehenentwcklng fü snϕ ϕ ±... de 3! 5! 7! Appoxaton sn ϕ ϕ öglch st. g Dann latet de Bewegngsglechng: & ϕ () t ϕ() t, l gena so we Falle haonsche Schwngngen (Abschntt..3.): De Lösng st () t ϕ ( ω t ) ϕ sn α g π ω Kesfeqenz, nabhängg on nd de Aslenkng l T α t ω t α Phase de Schwngng () Vesch: Sekndenpendel: T s, l,997 Allgeene Fall: Be belebge Aslenkng ϕ füht de Lösng de Dffeenzalglechng g & ϕ () t snϕ() t l af anhaonsche Schwngngen. Expeent: Deonstaton dch Schwngng be goßen Aslenkngen.

19 De Fnkton ϕ(t) läßt sch dch ene Foeehe dastellen, wobe neben de Gndschwngng ϕ sn(ωt α ) noch de Glede ) sn( k k k tk α ω ϕ afteten; das snd de sogenannten Obeschwngngen t den Kesfeqenzen kω, k,,3,... De Apltden ϕ k nehen t znehenden Weten on k allgeenen ab. Fü de Schwngngsdae folgt dann: ' ' sn sn ϕ ϕ ϕ ϕ d g l T 6 4 k k 4 3 k T T sn ϕ k, Apltde ϕ, g l T π 3. Das allgeene Gatatonsgesetz Gatatonskaft F : e F γ st de Vekto o Massenpnkt z Masse. F z : We st es z dese Bezehng gekoen? W eschen nn, des hstoschen Kontext z eläten. 3.. Keplesche Gesetze Von goße Bedetng snd n dese Zsaenhang de Kepleschen Gesetze de Planetenbewegng, de af seh genaen Beobachtngen on Tycho de Bahe afbaen: Johannes Keple (*57, 63), Tycho de Bahe (* 546, Kndstp Skåne, 6, Pag) De Entwcklng dese Vostellngen st ach eng eknüpft t de Wken andee heasagende Gelehte jene Zet. Fole: Heasagende Gelehte as dese Zet nd he wchtgsten Weke: Nkolas Kopenks, Godano Bno, Galleo Galle. De de Kepleschen Gesetze

20 . Gesetz: Planetenbahn st Ellpse, n deen ene Bennpnkt de Sonne (als Zentalgestn, Fxsten ) steht. Bshe: Annahe on Kesbahnen als Doga, bahnbechende Ekenntns, abgeletet as de elaten Abstand de Bahn on Ede nd Mas (sehe: K. Sony, Kltgeschchte de Physk) Ellpse: Fläche: π a b a goße Halbachse b klene Halbachse p Paaete e Exzentztät < (be Ellpse) e p ( cosϕ ), e b a Dastellng ene Ellpse n Polakoodnaten. Gesetz: Flächensatz De Letstahl Sonne Planet übestecht n glechen Zeten gleche Flächen: De Flächengeschwndgket st konstant Ellpsenbahn: stak übeteben, n Wklchket fast Kes. De Sonne befndet sch n ene de beden Bennpnkte de Ellpse: Pehel: sonnennahe Pnkt, Aphel: sonnenfenne Pnkt Z Flächengeschwndgket : l ( A/ t) fü t Wnkeländeng ϕ wähend Zet t : A Fläche enes Deecks t ( falls t, glt des exakt) Beachte: A st en Vekto, de senkecht z Fläche steht.

21 l t A t da agenblcklche Flächengeschwndgket const. dt da Mt ω ω (da/dt st en Vekto). dt Beachte: De Vekto ω dϕ/dt st eändelch, wenn sch eändet (z. B. be Ellpsenbahn), abe de Vekto da/dt blebt konstant. Hstosche Vesch de Detng als Welthaone ode Sphäensk (J. Keple): ω ω ehel aphel ( Ede) ( Mas) ( Satn) 5 4 Mskalsche (goße Halbton) (Qnte) (Tez) Intealle Physkalsche Intepetaton: De Vekto da/dt st popotonal z Vekto L des Dehplses: da Def.: L ea const, L. dt L st konstant nach Betag L nd Rchtng des Vektos L : De Lage de Planetenbahn Ra blebt zetlch neändet. NB: gl. Bohsche Postlate fü H-Ato (Planetenodell!). Ach he ß de Bahndehpls konstant sen. Annahe on Boh: De Konstante st glech n ( h ( π )), n ganze Zahl, h Plancksche Konstante 3. Keplesches Gesetz Falls T Ulafzeten de Planeten nd a (,,3,...) de goßen Halbachsen de Planetenbahnen bezechnen, glt a T a a ode... const. c. 3 a T T T Wa ß de Vekto L konstant sen? Sche Gegenkaft Planetenbahn: F ZP (Zentpetalkaft) z Flehkaft (Zentalfgalkaft) af de As F ZF (Zentfgalkaft) T Kesbahn) nte Anwendng des 3. Kepleschen Gesetzes: π ω folgt t a (he Näheng ene

22 F ZF 4 π T Es wkt also de Zentpetalkaft F Newton: Dese Ansatz glt allgeen: 4 π c. 3 ZP e de Zentfgalkaft entgegen: Es exstet ene Zentalkaft F ZP M F γ e. γ st de Gatatonskonstante, M de Masse des Zentalgestns, de Masse enes Planeten nd de Abstand zwschen beden. Newton: De Kaft, de af enen fallenden Apfel wkt, st on de glechen At we de Kaft, de on Ede af Mond asgeübt wd. Newton nt an, daß de Gataton ene allgeene Egenschaft de Masse st. Des st eknüpft t de Postlat: täge schwee Masse Poble: Messng de Gatatonskonstanten γ Wägng de Ede Labo. Veteftes Veständns des. Kepleschen Gesetzes Be ene Zentalkaft F ß de Dehpls L als Vekto konstant sen. Denn es glt fü das Dehoent T x F ene Zentalkaft (F - ) stets de Assage: T, da stets glt F. Dat folgt as de Gndglechng fü de Bewegng enes staen Köpes, dl/dt T (s..), ach stets L const. 3.. Messng on γ Caendsh Vesch Heny Caendsh * 73 Nzza, 8 London Cheke, Entdecke des H, de Knallgaseakton nd Zsaensetzng de Lft nd on Wasse. Folen z Vesch Wchtg: Messe beschlengte Bewegng t Lasestahl af Pojektonswand: x b t () t s() t

23 M b γ, Abstand M o Expeent M Masse de goßen Kgel, M kg 8 γ 6,67 N kg Caendsh Expeent: Scheatsche Anodnng x Ablenkng des Lchtstahls nfolge de Gatatonsanzehng s l α ; x L α L l s s b M ; FG γ ( ) t M L x γ t ; l s M γ b 5-3 kg; M kg; 8

24 Z Aswetng des Caendsh Expeentes nte Hösaalbedngngen Messng Ablenkng des Lchtstahls, af Hösaalwand pojezet, n Abhänggket on Zet. Gescht s x L x l M Beschlengng b γ ( M, bekannte Gößen) Bewegngsglechng () t a) Ohne Koekten on Rebng nd Toson des Fadens, an de Massen dehba afgehängt snd M M & s γ γ b, Näheng: s ( s) b) Koekten ( Aswetepoga) & s& D s ρ s& b J Toson des Fadens beachtet Rebng J,97-3 kg, Täghetsoent D (exp),35-7 N, Rchtoent des Fadens Wägng de Ede Beste Edasse M E as γ nd R e. Da γ expeentell bestba, st Bestng on M e (Masse de Ede) öglch: M e g R γ e 5,98 4 kg

25 R e folgt as geogaphschen Messngen: R e 6,378 6 s as geogaphschen Messngen ϕ as Sonnenstand (Schatten) Estalg bekannt on Eatothenes: s zwschen Alexanda nd Syene (Assan) Eatothenes on Kyene (* 9. Ch. Kyene, 4. Ch. n Alexanda) Sonnenasse M S : M S M γ R e M e 4 π R T R Ede-Sonne-Abstand T Ulafzet Ede Sonne M S 4 π R γ T 3

26 4. Abet, Enege, Ipls 4.. Abet, Lestng Abet Kaft Weg, falls F const Lestng Abet dch Zet W F, W Wok; Stecke, entlang dee de n dese Rchtng wkende Koponente de Kaft de Masse eschebt: W F cos α F Be geküten Weg ode/nd ene Kaft F( ) on F gelestete Abet: ( nach) B W F d (Lnenntegal) ( Weg on) dw Lestng: P F, P Powe dt Enhet de Abet: [ W ] kg s N Jole J N s Lestng: [P] J s W ( att) A F glt fü de 4.. Knetsche nd Potentelle Enege Enegesatz de Mechank Nee Begffe: Knetsche Enege W kn ; Potentelle Enege W pot

27 .) Vegößeng de knetschen Enege dch gelestete Abet Asgangspnkt st das. Newtonsche Axo: F [d/dt] bzw. Fd [d/dt] [dt] d.) Potentelle Enege B A B B F d d A : A [ W ] B kn A W kn Defnton de knetschen Enege Schebe de Glechng F d [ W ] B kn A B A n de Fo: B B B B [ W ] F d [ W ] [ W ] kn A A kn A pot A d. t [ W ] F pot B A W pot F d Defnton de potentellen Enege (Potental de Kaft) Dese Defnton st öglch, falls glt B F d B F d A A Weg Weg ode F d, wobe : de Integaton übe enen belebgen geschlossene Weg bezechnet. F( ) heßt dann konseate Kaft. Fü konseate Käfte exstet en Potental, nd es glt be Ukehng de obgen Defnton: F dw pot W pot W pot W,, d x y z gad W ( ) pot ( ) pot Dese allgene Zsaenhang zegt de Möglchket, en Potental z defneen nd dat den Enegesatz n de Mechank z foleen.

28 Enegesatz n de Mechank (n ene abgeschlossenen Syste) Wkn W pot const. ode [ W ] [ W ] [ W ] [ W ]... const. kn A pot A kn B pot B Bespele z Beechnng des Potentals: a) Schweefeld de Ede W pot γ M F d e d M e, t F γ e, e d γ M e γ M d e W γ M e kn W pot const. ( s. Sena) Beachte: W pot, (Bezgspnkt des Potentals legt be, wo kene WW. zwschen nd M e eh exstet) b) Potentelle Enege fü ednahen Beech: h<< Re W pot h F d, h g h F g e, z d dz

29 4.3. Bespele nd Vesche z Enegesatz Schweekaft, nahe Edobefläche g h const. W Bsp. Schefe Ebene: g h Vesch h Matheatsches Pendel W kn s& l & ϕ, s l ϕ W pot h F d g h l ϕ ( cos ) g, t h l ( cosϕ )

30 Hebel Vesch Weg ( ) ϕ ( ) ϕ F ϕ F W const. Falls Syste (stablen) Glechgewcht, d. h. falls, folgt des as Enegesatz. Flaschenzg Abet be Bewegen ene Masse Schweefeld nahe Bodenobefläche B F d F s F s A F d, F F F ehält sch we g h s s s

31 4.4. Kaftstoß, Ipls Iplsehaltngssatz. Newtonsches Axo: Kaftstoß: Wkt ene Kaft af enen Köpe, so st de dadch efolgende Iplsändeng z wkenden Kaft popotonal. De Iplsändeng gescheht n Rchtng de Kaft: d F ( ) dt dp dt Kaftstoß: t t t F dt Kaftstoß dp p p Iplsändeng t Des st de Antwot af de Fage, we ene Iplsübetagng ealset weden kann. 3. Newtonsches Axo: actoeacto Abgeschlossenes Syste: F fü abgeschlossenes Syste dp also: F p p( gesat ) dt Iplsehaltng Schwepnktsatz Def. Schwepnkt (SP):, ( gesat) s : Nach zwealge Dffeentaton folgt: & & F (abgeschlossenes Syste) s

32 & s De SP füht ene geadlnge glechföge Bewegng as Enfache Vesche z Iplsehaltngssatz a) Iplswagen Z Zetpnkt t wd feste Fadenebndng gelöst (Dchbennen t Stechholz) ohe: ( p ) p p ; nach Dchbennen: ' ' p p ' ' ( Wkn ) ( Wkn ) Lechte Masse ehält eh Enege. I Vesch wa, d.h. gleche Geschwndgketen n entgegengesetzte Rchtng. b) Esenbahnkanone Ähnlche Betachtngen we be a). Dch Rückstoß bewegt sch Esenbahnkanone nach Aslösen des Schsses n entgegengesetzte Rchtng: c) Wasseakete p : he Koponente antpaallel z ' ', ' p p ' p

33 Z Zetpnkt t stöt nte Dck stehendes Wasse nach hnten as: Wasse, ' p Wasse ( ) d) Segesches Wassead Wasse (Rakete ht z t ) Wasse ( ( ) ) Asstööffnng nach on () bzw. hnten (). Be Asstöen Ipls (Rückstoß des Rades Dehbewegng) e) Astoplaste klene Plastkkgel beweglch, Übetagng des Iplses des gesaten Köpes af klene Plastkkgel be Fall nach nten (Rückstoß).

34 4.5. Stoßgesetze Elastsche Stoß Ken Enegeelst af Gnd de Defoaton: de Enegesatz glt Iplssatz glt e be Stoßpozessen. Se Geschwndgket : o, : nach. Efolge Stoß zwschen zwe Telchen, t, : ² ² Zentale Stoß endensonale Bewegng: Rechnng t Betägen öglch Se,, a),, Astasch (Vesch) b) < Reflexon :, < < > Nachlafen:, > < Vesche Gestell t klene nd goße Masse, : Stoß an Wand:

35 p Iplsändeng ˆ Übetag af Wand Enegeändeng st abe Nll Nchtzentale Stoß Bsp.:, Gleche Massen Ipls Enege Kobnaton bede Glechngen: Enege ( ) Also:

36 Allgeene Fall des nchtzentalen Stoßes: Vektozelegng be Iplssatz (längs -, senkecht z - Rchtng) Wchtg snd: E cosθ snθ cosθ snθ } Ipls Enege - Iplsändeng (ax. Iplsbetag des gestoßenen Telchens) - Enegeübetagng: ( ) p << ' ax ax ax E kn p ' ax 4 E Bsp.: Stoß enes Elektons gegen en hendes Poton: 836 ax E kn Unelastsche Stoß 4 E,8 E Es glt Iplssatz. Es entsteht en Velst an echansche Enege, de fü Bewegng z Vefügng steht. Dese Göße st Q. Gegeben seen: Zwe Telchen (, ), ollkoen nelastsche Stoß

37 ( ) Schwepnktgeschwndgket ; Bedngng fü ollkoen nelastschen Stoß. Vesche ) exp. t zwe Sandsäcken ( ) a) b) ) Hüpfeesch : Stahlkgeln fallen af Stahl ( elastsch), Messng, Ble ( nelastsch) Vesche: Ballstsches Pendel De Höhe h hängt t de Geschwndgket e des Systes as Kgel nd Klotz übe de Enegeehaltng zsaen. De Geschwndgket e kann as de Iplsehaltng wähend des nelastschen Stoßes bestt weden.

38 Iplssatz: ( ), a e a Enegesatz (nach Stoß): x l g h g h g e e a e

39 Wete: kg 3,48,3 9,8,35 s c l c x kg a Beechne Enegeelst Q be Stoß! Lösng: ( ) a a e Q Z Enegeblanz Q p p ( ) ( ) Q Q Elastsche Stoß Q > Unelastsche Stoß: gesate Knetsche Enege nach Stoß st klene als ohe. Q < Speelastsche Stoß: Stoß. At: Knetsche Enege nach Stoß st göße als ohe: Mndestens ene de Stoßpatne besaß o de Stoß nnee Enege, de e ganz ode telwese abgbt, z. B. eakte Stöße [chesche Reaktonen, Stöße hochenegetsche Telchen t Ezegng nee Telchen] o nach

40 Potentalsteng* Stoß zwschen zwe Telchen nte Enflß he gegensetgen Wechselwkngskaft F ( ), de n o Abstand zwschen hnen abhängen soll: F ( ) st Zentalkaft: F () a ± e, W pot ± a. : abstoßende Kaft (z. B. zwe Ladngen, we α - Telchen 4 He, Atoken) -: anzehende Kaft (z. B. zwe nglechnage Ladngen, Massenanzehng) Betachte Abstoßng genae: edzete Masse µ A an Stelle on A. B b Stoßpaaete θ W cot an a W kn kn b