21. Termersetzungssysteme und Chomsky-Grammatiken

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1 21. Termersetzungssysteme und Chomsky-Grmmtiken In der Linguistik beschreibt mn die Syntx von Sprchen mit Hilfe von Grmmtiken. Definiert mn eine Sprche ls die Menge ihrer Sätze so knn mn eine Grmmtik ls Regelwerk zur Beschreibung der syntktisch korrekten Sätze der Sprche d.h. der Syntx der Sprche uffssen: Durch (eventuell mehrfche) Anwendung von Regeln der Grmmtik lässt sich die syntktische Korrektheit eines gegebenen Stzes nchweisen (erifiktion Akzeptor) oder lterntiv lssen sich durch Ausführung ller möglichen Anwendungsfolgen der Regeln lle korrekten Sätze der Sprche erzeugen (Aufzählung Erzeugendensystem genertive Grmmtik). Mthemtisch ist eine Grmmtik eine induktive Definition einer Sprche insbesondere eine Drstellung der Sprche im Sinne von Abschnitt 1. In der Theorie der formlen Sprchen betrchtet mn verschiedene Typen von Grmmtiken für beliebige formle Sprchen (im Sinne von Definition 1.11 d.h. für beliebige Wortmengen) und vergleicht die hierdurch gegebenen Sprchdrstellungen bezüglich ihrer Mächtigkeit und Qulität. Hierbei stehen genertive Grmmtiken d.h. Grmmtiken ls Erzeugendensysteme im ordergrund. Korrespondierende erifiktionsmethoden oder Akzeptoren werden durch Angbe äquivlenter Mschinenkonzepte gegeben. Den formlen Beschreibungen (genertiver) Grmmtiken liegen mthemtisch Termersetzungssysteme (oder Semi-Thue-Systeme) zugrunde. Ein Termersetzungssystem bsiert uf einem Alphbet Σ und besteht us einer endlichen Menge von Regeln (oder Produktionen) r u v bestehend us Wortpren wobei u die Prämisse und v die Konklusion der Regel ist. Die Regel r ist uf ein Wort w nwendbr wenn w die Prämisse u von r ls Teilwort enthält. Die Anwendung der Regel uf w xuy bewirkt dss ds orkommen von u in w n der gewählten Stelle durch die Konklusion v der Regel ersetzt wird lso w in xvy übergeht. (Es werden lso nicht lle orkommen von u simultn durch v ersetzt (ws bei Überlppen der orkommen uch mehrdeutig sein könnte) sondern nur ein usgewähltes orkommen.) Mn knn ein Wort w uf diese Weise solnge verändern bis schließlich keine Regel mehr nwendbr ist d.h. mn eine Normlform von w erreicht ht. (D möglicherweise verschiedene Regeln in einem Schritt nwendbr sind ist die Normlform i. Allg. nicht eindeutig bestimmt. Auch gibt es i. Allg. Wörter die keine Normlform besitzen.) Eine mögliche Drstellung einer Sprche ist die Beschreibung der Wörter der Sprche ls Normlformen eines Termersetzungssystems. Bevor wir dies n einem Beispiel demonstrieren definieren wir Termersetzungssysteme und ihre Arbeitsweise noch einml etws formler DEFINITION. Ein Termersetzungssystem oder Semi-Thue-System ist ein Pr E Σ P bestehend us einem Alphbet Σ und einer endlichen Reltion P Σ Σ. Die Elemente r u v von P heißen die Regeln (oder Produktionen) von E wobei u die Prämisse und v die Konklusion von r ist.

2 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 144 v. Die Semntik eines Termersetzungssystems lässt sich durch ein Umformungssystem (s. Definition 3.1) beschreiben. Für eine Regel u v schreiben wir meist u 21.2 DEFINITION. Ds zu einem Termersetzungssystem E Σ P gehörende Umformungssystem U E ist gegeben durch U E Σ E wobei w w Σ w E w u v P x y Σ w xuy & w xvy Mit der in Abschnitt 3 eingeführten Terminologie zur Arbeitsweise von Umformungssystemen können wir dnn weiter definieren DEFINITION. Sei E Σ P ein Termersetzungssystem und U E Σ E ds zugehörige Umformungssystem. Eine Herleitung von w us w (der Länge n) ist eine mit w beginnende und mit w endende U E -Rechnung (der Länge n). w ist us w herleitbr wenn es eine Herleitung von w us w gibt d.h. flls w w gilt. Ein Wort w ist eine Normlform flls w eine Stoppkonfigurtion von U E ist. Gilt zusätzlich dss w us w herleitbr ist so heißt w Normlform von w BEISPIEL. Als Beispiel geben wir ein Termersetzungssystem zur Beschreibung der korrekt geklmmerten vriblenfreien rithmetischen Ausdrücke über den Binärzhlen n. Induktiv lssen sich diese Terme definieren durch: (T1) Jede Binärzhl ist ein Term. (T2) Sind t 1 t 2 Terme so ist uch t 1 t 2 ein Term. (T3) Sind t 1 t 2 Terme so ist uch t 1 t 2 ein Term. Diese Drstellung ist nicht vollständig d sie uf die (unendliche Menge der) Binärzhlen zurückgreift. Diese müssen lso ebenflls endlich beschrieben werden ws wiederum induktiv mit Hilfe des (simultn definierten) Konzepts der nichtleeren Binärwörter wie folgt möglich ist: (Z1) 0 und 1 sind Binärzhlen und Binärwörter. (Z2) Ist w ein Binärwort so sind 0w und 1w ebenflls Binärwörter und 1w eine Binärzhl. Zum Nchweis dss z.b. t ein Term ist zeigt mn zunächst dss nch (Z1) t 2 0 eine Zhl und 0 und 1 Wörter sind weshlb t 1 10 und t 3 11 nch (Z2) ebenflls Zhlen sind. Nch (T1) sind lso t 1 t 2 t 3 Terme. Nch (T3) ist dnn uch t 4 t 1 t ein Term und dmit schließlich nch (T2) t t 4 t 3 ein Term. D.h. mn verifiziert die Korrekheit von t indem mn den Strukturbum E

3 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN von unten nch oben (bottom up) durchläuft und dbei den Term t us seinen Teiltermen synthetisiert. Ein Termersetzungssystem E Σ P zur Beschreibung der Terme benutzt ds Alphbet Σ % 0 1 T Z W& wobei T Z W riblen für Terme Zhlen und Wörter sind. Die Regeln entsprechen gerde den Kluseln der induktiven Definition: (R1) T Z (T1) (R2) T T T (T2) (R3) T T T (T3) (R4) Z 0 (Z1) (R5) Z 1 (Z1) (R6) W 0 (Z1) (R7) W 1 (Z1) (R8) W 0W (Z2) (R9) W 1W (Z2) (R10) Z 1W (Z2) Mn zeigt dnn dss die Normlformen von W Z und T gerde die nichtleeren Binärwörter die Binärzhlen und die Terme sind. Eine Herleitung des Terms T von oben erhält mn indem mn den Strukturbum von oben nch unten (top down) durchläuft und die entsprechenden Regeln nwendet: T T T (R2) T T T (R3) Z T T (R1) Z Z T (R1) Z Z Z (R1) 1W Z Z (R10) 1W 0 Z (R4) 1W 0 1W (R10) W (R6) (R7) (Die Stelle n der die ngegebene Regel ngewendet wird ist jeweils unterstrichen.) Mn knn diese Herleitung uch durch einen Bum drstellen d die Prämissen nur us einem Buchstben bestehen. Dbei enthlten die Söhne die Konklusion einer Regel der ter deren Prämisse

4 ' ' ' ' ( ' ( ' ( ( )* ) * ) * ) * * * 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 146 T T T T T Z Z Z 1 W 0 1 W 0 1 Die Blätter von links nch rechts gelesen ergeben dnn ds hergeleitete Wort. In seiner Grundstruktur entspricht dieser Herleitungsbum dem Strukturbum von t. In diesem Beispiel wurden neben den Grundzeichen die in den Termen vorkommen riblen hinzugenommen die für ds gewünschte syntktische Objekt (T) bzw. benötigte Hilfsobjekte (W Z) stehen. Weiter ist mn nur n Herleitungen von Wörtern interessiert die diese riblen nicht mehr enthlten wobei die Herleitungen mit der riblen T beginnen. D mn ähnliche Beobchtungen llgemein mcht ht Chomsky den Begriff des Termersetzungssystems entsprechend modifiziert und so den für die Sprchtheorie grundlegenden folgenden Grmmtikbegriff geprägt DEFINITION. Eine (Chomsky-)Grmmtik G N T P S besteht us zwei disjunkten Alphbeten N und T einer endlichen Reltion P N - T /. T 0 N - T und einem usgezeichneten Buchstben S us N. Die Elemente us N bzw. T heißen (syntktische) riblen (oder Nichtterminlzeichen) bzw. Terminlzeichen die Elemente us P Regeln oder Produktionen die rible S Axiom. on der Prämisse u einer Regel u v verlngt mn hier lso dss sie zumindest eine rible enthält während die Konklusionen v ein beliebiges (möglicherweise leeres) Wort us Terminl- und/oder Nichtterminlzeichen ist. Ein nur us Terminlzeichen bestehendes Wort heißt uch Terminlwort (oder Stz) ein beliebiges Wort w ds (möglicherweise uch) riblen enthält Stzform. Kommt hierbei in w ttsächlich eine rible vor sprechen wir von einer echten Stzform. Einer Grmmtik G N T P S knn mn ds Termersetzungssystem E G E N - T P zuordnen und über ds zugehörige Umformungssystem U E dnn die Semntik von G erklären. Die für E G eingeführten Begriffe übertrgen sich dmit uf G: 21.6 DEFINITION. Ds zu der Grmmtik G 1 N T P S gehörende Termersetzungssystem E E G ist durch E N - T P gegeben. Eine (G)-Herleitung von w us w

5 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 147 (der Länge n) in G ist eine solche Herleitung in E. Ds Wort w ist us dem Wort w in G herleitbr (G-herleitbr) in Zeichen w w flls es eine G-Herleitung von w us G w gibt (d.h. w E w gilt). Die von G erzeugte Sprche L G (über dem Alphbet T) ist die Menge der us dem Axiom herleitbren Terminlwörter d.h. L G 1% w T : S G w&. Ist die Grmmtik G us dem Kontext beknnt so schreiben wir sttt G (etc.). Weiter sgen wir dss L eine Chomsky-Sprche ist flls L von einer Chomsky-Grmmtik erzeugt wird und bezeichnen mit CH (CH k ) die Menge ller Chomsky-Sprchen (über dem k-ären Alphbet) BEISPIEL. Ds im Beispiel 21.4 ngegebene Termersetzungssystem zur Erzeugung der rithmetischen Terme lässt sich in folgende Grmmtik G 2 N T P S überführen: N 3% T W Z& T3% 0 1 4& S T und P enthält die Regeln (R1)- (R10) BEISPIEL. Die Sprche L 5% 0 m 1 n : m n 6 1& wird von der Grmmtik G N % 0 1&7 P S erzeugt wobei N 1% S T& und P us den vier Regeln (G1) S 0S (G2) S 0T (G3) T 1T (G4) T 1 besteht. Um zu zeigen dss L L G gilt muss mn die Inklusionen L L G und L G L zeigen. Zum Nchweis von L L G muss mn 0 m 1 n L G für gegebenes m n zeigen d.h. eine Herleitung von 0 m 1 n us S ngeben: S m8 1 0 m8 1 S m. 1 G1 0 m T 1 G2 n8 1 0 m 1 n8 1 T n. 1 G3 0 m 1 n 1 G4 Zum Nchweis von L G 9 L chrkterisieren wir (durch Induktion nch k) die in k Schritten us S herleitbren Wörter (Sätze und Stzformen): S k w w 0 k S oder m 6 1 n 6 0 k m n & w 0 m 1 n T oder m 6 1 n 6 1 k m n & w 0 m 1 n Für terminles w zeigt dies dss S k Behuptung klr d S 0 (21.1) w impliziert dss w L gilt. Für k 0 ist die w nur für w S 0 0 S gilt. Im Induktionsschritt von k nch w d.h. S k k k: 1 betrchtet mn den letzten Schritt in der Herleitung S 1 w w. Erfolgt dieser vermöge der Regeln (G1) oder (G2) so muss w die rible S enthlten lso nch Induktionsvorussetzung w 0 k S gelten. Es ist dnn ber w 0 k: 1 S bzw. w 0 k: 1 T von der verlngten Gestlt. Wurde die Regel (G3) oder (G4) ngewendet muss entsprechend T in w vorkommen und dher w 0 m 1 n T für geeignete m 6 1 n 6 0 mit m n k gelten. Hier gilt dnn w 0 m 1 n: 1 T oder w 0 m 1 n: 1 weshlb wegen m n 1 k 1 ds Wort w wieder eine der gewünschten Gestlten ht.

6 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 148 Bei einer Induktion wie in dem vorhergehenden Beispiel spricht mn von einer Herleitungsinduktion. Die erifiktion dss eine zur Erzeugung einer Sprche L entworfene Grmmtik G diese Sprche ttsächlich erzeugt d.h. dss L L G gilt ist oft recht mühselig. Die Richtung L L G ist dbei meist leichter zu zeigen d mn die Regeln j gerde so entwirft um in knonischer Weise lle Wörter us L zu erzeugen. Der Nchweis der Umkehrung L G L ist meist schwieriger. Meist weist mn hier durch Herleitungsinduktion gewisse Invrinten in den hergeleiteten Stzformen nch (s.(21.1) im Beispiel oben). Ds Problem für diese Richtung ist dss die Regeln in beliebiger Reihenfolge n beliebiger Stelle usgeführt werden können während mn bei dem Entwurf zur Ableitung der Wörter in L meist die Regeln in einer gewissen Ordnung benutzt. Mn muss dher zeigen dss eine erletzung dieser Ordnung nicht die Ableitung unerwünschter zusätzlicher Terminlwörter ermöglicht. (Mögliche Sckgssen d.h. Ableitungen echter Stzformen uf diese Weise die sich nicht in Terminlwörter weiter bleiten lssen sind dgegen bedeutungslos.) In den folgenden Beispielen verzichten wir meistens uf den Korrektheitsbeweis BEISPIEL. Die Sprche L 1% 0 n 1 n : n 6 1& vriiert die Sprche in Beispiel 21.8 indem nun zusätzlich gefordert wird dss der 0-Block und der 1-Block gleiche Länge hben. Diese Sprche wird von der Grmmtik G % S&7 % 0 1&7 P S mit der Produktionenmenge erzeugt. S 0S1 S BEISPIEL. Die Sprche L ;% 0 n 1 n 0 m : n m 6 1& wird von der Grmmtik G mit Axiom S und Regeln erzeugt. S TU T 0T1 T 01 U 0U U BEISPIEL. Die Sprche L ;% 0 n 1 n 0 n : n 6 1& unterscheidet sich vom vorhergehenden Beispiel ddurch dss lle Blöcke nun gleichlng sind. Hierdurch wird eine Grmmtik G die L erzeugt recht kompliziert. Die unten ngegebene Grmmtik bsiert uf folgender Idee. Mn führt riblen A B C für die Buchstben der drei Blöcke ein und wählt Regeln zur Durchführung der folgenden Ableitungsschritte: I. Erzeuge w 1 < ABC n (n 6 1 beliebig). II. Durch Umordnen führe w 1 in w 2 A n B n C n über. III. Durch Substitution der Werte 010 für die riblen A B C forme w 2 in ds gewünschte Terminlwort w 0 n 1 n 0 n um.

7 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 149 Ds Problem ist hierbei dss sichergestellt sein muss dss diese Schritte in der ngegebenen Reihenfolge usgeführt werden. Insbesondere sollte Phse III erst nch Abschluss von Phse II usgeführt werden (wogegen eine zeitliche Mischung von Phse I und Phse II unproblemtisch ist). In der folgenden Grmmtik G für L erreichen wir dies ddurch dss wir die riblen m Anfng und Ende des Wortes besonders mrkieren (wodurch wir sicherstellen können dss gewisse Umformungen n einer dieser Stellen beginnen müssen) und wir bereits geordnete riblen umbenennen (in β γ). Die intendierte Ordnung wird hierbei von rechts nch links hergestellt so dss eine us dem Axiom hergeleitete mit beginnende Stzform geordnet d.h. für diese Phse II bgeschlossen ist sodss mn nun (von links nch rechts) die Substitutionsphse III beginnen knn. (Bei dem Entwurf der Grmmtik wr dbei der Leitgednke die erifiktion möglichst einfch zu mchen wodurch mn etws mehr Regeln ls notwendig benötigt.) Die riblenmenge von G ist N 5% S T A A B C C β γ γ& wobei S ds Axiom ist. Zur Herleitung des Wortes 010 führen wir explizit die Regel S 010 ein. Herleitungen der Wörter 0 n 1 n 0 n mit n 6 2 werden durch folgende Regeln ermöglicht die wir gemäß den (intendierten) Phsen der Herleitungen gruppieren: (I.1) S ABCT (I.2) T ABCT (I.3) T ABC (II.1) BA AB (II.2) CA AC (II.3) CB BC (IIb.1) CC γγ (IIb.2) Cγ γγ (IIb.3) Bγ βγ (IIb.4) Bβ ββ (IIb.5) Aβ β (IIb.6) A (IIb.7) A (III.1) 00 (III.2) 0 00 (III.3) 0β 01 (III.4) 1β 11 (III.5) 1γ 10 (III.6) 0γ 00 (III.7) 0γ 00 Um ein Wort w 0 n 1 n 0 n mit n 6 2 herzuleiten geht mn dnn wie folgt vor: S ABCT (I.1) ABC ABC n8 2 T (I.2) ABC ABC n8 2 ABC (I.3) AA n8 1 B n C n8 1 C (II.1)-(II.3) n8 1 β n γ n8 1 γ (IIb.1)-(IIb.7) 0 n 1 n 0 n (III.1)-(III.7)

8 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 150 Um umgekehrt zu zeigen dss L G L gilt zeigen wir dss jede Herleitung H eines Terminlwortes w = 010 in G im Wesentlichen (d.h. bis uf unkritische Änderungen der Reihenfolge von Regelnwendungen) die oben ngegebene Gestlt ht. Sei lso eine Herleitung H : S w 0 w 1 >44? w m w m: 1 w Σ 2. % 010& gegeben. Für einen Buchstben N - Σ 2 bezeichnen wir mit i ds kleinste m 1 sodss in w i vorkommt (flls existent). Wir behupten dss 0 i S A i A i T 1 A i C A i γ 44 B4B4B i γ A i β A i A i A i 0 A i 1 C@ m 1 (21.2) Hierbei gilt 0 i S und i A i T 1 offensichtlich d jede Herleitung eines Wortes w = 010 mit der Regel S ABCT beginnen muss lso w 1 ABCT gilt. Insgesmt zeigen wir diese Ungleichungen in (21.2) induktiv von rechts nch links. Dss i 1 ED und m 1 ist folgt dbei us der Beobchtung dss für m 1 ds Wort w j mindestens einen der Buchstben B β oder 1 enthält. (Dies zeigt mn induktiv ddurch dss mn beobchtet dss w 1 ABCT gilt und jede Regel die B oder β oder 1 in der Prämisse enthält uch einen dieser Buchstben in der Konklusion enthält.) Ht mn für ein benchbrtes Pr i x i y in (21.2) nch Induktionsvorussetzung i y EDFA B4B4B A i m 1 schon gezeigt so folgt i x D und i x A i y ddurch dss mn beobchtet dss lle Regeln mit y in der Konklusion x oder ein Zeichen z mit i i z in der Prämisse enthlten x lso vor y erzeugt worden sein muss. Nch (21.2) ht lso die Herleitung H die Gestlt S w 1 ABCT w ig CH w ig H Wir zeigen dss diese Herleitung (hinreichend) mit der oben gegebenen Herleitung von 0 n 1 n 0 n übereinstimmt. Hierzu beweisen wir folgende Behuptungen. Behuptung 1. Es gibt eine Zhl n 6 2 und ein Wort v % A B C&I sodss w ig CH AvC und B v A v 1 C v 1 n BEWEIS. In der Herleitung ABCT w 1 w 2 B4B4B w k w ig CH können nur Regeln verwendet werden deren Prämissen nur riblen X mit i X A i C enthlten. Wegen (21.2) trifft dies nur uf die Regeln der Gruppen (I) und (II) zu wobei die Regel (I.1) entfällt d w 1 S nicht enthält und S uf keiner rechten Regelseite vorkommt. Weiter wird (nch Definition von i C ) die Regel (I.3) die ls einzige C erzeugt in dieser w ig CH (und dmit dort notwendigerweise) ngewendet. Herleitung nur im Schritt w k Die Herleitung w 1 w k benutzt lso höchstens die Regeln (I.2) und (II.1)-(II.3). Diese überführen ber ein Wort AuT mit u % A B C&I wobei B u A u 1 C u in ein Wort mit derselben Eigenschft. Mit w 1 ht lso uch w k diese Eigenschft (Induktion). D w k w ig CH vi (I.3) ergibt sich hierus die behuptete Gestlt von w ig CH. Behuptung 2. Es gilt w ig H n8 1 β n γ n8 1 γ wobei n 6 2 die Zhl us Behuptung 1 ist. w

9 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 151 BEWEIS. Entsprechend wie im Beweis der ersten Behuptung zeigt mn dss in der Herleitung w ig CH AvC w ig CHJ: 1 w ig CHJ: l w ig H nur Regeln us den Gruppen (II) und (IIb) verwendet werden wobei die Regel (IIb.7) nur im letzten Schritt ngewendet wird. Mn zeigt dnn durch Herleitungsinduktion dss jedes Wort z w ig CHJ: m l die Gestlt AuC oder Au γ ht wobei u % A B C&I und u % A B C β γ&k A z z 1 B z β z C z γ z 1 n und rechts von einem (bzw. β bzw. γ) in u nur die Buchstben β γ (bzw. β γ bzw. γ) vorkommen. D im letzten Schritt der Herleitung die Regel (IIb.7) ngewendet wird muss dher w ig CHJ: l A n8 1 β n γ n8 1 γ gelten weshlb w ig H die gewünschte Gestlt ht. Behuptung 3. w 0 n 1 n 0 n wobei n 6 2 wie oben. BEWEIS. Für die Herleitung w ig H n8 1 β n γ n8 1 γ zeigt mn induktiv dss die hergeleiteten Wörter nur Buchstben us dem Alphbet % β γ γ 0 1& enthlten lso nur Regeln der Gruppe (III) nwendbr sind. Aufgrund der Gestlt dieser Regeln folgt (wiederum durch Herleitungsinduktion) dss jedes L L Wort L L z in L der L Herleitung von w us w ig H die Gestlt z u A u B u C ht wobei u A u B u C n u A % 0&I u B % β 1&I und u C % γ γ 0&K. D w terminl ist gilt lso w 0 n 1 n 0 n wie behuptet. Wir wollen nun die Mächtigkeit des Grmmtik-Konzeptes untersuchen indem wir den Umfng der Klsse CH der Chomsky-Sprchen bestimmen. Hierzu beobchten wir zunächst dss wegen ihrer Loklität die Anwendungen von Regeln einer Grmmtik G effektiv usführbr sind. Hierus folgt dss die von G erzeugte Sprche effektiv ufgezählt werden knn lso nch Churchscher These rekursiv ufzählbr ist LEMMA. Sei G eine Chomsky-Grmmtik. Dnn ist L G rekursiv ufzählbr. Drüberhinus lässt sich us G effektiv eine Turingmschine M ngeben die L G kzeptiert 1. BEWEIS. Sei G N T P S. Eine Herleitung eines Wortes w T in G ht die Form S v 1 v 2 M444 v n w n 6 0 v i N - T N knn lso ls Wort über dem Alphbet Σ N - T - % & ufgefsst werden. D wir für Wörter v und v durch Mustervergleich überprüfen können ob v durch Anwendung einer Regel in v überführbr ist lso v v gilt knn mn effektiv feststellen ob ein 1 Wie schon in der Komplexitätstheorie kzeptiert M eine rekursiv ufzählbre Sprche L wenn L die Menge der Eingben ist für die die Rechnung von M in einem Endzustnd endet (wobei die Menge E der Endzustände zusätzlich zur früheren Definition der Turingmschine M zu spezifizieren ist). Dies ist offensichtlich äquivlent zu der früheren Definition nch der M eine Eingbe x kzeptiert flls M für diese eine Ausgbe liefert. Durch Zusmmenführen der Endzustände können wir bei Bedrf von der Existenz eines einzigen kzeptierenden Zustndes O usgehen. w

10 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 152 Wort z Σ eine Herleitung beschreibt und im positiven Fll lässt sich ds hergeleitete Wort effektiv bestimmen. D.h. die Menge H %P w z : w T z Σ z Herleitung von w& ist entscheidbr. Entweder durch Rückgriff uf die Church-Turing-These oder durch eine einfche Formlisierung obiger Überlegungen folgt hierus dss H rekursiv ist. D w L G z w z H gilt ist lso L G nch dem Projektionslemm rekursiv ufzählbr. Der zweite Teil des Lemms folgt us der Effektivität des Argumentes. D.h. eine Turingmschine die (die chrkteristische Funktion von) H berechnet lässt sich effektiv us G gewinnen und us dieser wiederum ein Akzeptor für die Projektion L G von H. Q Umgekehrt hben wir schon vorher beobchtet dss die Konfigurtionen einer Turingmschine M durch Wörter beschrieben werden können. Wegen der Loklität der Turingmschinen-Opertionen können die Übergänge durch Regeln beschrieben werden weshlb M ls Termersetzungssystem ufgefsst werden knn. Diese Beobchtung erlubt uns die von M kzeptierte Sprche durch eine Chomsky-Grmmtik zu erzeugen und dmit die Umkehrung von Lemm zu zeigen LEMMA. Sei M eine deterministische (1-Bnd-)Turingmschine und sei L M die von M kzeptierte Sprche. Dnn lässt sich effektiv eine Chomsky-Grmmtik G ngeben die L M erzeugt. BEWEIS. Seien Σ Γ ds Eingbe- bzw. Bndlphbet Z % z 0 z 1 4R4 z p & die Zustndsmenge und P ds Progrmm von M. Dbei können wir o.b.d.a. dvon usgehen dss Γ S Z /0 z 0 der Strtzustnd und z 1 der einzige kzeptierende Endzustnd von M ist. Weiter bestehe P us bedingten Anweisungen. Um M nun durch eine Grmmtik G zu simulieren beobchten wir dss die Rechenschritte d.h. Konfigurtionsübergänge von M durch Regeln beschrieben werden können dss ds Herleitungs- bzw. Rechnungsziel bei Mschinen und Grmmtiken ber unterschiedlich ist. Bei der Mschine wird grob gesprochen ein Wort w us der kzeptierten Sprche durch Regelnwendungen in den kzeptierenden Zustnd z 1 überführt. (Genuer: die zu w gehörende Strtkonfigurtion wird in eine Endkonfigurtion überführt. Wir können jedoch nnehmen dss M bei der Endkonfigurtion ds Bnd noch vollständig löscht es lso genu eine im Wesentlichen nur us dem Zustnd z 1 bestehende Endkonfigurtion gibt.) Bei der Grmmtik ist ds orgehen im Wesentlichen umgekehrt: Ein usgezeichneter Buchstbe wird durch Regelnwendungen in ein Wort der erzeugten Sprche überführt. Eine Möglichkeit M durch eine Grmmtik G zu beschreiben ist dher die Endkonfigurtion von M ls Axiom zu wählen und die Übergänge von einer Konfigurtion zurück zu ihrer orgängerkonfigurtion durch die Regeln von G zu ermöglichen. (D.h. die Regeln von G sind invers zu den Regeln von M.) Will mn die Rechnung nicht invertieren so knn mn lterntiv mit einer Spurentechnik rbeiten: Zunächst erzeugt G ein beliebiges Wort w Σ. In Spur 1 wir dieses bewhrt in den Spuren 2 und 3 dnn die zugehörige Rechnung von M simuliert (Spur 2 = Bndinschrift Spur 3 = Positionen des Arbeitsfeldes und Zustnd). Akzeptiert M so

11 U U U 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 153 werden die Spuren 2 und 3 gelöscht und Spur 1 ls Terminlwort erzeugt. Im Folgenden formlisieren wir diesen zweiten Anstz. Die Produktionenmenge P der Grmmtik G T N Σ P S die L M erzeugt besteht us den folgenden drei Gruppen: Die erste Gruppe besteht us Regeln zur Erzeugung eines Terminlwortes w Σ in der ersten Spur und der zugehörigen Strtkonfigurtion in der zweiten und dritten Spur. Diese Stzform wird zusätzlich durch die Rndzeichen [ und ] geklmmert: S U T B z 0 T (Die us drei Komponenten bestehenden riblen us Σ - % &I 9 Γ Z % &K schreiben wir ls Spltenvektoren.) Für jedes Wort w 1 44 n Σ (n 6 0) lässt sich hiermit S XU B z herleiten. Die zweite Gruppe von Regeln erlubt (bei Bedrf) den beschriebenen Bndteil m Rnde durch Anfügen von Blnks zu erweitern: UY T 4R 4R 4R B LW n n B Die Schritte von M lssen sich dnn durch die Regeln der 3. Gruppe simulieren die für jede M-Instruktion I 5 z B z die folgenden von der Bewegung B % L R S& bhängenden Regeln enthält (für lle Σ - % &7 Γ): z z z z z z flls B S flls B R flls B L Gilt w 1 R4 n L M so knn mn mit den Regeln der zweiten und dritten Gruppe 1 44 n B R4 i8 1 i i: 1 44 m n β 1 R4 β i8 1 β i β i: 1 44 β m z 0 44 R4 z 1 44

12 U Q 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 154 zeigen wobei 1 R4 m R4 w 44 und β 1 4R β m Γ geeignet zu wählen ist. Die Regeln der vierten Gruppe erluben eine den Endzustnd z 1 enthltende Stzform v uf ds Terminlwort in der ersten Spur von v zu reduzieren ( Σ- % &P β Γ): β z 1 β β λ U λ Hiermit knn mn lso für 1 44 m und β 1 44 β m wie oben zunächst mit den ersten drei dnn mit den letzten drei Regeln der vierten Gruppe herleiten. 1 β i8 1 β i8 1 i β i z 1 i: 1 β i: 1 R4 R4 R4 λ m β m ZU 1 44 m Aufgrund der Bemerkungen zu den Regelgruppen lässt sich L M 9 L G leicht zeigen. Auf den Beweis der Umkehrung verzichten wir. Q SATZ. Zu jeder Turingmschine M knn mn effektiv eine Chomsky-Grmmtik G ngeben die die von M kzeptierte Sprche erzeugt und umgekehrt. Insbesondere gilt CH RA. BEWEIS. Dies folgt direkt us den Lemmt und Mit diesem Stz überträgt sich die Unentscheidbrkeit semntischer Eigenschften von Turingmschinen uf Grmmtiken. Insbesondere gilt: KOROLLAR. () Es gibt eine Chomsky-Sprche die nicht rekursiv ist. (b) Ds Wortproblem für Chomsky-Grmmtiken ist nicht rekursiv. W CH %P [ G\K x : x L G 4& (c) Folgende Probleme für Chomsky-Grmmtiken sind nicht rekursiv: LEER CH %][ G\ : L G /0& Leerheitsproblem INF CH %][ G\ : L G unendlich& Unendlichkeitsproblem ÄQU CH %7 N[ G\K [ G \N : L G L G 4& Äquivlenzproblem w

13 21 TERMERSETZUNGSSYSTEME UND CHOMSKY-GRAMMATIKEN 155 Hierbei gehen wir von einer geeigneten Gödelisierung von Grmmtiken us und bezeichnen mit [ G\ die Gödelnummer der Grmmtik G. BEWEIS. D ds Hlteproblem K rekursiv ufzählbr ber nicht rekursiv ist folgt () direkt us Stz Wählt mn eine Grmmtik G mit L G K so gilt m W CH vi f x ; N[ G\K x weshlb mit K uch W CH nicht rekursiv ist. Teil (c) des Korollrs zeigt mn ebenflls mit Hilfe der Reduktionsmethode wobei mn die nch dem Stz von Rice nicht rekursiven nlogen Probleme für Turingmschinen reduziert. D mn nch Stz jeder Turingmschine M effektiv eine Grmmtik G mit L M L G zuordnen knn ist die entsprechende Abbildung g der zugehörigen Gödelnummern berechenbr lso (nch Church-Turing-These oder Formlisierung des Argumentes) rekursiv. Hierus erhält mn dnn direkt die gewünschten Reduktionen. Z.B. gilt für ds Leerheitsproblem 5% LEER e : W e /0& für (normierte) Turingmschinen dss m LEER CH vi g. Q on einer Grmmtik knn mn i. Allg. lso wenig über die Struktur der erzeugten Sprche effektiv blesen. In der Prxis schränkt mn dher die zulässigen Regeln in einer Grmmtik ein. Hierdurch erhält mn Drstellungen die mehr über die drgestellte Sprche verrten (dfür ber uch weniger Sprchen drstellen). Die wichtigsten Spezilfälle von Grmmtiken führen wir im nächsten Abschnitt ein.