T 32 = { 1; 2; 4; 8; 16; 32 }

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1 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 1. Ntürlihe Zhlen Mene der ntürlihe Zhlen: N = {1; 2; 3; 4; 5;...} Mene der erden Zhlen: G = {2; 4; 6; 8; 10;...} Mene der unerden Zhlen: U = {1; 3; 5; 7; 9;...} Mene der Primzhlen: P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41;...} (Primzhlen = ntürlihe Zhlen, die nur durh 1 und durh sih selst teilr sind) Zehnersystem = ezimlsystem: illionen Millirden Millionen Tusender H Z HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T Hunderter Zehner Einer Runden: Runde (Einwohnerzhl von shffenur) uf Tusender. unefähr leih T iese Stelle it n, o uf- oder erundet wird: ) runden ei 0, 1, 2, 3, 4 ) ufrunden ei 5, 6, 7, 8, 9 uf diese Stelle soll erundet werden. er eriff Primzhl leitet sih vom lteinishen eriff Primus ( der Erste ). Primzhlen sind die Grundoder siszhlen (die ersten Zhlen) unseres Zhlensystems, denn jede ndere ntürlihe Zhl lässt sih ls Produkt von Primzhlen drstellen (Primfktorzerleun). Teiler und Vielfhe: ivision eht ohne Rest uf : ist Teiler von mn shreit: ist Vielfhes von Teilermene von 32: T 32 = { 1; 2; 4; 8; 16; 32 } Prtner 4 8 = 32 Prtner 2 16 = 32 Prtner 1 32 = 32 Teilrkeitsreeln: teilr teilr Endstellenreeln: durh durh Quersummenreeln: 2 Zhl ist erde 3 Quersumme der Zhl ist durh 3 teilr 4 letzte zwei Ziffern der Zhl sind durh 4 teilr oder 00 6 Zhl ist erde und ihre Quersumme durh 3 teilr 8 letzte drei Ziffern der Zhl sind durh 8 teilr oder Quersumme der Zhl ist durh 9 teilr 5 letzte Ziffer der Zhl ist 0 oder 5 10 letzte Ziffer der Zhl ist 0 25 letzte eiden Ziffern der Zhl sind 00, 25, 50, letzte eiden Ziffern der Zhl sind 00 T und kv: T = rößter emeinsmer Teiler Zu jeder Zhl knn mn ihre Teilermene neen: T20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20} T30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} emeinsme Teiler von 20 und 30: 1; 2; 5; 10 rößter emeinsmer Teiler: T(20; 30) = 10 T(20; 30) = 10 Seite 1 von 8 kv = kleinstes emeinsmes Vielfhe Zu jeder Zhl knn mn ihre Vielfhenmene neen: V20 = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; 180;...} ERMITTLUNG durh PRIMFKTORZERLEGUNG (zerlee die Zhlen zuerst in ihre Primfktoren) USWHL: kv(20; 30) = = emeinsme Primfktoren! 30 = T(20; 30) = 2 5 = 10 V30 = {30; 60; 90; 120; 150; 180; 210;...} emeinsme Vielfhe von 20 und 30: 60; 120; 180;... kleinstes emeinsmes Vielfhe: kv(20; 30) = 60 USWHL: 20 = lle Primfktoren! 30 = zusätzlihe Primfktoren! kv(20; 30) = = 60

2 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 2. Grundrehenrten REHENRTEN Term Termnme Summe 1. Summnd 2. Summnd + Seite 2 von 8 Rehenzeihen/ Rehenrt ddieren dzuzählen vermehren 15 3 ifferenz Minuend Sutrhend sutrhieren wenehmen vermindern 15 3 Produkt 1. Fktor 2. Fktor multiplizieren vervielfhen mlnehmen 15 : 3 Quotient ividend ivisor : dividieren teilen Erenis 18 Summenwert 12 ifferenzwert 45 Produktwert 5 Quotientenwert ehte: ivisor niemls 0! Mn drf niht durh 0 teilen!!! 15 3 = Potenz sis (Grundzhl) Exponent (Hohzhl) (nzhl der Fktoren) potenzieren Qudrtzhlen (= Potenzen mit dem Exponenten 2): 2 2 = 4 6² = 36 10² = ² = ² = 324 3² = 9 7² = 49 11² = ² = ² = 361 4² = 16 8² = 64 12² = ² = ² = 400 5² = 25 9² = 81 13² = ² = ² = Potenzwert Rehenreeln (eim Rehnen ist folende Reihenfole zu ehten): 19 2 { [ 17 2 ( )] 6 18} Potenzen zuerst! = 361 {169 + [289 ( )] 6 18} runde Klmmern zuerst: Punkt vor Strih = 361 {169 + [289 ( )] 6 18} runde Klmmern zuerst = 361 {169 + [ ] 6 18} ekie Klmmern dnh! = 361 { } eshweifte Klmmern zuletzt: Punkt vor Strih = 361 { } eshweifte Klmmern zuletzt = = 259 Kommuttivesetz (Vertushunsesetz) In Summen dürfen die Summnden und in Produkten die Fktoren vertusht werden, ohne dss sih m Erenis etws ändert = = = = = = REHENGESETZE (vorteilhftes Rehnen): ssozitivesetz istriutivesetz (Verindunsesetz) (Verteilunsesetz) In Summen und in Produkten drf n Es it zwei Mölihkeiten ds istriutivesetz elieier Stelle mit der Rehnun nzuwenden: eonnen werden, ohne dss sih m usklmmern Erenis etws ändert. usmultiplizieren usklmmern des emeinsmen Fktors (hier: 23): = = = = htun: s Kommuttivesetz und ds ssozitivesetz elten niht für die Sutrktion und die ivision! = 23 (13 3) = = 230 usmultiplizieren: 7 (6 + 12) = = = 126

3 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 3. Gleihunen und Unleihunen Einie wihtie eriffe: Vrile (z.. x; y; ; ; ) heißen die Pltzhlter für Zhlen. Sinnvolle Rehenusdrüke werden ls Terme ezeihnet. Gleihunen nennt mn ussen, die ein Gleihheitszeihen = enthlten: 3 x + 5 = Linksterm Rehtsterm Unleihunen nennt mn ussen, die ein Unleihheitszeihen <; >; ; enthlten. Grundmene ist die Mene von Zhlen, die für die Vrile einesetzt werden dürfen. lle rihtien Einsetzunen ereen die Lösunsmene der Gleihun oder Unleihun: ei unseren Gleihunen ht die Lösunsmene entweder ein Element oder sie ist leer (L = ). ei Unleihunen enthält die Lösunsmene meist mehrere Elemente oder sie ist leer. Mn löst solhe ufen durh Proieren oder mithilfe der Umkehrufe: Proieren LÖSUNSGVERFHREN: Umkehrufe Shritt 1: (ei eiden Verfhren) Vereinfhen: 3 x + 5 = G = {1; 3; 5; 7;...} 3 x + 5 = x + 5 = 20 Shritt 2: Setze Zhlen solne us der Grundmene ein, is die Lösun der Gleihun efunden ist (Proieren): = 20 f = 20 f = 20 w. Shritt 2 : erehne die Vrile mit der Umkehrufe! (Vorsiht: Zwei usnhmen!!!) ( roter Ksten unten) 3 x + 5 = 20 3 x = 20 5 Umkehrufe 3 x = 15 x = 15 : 3 Umkehrufe x = 5 Shritt 2 : Mhe die Proe durh Einsetzen des Erenisses (hier: 5) in die usnsleihun: = 20 w. Shritt 3: (ei eiden Verfhren) Gi die Lösunsmene n: L = {5} ddition Sutrktion Multipliktion ivision vershiedene Fälle (Umkehrufe) mit usnhmen Vrile zuerst x + 13 = 54 G = N x = x = 41 L = {41} x 103 = 268 G = N x = x = 371 L = {371} x 12 = 72 G = N x = 72 : 12 x = 6 L = {6} x : 8 = 11 G = N x = 11 8 x = 88 L = {88} Zhl zuerst 24 + x = 89 G = N x = x = 65 L = {65} 213 x = 74 G = N x = x = 139 L = {139} 13 x = 52 G = N x = 52 : 13 x = 4 L = {4} 42 : x = 14 G = N x = 42 : 14 x = 3 L = {3} ehte ei Unleihunen: eim Vertushen von Links- und Rehtsterm muss ds Unleihheitszeihen edreht werden. uh ei den zwei usnhmen ist n der entsprehenden Stelle ds Unleihheitszeihen zu drehen. Seite 3 von 8

4 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 4. Größen Geld: Umrehnunszhl 100 Euro (EUR o. ) ent (t) 1 EUR = 100 t Zeit: vershiedene Umrehnunszhlen Jhr () T (d) Stunde (h) Minute (min) Sekunde (s) 1 = 365 d 1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s Msse (Gewiht): Umrehnunszhl 1000 Tonne (t) Kilormm (k) Grmm () Millirmm (m) 1 t = 1000 k 1 k = = 1000 m Läne: Umrehnunszhl 10 km hm d m m dm m mm Kilometer Hektometer ekmeter Meter ezimeter Zentimeter Millimeter 1 km = 10 hm = 1000 m 1 hm = 10 dm 1 dm = 10 m 1 m = 10 dm = 100 m = 1000 mm 1 dm = 10 m = 100 mm 1 m = 10 mm Mßstsrehnen: Strekenlänen der Wirklihkeit werden in Zeihnunen (uplänen, Lndkrten et.) verkleinert eildet. Um einen Eindruk der ttsählihen Verhältnisse zu ekommen, wird ein Mßst neeen. eispiel: 1 : m im ild entspriht m in der Wirklihkeit. 12 m ild/zeihnun : m = 6 km Wirklihkeit reistzrehnen (3 Größen sind eeen): eispiel: uunternehmer odo er enötit 18,8 t Snd. Wie viel muss er ezhlen, wenn in einer Kiesrue 500 k 25,00 kosten? Vorüerleunen: Welhe eeenen Größen ehören zusmmen, welhe Größe ist esuht? Größe Msse Größe Geld e: 500 k 25,00 (diese eiden Größen ehören zusmmen!!!) es: 18,8 t? = k reistzrehnun (diese muss immer neeen werden!!!): 500 k kosten: 25,00 1 k kostet: 25,00 : 500 = 2500 t : 500 dmit Rehnun mölih: in kleinere Einheit umwndeln!!! = 5 t k kosten: 5 t = t = 940,00 in sinnvolle Einheit umwndeln!!! : odo er muss für die 18,8 t Snd 940,00 ezhlen. Seite 4 von 8

5 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 5. Geometrishe Grunderiffe Punkte und Linien eshreiun Symol Zeihnun 1. er Punkt 2. ie Mene der Punkte, und {; ; } 3. ie Streke vom Punkt zum Punkt [] 4. ie Läne der Streke von E nh F eträt 4 m. EF = 4 m E 4 m F 5. ie Hlerde h, die im Punkt einnt und durh den Punkt hindurheht. h = [ h 6. ie Gerde, die durh die Punkte und verläuft. = 7. ie Gerde verläuft prllel zur Gerden h. h h 8. ie Gerde m steht senkreht uf der Gerden h. m h h m 9. er Punkt liet uf der Gerden. (er Punkt ist ein Element der Gerden.) 10. er Punkt F liet niht uf der Gerden, die durh die Punkt und verläuft. (er Punkt F ist niht Element der Gerden.) 11. Mehrere Punkte oder eine Hlerde, die uf einer Gerden lieen, nennt mn eine Teilmene dieser Gerden. ie Punkte, und E lieen uf der Gerden. F {; ; E} 12. ie Gerden und h shneiden sih im Punkt S. h = { S } F h S E Gitternetz: y (Hohwerthse) Ursprun O (0 0) 3 4 (3 4) y- oder Hohwert x- oder Rehtswert x (Rehtswerthse) (3 4) ehte: Koordinten des Punktes Erst Rehtswert, dnn Hohwert! Kreis: r M d k Kreislinie k Mittelpunkt M Rdius r: r = d : 2 urhmesser d: d = 2 r Kreis k: k(m; r) Seite 5 von 8

6 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 reieke Ekpunkte (,, ) werden een den Uhrzeiersinn ezeihnet. Seitenlänen (,, ) werden nh den eenüerlieenden Ekpunkten ezeihnet. leihshenklies reiek: leihseities reiek: zwei Seiten sind leih ln ( = ) leih lne Seiten heißen Shenkel lle drei Seiten sind leih ln ( = = ) Viereke d Ekpunkte (,,, ) werden een den Uhrzeiersinn ezeihnet. Seitenlänen (,,, d) werden nh den vorusehenden Ekpunkten ezeihnet. esondere Viereke: Trpez Prllelormm rhenvierek Rute Rehtek Qudrt Körper Würfel Pyrmide Keel Zylinder Kuel Quder Prism (Säule) Seite 6 von 8

7 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 eispiel: = 3 m; = 1 m; = 2 m Shräilder Zeihne die Vorderflähe des Quders. Zeihne die Seitenknten des Quders um die Hälfte verkürzt uf Kästhendionlen. Zeihne die hintere Flähe des Quders. Zeihne sihtre Knten nh, strihle niht sihtre Knten. wird nur hl so ln ezeihnet: sttt 1 m nur 0,5 m 6. Länen-, Rum- und Flähenmessun Fläheneinheiten: Umrehnunszhl 100 km 2 h m 2 dm 2 m 2 mm 2 Qudrtkilometer Hektr r Qudrtmeter Qudrtdezimeter Qudrtzentimeter Qudrtmillimeter 1 km 2 = 100 h = m 2 1 h = = 100 m 2 1 m 2 = 100 dm 2 = m 2 = mm 2 1 dm 2 = 100 m 2 = mm 2 1 m 2 = 100 mm 2 Rumeinheiten: Umrehnunszhl 1000 m 3 dm 3 m 3 mm 3 Kuikmeter Kuikdezimeter Kuikzentimeter Kuikmillimeter 1 m 3 = 1000 dm 3 = m 3 = mm 3 1 dm 3 = 1000 m 3 = mm 3 1 m 3 = 1000 mm 3 Hohlmße: ehte die Umrehnunszhlen! hl l l ml : 100 : 100 : 10 : 1000 Hektoliter Liter Zentiliter Milliliter 1 hl = 100 l = l = ml 1 l = 1 dm 3 = 100 l = 1000 ml = 10 ml 1 ml = 1 m 3 Seite 7 von 8

8 Relshule Großostheim Grundwissen Mthemtik 5 Rehtek Qudrt Eienshften: enhrte Seiten lieen senkreht zueinnder Qudrt ist ein esonderes Rehtek: lle vier Seiten sind leih ln ( = = = d) eenüerlieende Seiten sind prllel zueinnder und leih ln ( =, = d) Umfn: (= Läne des Rndes einer Flähe, z.. Zunläne) u = oder u = 2 ( + ) u = 4 Fläheninhlt: (= Größe des Innern einer Flähe, z.. Fußodenröße) = Läne ml reite = = 2 ehte: Für die Rehnun müssen Läne und reite die leihe Einheit hen!!! Fläheninhlt zusmmenesetzter Fiuren: Viele Wee führen zum Ziel!!! Eränzen zum Rehtek: esuhte Flähe = roße Flähe kleine Flähe Zerleen in Teilflähen: esuhte Flähe = Rehteksflähe 1 + Rehteksflähe 2 Quder Netz: Würfel Netz: Eienshften: 6 erenzunsflähen: Rehteke 6 leih roße erenzunsflähen: Qudrte 12 Knten 12 leih lne Knten ( = = ) 8 Eken 8 Eken Oerfläheninhlt: (= Größe ller erenzunsflähen eines Körpers, z.. Ppierröße fürs Einpken) O = oder O = 2 ( + + ) doppelte Grundflähe + O = 6 oder O = 6 2 doppelte Vorderflähe + doppelte Seitenflähe Volumen (Ruminhlt): (= Größe des Innern eines Körpers, z.. Verstuunsrum eines Pkets) V = Läne ml reite ml Höhe V = G mit G = Grundflähe ml Höhe ehte: Für die Rehnun müssen Läne, reite und Höhe die leihe Einheit hen!!! Volumen zusmmenesetzter Körper: Viele Wee führen zum Ziel!!! Eränzen zum Quder: esuhtes Volumen = roßes Volumen kleines Volumen Zerleen in Teilquder: esuhtes Volumen = Qudervolumen 1 + Qudervolumen 2 Seite 8 von 8 V = = 3