Überspannungsableiter. Vorstellung Prof. Hinrichsen

Transkript

1 nspechpatne Pof. D.ng. Voke Hinichsen FG S3 33 Te. 659 mai: SS 6 Dip.ng. exane Rocks FG S3 38 Te. 679 mai: ocks@hst.tuamstat.e Pof. D.ng. Voke Hinichsen Dip.ng. exane Rocks TiT / VL TiT / VL Vosteung Pof. Hinichsen Übespannungsabeite Geboen im Jui 954 in Westean/Syt Veheiatet, Tochte (98), Sohn (985) satzschatbi (Vaisto) Stuium e ektotechnik an e T Bein Schwepunkte: Stakstomanagen (Hauptfach) (Vetiefungsfach) ektonik (Hauptfach) ektische Messtechnik (Hauptfach) Wissenschaftiche Mitabeite am nstitut fü un Stakstomanagen e T Bein von Mittespannungsabeite (4 kv) 4kV gasisoiete Hochspannungsabeite 989: Püffeingenieu Siemens Schatwek Hochspannung, Bein 99 Jui : ntwickungseite fü Übespannungsabeite, Siemens PTD, Bein seit.8.: nivesitätspofesso, TD, FG Pomotion 99 auf em Gebiet Übespannungsabeite beite fü ie Bahn (5 kv) un ie Staßenbahn (75 V) 8kV Hochspannungsabeite TiT / VL 3 TiT / VL 4 Themen TiT inheiten un Geichungen Gunagen (Laung, Stom, Spannung, Wiestan, negie, Leistung,...) ektische Netzweke Ohm'sches Gesetz. un. Kichhoffsche Geichungen Paae un Reihenschatungen Stom un Spannungsmessung Lineae un nichtineae Zweipoe Supepositionspinzip (Hemhotz) mauf un Knotenanayse Opeationsvestäkeschatungen TiT / VL 5 Themen TiT ektostatische Fee Stationäe eektische Stömungsfee Stationäe magnetische Fee Zeitich veäneiche magnetische Fee Zeitich veäneiche eektomagnetische Fee usbeitung eektomagnetische Ween auf Leitungen Die Maxwe'schen Geichungen TiT / VL 6

2 Oganisatoisches Oganisatoisches Übungen zu Voesung TiT Die inteiung in Übungsguppen efogt uch intagung in ie aushängenen Listen am ab em (S3 3.Stock). Die este Übung finet in e zweiten Voesungswoche statt (am F ). Die Spechstunen finen im TLenzentum statt (este Temin: 7.4.): Di. 4 7 h Do. 4 6 h Beteue: Dip.ng. exane Rocks Die Teinahme an en Übungen wi ingen (!!!!) empfohen. Das Bestehen e Kausu ohne intensives Rechnen Üben ist paktisch unmögich!!!! Voesungsfoien un Rechenbeispiee Neu: Sämtiche Voesungsfoien stehen ab sofot auf e Homepage es FG zum Heunteaen im pffomat beeit. vt. ween ktuaisieungen e Foien noch bis unmitteba vo em jeweiigen Voesungstemin vogenommen. Die in e Voesung von Han entwicketen beitungen oe vogeechneten Beispiee stehen einen Tag nach e Voesung auf e Homepage beeit. Nutzename: stuentetit Passwot: etitss6 (Nutzename un Passwot ween wee pe Mai veschickt noch teefonisch mitgeteit!) TiT / VL 7 TiT / VL 8 Oganisatoisches Liteatu Causet/Wiesemann Voage fü Voesung Voage fü Voesung VLnhat (unvebiniche Zeitpan) Tag Votagene VLN. Kapite (C/W) Seiten (C/W) nhat Mi Hin 3. / 3.. / 3.. (5 Seiten) 5357 stat. Fee F..4. Hin 3..3 / 3.3. (6 Seiten) 5763 stat. Fee Mi Hin / 3.4. / 3.4. / (6 Seiten) 6369 stat. Fee F Hin / 3.6. / 3.6. / (5 Seiten) 6975 stat. Fee Mi Hin / / 3.7. bis Bsp. 3.9 (6 Seiten) 758 stat. Fee F Hin Bsp. 3.9 / 3.7. / 3.8. (5 Seiten) 886 stat. Fee Mi..5. Hin / 3.9 (7 Seiten) 869 stat. Fee VL fät aus; stattessen: goße Übung F..5. Rocks Mi Hin 8 3. (7,5 Seiten) 9 stat. Fee F Hin 9 4. / 4. (5,5 Seiten) 6 Stat.e.Stömungsfee Mi Hin 4.3 / 4.4 (4,5 Seiten Zusatzbsp. HST ) 6 Stat.e.Stömungsfee F Hin 5. / 5. (6,5 Seiten) 7 Stationäe Magnetfee Mi Hin 5.3. / 5.3. (6 Seiten) 73 Stationäe Magnetfee F..6. Hin / 5.4 / 5.5 / 5.6. (5 Seiten) 38 Stationäe Magnetfee Mi Hin 3a gänzungen Stationäe Magnetfee F Hin / / / / (6,5 Seiten) 835 Stationäe Magnetfee Mi Hin / 6.. / 6..3 / 6..4 / 6..5 (6 Seiten) 364 Zeit. veän. magn. Fee F Hin / 6.. / 6.3./ 6.3. (5,5 Seiten) 447 Zeit. veän. magn. Fee Mi..6. Hin / / 6.4. (6,5 Seiten) 4753 Zeit. veän. magn. Fee fät aus F Mi Hin / 6.5 (3 Seiten) 9. (3,5 Seiten) Zeit. veän. magn. Fee F Hin 9 9. / 9.3 / 9.4 (6,5 Seiten) 5 Leitungen Mi Hin 9.5 / 9.6 / 9.7 (6 Seiten) 8 Leitungen F Hin 9.5 / 9.6 / 9.7 (6 Seiten) 8 Leitungen VL fät aus; stattessen: goße Übung/Repetitoium Mi..7. Rocks F Hin. /. /.3 (6 Seiten) 95 Maxwesche Geichungen Mi. 9.7 Hin 3.4 (6 Seiten) 53 Zeit. veän. emagn. Fee F..7. Hin bschussvoesung SS 6: insgesamt 8 VLTemine; 4 ween benötigt Temin: Pobekausu [C] Causet, Wiesemann Gungebiete e ektotechnik Oenboug, 7. ufage, 999 SBN [C] Causet, Wiesemann Gungebiete e ektotechnik Oenboug, 7. ufage, SBN TiT / VL 9 TiT / VL Liteatu Moee Besonee mpfehung! [M] Fohne, Löchee, Müe Moee Gunagen e ektotechnik Teubne, 9. ufage, SBN TiT / VL Liteatu Pecht Besonee mpfehung! [P] Pecht Voesungen übe ie Gunagen e ektotechnik, Ban Spinge, 994 SBN (Wien) SBN (New Yok) TiT / VL [P] Pecht Voesungen übe ie Gunagen e ektotechnik, Ban Spinge, 995 SBN

3 Weitefühen fü spätee Vetiefung Weitefühen fü spätee Vetiefung Liteatu Fühe, Heiemann, Neete Liteatu Hagmann [F] Fühe, Heiemann, Neete Gungebiete e ektotechnik Hanse, 7. ufage, 3 SBN [F] Fühe, Heiemann, Neete Gungebiete e ektotechnik Hanse, 6. ufage, 998 SBN [H] Hagmann Gunagen e ektotechnik uaveag, 9. ufage, SBN TiT / VL 3 TiT / VL 4 Liteatu Wae Liteatu Baie [Wa] Wae Gunagen e ektotechnik Tei Voesungsskipt 9 Seiten (FH Kie) Kostenose Downoa aus em ntenet: [B] Baie Gunagen e ektotechnik Voesungsskipt 6 Seiten (ni Kaisesauten) Kostenose Downoa aus em ntenet: get/scipt/get_skipt.pf TiT / VL 5 TiT / VL 6 Liteatu Wunsch, Schuz [Wu] Wunsch, Schuz ektomagnetische Fee Veag Technik,. ufage, 996 SBN TiT / VL 7 Liteatu Simonyi [S] Simonyi Theoetische ektotechnik Joh. mbosius Bath,. ufage, 999 SBN Papeback TiT / VL 8 Peiswete geht's nicht! Peiswete geht's nicht!

4 Liteatu Phiipow Liteatu Küpfmüe in Stanawek! Gut zum Nachschagen in Stanawek! Gut zum Nachschagen Phiippow,. Gunagen e ektotechnik Gebunene usgabe 8 Seiten Veag Technik scheinungsatum: Oktobe SBN: Peis: R 65,5 Ka Küpfmüe, Geha Kohn Theoetische ektotechnik un ektonik ine infühung Taschenbuch Spinge, Heiebeg scheinungsatum: SBN: Peis: R 44,95 TiT / VL 9 TiT / VL Liteatu Papua Lotha Papua Mathematische Fomesammung Boschiet Vieweg scheinungsatum: Septembe SBN: Peis: R 4, TiT / VL TiT / VL Meine pesöniche mpfehung! Queenhinweis Diese Voesung fogt e Gieeung von Causet/Wiesemann [C] [C] un vewenet zusätzich en Stoff un ie Bie ae voab gezeigten Liteatusteen [M] [P] [P] [F] [F] [H] [Wa] [B] [Wu] [S] sowie geegentich weitee einzene Queen (u.a. ntenet). Fee Sin physikaische Gößen en Punkten eines Raumes zugeonet (m.a.w.: ist e Raum von en Wikungen iese physikaischen Göße efüt), so nennt man iesen Raum ein Fe un ie en Raumzustan chaakteisieene Göße eine Fegöße. in Fe ist ein Zustan es Raumes, bei em jeem Raumpunkt ein Wet eine physikaischen Göße, e Fegöße, zugeonet ween kann. Definition TiT / VL 3 Skaae Fee bzw. Skaafee st ie Fegöße ein Skaa,.h. eine ungeichtete Göße, spicht man von einem Skaafe Skaae Fegößen sin asteba uch Maßzah un inheit Scheibweise: z.b. Tempeatu T T = 73 K Beispiee: Tempeatufe Duckfe eektisches Potentiafe TiT / VL 4

5 Skaae Fee bzw. Skaafee Skaae Fee bzw. Skaafee Dasteung zweiimensiona uch solinien bzw. Niveauinien... Beispie: Geogafische Höheninien Beispie: Geogafische Höheninien TiT / VL 5 TiT / VL 6 Skaae Fee bzw. Skaafee Skaae Fee bzw. Skaafee Beispie: sobaen (Wettekate) Duckfe Beispie: sobaen un sothemen (Wettekate) Duckfe, Tempeatufe TiT / VL 7 TiT / VL 8 Skaae Fee bzw. Skaafee Keaunische Pege wetweit Keaunische Pege wetweit Beispie: sokeaunen (nzah Gewittetage po Jah) TiT / VL 9 Skaae Fee bzw. Skaafee Beispie: Äquipotentiainien in eine gasisoieten Schatanage (GS) TiT / VL 3

6 Skaae Fee bzw. Skaafee Beispie: Äquipotentiainien an einem soiestütze Skaae Fee bzw. Skaafee Dasteung eiimensiona uch Niveaufächen... Beispie: Äquipotentiafächen TiT / VL 3 TiT / VL 3 Vektoiee Fee bzw. Vektofee Vektoiee Fee bzw. Vektofee Dasteung uch Feinien as Raumkuven, st ie Fegöße ein Vekto,.h. eine geichtete Göße, spicht man von einem Vektofe z Scheibweise: z.b. Kaft F (häufig auch einfach F) mit Fx, F y, F z (im katesischen Kooinatensystem) F y x Beispiee: Kaftfe Stömungsfe (eektisches Stömungsfe, Wingeschwinigkeit) eektisches Fe ie so konstuiet sin, ass ie Fevektoen Tangenten an ihnen sin. Die Linienichte wi popotiona em Betag e Vektoen gewäht,.h. je ichte ie Feinien, esto höhe ie Festäke. TiT / VL 33 TiT / VL 34 Vektoiee Fee bzw. Vektofee Fe un Äquipotentiainien eines Toois TiT / VL 35 Vektoiee Fee bzw. Vektofee Fe un Äquipotentiainien eines Festeuetichtes (Defektos) TiT / VL 36 nneneite Siikongummiköpe Kabeisoieung (VP) ingeabeitete Defekto aus eitfähigem Siikon Kabeschim

7 Vektoiee Fee bzw. Vektofee tenative Dasteung uch Vektoen in Rastepunkten Vektoiee Fee bzw. Vektofee tenative Dasteung uch "Fekege" (Göße un ggf. Fabe popotiona em Betag e Festäke) Beispie: Feveauf an einem Stützisoato TiT / VL 37 TiT / VL 38 Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Dasteung aus Küche: Spinge, Bein, 996 SBN Feinien un Äquipotentiainien stehen senkecht aufeinane. ektoenobefächen sin Äquipotentiainien. TiT / VL 39 TiT / VL 4 Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Die Potentiaveteiung wi pozentua angegeben. Hochspannungspotentia TiT / VL 4 Bezugspotentia Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Dem bstan a zwischen zwei Äquipotentiainien entspicht imme ie geiche Potentiaiffeenz. TiT / VL 4

8 wächst Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Gitte von Kästchen mit en Seitenängen a un b Dem bstan b zwischen zwei Feinien entspicht imme ie geiche Laung Q auf en ektoen. Zweckmäßige Wah: b/a = TiT / VL 43 TiT / VL 44 Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Fe: Zeichenegen fü ie gafische Feemittung Beispie: Ranfe eines Pattenkonensatos b/a = e vie Seiten e Kästchen müssen einbeschiebene Keise beühen. Dasteung aus Küche: Spinge, Bein, 996 SBN TiT / VL 45 TiT / VL 46 Homogenes Fe nhomogenes Fe Homogenes Fe: Fegöße im betachteten Raum konstant hinsichtich Betag un Richtung Geiche Richtung, geiche Betag TiT / VL 47 Homogenes Fe nhomogenes Fe nhomogenes Fe: Fegöße im betachteten Raum nicht konstant hinsichtich Betag un Richtung Geiche Richtung, ungeiche Betag TiT / VL 48

9 Homogenes Fe nhomogenes Fe nhomogenes Fe: Fegöße im betachteten Raum nicht konstant hinsichtich Betag un Richtung wächst Homogenes Fe nhomogenes Fe nhomogenes Fe: Fegöße im betachteten Raum nicht konstant hinsichtich Betag un Richtung Geiche Richtung, ungeiche Betag ngeiche Richtung, ungeiche Betag TiT / VL 49 TiT / VL 5 Homogenes Fe nhomogenes Fe nhomogenes Fe: Fegöße im betachteten Raum nicht konstant hinsichtich Betag un Richtung Homogenes Fe nhomogenes Fe n paktischen nwenungen sin eektische Fee in e Rege inhomogen. Homogene Fee steen ie usnahme a. Beispie: Pattenkonensato ngeiche Richtung, ungeiche Betag TiT / VL 5 TiT / VL 5 Homogenes Fe nhomogenes Fe n paktischen nwenungen sin eektische Fee in e Rege inhomogen. Homogene Fee steen ie usnahme a. Beispie: Pattenkonensato... mit Ranfe TiT / VL 53 Homogenes Fe nhomogenes Fe n paktischen nwenungen sin eektische Fee in e Rege inhomogen. Homogene Fee steen ie usnahme a. Beispie: Pattenkonensato mit Wust TiT / VL 54

10 Q C Queenfe Wibefe n einem Queenfe haben ae Feinien einen nfang un ein ne. nfang = Quee; ne = Senke Queenfe Wibefe n einem Wibefe sin ae Feinien in sich geschossen, haben aso wee nfang noch ne. Die Feinien ziehen sich um ie Wibefäen zusammen, ie eine (geschossene) Raumkuve bien. w... Wibefäen Quee Senke Das ne kann abei auch im nenichen iegen. Besitzt as Wibefe nu einen einzigen gesteckten Wibefaen, spicht man von einem Ringfe. TiT / VL 55 TiT / VL 56 Zeitabhängigkeit es eektischen Fees ektostatische Queenfee Das eektostatische Fe bescheibt ie zeitich konstante Wechsewikung zwischen uhenen Laungen. Wi befassen uns zunächst mit eektostatischen Queenfeen. Feinien beginnen auf positiven Laungen un enen auf negativen Laungen. Das stationäe eektische Stömungsfe bescheibt ie Wikungen, ie von Laungsstömungen mit konstanten Geschwinigkeiten (.h. von Geichstömen) ausgehen. "Stationäe Fee" n zeitich veäneichen eektischen Feen müssen ae Fegößen as Zeitfunktionen beschieben ween. TiT / VL 57 TiT / VL 58 ektische Laung ektische Laung titt imme in positivem oe negativem Viefachen e ementaaung e auf. in Poton tägt ie Laung e, ein ekton tägt ie Laung e. Nomaeweise sin tome nach außen eektisch neuta. Natium (Na) ektonen in e KSchae 8 ektonen in e LSchae ekton in e MSchae (> angefangen) gon () ektonen in e KSchae (ot) 8 ektonen in e LSchae 8 ektonen in e MSchae (> vo besetzt) TiT / VL 59 e =,6 9 C e =,6 9 C ektische Laung Die eektische Laung ist eine hatungsgöße. Zu jee positiven ementaaung gehöt exakt eine negative ementaaung. Laungen können zwa voneinane getennt ween, jeoch kann Laung wee neu ezeugt noch venichtet ween. Die e ist negativ geaen. he Laung betägt etwa 6 C. Die positive Gegenaung ist in en höheen Schichten e tmosphäe (in e onosphäe) veteit. Bei Gewitte kommt es zu einem patieen Laungsaustausch. Die Laung eine Gewittewoke betägt etwa 5 C. Bei einem Bitzschag wi im Mitte eine Laung von C zu e gebacht. 3 V/m Q 6 C TiT / VL 6 Q 5 C

11 ektische Laung ektische Laung ufbau e tmosphäe 3 V/m... un waum meken wi nichts avon? Feie Laungen uch ionisieene Stahung 7 V??? Poaitätsumkeh! TiT / VL 6 TiT / VL 6 ektische Laung 3 V/m... un waum meken wi nichts avon? Messung e eektischen Festäke Fesonen 3DSonen Messung e Laungsiffeenz zwischen ektoen Fü jee Richtung im Raum ein ektoenpaa Messwetübetagung übe LWL y x Mensch = gut eiten = Äquipotentiafäche V z TiT / VL 63 TiT / VL 64 Messung e eektischen Festäke Fesonen 3DSonen Fesone TiT / VL 65 HFesone ektische Laung ektische Wikungen gehen auch von Köpen aus, een positive un negative Laungen zwa geich goß, abe äumich ungeichmäßig veteit sin. TiT / VL 66

12 Raumaung, Raumaungsichte Raumaung, Raumaungsichte Voumeneement V nzah Potonen: n nzah ektonen: n Laung: Q = (n n )e Mittee Laungsichte: Q/V V Mit e Raumaungsichte assen sich beiebige Laungsveteiungen as Raumfunktion angeben, z.b. (x, y, z) in katesischen Kooinaten () mit as Otsvekto mgekeht ässt sich bei bekannte Otsfunktion (x, y, z) ie in einem Raumgebiet befiniche Laung uch ntegation beechnen: Raumaungsichte: Q Q im V V V Q V ( x, y, z) x y z V V eaisiete Vosteung von geichmäßig im Voumeneement V veteiten Laungen TiT / VL TiT / VL Fächenaung, Fächenaungsichte uf eitenen ektoen befinen sich ie Laungen im agemeinen geichmäßig oe ungeichmäßig veteit auf e Obefäche mit eine infinitesima keinen Schichticke (Schichticke ). Linienaung, Linienaungsichte Betachtet man einen Leite aus einem bstan goß gegenübe em Duchmesse, so kann man sich ie auf ihm befinichen Laungen auf eine Linie mit einem infinitesima keinen Duchmesse (Duchmesse ) vosteen. Fächenaungsichte: Q Q im Linienaungsichte: Q Q im TiT / VL 3 TiT / VL 4 Punktaung Betachtet man ein geaenes Gebiet mit einem Voumen V, as venachässigba kein gegenübe em Betachtungsabstan ist, so ässt sich essen Laung Q in einem Punkt konzentiet annehmen. Die so ieaisiet in einem Voumen von Nu angenommene Laung wi as Punktaung QP bezeichnet, ie sich mit eine einzigen Otsangabe bezeichnen ässt. nmekung: nnahme von V = beingt geichzeitig nnahme von! Fage: wie goß ist tatsächich ie Raumaungsichte eines ektons, as agemein as Punktaung mit Qe = e =,6 9 C angenommen wi? Raius es ektons: Re,4 mm Voumen Ve = (4R e 3 )/3 =,49 35 mm 3 e 9 Qe, 6 C 3,9 C/mm 35 3 V,49 mm TiT / VL 5 e 5 3 Das Couombsche Gesetz xpeimentee Befun: ie Kaftwikung zwischen zwei Laungen Q un Q ist popotiona em Poukt e Laungen un umgekeht popotiona em Quaat ihes bstanes. F Q F K Q Q Q F TiT / VL 6 Couombsche Dehwaage (784)

13 Das Couombsche Gesetz Geichnamige Laungen stoßen sich ab, ungeichnamige Laungen ziehen sich an. D.h.: Q Q > bstoßung Q Q < nziehung Das Couombsche Gesetz infühung eines Richtungsvektos fü ie ie auf sie wikene Kaft beechnet ween so. so, ass e auf iejenige Laung zuweist, Q Q > F F Q Q F Q Q > Q Q < F F F F Q Q F K TiT / VL 7 TiT / VL 8 Das Couombsche Gesetz Das Couombsche Gesetz Q? Q F Q Q K F Zu Konstanten K: Histoisch wue wiküich K = gesetzt: Q Q F K 4 Q Q F 4 kgm Q F Nm = m =kgm s s 3 Couombsches Gesetz 3 Q kg m s (785) = inheit e Laung im "eektostatischen Maßsystem" Dain ist ie Dieektizitätskonstante es Vakuums. (auch: "eektische Fekonstante") Pobem: es egaben sich unteschieiche inheiten fü ie Laung aus em Couombschen Gesetz un aus e Definition übe Stom un Zeit. TiT / VL 9 TiT / VL Das Couombsche Gesetz Zu Konstanten K: Pobem geöst bei infühung es SinheitenSystems m Sinheitensystem iegen ie inheiten fü F, Q un fest: [F] = N [Q] = C = s [] = m Dann kann abe ie Konstante K nicht imensionsos sein. N= F K Q Q Vs Vm ss m s m Da K ~ / s F Vm m TiT / VL Das Couombsche Gesetz Lichtgeschwinigkeit c, magnetische Fekonstante µ, eektische Fekonstante Lichtgeschwinigkeit: c = m/s magnetische Fekonstante egibt sich aus Definition es "mpee" (Stomstäke): Das mpee ist ie Stäke eines konstanten eektischen Stomes, e, uch zwei paaee, unenich ange un im Vakuum im bstan von einem Mete voneinane angeonete Leite von venachässigba keinem, keisfömigen Queschnitt fießen, zwischen iesen Leiten je je einem Mete Leiteänge ie Kaft 7 7 N hevoufen wüe. Da git: TiT / VL F egibt sich uch insetzen: F 7 N 4 N Vs Vs H m m m 7 Vs 4 m

14 Das Couombsche Gesetz Das Couombsche Gesetz Lichtgeschwinigkeit c, magnetische Fekonstante µ, eektische Fekonstante Lichtgeschwinigkeit c, magnetische Fekonstante µ, eektische Fekonstante Lichtgeschwinigkeit: c = m/s magnetische Fekonstante: µ = 4 7 Vs/m eektische Fekonstante egibt sich aus e MaxweBeziehung: c Lichtgeschwinigkeit: c = m/s magnetische Fekonstante: µ = 4 7 Vs/m eektische Fekonstante: = 8,854 s/vm Damit: 8,854 7 c s Vm un fü ie Konstante 7 c 4 c K c TiT / VL 3 TiT / VL 4 Das Couombsche Gesetz Das Couombsche Gesetz Vegeich CouombKaft mit Gavitiationskaft s pf 8,854 8,854 Vm m Fomae Ähnichkeit: F e Q Q m m F m G 4 Damit üben zwei Laungen von jeweis C im bstan von m aufeinane eine Kaft von 9 9 N aus: F Q Q 4 4 8, ,99 N Fe QQ F 4 G mm m mit Gavitationskonstante G = 6,67 Nm /kg (Gavitationskaft wikt nu as anziehene Kaft!) N entspicht g 9 9 N entspechen 9. t!!!! ine feie Laungsmenge von C ist in e Natu offensichtich seten anzuteffen! Fü ein ekton: Q =,6 9 C, m = 9, 3 kg 9 Fe kg Vm (,6 C) 4,6 3 F 4 8,854 6,67 Nm s (9, kg) m 4 TiT / VL 5 TiT / VL 6 Die eektische Festäke Q Q F uf ie Laung Q wikt ie Couombkaft Q F Q 4 TiT / VL 7 as Raumzustan aufgefasst Die Kaftwikung so as an iesem Ot auftetene Fegöße beschieben ween. Die Kaft sebst ist abe zu Definition nicht geeignet, a abhängig von Q. Dahe wi ie Kaft auf ie (Pobe)Laung bezogen: F Q Q 4 ist ie am Ot wiksame eektische Festäke. Die eektische Festäke gemeine Definition e eektischen Festäke: F Q Bei positive Laung ektische Festäke un Kaft haben geiche Richtung: Bei negative Laung ektische Festäke un Kaft haben entgegengesetzte Richtung: inheit e eektischen Festäke: F Q TiT / VL 8 F F N Vs m V s s m

15 Die eektische Festäke nschauiche Dasteung e Kaftwikung es eektischen Fees: usichtung von Gieskönen in Rizinusö Übeageung von eektischen Festäken Festäkeveauf in e mgebung eine Punkaung Q Q 4 4 Q bnahme TiT / VL 9 TiT / VL Übeageung von eektischen Festäken Übeageung von eektischen Festäken Gesamtfestäke uch vektoiee ition Q Beispie: Punktaungen Q un Q im bstan a voneinane Wie ist e Festäkeveauf entang e Vebinungsgeaen? Q Q a Q y Q Q 4 Q a/ a/ Q x gemein: Q k 4 k k k TiT / VL TiT / VL Übeageung von eektischen Festäken Q y a/ a/ Q x TiT / VL 3 Übeageung von eektischen Festäken Q y a/ a/ Fa a): Q = Q = Q Q = Q x TiT / VL 4

16 Übeageung von eektischen Festäken ektische Festäke, Spannung, Potentia y Veschiebt man eine Pobeaung q entang eine Feinie, so muss afü mechanische negie Wmech aufgebacht ween. Wmech Fs qs Q Q = Q x Die potentiee negie e Pobeaung nimmt abei um en geichen Betag ab: a/ a/ Fa b): Q = Q = Q We q us e Geichheit beie negien fogt: s (Rechnung mit en Betägen, a ae Vektoen geiche Richtung aufweisen) TiT / VL 5 TiT / VL 6 ektische Festäke, Spannung, Potentia q Richtung, so git: s Veschiebt man ie Pobeaung in beiebige W Fscos F cos F, s mech Wmech qs Fü Veschiebung von "" nach "B": mech = Skaapoukt e Vektoen ("F Punkt s") W q s q s q s Genzwet s k B Wmech q s "Linienintega" k k k "" "B" ektische Festäke, Spannung, Potentia Wechen infuss hat e gewähte Weg? Wüe man auf em Weg () meh negie zufühen, as auf () zuückgewonnen wi, müsste ie Laung in jeem mauf einen negiezuwachs efahen nicht mögich! W q q B mech () s () s B L s Das Linienintega e eektischen Festäke ängs eines beiebigen geschossenen Weges L (as maufintega) ist Nu. Fe mit iese igenschaft "wibefei" Paaee zum. Kichhoff'schen Gesetz (Maschenege, maufgeichung)! () () B TiT / VL 7 TiT / VL 8 ektische Festäke, Spannung, Potentia W q q B mech () s () s B s s) s B B () () () B Das Linienintega e eektischen Festäke ist wegunabhängig. s kommt nu auf en nfangs un npunkt an. s Das ntega entspicht e Spannung zwischen en Punkten un B: B B B s () TiT / VL 9 () B ektische Festäke, Spannung, Potentia n einem eektostatischen Fe wee ein Bezugspunkt festgeegt. Die eektische Spannung zwischen beiebigen Punkten es Raumes un em Bezugspunkt ist ann s s Spannung (eektostatisches) Potentia Potentia es Bezugspunktes: = ine Funktion es Otes, in katesischen Kooinaten (x, y, z), ie fü einen gegebenen Bezugspunkt as Potentia in jeem Raumpunkt angibt, heißt Potentiafunktion es eektostatischen Fes. TiT / VL 3 es Punktes

17 ektische Festäke, Spannung, Potentia Zusammenhang zwischen eektische Festäke un Potentia: ektische Festäke, Spannung, Potentia ( x x, y y, z z) ( x, y, z) x y z x y z Die Potentiaehöhung es Punktes (x x, y y, z z) gegenübe em Punkt (x, y, z) ist aneeseits s x y z x y z De Vegeich beie Geichungen egibt unmitteba: x x y z y z m Punkt (x, y, z) hesche as Potentia (x, y, z). Dann hescht im Punkt (x x, y y, z z) as Potentia ( x x, y y, z z) ( x, y, z) x y z x y z Scheibweise mit e Vektoopeation "Gaient" (ga) ( ga,, ) x y z ga TiT / VL 3 TiT / VL 3 3 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Q 4 Q D 4 Die Festäke an einem beiebigen Punkt im Raum ist auße von e sie veusachenen Laung Q auch von en Raumeigenschaften ( ) abhängig. Q Q 4 infühung eine am seben Ot wikenen, jeoch von en Raumeigenschaften unabhängigen Göße zweckmäßig: Vakuum D eektische Veschiebungsichte eektische Fussichte eektische egung Q D D 4 Q D 4 s m D Q,4 D ist uch ie Göße un geometische nonung e Laungen festgeegt. un amit ie Kaft auf eine Pobeaung hängen vom es Dieektikums ab. ist umso keine, je göße as es Dieektikums ist. Poystyo Gun: Poaisation es Mateias s baut sich ein em uspüngichen Fe entgegenwikenes Fe auf. TiT / VL 3 4 TiT / VL 3 5 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ten e Poaisation TiT / VL 3 6 Gegenfe Oientieungspoaisation: (poae Wekstoffe) usichtung vohanene Dipoe Beispie fü einen poaen Wekstoff: Wasse H O H H O Hauptfe gewinkete nonung e tome ektonen es Wassestoffs haten sich bevozugt in e Nähe es Sauestoffs auf positive un negative Laungsschwepunkt sin,6 nm voneinane entfent Dipomoment: p = 6 3 s m ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ten e Poaisation ektonenpoaisation: (unpoae Wekstoffe) ektonenhüen e tome veschieben sich asymmetisch zum Ken onenpoaisation: (unpoae Wekstoffe) Vohanene positive un negative onen veschieben sich gegeneinane TiT / VL 3 7 Gegenfe Oientieungspoaisation: (poae Wekstoffe) usichtung vohanene Dipoe Hauptfe

18 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Beücksichtigung es Poaisationseffektes uch ie Dieektizitätszah (auch: eative Dieektizitätskonstante) Damit Bien e Pemittivitiät = ektische Festäke: Q Q 4 4 ektische Veschiebungsichte: D (git nu fü isotope Wekstoffe) nach [C] Dieektizitätszahen nach [F] TiT / VL 3 8 TiT / VL 3 9 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Dieektikum: uminiumoxi ( = ) uminiumko Dieektikum: Tantaoxi ( = 5) Tantako Dieektizitätszahen (T = C, p = ba, f <= MHz) Dasteung aus Küche: Spinge, Bein, 996 SBN TiT / VL 3 TiT / VL 3 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Dieektikum: ÖPapie, Poyethyen Hochspannungskabe 4,5 TiT / VL 3,3 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah soation von Leistungstansfomatoen ÖPapie! 4,5 TiT / VL 3 3

19 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Dieektikum: SF6 (SchwefeHexafuoi) Gasisoiete Schatanage (GS) = Dieektikum: Pozean 6 Paktisch ae FeiuftBetiebsmitte e eektischen negievesogung Leistungsschate Messwane (Feieitungs)soatoen TiT / VL 3 4 TiT / VL 3 5 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Dieektikum: Poyethyen (P),3 Poytetafuoethyen (PTF) ("Tefon"), (häufig geschäumt fü...) n e HFTechnik: Raome, Kabeisoation ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Nichteite mit besones hohen Dieektizitätszahen bezeichnet man as Feoeektika (Beispie: Baiumtitanat mit =... 4 Dieektikum fü besones kompakte Konensatoen) Dipoe in gößeen Beziken, en Weiss'schen Beziken, gekoppet un einheitich ausgeichtet. Die Weiss'schen Bezike sin unteschieich ausgeichtet; Köpe amit eektisch neuta Wet tempeatuabhängig; obehab CuieTempeatu veschwinen ie Koppungseffekte nimmt stak ab Feoeektikum mit stake pemanente Poaisieung ektet (in nehnung an Magnet) in ektet uft ein auenes eektisches Fe hevo TiT / VL 3 6 TiT / VL 3 7 ektische Veschiebungsichte, Dieektizitätszah Hesteung: Poaisieung im eektostatischen Fe obehab e CuieTempeatu; anschießene bkühung "fiet" ie ausgeichteten Weiss'schen Bezike ein. nwenung: ektetmikofon TefonFoie (ektet) 5 μm... 5 μm μm... 3 μm Luftspat TiT / VL 3 8 u L F ektische Fuss, Gauß'sche Satz e ektostatik ektische Veschiebungsichte D auch as Fussichte bezeichnet s eektischen Fuss bezeichnet man ie von eine Laung Q ausgehene Wikung. ektische Veschiebungsichte = Dichte es eektischen Fusses bezogen auf Duchtittsfäche TiT / VL 3 9 [] = [Q] = s = C [] = [Q] = s = C Fussöhe D

20 ektische Fuss, Gauß'sche Satz e ektostatik D Git fü jees, a zwa D mit / abnimmt, abe geichzeitig mit anwächst. Git nu, wenn D un geiche Richtung haben, sonst: D cos D D, Gesamtfuss bzw. eingeschossene Laung: Q DD... Dk k k ektische Fuss, Gauß'sche Satz e ektostatik Q DD... Dk k Fü k entsteht e Genzwet e Summe,.h. as ntega (Hüfächenintega): k Q D Gauß'sche Satz e ektostatik Gauß'sche Satz e ektostatik "De Fuss e eektischen Veschiebungsichte uch eine beiebige geschossene Fäche ist geich en von e Fäche insgesamt umhüten Laungen." Fuss uch eine beiebige, jeoch nicht geschossene Fäche: D TiT / VL 3 TiT / VL 3 ektische Fuss, Gauß'sche Satz e ektostatik ektische Fuss, Gauß'sche Satz e ektostatik nwenung es Gauß'schen Satzes zu Beechnung e Veschiebungsichte im mfe eine Punktaung: Q D D D() D()4 D 4 Q siehe Definition e eektischen Veschiebungsichte! Q F D 4 Q F 4 Q Couombsches Gesetz! Begünung fü Fakto 4: ffekte in e mgebung eine Punktaung QQ Q3 Q4 De Gauß'sche Satz e ektostatik kann imme ann nutzbingen zu Bestimmung von D eingesetzt ween, wenn es sich um symmetische (Kuge, Zyine) nonungen hanet, a sich ann Hüfächen egeben, auf enen D konstant ist un vo as ntega gezogen ween kann. TiT / VL 3 TiT / VL 3 3 Die Potentiafunktion eine Punktaung Q P B P = B TiT / VL 3 4 nwenung e Zusammenhänge: B Q B 4 s Zu Bestimmung e Potentiafunktion ntegation ängs eines beiebigen Weges zwischen Q un B, im einfachsten Fa entang eine Feinie: B B B Q Q PB s () 4 PB ( P) ( B) P P P 4 P B = Potentiaiffeenz zwischen einem beiebigen Punkt P ("ufpunkt") un einem Bezugspunkt B. st ein Bezugspunkt nicht festgeegt, so git agemein: Q ( P) const 4 Zu einem bestimmten eektischen Fe sin beiebig viee Potentiafunktionen angebba, ie sich uch eine Konstante voneinane untescheien. Die Potentiafunktion eine Punktaung Q P B P = B st e Bezugspunkt seh weit () entfent oe hanet es sich um einen geeeten Punkt, so geht man von (B) = aus. Fü as Beispie: (B) = fü B ( P) const = 4 Q Potentiafunktion e Punktaung TiT / VL 3 5

21 Die Potentiafunktion eine Punktaung nwenungsbeispie: Potentia un maximae Festäke eine geaenen Metakuge "fei im Raum"; R = cm; Q = 7 C R Vogehensweise: Q nnahme von Q as Punktaung Kuge = Äquipotentiafäche im bstan = R 7 Q s ( R) V 9 kv 4 s R 4 8,854, m Vm 7 Q s R ( ) V/m 9 kv/cm 4 s R 4 8,854, m Vm (be: Duchbuchfestäke von Luft nu ca. 3 kv/cm!) Die Potentiafunktion eine Punktaung nwenungsfa: VaneGaaffGeneato RK... Spüheektoe... bnahmeeektoe 3... Metaische Hohkuge 4... soieoh 5... soiestoffban QK RK ( R ) K 4 QK R K... Gesamtaung auf e Kugeobefäche... Kugeaius Die Spannungshöhe kann soange gesteiget ween, bis ie Duchbuchfestäke es mgebungsmeiums an e Kugeobefäche übeschitten wi un ie uch Voentaungen abfießenen Laungen ie neu zugefühte Laung kompensieen. Die maximae Spannungshöhe wi ahe maßgebich uch en Kugeuchmesse bestimmt, a von iesem ie Festäke auf e Kugeobefäche abhängt. TiT / VL 3 6 TiT / VL 3 7 Die Potentiafunktion eine Punktaung Van e Gaaff mit Pototyp MV (ca. 93) Die Potentiafunktion eine Punktaung Gößte uftisoiete Van e Gaaff Geneato 5 MV Oak Rige Nationa Laboatoy, S Labos in en Kugen Vosteung Pototyp MV (ca. 93) 5 MV Tanemgeneato (South Datmouth, Mass./S,93) TiT / VL 3 8 TiT / VL 3 9 Die Potentiafunktion eine Punktaung Bookhaven Nationa Laboatoy Van e Gaaff Geneatoen je 5 MV, 4 m ang Baujah 97 TiT / VL 3 3 Die Potentiafunktion eines Dipos ( P) TiT / VL 4 Potentia im ufpunkt P nach Supepositionspinzip: Q Q Q Fü b seh kein un bcos ( P) Q b 4 cos Lässt man b un Q steben, so ass as Poukt Q b enich beibt: p cos ( P) mit p Qb... eektisches Dipomoment 4 Potentiafunktion es eektischen Dipos Punktaung: Potentiaabnahme mit / Dipo: Potentiaabnahme mit /, a sich ie Wikungen e beien entgegengesetzten Laungen mit wachsenem bstan zunehmen gegenseitig aufheben!

22 Die Potentiafunktion eine Linienaung Die Potentiafunktion eine Linienaung ste Lösungsweg Betachtung eines Linieneements s mit Linienaungsichte : ste Lösungsweg Betachtung eines Linieneements s mit Linienaungsichte : Q = s Q = s Potentiafunktion fü as Linieneement: Potentiafunktion fü as Linieneement: ( P) 4 s ( P) 4 s ntegation übe ie Länge e Linienaung... : ntegation übe ie Länge e Linienaung... : ( P) s sh 4 4 z s s z ( P) s sh 4 4 z s s z sh x n x x sh x n x x Keiszyinekooinatensystem... wenig anschauich! Keiszyinekooinatensystem... wenig anschauich! TiT / VL 4 TiT / VL 4 3 Die Potentiafunktion eine Linienaung Die Potentiafunktion eine Linienaung Zweite Lösungsweg (fü en häufigen Sonefa eines angen gesteckten Linieneites) Zyinesymmetische nonung nwenung es Gauß'schen Satzes Q D D( ) D( ) D( ) M M (Die Stinfächen iefen keinen Beitag zum Obefächenintega.) KoaxLeitung (z.b. RG 58, RG 3 etc.) D ( ) ( ) P B B B PB ( ) n P P B P B af nicht gewäht ween! ( ) n B Potentiafunktion e Linienaung Gasisoiete Übetagungseitung (GL) TiT / VL 4 4 TiT / VL 4 5 nfuenz Bingt man in as eektische Fe z.b. eine geaenen Pattenanonung (homogenes Fe) einen Leite, so wanen ie Leitungseektonen ("ektonengas") zu e Seite, ie e positiv geaenen Patte zugewant ist negative Laung. uf e aneen Seite entsteht ein geich goße ektonenmange positive Laung. Diese Vogang wi nfuenz genannt. Die Laungstennung ist beenet, wenn auf en Obefächen es Leites ie geiche Fächenaungsichte hescht wie auf en Patten e Pattenanonung. Dann enet jee von en Patten ausgehene Feinie auf eine negativen infuenzieten Gegenaung, un von jee positiven infuenzieten Laung geht eine Feinie aus. m Leite baut sich ein Gegenfe auf, as as äußee Fe genau kompensiet: as nnee es Leites ist fefei. De eektische Fuss ist im Beeich es Leites untebochen. Die infuenziete Laung Q entspicht em Fuss. Die Fächenaungsichte entspicht e Veschiebungsichte: TiT / VL 4 6 Q D nfuenz Vesuch mit "Maxwe'schen Patten" zeigt, ass iese Zustan auch ehaten beibt, wenn man ie Patten im eektischen Fe tennt. uch wenn man ie Patten aus em eektischen Fe entfent, beibt e Laungszustan e Patten ehaten. TiT / VL 4 7

23 nfuenz... Wikungsweise es Faaay'schen Käfigs! TiT / VL 4 8 TiT / VL 4 9 fefei! nfuenz nwenung e nfuenz: Femühe Fächenaungsichte: = D = ( ) Laung e Fäche : Q m Geichfe: q it () t Laung popotiona e Festäke, jeoch (paktisch) nicht messba nfuenz nfuenz nwenung e nfuenz: Femühe nwenung e nfuenz: Femühe Peioische beckung e Fäche so, ass ie Fäche zeitpopotiona zu un abnimmt q it () t t De Stom i(t) kann eativ pobemos gemessen ween. Sein aithmetische Geichichtmittewet ist e Festäke popotiona. Mit e Femühe ässt sich z.b. as auen vohanene Geichfe in boennähe ( 3 V/m) messen. TiT / VL 4 TiT / VL 4 nfuenz nwenung e nfuenz: Femühe Pistoenfömige Femühe zu Messung eektostatische ufaungen TiT / VL 4 Konensato, Kapazität Q Q ine nonung von zwei beiebigen, uch ein Dieektikum voneinane getennten ektoen, ie jeweis geiche Laungen unteschieiche Poaität (Q, Q) tagen, nennt man einen Konensato. Die Laungen befinen sich ausschießich auf en Obefächen un sin ot geichmäßig veteit. Die Obefächen steen Äquipotentiafächen a. TiT / VL 4 3

24 Konensato, Kapazität Konensato, Kapazität Q * B B* Q Q B Q Beechnung e Spannung zwischen en ektoen uch Beechnung e Spannung zwischen zwei beiebigen Punkten un B auf en Obefächen entang eines beiebigen ntegationswegs (z.b. * B*); zweckmäßig: entang eine Feinie (z.b. B): B B D B s s Da D Q ist, ist offensichtich auch B Q Q = C Popotionaitätsfakto C... Kapazität es Konensatos C Q s V F Kapazitäten betagen übicheweise nu Buchteie eines F, ahe sin μf, nf, pf übiche Gößenonungen e Kapazität. TiT / VL 4 4 TiT / VL 4 5 Konensato, Kapazität Paaeschatung von Konensatoen Q Q Q C Q C Q C Q3 C3 ges C n aen Konensatoen iegt ie geiche Spannung: Qn = C n Q QQ Q3 CC C3 ( CC C3) Cges ektisches Schatsymbo eines Konensatos C C C C ges 3 n C C C ges k k TiT / VL 4 6 TiT / VL 4 7 Reihenschatung von Konensatoen Q Q Q Q Q Q Wi ie Reihenschatung e Konensatoen an Spannung geegt, ween auf jee ektoe ie geichen Laungsbetäge infuenziet (uch ae Konensatoen fießt e geiche Stom Q it ae ektoen tagen geiche Laung). Q Q Q Q 3 C C C C 3 Q Q Q Q 3 Q C C C3 C C C3 C n C C C ges k k TiT / VL 4 8 C C C3 C ges ges ges Kapazität es Pattenkonensatos Q Q C Q D D L Q Q Q D Q s C (venachässigt) TiT / VL 4 9

25 Kapazität es Pattenkonensatos Kapazität es Pattenkonensatos C... Metafoie... soato (Dieektikum) Q Q Beispie: Pattenuchmesse: m Pattenabstan = cm nonung in Luft Beispie: Wickekonensato Beite: 5 cm Länge: 5 cm Dieektikum: Papie, mm ick; = C, Vm m 8,854 s m,78 9 F,78 nf C 8,854,5,5 s m, Vm m 9 4,47 F 4,47 nf Fakto, a ie Metafoie uch as Wicken sowoh auf e Voeas auch auf e Rückseite geaen ist (mit usnahme e äußesten Lage)! TiT / VL 4 TiT / VL 4 Rechenbeispie: Paaeschatung von Konensatoen Rechenbeispie: Paaeschatung von Konensatoen [C], Bsp. 3.5 [C], Bsp. 3.5 C C B ges TiT / VL 4 TiT / VL 4 3 Rechenbeispie: Reihenschatung von Konensatoen [C], Bsp. 3.6 C C geich goße Konensatoen mit = eine Spannungsquee angeschossen. TiT / VL 4 4 sin in Reihe an Wie änet sich as Potentia zwischen en Konensatoen, wenn eine e beien Konensatoen mit einem Dieektikum gefüt wi? Rechenbeispie: Reihenschatung von Konensatoen [C], Bsp. 3.6 TiT / VL 4 5

26 Kapazität es Kugekonensatos Kapazität es Kugekonensatos 3 Q Q nwenung es Gauß'schenSatzes: D() D()4 Q D D D 4 Q nwenungsbeispiee: 4 Q C Q 4 Q Q Q C 4 TiT / VL 4 6 TiT / VL 4 7 Kapazität es Kugekonensatos Sonefa: Kapazität eine Kuge fei im Raum Kapazität es Kugekonensatos nwenungsbeispie: bschimkuge eines Hochspannungstansfomatos 3 max =,8 MV Q Q 4 4 C Q C 4 max =, MV C 4 Fage: weche kapazitive Stom fießt übe ie Kuge ab? TiT / VL 4 8 TiT / VL 4 9 Kapazität es Kugekonensatos nwenungsbeispie: bschimkuge eines Hochspannungstansfomatos C 4 nnahme: TiT / VL 4 3 = 56 cm C 4 4 8,854,56 6,3 pf nnahme: = MV (ffektivwet eine Wechsespannung) C ,3 9,6 m Q C 3 6 V Kapazität es Kugekonensatos nwenungsbeispie: bschimkuge eines Hochspannungstansfomatos nnahme: TiT / VL 4 3 = 56 cm n Luft af eine maximae Festäke von 5 kv/cm nicht übeschitten ween! Zu mittung e maximaen Festäke: Q C 4 Q 4 Maximae Festäke titt an e Kuge sebst auf, aso bei =,min 6 5 max 56 cm : max

27 Maximafestäke e Kuge "fei im Raum" Maximafestäke es Kugekonensatos max Wichtige Beziehung zu goben bschätzung e Festäke an schafen Kanten oe an keinen Raien (Obefächenauhigkeit, Gate,...)! 3 Q Q Q 4 4 Q 4 =, mm Q = V bschätzung (!) e Gößenonung e mögichen auftetenen Festäke: V max kv/cm!, cm fü : max max Vegeich mit Kuge "fei im Raum" (max = / es Kugekonensatos stets göße ist. ) zeigt, ass ie Maximafestäke TiT / VL 5 TiT / VL 5 Maximafestäke es Kugekonensatos Maximafestäke es Kugekonensatos 3 Q Q max Hät man fest un vaiiet : 3 Q Q max u v Fü fogt max Fü fogt max s muss aso im Beeich < < einen Wet fü geben, bei em ie maximae Festäke ein Minimum hat! max Minimum egibt sich uch Nusetzen e beitung nwenung e u v Quotientenege: u uvuv v v ( ) ufösen nach :, opt nwenung e Pouktege: (uv)' = u'v uv' TiT / VL 5 3 TiT / VL 5 4 Maximafestäke es Kugekonensatos max,min Kümmungseffekt bstanseffekt 4 R / /R = =,5 max,min TiT / VL 5 5, opt 4, opt, opt R / /R Rechenbeispie: Kugekonensato maximae Kapazität [C], Bsp. 3.7 TiT / VL 5 6 max / max, min max / max, min

28 Kapazität koaxiae Zyine Kapazität koaxiae Zyine a) Beechnung mit em Gauß'schen Satz DD( ) D( ) ( ) D( ) z Q z D( ) ( ) ( ) n n b) Beechnung mit e Potentiafunktion eine Linienaung ( ) n B B B ( ) ( ) n n B B n n n Q z C Längenbezogene Kapazität: C C z n Q z C Längenbezogene Kapazität: C C z n TiT / VL 5 9 TiT / VL 5 Kapazität koaxiae Zyine Kapazität eines koaxiaen Messkabes Die Kapazitätsbeechnung ist bei Kenntnis e Potentiafunktion besones einfach uchzufühen: Beispie: RG 3 Q C bzw. C Daußen =,3 mm Dinnen P mit =,3 = 7,3 mm C 8,854,3 s 7,3 Vm n n,3 pf/m Kabekapazität sache fü nieige Genzfequenz bei angen Leitungen TiT / VL 5 TiT / VL 5 Leeaufstom eines koaxiaen Stakstomkabes Beispie: Leeaufstom eines Stakstomkabes Kapazität eines HochspannungsStakstomkabes: C',3 μf/km Kapazitive Stom eines 5 km angen Kabes im Leeauf (Beispie m V s km f C 5, s Vkm Dahe (u.a.) ässt sich eektische negie nicht mit Wechsespannung übe ange Kabestecken übetagen. TiT / VL 5 3 = 45 kv): Maximafestäke koaxiae Zyine Hät man fest un vaiiet : n ( ) ( ) ( ) max TiT / VL 5 4 n n n Fü fogt max Fü fogt max s muss aso auch fü ie koaxiae Zyineanonung im Beeich < < einen Wet fü geben, bei em ie maximae Festäke ein Minimum hat!

29 Maximafestäke koaxiae Zyine Koaxiae Zyine mit geschichtetem Dieektikum Zweckmäßigste Vogehensweise: max gebnis:, opt e nonung eines Koaxiakabes mit zwei unteschieichen Dieektika ([C], Bsp. 3.8) Dieektikum :,... max, max, opt Dieektikum :, a) Kapazität e nonung ( ) ( ) ( ) ( ) ges n n n n R = R /e C ges n n 3 R /R / TiT / VL 5 5 TiT / VL 5 6 Koaxiae Zyine mit geschichtetem Dieektikum 3 s git: ( ) m Dieektikum : ( ) m Dieektikum : 3 Die Festäke macht am Übegang von Dieektikum auf Dieektikum einen Spung! ( ) ( ) 3 ( ) ( ).h. ( ) > ( ) fü > TiT / VL 5 7 Koaxiae Zyine mit geschichtetem Dieektikum b) Festäkevehätnisse e nonung Festäke eine Linienaung: ( ) 3 c) Wie goß sin bei gegebene Spannung ie maximaen Festäken in beien Dieektika? Das Maximum e Festäke titt jeweis am nnenaius,.h. am keinsten Raius es jeweiigen Dieektikums auf: ( ) max ( ) max max max Soen z.b. beie Maximafestäken geich goß sein, muss geten: Duch en geometischen ufbau un ie uswah geeignete Dieektika assen sich ie Festäkevehätnisse koaxiae Zyineanonungen optimieen. TiT / VL 5 8 Das Pinzip e Mateiaisieung Äquipotentiafächen assen sich uch ungeaene, eitene Fächen esetzen, ohne as eektische Fe zu veänen. Damit assen sich z.b. uch ie Potentiafunktion e Punktaung ie beien echts gezeigten nonungen beechnen. TiT / VL 5 9 Zwei paaee Linienaungen ungeichen Vozeichens "Doppeeitung" P Doppeeitung aus zwei seh ünnen Leiten mit Raius im bstan Nachbiung uch Fe zweie Linienaungen, Mateiaisieung zweie Äquipotentiafächen Potentia im ufpunkt P uch Supeposition e Potentiafunktionen TiT / VL 5

30 Zwei paaee Linienaungen ungeichen Vozeichens Zwei paaee Linienaungen ungeichen Vozeichens P Supeposition e Potentiafunktionen: (B B B ( P) n n = bstan eines weit entfenten Punktes, P Bestimmung von : = un = n s. TiT / VL 4 / Foie 3) Bestimmung von : = un = ( P) n n Äquipotentiainien auch chaakteisiet, ass as Vehätnis / = const. "poonische Keise", een Mittepunkte jeoch nicht mit en Mittepunkten e Linienaungen zusammenfaen Näheungsweise können Äquipotentiainien as Leiteobefächen vestanen ween, wenn << ist. C n n n (fü >> ) TiT / VL 5 TiT / VL 5 Zwei paaee Linienaungen ungeichen Vozeichens Zwei paaee Linienaungen ungeichen Vozeichens P P Zusammenfassung: C n ( P) n Maximae Festäke = Festäke an e Leiteobefäche: n C max ( ) n C max n n (s. Festäke eine Linienaung: TiT / VL 4 / Foie 3) TiT / VL 5 3 TiT / VL 5 4 Zwei paaee Linienaungen geichen Vozeichens "Büneeite" P TiT / VL 5 5 B B ( P) n n B ( P) n Äquipotentiainien auch chaakteisiet, ass as Vehätnis = const. "Cassinische Kuven" (B = bstan eines weit entfenten Punktes, s. TiT / VL 4 / Foie 3) Zwei paaee Linienaungen geichen Vozeichens Cassinische Kuve = geometische Ot ae Punkte M, fü ie as Poukt e bstäne von zwei festen Punkten F un F, en Fixpunkten, konstant geich a ist: y F MFM a M F F TiT / VL 5 6 x

31 Zwei paaee Linienaungen geichen Vozeichens Doppeeitung aus Zweiebünen P B ( P) n ZweifachBüneeite DeifachBüneeite ViefachBüneeite chtfachbüneeite TiT / VL 5 7 TiT / VL 5 8 Doppeeitung aus Zweiebünen Doppeeitung aus Zweiebünen a) mittung e ängenbezogenen Kapazität gemein: ( ) P n ( P) n n n Laungen () Laungen () Leiteaius: o Leitemittenabstan: D Bünemittenabstan: a Potentia es positiven Bünes: a ( ad!) D ( D!) n n a D TiT / VL 5 9 TiT / VL 5 3 Doppeeitung aus Zweiebünen n n Fü ie ängenbezogene Kapazität git: C insetzen von : C a D a a n n D D TiT / VL 5 3 Doppeeitung aus Zweiebünen C n a D Maximae Festäke = Festäke an e Leiteobefäche: mit = C' = C'/ a n C D ( ) max 4 a n (s. Festäke eine Linienaung: TiT / VL 4 / Foie 3) TiT / VL 5 3 D

32 Doppeeitung aus Zweiebünen Vegeich: Doppeeitung infacheite vs. Zweiebüne Zusammenfassung: P C n a D max n a D,max R R n a Z,max n a D R R a Gegeben seien a, D un R Fage: wie vehaten sich ie Maximafestäken beie nonungen, wenn es Zweiebünes so bemessen wi, ass sich e geiche GesamtLeitequeschnitt egibt fü en infacheite mit R? TiT / VL 5 33 TiT / VL 5 34 Vegeich: Doppeeitung infacheite vs. Zweiebüne Vegeich: Doppeeitung infacheite vs. Zweiebüne Queschnitt infacheite: Queschnitt Zweiebüne: R R R R n a n a R R Z R Z,max,max a n n a D RD Z,max R R n,max n a D a a n Z,max R,max a n RD Zahenbeispie: R = mm, D = cm, a = m a n n Z,max R,,875,max a n n RD,, Die Festäke e Doppeeitung mit Zweiebüne betägt bei geiche Stomtagfähigkeit nu etwa 87,5 % e Festäke eine Doppeeitung mit infacheite. Mehfachbüneeite ween zu Reuzieung e Ranfestäke eingesetzt. TiT / VL 5 35 TiT / VL 5 36 Rechenbeispie: ()Leitung [C], Bsp. 3. nonung von 3 seh angen paaeen Leiten Die beien inken Leite () un () ienen as Hineite, e echte Leite (3) ient as Rückeite. Leite () un () haben as Potentia, Leite (3) hat as Potentia Nu. Zu beechnen sin ie Linienaungen un. TiT / VL 6 Rechenbeispie: ()Leitung [C], Bsp. 3. TiT / VL 6

33 Rechenbeispie: ()Leitung [C], Bsp. 3. bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Konstuktionsegen fü Febie a n a n a a n n 3 Feinien un Äquipotentiainien stehen senkecht aufeinane. TiT / VL 6 7 TiT / VL 6 8 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Hohes Potentia Bezugspotentia ektoenobefächen sin Äquipotentiainien. Die Potentiaveteiung wi pozentua angegeben. TiT / VL 6 9 TiT / VL 6 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Dem bstan zwischen zwei Äquipotentiainien entspicht imme ie geiche Potentiaiffeenz. TiT / VL 6 = = bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Dem bstan b zwischen zwei Feinien entspicht imme ie geiche Laung Q auf en ektoen. TiT / VL 6 Q = D = = b z Q = D = = b z

34 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Gitte von Kästchen mit en Seitenängen un b Teikapazität po Kästchen mit en Seitenängen un b: Q bz b C z const. De gesamte Feaum kann as Reihen un Paaeschatung geiche (ängenbezogene) Teikapazitäten C' vestanen ween, fü ie git: C b bzw. C C b const. z TiT / VL 6 3 TiT / VL 6 4 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Gesamtkapazität: Zweckmäßige Wah: b/ = C C p p Fü b = (Quaate!): p... Zah paae angeonete Kästchen... Zah in Reihe iegene Kästchen bzw. C' = C' = C m n n... Zah e Feinien m... Zah e Äquipotentiainien (inc. ektoenobefächen) b/ = e vie Seiten e Kästchen müssen einbeschiebene Keise beühen. (Git so nu fü zweiimensionae Fee!) TiT / VL 6 5 TiT / VL 6 6 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Ranfe eines Pattenkonensatos TiT / VL 6 7 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Ranfe eines Pattenkonensatos TiT / VL 6 8

35 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Ranfe eines Pattenkonensatos bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Ranfe eines Pattenkonensatos ) mittung e Kapazität es Ranfees n = 7 m = 5 n... Zah e Feinien m... Zah e Äquipotentiainien (inc. ektoenobefächen) C n 7 s pf 8,854 5,5 m 4 Vm m TiT / VL 6 9 TiT / VL 6 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Kapazität eines Büneeites bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Doppeeitung a) exakte Beechnung n... Zah e Feinien m... Zah e Äquipotentiainien (inc. ektoenobefächen) Fü ieses Beispie: C n 8, m 6 Vm m 4 s pf Duch usmessen (bitte nachmessen!): Vehätnis / = 3,3 TiT / VL 6 TiT / VL 6 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Doppeeitung Beziehung fü C' wue beeits hegeeitet: C n n3, 3 3,48 8,854 pf m TiT / VL 6 3 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Doppeeitung b) nach Kästchenmethoe Duch uszähen (bitte nachzähen!): Zah e Feinien: n = 6 Zah e Äquipotentiafächen (inc. ektoen): m = 7 Übepüfung: hanet es sich um "Quaate"? TiT / VL 6 4 ja!

36 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Beispie: Doppeeitung C n 6 m 7 pf 8,854 m Dasteung e Fevehätnisse häufig mittes "Steukapazitäten" TiT / VL 6 5 TiT / VL 6 6 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Jee eektische Leite weist "Steukapazitäten" (auch: "paasitäe Kapazitäten") gegenübe benachbaten eitenen Gegenstänen auf. Dasteung e Fevehätnisse häufig mittes "Steukapazitäten" TiT / VL 6 7 TiT / VL 6 8 bschätzung e Kapazität eine nonung aus em Febi Fü viee Pobemsteungen ist e infuss e Steukapazitäten auf as Vehaten e nonung venachässigba. Gunsätzich sin ie uswikungen umso ehe zu beücksichtigen, je göße ie geometischen bmessungen e nonung sin; je keine ie bstäne sin; je höhe ie aniegene Spannung ist; je höhe ie Fequenz ist. uswikungen können sein (u.a.): "Übespechen" (z.b. bei Signaeitungen); Potentiaveschiebungen (Betiebsmitte e eektischen negietechnik) inkoppungen, gegenseitige Beeinfussung (Stichwot "eektomagnetische Vetägichkeit" (MV)" bzw. "eectomagnetic compatibiity" (MC) TiT / VL 6 9 MV: Koppungsaten ektische Koppung (Pinzip) ektische bzw. kapazitive Koppung (capacitive couping) Titt auf zwischen zwei Stomkeisen, een Leite sich auf veschieenen Potentiaen befinen a) Femoe: Dasteung übe as eektoquasistatische Fe b) Netzwekmoe: Dasteung übe Steukapazitäten TiT / VL 6 3

37 negie im eektischen Fe negie im eektischen Fe ufaung eines ungeaenen Konensatos Fü ie em Konensato abei zugefühte negie git: We u()() t i t t u(t) i(t) De We V D Die negie ist nicht auf en Patten gespeichet, sonen im Voumen! Das eektische Fe ist ein evesibe negiespeiche. Die negie po Voumen (ie negieichte) betägt: u(t) i(t) setzen von i(t) uch Laungszuwachs Q: Qe We uq Pattenkonensato mit Pattenabstan un Fäche u = un Q = D : e we D V Fü en (im gemeinen zuteffenen) Fa = const. wi W De e e e e Q D D W uq D D e e D D D D we D D e = V ist as vom Fe uchsetzte Voumen: De We V D Veagemeineung: D we D 3 unteschieiche usücke fü ie negieichte TiT / VL 7 TiT / VL 7 negie im eektischen Fe negie im eektischen Fe D we D Git nicht nu fü as homogene Fe, fü as ie Beziehungen hegeeitet wuen, sonen auch fü beiebige inhomogene Fee, a man sich iese aus vieen in Reihe un paaegeschateten homogenen Pattenkonensatoen zusammengesetzt vosteen kann. Diese Vosteung zeigt auch, ass ie negie im Fe gespeichet ist. Fü ie in einem Konensato e Kapazität C = const. gespeichete negie ässt sich auch scheiben: e Q We uq Cu C uch hie wiee 3 mögiche veschieene Beziehungen fü ie im Konensato gespeichete negie (übe en Zusammenhang Q = C): We C Q Q C u(t) i(t) TiT / VL 7 3 TiT / VL 7 4 negie im eektischen Fe Q Zahenbeispie C We C Q in Pattenkonensato mit e Pattenfäche =, m, em Pattenabstan =,5 mm un Luft as Dieektikum wi kuzfistig mit eine Spannungsquee vebunen un auch auf ie Spannung = 3 V aufgeaen. Nach em ntfenen e Spannungsquee wi eine = mm stake soiestoffpatte mit e geichen Fäche un e eativen Dieektizitätszah = 7 in en Pattenaum eingebacht. m wechen Betag W änet sich auch ie im Konensato gespeichete negie? TiT / VL 7 5 negie im eektischen Fe Q Zahenbeispie C We C Q TiT / VL 7 6

38 negieveust bei Paaeschaten zweie Konnesatoen negieveust bei Paaeschaten zweie Konnesatoen (s. auch [C], Bsp. 3.) Zahenbeispie (s. auch [C], Bsp. 3.) Zahenbeispie Zwei Konensatoen C un C tagen zunächst ie Laungen Q un Q. nschießen ween sie paae geschatet. Wie ist as Vehätnis e gespeicheten negie nach em Paaeschaten zu e vo em Paaeschaten? Zahenbeispie: C = nf, = V, Q = μc Q C Q C Vo em Paaeschaten: Nach em Paaeschaten: Q Q W W Q Q C C Q Q C C W C C Q Q... W Q Q C C Q Q C C C C Q C Q C (Laung beibt ehaten!) C = nf, = V, Q = μc Q Q ( ) 4 () Q Q C C W W C C Die negie hat um % abgenommen (Leitungsveuste)! Bei maevogängen zwischen Konensatoen beibt zwa ie Laung ehaten, nicht jeoch ie negie!,9 TiT / VL 7 8 TiT / VL 7 9 Käfte im eektostatischen Fe Beechung e Kaft, ie auf ie ektoen eines Konensatos wikt Dazu eine Betachtung e negiebianz nach em Pinzip e vitueen Veschiebung Fa a): Q = const. De Konensato ist nicht mit eine Spannungsquee vebunen Q = const. Die inke Konensatopatte wee um ein Stück x veschoben (eibungsfei un so angsam, ass ie kinetische negie e Patte abei venachässigt ween kann). negie titt as eektische Feenegie We auf (im Konensato gespeichet) un as mechanische negie Wm (potentiee negie es Gewichts G). Käfte im eektostatischen Fe Die Gesamtenegie es Systems änet sich abei nicht: W ( W W ) W W ges e m e m Dain ist Wm = F x x F x W x ( Q) e Die aufzuwenene Kaft entspicht e bnahme e im eektischen Fe gespeicheten negie bei Vegößeung e Kapazität. Q (Beeits hegeeitete Zusammenhang We ) C TiT / VL 7 TiT / VL 7 Käfte im eektostatischen Fe Beechung e Kaft, ie auf ie ektoen eines Konensatos wikt Dazu eine Betachtung e negiebianz nach em Pinzip e vitueen Veschiebung Fa b): = const. De Konensato ist mit eine Spannungsquee (z.b. Batteie) vebunen = const. Die inke Konensatopatte wee um ein Stück x veschoben (eibungsfei un so angsam, ass ie kinetische negie e Patte abei venachässigt ween kann). negie titt as eektische Feenegie We auf (im Konensato gespeichet), as mechanische negie Wm (potentiee negie es Gewichts G) sowie as in e Batteie gespeichete eektische negie WB. TiT / VL 7 Käfte im eektostatischen Fe Wieeum änet sich abei ie Gesamtenegie es Systems nicht: W ( W W W ) W W W ges e m B e m B Wm Fx x Zunahme We C C Zunahme, a C wächst Die Batteie gibt negie ab, a nach Q = C e Konensato mit wachsenem C weite aufgeaen wi: W ( C ) C B it Q CFxC x Fx x C F x W x ( ) e TiT / VL 7 3 Die aufzuwenene Kaft entspicht em Zuwachs e im eektischen Fe gespeicheten negie bei Vegößeung e Kapazität. (Beeits hegeeitete Zusammenhang We C )

39 Käfte im eektostatischen Fe Käfte im eektostatischen Fe Die Heeitung e Kaftbeziehungen geten bis hiehe fü beiebige Konensatoen, a an keine Stee nnahmen bzg. e ektoenfom getoffen wuen. F x Q Jetzt: Heeitung e Kaft auf ie Patten eines Pattenkonensatos Cx ( ) W F x e x ( ) ( ) Q Q Q x C ( Q) We Q ( x) Q x x fü Q = const. fü Q = const. mit Q = D wi aaus: Q Wiespuch zu? DQ D F Q Q x F F Q Q (Definition e eektischen Festäke) Git fü Punktaungen, ie einem Femfe ausgesetzt sin! Q Q F Keine bhängigkeit vom Weg! Mit iesem nsatz ässt sich ie Kaft auf ie Patten eines Pattenkonensatos auch beechnen: TiT / VL 7 4 TiT / VL 7 5 Käfte im eektostatischen Fe Käfte im eektostatischen Fe F Q ( f ) Femfe e inken Patte aus Gauß'schem Satz: ( ) D Q D f ( ) f Q = Kaft auf as Fächeneement F Q ( f ) Q Q = uch as Femfe (f) ausgeübte Kaft auf as Fächeneement ( f ) ( f ), Q Cx ( ) x ( ) W C e ( x) F x u ( ) We x x ( x) ( x) v nwenung e Quotientenege: (u/v)' = (u'v uv')/v mit u' = un v' = Kaft von Position e inken Patte abhängig; es inteessiet e Fa x = : fü = const. fü = const. F Q Q Q = Kaft auf ie gesamte Fäche F x fü = const. Stimmt mit e auf Foie 4 hegeeiteten Beziehung übeein! TiT / VL 7 6 TiT / VL 7 7 Käfte im eektostatischen Fe F x mit F F x x mit TiT / VL 7 8 D D x D F D D mit D D D Fx Käfte im eektostatischen Fe F x D D Fx Kaftichte = Kaft po Fäche: D D TiT / VL 7 9 Vegeich mit e beeits hegeeiteten negieichte: D we D Die Kaftichte stimmt mit e negieichte übeein! Heeitung zwa fü Pattenkonensato, jeoch agemein gütig, a as Fe as Reihen un Paaeschatung von Pattenkonensatoen asteba

40 Käfte im eektostatischen Fe nwenung e Kaftbeziehung fü Q = const. auf Linienaungen: Käfte im eektostatischen Fe Paktische nwenung: Lackieanage Fage: weche Kaft üben seh ange Linienaungen,, ie en bstan voneinane haben, aufeinane aus? ( f F ) ( ) mit ( ) ( f ) F Kaft po Länge: F Quee: Phoenix Contact Mäz/pi 3 TiT / VL 7 TiT / VL 7 Käfte im eektostatischen Fe Paktische nwenung: Lackieanage Geschwinigkeit: vt () at (a... Bescheunigung) zuückgeegte Weg: s() t v() t t att t Nach Duchaufen e Stecke s(t) = git fü v: a v at a a a Q F Käfte im eektostatischen Fe Paktische nwenung: benkung eines ektons im eektischen Fe Beispie aus: Manfe Miche infühung in ie agemeine ektotechnik Ban Wate e Guyte, Bein/New Yok, 975 SBN F maq a Q Q v m m Wkin mv Q Q m Die kinetische negie es geaenen Teichens nach Duchaufen e Stecke ist iekt popotiona seine Laung un e aniegenen Spannung. in ekton tete bei mit e Geschwinigkeit vz in as Fe eines Pattenkonensatos ein. Was fü eine Bahnkuve bescheibt as ekton, un wechen Weg hat es nach Duchaufen e Stecke B in yrichtung zuückgeegt? = V vz = 6 6 m/s Pattenabstan y = 5 mm Stecke B = Pattenänge z = 5 mm TiT / VL 7 TiT / VL 8 Käfte im eektostatischen Fe Paktische nwenung: benkung eines ektons im eektischen Fe TiT / VL 8 Käfte im eektostatischen Fe Paktische nwenung: benkung eines ektons im eektischen Fe Lösung: Das ekton bescheibt eine Paabebahn. Nach Duchaufen e Stecke B ist es um sy (B) =, mm abgeenkt woen. Die benkung ist e Spannung iekt popotiona. TiT / VL 8 4

41 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Dieektikum,, D n, D n Dieektikum, P n, D t, D t n, D n P Gauß'sche Satz bei Laungsfeiheit e Genzfächen: P n t, D t P t, D t P3 P4, D D Q t, D t P3 P4 Dieektikum, n, D n, D Dieektikum, n, D n intetene geich austetene eektische Veschiebungsichte D D D Q n n Dn = D n Dn = Dn TiT / VL 8 5 TiT / VL 8 6 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Dieektikum, P n, D t, D t t, D t n, D n P Wibefeiheit es eektostatischen Fees: L s n geschichteten Dieektika gehen ie Tangentiakomponente e eektischen Festäke P3 P4, D un ie Dieektikum, n, D n Nomakomponente e eektischen Veschiebungsichte ntegation e eektischen Festäke ängs es Weges P P P 3 P 4 P s ts ts L kontinuieich von einem Dieektikum in as anee übe. t = t t = t TiT / VL 8 7 TiT / VL 8 8 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Definition auch chaakteisiet, ass un D nu Nomakomponenten aufweisen Dieektikum, Dieektikum, > TiT / VL 8 9 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Dieektikum, Dieektikum, > Nomakomponente e eektischen Veschiebungsichte unveänet: D = Dn = = D = Dn = TiT / VL 8 D D

42 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Die Festäkebetäge vehaten sich umgekeht zueinane wie ie eativen Dieektizitätszahen. Dieektikum, Dieektikum, > Das Dieektikum mit e keineen eativen Dieektizitätszah wi mit e höheen Festäke beanspucht. "Feveängung" in as soiemeium mit e keineen eativen Dieektizitätszah. TiT / VL 8 TiT / VL 8 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Luft mit = Dieektikum, Luft mit = Dieektikum, Siikon mit =,5 Dieektikum, > Siikon mit =,5 Dieektikum, > Fa a): Geiche Schichticken: = = / 43 Fakto,5,,4,4, Fa b): nnahme: un,5,4 Fakto,5 be: Die Siikonschicht wi mit e mitteen Festäke beanspucht, ie Luft mit eine,5 ma höheen Festäke! TiT / VL 8 3 TiT / VL 8 4 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Que geschichtetes Dieektikum Fü optimae usnutzung eines Dieektikums: nge Luftspate sin unbeingt zu vemeien! TiT / VL 8 5 >>, Luft >> mitte Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Längs geschichtetes Dieektikum Definition auch chaakteisiet, ass un D nu Tangentiakomponenten aufweisen Dieektikum, Dieektikum, TiT / VL 8 6

43 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Längs geschichtetes Dieektikum Längs geschichtetes Dieektikum Dieektikum, Dieektikum, Dieektikum, Dieektikum, Tangentiakomponente e eektischen Festäke unveänet: D D t t D D Die eektische Festäke beieseits e Genzschicht ist konstant, ie eektische Veschiebungsichte macht einen Spung. TiT / VL 8 7 TiT / VL 8 8 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Schäg geschichtetes Dieektikum Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Schäg geschichtetes Dieektikum Dieektikum,, D n, D n Tangentiakomponente e eektischen Festäke unveänet: Dieektikum,, D n, D n P n t, D t P t = t Nomakomponente e eektischen Veschiebungsichte unveänet: P n t, D t P3 P4 t, D t P t, D t P3 P4, D Dn = n = D n = n, D n, D n Dieektikum, n, D n Dieektikum, Division e beien Stetigkeitsbeingungen: Definition auch chaakteisiet, ass un D ie Genzfächen schäg schneien Die Feinien ween gebochen! Die Feinien ween gebochen! t t n n tan tan tan tan Bechungsgesetz TiT / VL 8 9 TiT / VL 8 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Schäg geschichtetes Dieektikum TiT / VL 8 Bechungsgesetz Feinien (, D ) ween beim Übegang in ein Dieektikum mit gößee eative Dieektizitätszah von e Nomaen weg, aso zu Genzfäche hin gebochen. Äquipotentiainien ( = const.) ween beim Übegang in ein Dieektikum mit gößee eative Dieektizitätszah zu Nomaen hin, aso von e Genzfäche weg gebochen. tan tan Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Bechungsgesetz Dieektikum, TiT / VL 8 = const. Dieektikum, 3 3 = const. tan tan

44 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Bechungsgesetz s muss imme geten: D D Bechungsgesetz 9 D 5, , 9 8 = = 3 3 D D 36, 3 745, TiT / VL 8 3 TiT / VL 8 4 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Bechungsgesetz Rechenbeispie ([C], Bsp. 3.3) Bechungsgesetz Rechenbeispie ([C], Bsp. 3.3) Fü obige nonung seien bekannt: D,,,, Gesucht sin D un. TiT / VL 8 5 TiT / VL 8 6 Beingungen an Genzfächen (geschichtete Dieektika) Bechungsgesetz Rechenbeispie ([C], Bsp. 3.3) TiT / VL 8 7 Konensatoschatungen ufaungsvogänge TiT / VL 8 8 ([C], Bsp. 3.4) Gegeben: C = μf C3 = 3 μf C4 = 4 μf C5 = 5 μf q = V q6 = 6 V Gesucht:, 3, 4, 5 nnahmen: Schate S un S 6 zunächst offen e Konensatoen ungeaen Dann: Schießen von S un S 6

45 Konensatoschatungen ufaungsvogänge Schießen beie Schate bei t = n aen Zweigen fießen Stöme, ie zu ufaung ae Konensatoen nach t fühen. Nach t sin ae Stöme wiee abgekungen. Nach t iegen auf en Konensatoen C, C 3, C 4 un C 5 ie Laungen Q, Q 3, Q 4 un Q 5. Die sich an en Konensatoen einsteenen Spannungen sin Q Q C C3 C4 C5 Q Q Konensatoschatungen ufaungsvogänge Zu jeem Zeitpunkt t müssen ie Kichhoff'schen Geichungen efüt sein. Zu jeem Zeitpunkt t Konensatoaung t Cu it Beispie: fü Knoten i6 ii4 it it it 6 4 git fü ie Q6 QQ4 Q, Q 4, Q 6 sin ie Laungen, ie bis zum bkingen e Stöme (bei t ) uch ie beteffenen Zweige tanspotiet wuen. TiT / VL 8 9 TiT / VL 8 3 Konensatoschatungen ufaungsvogänge Wieehoung: Knotenanayse Q6 QQ4 mit Q C un Q C : Q C C mit 4 q : Q C C q 6 4 Q C C C q Geichung fü en Knoten nach en Regen e Knotenanayse, wenn man statt e Leitwete Kapazitäten einsetzt un statt e Stöme een ntega übe ie Zeit, ie Laungen. Knoten Knoten B Knoten C TiT / VL 8 3 TiT / VL 8 3 Konensatoschatungen ufaungsvogänge Knotenanayse Bezugsknoten: B D C C 4 C4 q C4 C4 C 5 C5 a) gesucht: Spannung 3 C5 C3 C 5 Q6 Q Q6 Q C C C C C C 6 4 q 4 q q 6 nach bschuss e ufaung ([C], Bsp. 3.4) C C C C C C C C 4 q 4 q 5 q C C C C C C C C q 4 5 q6 3 5 TiT / VL 8 33 Konensatoschatungen ufaungsvogänge Knotenanayse C C C C q 4 5 q6 3 5 C C C C mit C = μf C3 = 3 μf C4 = 4 μf C5 = 5 μf q = V q6 = 6 V egibt sich: = 3 V Fü ie Spannungen 3, 4 un 5 git: 4 V q TiT / VL q6 4 5 V 3 q 5 3 V

46 Konensatoschatungen ufaungsvogänge ufaung von Konensatoen an einem Spannungsteie ([C], Bsp. 3.5) Konensatoschatungen ufaungsvogänge ufaung von Konensatoen an einem Spannungsteie ([C], Bsp. 3.5) Dei Konensatoen sin an einen Spannungsteie angeschossen. Wie goß sin ie Spannungen, 4 un 5? TiT / VL 9 TiT / VL 9 Konensatoschatungen ufaungsvogänge ufaung von Konensatoen an einem Spannungsteie ([C], Bsp. 3.5) Konensatoschatungen ufaungsvogänge Konensatobückenschatung ([C], Bsp. 3.6) ine Geichspannungsquee ät 5 Konensatoen auf. Weche Spannungen 3 un 5 steen sich ein? TiT / VL 9 3 TiT / VL 9 4 Konensatoschatungen ufaungsvogänge Konensatobückenschatung ([C], Bsp. 3.6) TiT / VL 9 5 Konensatoschatungen maevogänge Konensatoumaung ([C], Bsp. 3.7) De Schate S befine sich zunächst in Steung ie Konensatoen C4, C, C 5 ween aufgeaen. nschießen wee e Schate in ie Steung umgeegt. Weche Spannungen 4, B, 5 steen sich nach bschuss e maung ein? TiT / VL 9 6

47 Konensatoschatungen maevogänge Konensatoschatungen maevogänge Konensatoumaung ([C], Bsp. 3.7) De Schate S befine sich zunächst in Steung ie Konensatoen C4, C, C 5 ween aufgeaen. Konensatoumaung ([C], Bsp. 3.7) nschießen wee e Schate in ie Steung umgeegt. Knotenanayse (Bezugspunkt: ) Fü Knoten B egibt sich: B D B C 3C C 3Cq C 3C C 3C B D q n jeem e Konensatoen iegt nach bschuss e ufaung eine Spannung von 6 V. Nach em gewähten Zähpfeisystem egibt sich somit: 4 = 6 V; B = 5 = 6 V Dem Knoten B ist abei Q = 3Cq zugefossen. 3 3 B q D B q 3 D TiT / VL 9 7 TiT / VL 9 8 Konensatoschatungen maevogänge Konensatoumaung ([C], Bsp. 3.7) n Spannungsteie (R; 4R) iegt Teie = 5 q /6 Konensatoschatungen maevogänge Konensatoumaung ([C], Bsp. 3.7) Vohe... Nachhe... R 5 Teie q 5R Teie q D 4R D Teie q 5R Te ie q 4 B q Dq q q q q q 5 V 3 6 (s. voige Foie) 4 B V 5 V = 4 V 5 5 V 4 V = 9 V B D C4 hat eine Laung von V C an C 5 abgegeben. C hat eine Laung von V C an C 5 abgegeben. Laung von C5 hat um 3V C zugenommen, seine Spannung wi auch > q! Laung von C 5 hat um 3V C zugenommen, seine Spannung wi auch > q! TiT / VL 9 9 TiT / VL 9 Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Wie goß sin anschießen 3b, 5b un 7b? Wievie negie Wq Weche negie WCa TiT / VL 9 ) Beie Schate S un S 4 seien zunächst offen un ie Konensatoen ungeaen. ) S musste ie Quee insgesamt abgeben? wi un beibt so ange geschossen, bis C3, C 5 un C 7 aufgeaen sin. 3) nschießen wi S geöffnet un S4 geschossen Laungsausgeich! nehmen ie Konensatoen in Schitt auf? Weche negie WCb ist zum Schuss in en Konensatoen gespeichet? Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) TiT / VL 9 Schitt ) S geschossen

48 Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Schitt 3) S geöffnet, S 4 geschossen Schitt 3) S geöffnet, S 4 geschossen Knotenanayse (Bezugsknoten: B) Knotenanayse (Bezugsknoten: B) TiT / VL 9 3 TiT / VL 9 4 Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Wievie negie Wq musste ie Quee insgesamt abgeben? Weche negie WCa nehmen ie Konensatoen in Schitt auf? W,5 C q q W,5 W! Ca,75 C q q!! TiT / VL 9 5 TiT / VL 9 6 Konensatoschatungen maevogänge Laungsausgeich zwischen 4 Konensatoen ([C], Bsp. 3.8) Weche negie WCb ist zum Schuss in en Konensatoen gespeichet? W,9 W,45 W!!! Cb Ca q TiT / VL 9 7 negieveust bei Konensatoumaung C C nnahmen: C = C = C = μf Schate zunächst geöffnet, C auf = V aufgeaen Dann wee e Schate geschossen. Fage: Wie goß ist ie gespeichete negie vohe un nachhe? "GT _9 negieveust.pf" un "negie_quovais_366.pf" TiT / VL 9 8

49 negieveust bei Konensatoumaung Kapazitive Spannungsteie C C u C C u u Z jc C C u Z Z j C j C C C C C C C u C u C C TiT / VL 9 9 TiT / VL 9 ufaung eines Konensatos ufaung eines Konensatos Konensato C ungeaen ur q C q RC t ur negen eine Spannung zum Zeitpunkt t Konensato wi aufgeaen Fü ie Laungsäneung git: ufsteen e Maschengeichung: q it i q t i R C uc Sotieen nach en Vaiaben q un t: q C q RC t ntegation auf beien Seiten e Geichung: i R C uc u u R C q ir C q t q R C q t C q RC nc q t RC q q R C t nwenen e xponentiafunktion auf beien Seiten: t t t RC RC RC C q e e e Be q C q RC Diffeentiageichung. Onung fü ie ufaung t qt () CBe t RC TiT / VL 9 TiT / VL 9 ufaung eines Konensatos qt () CBe nfangsbeingung: q(t = ) = C Be B C t RC t RC qt () Ce qt () ut () C t t RC u() t e e mit = RC... Zeitkonstante; s TiT / VL 9 3,9,8,7,6,5,4,3,, i ur R C uc t/tau Das stationäe eektische Stömungsfe (eektisches Fe im Leite) TiT / VL u/

50 Stationäe eektische Stömungsfee Die bishe betachteten eektostatischen Fee sin steng genommen eine theoetische Fiktion, ie voaussetzt, ass ein ieaes Dieektikum mit eine Leitfähigkeit = voiegt, in em as von unbewegichen Laungen ezeugte eektische Queenfe keineei Leitungsstom (J = ) bzw. Laungs un negietanspot veusacht. Fü angsam veäneiche Fee in Dieektika, een Leitfähigkeit so geing ist, ass ie zeitiche Äneung e eektischen Veschiebungsichte goß ist gegenübe em können jeoch ie eektostatischen Fees mit auseichene Genauigkeit angewenet ween eektoquasistatische Fee (fü Fequenzen von wenigen Hz bis in en khzbeeich). Fe un Potentiaveteiungen egeben sich auf Gun e Dieektizitätszahen. Leitungsstom, fü ie aso git D J t t Gesetzmäßigkeiten es ektische Fee in Leiten un agemein eine Geichfee agegen sin imme stationäe Stömungsfee, in enen sich Fe un Potentiaveteiungen auf Gun e Leitfähigkeiten egeben. Stationäe eektische Stömungsfee Stationäe Stömungen wuen auch in GT voausgesetzt: Stom uch Leitungen, een Duchmesse konstant un seh kein gegenübe e Länge ist. Das Stömungsfe im Leite wue as homogen angenommen, ie Veteiung übe en Leitequeschnitt inteessiete im übigen auch nicht. Leite Stom Die in GT hegeeiteten Gungesetze Ohmsches Gesetz: = R bzw. =G. Kichhoffsches Gesetz: in einem Knoten. Kichhoffsches Gesetz: in eine Masche steen Speziafäe fü as homogene stationäe Stömungsfe a. Jetzt: Veagemeineung... TiT / VL TiT / VL 3 Zusammenhang zwischen Stom un Stomichte Zusammenhang zwischen Stom un Stomichte Stom Fäche Fü en Fa Stomichte: J Stom: J Winke Fü en Fa Stom Stom: J Jcos n Jt Jn J Fäche Jn cos J J Stomichte Stom: Fächenvekto gemein in vektoiee Scheibweise: J J Fü eine beiebige, gekümmte Fäche git: n J k k J TiT / VL 4 TiT / VL 5. Kichhoffsche Satz Stomknoten, umgeben von eine Hüfäche s git: 3 = n J mit wi aaus: n J J J Duch en Rest e Hüfäche titt kein Stom: J Re st Damit fü ie gesamte Hüfäche : J TiT / VL 6. Kichhoffsche Satz J TiT / VL 7 Das Fächeneement auf e Hüfäche wi nach außen positiv gezäht. Stömungsinien, ie aus em von e Hüfäche umschossenen Voumen austeten, fühen zu positiven Stombeitägen. Stömungsinien, ie in as von e Hüfäche umschossene Voumen einteten, fühen zu negativen Stombeitägen. Die Summe ae Stombeitäge ist Nu. Das stationäe Stömungsfe ist queenfei, eektische Stömungsinien sin im stationäen Fa geschossen.

51 Ohmsches Gesetz. Kichhoffsche Satz, J m homogenen Fa: R R G G Spannungsfa auf em Weg s : cos n s cos s cos, s s Fü vostänigen mauf L git: bzw. J J Veagemeineung: J J Das Febi e Stomichte entspicht em e eektischen Festäke, sofen as Stömungsgebiet isotop un sein spezifische Wiestan/ seine Leitfähigkeit konstant ist. s Fü s : L s TiT / VL 8 TiT / VL 9 Zusammensteung e Gesetzmäßigkeiten Leistungsichte im eektischen Stömungsfe usgangsgeichungen G ektisches Stömungsfe J L s J ektostatisches/ eektoquasistatisches Fe D Q L s D Die in e ektostatik/ektoquasistatik einsetzbaen Lösungsmethoen können auch zu Beechnung eektische Stömungsfee angewenet ween. Leistung im homogenen Fe: P = R m agemeinen Fa: P J Division beie Seiten uch V = : P J p V p J J p... Leistungsichte (Leistung po Voumen) (wegen J = ) TiT / VL TiT / VL Leistungsichte im eektischen Stömungsfe Zahenbeispie: J ine koaxiae Zyineanonung ist zwischen nnen un ußeneektoe mit eine Füssigkeit e Leitfähigkeit = μs/cm gefüt. Die Raien e ektoen betagen = 5 mm un = 5 mm. Die Gesamtänge e nonung betägt = mm. Duch ie Füssigkeit fießt ein Geichstom von = m. Wie hoch sin ie maximae un ie minimae Leistungsichte? Wie hoch ist ie umgesetzte Leistung? TiT / VL Leistungsichte im eektischen Stömungsfe TiT / VL 3

52 Leistungsichte im eektischen Stömungsfe Reaxationszeitkonstante C R ntaung es vohe auf ie Spannung aufgeaenen Konensatos nach eine efunktion: u e t =... Zeitkonstante,,3,4,5,6,7,8,9 RC, t/tau TiT / VL 4 TiT / VL 5 u/ RCSchatung aus isketen Baueementen Reaxationszeitkonstante Das Geiche git auch im eektischen Fe: aufgeaene Kapazitäten entaen sich, fas ist. Q Q D C, J, J G Q R e Reaxationszeitkonstante R e RC Damit: e e t e u s Vm s m s S Vm m V Reaxationszeitkonstante Mit Hife e Reaxationszeitkonstanten kann entschieen ween, ob ein angsam veäneiches Fe as eekto(quasi)statisches oe as Stömungsfe zu betachten ist. Wenn ie fü ie Feäneungen maßgebichen Zeiten wesentich keine sin as e, kann von einem eekto(quasi)statischen Fe ausgegangen ween: T e T... Peioenaue peioische Gößen 4 Ta e Ta... nstiegszeit tansiente Gößen Fee agegen, een Äneungszeiten seh angsam sin im Vegeich zu, können/müssen as Stömungsfee betachtet ween. e 4 T e a e T TiT / VL 6 TiT / VL 7 Reaxationszeitkonstante Zahenbeispie: in Konensatoieektikum bestehe aus eine Schichtung zweie veschieene Dieektika mit fogenen Daten: Dieektikum : =,, = 6 S/m, Dieektikum : = 4,4, = 4 S/m, = μm = μm Jees Dieektikum sei in 3 Lagen vohanen. Die aniegene Spannung sei eine 5HzWechsespannung. mittung e Reaxationszeitkonstanten: e e 8,854, s V m s 54 h Vm 8,854 4,4 s V m s h Vm Vegeich mit Peioenaue: T s 5 ms 4 4f TiT / VL 8,,,,,, Betachtung as eekto(quasi) statisches Fe Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe m agemeinen Fa git (bei ötich konstante Leitfähigkeit): s s J b b a a R oe auch (bei Kenntnis e Potentiafunktion): R Q (Vegeich mit Beechnung e Kapazität (GT _5): C ) TiT / VL 9

53 Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beispie : Beechnung es Wiestanes eine koaxiaen Zyineanonung J J J J Beispie : Beechnung es Wiestanes e fogenen Pattenanonung: n eine Patte e Dicke un e Leitfähigkeit sin Kontaktbozen e Duchmesse im bstan a >> eingeschweißt. Wie goß ist e Bahnwiestan J J J s n a >> J J( ) e Patte? JJ J P m ufpunkt P egibt sich e Stom R n Beispie nach [P] J aus e Übeageung: ( P) TiT / VL TiT / VL Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beispie : Beechnung es Wiestanes e fogenen Pattenanonung: x a/ a/ / / P Spezie auf e iekten Vebinungsinie zwischen en Bozen git: Jx ( ) a x a x a x a x Jx ( ) x ( a)/ ( a)/ a n ( a )/ xx x ( a)/ a x a x a R n (wegen << a) J ( P) Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Fü en Speziafa homogene Stömungen git: R G n vieen Fäen ässt sich e Wiestan bzw. e Leitwet eine geometisch kompizieteen nonung aus e Reihen oe Paaeschatung einzene homogene Teiwiestäne oe Teieitwete beechnen. Dazu zeegt man en Gesamtwiestan/Gesamteitwet in eine Viezah von keinen Teiwiestänen/Teieitweten, auf ie ie obigen Geichungen angewenet ween können. De Gesamtwiestan egibt sich schießich as ntega übe ie Teiwiestäne/Teieitwete. TiT / VL TiT / VL Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beispie: ie beeits beechnete koaxiae Zyineanonung (GT _): J e Stomfäen sin geich ang, abe e Stömungsqueschnitt änet sich aufen Beechnung mit Reihenschatung von Teiwiestänen Fü en bauen Zyinemante e Dicke im bstan vom Mittepunkt git: R Zy Reihenschatung ae Teiwiestäne zwischen un ntegation von R von bis : R R n Zy Zy Zy TiT / VL (s. GT _) Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beispie : Stomuchfossene Büge mit echteckigem Queschnitt e Beite b: e Stomfäen sin unteschieich ang, abe e Stömungsqueschnitt ist konstant Beechnung mit Paaeschatung von Teieitweten b Fü en bauen Habzyinemante e Dicke im bstan vom Mittepunkt git: G b Paaeschatung ae Teieitwete zwischen un ntegation von G von bis : b b b G G n TiT / VL 3 b

54 Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Zahenbeispie: a = 6 mm b = 5 mm c = mm = S/m Wie goß ist e Wiestan iese nonung? st ie Kapazität eine nonung beeits bekannt, ässt sich e Wiestan auch mit e fü ie Reaxationszeitkonstanten emitteten Beziehung emitten, wobei an Stee es nichteitenen Dieektikums einfach ein eitfähiges Mateia geiche Geometie angenommen wi: e RC a c b R C Voaussetzung: un sin otsunabhängig, un beie betachteten nonungen weisen ie geichen Feveteiungen auf. TiT / VL 4 TiT / VL 5 Beechnung von Wiestänen im Stömungsfe Beechnung eines Mastees Beispie: ie beeits betachtete koaxiae Zyineanonung (GT _): Fü iese nonung wa fogene Beziehung fü ie Kapazität hegeeitet woen: J D C R n (s. GT _5) C n (s. GT _) n TiT / VL 6 TiT / VL 7 Beechnung eines Mastees Mastee, näheungsweise habkugeig angenommen Vemeiung von Beühungsspannungen (Mast, boen) Vemeiung von Schittspannungen (boen) Beühungsspannung B Schittspannung S TiT / VL 8 Beechnung eines Mastees Zunächst nnahme eine kugefömigen ektoe in mäßig eitenem boen; Stom wi übe isoieten Daht zugefüht. aiasymmetisches Stömungsfe im eich Stömung uch eine Hükuge mit Raius : J J() J()4 Stom in ie Kuge: J ()4 J () () TiT / VL 9 4 J () 4

55 Beechnung eines Mastees Beechnung eines Mastees () J () 4 Potentiafunktion uch unbestimmte ntegation e Festäke ängs eine Feinie (wegen s bzw. ga ): Fü Vokuge: () const. 4 Fü Habkuge veteit sich e Stom auf en haben Raum () () const. 4 4 Vegeich mit Potentiafunktion eine Punktaung (GT _3): Q ( P) const. 4 J, P Fü Habkuge: () const. / / Denkt man sich ie Kuge uch eine isoieene Foie in zwei Habkugen geteit, e jee e Stom / zugefüht wi, so änet sich an e Feveteiung nichts! TiT / VL TiT / VL Beechnung eines Mastees Beechnung eines Mastees () const. Zahenbeispie: = 4 kv m = S/m (feuchte boen) = 4 = m D = m Fagen: a) Weche Stom fießt in en boen, wenn ein Leitesei en Mast beüht? b) Wie goß ist ie Schittspannung in m un in m ntfenung vom Mast (Schittweite 8 cm)? Beühungsspannung: Schittspannung: B ( ) ( ) S ( ) ( 3) 3 D c) Wie goß ist ie Beühungsspannung? ) Wie goß ist e ungswiestan? e) Wie goß ist ie Kapazität es es? TiT / VL TiT / VL 3 Beechnung eines Mastees a) Weche Stom fießt in en boen, wenn ein Leitesei en Mast beüht? = 74 = 74 TiT / VL 4 Beechnung eines Mastees b) Wie goß ist ie Schittspannung in m un in m ntfenung vom Mast (Schittweite 8 cm)? in m ntfenung: S in m ntfenung: S (Foeung: S < 6 V) = 5 V zu hoch! = 53 V in Onung Gegenmaßnahme: z.b. e tiefe eingaben: S Hinweis: wegen ehöht sich ie Schittspannung mit abnehmene Leitfähigkeit (.h. bei ustocknung es Boens)! isoiete Leitung TiT / VL 5

56 Beechnung eines Mastees Beechnung eines Mastees c) Wie goß ist ie Beühungsspannung? ) Wie goß ist e ungswiestan? = m D = m R 8 = V, a ein Mensch im bstan eine mänge vom Mast imme noch iekt auf em e steht! B e) Wie goß ist ie Kapazität es es? D C = 445 pf C = 445 pf TiT / VL 6 TiT / VL 7 Leitfähigkeitsmessung Beingungen an Genzfächen Zu bschätzung e Leitfähigkeit eines Mateias ween Püfspitzen mit einem Spitzenaius von Beispie aus [P] =, mm in einem bstan L >> voneinane aufgesetzt. s wi ein Wiestan von k gemessen, unabhängig vom bstan L (soange L >> ). Wie goß ist ie Leitfähigkeit? Leite, P n, J t, J t n, J n P ( ) ( ) R R L (s. Beispie Mastee) De gemessene Wiestan von k entspicht R! (R Wiestan eine Püfspitze) Leite, t, J t P3 P4, J n, J n 3, 3 Vm,59 S/m TiT / VL 8 TiT / VL 9 Beingungen an Genzfächen Leite, Leite, P n, J t, J t. Kichhoffsche Satz: J J J nj n Jn = Jn Jn = J n n, J n t, J t P3 P4, J n, J n P Dieektikum, Dieektikum, TiT / VL Zu inneung: eekto(quasi)statisches Fe (GT _8): P n, D t, D t n, D n t, D t P3 P4, D D Q n, D n intetene geich austetene eektische Veschiebungsichte D D nd n Q P Dn = D n Beingungen an Genzfächen Leite, Leite, P ntegation e eektischen Festäke ängs es Weges P P P 3 P 4 P s ts ts L t = t t = t n L, J t, J t s n, J n t, J t P3 P4, J n, J n P Kein nteschie zum eekto(quasi)statischen Fe TiT / VL

57 Beingungen an Genzfächen Beingungen an Genzfächen Que geschichtete Leite n geschichteten Leiten gehen ie Tangentiakomponente e eektischen Festäke Leite, P n, J t, J t n, J n P un ie t, J t P3 P4 Nomakomponente e Stomichte, J n, J n Leite, kontinuieich von einem Leite in en aneen übe. Definition auch chaakteisiet, ass un J nu Nomakomponenten aufweisen TiT / VL TiT / VL 3 Beingungen an Genzfächen Que geschichtete Leite Beingungen an Genzfächen Que geschichtete Leite Leite,, J n, J n Leite,, J n, J n P n t, J t P P t, J t n t, J t P3 P4 P t, J t, J P3 P4, J Leite, n, J n Leite, n, J n J J J J n n Fü ie Festäken in bhängigkeit von e aniegenen Spannung git: vg. eekto(quasi)statisches Fe: (vg. mit eekto (quasi)statischem Fe!) TiT / VL 4 TiT / VL 5 Beingungen an Genzfächen Schäg geschichtete Leite Leite, Leite, Definition auch chaakteisiet, ass un J ie Genzfächen schäg schneien Die Fe un Stömungsinien ween gebochen! Die Fe un Stömungsinien ween gebochen! P n, J t, J t n, J n t, J t P3 P4, J n, J n TiT / VL 6 P Beingungen an Genzfächen Schäg geschichtete Leite Tangentiakomponente e eektischen Festäke unveänet: t = t Nomakomponente e Stomichte unveänet: Jn = n = Jn = n Division e beien Stetigkeitsbeingungen: t t n n tan tan tan tan Leite, Leite, TiT / VL 7 P n, J t, J t n, J n t, J t P3 P4, J n, J n Bechungsgesetz es eektischen Stömungsfees tan (Zum Vegeich: eekto(quasi)statisches Fe: ) tan P

58 Beingungen an Genzfächen Schäg geschichtete Leite tan tan Bechungsgesetz Bechungsgesetz es eektischen Stömungsfees Fe un Stömungsinien (, J ) ween beim Übegang in einen Leite mit gößee Leitfähigkeit von e Nomaen weg, aso zu Genzfäche hin gebochen. Leite, Dieektikum, Äquipotentiainien ( = const.) ween beim Übegang in einen Leite mit gößee Leitfähigkeit zu Nomaen hin, aso von e Genzfäche weg gebochen. Dieektikum Leite, 3 > TiT / VL 8 TiT / VL 9 = const. = const. Beingungen an Genzfächen tan tan J J Beingungen an Genzfächen Beingungen an Genzfächen nnahme: / = = "Seh gute Leite" "Schechte Leite" tan tan ,6,6 3, 6,5 Die Feinien stehen auf einem guten Leite nahezu senkecht. Damit wi ie Obefäche eines guten Leites näheungsweise zu eine Äquipotentiafäche. Wie vehät sich ie Veschiebungsichte im stationäen Stömungsfe? J J n n n n D D n n D D n n Die Nomakomponenten e Veschiebungsichte sin an e Genzfäche nu ann stetig,.h. Dn /D n =, wenn: D D n n Sonst... Die Nomakomponenten e Stomichte sin stetig. Die Nomakomponenten e Festäke sin amit festgeegt. TiT / VL 3 TiT / VL 3 Beingungen an Genzfächen Mateia Mateia usbiung eine Fächenaung: Q TiT / VL 3 s git ann: D D ndn Q D D n n Beingungen an Genzfächen Kugekonensato mit eitenem Dieektikum ([C], Bsp. 4.4) Zwischen zwei vokommen eitenen, konzentischen Kugeschaen befinen sich zwei Meien () un (). Übe isoiete Dähte sin beie Kugeschaen an eine Spannungsquee angeschossen. Gesucht sin e sich einsteene Stom un ie sich ausbiene Fächenaung. TiT / VL 33

59 Beingungen an Genzfächen Kugekonensato mit eitenem Dieektikum ([C], Bsp. 4.4) Beingungen an Genzfächen Kugekonensato mit eitenem Dieektikum ([C], Bsp. 4.4) 4 4 Nu wenn bzw. ist! TiT / VL 34 TiT / VL 35 Konensato: eekto(quasi)statisches vs. Stömungsfe Konensato: eekto(quasi)statisches vs. Stömungsfe Zahenbeispie (Fotsetzung): in Konensatoieektikum bestehe aus eine Schichtung zweie veschieene Dieektika mit fogenen Daten: Dieektikum : =,, = 6 S/m, Dieektikum : = 4,4, = 4 S/m, = μm = μm,,,,,, Zahenbeispie (Fotsetzung): in Konensatoieektikum bestehe aus eine Schichtung zweie veschieene Dieektika mit fogenen Daten: Dieektikum : =,, = 6 S/m, Dieektikum : = 4,4, = 4 S/m, = μm = μm,,,,,, Jees Dieektikum sei in 3 Lagen vohanen. Die aniegene 5HzWechsespannung habe einen ffektivwet von 3 kv. Jees Dieektikum sei in 3 Lagen vohanen. Die aniegene 5HzWechsespannung habe einen ffektivwet von 3 kv. Begünung fü ie nonung: ufbau eines Hochspannungskonensatos Dieektikum = Kunststofffoie Dieektikum = öimpägnietes Papie (zu Vemeiung von Lufteinschüssen zwischen en Lagen) mittung e Reaxationszeitkonstanten (s. GT _): e e 8,854, s V m s 54 h Vm 8,854 4,4 s V m s h Vm Vegeich mit Peioenaue: T s 5 ms 4 4f Betachtung as eekto(quasi) statisches Fe Tit / VL Tit / VL Konensato: eekto(quasi)statisches vs. Stömungsfe Beanspuchung mit Wechsespannung = 3 kv (eekto(quasi)statisches Fe): Fogene Beziehungen beeits agemein hegeeitet (GT _8): V kv 67 67, m mm , V kv , m mm, Tit / VL 3 Zu inneung:,,,,,, Fakto Konensato: eekto(quasi)statisches vs. Stömungsfe Beanspuchung mit Geichspannung = 3 kv (Stömungsfe): Fogene Beziehungen beeits agemein hegeeitet: V kv V kv, m mm Tit / VL 4 m mm Zu inneung:,,,,,, Fakto

60 Konensato: eekto(quasi)statisches vs. Stömungsfe Konensatoen fü Wechsespannung sin nicht unbeingt fü Geichspannungsbeanspuchung geeignet! Stationäe Magnetfee Tit / VL 5 Tit / VL 6 Stationäe Magnetfee Feststeung : Bestimmte isenköpe (Magnete) üben Käfte aufeinane aus. Diese Käfte gehen offenba nicht von eektischen Laungen aus. Stationäe Magnetfee in Stabmagnet besitzt zwei magnetische Poe: einen Nopo un einen Süpo. Die Poe assen sich nicht voneinane tennen! (nteschie zu Laungstennung!) N N S N S N S N S N S N S S N S N N S S N S N S N S ementamagnet: magnetische Dipo; bestehen aus zwei punktfömigen Poen, ie voneinane en bstan ( ) haben. Postäke P naogon zu eektischen Laung Q Magnetisches Dipomoment: m = P Tit / VL 7 Tit / VL 8 Stationäe Magnetfee Bauaten von Pemanentmagneten Stabmagnet Zyinemagnet nach [F] Kenmagnet eines Dehspumessweks viepoige Läufemagnet eines Keinmotos Tit / VL 9 Stationäe Magnetfee Feststeung : Von einem stomuchfossenen (ungeaenen!) Leite gehen Käfte aus. Kaft auf Magnete in e Nähe eines stomuchfossenen Leites mpèe Tit / VL Kaftwikung zwischen zwei stomuchfossenen Leiten F "Geichsinnig paaee Stöme ziehen einane an; gegensinnig paaee Stöme stoßen einane ab; gekeuzte Stöme suchen sich geichsinnig paae zu steen."

61 Stationäe Magnetfee Schussfogeung: Die Kaftwikung geht von bewegten eektischen Laungstägen aus. Jee Stomfuss (Leitungsstom oe im feien Raum bewegte Laungen) bewikt ein magnetisches Fe. Diese Raumzustan kann mit Hife von Feinien anschauich gemacht ween. Stationäe Magnetfee "Rechtsschaubensinn" Zukünftige Dasteung: n ie Zeichenebene hineinfießene Stom: "Keuz" (man "sieht" ie Pfeifee) us e Zeichenebene heausfießene Stom: "Punkt" (man "sieht" ie Pfeispitze) Dichte e Feinien popotiona e Festäke Die magnetischen Feinien um einen angen, geaen, zyinischen stomuchfossenen Leite sin zu Leiteachse konzentische Keise. Die magnetischen Feinien sin in sich geschossen Wibefe! Die magnetischen Feinien sin in sich geschossen Wibefe! Die magnetischen Feinien umschießen en Richtungssinn es Stomes im Rechtsschaubensinn. Tit / VL Tit / VL Stationäe Magnetfee Magnetfebie eines Stabmagneten un eine Spue (Soenoi), uch isenfeispäne sichtba gemacht Stationäe Magnetfee Scheinbae Wiespuch: sache magnetische Fee = bewegte Laungstäge Dauemagnet? Feasteung: [P] Beim Magnetismus e Mateie wi mit e Poaisation eine usichtung von magnetischen Momenten ("ementamagneten") efiniet. Diese Momente setzen sich zusammen aus em Bahnmoment von um ie tomzenten keisenen ektonen un em sogenannten ektonenspin, eine igenehung e ektonen. n einem unmagnetischen Mateia kompensieen sich iese Momente, in einem Dauemagneten nicht. sache es Dauemagnetismus sin aso auch bewegte Laungstäge! [H] Tit / VL 3 Tit / VL 4 Stationäe Magnetfee Fakten zum magnetfe sache: Zikuation es aus füssigem Meta bestehenen kens, e Laungstäge enthät. sache fü ie Zikuation sin Tempeatuunteschiee. Das magnetfe hat sich in e geschichte imme wiee umgepot. n en vegangenen 8 Mio. Jahen efogte eine mpoung etwa ae 5 Jahe (mpozeit 5 Jahe). uch heute wanen ie Magnetpoe. Lage es magnetischen Süpos (Stan 3:) 8,3 N,,8 W, ca. km vom geogafischen Nopo entfent. Waneung zzt. ca. 4 km/a Lage es magnetischen Nopos: 64,67 S, 38, O, ca. 8 km vom geogafischen Süpo entfent. Waneung zzt. ca. 4 km/a ntenationae geomagnetische vemessung: an 46 Stationen wetweit im Minutenabstan. nfo übe: "Space Physics nteactive Data Resouce" (SPDR), Boue, Cooao Tit / VL 5 Kompassnae: N S Kaft zwischen zwei stomuchfossenen Leiten xpeimentee Befun: stomuchfossene Leite üben aufeinane eine Kaft aus. F K Konstante K uch Definition es mpee festgeegt: = = = m = m Das mpee ist ie Stäke eines konstanten eektischen Stomes, e, uch zwei paaee, unenich ange un im Vakuum im bstan von einem Mete voneinane angeonete Leite von venachässigba keinem, keisfömigen Queschnitt fießen, zwischen iesen Leiten je je einem Mete Leiteänge ie Kaft 7 7 N hevoufen wüe. (s. GT _) F = K = 7 N (N = Vs/m) K F 7 Vs µ m µ... Pemeabiität(skonstante) Tit / VL 6

62 Kaft zwischen zwei stomuchfossenen Leiten Kaft zwischen zwei stomuchfossenen Leiten Vegeich mit em Couomb'schen Gesetz: F Q Q F Zahenbeispie: Kuzschussstomkäfte = 5 cm Weche mbuchkaft wikt auf ie =,8 m Stützisoatoen? k = 5 k F = 6 N F = 6 N k F F Q Q Q Q 4 4 Zyinesymmetisches Pobem Kugesymmetisches Pobem Tit / VL 7 Tit / VL 8 Magnetische Fussichte Magnetische Fussichte F Ähnich wie fü ie Definition e eektischen Festäke im eektostatischen Fe: Die Kaftwikung so as eine Fegöße beschieben ween, ie auf en auf eine Länge fießenen Stom einwikt.. Die Kaft sebst ist abe zu Definition nicht geeignet, a abhängig von. Dahe wi ie Kaft auf en auf eine Länge fießenen Stom bezogen: F B B... magnetische Fussichte (magnetische nuktion) Das Fe um en Stom ist zyinesymmetisch. De Fevekto B zäht in e Richtung positiv, in e sich ein (fiktive) feie Nopo bewegen wüe. Diese Richtung entspicht ejenigen, in ie auch e Nopo eine Kompassnae zeigen wüe. Rechtsschaubenege F B F B Duch insetzen: Kaft auf einen stomuchfossenen Leite e Länge, e einem Magnetfe e Fussichte B ausgesetzt ist: (Git so nu, wenn as Magnetfe senkecht auf em Leite steht.) Tit / VL 9 Tit / VL Magnetische Fussichte F B B F F m m m N Vs m Vs B Tit / VL B ist eine fächenbezogene Göße, ahe e Name Fussichte! Vs T m Nikoa Tesa was bon in Coatia (then pat of ustiahungay) on Juy 9, 856, an ie Januay 7, 943. He was the eectica enginee who invente the C (atenating cuent) inuction moto, which mae the univesa tansmission an istibution of eecticity possibe. Tesa began his stuies in physics an mathematics at Gaz Poytechnic, an then took phiosophy at the nivesity of Pague. He woke as an eectica enginee in Buapest, Hungay, an subsequenty in Fance an Gemany. n 888 his iscovey that a magnetic fie cou be mae to otate if two cois at ight anges ae suppie with C cuent 9 out of phase mae possibe the invention of the C inuction moto. The majo avantage of this moto being its bushess opeation, which many at the time beieve impossibe. (aus: TesaTansfomato... Magnetische Fussichte in homogenes Magnetfe besitzt ie magnetische Fussichte T, wenn auf einen senkecht zu en Feinien veaufenen angen ünnen Leite, e en Stom füht, je Mete Leiteänge ie Kaft N ausgeübt wi. Veatete inheit "Gauß" fü ie magnetische Fussichte: 4 G = T =, mt Zahenwete: Magnetisches fe in e Gößenonung, mt Magnetfee in eektischen Maschinen in e Gößenonung T Tit / VL

63 Kaft auf stomuchfossene Leite im Magnetfe Fü beiebige Winke zwischen Stom un Magnetfe egibt sich fogene expeimentee Befun: F Bsin Die Kaftichtung steht abei senkecht auf e von un B aufgespannten Fäche ( ist ein Vekto, essen Betag e Länge entspicht un essen Richtung mit e es Stomes übeeinstimmt). Keuzpoukt: Deht man auf küzestem Weg in Richtung von B, so zeigt as Keuzpoukt B in F B Richtung e Bewegung eine echtsgängigen Schaube. De Betag ist Bsin. chtung!!: B B Kaft auf stomuchfossene Leite im Magnetfe nschauiche Dasteung e Kaftwikung auf stomuchfossenen Leite: Soba ein Stom uch en Leite fießt, baut sich um ihn heum ein Magnetfe auf, ass as Hauptfe vezet, es auf e inken Seite abschwächt un auf e echten Seite vestäkt. Magnetische Feinien vesuchen sich zu veküzen ("Längszug") un mögichst weit voneinane zu entfenen ("Queuck"). uf en stomuchfossenen Leite wi ahe eine Kaft nach inks ausgeübt. [H] Tit / VL 3 Tit / VL 4 Kaft auf stomuchfossene Leite im Magnetfe Weitee Veagemeineung: in beiebig gekümmte Leite befine sich in einem inhomogenen Magnetfe. F sb Gesamtkaft uch ntegation übe en Weg: F s B L Kaft auf einen gekümmten Leite in inhomogenem Magnetfe Kaft auf eektische Stömung im Magnetfe Betachtung eines infinitesima keinen Voumeneements mit Queschnittsfäche un Länge s. n iesem können B un J näheungsweise as konstant angenommen ween. F Bsin JsBsin VJBsin = = V F V JB Kaft auf eektische Stömung in inhomogenem Magnetfe Tit / VL 5 Tit / VL 6 Kaft auf bewegte eektische Laung im Magnetfe ine Laung Q bewege sich mit e Geschwinigkeit v uch ein Magnetfe. Die Laungsbewegung uch en agesteten Queschnitt innehab e Zeit t entspicht em Stom Q t Damit wi Q s s Qv t un F sbsin QvBsin Q F v B Kaft auf punktfömige bewegte Laung in inhomogenem Magnetfe Tit / VL 7 B v Q F Reihenesonanzschatungen Tit / VL 8

64 Reihenesonanzschatungen Tesa's goße Vision... Dahtose negieübetagung aktuee enn je, abe nie eaisiet! Tit / VL 9 Tit / VL 3 Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: Dehspumesswek ([C], Bsp. 5.) Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: Dehspumesswek ([C], Bsp. 5.) ine vom Stom uchfossene Spue aus N quaatischen Leitescheifen, von enen jee ie Fäche = a aufweist, ist in einem annähen homogenen, aiasymmetischen B a/ a/ B Magnetfe e Fussichte B angeonet. Weches Dehmoment M wikt auf ie Spue? Weche Winke stet sich bei nbingen e Spiafeen ein? TiT / VL 3 TiT / VL 3 Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: Dehspumesswek ([C], Bsp. 5.) TiT / VL 3 3 M NB Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: benkung eines ektons im Magnetfe (aus [H]) (Loentzkaft) in ekton uchfiegt mit e Geschwinigkeit v ein homogenes Magnetfe B auf eine Länge. m wechen Winke wi as ekton abgeenkt? TiT / VL 3 4 B = 4 mt = 3 mm v =, c Henik ntoon Loentz, 85398

65 Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: benkung eines ektons im Magnetfe (aus [H]) (Loentzkaft) Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee nwenung: benkung eines ektons im Magnetfe (aus [H]) (Loentzkaft) TiT / VL 3 5 TiT / VL 3 6 Kaftwikungen im Magnetfe Beispiee Kaftwikungen im Magnetfe Haffekt win Hebet Ha nwenung: benkung eines ektons im Magnetfe (aus [H]) (Loentzkaft) b Leitepättchen e Beite b un e Dicke Magnetfe mit Fussichte B senkecht aauf Geichstom e Höhe F v F B uf ie ektonen wikt Kaft nach echts: F Rechte Pattenseite ät sich negativ auf, ie inke Pattenseite positiv. Dauch von inks nach echts wikenes eektisches Fe. Dieses übt ebenfas Kaft auf ektonen aus: evb F e Geichgewichtszustan F = F e = evb = vb = 4,6 mm = 44,8 H Stomichte: J=ven e = = b H = b = vbb mit v = ektonengeschwinigkeit in m/s e = ementaaung in s ne = ektonenichte in /m3 v en b e = Stömungsqueschnitt = b in m TiT / VL 3 7 TiT / VL 3 8 Kaftwikungen im Magnetfe Haffekt F H b v F B B H KB B en e Bei Metaen: ne seh goß K B TiT / VL 3 9 seh nieig Technisch bauchbae HaGeneatoen uch ufampfen ünne, schwach otiete Habeiteschichten (z.b. 5 μm ick) auf ein Tägemateia. Bei nsb (niumntimoni): = = 5 m, B = T H H = b = vbb v en b Mit HaSonen assen sich Betag un Richtung von Magnetfeen vemessen. e H. Haspannung KB Leeaufempfinichkeit Magnetische Festäke Magnetisches Fe ektostatisches Fe F F B magnetische Festäke magnetische egung TiT / VL 3 Q F Q 4 F Q Q 4 infühung eine am seben Ot wikenen, jeoch von en Raumeigenschaften unabhängigen Göße zweckmäßig: H B Q D H 4 eektische Veschiebungsichte B H Voaussetzung: isotopes Meium m

66 Pemeabiitätskonstante es Vakuums m Vakuum ist µ = µ. Kaftwikung zweie stomuchfossene Leite im Vakuum: F K Konstante K uch Definition es mpee festgeegt: K Vs m 7 7 Vs 7 H 4 4 m m Reative Pemeabiitätszah n naogie zum eektostatischen Fe (eative Dieektizitätszah ): µ... eative Pemeabiität(szah) m Gegensatz zu eativen Dieektizitätszah ist ie eative Pemeabiitätszah häufig keine Konstante! Magnetisch inea Magnetisch inea Magnetisch nichtinea Magnetisch nichtinea Diamagnetische Stoffe Paamagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe Das mpee ist ie Stäke eines konstanten eektischen Stomes, e, uch zwei paaee, unenich ange un im Vakuum im bstan von einem Mete voneinane angeonete Leite von venachässigba keinem, keisfömigen Queschnitt fießen, zwischen iesen Leiten je je einem Mete Leiteänge ie Kaft 7 7 N hevoufen wüe. (s. GT _) Veantwotich fü magnetische igenschaften: Magnetfee uch Keisstöme auf Gun e ektonenbewegung un uch en ektonenspin. TiT / VL 3 TiT / VL 3 Reative Pemeabiitätszah Reative Pemeabiitätszah Diamagnetische Stoffe µ< Paamagnetische Stoffe Paamagnetische Stoffe µ> e uch Keisstöme un ektonenspin veusachten Magnetfee heben sich gegenseitig auf. Bei inwikung eines äußeen Magnetfees ween jeoch zusätziche Keisstöme inuziet. Diese wiken em uspüngichen Fe entgegen. Bei geiche magnetische Festäke H egibt sich eine keinee Fussichte B as im Vakuum µ ist geingfügig keine as ins. Die uch Keisstöme un ektonenspin veusachten Magnetfee heben sich nicht gegenseitig auf. Die tome soche Stoffe steen keinste Dauemagnete a (ementamagnete), ie jeoch nomaeweise egeos angeonet sin, so ass sich nach außen keine magnetische Wikung zeigt. Duch ein äußees Magnetfe ween ie ementamagnete ausgeichtet un vestäken as Fe. Bei geiche magnetische Festäke H egibt sich eine gößee Fussichte B as im Vakuum µ ist geingfügig göße as ins. Diamagnetische Wekstoff in einem homogenen Magnetfe [F] Paamagnetische Wekstoff in einem homogenen Magnetfe [F] TiT / VL 3 3 TiT / VL 3 4 Reative Pemeabiitätszah TiT / VL 3 5 Paamagnetisch Diamagnetisch Stoff Wismut Bei Kupfe Wasse Stickstoff Luft Sauestoff uminium Wofam Patin µ,999843,999984,99999,99999,999999,4,,4,67,56 Fü ae iese Stoffe kann veeinfachen mit µ = geechnet ween. Reative Pemeabiitätszah Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe µ >> ; stak nichtinea Die uch Keisstöme un ektonenspin veusachten Magnetfee heben sich nicht gegenseitig auf. Die tome soche Stoffe steen keinste Dauemagnete a, ie in goßen Beziken, en Weiß'schen Beziken, zusammengefasst sin. Die Weiß'schen Bezike haben magnetische Vozugsichtungen. Duch ihe egeose nonung zeigt sich nomaeweise nach außen keine magnetische Wikung. Wi ein äußees Magnetfe angsam von Nu an gesteiget, nimmt as Voumen ejenigen Weiß'schen Bezike zu, ie mit em Magnetfe einen keinen Winke bien. Das Voumen e übigen Bezike nimmt ab Vegößeung e Fussichte. Bei weitee Steigeung e Magnetfestäke kappen ie Magnetisieungsichtungen ganze Bezike schagatig um ehebiche Vegößeung e Fussichte. Schießich geht e Stoff in ie magnetische Sättigung, in e ae Bezike ausgeichtet sin. µ ist wesentich göße as ins un festäkeabhängig. Zu en feomagnetischen Stoffen gehöen isen, Koba, Nicke un bestimmte Metaegieungen. Zahenwete: µ = TiT / VL 3 6

67 Reative Pemeabiitätszah Reative Pemeabiitätszah Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe µ >> ; stak nichtinea Obehab e CuieTempeatu veschwinet e Feomagnetismus estos, e Stoff wi paamagnetisch. Diese igenschaftsäneung ist jeoch evesibe. Beispiee fü CuieTempeatuen: Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe Hysteesescheife Remanenzfussichte Neukuve Sättigung isen: C Nicke: C Kobat: C = 77 C = 358 C = C Koezitivfestäke usnutzung ieses ffektes z.b. beim magnetisch geegeten Lötkoben: Koezitivfestäke L... Lötspitze; H... Heizwickung; M... Dauemagnet; F... Fee; S... Schatkontakt Remanenzfussichte Funktionsweise: : L un M ziehen sich an S geschossen L C Sättigung Hysteesescheife nach [F] : L wi paamagnetisch S öffnet L C TiT / VL 3 7 TiT / VL 3 8 Reative Pemeabiitätszah Reative Pemeabiitätszah Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe Hysteesescheife Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe Magnetisieungskenninie (Kommutieungskuve) Fü weichmagnetische Wekstoffe wi meistens mit e Magnetisieungskenninie (auch: Kommutieungskuve) geabeitet Kuve uch ie Kommutieungspunkte; fast ientisch mit e Neukuve ) Weichmagnetische Wekstoff (ca. HK <, k/m) nwenung: Tansfomatoen, Maschinen ) Hatmagnetische Wekstoff (ca. HK nwenung: Dauemagnete >,5 k/m) Moene Wekstoffe eeichen BR > T bei H K bis zu Weten von B R /µ (aso z.b. BR = T un H K = 796 /m) [F] TiT / VL 3 9 TiT / VL 3 Reative Pemeabiitätszah Feomagnetische Stoffe Feomagnetische Stoffe Magnetisieungskenninie B,5 Vs m m z.b. hie: H 4 m Vs TiT / VL 3 Duchfutungsgesetz Beeits hegeeitet fü ie magnetische Festäke: H B umfomen H( ) "Das Poukt aus e magnetischen Festäke H auf eine Feinie vom Raius un e Länge iese Feinie L = ist geich em Stom, e von iese Feinie umfasst wi." TiT / VL 3

68 Duchfutungsgesetz H( ) Nun nnahme: Fü jeweis geiche Winke Bewegung auf unteschieichen Feinien im bstan,,... Das Poukt aus magnetische Festäke un Keisbogenänge ist ann fü jeen Raius geich: H ( ) H( ) usw. Duchfutungsgesetz kh( k) k k nnäheung eine beiebigen Kuve L um en stomfühenen Leite heum uch eine Teppenkuve. s git ann: Hksk k mit sk... Länge es kten Bogeneements Bei beiebige Richtung von sk af nu ie in Richtung von sk wikene Festäkekomponente (H cos ) gezäht ween. s k un H k as Vektoen, Biung es Skaapoukts: H s cos( Hk, sk) Hk sk k k k H k s Duchfutungsgesetz L (maufsinn von L bzg. nach Rechtsschaubenege) TiT / VL 3 3 TiT / VL 3 4 Duchfutungsgesetz Duchfutungsgesetz Das Poukt aus magnetische Festäke un Weg wi auch as magnetische Spannung V bezeichnet: V = H [V] = [H] [] = H s Dementspechen heißt auch magnetische maufspannung. L H s "Die magnetische maufspannung ist geich em vom ntegationsweg umschossenen Stom." L H s k L k = = 4,5 Wie goß ist fü ie gewähten ntegationswege jeweis ie Duchfutung? Teten mehee Stöme uch ie von L aufgespannte Fäche, so git: L H s k k Bei äumich veteite Stömung: Hs J L... Duchfutung 3 4 = = 4,5 = =,5 = = 6,5 nach [F] TiT / VL 3 5 TiT / VL 3 6 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke eine Zyinespue Zyinespue, Länge >> Duchmesse, eng bewicket mit N Winungen Daht, Stomfuss : Fe H im nneen paktisch homogen, äußees Fe H venachässigba kein gegenübe H H (empiische Befun) N H s H nwenung es Duchfutungsgesetzes: N H H 3 geichwetige Dasteungen! L ntegation in homogenem Fe entang eine Feinie! TiT / VL 4 H H N Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke in e mgebung eine Doppeeitung ([C], Bsp. 5.4) y a a Zwei stomuchfossene Leite im katesischen Kooinatensystem, usehnung in zrichtung; bstan a; wie goß ist ie magnetische Festäke in e bene x =, wenn a) = = b) = = ist? TiT / VL 4 x

69 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke in e mgebung eine Doppeeitung ([C], Bsp. 5.4) Fa a) = = Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke in e mgebung eine Doppeeitung ([C], Bsp. 5.4) Fa a) = = y y H (, y) y Hy H Hy H H (, y) x y a y Hx Hx Hx Hx Hy Hy H x H x a a a a TiT / VL 4 3 TiT / VL 4 4 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke in e mgebung eine Doppeeitung ([C], Bsp. 5.4) Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie : Magnetische Festäke in e mgebung eine Doppeeitung ([C], Bsp. 5.4) Fa b) = = Fa b) = = y y H (, y) x H (, y) y a a y Hx Hx Hx Hx Hy Hy Hy Hy H H x H H x a a a a TiT / VL 4 5 TiT / VL 4 6 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 3: Das Magnetfe innehab un außehab eines gesteckten, vom Geichstom uchfossenen Leites H De Leite wi geichmäßig vom Stom uchsetzt. e Magnetfeinien sin konzentische Keise. ußehab es Leites wi ie Duchfutung vom Gesamtstom gebiet: H TiT / VL 4 7 Hs H H L H( ) Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 3: Das Magnetfe innehab un außehab eines gesteckten, vom Geichstom uchfossenen Leites H nnehab es Leites ist nu ejenige Stomantei an e Duchfutung beteiigt, e vom jeweis betachteten Raius eingeschossen wi. H H TiT / VL 4 8 J ( ) H( )

70 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 3: Das Magnetfe innehab un außehab eines gesteckten, vom Geichstom uchfossenen Leites H Das nnee eines stomuchfossen Leites ist nicht magnetfefei! Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 4: Magnetische Fussichte in einem Ring aus Dynamobech aus [M] = = mi = cm Wie goß ist ie magnetische Fussichte im Ring, wenn a) nu fießt b) nu fießt c) un fießen? H TiT / VL 4 9 TiT / VL 4 Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 4: Magnetische Fussichte in einem Ring aus Dynamobech Duchfutungsgesetz nwenungsbeispie 4: Magnetische Fussichte in einem Ring aus Dynamobech aus [M] = = mi = cm Wie goß ist ie magnetische Fussichte im Ring, wenn a) nu fießt b) nu fießt c) un fießen? B( ) =,3 T B( ) =,9 T B( ) =,4 T Schussfogeung: auf Gun e nichtineaen Pemeabiität ist B( ) B( ) B( ) TiT / VL 4 TiT / VL 4 Das Gesetz von BiotSavat Duchfutungsgesetz nu anwenba, wenn e Veauf e magnetischen Feinien im Pinzip bekannt ist ntegation übe eine Feinie, auf e ie Festäke konstant ist (s. voheige Beispiee). JeanBaptiste Biot, ; Féix Savat, Fanzösische Physike gemeine: Gesetz von BiotSavat (aus em Duchfutungsgesetz heeitba *) ) *) Heeitung hie zu kompiziet; s. VL Technische ektoynamik TiT / VL 4 3 B ( P) 4 s Biot Gesetz von BiotSavat... gibt an, wechen Beitag ein stomuchfossenes Leiteeement igeneines Stomkeises zu magnetischen Fussichte in einem beiebigen ufpunkt P iefet. Das Gesetz von BiotSavat TiT / VL 4 4 B ( P) 4 s Duch ntegation übe en Weg L (.h. übe ie Quepunktskooinate s) egibt sich ie magnetische Fussichte auf Gun es Stoms in e geschossenen Leitescheife: B ( P) 4 L s Voaussetzung: Raum konstante Pemeabiität!

71 Das Gesetz von BiotSavat Das Gesetz von BiotSavat nwenungsbeispie: in Stomkeis, e vom Stom uchfossen wi, hat ie Fom eines egemäßigen ncks. Die Göße es ncks ist uch en Raius a es einbeschiebenen Keises gegeben. Wie goß ist ie magnetische Fussichte im Mittepunkt es ncks? ([C], Bsp. 5.6) B ( P) 4 s s Dazu zunächst Lösung e Teiaufgabe: Magnetfe eines enich angen stomuchfossenen Leites im ufpunkt P nmekung: aus em maufintega wi fü ieses Teipobem ein Steckenintega! e3, B M a TiT / VL 4 5 TiT / VL 4 6 Das Gesetz von BiotSavat Das Gesetz von BiotSavat TiT / VL 4 7 TiT / VL 4 8 Das Gesetz von BiotSavat TiT / VL 4 9 Das Gesetz von BiotSavat B e ( P) 3 cos a = Magnetfe veusacht von eine Seite eines egemäßigen ncks = Magnetfe veusacht von eine Seite eines egemäßigen ncks TiT / VL 4

72 Das Gesetz von BiotSavat Das Gesetz von BiotSavat Speziafäe: B e n a n ( M) 3 sin a) quaatische stomuchfossene Leitescheife e Kantenänge n = 4; a = / ( ) sin a n B M e 3 n M n 4 B( M) e 3 sin 3 a e sin a n 4 b) keisfömige stomuchfossene Leitescheife mit Raius = Magnetfe veusacht von aen Seiten eines egemäßigen ncks = Magnetfe veusacht von aen Seiten eines egemäßigen ncks n nsin n *); a = M ( ) n B M e3 sin e 3 nsin e 3 a n n n *) wegen sin x = x fü x << TiT / VL 4 TiT / VL 4 Magnetische Fuss m eekto(quasi)statischen Fe Begiff es Fusses un e Veschiebungsichte: Fuss [] = s Veschiebungsichte = Fuss po Fäche: D [D] = s/m m eektischen Stömungsfe Begiff es Stomes un e Stomichte: Stom [] = Stomichte = Stom po Fäche: J m magnetischen Fe bishe: [J] = /m Magnetische Fussichte B [B] = Vs/m (aso beeits eine fächenbezogene Göße) Jetzt infühung e integaen Göße B Magnetische Fuss Magnetische Fuss B Magnetische Fuss Vs m Vs m Vs = Wb B Sonefäe: Wihem ua Webe, 8489, eutsche Physike ) ist auf e Fäche konstant un ist eine ebene Fäche, ie uch en Vekto bezeichnet ween kann: B B ) B steht senkecht auf eine ebenen Fäche: B TiT / VL 5 TiT / VL 5 Magnetische Fuss B Das magnetische Fe ist queenfei. Die magnetischen Feinien besitzen wee nfang noch ne, a es keine magnetischen Laungen gibt. Die Summe ae magnetischen Teifüsse, ie in ein Voumen einteten, muss geich e Summe e Teifüsse sein, ie aus em betachteten Voumen austeten. TiT / VL 5 3 Magnetische Fuss Beispie: weche magnetische Fuss wi von en beien Leiten eine Doppeeitung umfasst (.h. weche Fuss titt uch ie agestete Fäche )? [C], Bsp. 5.7 B H n TiT / VL 5 4 Längenbezogen: n n

73 Beingungen an Genzfächen Beingungen an Genzfächen Mateia, µ "Queenfeiheit e magnetischen Fussichte" us B, H B fogt: Bn, H n Mateia, µ B, H Bn, H n m agemeinen Fa (.h. bei schäge Schichtung) fogt aus: Bn = µ H n = B n = µ H n P n Bt, H t P Bn = B n Bn = B n P n Bt, H t P un "Duchfutungsgesetz" Ht = H t Bt, H t P3 P4 B, H H s us fogt (fü = ): L Ht = H t Ht = H t Bt, H t P3 P4 B, H H H H H t t n n Mateia, µ Bn, H n Mateia, µ Bn, H n tan tan n geschichteten Mateiaien gehen ie Nomakomponente e magnetischen Fussichte un ie Tangentiakomponente e magnetischen Festäke kontinuieich von einem Mateia in as anee übe. tan tan TiT / VL 5 5 TiT / VL 5 6 Beingungen an Genzfächen Beingungen an Genzfächen Wichtige Sonefa: Zum Beispie: Mateia = Luft: µ = µ Mateia = isen: µ = µ µ 4 µ tan tan Die Feinien ween von em Mateia mit e hohen Pemeabiität "gefüht". magnetische Schimung Feomagnetische Bauteie as Fusspfae z.b. zu magnetischen Vekoppung von Spuen (Tansfomatoen, Übetage, eektische Maschinen) 85 9 µ nabhängig vom intittswinke veaufen ie magnetischen Feinien im isen fast paae zu Obefäche un weisen eine hohe Dichte auf. µ 4 µ Die Feinien ween von em Mateia mit e hohen Pemeabiität "gefüht". Weichmagnetisches Roh im tansvesaen Magnetfe. De Hohaum ist annähen fefei ("magnetische Schimung"). De Ken eines Leistungstansfomatos wi aufgeichtet. TiT / VL 5 7 TiT / VL 5 8 Beziehungen im eektischen un magnetischen Fe TiT / VL 5 9 "Das eektostatische Fe ist nicht queenfei." "Das stationäe Magnetfe ist nicht wibefei." äuteung fogt! Beziehungen im eektischen un magnetischen Fe sache Wikung Veknüpfung ektostatisches Fe D D TiT / VL 5 Stationäes eektisches Stömungsfe J J Stationäes Magnetfe H B B H ntegae Gößen Zusammenhang Fegößen

74 Magnetische Keis ohne Vezweigung Magnetische Keis ohne Vezweigung infache magnetische Keis (Wickung, Joch, Luftspat): Wegen Bn = B n Bn = B n us Duchfutungsgesetz: magnetische Fussinien B = B L = B H H N L L Zu Heeitung e Gesetzmäßigkeiten fogene nnahmen: isening mit Luftspat Stomuchfossene Spue mit N Winungen Ringqueschnitt seh kein annähen homogenes Fe Lufspatänge seh kein gegenübe Beite Steufe venachässigba [P] mit B = µh B B L L mit B L L Paaee zu Definition es eektischen Wiestanes eines Leites e Länge, es Queschnitts un e Leitfähigkeit R m Magnetische Wiestan Rm m Vs m Vs m TiT / VL 5 TiT / VL 5 R m Magnetische Wiestan Rm m Vs m Vs m R m Magnetische Leitwet Vs R m TiT / VL 5 3 Kehwet Magnetische Keis ohne Vezweigung Magnetische Keis ohne Vezweigung R R L m ml L H H N L L V Rm V H R H R m L L ml H = V... magnetische Spannung Ohmsches Gesetz es magnetischen Keises (ain entspicht em Stom im eektischen Keis) TiT / VL 5 4 Magnetische Keis ohne Vezweigung Zahenbeispie (nach [H]): in Ringken aus egietem Bech hat einen mitteen mfang von = 35 cm un einen isenqueschnitt von = 4 cm. uf em Ken ist eine aus N = Winungen bestehene Spue aufgebacht. m Ken so e magnetische Fuss = 5 4 Wb ezeugt ween. a) Weche Stom muss in e Spue fießen? b) Weche Stom müsste fießen, wenn e Ken aufgetennt un ein Luftspat von L =,3 mm eingefügt wüe? TiT / VL 5 5 Magnetische Keis ohne Vezweigung TiT / VL 5 6

75 Magnetische Keis ohne Vezweigung Magnetische Keis mit Vezweigung =,5 =,77 Queenfeiheit es magn. Fees nnahme homogene Fee in aen Zweigen Beechnung mit mittee Wegänge mögich Queschnitte auf en isenwegen,, 3 geich un jeweis konstant Fussichten un Festäken jeweis konstant ) Zähpfeie fü ie Füsse un Festäken festegen ) ntscheiung fü maufichtungen; Duchfutungen zähen bei en gewähten Richtungen nu ann positiv, wenn sie sich im Sinne e Rechtsschaubenege vehaten. TiT / VL 5 7 TiT / VL 5 8 Magnetische Keis mit Vezweigung Methoe zu Bestimmung e Magnetisieungskenninie Die Magnetisieungskenninie es isenings so emittet ween. Dazu Messung e Fussichte B im Luftspat in bhängigkeit von e Duchfutung = N mit Hife eine HaSone. s egibt sich z.b. iese Kuve: B us Queenfeiheit es magnetischen Fees: 3 = HHLL us em Duchfutungsgesetz: mauf, : H H V V R R N N m m mauf, 3 : H H V V R R N m m3 3 Vöige naogie zum oben gezeigten eektischen Keis Pobem: nichtineae Zusammenhang zwischen bzw. B un H µ un amit Rm hängt vom gesuchten H ab!! s git: HHLL m Luftspat ist µ = µ B H L B ist ie Fussichte sowoh im Luftspat as auch im isen! TiT / VL 5 9 TiT / VL 5 Methoe zu Bestimmung e Magnetisieungskenninie B VL V B H V V VL L L könnte nun fü jeen Wet von B beechnet un in ie Kuve eingezeichnet ween: V s eicht jeoch ie Bestimmung eines einzigen Wetes wegen es ineaen Zusammenhangs zwischen VL un B: Geae uch spung un einen Punkt (VL,B). Links von e Geaen: V L Rechts von e Geaen: V B V TiT / VL 5 B V B H V L L Konsequenzen aus em nuktionsgesetz Bewegiche Leitescheife im otieenen Magnetfe synchonmoto iin iin F t B TiT / VL 7 Magnetfe B otiet mit Keisfequenz. s wi e Stom iin inuziet. De Stom iin übt im Magnetfe B ie Kaft F auf ie Leitescheife aus. Die Leitescheife fogt em Magnetfe mit eine etwas keineen mehungsgeschwinigeit (im Fa = wüe kein Stom meh inuziet!).

76 Konsequenzen aus em nuktionsgesetz zeugen eines magnetischen Dehfees im Dehstomsystem Konsequenzen aus em nuktionsgesetz synchonmoto Luftfite t Stöme nschusskabe t3 [Me] Vektoaition ae 3 Teimagnetfee: t Getiebe Teimagnetfee Stänewickung esutieenes Magnetfe Lüfte Stäneahmen Roto t = t t = t3 t = t : esutieenes Fe zeigt in Richtung T 'T : esutieenes Fe zeigt in Richtung SS ' : esutieenes Fe zeigt in Richtung RR ' Stänebechpaket TiT / VL 7 TiT / VL 7 3 Konsequenzen aus em nuktionsgesetz Dehstomezeugung Rotieene Leitescheife im Magnetfe Rechteckige Dahtscheife mit ohmschen Wiestan R Langsame geichfömige Dehbewegung mit n mehungen po Sekune Rotationsachse senkecht zum homogenen, zeitich konstanten Magnetfe Weche Wikeistung wi in e Scheife umgesetzt? Wie goß ist as aufzubingene Dehmoment? Babsin Babsin t mit n B ut () Babcost t ut () Bab it () cost R R Bab Pt () utit ()() cos t R Mt () Pt () Bab cos t R TiT / VL 7 4 Leitescheife ab Konsequenzen aus em nuktionsgesetz Dehstomezeugung Rotieene Leitescheife im Magnetfe () t Babsint ut () Bab Babcost Pt () utit ()() cos t t R it () ut () Bab cost Mt () Pt () Bab cos t R R R uchsetzte Fäche Pinzip es Geneatos! TiT / VL 7 5 Konsequenzen aus em nuktionsgesetz Dehstomezeugung Dehstomgeneato Das Magnetfe otiet un uchsetzt 3 im Winke von zueinane angeonete feststehene "Leitescheifen" (Wickungen). Gun: ie Leistung ist von feststehenen Wickungen eichte abzunehmen. TiT / VL 7 6 negie es magnetischen Fees uin N t Fü en mauf in e eingezeichneten Richtung: u ir uin uir N uir N t t Mutipikation mit it: uit i Rt Ni iin zum ufbau es Magnetfes efoeiche negie im Wiestan umgesetzte negie von e Quee abgegebene negie (negatives Vozeichen = negieabgabe) TiT / VL 7 7 B s () s() s L B nonung isening mit Spue bewicket Spannungsquee iefet negie zum ufbau es magnetischen Fes t

77 negie es magnetischen Fees negie es magnetischen Fees uit i Rt Ni zum ufbau es Magnetfes efoeiche negie Wm Ni NiB Duchfutungssatz: Ni H H W NiB HB m Dain: = Voumen V es Ringkens: W VHB m Wm V HB mit Be negie po Voumen: W Be Be wm m V HB L... nwet e Fussichte nach ufbau es Magnetfees vg. mit negie im eektischen Fe (GT _7): W De we e V D W Be wm m V HB Fü konstante Pemeabiität: e e B B B B wm HB B gemein: nex e wegassen; B = H: wm H BH e B D e vg. mit eektischem Fe (GT _7): w D TiT / VL 7 8 TiT / VL 7 9 Hysteeseveuste nnahme: BHKenninie ohne Hysteese (hypothetische Fa) Fü H von He : aufzuwenene beit entspechen e unkebauen Fäche Fü H von He : negie entspechen e ängs schaffieten Fäche wi zuückgewonnen Hysteeseveuste nnahme: BHKenninie mit Hysteese (eaistische Fa) Fü H von He : aufzuwenene beit entspechen e unkebauen Fäche Fü H von He : negie entspechen e ängs schaffieten Fäche wi zuückgewonnen Fü H von He : aufzuwenene beit entspechen e hebauen Fäche Fü H von He : negie entspechen e que schaffieten Fäche wi zuückgewonnen He B Be wm HB He H Die aufgewenete negie wi vostänig zuückgewonnen keine Veuste! Fü H von He : aufzuwenene beit entspechen e hebauen Fäche Fü H von He : negie entspechen e que schaffieten Fäche wi zuückgewonnen He B He H nsgesamt titt ein negieveust in Höhe e nicht schaffieten Fächen (.h. in Höhe e von e Hysteesescheife eingeschossenen Fäche) auf Hysteeseveuste Diese sin ahe umso keine, je enge ie Hysteesescheife ist! TiT / VL 7 TiT / VL 7 Sebstinuktivität Fü en mauf in e eingezeichneten Richtung: u ir uin uir uir t t Nach em ohmschen Gesetz es magnetischen Keises besteht oft ein ineae Zusammenhang zwischen un i. De Popotionaitätsfakto ist ie Sebstinuktivität L: = Li i uirl t iin uin t TiT / VL 7 Sebstinuktivität i uirl t u i R L ur ul TiT / VL 7 3 i ul L t m agemeinen Fa besteht ie Leitescheife aus N Winungen. Dann wi: (Winungen jeweis von unteschieichen Füssen uchsetzt) N (ae Winungen vom geichen Fuss uchsetzt) un amit (wegen = Li ): = Li bzw. N = Li Ohmsches Gesetz es magnetischen Keises: = = Ni ( ) N = NNi = N i = Li L = N Sebstinuktivität

78 Sebstinuktivität L = N Sebstinuktivität L Vs m Vs m m Vs H "Heny" Gegeninuktivität nonung zweie benachbate, jeweis stomuchfossene Leitescheifen: uin t Joseph Heny (797878) is wiey consiee the foemost meican scientist of the 9th centuy. though Heny at an eay age appeae to be heae fo a caee in the theate, a chance encounte with a book of ectues on scientific topics tune his inteest to science. Heny's eay investigations concene eectomagnetic phenomena, an his iscovey of eectomagnetic sefinuction in 83 estabishe his eputation in meica. nteestingy, Heny appeas to have iscovee the pincipe of eectomagnetic inuction inepenenty of Bitish scientist Michae Faaay, but because Faaay pubishe the esuts befoe Heny, Faaay is ceite with the iscovey. n 846, Heny was name fist Secetay of the newyestabishe Smithsonian nstitution, a position he he unti his eath. n 868, he was eecte Pesient of the Nationa caemy of Sciences; this position, too, he he unti his eath. (nach: ines von Heny's esten xpeimenten zum ektomagnetismus: "Big Magnet" (ca. 87) Fü ie mäufe in en eingezeichneten Richtungen: u ir u i R t t Wegen e (osen) Koppung beie Leitescheifen ween ie Füsse un jeweis von beien Stömen veusacht! TiT / VL 7 4 TiT / VL 7 5 Gegeninuktivität Gegeninuktivität u ir t u i R t Bei ineaem Zusammenhang zwischen Stom un Fuss können un as Summe von Teifüssen agestet ween: Beitag es Stoms i zum Fuss in Scheife : = L i Beitag es Stoms i zum Fuss in Scheife : = L i Gesamtfuss in Scheife : = = L i L i L un L L = L L = L L un L = L i L i = L i L i sin ie Sebstinuktivitäten e beien Leitescheifen: nennt man ie Gegeninuktivitäten M zwischen en beien Scheifen: Geiche Betachtung fü Scheife : Gesamtfuss in Scheife : = = L i L i L = L = M (Hinweis: in Systemen mit meh as zwei miteinane gekoppeten nuktivitäten kann es zweckmäßig sein, ie Doppeinizieung L beizubehaten!) TiT / VL 7 6 TiT / VL 7 7 Gegeninuktivität i i u ir L M t t t uir L M M i i i i M t t t t i i i u Ri L M M t t TiT / VL 7 8 i i u i R L M t t t (wegen = L i L i ) (wegen = L i L i ) i i i i M t t t t u ir L M M i i i u R i L M M t t infaches satzschatbi fü eisenosen Tansfomato! Gegeninuktivität m agemeinen Fa bestehen ie Leitescheifen aus N Winungen. Dann wi: (Winungen jeweis von unteschieichen Füssen uchsetzt) N (ae Winungen vom geichen Fuss uchsetzt) un amit (wegen = Li ): = Li bzw. N = Li Ohmsches Gesetz es magnetischen Keises: = = Ni ( ) Dann wi z.b. aus e beeits hegeeiteten Beziehung = L i Li Mi N N N N i TiT / VL 7 9 Mi NN i M NN Gegeninuktivität Vs M H

79 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Zunächst: negie, ie as Fe eine Spue e nuktivität L speichet, wenn uch sie e Stom fießt: Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Fü zwei Spuen ohne magnetische Koppung: s git: W u () t i () t t m L L il Beeits hegeeitet: ul L t L W u () t i () t t L i i t Li i m L L L L L t mit... nwet es Spuenstoms W L W L (bei konstantem L)... un fü zwei Spuen mit magnetische Koppung Wm L Vg. mit e in einem Konensato gespeicheten negie: Wc C TiT / VL 7 TiT / VL 7 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen (chtung: im Gegensatz zu e nonung zu Heeitung e Gegeninuktivität sin ie Wiestäne e Leitescheifen hie venachässigt!) u L i L i t t u L i L i t t Die Spannungsqueen geben im Zeitinteva t fogene negien ab: mauf System : Beeits hegeeitet: u t Li L i Scheife Stom Stom Scheife u L i L i t t i i uit L L it t t u i t L i i L i i Fauntescheiung: i i uit L L it t t u i t L i i L i i mauf System : Beeits hegeeitet: u t Li L i u L i L i t t Fa a): n Spue fießt beeits e nwet es Stomes: i = ; i = n Spue wi e Stom von Nu auf en nwet vegößet. Fa b): n Spue fießt beeits e nwet es Stomes: i = ; i = n Spue wi e Stom von Nu auf en nwet vegößet. TiT / VL 7 TiT / VL 7 3 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Fa a): n Spue fießt beeits e nwet es Stomes: i = ; i = n Spue wi e Stom von Nu auf en nwet vegößet. u i t L i i L i i u i t L i i L i i u t Lii L i TiT / VL 7 4 u i t L i i L i i Gesamte negiezuwachs: W ut uit Li Li i a nach ntegation übe i von bis : Wa L L Gesamtenegie = in Spue beeits gespeichete negie negiezuwachs: W L L L ges( a) Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Fa b): n Spue fießt beeits e nwet es Stomes: i = ; i = n Spue wi e Stom von Nu auf en nwet vegößet. u i t L i i L i i u i t L i i L i i u i t L i i L i i u t L i i L i TiT / VL 7 5 Gesamte negiezuwachs: W u i t ut L i i L i b nach ntegation übe i von bis : Wb L L Gesamtenegie = in Spue beeits gespeichete negie negiezuwachs: W L L L ges( b)

80 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Da ie Gesamtenegie es Systems nicht avon abhängen kann, in weche Reihenfoge ie Spuenstöme ihe nwete eeichen: beie fü ie Gesamtenegie gefunenen Beziehungen müssen geich sein. W L L L ges( a) einzige unteschieiche Teme in beien Geichungen muss geich sein! W L L L ges( b) Magnetische negie es betachteten Systems mit L = L = M: Wm L M L gemein fü ein System aus n stomuchfossenen Leitescheifen: Schussfogeung: L = L L = L mkehungssatz (bishe stischweigen voausgesetzt, jetzt bewiesen!) n n Wm L mit L... Sebstinuktivität e ten Leitescheife L = L... Gegeninuktivität zwischen te un te Leitescheife TiT / VL 7 6 TiT / VL 7 7 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Beispie: Beechnung eine satzinuktivität ([C], Bsp. 6.) Gegeben: magnetische Keis mit zwei Spuen. Deen nuktivitäten seien L un L, ihe Gegeninuktivität sei M. a) Wie goß ist ie in iesem Keis gespeichete negie? b) Wie goß müsste jeweis ie nuktivität eine satzinuktivität gewäht ween, amit bei geichem Stom ie geiche magnetische negie gespeichet wi; ntescheiung nach Fäen: ) i = i ) i = i? Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Beispie: Beechnung eine satzinuktivität ([C], Bsp. 6.) Gegeben: magnetische Keis mit zwei Spuen. Deen nuktivitäten seien L un L, ihe Gegeninuktivität sei M. a) Wie goß ist ie in iesem Keis gespeichete negie? b) Wie goß müsste jeweis ie nuktivität eine satzinuktivität gewäht ween, amit bei geichem Stom ie geiche magnetische negie gespeichet wi; ntescheiung nach Fäen: ) i = i ) i = i? L L L M L L L M TiT / VL 7 8 TiT / VL 7 9 Magnetische negie stomuchfossene Leitescheifen Beispie: Beechnung eine satzinuktivität ([C], Bsp. 6.) Faktisch hanet es sich bei iesem Beispie um eine Reihenschatung zweie magnetisch gekoppete Spuen. m Fa spicht man von geichsinnige Koppung. m Fa spicht man von gegensinnige Koppung. geichsinnige gegensinnige Koppung nach [F] Kasteung uch Bezugspunkte un Doppepfeie: TiT / VL 7 3 geichsinnige geichsinnige gegensinnige Koppung nach [F] Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Fagesteung: wie assen sich ie Sebst un Gegeninuktivitäten beiebige Leiteanonungen beechnen? a) Beechnung e Sebstinuktivität übe en magnetischen Fuss us = Li fogt fü ie Sebstinuktivität: L Vogehensweise:. Vogabe eines Stoms in e betachteten Leitescheife. Beechnung es Fusses, e ie von e Leitescheife aufgespannte Fäche uchsetzt. b) Beechnung e Gegeninuktivität übe en magnetischen Fuss us = L i = Mi fogt fü ie Gegeninuktivität: M i Vogehensweise:. Vogabe eines Stoms in eine e beien betachteten Leitescheifen. Beechnung es Fusses, e von e aneen Leitescheife umfasst wi. TiT / VL 8 i

81 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie : Fü ie Doppeeitung nach [C], Bsp. 5.7, fü ie in GT _5 beeits e ie Fäche uchsetzene magnetische Fuss emittet wue, ist ie Sebstinuktivität zu beechnen. Beispie : Gegeninuktivität e gezeigten beien Doppeeitungen (a, b) un (c, ) ' beeits beechnet (GT _5): B H n n n Damit einfache mittung e ängenbezogenen nuktivität: L n TiT / VL 8 TiT / VL 8 3 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie : Gegeninuktivität e gezeigten beien Doppeeitungen (a, b) un (c, ) Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Die eben gezeigte Methoe ist nu ann anwenba, wenn e Fuss eineutig e Leitescheife zugeonet ween kann, ie ihn umfasst. gemeine ist as fogene Vefahen: c) Beechnung e Sebstinuktivität übe ie magnetische Feenegie W us Wm L fogt: L m M n a bc ac b Vogehensweise:. Vogabe eines Stoms in e betachteten Leitescheife. Beechnung e Feenegie mit eine e beeits afü hegeeiteten Beziehungen: wm H BH B W 3. Biung es Quotienten m TiT / VL 8 4 TiT / VL 8 5 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes TiT / VL 8 6 nneneite: ußenaius, Pemeabiität ußeneite: nnenaius, Pemeabiität 3 Dazwischen: Luft mit = Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes Vewenung e Beziehung fü ie negieichte: wm H Beeits hegeeitet (GT _4): Festäke im nnen eines Leites: H( ) H H Festäke außehab eines Leites: TiT / VL 8 7 H

82 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes a) fü en nneneite Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes a) fü en nneneite w H m H( ) L 7 H 8 m TiT / VL 8 8 TiT / VL 8 9 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes b) fü en Luftaum Methoen zu Beechnung von nuktivitäten Beispie 3: Sebstinuktivität eines Koaxiakabes b) fü en Luftaum wm H( ) H (Beziehung fü magnetische Festäke um einen Leite) L 7 H n n m Beechnung e Sebstinuktivität es ußeneites anaog zu e es nneneites! L' L' ist e nuktivitätsbeag eine Koaxiaeitung. TiT / VL 8 TiT / VL 8 Methoen zu Beechnung von nuktivitäten nuktivitätsbeag e Doppeeitung: L C n Kapazitätsbeag e Doppeeitung (s. GT _5) n TiT / VL 8 nuktivitätsbeag e Koaxiaeitung: L n Kapazitätsbeag e Koaxiaeitung (s. GT _5): LC LC Diese Beziehung git fü beiebige Leitungsanonungen! (beibt an iese Stee unbewiesen) C n Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nwenung es Pinzips e vitueen Veschiebung (s. GT _7) nnahmen: ie Stomquee iefee einen konstanten Stom ae Leitungen seien wiestansfei e Leitestab könne sich in xrichtung eibungsfei bewegen e Übegangswiestan zwischen Leitestab un Leiteschienen sei wiestansfei TiT / VL 8 3

83 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie negie titt in ei Fomen auf: magnetische Feenegie Wm mechanische negie Wmech (potentiee negie es Gewichts G) eektische negie We e Stomquee Lässt man eine angsame Veschiebung es Leitestabes um x nach echts zu, so änet sich ie Gesamtenegie es Systems nicht: W W W W W W W ges e mech m e mech m Mechanische negie nimmt zu (nheben es Gewichts): Wmech Fxx Magnetische negie Wm L nimmt zu (Vegößeung von L): Wm L Die Stomquee gibt negie ab (Poukt u im Vebauchezähpfeisystem <): We ut Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie We ut nwenung es mit = L: nuktionsgesetzes: u t u L t We L negiebianz: We Wmech Wm L Fxx L un a in = /t ufösen nach Fx : L Wm F x F x L x W x m ( ) (hochgestete nex () steht abei fü = const.) Die Kaft entspicht e Äneung e magnetischen Feenegie. TiT / VL 8 4 TiT / VL 8 5 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie F x L x uswikung z.b.: Wanen von Kuzschussstomichtbögen Die Kaft ist stets so geichtet, ass sie ie nuktivität e Stomscheife zu vegößen sucht. F Wegen L beeutet as auch: N N k Die Kaft ist stets so geichtet, ass sie ie von e Stomscheife umfasste Fäche zu vegößen sucht. TiT / VL 8 6 TiT / VL 8 7 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Demonstationsvesuch: "Feuea" F TiT / VL 8 8 Zünen eines Lichtbogens (Schmezaht) hie ca. k Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nwenung: "c Rotato" Kaft wikt jeezeit tangentia am mfang Kaftichtung imme geich (auch bei Wechsestom) F Lichtbogen beibt nicht auf e Stee stehen, sonen äuft imme am mfang entang v QuickTime Movie B TiT / VL 8 9

84 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nee Beispiee: Vakuumschatöhe mit Raiafekontakten Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nee Beispiee: Feieitungsisoato mit Lichtbogenamatuen (Gabeing, GabeHoning) TiT / VL 8 TiT / VL 8 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nwenung: Löschen von Schatichtbögen, untestützt uch magnetische Bebasung Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie nwenung: Löschen von Schatichtbögen, untestützt uch magnetische Bebasung Geichstomschate (Bahn, Staßenbahn) Geichstomschate (Bahn, Staßenbahn) gute Kühung es Lichtbogens hohe Spannungsbeaf (viee Fußpunkte) Löschkammen Löschkammen Schatkontakte F F F 3 fest bewegich F ufweitung e Stomscheife F magnetische Schatkontakte F F F 3 fest bewegich F ufweitung e Stomscheife F magnetische v F 3 Bebasung v F 3 Bebasung B Themik B Themik Spue Spue TiT / VL 8 TiT / VL 8 3 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Beispie: Kaft auf eine Schatetavese ([C], Bsp. 6.3) ( ) Wm L x ( ) Fx L x x x Lx ( ) Lx K L( x) x L'... nuktivitätsbeag e Leitung K... ein von x unabhängige Koektutem zu Beücksichtigung von Raneffekten am Leitungsene Fü ie Doppeeitung beeits hegeeitet: F x L L( x) x L n L n TiT / VL 8 4 Die Kaft ist popotiona Die Kaft ist popotiona Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Beispie: Kaft auf eine Schatetavese ([C], Bsp. 6.3) m 38kVNetz: z.b. = 3 m =, m = 6 k (Kuzschuss) F x Vs n n, m 7 6,45 kn 45 F kg Konstuktive Maßnahmen efoeich: usnützen magnetische Käfte zu Vegößeung es Kontaktucks! TiT / VL 8 5 F F

85 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Beispie: Kaft auf eine Schatetavese ([C], Bsp. 6.3) Leistungsschate (LS) Tennschate (TS) LS: optimiet zum ntebechen hohe Stöme, abe nicht zum soieen muss Kuzschussstom siche untebechen können TS: optimiet zum soieen, abe nicht zum ntebechen hohe Stöme muss Kuzschussstom siche fühen können, ohne zu öffnen Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Beispie: Kaft auf eine Schatetavese ([C], Bsp. 6.3) Was passiet, wenn man einen Tennschate bei fießenem Stom öffnet. S: optimiet zum spannungsosen Kuzschießen e Leitung muss Kuzschussstom siche fühen können, ohne zu öffnen TiT / VL 8 6 TiT / VL 8 7 Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Magnetische Fekäfte Beechnung übe ie negie Püfung e Kuzschussstomtagfähigkeit an insäuen Scheentennschaten un an ungsschaten î ca. 5 k, 3 ms ca. 6 k, 3 s Püfung e Kuzschussstomtagfähigkeit an insäuen Scheentennschaten un an ungsschaten î ca. 5 k, 3 ms ca. 6 k, 3 s TiT / VL 8 8 TiT / VL 8 9 Magnetische Fekäfte ektomagnet Fussichte B BL B F x W x m Beeits hegeeitet: hie ( ) TiT / VL 9 Gegeben: Duchfutung = N Mittee isenwegänge Luftspatänge L Queschnitt (konstant) Steuung sei venachässigba (ain ist Wm ie gesamte magnetische Feenegie, aufgeteit auf en ntei im isen un im Luftspat) wm H BH agemein m (negieichte) (negie) B L B B B B W V B B W R R m L m ges m ges Magnetische Fekäfte ektomagnet W R m m ges Ohmsches Gesetz es magnetischen Keises: Damit: TiT / VL 9 Rm Wm Rm ges R m ges Rmges Rmges L R m ungsschate (S)

86 Magnetische Fekäfte ektomagnet Magnetische Fekäfte ektomagnet Rm R m Ohmsches Gesetz es magnetischen Keises insetzen fü ie Luftspatänge: L L x: Wm F x x ) Wm ( x x L x b a (Quotientenege) : x b a x b F x L x x L Fü x : F x Damit fü ie Kaft po Fäche: entisch mit negieichte: B L R mges Fx B H BH wm H BH B TiT / VL 9 3 TiT / VL 9 4 Magnetische Fekäfte ektomagnet Magnetische Fekäfte ektomagnet Rechenbeispie (nach [H]) Rechenbeispie (nach [H]) N = 45 Winungen L =,5 mm F = kn De gezeigte ektomagnet mit einem Ken aus Dynamobech besitzt eine Spue mit N = 45 Winungen. Die Luftspatänge betägt L =,5 mm. De nke so mit eine Kaft von F = kn angezogen ween. Weche Stom muss azu in e Spue fießen? TiT / VL 9 5 TiT / VL 9 6 Magnetische Fekäfte ektomagnet Rechenbeispie (nach [H]) TiT / VL 9 7 Magnetische Fekäfte ektomagnet Rechenbeispie (nach [H]),4 TiT / VL 9 8

87 ste Maxwesche Geichung Duchfutungsgesetz ste Maxwesche Geichung Duchfutungsgesetz Konensato im Stomkeis: Duchfutungsgesetz iefet kein eineutiges gebnis i i ufaung e Konensatopatten uch en Laestom i (bzw. Stomichte J ) Laung auf en Obefächen Fächenaungsichte sache fü D H s i H s H s? L L L Was passiet zwischen en Konensatopatten? it Jt Q D Jt D J D J t D t a ae Vektoen geiche Richtung aufweisen TiT / VL 9 9 TiT / VL 9 ste Maxwesche Geichung Duchfutungsgesetz J D t D... Veschiebungsstomichte t De Stom, e in en Leitungen as Leitungsstom fießt, setzt sich zwischen en Konensatopatten as Veschiebungsstom fot. Somit hanet es sich wiee um einen geschossenen Stomkeis, auf en as Duchfutungsgesetz anwenba ist. De Stom setzt sich abei aus Leitungsstom un Veschiebungsstom zusammen: D Hs J t L Leitungen ste Maxwesche Geichung (in ntegafom) in Veschiebungsstom ist genau so von einem Magnetfe umgeben wie ein Leitungsstom! TiT / VL 9 TiT / VL 9 Leitungsaten TiT / VL 9 3 aus: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN Leitungsaten TiT / VL 9 4 aus: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN

88 Diffeentiageichungen e Leitung Diffeentiageichungen e Leitung Hie: Beschänkung auf eektische Doppeeitungen Fü eine Doppeeitung wue beeits hegeeitet: Kapazitätsbeag C C n nuktivitätsbeag L L n benso weist jee Leitung einen Wiestansbeag R R (R... Längswiestan) Stöme un Spannungen un ie mit ihnen veknüpften eektischen un magnetischen Fee beiten sich mit eniche Geschwinigkeit aus. Stom un Spannung auf eine Leitung besitzen im agemeinen Fa eine bhängigkeit vom Ot z un von e Zeit t: i = i(z,t) u = u(z,t) un einen beitungsbeag auf. G G (G... Queeitwet) Jee Leitungstyp ässt sich uch seine Leitungsbeäge chaakteisieen. TiT / VL 9 5 TiT / VL 9 6 Diffeentiageichungen e Leitung Diffeentiageichungen e Leitung z R, G, C, L Jeem Leitungseement e Länge z ässt sich somit zuscheiben: Wiestan R = R' z Leitwet G = G' z Kapazität C = C' z izt (, ) izt z z Gu ( zt, ) C z t nwenung es eweiteten. Kichhoffschen auf ein Leitungseement: weitete. Kichhoffsche (, ) J (, ) (, ) (, ), ) Satzes D Satz: J t izt Gzuzt izt izt z z Czu( z, t) e uzt ( Cz t t D t t t izt (,) (, ) izt (,) uzt (,) nuktivität L = L' z Gzu(,) z t D z zz Die Stomstäke änet sich entang e Leitung, a ein Tei es Leitungsstoms as beitstom auf en aneen Leite übegeht un ein anee Tei sich as Veschiebungsstom zwischen en beien Leiten schießt. TiT / VL 9 7 TiT / VL 9 8 Diffeentiageichungen e Leitung nwenung es nuktionsgesetzes auf ein Leitungseement: nuktionsgesetz: s t L B R u( z, t) R s i( z, t) zu( z, t) zi( z, t) zu( z, t) z L (mauf B C D ) izt (, ) Lz t B t t izt (,) uzt (, ) z zz B izt (, ) izt (, ) z z uzt (, ) uzt (, ) z z TiT / VL 9 9 uzt (,) izt (,) Ri (,) zt L z t De Spannungsunteschie zwischen en Leiten änet sich entang e Leitung, a e ohmsche Wiestan einen ohmschen un ie nuktivität einen inuktiven Spannungsfa ezeugen. Diffeentiageichungen e Leitung izt (,) uzt (,) Gu ( zt, ) C z t uzt (,) izt (,) Ri (,) zt L z t R z L z L z Cz Gz R z TiT / VL 9 Diffeentiageichungen e eektischen Leitung (System patiee Dgn. Onung) satzschatbi eines Leitungseements as TGie

89 Diffeentiageichungen e Leitung Diffeentiageichungen e Leitung R z L z L z R z izt (,) uzt (,) Gu (,) zt C z t uzt (,) izt (,) Ri (,) zt L z t Cz Gz satzschatbi eines Leitungseements as TGie Lösung e Dgn fü en spezieen Fa hamonische Zeitabhängigkeit: izt (, ) Re ( ze ) jt uzt (, ) Re ze ( ) jt Zu inneung: j t ut () ue ˆ ut ( )... kompexe Zeitfunktion uˆ... kompexe mpitue Rz Lz ( z), (z) sin ain ie kompexen ffektivwete, ie jetzt nu noch Otsfunktionen sin. j t ˆ ut () Re ut () Re ue u(t)... eee Zeitfunktion (physikaische Veauf) C z G z G z C z satzschatbi eines Leitungseements as Gie ( z) z G j C ( z) ( z) z R j L ( z) z G jc R j L z veeinfachte Scheibweise TiT / VL 9 TiT / VL 9 Diffeentiageichungen e Leitung z G jc Diffeentiation nach z: jc G z z insetzen von : z R j L z Diffeentiation nach z: R jl z z insetzen von : z Diffeentiageichungen e Leitung z gemeine Lösung iese Dg. Onung ist: (C un C sin fei wähbae ntegationskonstanten, ie sich uch as zweimaige ntegieen egeben) Ce z Ce z Nachpüfen uch insetzen: z R jlg jc R j L G j C z mit R jlg jc z... usbeitungskonstante z z Weengeichungen e eektischen Leitung Fü en Stom git entspechen: Ke Ke z z TiT / VL 9 3 TiT / VL 9 4 Diffeentiageichungen e Leitung insetzen e Lösung: Ce C e z z in ie Diffeentiageichung e Leitung: z z Ce Ce R jl R jl z Ce z Ce Da pinzipie git (ohmsches Gesetz!): wi eingefüht: Z W Z R jl W R j L z R j L R j L R j L G j C R jlg jc z z Z W Ce Ce Z TiT / VL 9 5 Weenwiestan Diffeentiageichungen e Leitung Soeben gefunen: Lösung e Weengeichung fü en Stom wa: D.h. von en vie Konstanten C, C, K, K Ce Ce Ce Ce Z Z Z z z z z W W W TiT / VL 9 6 Ke Ke K z z Duch Vegeich: Duch Vegeich: C C K ZW ZW sin nu zwei fei wähba.

90 Veanschauichung e Lösung Veeinfachene nnahmen: z z in e Lösung e Dg fü ie Spannung Ce C e C, C ee Veanschauichung e Lösung z C e t uzt (,) Ce cos t cos z z z Zunächst: Betachtung nu es oten Tems,.h. e Funktion cos(t z) R jlg jc fü ie Konstante Scheibweise j t t 4 Rückkeh zu Zeitfunktion: (, ) Ce z Ce z uzt ReCe jz jt e Ce jz e jt ReCe z jzt e Ce z e jzt (, ee) j t ˆ ut () Re ut () Re ue t t 4 z cost z cost z 3 cos cos cos 3 cos cos,77 4 cos, cos, cos, cos,77 uzt (, ) Ce cos t z Ce cos t z z z cos 4 TiT / VL TiT / VL Veanschauichung e Lösung Funktion cos(t z) in beiebige Punkt auf e Kuve t = (Lage ) bewegt sich unte Beibehatung seine Oinate innehab e Zeit t um en Weg z nach echts (Lage ). z z z z z so änet sich auch as gument e cosfunktion un amit ie Phase bzw. ie Phasenage es Punktes nicht! Lage : t z const. Lage : t t z z const. t z t t zz t z z t v Veanschauichung e Lösung Funktion cos(t z) Funktion cos(t z) v e Punkte auf e cos Kuve bewegen sich unte Beibehatung ihe Phase mit konstante Geschwinigkeit v von inks nach echts. v... usbeitungsgeschwinigkeit, Phasengeschwinigkeit... Phasenkonstante TiT / VL 3 TiT / VL 4 Veanschauichung e Lösung Funktion cos(t z) Funktion cos(t z) aus aus TiT / VL 5 v... Weenänge inem Zuwachs es guments e cosfunktion um entspicht ein Zuwachs e Länge z um : v z Duch Geichsetzen: v mit f v f Veanschauichung e Lösung v f Bei v = c 3 8 m/s (ist hie unbewiesen e Fa fü eine Leitung mit Luft as Dieektikum): c f f 5 Hz khz MHz GHz THz 6 km 5 km 3 m 5 mm,3 mm TiT / VL 6

91 Veanschauichung e Lösung Veanschauichung e Lösung Funktion cos(t z) Funktion cos(t z) Fakto e z z e cost z Die Oinate es Punktes eine bestimmten Phasenage nimmt mit wachsenem z nach eine efunktion ab. z De usuck Ce cost z stet eine geämpfte Wee a, ie sich in Richtung zunehmene Wete von z ausbeitet. Hinaufene Wee Geämpfte Wee! Hauptwee Zukünftig nex "h"... Dämpfungskonstante TiT / VL 7 TiT / VL 8 Veanschauichung e Lösung Vegeich e usbeitungen e ungeämpften Ween Funktion cos(t z) Funktion cos(t z) Veanschauichung e Lösung Vegeich e usbeitungen e ungeämpften Ween Funktion cos(t z) Funktion cos(t z) t t 4 t 4 t z z nach echts aufene Wee "hinaufene Wee" "Hauptwee" nach inks aufene Wee "ückaufene Wee" "chowee" TiT / VL 9 TiT / VL Veanschauichung e Lösung z De usuck Ce cost z stet eine geämpfte Wee a, ie sich in Richtung abnehmene Wete von z ausbeitet. Rückaufene Wee chowee Zukünftig nex "" z TiT / VL e z t t t Veanschauichung e Lösung Ce C e z z uzt (, ) Ce cos t z Ce cos t z z z Rückaufene geämpfte Wee Hinaufene geämpfte Wee Die Spannung auf e Leitung setzt sich jeweis aus eine hin un eine ückaufenen geämpften Wee zusammen. Zuückgehen zu kompexen Scheibweise: z ( ) e e z z h z h z ( z) e e z Ce z Ce ZW Z Z W W Beeits hegeeitet: TiT / VL h Z Z h W W... hinaufene Spannungswee... ückaufene Spannungswee h... hinaufene Stomwee... ückaufene Stomwee

92 Veanschauichung e Lösung Die Leitungsgeichungen z ( ) e e z z h ( z) e h e Z Z z z W W chtung! Mit eine hinaufenen positiven Spannungswee ist eine hinaufene positive Stomwee veknüpft. Mit eine ückaufenen positiven Spannungswee ist eine ückaufene negative Stomwee veknüpft. Häufig inteessiet e Zusammenhang zwischen Spannungen un Stömen am nfang un ne eine Leitung:,,, Von iesen vie Gößen sin nu zwei wiküich vogebba, ie aneen beien egeben sich jeweis aaus. z.b.: Stom un Spannung am ne vogeben Stom un Spannung am nfang können amit beechnet ween. oe: Stom un Spannung am nfang vogeben Stom un Spannung am ne können amit beechnet ween. TiT / VL 3 TiT / VL 4 Die Leitungsgeichungen Die Leitungsgeichungen nun z.b.: un as gegeben ansehen Beechung von un : e e h h () Z e e W h () e e h aus z ( ) e e z z h h ( z) e e Z Z z z W W () () e e h h () Z Z h W W h () e e Z Z W W ition e beien Geichungen: h () ZW ZW ZW he h e ZW h Subtaktion e beien Geichungen: () e e ZW ZW ZW e e ZW insetzen: h e e ZW e e h ZW ZW ZW e e e e TiT / VL 5 TiT / VL 6 Die Leitungsgeichungen e e ZW e e e e e e ZW Physikaische Fom e sogenannten Leitungsgeichungen... wei sie ie physikaischen Vogänge am besten astet. (entspechen ießen sich auch ie Leitungsgeichungen fü, heeiten) TiT / VL 7 Die Leitungsgeichungen e e ZW e e e e e e Z W cosh sinh sinh cosh Z W cosh sinh sinh cosh ZW Mathematische Fom e sogenannten Leitungsgeichungen... ie mathematisch eegantee Scheibweise... TiT / VL 8 Zu inneung:

93 Die Leitungsgeichungen Zusammenfassung Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW Beeits hegeeitet: usbeitungskonstante R jlg jc j Dämpfungskonstante Phasenkonstante s so nun nach un aufgeöst ween; azu: Quaieen: j R jlg jc j RG j LG j CR LC Zusammenfassen e eeen nteie un e imaginäen nteie: RG LC RC LG Gg. Gg. Gg. 3 Gg. 3 (wi späte noch benötigt) aus: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN s ist weitehin: R L G C (nachechnen!) Gg. Gg. TiT / VL 9 TiT / VL Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW RG LC Gg. Gg. R L G C Gg. Gg. Gg. Gg. RG LC R L G C RG LC R L G C Gg. Gg. Gg. Gg. Gg. Gg. RG LC R L G C RG LC R L G C Dämpfungskonstante Phasenkonstante RG LC R L G C RG LC R L G C Veeinfachungen: ) fü Dämpfungskonstante Phasenkonstante Häufig sin ie Veuste e Leitung seh geing, bzw. es sin ie nuktivitäts un gegenübe en Wiestans un beitbeägen: Kapazitätsbeäge goß LR CG ; Dann können ie oten Teme in e Geichung fü venachässigt ween: RG LC R L G C LC L C LC LC Phasenkonstante e veustosen Leitung TiT / VL TiT / VL Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW usbeitungsgeschwinigkeit: LC Beeits hegeeitet: v v c LC s. GT _8: fü jee Leitung git LC s. GT _: Maxwe Beziehung Fü ie veustose Leitung in Luft git amit: TiT / VL 3 c v c v (,5...,7) c Fü ein veustoses Kabe (... 4): Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW Veeinfachungen: ) fü insetzen e eben gefunenen Näheungsbeziehung LC in Gg. 3 Gg. 3 RC LG LC RC LG RC LG LC C L R G L C (s. Foie 3): Näheungsgeichung fü Dämpfungskonstante Meistens ist e este Summan in e Kamme göße as e zweite. Dann kann uch höhung es nuktivitätsbeags (zusätziche Spuen) ie Dämpfung e Leitung veinget ween (Pupinisieung, Pupineitung) (fühe fü Fenspechkabe paktiziet, fü heutige Übetagungstechniken un fequenzen nicht meh anwenba). TiT / VL 4 Michae. Pupin Bei e veustosen Leitung (R, G ) ist ie Dämpfung Nu ( ).

94 Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW Die chaakteistischen Gößen e Leitung,, ZW Fü en Weenwiestan beeits hegeeitet: Übiche Scheibweise: ZW ZW e jac( ZW ) Z W R jl G jc Veeinfachung fü en Weenwiestan: Fü RL un GC wi aus Z W R jl G jc Bestimmung von Betag un Winke von ZW zunächst quaieen: jactan L R R jl R ( L) e R ( L) ZW e jactanc G G jc G ( C) e G ( C) jactanl RactanC G ( ) actan actan actan actan ( ) L R C G R L j L R C G R L j Z 4 W e e G ( C ) G ( C) Z W 4 R ( L) G ( C) ac( ZW ) actan L R actan C G aus: [C], S. 4 L Z W C Bei e veustosen Leitung sin sowoh fü ie hinaufene as auch fü ie ückaufene Wee an jeem Ot auf e Leitung Spannung un Stom in Phase. Weenwiestan e veustosen Leitung Mit iese Veeinfachung kann paktisch imme geechnet ween bei Leitungen mit goßem Leitequeschnitt un Luftisoation (Bsp.: Feieitung), hohen Fequenzen TiT / VL 5 TiT / VL 6 De ingangswiestan De ingangswiestan Z cosh ZW sinh sinh cosh Z ZW Z Z W Fü ie Spannungsquee wikt ie Leitung mit em bschusswiestan Z wie kompexe Wiestan e Göße: Mit en beeits hegeeiteten Leitungsgeichungen: ein cosh ZW sinh Z sinh cosh ZW cosh ZW sinh Z sinh cosh ZW sowie Z Z Z cosh ZW sinh sinh cosh Z ZW Z Z ingangswiestan e Leitung W Sonefa: a) Leitung mit em Weenwiestan abgeschossen: Z = Z W Z ZW Fü iesen Fa wi: Weenanpassung ngepasste Leitung e ZW e e h ZW e e Keine ückaufene Wee! De bschusswiestan absobiet ie Wee vokommen, ie Leitung vehät sich wie eine unenich ange Leitung. fas ZW ee Wiestansanpassung bewikt auch eine optimae Leistungsanpassung ie ganze vefügbae Leistung wi an en Vebauche abgegeben. TiT / VL 7 TiT / VL 8 De ingangswiestan Z cosh ZW sinh sinh cosh Z ZW Z Z Sonefa: b) Leeaufene Leitung: Z cosh Z Z Z sinh W W W coth Spezie fü ie veustose Leitung,.h. =, = j, ZW ee sinh sinh j jsin cosh cosh j cos cos Z Z jz jsin W W cot TiT / VL fü agemeine eeaufene Leitung Zu inneung: sinhx jy sinh xcos y jcoshxsiny coshx jy cosh xcos y jsinhxsiny fü veustose eeaufene Leitung De ingangswiestan Z cosh ZW sinh sinh cosh Z ZW Z Z Sonefa: c) Kuzgeschossene Leitung: Z = sinh Z Z Z cosh k W W W tanh Spezie fü ie veustose Leitung,.h. =, = j, ZW ee sinh sinh j jsin cosh cosh j cos j sin Z Z jz cos k W W tan TiT / VL fü agemeine kuzgeschossene Leitung Zu inneung: sinhx jy sinh xcos y jcoshxsiny coshx jy coshxcos y jsinhxsiny fü veustose kuzgeschossene Leitung =Z

95 De ingangswiestan Z Z cot jzw cot Z k jzw tan jz W (Leeauf; veustose Leitung) Z jz W k tan (Kuzschuss; veustose Leitung) De ingangswiestan nwenung in e HFTechnik as Sticheitung ("stub ine"): Pobem: ie am ne eine Leitung angeschossene Beastung Z so an en Weenwiestan ZW e Leitung angepasst ween. Lösung: nschuss eine Sticheitung e vestebaen Länge SL im bstan von e Beastung: npassbeingung: ZW Z ZSL ZB ZW B mit: Z jz, tan SL W SL SL Mit eine Leitung veänebae Länge können inuktive un kapazitive Binwiestäne beiebige Göße eingestet ween. SL Zcosh ZW sinh ZB ZW Z sinh Z cosh Daaus können ie Lage e nschussstee (B) sowie ie efoeiche Länge SL emittet ween. W TiT / VL 3 TiT / VL 4 De ingangswiestan De ingangswiestan usnutzung bei Leitungsesonatoen Beispie: eeaufene Leitung Bei bzw. Vehaten wie Reihenesonanzkeis (.h. Scheinwiestan minima) 4 Z Besonee Vehätnisse (nämich jeweis Leeauf oe Kuzschuss) egeben sich fü bzw. bzw. 4 (ie Beziehung fü fogt abei aus e beeits hegeeiteten Beziehung ) Bei bzw. Z Vehaten wie Paaeesonanzkeis (.h. Scheineitwet minima) Fü eine Leitung gegebene Länge iegen ahe nu fü bestimmte Fequenzen (abhängig von e Länge) Resonanzbeingungen vo. Leitungsesonatoen besitzen bessee igenschaften as RLCSchwingkeise. TiT / VL 5 TiT / VL 6 De ingangswiestan Leeaufene Leitung as Leitungsesonato Seienesonanz jeweis fü k k,,3,... Paaeesonanz jeweis fü k k,, 3,... 4 TiT / VL 7 nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN Wiestanstansfomation Veustose Leitung: Z cos jzw sin sin cos Z ZW jz Z nnahme, ass ein ganzzahiges Viefaches von ist. a) geazahiges Viefaches: k k,,3,... k Z ( ) Z ZW Z k Z ( ) W W "/Tansfomato" TiT / VL 8 bzw. k (!) nabhängig von en Leitungseigenschaften ehät man am ingang e /Leitung wiee en bschusswiestan. D.h.: sin Vebinungseitungen / ang, so ween ie Wiestansvehätnisse nicht gestöt. ZW,SL

96 Wiestanstansfomation Resümee: ingangwiestan, Wiestanstansfomation Veustose Leitung: Z cos jzw sin sin cos Z ZW jz Z W nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN nnahme, ass ein ganzzahiges (k Viefaches von ist. ) k,,,... b) ungeazahiges Viefaches: bzw. (!) k 4 k jz ( ) Z Z ZW jz k ( ) Z W W "/4Tansfomato" (k =,,, ) mögicht Wiestanstansfomation ohne Leistungsveuste: Beispiesweise kann ein Wikwiestan Z = R in jeen aneen Wikwiestan Z = R tansfomiet ween, wenn e Weenwiestan es /4Tansfomatos nu zu ZW RR gewäht wi. TiT / VL 9 TiT / VL Messtechnische mittung e Leitungspaamete Refexionsfakto. Schitt: Leitung im Leeauf betieben, Messung von Z. Schitt: Leitung im Kuzschuss betieben, Messung von Z k k Daaus Beechnung von ZW un fogenemaßen: k Beeits hegeeitet: Z ZW coth Z k ZW tanh z z Beeits hegeeitet: z ( ) e e sowie: h h e ZW Mutipikation: k W ZW Z Zk Z Z Z insetzen fü un h : e Z W Division: Nach mfomung: e Z k Z k e e tanh tanh= Z Z e e Z k Z = Z Z k = n Z Z k Z Z Leitungspaamete aus Leeauf un Kuzschussvesuch zu emitten! k ( z) e Z e e Z e ( z) ZWe ( z) ZWe z z W W ückaufene Wee hinaufene Wee Bei seh ange Leitung: Tem fü venachässigba gegenübe em fü h nu noch hinaufene Wee TiT / VL TiT / VL Refexionsfakto Z, W TiT / VL 3 Wee auf seh ange Leitung nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN Refexionsfakto m agemeinen Fa jeoch: Z,, W TiT / VL 4 Z nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN

97 Refexionsfakto ( z) e Z e e Z e ( z) ZWe ( z) ZWe z z W W ückaufene Wee hinaufene Wee Spezie fü as Leitungsene (z = ) git: Refexionsfakto Sonefäe: a) Z = Z W = keine ückaufene Wee! Z,, W W Z ZW Z Z Z = Z W h () Z Z W W Vehätnis von ückaufene zu hinaufene Wee am Leitungsene: Z Z W W us Z Z Z Z Z Z W Refexionsfakto W "Weenanpassung" Die Leitung vehät sich wie eine unenich ange Leitung! nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN TiT / VL 5 TiT / VL 6 Refexionsfakto Sonefäe: Z ZW Z Z W h Refexionsfakto Spannungs un Stomveteiung auf e Leitung, ausgeückt mit Hife von : b) Offenes Leitungsene: Z = = Die am Leitungsene einteffene Wee wi in voe Höhe positiv efektiet. Die esutieene Spannung egibt sich aus e ition beie Ween. z z ( ) Z e ZW e ( ) ( z) W W Z Z W c) Kuzgeschossenes Leitungsene: Z = = Die am Leitungsene einteffene Wee wi in voe Höhe negativ efektiet. Die aus e ition beie Ween esutieene Spannung ist Nu. z ( ) Z e e ( z) ( z) W h Zusammenhang zwischen Stom un Spannung wue beeits hegeeitet: h z ( ) e e Z Z z z W W ( ) Z Z ( z) ( z) W z e e W TiT / VL 7 TiT / VL 8 Refexionsfakto z ( ) Z e e ZW ( z) e e Z ( z) ( z) W W Veeinfachungen: ( z) ( z) a) Leeauf: =, = : ( z) ( z) z ( ) e e cosh ( z) ( z) ( z) ( z) e e sinh ( z) Z Z W W b) Kuzschuss: =, = : ( z) ( z) z ( ) ZW e e ZW sinh ( z) ( z) ( z) ( z) e e cosh ( z) agemeine Fa TiT / VL 9 Zu inneung: cosh sinh x x x x e e x x e e Stehene Ween Soeben hegeeitet fü eeaufene Leitung: z ( ) cosh ( z) TiT / VL z z Z ( ) sinh ( ) Spezie fü ie veustose Leitung,.h. =, = j, ZW ee sinh sinh j jsin cosh cosh j cos fü ie veustose, eeaufene Leitung: z ( ) cos ( z) uzt (,) cos ( z)cost z j z Z ( ) sin ( ) W W W Zu inneung: sinhx jy sinh xcos y jcoshxsiny coshx jy cosh xcos y jsinhxsiny izt (, ) sin ( z)sint Z Zu inneung: jt ut ( ) Re ut ( ) Re e jt e cos t jsin t

98 Stehene Ween Geiche Betachtung fü kuzgeschossene Leitung: z ( ) Z sinh ( z) W ( z) cosh ( z) Stehene Ween Betachtung e Spannung: fü ie veustose, eeaufene Leitung: uzt (,) cos ( z)cost Spezie fü ie veustose Leitung,.h. =, = j, ZW ee u(z,t) = f(z) f(t) sinh sinh j jsin cosh cosh j cos Zu inneung: sinhx jy sinh xcos y jcoshxsiny coshx jy cosh xcos y jsinhxsiny fü ie veustose, kuzgeschossene Leitung: uzt (, ) Z sin ( z)sint W fü ie veustose, kuzgeschossene Leitung: u(z,t) = f(z) f(t) Wesentiche nteschie! z ( ) Z jsin ( z) W uzt (, ) Z sin ( z)sint W ( z) cos ( z) izt (, ) cos ( z)cost Vegeich mit em agemeinen Fa: uzt (, ) Ce cos t z Ce cos t z z z u(z,t) = f(z,t) TiT / VL TiT / VL Stehene Ween Stehene Ween ine Wee heißt stehene Wee, wenn sie uch ein Poukt aus eine nu zeitabhängigen un eine nu otsabhängigen Funktion beschieben ween kann: s Funktion es Otes: s Funktion e Zeit: z Hinaufene Wee Hinaufene Wee,,7 a),7, t u(z,t) = f (z) f (t),,7 z Rückaufene Wee Rückaufene Wee b) t Leeauf,,7,7, Kuzschuss z Resutieene stehene Wee,,7,, 3, 4... vie aufeinane fogene Zeitpunkte,7, c) t Dasteung aus [S] a) b) c),7, TiT / VL 3 TiT / VL 4 Steifeneitung, ebene Wee Kapazitätsbeag: nuktivitätsbeag: b C b C TiT / VL 5 Steifeneitung eektisches Fe eben magnetisches Fe eben Raneffekte venachässigba Weenausbeitung so nicht mit en integaen Gößen un, sonen mit en Fegößen un H hegeeitet ween: Magnetische Spannung uch eingezeichneten mauf; Fe außehab e Patten abei venachässigba: Hb H b B H H L b b b L b b Steifeneitung, ebene Wee C b L b usbeitungskonstante: LC usbeitungsgeschwinigkeit: v c (fü, ) Weenwiestan: Z W L C b Fü en Quotienten egibt sich e Weenwiestan ZW. Fü?? H b b Z W H b b F m Vakuum bzw. in Luft: Z ZF, Vakuum TiT / VL 6 H Feweenwiestan 377

99 Steifeneitung, ebene Wee Vehätnisse in e uftisoieten Steifeneitung: Das eektomagnetische Fe e hin un ückaufenen Wee beitet sich mit Lichtgeschwinigkeit aus. De Quotient aus un H ist geich em Feweenwiestan ZF. Die Fevektoen iegen in benen senkecht zu usbeitungsichtung Sonefa eine ebenen Wee s git (hie unbewiesen): e Z H z F fü ie voaufene Wee fü ie ückaufene Wee (gemein bezeichnet man eine Wee as eben, wenn ie Fächen geiche Phase in benen iegen.) Waneween auf Leitungen Beeits hegeeitet fü en Fa hamonische Gößen: z ( ) e e z z h sowie: h e ZW h : ( z) e Z insetzen fü un e ZWe e ZWe ( z) ZWe ( z) ZWe W z z ückaufene Wee hinaufene Wee TiT / VL 7 TiT / VL Waneween auf Leitungen m agemeinen Fa bei Speisung mit hamonischen Gößen: Waneween auf Leitungen Fage: Z,, W Z Weche Vehätnisse egeben sich, wenn ie Leitung nicht mit hamonischen Gößen gespeist wi, sonen mit tansienten Gößen (mpusen)? Betachtung im Zeitbeeich uch hie beiten sich voaufene un ückaufene Ween aus, ie jeoch nicht zu stehenen Ween auf e Leitung fühen. Waneweenvogänge auf e Leitung nach: H.G. nge ektomagnetische Ween auf Leitungen HüthigVeag, Heiebeg, 98 SBN TiT / VL TiT / VL 3 Waneween auf Leitungen Jee eektomagnetische Vogang hat eine eniche usbeitungsgeschwinigkeit. Äneungen von Spannung un Stom beiten sich as Waneween auf e Leitung aus. bhängigkeit e Gößen von Zeit un Ot Beispie: Bitzübespannungswee auf eine Feieitung ( μs Stinzeit; usbeitungsgeschwinigkeit v = c 3 8 m/s) u t μs μs 3 μs Zeitabhängigkeit an einem festen Ot 4 μs u TiT / VL 4 Otsabhängigkeit zu einem festen Zeitpunkt z 3 m 6 m 9 m m Waneween auf Leitungen Wee statet bei t =, z = u z = m z = m z = 6 m z = 6 m μs μs 3 μs z = 3 m z = 3 m z = 9 m z = 9 m t 4 μs u TiT / VL 5 t = μs t = μs t = μs t = μs t = 3 μs t = 3 μs 3 m 6 m 9 m m z t = 4 μs t = 4 μs

100 3 m/μs Waneween auf Leitungen Waneweenvogänge imme ann, wenn sich eektische Zustansäneungen in eine Zeit abspieen, ie in e Gößenonung e usbeitungszeit iegt usbeitungsgeschwinigkeit in Luft ( =, µ = ): v = c = 3 m/μs usbeitungsgeschwinigkeit in Luft ( =, µ = ): v = c = 3 m/μs Laufzeit übe ein Feieitungsspannfe (3 m): μs Laufzeit übe eine 3 km ange Feieitung: ms Räumiche usehnung Bitzübespannungswee (ca. μs): ca. 3 km Räumiche usehnung BitzübespannungsStin (μs): 3 m Waneween auf Leitungen uswikungen auf Vogänge im SubMikosekunenbeeich Beispie: schnee Spannungsäneung, z.b. Spannungszusammenbuch usbeitungsgeschwinigkeit in Luft: v = c = 3 m/μs usbeitungsgeschwinigkeit in einem Messkabe: v = c/ = 5 m/μs Räumiche usehnung e Spannung Fanke t = ns Fanke t = ns Peioe 3,3GhzTakt in Luft 3 m 3 m cm Räumiche usehnung LHÜbegang CMOSHC (,5 ns): 75 mm Räumiche usehnung 3GHzRechteckschwingung (,333 ns): mm Laufzeit eines mpuses übe eine 3 cm ange Leitebahn: ns im Messkabe 5 m,5 m 5 cm TiT / VL 6 TiT / VL 7 Waneween auf Leitungen Diffeentiageichungen e Leitung ufteten bzw. usnutzen von Waneweenvogängen: z R L z L z z R inschaten eine eektisch angen eeaufenen Leitung usbeitung von Bitzübespannungen auf eine Leitung Schutzbeeich von Übespannungsabeiten (Vaistoen) Cz Gz satzschatbi eines Leitungseements as TGie zeugung un Messung von mpusspannungen zeugung von Rechteckspannungen un stömen Feheotung in Kaben/Leitungen "mpusefektometie" Feheotung in Lichtweeneiten izt (,) uzt (,) Gu ( zt, ) C z t uzt (,) izt (,) Ri ( zt, ) L z t Zu Veeinfachung: nnahme eine veustosen Leitung: beeits hegeeitet: Diffeentiageichungen e eektischen Leitung izt (, ) uzt (, ) C z t uzt (, ) izt (, ) L z t TiT / VL 8 TiT / VL 9 Diffeentiageichungen e Leitung u i beitung von L' nach em Weg: z t beitung von i u C ' z t nach e Zeit: TiT / VL u i L' z tz i u C' tz t u u LC ' ' z t Diffeentiageichungen e Leitung beitung von beitung von u i L' z t i u C ' z t nach e Zeit: nach em Weg: TiT / VL u i L' zt t i u C' z zt i i LC ' ' z t

101 Diffeentiageichungen e Leitung Waneween usbeitungsgesetze u u LC ' ' z t i i LC ' ' z t uzt (, ) f( zvt) f( zvt) uv u izt (, ) f( zvt) f( zvt) iv i Z Z uv u gemeine Weengeichungen e veustosen Leitung gemeine Lösung von embet (77783): uzt f z vt f z vt u u (, ) ( ) ( ) v uv u v LC ' ' usbeitungsgeschwinigkeit iv i Spannung un Stom setzen sich jeweis aus eine voaufenen un eine ückaufenen Wee zusammen. Zu eine voaufenen positiven Spannungswee gehöt eine positive voaufene Stomwee: uv iv z izt f z vt f z vt i i Z Z (,) ( ) ( ) v iv i L ' Z C ' Weenwiestan Zu eine ückaufenen positiven Spannungswee gehöt eine negative ückaufene Stomwee: u z i TiT / VL TiT / VL 3 Waneween usbeitungsgesetze z Waneween usbeitungsgesetze usbeitungsgeschwinigkeit (beeits hegeeitet) z z L ' n C ' n (vg. TiT VL 8) (vg. TiT VL 5) z usbeitungsgeschwinigkeit v LC ' ' c Waneweenausbeitung beim pötzichen bfießen eine feigewoenen nfuenzaung auf eine Feieitung; inke Bihäfte: zeitiche ntwickung e Fee; echte Bihäfte: Waneween auf e Leitung z mit µ = 4 7 Vs/m Pemeabiitätskonstante es Vakuums = 8,854 s/vm Dieektizitätskonstante es Vakuums c 3 m/μs Lichtgeschwinigkeit TiT / VL 4 TiT / VL 5 Waneween usbeitungsgesetze usbeitungsgeschwinigkeit usbeitungsgeschwinigkeit Wegen µ = : vc v LC ' ' TiT / VL 6 c Luft: =,6 vluft = c = 3 m/μs Kabe: =, vkabe = 9 m/μs... 5 m/μs nu vom Dieektikum abhängig! Waneween usbeitungsgesetze Weenwiestan Beispiee L ' n Z L C ' ' C ' n n (vg. TiT VL ) vom Dieektikum abhängig von e Geometie abhängig jeoch keine Otsabhängigkeit! TiT / VL 7 L' Z b L C ' ' C ' b b

102 Waneween usbeitungsgesetze Waneween Refexion un Bechung Weenwiestan Zahenwete: uv iv Feieitungen (je nach Spgs.bene): Z (5 4) negiekabe: Z 4 Leitung Leitung Z Z Tansfomatowickung: Z... 4 KoaxMesskabe (z.b. RG58, RG3): Z = 5 Vieokabe: Z = 75 ntenneneitung an Dipo: Z = 3 uv = Z iv uv un iv efahen an e Stoßstee eine Veäneung Bechung (spüngiche Ween aufen mit ehöhte oe in veminete Höhe weite.) Refexion (s aufen Ween von e Stoßstee zuück.) TiT / VL 8 TiT / VL 9 Waneween Refexion un Bechung Waneween Refexion un Bechung u v, i v u = u u v, i v u = u i i i = i i i i = i Leitung u u Leitung Z Z Leitung u u Leitung Z Z u = u v u u = u v u = u v u = u v u i = i v i = = u = u v u = u v i = i v i = i v i = i v i i = i v i = i v uv u = u v iv i = i v uv u = u v iv i = i v uv u uv Z u u u Z Z Z Z v v u = u v u v uv Z u Z Z v b u bu Spannungsbechungsfakto TiT / VL TiT / VL Waneween Refexion un Bechung u b Z i u i b v u v v v u Z Z Z i Z Z b b i Z Z Z v u i v uv Z u Z Z v bi Stombechungsfakto TiT / VL b u Waneween Refexion un Bechung u v, i v i Leitung u Z Leitung u Z u = u v u i = i v i uv u = u v iv i = i v i u = u i = i u = u v u = u v i = i v i = i v u u u b u u u ( b ) u v v u v v v u v u u Z Z b u u uv Z Z bu Spannungsefexionsfakto TiT / VL 3 u u v v b u

103 Waneween Refexion un Bechung Waneween Refexion un Bechung u v, i v u = u i = i i i Leitung u Leitung u uv Z u Z Z v b u Spannungsbechungsfakto Z Z iv Z i Z Z v b i Stombechungsfakto u = u v u u = u v u = u v i = i v i uv u = u v i = i v i = i v u Z Z b u u uv Z Z Spannungsefexionsfakto iv i = i v i i i b i i i ( b ) i v v i v v v i v i i Z Z b i i iv Z Z bi Stomefexionsfakto i i v v b i i Z Z b i i iv Z Z Stomefexionsfakto TiT / VL 4 TiT / VL 5 Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u Leitungsanfang u Leitungsene uv uv, i v uv uv, i v uv iv t t Leitung i R u Z, uv iv i iv i iv Leitung i R u t t Z, a) Offenes Leitungsene R R Z u u = u v u = uv u = u v R Z i Z R Z R i = i v i = iv i = Spannungsveoppung am Leitungsene, Stom Nu TiT / VL 6 TiT / VL 7 Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u uv uv i iv iv i b) Kuzgeschossenes Leitungsene R = R Z u = u v u = uv u R Z = u Z R i = i v i = iv i = i v Z R Stomveoppung am Leitungsene, Spannung Nu Leitungsanfang t t uv, i v Leitung Z, i R u TiT / VL 8 u uv uv i iv iv Leitungsene t t Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u uv uv i iv iv c) bschuss mit Weenwiestan R = Z R Z u = u = u v u = u u v R Z Z R i = i = i v i = i i v Z R Wee Bechung noch Refexion Leitungsanfang t t uv, i v Leitung Z, i R u TiT / VL 9 u uv uv i iv iv Leitungsene t t

104 Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u Leitungsanfang u Leitungsene uv uv uv, i v uv uv bschuss R = Z iv t t i iv Leitung i R u Z, iv i iv offenes ne t t ) Wiestan am Leitungsene Z R Kuzschuss i u R Z R Z Z R Z R u = u v u = uv u = u v i = i v i = iv i = i v Spannungsehöhung un Stomeuzieung am Leitungsene TiT / VL 3 TiT / VL 3 Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u Leitungsanfang u Leitungsene u Leitungsanfang u Leitungsene uv uv, i v uv uv uv uv uv uv uv iv t t i iv Leitung i R u Z, iv i iv iv t C iv t i iv i iv t t t t e) Wiestan am Leitungsene R Z f) Konensato am Leitungsene Z von u i R Z R Z Z R Z R u = u v u = uv u = u v i = i v i = i v i = i v ut u v () e tzc it i () e tzc v Spannungseuzieung un Stomehöhung am Leitungsene TiT / VL 3 TiT / VL 33 Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene u uv uv i iv iv g) nuktivität am Leitungsene Z von Leitungsanfang t t L TiT / VL 34 ut u v () e tl Z v u uv uv iv iv it () i e tl Z i Leitungsene t t Waneween Refexion un Bechung am Leitungsene Weenesatzschatbi uv Z R L C TiT / VL 35 uv u ik = u v /Z = i v Z iv i

105 Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm Refexions un Bechungsfaktoen 3 Otsachse inaufene Spannungswee 3 4 Zeitachse am Ot "" Zeitachse am Ot "" Zeitachse am Ot "B" Zeitachse am Ot "B" TiT / VL 36 TiT / VL 37 OtsZeitchsen OtsZeitchsen OtsZeitchsen Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm TiT / VL 38 TiT / VL 39 Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm TiT / VL 4 Beechnung von WWVogängen BeweyDiagamm TiT / VL 4

106 Waneween ntstehung von Schwingungen Waneween ntstehung von Schwingungen 3 Ri <<Z u Leitung mit Weenwiestan Z u un Laufzeit Ri <<Z Leitung mit Weenwiestan Z u u un Laufzeit Z Z R Z Z Z R Z i i 3 Z Z Z Z Z Z TiT / VL 4 TiT / VL 43 ( ) ( ) ( ) o u t u t Waneween ntstehung von Schwingungen Ri <<Z Leitung mit Weenwiestan Z u u un Laufzeit,5 u, t/ TiT / VL 44 u/u Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN Kabepuse PFN (= puse foming netwok) R >> Z Kabe mit mpusaufzeit R = Z u R >> Z PFN mit mpusaufzeit T = 4 Z R = Z zeugung echteckfömige Spannungen un Stöme im Miko un Miisekunenbeeich: Stom un Spannungsechteckimpus mit T = TiT / VL 45 Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN chag e chag e t = Z, Z, TiT / VL 46 Rut = Z Rut = Z Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN chag e chag e t > Z, Z, TiT / VL 47 v = / Rut = Z v = /Z Rut = Z

107 Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN v = / v = / chag Z, Rut = Z chag Z, Rut = Z e e v = /Z v = /Z chag Z, Rut = Z chag Z, Rut = Z e e t = t > TiT / VL 48 TiT / VL 49 Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN chag e chag Z, Z, v = / Rut = Z v = /Z Rut = Z ,,,4,6,8,,4,6,8 e,5,5,5 3 3,5 4 t = t [ms] TiT / VL 5 TiT / VL 5 [kv] [k] Waneween ntaung eines Kabes oe eines PFN Waneweenvogänge estes Osziogamm eine WW TiT / VL 5