8 Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren

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1 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 8.1 Flächen De Frm Perfekt und Co. übersedelt n en neues Büro. Leder snd de Fußböden n engen Büroräumen so schlecht, dss dort en neuer Prkettboden verlegt werden muss. Toms und Srs Nchbrn st Sekretärn be deser Frm. Se erhält den Auftrg, Kostenvornschläge für de Snerung enzuholen. De Räume snd 5,8 m 6,5 m bzw. 6,4 m 7, m. Zur Kontrolle rechnet de Sekretärn de Flächennhlte us. In desem Kptel wederholst und lernst du 1. de Egenschften von Rechteck, Qudrt und Dreeck,. Umfng- und Flächennhltsberechnungen be desen Fguren, 3. Qudreren und ds Zehen der Qudrtwurzel, 4. we mn ds mt dem Tschenrechner mcht, 5. den Lehrstz des Pythgors und ws mn dmt berechnen knn. 708 b, e, f 709 zwedmensonl 710 Flächen snd zwedmensonl, Körper snd dredmensonl. 708 Wobe hndelt es sch um ene Fläche? ) Kugel b) Rechteck c) Zylnder d) Kegel d) Quder e) Qudrt f ) Dreeck 709 Ist ene Fläche en-, zwe- oder dredmensonl? 711 Würfel 710 Ws st der Untersched zwschen Flächen und Körpern? 711 Welcher Körper entsteht, wenn sechs Qudrte so zusmmengeklebt werden, dss jewels zwe Qudrte ene gemensme Knte blden und jewels dre Qudrte ene 713 Verecke, Fünfeck, Sechseck, gemensme Ecke? Trpez, Deltod, I3 H1 Prllelogrmm, K1 71 Skzzere ) en Rechteck b) en Qudrt und beschrfte es! Rute usw. I3 H1 K1 713 Welche ebenen Flächen kennst du noch? Skzzere se! ) )

2 Ds Rechteck Wederholung 8. Ds Rechteck Wederholung 714 Zechne en belebges Rechteck und beschrfte es! Welche Egenschften hben Rechtecke? Besprch dch mt dener Nchbrn/denem Nchbrn! 715 Nenne mndestens fünf Bespele für rechteckge Flächen! I3 K1 716 Konstruere ds Rechteck und zechne den Umkres en! ) ) = 4,5 cm; b = 3 cm b) = 5, cm; b = 3,8 cm I3 H3 K1 717 Mt welcher der folgenden Formeln knn mn den Umfng enes Rechtecks be- ) rechnen? Kreuze n! (1) u = + b () u = + b (3) u = + b (4) u = ( + b) I3 H3 K1 718 Pul Kuddelmuddel knn sch ncht mehr drn ernnern, we der Flächennhlt ) enes Rechtecks berechnet wrd. Ihr fllen vele Formeln en. Welche st de rchtge? (1) A = + b () A = b (3) A = (4) A = b Umfng und Flächennhlt des Rechtecks Berechnung des Umfngs: u= + b oder u = ( + b) 715 Geldschen, Fußbllfeld, Tschpltte, Heftsete, Fensterschebe usw. 716 ) r =,7 cm b) r = 3, cm 717 Rchtg snd () und (4). 718 Rchtg st (). Berechnung des Flächennhlts: A= b I3 K1 719 Berechne de Umfänge folgender rechteckger Flächen! Um welche Fläche könnte ) es sch dbe jewels hndeln? ) = 4,5 m; b = 5,6 m c) = 17 cm; b =,4 dm 714 gegenüberlegende Seten snd prllel und glech lng, ver rechte Wnkel b) = 95 m; b = 0, km d) = 1,3 cm; b = 9 mm I3 K1 70 Konstruere de rechteckgen Flächen m ngege- ) benen Mßstb! Berechne den Umfng der Flächen n Wrklchket! ) Arbetszmmer:,80 m 3,40 m; M 1 : 100 b) Grundstück: 34 m 38 m; M 1 : 500 c) Tschpltte: 10 cm 80 cm; M 1 : 0 d) Wese: 180 m 110 m; M 1 : Spelfelder müssen ene gewsse Größe hben. Welche Mße hben ) Fußbllfelder b) Bsketbllfelder c) Volleybllfelder d) Hndbllfelder mndestens bzw. höchstens? Recherchere de Mße und berechne nschleßend de Flächennhlte! 719 ) 0, m; Zmmer b) 590 m; Acker c) 8 cm; Buch d) 44 mm; Stcker 70 ) 1,4 m b) 144 m c) 400 cm d) 580 m 71 Suche z. B. be wkped.t!

3 4,5 dm 4 m 6,4 m Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 7 ) 74,4 cm 7 Mss Länge und Brete enes ) 5- -Schens b) 10- -Schens b und berechne den b) 85,09 cm Flächennhlt! 73 ) 1,6 m ; Tschpltte b) 39,6 dm ; Bld c) 1,3 m, Blumenbeet d) 1,665 m ; Tür 74 ) 1364 m b) K1 73 Berechne de Flächennhlte folgender rechteckger Flächen! Um welche Flächen könnte es sch dbe hndeln? ) = 1,8 m; b = 90 cm b) = 55 cm; b = 7, dm c) = 1,5 m; b = 88 cm d) = 90 cm; b = 1,85 m 74 En Grundstück st 46 m lng und 3 m bret. Druf wrd en 1 m lnges und 9 m bretes Wohnhus errchtet. ) We vel m bleben für de Grtenfläche? b) Fertge ene Skzze des Grundstücks n enem geegneten Mßstb n! Wo würdest du ds Hus hnbuen? Begründe dene Menung! In ener Zetung steht folgende Anzege: Bugrund n bester Lge! 36,5 m 7 m um nur We vel kostet 1 m? 76 ) 54 b) 3 76 En 7 m 4 m großes Grundstück wurde um ) b) verkuft. Berechne den Pres für 1 m! 77 A 1 : u = 41,4 dm; A = 76,98 dm ; A : u = 35,6 m; A = 39,36 m 77 Berechne Umfng und Flächennhlt der zusmmengesetzten Flächen! 78 A 1 : 78 Berechne Umfng und Flächennhlt der zusmmengesetzten Flä- u = 466 cm; A = cm ; A : chen (Mßngben n cm)! u = 59 cm; A = 118,3 cm 34 6,9 dm 76 6, dm 4 m,9 m A1 A 13,8 dm 9,8 m A 1 A 61 5, ,9 9 9,4,8 m 79 Zechne ene us Rechtecken zusmmengesetzte Fläche! Berechne Umfng und Flächennhlt! (Entnmm de Mße der Zechnung!) 730 Gbt es n eurer Schule oder be dr zu Huse ene us Rechtecken zusmmengesetzte Fläche? Skzzere se! Mss de entsprechenden Längen n der Wrklchket b! Berechne nschleßend Umfng und Flächennhlt! 731 3,5 Stunden 731 Ds Gemüsebeet von Fmle Müller st 6,5 m lng und 4 m bret. Im Herbst wrd umgestochen. Für m brucht Fru Müller 1 Stunde. We lnge brucht se nsgesmt 4 73 für ds gnze Gemüsebeet (ohne Puse)? ) u = (r + s + t); 73 En Rechteck ht de Seten mt den Längen r und s. A = s(r + t) b) s t ) De Sete r wrd um de Länge t vergrößert. Gb sowohl ene Formel zur Berechnung des Umfngs ls uch ene zur Berechnung des Flächennhlts n! b) We verändert sch der Flächennhlt? Gb ene Formel n, de den Untersched zwschen den Flächennhlten der beden Rechtecke usdrückt! 6,

4 8.3 Ds Qudrt En Rechteck ht de Seten mt den Längen v und w. De Sete v wrd um de Länge x verkürzt. Gb ene Formel zur Berechnung des Umfngs und zur Berechnung des Flächennhlts n! K1 734 We groß st der Flächennhlt des Rechtecks? ) De Länge st dreml so groß we sene Brete, der Umfng beträgt 80 cm. b) De Länge st verml so groß we sene Brete, der Umfng beträgt 50 mm. c) De Länge st um 8 cm länger ls sene Brete, der Umfng beträgt 84 cm. d) De Brete st um 9 cm kürzer ls sene Länge, der Umfng beträgt 16 cm. K1 735 Von enem Rechteck snd der Flächennhlt und de Länge ener Sete beknnt. Berechne de Länge der nderen Sete und den Umfng! ) A = 690,9 cm ; = 4,5 cm b) A = 1,14 m ; b = 1, m c) A = 6,67 dm ; = 7,6 dm d) A = 48,96 cm ; b = 7, cm K1 736 Berechne de fehlende Sete und den Flächennhlt des Rechtecks! ) u = 48, cm; = 14,8 cm b) u = 1,8 m; b = 0,7 m c) u = 365,8 mm; b = 14 mm d) u = 16,1 dm; = 3,75 dm 737 Zwe Wesen hben de gleche Umfngslänge. Ene Wese ht de Abmessungen 48 m x 65 m. De ndere Wese st 60 m lng. ) Berechne de Brete der zweten Wese! b) Berechne de Flächennhlte der beden Wesen! 738 Zwe Rechtecke hben den glechen Flächennhlt. En Rechteck st 30 cm lng und 10 cm bret. Ds zwete Rechteck st 40 cm bret. ) Berechne de Länge des zweten Rechtecks! b) Berechne de Umfänge der beden Rechtecke! 8.3 Ds Qudrt H1 K1 739 Skzzere en Qudrt und nenne de Egenschften von Qudrten! H4 K1 740 Im Buch der 1. Klsse steht: Ds Qudrt st en besonderes Rechteck. Ws st dmt gement? 741 Konstruere en Qudrt mt = 47 mm! Berechne nschleßend den Umfng und den Flächennhlt! 74 Konstruere en Qudrt mt = 4,4 cm! Zechne sowohl den Umkres ls uch den Inkres en! Berechne ebenflls Umfng und Flächennhlt! Berechnung des Umfngs: u = 4 Berechnung des Flächennhlts: A = oder A = Umfng und Flächennhlt des Qudrts 733 u = (v + w x); A = w(v x) 734 ) 300 cm b) mm c) 45 cm d) 97 cm 735 ) b = 8, cm; u = 105,4 cm b) = 0,95 m; u = 4,3 m c) b = 3,5 dm; u =,4 dm d) = 6,8 cm; u = 8 cm 736 ) b = 9,3 cm; A = 137,64 cm b) = 0, m; A = 0,14 m c) = 58,9 mm; A = 7 303,6 mm d) b = 4,3 dm; A = 16,15 dm 737 ) 53 m b) 310 m ; 3180 m 738 ) 90 cm b) 300 cm, 60 cm 740 Es st wegen der 4 rechten Wnkel en Rechteck, ber es ht uch noch glech lnge Seten mm, 09 mm 74 r U = 3,1 cm; r I =, cm, u = 17,6 cm; A = 19,36 cm

5 136 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 743 ) 40 cm, 100 cm b) 36 mm, 81 mm c) 44 cm, 11 cm d) 8 dm, 49 dm 744 ) 900 b) 500 c) d) 0,04 e) 0,36 f) 0, Er rechnete und ncht. 746 ) 73,96 b) 7,9 c) 88, ) 0,04; 0,0004; 0, b) 1936; 19,36; 0,1936; Dezmlstellen verdoppeln sch! 749 ),09 dm b) 0,791 m c) 174,49 cm d) 3745,44 mm 750 ) 19,04 b) 1 497,69 c) 90,6304 d) 0, mm ; c. 15 Prozent 75 ) 18,4 cm; 338,56 cm b) 0,73 m; 0,539 m c),45 dm; 6,005 dm d) 8,1 cm; 789,61 cm K1 743 H4 K 745 Berechne Umfng und Flächennhlt der Qudrte m Kopf! ) = 10 cm b) = 9 mm c) = 11 cm d) = 7 dm 744 Berechne m Kopf! ) 30 b) 50 c) 400 d) 0, e) 0,6 f ) 0,08 Pul Kuddelmuddel berechnet den Flächennhlt enes Qudrtes mt = 56 mm und erhält A = 11 mm. Ws ht er flsch gemcht? Tpp 8.1 Auf denem Tschenrechner hst du ene x -Tste. Dmt knnst du sofort de Qudrtzhl berechnen! 746 Berechne mt dem Tschenrechner! ) 8,6 b),7 c) 9,4 747 Schrebe dener Nchbrn/denem Nchbrn zehn Zhlen zum Qudreren uf! Kontrollere de Ergebnsse! 748 Berechne und vergleche de Ergebnsse! Ws fällt dr uf? ) 0, ; 0,0 ; 0,00 b) 44 ; 4,4 ; 0, Berechne den Flächennhlt der Qudrte! Gb zuerst de Formeln mt der gegebenen Setenlängenbezechnung n! ) x = 4,7 dm b) y = 0,89 m c) s = 35,7 cm d) k = 61, mm 750 Mche ene Überschlgsrechnung und setze ds Komm! Überprüfe ds Ergebns mt dem Tschenrechner! ) 14,8 = b) 38,7 = c) 9,5 = d) 0,016 = Für en Modell wrd de gelbe Fgur usgeschntten. Berechne den Flächennhlt deser Fgur (Mße n mm)! We vel Prozent der ursprünglchen Qudrtfläche wurde herusgeschntten? K1 75 Von enem Qudrt kennt mn den Umfng. Berechne de Setenlänge und den Flächennhlt! ) u = 73,6 cm b) u =,9 m c) u = 9,8 dm d) u = 11,4 cm 753 Welchen Flächennhlt ht ds bgebldete Qudrtmuster? We lng st ene Sete? Beschrebe llgemen! Enhetsqudrte, 4 Enheten 754 ) cm b) 3 cm c) 5 cm d) 7 cm 754 Überlege! Gegeben st der Flächennhlt enes Qudrtes. Welche Setenlänge ht ds Qudrt? Erkläre, we du vorgegngen bst! ) 4 cm b) 9 cm c) 5 cm d) 49 cm

6 8.3 Ds Qudrt 137 Qudrtwurzel De Umkehroperton zum Qudreren st ds Zehen der Qudrtwurzel. Ds Zechen für de Qudrtwurzel st. x = y, drus folgt x = y De Zhl x heßt Qudrtwurzel der Zhl y, wenn x = y. Dbe können x und y ncht negtv sen. Anders usgedrückt: De Qudrtwurzel st jene Zhl, deren Qudrt de Zhl unter dem Wurzelzechen ergbt: z. B.: 81 = 9 Mn sgt: De Qudrtwurzel us 81 st 9. oder kurz De Wurzel us 81 st 9. Ds Wurzelzechen st us dem Buchstben r (vom ltenschen Wort rdx = Wurzel) entstnden. 755 Berechne den Wert der Qudrtwurzel m Kopf! ) 64 b) 100 c) 0,16 d) 0,04 e) 400 f ) g) 0,5 h) 0, ) 8 b) 10 c) 0,4 d) 0, e) 0 f) 300 g) 0,5 h) 0,06 Tpp 8. Verwende be größeren Zhlen den TR zum Wurzelzehen! Je nchdem, welchen TR du hst, musst du folgende Tsten verwenden: Rechner mt zwezelger Anzege: zuerst Wurzeltste, dnn Rdknd engeben und Glechhetszechen. Rechner nur mt Zhlennzege: Rdknd engeben und dnn Wurzeltste. Runde erst ds Ergebns! Nmm eventuell Zwschenergebnsse n den Specher! 756 ) 73 b) 4,89 c) 15, d) 8,97 I1 K1 756 Berechne de Qudrtwurzel mt dem Tschenrechner! ) 539 b) 3,911 c) 31,04 d) 80, De Zhl unter I1 H4 K3 757 Pul Kuddelmuddel möchte us 81 de Wurzel zehen. Ihr Tschenrechner sgt: ERROR. Knnst du erklären, wrum ds so st? 758 Überlege dr, zwschen welchen beden ntürlchen Zhlen de Qudrtwurzel us der ngegebenen Zhl legt! Überprüfe den Ergebns mt dem Tschenrechner! ) 5 b) 18 c) 50 d) Ene Schülern/en Schüler der zweten Klsse ht n der Tfel n der drtten Klsse den Begrff Qudrtwurzel gelesen und st neugerg geworden. We könntest du hr/hm erklären, ws drunter zu verstehen st? 760 Von enem Qudrt st der Flächennhlt beknnt. Berechne de Länge der Sete! Gb zuerst ene Formel dfür n! ) A = 1 747,4 cm b) A = 8,09 m c) A = 0,0196 m d) A = 1 55,5 m der Wurzel st ene Qudrtzhl und knn dher ncht negtv sen! 758 ), 3 b) 4, 5 c) 7, 8 d) 8, ) 41,8 cm b) 5,3 m c) 0,14 m d) 39,05 m

7 138 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren Rechenregeln für Wurzeln b = b ( 0; b 0), d z. B.: 9 4 = 36 = 6 bzw. 9 4 = 3 = 6 = b b ( 0; b > 0), d z. B.: 16 5 = 0,64 = 0,8 bzw = 4 5 = 0,8 761 ) 3 b) 7 c) I K1 761 Zehe de Qudrtwurzel us dem Bruch, ndem du de entsprechende Rechenregel d) 9 e) 4 f) 8 nwendest! ) b) c) d) e) f ) ) 4 b) 35 c) 4 d) 50 e) 4 f) 44 g) 90 h) 1 ) 48 j) ) Hypotenuse b) dem rechten Wnkel gegenüber c) den rechten Wnkel = 5 I1 K1 76 H3 K 764 Schreb ls Produkt von zwe Qudrtwurzeln und berechne! 4 9 = 4 9 = 3 = 6 ) b) 5 49 c) 64 9 d) e) f ) g) h) ) j ) Ds rechtwnklge Dreeck und der Lehrstz des Herrn Pythgors Sr und Tom schuen sch ene Dokumentton m Fernsehen über ds lte Ägypten n. D wrd berchtet, dss der Nl jedes Jhr ds fruchtbre Lnd überschwemmte und dmt düngte. De Ackergrenzen wren ddurch ber uch unkenntlch, sodss se weder neu vermessen werden mussten. Dbe wurde zum Abstecken des rechten Wnkels ene Knotenschnur, we n der Abbldung drgestellt, verwendet. 763 Tom und Sr wollen wssen, ob ds mt der Knotenschnur wrklch funktonert, und mchen es den lten Ägyptern nch. Probert es uch! De ufgelegte Knotenschnur ergbt en rechtwnklges Dreeck. Betrchte de Abbldung und bentworte folgende Frgen! ) Welche Sete st de längste Sete m rechtwnklgen Dreeck? b) Wo legt de längste Sete m rechtwnklgen Dreeck? c) Welchen Wnkel schleßen de beden Ktheten en? 765 Pythgors knnte uch ds Problem, ds de lten Ägypter htten. Der Geschchte zufolge fnd er enen Bewes für den bgebldeten Schverhlt. Konstruere en rechtwnklges Dreeck mt den Kthetenlängen 3 cm bzw. 4 cm und der Hypotenusenlänge 5 cm! Errchte über jeder Sete en Qudrt, so we n der nebenstehenden Zechnung. Berechne nun von jedem Qudrt den Flächennhlt! Fndest du zwschen desen dre Werten enen Zusmmenhng?

8 Ds rechtwnklge Dreeck und der Lehrstz des Herrn Pythgors Pythgors von Smos ( v. Chr.) wr en ntker grechscher Phlosoph und Gründer ener enflussrechen relgös-phlosophschen Bewegung. Als Verzgjährger verleß er sene grechsche Hemt und wnderte nch Untertlen us, wo er ene Schule gründete. In der Spätntke und m Mttellter wren de Gelehrten der Überzeugung, Pythgors se der Begründer der Mthemtk. Dmt wr vor llem de Geometre gement, de für de ntken Grechen der wchtgste Tel der Mthemtk wr. Der Lehrstz des Pythgors In jedem rechtwnklgen Dreeck glt: De Summe der beden Kthetenqudrte st flächenglech mt dem Hypotenusenqudrt. Allgemen glt: + b = c Dre ntürlche Zhlen, b und c, de dese Glechung erfüllen, werden ls pythgoräsches Zhlentrpel bezechnet. I3 H1 K1 766 Zechne jewels den rechten Wnkel en und formulere den Lehrstz des Pythgors ) mt den ngegebenen Setenbezechnungen der Dreecke! I3 H1 K 767 Skzzere en rechtwnklges Dreeck (m = Hypotenuse, n und o = Ktheten) und ) stelle den Lehrstz des Pythgors uf! 768 (1) We groß st der Flächennhlt b b des lnken gelben Qudrts? () We groß st de Summe der Flächenb nhlte der beden rechten gelben Quc drte? b b b b (3) Ws st größer: Der Flächennhlt des lnken gelben Qudrts oder de Sum b b me der Flächennhlte der beden rechten gelben Qudrte? (4) We hängt ds mt dem Lehrstz des Pythgors zusmmen? (5) Weso knn mn drus schleßen, dss der Lehrstz des Pythgors für jedes rechtwnklge Dreeck glt? 766 r + s = t, b + c =, e + n = d, z + m = v, g + f = h, p + k = b, u + v = w, d + m = c, o + g = n 767 n + o = m 768 (1) c () + b (3) bede snd glech groß (4) + b = c (5) de ver färbgen Dreecke snd kongruent, c st de Hypotenuse und und b snd de Ktheten. De Zechnung glt für jedes rechtwnklge Dreeck.

9 140 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 769 ) j b) j c) j d) nen 769 Überprüfe, ob de Bezehung + b = c gegeben st! ) = 45 cm; b = 4 cm; c = 51 cm b) = 6 cm; b = 3, cm; c = 6,8 cm c) = 4 cm; b = 9,6 cm; c = 10,4 cm d) = 35 mm; b = 57 mm; c = 68 mm I mm, mm K1 En rechtwnklges Dreeck ht folgende Setenlängen: = 10 mm, b = 5 mm, c = 55 mm. Berechne Umfng und Flächennhlt! Umfng und Flächennhlt des rechtwnklgen Dreecks (Wederholung us der. Klsse) Berechnung des Umfngs: u = + b + c Berechnung des Flächennhlts: A = b Der Flächennhlt enes rechtwnklgen Dreecks st glech dem hlben Produkt der beden Längen der Ktheten. 771 ) j; 18 cm; 10,8 cm b) j; 13 mm; 330 mm c) j; 0 cm; 15 cm d) j; 10 mm; 540 mm 77 ) A b) A c) A ) c = 1 mm, u = 64 mm, A = 130 mm b) c = 34 cm, u = 540 cm, A = 970 cm c) c = 76,5 cm, u = 180 cm, A = 115 cm d) c = 1 dm, u = 8,8 dm, 771 Konstruere ds gegebene Dreeck! Hndelt es sch dbe um en rechtwnklges Dreeck? Überprüfe uch durch ene Rechnung! Berechne uch Umfng und Flächennhlt, flls es sch um en rechtwnklges Dreeck hndelt! ) = 3 cm; b = 7, cm; c = 7,8 cm b) = 11 mm; b = 60 mm; c = 61 mm c) = 7,5 cm; b = 4 cm; c = 8,5 cm d) = 45 mm; b = 4 mm; c = 51 mm 77 We verändert sch der Flächennhlt enes rechtwnklgen Dreecks, wenn ) ene Kthete hlbert wrd? b) ene Kthete verdoppelt wrd? c) bede Ktheten verdoppelt werden? Rechtwnklges Dreeck Gegeben: = 9 cm; b = 4,8 cm Gesucht: c c = + b c = 9 + 4,8 c = 104,04 c = 104,04 c = 10, cm A = 34,56 dm K ) 7 mm, 1080 mm b) 180 mm, 6750 mm c) 9,9 cm; 83,16 cm d) 1 cm; 135 cm K1 774 Von enem rechtwnklgen Dreeck snd de Längen der beden Ktheten beknnt. Berechne de Länge der Hypotenuse, den Umfng und den Flächennhlt! ) = 10 mm; b = mm b) = 90 cm; b = 16 cm c) = 36 cm; b = 67,5 cm d) = 9,6 dm; b = 7, dm Von enem rechtwnklgen Dreeck kennt mn de Länge der Hypotenuse c und de Länge ener Kthete. Berechne de Länge der fehlenden Kthete und den Flächennhlt des Dreecks! ) = 30 mm; c = 78 mm b) b = 75 mm; c = 195 mm c) b = 16,8 cm; c = 19,5 cm d) =,5 cm; c = 5,5 cm

10 8.4 Ds rechtwnklge Dreeck und der Lehrstz des Herrn Pythgors Pul Kuddelmuddel berechnet de Länge der Hypotenuse enes rechtwnklgen Dreecks mt = 8 cm und b = 9 cm. Se erhält c = 145 cm. Wo legt der Fehler? 776 Berechne de Länge der Sete x des rechtwnklgen Dreecks! 775 us 145 de Wurzel zehen ,1 cm; 9,4 cm; 14,6 cm; 7,4 cm H1 K3 777 Skzzere en rechtwnklges Dreeck und beschrfte es so, dss de Glechung des pythgoräschen Lehrstzes ) d = f s b) h + k = m drus bgeletet werden knn! K1 778 Von enem rechtwnklgen Dreeck snd der Flächennhlt und de Länge ener Kthete gegeben. Berechne de Länge der nderen Kthete, de Länge der Hypotenuse und den Umfng des Dreecks! ) A = 535 cm ; = 78 cm b) A = 39,06 dm ; b = 8,4 dm c) A = 0,148 m ; b = 0,48 m d) A = 3,7 dm ; =,4 dm 779 Erstelle mt Hlfe enes Tbellenklkultonsprogrmms (= TKP) (we etw Excel oder OpenOffce) ene Tbelle! Gb de Länge der beden Ktheten enes rechtwnklgen Dreecks en! Berechne de Länge der Hypotenuse, den Umfng und den Flächennhlt! Zum Qudreren verwende de Tstenkombnton: De Funkton für ds Wurzelzehen heßt: WURZEL( ) H4 K1 780 Herr Immerschlu geht us dem Hus, de Tür fällt zu und der Schlüssel st engesperrt. Glücklcherwese st m ersten Stock ds Fenster offen. Er überlegt: Ds Fenster befndet sch n ener Höhe von 3,5 m. Ene Leter muss mndestens enen Abstnd von 1,5 m von der Husmuer hben, sonst flle ch um. Herr Prktsch ht ene 3 m hohe Leter, Herr Klug ene 4 m hohe Leter. Von wem soll ch mr de Leter usborgen? Hlf Herrn Immerschlu be sener Entschedung und begründe dese! 778 ) b = 65 cm; c = 101,5 cm; u = 44,5 cm b) = 9,3 dm; c = 1,5 dm; u = 30, dm c) = 0,5 m; c = 0,71 m; u = 1,71 m d) b = 3,1 dm; c = 3,9 dm; u = 9,4 dm 780 von Herrn Klug, Leter muss 3,8 m rechen K 781 De Punkte X ( 3) und Y(6 6) snd Anfngs- und Endpunkt der Strecke s. Zechne de Punkte n en Koordntensystem und berechne de Länge der Strecke! (Tpp: Ergänze zu enem rechtwnklgen Dreeck; de Länge der beden Ktheten knnst du mthlfe der Koordnten der Punkte bestmmen.) X Y 781 Länge: 5

11 14 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 78 ) A b) A 4 c) A 4 d) A unverändert 78 We verändert sch der Flächennhlt enes rechtwnklgen Dreecks, wenn ) ene Kthete hlbert wrd? b) bede Ktheten verdoppelt werden? c) bede Ktheten hlbert werden? d) ene Kthete hlbert und de ndere Kthete verdoppelt wrd? 783 (D) 783 De bgebldete Fgur st us fünf glech großen glechschenklg rechtwnklgen Dreecken zusmmengesetzt. Bestmme de Fläche der Fgur! A) 0 cm B) 5 cm C) 35 cm D) 45 cm E) De Fläche knn ncht endeutg bestmmt werden. 30 cm 784 ) 18 m b) 73,8 m c) 19, m d) 160,4 m Jetzt können wr de Vermessungsufgben, de wr n der. Klsse zechnersch gelöst hben, uch rechnersch lösen! K1 784 In enem ebenen Gelände st de Länge ener Strecke XY zu ermtteln, de ncht drekt gemessen werden knn, wel se durch enen See führt. Dher wrd dese Strecke ls Hypotenuse enes rechtwnklgen Dreecks XYZ ngenommen. De beden Ktheten werden bgemessen und de Hypotenuse wrd berechnet. Berechne de Länge der Strecke XY! ) x = 136 m, y = 11 m b) x = 48 m, y = 56 m c) x = 10 m, y = 194 m d) x = 98 m, y = 17 m 785 ) 493 m; 7,4 % b) m; 4,9 % K1 785 Von Gründorf geht es berguf nch Bludorf. De beden Orte snd s Meter vonennder entfernt; hr Höhenuntersched beträgt h Meter. (1) Berechne hre wgrechte Entfernung w! () Der Quotent h ergbt de Stegung der Strße. w Berechne de Stegung der Strße und gb dese uch n Prozent n! ) s = 500 m, h = 184 m b) s = m, h = 8 m I m K1 786 Zwe Geländepunkte X und Y snd durch en Moor getrennt. Von enem drtten Punkt Z us, der n derselben Ebene we X und Y legt, wurde gemessen: XZ = 180 m, YZ = 40 m, α = 90. Konstruere ds Dreeck XYZ m Mßstb 1 : 1000! Entnmm us der Zechnung de Entfernung XY und gb n, we lnge se n der Wrklchket st! Kontrollere durch ene Rechnung!

12 8.5 Anwendungen des pythgoräschen Lehrstzes m Rechteck und Qudrt Anwendungen des pythgoräschen Lehrstzes m Rechteck und Qudrt 787 Konstruere en Rechteck mt den Seten = 70 mm und b = 35 mm! Zechne ene Dgonle en und mss hre Länge! De Länge der Dgonlen knn uch berechnet werden. Gb ene Formel zur Berechnung von d n! Berechne d und vergleche mt dener Messung! 788 Konstruere en Qudrt mt ener Setenlänge von 41 mm und zechne ene Dgonle en! Gb ene Formel zur Berechnung der Dgonlen n, berechne se und vergleche mt der Messung! 787 d = + b ; 78 mm 788 d = + ; 58 mm Anwendungen des pythgoräschen Lehrstzes n Rechteck und Qudrt Rechteck: De Dgonle telt en Rechteck n zwe rechtwnklge Dreecke. Dher glt: d = + b Qudrt: De Dgonle telt en Qudrt n zwe rechtwnklge glechschenklge Dreecke. Dher glt: d = + d = d = d = K1 789 Auf enem rechteckgen Grundstück mt den Abmessungen 85 m und 4 m wrd en Weg von ener Ecke zur dgonl gegenüberlegenden Ecke geplnt. Welche Länge ht deser Weg? K1 790 Von enem Rechteck snd de Länge und de Brete beknnt. Berechne de Länge der Dgonlen und den Rdus des Umkreses! ) = 3,6 cm; b = 5,4 cm b) = 7, cm; b = 4,5 cm c) = 67 mm; b = 85 mm d) = 14 mm; b = 9 mm 791 De Sete b enes Rechtecks st 6 cm lng. Berechne den Umfng und den Flächennhlt des Rechtecks, wenn de Länge der Dgonlen ) 98 cm b) 54 cm c) 85 cm beträgt! 79 Pul Kuddelmuddel berechnet de Setenlänge enes Rechtecks, wenn d = 18 cm und b = 1 cm. Er erhält = 1,6 cm. Ws ht er vermutlch flsch gemcht? K1 793 En Prk ht de Form enes Rechtecks. Er st 80 m lng und 160 m bret. De Spzerwege sollen entlng der Dgonlen ngelegt werden. We lng snd de Wege nsgesmt? ,8 m 790 ) d = 6,5 cm, r = 3, cm b) d = 8,5 cm, r = 4, cm c) d = 108 mm, r = 54 mm d) d = 154 mm, r = 77 mm 791 ) 41 cm; 456,7 cm b) 146,7 cm; 1 30,5 cm c) 13,9 cm; 104,1 cm 79 Er rechnete d + b sttt d - b m

13 144 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 794 Rchtg st (4). 795 Wenn se ncht zu dck st und hnter der Tür Pltz st, denn de Dgonle beträgt H3 K cm. H4 K ) d = 7,4 cm; u = 0,8 cm; A = 7,04 cm b) d = 9,1 cm; u = 5,6 cm; A = 40,96 cm c) d = 0,85 m; u =,4 m; A = 0,36 m d) d = 11,6 mm; u = 344 mm; A = 7396 mm 797 = 1,8 m; d = 18,1 m 798 ) 8, dm b) 19,9 cm 799 ) 1 : b) 1 : 800 ) 9 cm b) 14 cm c) 8 cm d) 54 cm m 80 ) 153 cm 110 cm b) 166 cm 803 ) 4 mm b) 151 mm c) 8,3 cm d) 13,9 cm K1 796 K1 797 Kontrollere de ufgestellten Glechungen. Welche stmmt? Kreuze n! (1) x + y = r () r + y = p (3) p + x = y (4) r + p = x De Tür zum Zmmer st 85 cm bret und 1,9 m hoch. Psst ene Holzpltte mt den Abmessungen 05 cm 80 cm durch dese Tür? Begründe dene Antwort! Dskutere mt dener Nchbrn/denem Nchbrn! En Qudrt ht ene Setenlänge von ) 5, cm b) 6,4 cm c) 0,6 m d) 86 mm. Berechne de Länge der Dgonlen, den Umfng und den Flächennhlt des Qudrts! Der qudrtsche Pltz vor dem Amtsgebäude ht enen Flächennhlt von 163,84 m. Welche Setenlänge ht deser Pltz und we lng st de Dgonle? 798 Von enem Qudrt st de Größe des Flächennhlts beknnt. Berechne de Länge der Dgonlen! ) A = 33,64 dm b) A = 198,81 cm 799 De Setenlänge enes Qudrts beträgt x cm. De Länge der Dgonlen st glechzetg de Setenlänge enes zweten Qudrts. In welchem Verhältns zuennder stehen ) de Umfänge b) de Flächennhlte der beden Qudrte? 800 De Dgonle enes Qudrtes ht ene Länge von ) 1,7 cm b) 19,8 cm c) 39,6 cm d) 76,4 cm. Berechne de Setenlänge! 801 En Sportpltz st 90 m lng und 5 m bret. Im Sportunterrcht lufen de Schüler dre Runden und nschleßend enml entlng der Dgonlen. Welche Weglänge legen se zurück? 80 1 Bretter (10 cm x 1,1 m) werden für en Tor montert. Zwschen den Brettern wrd stets en Abstnd von genu 3 cm fregelssen. ) We lng und we bret st ds Tor? b) Zur Verstärkung wrd en Brett, we n der Abbldung erschtlch st, dgonl ufgeschrubt. Der Abstnd zwschen den beden Querltten beträgt 64 cm. We lng muss deses Brett mndestens sen? 803 Von enem Qudrt st de Länge des Umkresrdus beknnt. Welche Setenlänge ht ds Qudrt? ) 17 mm b) 107 mm c) 5,9 cm d) 9,8 cm p x r y

14 Allgemene und besondere Dreecke 8.6 Allgemene und besondere Dreecke 804 Welche besonderen Dreecke kennst du? Skzzere se! Erkläre dener Nchbrn/denem Nchbrn de spezellen Egenschften deser Dreecke! 805 Tom und Sr hben n enem lten Mthemtkbuch ene Beschrebung für en Legespel gefunden: In enem Qudrt werden lle Symmetrechsen engezechnet. Entlng deser Achsen wrd ds Qudrt n 8 Dreecke zerschntten. Mt desen Dreecken können nun verschedene Fguren nchgelegt werden (z. B. en Hus, en Schff, en Stern, en Wndrd usw.). Es können ber dmt uch geometrsche Fguren (Rechteck, glechschenklges Dreeck) nchgelegt werden. De beden proberen ds ntürlch glech us und buen de folgenden Fguren! Versuche uch du verschedene Fguren zu legen! 804 llgemenes, glechschenklges, glechsetges, sptzwnklges, rechtwnklges, stumpfwnklges Allgemene Dreecke I3 K 806 Für ene Schfherde wrd en Tel ener Wese ls Wedepltz ) engezäunt. Es entsteht en Dreeck mt den Seten = 4 m, b = 36 m und c = 53 m. ) Zechne ds Dreeck (geegneter Mßstb)! b) Gb ene Formel zur Berechnung des Umfngs n! c) We vel Meter Wedezun snd erforderlch? 807 Konstruere ds Dreeck ABC und berechne de Länge des Umfngs! Entnmm ncht gegebene Längen der Zechnung! ) = 55 mm, b = 6 mm, γ = 8 b) = 68 mm, c = 46 mm, β = Von enem Dreeck snd de Länge des Umfngs und de Längen von zwe Seten beknnt. Berechne de Länge der drtten Sete! ) u = 15 mm, = 78 mm, b = 65 mm b) u =,48 m, b = 86 cm, c = 93 cm 809 Zechne be den folgenden Dreecken de Höhe uf de Sete c en! Erkläre mt egenen Worten, ws unter der Höhe enes Dreecks zu verstehen st! 810 Der Mthemtklehrer gbt folgenden Arbetsuftrg: Zechne en Rechteck mt = 8 cm und b = 5 cm! In deses Rechteck zechne en Dreeck so en, dss de Eckpunkte A und B des Rechtecks uch glechzetg de Eckpunkte A und B des Dreecks snd. Der drtte Eckpunkt des Dreecks legt uf der Strecke CD. Zechne nun de Dreeckshöhe uf AB en! Dese Höhe telt de gesmte Fgur so, dss kongruente Teldreecke entstehen. Kennzechne jewels de kongruenten Teldreecke! Versuche ene Formel zur Berechnung des Flächennhlts des Dreecks bzuleten! 806 ) M 1 : b) u = + b + c c) 113 m 807 ) c = 77 mm, u = 194 mm b) b = 7 mm, u = 186 mm 808 ) c = 7 mm b) = 69 cm 809 Gerde norml uf de Sete durch den gegenüberlegenden Eckpunkt 810 A = c hc

15 146 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren I3 811 stmmt H4 K3 811 Sr ment: Egentlch knn mn mt jeder Sete und der dzugehörgen Höhe den Flächennhlt des Dreecks berechnen. Ws menst du dzu? Flächennhlt des Dreecks Allgemen: Flächennhlt = Sete ml dzugehörge Höhe durch A = h oder A = b h b oder A = c h c 81 ) 516 mm b) 1,84 cm K1 81 Von enem Dreeck snd de Länge ener Sete und de Länge der dzugehörgen Höhe beknnt. Berechne den Flächennhlt des Dreecks! c) mm ) = 68 mm, h = 74 mm b) b = 7,8 cm, h b = 5,6 cm c) c = 04 mm, h c = 183 mm 813 ) 8,55 dm b) 0,48 m c) 1,05 m 814 ) 0,44 b) 3,17 c) 3,1 K1 813 Berechne den Flächennhlt des Dreecks! ) = 4,5 dm, h = 38 cm b) b = 10 cm, h b = 0,8 m c) c = 15 dm, h c = 1,4 m K ) 18,08 cm b) 17,3 cm c) 11,95 cm d) 14,98 cm K1 Ungenugketen bem Zechnen und Messen, Mttelwert der Ergebnsse H4 K3 An ener Strßenkreuzung legt ene dreeckge Wese. Berechne den Flächennhlt und gb hn n Ar n! (Runde snnvoll!) ) b) c) Konstruere ds Dreeck ABC! Zechne de dre Höhen en und mss hre Längen! Berechne den Flächennhlt des Dreecks uf dreerle Wese! ) = 6 cm, b = 7 cm, c = 6,5 cm b) = 7 cm, b = 5 cm, c = 8 cm c) = 4 cm, b = 6 cm, c = 7,5 cm d) = 8 cm, b = 6 cm, c = 5 cm 816 Sr bekommt be den dre möglchen Arten zur Berechnung des Flächennhlts der vorgen Aufgbe unterschedlche Werte herus. Worn knn ds legen? Welcher Wert kommt der wrklchen Größe des Flächennhlts m nächsten? 817 ) 40 b) 6,9 cm; 7,6 cm 817 Konstruere ds Dreeck XYZ mt XY = 8 cm, ZXY= 105, XYZ= 35! 818 ) = 4,5 cm; b = 5,8 cm; c = 5,1 cm; u = 15,4 cm; A = 11 cm b) = 5,4 cm; b = 6,4 cm; c = 7,1 cm; u = 18,9 cm; A = 16,5 cm ,1 cm, 1,5 cm K ) Berechne den fehlenden Innenwnkel des Dreecks! b) Mss de Höhe uf XY! Berechne den Flächennhlt! 818 Trge n en rechtwnklges Koordntensystem de gegebenen Punkte en und verbnde se zu enem Dreeck! Mss de Setenlängen und berechne den Umfng! Zechne de dre Höhen en, mss se b und berechne den Flächennhlt des Dreecks uf 3 Arten! ) A (1 0), B (6 1), C (4 5) b) A (0 ), B (7 1), C (5 6) 819Zechne de dre Punkte A ( 4 ), B (+3 1), C ( 1 +) n en rechtwnklges Koordntensystem en und verbnde se zu enem Dreeck! Berechne Umfng und Flächennhlt des Dreecks nur mt Hlfe der Angbe der Koordnten der Punkte (ohne de Längen bzumessen)!

16 8.6 Allgemene und besondere Dreecke Aus ener qudrtschen Pltte mt ener Setenlänge von 80 cm wrd en Dreeck lut Zechnung herusgeschntten. ) We groß st der Flächennhlt des Dreecks? b) We groß st der Abfll? c) We vel Prozent der Pltte snd Abfll? d) Berechne den Umfng des Dreecks! 80 ) 303 cm b) 3368 cm c) 5,6 % d) 5,8 cm K 81 Ene rechteckge Pltte wrd so zerschntten, dss de Dreecke I und II entstehen. ) We groß snd de Flächennhlte der beden Dreecke? b) We groß st der Abfll? b) We vel Prozent der Pltte snd n Abfll ngefllen? 81 ) 41,0 cm ; 47,5 cm b) 151, cm c) 15 % 8 Umfng enes Verecks A: Berechne den Umfng des drgestellten Verecks! (Mße n m) 1 x 8 36 m 83 Von enem Dreeck snd der Flächennhlt und de Höhe h c beknnt. Forme de Flächennhltsformel so um, dss du c berechnen knnst! 9 9 y 4 83 c = A h c K1 84 K1 85 In enem Dreeck mt enem Flächennhlt von 336 cm beträgt de Setenlänge = 8 cm. We lng st de Höhe h? A = h A = h : h = A h = 4 cm 84 ) 6,4 cm b) 15, dm c) 1, m d) 43 mm Berechne de gesuchte Länge des Dreecks! ) A = 31,36 cm ; = 9,8 cm; h =? b) A = 95 dm; h b = 1,5 dm; b =? c) A = 0,468 m ; c = 0,78 m; h c =? d) A = 599 mm ; h c = 186 mm; c =? 85 ) 9 m b) 95 m c) 140 cm Berechne de gesuchte Länge des Dreecks! ) A = 39,1 ; = 85 m; h d) 570 mm =? b) A = 0,57 h; b = 10 m; h b =? c) A = 0,56 m ; h c = 80 cm; c =? d) A = 11,97 dm ; h b = 40 mm; b =? 86 ) 19,5 dm ; K1 86 Von enem Dreeck kennt mn dre Bestmmungsstücke. Berechne den Flächennhlt und de gesuchte Länge! ) = 18,5 dm; b = 1,95 dm; h = 14 dm; h b =? b) = 36 cm; h = 5 cm; h c = 4 cm; c =? c) b = 4 mm; c = 35 mm; h b = 30 mm; h c =? d) b = 5,8 m; h = 48 m; h b = 4,05 m; =? 0 dm b) 450 cm ; 37,5 cm c) 630 mm ; 36 mm d) 106,9 m ; 4,46 m

17 148 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 8.6. Rechtwnklge Dreecke 87 = h b, b = h 87 Zechne n enem belebgen rechtwnklgen Dreeck lle Höhen en! Ws fällt dr uf? 88 Höhen fllen mt Seten zusmmen, A = c h c 89 ) c = 70 cm; A = 1176 cm ; h = 33,6 cm b) c = 137,5 dm; A = 4537,5 dm ; h = 66 dm c) c = 191 m; A = 8755,44 m ; h = 91,68 m d) c = 91,5 dm; A = 009,34 dm ; h = 43,9 dm 830 ) b = 38 cm; c = 47,5 cm; h =,8 cm b) =,8 cm; c = 38 cm; h = 18,4 cm K Erkläre, wrum m rechtwnklgen Dreeck de Formel A = b glt! Gbt es uch noch ene ndere Möglchket, de Fläche enes rechtwnklgen Dreecks zu berechnen? Wenn j, welche? Rechtwnklges Dreeck De Höhe uf de Hypotenuse c st de enzge Höhe, de ncht mt ener Sete zusmmenfällt. Dher wrd h c = h ls Höhe des rechtwnklgen Dreecks bezechnet. Berechnung des Flächennhlts: A = b oder A = c h Von enem rechtwnklgen Dreeck kennt mn de Längen der beden Ktheten und b. Berechne de Länge der Hypotenuse c, den Flächennhlt und de Länge der Höhe h! ) = 4 cm; b = 56 cm b) = 8,5 dm; b = 110 dm c) = 114,6 m; b = 15,8 m d) = 54,9 dm; b = 73, dm K1 830 Berechne de fehlenden Setenlängen und de Höhe des rechtwnklgen Dreecks! ) A = 541,5 cm ; = 8,5 cm b) A = 346,56 cm ; b = 30,4 cm c) A = 45,76 cm ; b = 5,6 cm d) A = 393,66 cm ; = 4,3 cm Glechschenklge Dreecke c) = 19, cm; I3 c = 3 cm; H3 K1 831 Glechschenklges Dreeck: Welche Aussgen stmmen? ) De Höhe h h = 15,36 cm telt ds Dreeck n zwe glech große Teldreecke. b) De Höhe h d) b = 3,4 cm; c telt ds Dreeck n zwe glech große glechsetge Dreecke. c = 40,5 cm; c) Durch de Höhe h h = 19,44 cm c wrd ds Dreeck n zwe glech große rechtwnklge Dreecke getelt. 831 c, d d) Ds Dreeck wrd durch de Höhe h b n zwe Teldreecke getelt. I3 83 ) = b, H1 K1 83 Skzzere en glechschenklges Dreeck! α = β ) Gb de Egenschften deses Dreecks n! b) Schenkel:, b; b) Welche Seten werden ls Schenkel bezechnet, welche Sete wrd ls Bss bezechnet? Bss: c 833 = h c + ( c ) 833 In glechschenklgen Dreecken knn der Lehrstz des Pythgors ngewendet werden! Kennzechne n der Abbldung von Aufg. 831 ds rechtwnklge Dreeck, wo der Lehrstz zur Anwendung kommen knn! Gb de Formel n!

18 8.6 Allgemene und besondere Dreecke 149 Glechschenklges Dreeck De Höhe h c telt ds glechschenklge Dreeck n zwe glech große rechtwnklge Dreecke. Dher knn der Lehrstz des Pythgors ngewendet werden: = h c + c K1 834 Konstruere ds glechschenklge Dreeck, berechne den Umfng und de Höhe h c! ) = b = 50 mm, c = 4 mm b) = b = 64 mm, c = 48 mm c) = b = 6 mm, c = 48 mm d) = b = 56 mm, c = 6 mm K1 835 Von enem glechschenklgen Dreeck snd de Längen der Seten beknnt. Berechne de Höhe h c, den Flächennhlt und de Höhe h = h b! ) = b = 1 cm; c = 9 cm b) = b = 18,6 cm; c = 14 cm c) = b = 4, dm; c = 3,4 dm d) = b =,7 dm; c = 3, dm K 836 Berechne de Länge der Bss c, wenn de Länge der Schenkel und de Länge der Höhe h c gegeben snd! ) = 154 mm, h c = 10 mm b) = 6,8 cm, h c = 4,4 cm 837 Von enem glechschenklgen Dreeck ABC ( = b) snd zwe Größen gegeben. Berechne de gefrgte drtte Größe, den Flächennhlt und de Höhe uf enen Schenkel! ) = 65 mm, c = 56 mm, h c =? b) = 84 mm, h c = 6 mm, c =? K3 838 De Bss c enes glechschenklgen Dreecks st 4 cm lng. De Summe der beden Schenkellängen st um 0 cm größer ls de Bss. We groß st der Flächennhlt deses Dreecks? 839 De Wettersete enes Huses muss neu gestrchen werden. We vel m snd zu strechen? (Fenster und Türen werden dbe vernchlässgt!) ) b) c) 834 ) u = 14 mm, h c = 45,4 mm b) u = 176 mm, h c = 59,3 mm c) u = 17 mm, h c = 57, mm d) u = 174 mm, h c = 46,6 mm 835 ) h c = 11,1 cm; A = 50,06 cm ; h = 8,3 cm b) h c = 17, cm; A = 10,6 cm ; h = 13,0 cm c) h c = 3,8 dm; A = 6,53 dm ; h = 3,1 dm d) h c =, dm; A = 3,48 dm ; h =,6 dm 836 ) 193 mm b) 10,4 cm 837 ) h c = 58,7 mm; A = 1 64,5 mm ; h = 50,6 mm b) c = 113,3 mm; A = 3 513,8 mm ; h = 83,7 mm 838 1,7 cm 839 ) 109,18 m b) 19,95 m c) 1,88 m H3 K3 840 Von enem glechschenklgen Dreeck ( = b) snd der Flächennhlt A und ene Länge beknnt. Berechne de Länge der fehlenden Sete(n)! ) A = 78,96 cm, c = 16,8 cm b) A = 43,05 cm, c = 8, cm c) A = 64cm, h c = 4 cm d) A = 859,5 cm, h c = 45 cm 841 Von enem glechschenklgen Dreeck snd der Flächennhlt und de Länge der Bss gegeben. Mt welcher der ngegebenen Rechnungen knn rchtgerwese de Höhe h c berechnet werden? (1) h c = c ml Wurzel us A () h c = A dvdert durch c* (3) h c = c/ ml A (4) h c = A dvdert durch c/ 840 ) 1,6 cm b) 11,3 cm c) cm d) 38, cm 841 Rchtg st (4).

19 150 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren I3 84 rechtwnklgglechschenklge Telt en Qudrt entlng ener Dgonlen n zwe Tele! Welche H4 K3 84 Arbete gemensm mt dener Nchbrn/denem Nchbrn! Dreecke; A = Fguren entstehen ddurch? We vele Formeln zur Berechnung des Flächennhlts enes solchen Teles fndet hr? Schrebt se uf oder A = d und begründet se! ) 67,9 mm; 304 mm b) 8,9 cm; 39,69 cm c) 175,4 mm; mm d),5 cm; 3,4 cm 844 ) 44,4 cm b) 58 cm glech lnge Seten, lle Wnkel hben h = ( ) 847 h = 3; A = 4 3 K1 843 Von enem rechtwnklg-glechschenklgen Dreeck st de Länge der Hypotenuse c beknnt. Berechne de Länge enes Schenkels und den Flächennhlt! ) c = 96 mm b) c = 1,6 cm c) c = 48 mm d) c = 0,36 dm H1 K Von enem rechtwnklg-glechschenklgen Dreeck st der Flächennhlt beknnt. Berechne den Umfng des Dreecks! ) A = 84,5 cm b) A = 144,5 cm Glechsetge Dreecke Skzzere en glechsetges Dreeck! Welche Egenschften ht deses Dreeck? H4 K1 846 De Höhe h telt ds glechsetge Dreeck n zwe glech große rechtwnklge Dreecke. We knn de Höhe h berechnet werden, wenn gegeben st? Begründe dene Menung! 848 ) 10,6 cm; 64,45 cm b) 16,1 cm; 149,81 cm c) 18,6 cm; 00,16 cm d) 30,9 cm; 551,87 cm ) 1,83 cm b) 31,9 cm c) 37,45 cm d) 4,44 cm K 847 De Höhe n enem glechsetgen Dreeck knn mt Hlfe des pythgoräschen Lehrstzes berechnet werden: h = - ( ). Verenfche dese Formel! Setze desen Ausdruck n de Flächenformel A = h für h en und verenfche! Glechsetges Dreeck De Höhe h telt ds glechsetge Dreeck n zwe glech große rechtwnklge Dreecke. In desen knn der Lehrstz des Pythgors zur Berechnung der Höhe h ngewendet werden: h = h = 3 Flächenberechnung: A = h oder A = 4 3 Berechne de Höhe h und den Flächennhlt des glechsetgen Dreecks! ) = 1, cm b) = 18,6 cm c) = 1,5 cm d) = 35,7 cm K1 849 En glechsetges Dreeck ht enen Umfng von ) 1,3 cm b) 5,5 cm c) 7,9 cm d) 9,7 cm. Berechne den Flächennhlt!

20 8.7 Exercses und Ausblck 151 K1 850 Von enem glechsetgen Dreeck st de Länge der Höhe h beknnt. Berechne de Setenlänge und den Flächennhlt! ) h = 13,9 cm b) h = 0,8 cm c) h = 3,9 cm d) h = 36,4 cm 851 En glechsetges Dreeck ht den gegebenen Flächennhlt. Berechne de Setenlänge des Dreecks! ) A = 339,48 cm b) A = 443,41 cm c) A = 561,18 cm d) A = 997,66 cm H3 K3 85 Berechnungen m glechsetgen Dreeck. Welche Aussgen stmmen, welche ncht? stmmt stmmt ncht (1) Flächennhlt = Sete ml Höhe h durch zwe () Höhe h = hlbe Sete ml de Wurzel us dre (3) Sete = Flächennhlt ml Höhe h durch zwe (4) Höhe h = Wurzel us (dre hoch zwe durch ver) h 850 ) 16 cm; 111,55 cm b) 4 cm; 49,78 cm c) 38 cm; 64,93 cm d) 4 cm; 764,97 cm 851 ) 8 cm b) 3 cm c) 36 cm d) 48 cm 85 Rchtg snd (1), () und (4). 8.7 Exercses und Ausblck Exercses vocbulry permeter Umfng re Flächennhlt to chnge verändern rectngle Rechteck squre root Qudrtwurzel Pythgores Theorem pythgoräscher Lehrstz rght-ngled rechtwnklg 853 Clculte the permeter nd the re of the gven rectngles! ) = 6.3 cm; b = 8. cm b) = 1. m; b = 0.8 m c) = 76 mm; b = 34 mm d) = 4.5 dm; b = 33 cm 854 How does the re of rectngle chnge, when two prllel sdes re doubled? 855 How does the re of rectngle chnge, f ll four sdes re doubled? 856 A squre hs n re of ) cm b) cm c) m d) m. How long s the sde of the squre? 857 Clculte! ) b) c) d) 5 99 e) f ) Construct rght-ngled trngle (γ = 90 ) wth b = 5 cm nd c = 6.8 cm! Clculte the mssng sde! Check the length of by mesurng! 853 ) 9 cm; cm b) 4 m; 0.96 m c) 0 mm; 584 mm d) 15.6 dm; dm 854 t lso doubles A 856 ) 76 cm b) 93 cm c) 1.8 m d) 36.5 m 857 ) 33 b) 66 c) 99 d) 77 e) 44 f) cm

21 15 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren 859 ) 63 mm b) 96 mm 860 ) f b) d + e = f c) 39. mm 861 ) 1.9 cm b) 1.6 cm 86 ) 3 74 mm b) 613 mm c) 4 867,5 mm 859 A rectngle hs the sdes ) = 56 mm nd b = 9 mm b) = 86 mm nd b = 43 mm. Clculte the length of the dgonl! 860 The rght-ngled trngle DEF s gven. ) Whch sde s the hypotenuse? b) Wrte down Pythgors Theorem for ths rght-ngled trngle! c) Clculte the length of e when d = 48 mm nd f = 6 mm! 861 The sdes of squre re ) 9.1 cm b) 8.9 cm long. Clculte the length of the dgonl! 86 Clculte the res of the trngles! ) b) c) 863 sde or heght 863 The re of trngle should be doubled. In whch wy should the heght or the sde be chnged? 8.7. Ausblck Be rechtwnklgen Dreecken können wr de Längen der Seten mt dem Lehrstz des Pythgors berechnen. Be nchtrechtwnklgen Dreecken glt deser Lehrstz leder ncht. Durch ds Enzechnen ener Höhe können wr ber en schefwnklges Dreeck n zwe rechtwnklge Dreecke zerlegen. Allerdngs rechen unsere bshergen Kenntnsse m Allgemenen ncht us, wenn en oder zwe Wnkel gegeben snd. Nur n Sonderfällen können wr dnn de fehlende Sete berechnen. So wssen wr z. B. be enem glechschenklgen Dreeck, wenn de Bsswnkel 60 snd, dss es sch um en glechsetges Dreeck hndeln muss. Wr bruchen lso ene Methode, we wr de Kenntns enes Wnkels n de Berechnung mt enbezehen können. Be rechtwnklgen Dreecken st ds egentlch gnz enfch: Mn ht Tbellen ufgestellt, us denen mn z. B. be enem gegebenen Wnkel ds Verhältns der dem Wnkel gegenüberlegenden Kthete zur Hypotenuse blesen knn. So ene Tbelle st n denem Tschenrechner engebut und funktonert mt der Tste sn. Gbst du etw 30 en und drückst sn, so solltest du 0,5 erhlten. Du weßt lso ds Verhältns =0,5. Dher st =c. Somt knnst du c berechnen und n Folge uch und b. Und c schefwnklge Dreecke zerlegst du n zwe rechtwnklge. Dese Berechnungen werden bem Herstellen von Lndkrten oder be der genuen Bestmmung von Grundstücken verwendet. Dher snd wetere Tbellen entwckelt worden, bespelswese für ds Verhältns der dem Wnkel nstoßenden Kthete zur Hypotenuse. Und dmt mn ncht mmer n rechtwnklge Dreecke zerlegen muss, gbt es uch Formeln für schefwnklge Dreecke. Solltest du nch der 4. Klsse ene höhere Schule besuchen, wrst du mehr drüber erfhren. Es wäre doch schde, wenn den Tschenrechner mehr knn ls du!

22 8.8 Mthe: ft und kompetent Kompetenzcheck Mthe: ft und kompetent Kompetenzcheck H3 K1 864 Von enem Rechteck kennt mn den Flächennhlt A und de Länge der Sete. Mt welcher Formel knn mn de Länge der Sete b berechnen? (1) b = A () b = A (3) b = A (4) b = A A b 864 Rchtg st (). H1 K1 865 Rechteck und Qudrt Ordne de Formeln zu! (1) Umfng des Rechtecks 4 () Umfng des Qudrts (3) Flächennhlt des Rechtecks b (4) Flächennhlt des Qudrts + b ( + b) I1 K1 866 Welche Rechnungen stmmen, welche ncht? stmmt stmmt ncht (1) 16 = 4 () 10 = 10 (3) 9 5 = 3 5 (4) 4 9 = 3 H1 K 867 Skzzere en rechtwnklges Dreeck (x = Hypotenuse, y und z = Ktheten) und stelle den Lehrstz des Pythgors uf! H3 K1 868 Betrchte de Zechnung! Welche Glechung stmmt, welche ncht? stmmt stmmt ncht (1) g = f () d + g = (e + f ) (3) = d e (4) f = g + d e g f 865 (1): ( + b), (): 4, (3): b, (3): 866 Rchtg snd (1), () und (3). 868 Rchtg snd () und (3). H4 K1 869 Welches der folgenden Dreecke st en rechtwnklges? Begründe dene Entschedung! (1) = 43 mm, b = 50 mm, c = 65 cm () = 45 mm, b = 4 mm, c = 51 mm (3) = 74 mm, b = 5 mm, c = 4 mm (4) = 30 mm, b = 50 mm, c = 55 mm 869 Rchtg st (), d 45² + 5² = 51²

23 154 8 Umfng und Flächennhlt ebener Fguren I ,1 cm; K ,8 cm; 9,3 cm; 14,7 cm Kennzechne jewels den rechten Wnkel und berechne de Länge der Sete x! I3 871 u = 57,4 cm; A = 01,3 cm K1 871 Von enem Rechteck kennt mn de beden Seten = 16,5 cm und b = 1, cm. ; Berechne den Umfng, den Flächennhlt und de Länge der Dgonlen! d = 0,5 cm I ,76 cm ; K1 87 En Qudrt ht enen Umfng von 30,4 cm. Berechne den Flächennhlt und de Länge der Dgonlen! 10,7 cm I3 873 u = 3,7 cm K 873 De Länge der Bss n enem glechschenklgen Dreeck beträgt 6,8 cm. De Höhe A = 5,50 cm uf de Bss st 7,5 cm lng. Berechne den Umfng und den Flächennhlt des Dreecks! I3 874, m K3 874 Ene ufgestellte Stehleter ht de Form enes glechschenklgen Dreecks. De Sptze st m über dem Boden, de Fußenden snd 180 cm usennder. We lng st de zusmmengeklppte Leter? 875 glechschenklgrechtwnklges Dreeck K ² + 16² = 0² ,87 mm 878 ) b) c) 0, d) 0,005 e) 0, ) 3,49 b) 0,0441 c) 61,65 d) 7 76,09 e) 0, D) H3 K3 875 Tom sh n enem Mthemtkbuch en rechtwnklges Dreeck, er stellte den Lehrstz des Pythgors uf: x² + x² = z². Welche besondere Form htte ds bgebldete Dreeck? H4 876 Sr wll zwe Lesten rechtwnklg zuennder befestgen. Leder ht se kenen Wnkelmesser be sch. Se msst dher uf der enen Leste 1 cm und uf der nderen Leste 16 cm b und mcht sch Mrkerungen. Nun rchtet se bede Lesten so us, dss de Mrkerungen genu 0 cm usennder legen. Begründe, wrum Sr enen rechten Wnkel erhlten ht! K1 877 Berechne den Flächennhlt enes glechsetgen Dreecks mt ener Setenlänge von = 5 mm! I1 K1 878 Kopfrechnungen! ) 7000 b) 3000 c) 0,001 d) 0,05 e) 0,003 I1 K1 879 Berechne de Qudrte mt dem Tschenrechner! ) 5,7 b) 0,1 c) 7,85 d) 85,3 e) 0,061 H3 K3 880 Welche Länge ht x n der nebenstehenden Fgur? (A) 9 cm (B) cm (C) 7 cm (D) 11 cm (E) 10 cm x 81 cm 18 cm x