Abiturprüfung Mathematik 2006 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

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1 Abirprüfng Mahemaik 6 (Baden-Würemberg) Berfliche Gymnasien ohne TG Analysis, Afgabe.. Achsenschnipnke: Schnipnke mi der x-achse bei N ( / ) nd ( / ) 7 Hochpnk: H ( / ), da g () nd g () Wendepnk: W(/), da g () nd g an der Selle x = la Wereabelle vermlich das Vorzeichen wechsel. Der Pnk P(/) könne ein Saelpnk sein, falls g an der Selle x = nich das Vorzeichen wechsel (was die Wereabelle vermen läss). Ansonsen lieg bei P(/) ein Exrempnk vor... Ansaz: g(x) ax bx cx dx e g (x) ax bx cx d g(x) ax 6bx c Bedingngen: g() e g () d g () c g(),75 a b,75 (*) (*) + (**): (*) b Fnkionserm: 5 5 g( ) a b (**) a a g(x) x x.. h(x) ax bx cx d h (x) ax bx c h(x) 6ax b Da in der Wendesellenbedingng h (x) die Koeffizienen c nd d nich enhalen sind, haben diese gar keinen Einflss af die Wendeselle (also af den x-wer des Wendpnkes). Lediglich der y-wer des Wendepnkes wird von c nd d beeinflss. N Es soll gelen: h ( ) 8a b b 9a.. 5

2 Verlaf von K: Es gil lim f(x) nd lim f(x), d.h. die negaive x-achse is eine x x waagreche Asympoe. Das Schabild besiz af der y-achse einen Tiefpnk, schneide die x-achse ewas bei x,7 nd besiz aßerdem bei x, 7 einen Wendepnk... x x Schnipnk mi x-achse: f(x) e e x ln N(ln / ) Drchschniliche Seigng: m f(x)dx f(x) f() f() 9,9,976 8, 9.. Geradengleichng: 6y x y x 6 Die Tangene soll orhogonal z der Geraden sein, daras folg m Tangene 6 f (x) e x e x 6 e x e x 6 x Lösng drch Sbsiion: e 6, nd Rücksbsiion: e x x ln e x liefer keine Lösng ln ln f(ln) e e 9,5 Dami gib es nr eine Tangene mi Berührpnk B (ln /,5 )... ln x x V e e dx, (mi GTR)

3 7 Das Viereck is ein Trapez: e e ) ( f())) ( (,5 BC CD) (AB h c) (a A x x x x e e e e e e dx e e A Seze e e e e A A Als Lösng mi dem GTR ergib sich = -,896 oder =. Da < vorasgesez is, gil = -,896.

4 Abirprüfng Mahemaik 6 (Baden-Würemberg) Berfliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösng Afgabe. f6 (x) x x 6x f(x) x x 6 f(x) x f (x) 6 8 Wendepnkbedingng: f (x) x x nd f (), also WP(/ ) Tangenenseigng im Wendepnk: f () Normalenseigng im Wendepnk: Gleichng der Normalen: y 8 m Normale (x ) y x Die Schnisellen des Schabildes von f mi der Normalen ergeben sich mi dem GTR: x,7 nd x nd x 7, 87 Berechnng der markieren Fläche: A (f6 (x) ( x ))dx 9, 75 (FE).,7 Negaive -Were: - Schabild verläf vom. in den. Qadranen - Exrempnke liegen links von der y-achse 8

5 Posiive -Were: - Schabild verläf vom. in den.qadranen - Exrempnke liegen rechs von der y-achse Gemeinsame Eigenschafen: - Schabilder verlafen drch den Ursprng - Tiefpnke liegen af der x-achse - Hochpnke liegen oberhalb der x-achse f (x) x x x f(x) Berechnng des Tiefpnkes: x x f(x) 6 x f (x) x x x, x nd x () TP( / ) was z zeigen war. f ( ) HP f Fläche = ( x 6 x 6x)dx x x x Fläche, die K 6 mi x-achse einschließ: f (x)dx Halbierng der Fläche, wenn gil: 9 Lösng der Gleichng mi GTR:, (die andere Lösng is negaiv). 8.5 Bild : Die Wendpnke der Sammfnkion führen bei f z einem Exrempnk. An der Selle x = - ergib sich ein Hochpnk bei f mi den Koordinaen HP(-/) (da waagreche Tangene beim Schabild der Sammfnkion an der Selle x = -). Ungefähr an der Selle 9

6 x = -,5 lieg ein weierer Wendepnk, der bei f z einem Tiefpnk wird. Da die Seigng an der Selle x = -,5 jedoch nich Nll is, lieg der Tiefpnk von f nich af der x-achse. Da diese Eigenschaf jedoch in Afgabe. fesgesell wrde, kann Bild keine Sammfnkion darsellen. Bild : Sammfnkion: F (x) x x x C Mi F () C, also F (x) x x x F (x) x x x F (x) x x An der Selle x = befinde sich ein Wendepnk: F () ergib als Lösng = oder =. Für = zeichne der GTR ein anderes Schabild als wie in Bild dargesell. Für = enseh dasselbe Schabild, also is = der gesche Wer..6 Der Parameer a sell die Amplide der Sinsfnkion dar, die Weremenge der Fnkion h(x) lae W = [-a ; a]. Der Parameer k is für die Periode p veranworlich: p. k Nllsellen von f 6 : N ( / ) nd N (6 / ) h() : dies is für alle Parameer a nd k erfüll h(6) a sin(6k) (*) Gemeinsame Tangene bei x = : f6 (x) x x 6 f6 () 6 h (x) a cos(kx) k h () a k 6 (**) As (*) folg: 6k k 6 As (**): a 6 a h(x) sin x 6

7 Lösng Afgabe :. Für ein Polynom. Grades genügen Pnke. Da 7 Pnke vorgegeben sind, wird die Poynomfnkion mi Hilfe der Regression (GTR) besimm. f(x) = 5, x,6 x +,899x + 55,96.. Gewinnfnkion: G(x) = E(x) K(x) = 5x K(x) Die Firma mach dann Gewinn, wenn die Erlösfnkion (also die Gerade) oberhalb der Kosenfnkion K(x) verläf. La GTR is dies zwischen x = 7,5 nd x =,6. Die Firma mss also mehr als 7 Flaschen (Nzenschwelle) nd weniger als Flaschen (Nzengrenze) verkafen.

8 .. Der Berührpnk der Tangene af dem Schabild der Fnkion sei B(/K()). Die Seigng der Tangene is m = K (). Tangenengleichng in B: y K() = K () (x ) y ( ) = 5 9 ( ) (x ) 5 Af der Tangene soll der Ursprng O(/) liegen. Die Koordinaen von O werden in die Tangenengleichng nn eingesez: ( ) = 5 9 ( ) ( ) = Lösng der Gleichng la GTR: = 76,96 einzige Lösng im Inervall [;]. Seigng der Tangene: K (76,96) =, Bei einem Verkafspreis von, enseh lediglich bei einer Prodkion von 76 Flaschen kein Verls, für alle anderen Prodkionszahlen würden sich Verlse ergeben. Is der Verkafspreis ner, enseh immer ein Verls.

9 Lösng Afgabe :. Anhand der Wereabelle kann eine exponenielle Regression drchgeführ werden: w() =,,668 Pro Jahr nimm die Wachsmsgeschwindigkei m -,668 =, =,% ab...,, Bedingng: v() <,, e <, e <, < ln >, 96 Die Pflanze is somi nach ca. Jahren asgewachsen..., Milere Wachsmsgeschwindigkei =, e d =, 59 5 m Die Pflanze wächs in den ersen 5 Jahren im Drchschni m 5 cm pro Jahr. Insgesam wächs sie somi m 5,5 =, 6m. 5

10 .. Die Fnkion f, die die Höhe der Pflanze zr Zei beschreib is die Sammfnkion der Wachsmsgeschwindigkeisfnkion.,,, f() = e + C = e + C, As der Bedingng f() = ergib sich C =. f() = e, +

11 Lösng Afgabe :.. As der qadraischen Regression ergib sich als Fnkion: f() =,98 x,68x + 8,9.. Die exponenielle Regressionskrve soll C nich nerschreien. Das heiß, dass die waagreche Asympoe der Exponenialfnkion y = sein soll. kx x Der Ansaz im GTR y = a e bzw. y = a b liefer jedoch als Asympoe y =, so dass dieser Ansaz direk so nich benz werden kann. Abhilfe: Alle Were in der Wereabelle werden m Einheien nach nen verschoben. Mi diesen neen Weren wird eine exponenielle Regression drchgeführ nd anschließend die Exponenialfnkion wieder m Einheien nach oben gesez. Als verschobene Exponenialfnkion erhäl man dami: y = 68,,59 x +

12 Die exponenielle Regression sell die bessere Näherngskrve dar. Die Parabel seig im Inervall wieder an, was einer (nich sinnvollen) Wiedererwärmng ensprechen würde...,, 5 = + 7 e e = =, 7 Minen.., h () = e Es gil h () =, 6 nd h () =, 895 Nach Mine beräg die Abkühlngsgeschwindigkei,6 C nd is dami wesenlich schneller als nach Minen, wenn nr noch,89 C pro Mine abkühlen.

13 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Lineare Opimierng, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg.. Der Händler kaf verschiedene Fahrräder A, B nd C. Er kaf x Sück vom Typ A. Er kaf y Sück vom Typ B. Er kaf z Sück vom Typ C. Folgende Bedingngen ergeben sich as der Afgabensellng: () x y z (insgesam Fahrräder) () x (mindesens Fahrräder vom Typ A) () y 8 (mindesens 8 Fahrräder vom Typ B) () z (mindesens Fahrräder vom Typ C) (5) x 5y z (Warngskosen maximal Ero) Z minimieren sind die Anschaffngskosen K 6x y z (5) As () folg: z x y Eingesez in (5) ergib K 6x y ( x y) x y 6 K Afgelös nach y: y x 6 (6) As (5) ergib sich mi (): x 5y ( x y) x 5y y 6x (5*) As () ergib sich mi (): x y y x (*) Nn werden die Schabilder der Bedingngen (), (), (*) nd (5*) in ein Koordinaensysem eingezeichne. A is der Schnipnk von () nd (6*): 8 x x nd dami gil A(/8). B is der Schnipnk von (*) nd (5*): 8 6x x 7x 8 x Der y-wer von B wird berechne mi nd daras folg B ( / ) bzw. gernde B(,/8,6).

14 K Nn wird die Gerade y x 6 mi noch nbekannem y-achsenabschni so eingezeichne, dass dieser möglichs groß wird (wenn K minimal werden soll, wird K der y-achsenabschni 6 möglichs groß) nd die Gerade mi dem schraffieren Flächensück noch einen Eckpnk gemeinsam ha. Die Gerade mi dem größen y-achsenabschni geh drch B(,/8,6) Da für x nd y nr ganzzahlige Were in Frage kommen, könne gelen:.) x =, y = 8 nd dami z = : Warngskosen = 5 8 Ero. Da die Warngskosen kleiner als Ero sein sollen, komm diese Möglichkei nich in Frage..) x =, y = 8 nd dami z = :

15 Warngskosen = Ero nd dies is kleiner als Ero. Die Kosen beragen dann K Ero... Der Preis vom Typ B beräg nn Ero, alle anderen Angaben bleiben gleich. Die schraffiere Fläche änder sich somi gegenüber.. nich. Die nee Kosenfnkion lae: K 6x y z K 6x y ( x y) x 6 Afgelös nach x ergib sich x 8 K Wenn K minimal is, wird ach x minimal. Für die Lösng kommen alle Pnke af der Srecke BC in Frage, bei denen die Koordinaen ganzzahlig sind. Es gil B(/) nd C(/8). Es werden somi Fahrräder vom Typ A gekaf. Für y gil 8 y nd für z gil mi z x y die Bedingng z y y.

16 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Lineare Opimierng, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg.. Es sei x die Fläche von Gedel in Hekar. Es sei y die Fläche von Brgnder in Hekar. Folgende Bedingngen sind gegeben: () x y y x (maximal Hekar) () 6x y 6 y 6,6 x (Begrenzng Arbeiskosen) () 7x 5y 9 y 8, x () x nd y Z maximieren is der Umsaz U 5,6x,75y 8x 7y 8 U Afgelös nach y: y x (5) 7 7 Da U maximal werden soll, is die Gerade mi dem höchsen y-achsenabschni gesch. Nn werden die Schabilder () () in ein Koordinaensysem eingezeichne. Die roe Gerade ensprich der Zielfnkion nd ha mi der markieren Fläche den Pnk M gemeinsam. M is der Schnipnk der Geraden as () nd (): 8,x x,x 8 x nd dami M(/). Ein maximaler Umsaz ergib sich für ha Gedel-Reben nd ha Brgnder- Reben. Der Umsaz beräg U 8 7.

17 .. Die nee Umsazfnkion lae: U 5,x,75y 7x 7y U Daras folg y x. 7 Dami lieg die roe Zielfnkionsgerade af der Gerade () as.. Dami sind alle Pnke af der Srecke NM mi N(/) (Schnipnk von () nd ()) nd M(/). Für einen maximalen Umsaz kann die Anbafläche x von Gedel zwischen ha nd ha liegen, der Res (-x ha) wird mi Brgnder-Reben beba... Es sei x die Fläche von Gedel in Hekar. Es sei y die Fläche von Brgnder in Hekar. Es sei z die Fläche von Riesling in Hekar. Mi Hilfe der Schlpfvariablen, v nd w gelen folgende Gleichngen: x y z (Anbafläche) 6x y 8z v 6 (Arbeiskosen) 7x 5y 8z w 9 (Errag) Zielfnkion: U 5,x,75y 5,z U 6x 7y 7z

18 Simplexablea: x y z v w Einschränkng U Die Spale mi der größen Zahl bei der Zielfnkionszeile is die Pivospale (wir wählen hier die.spale y). Die Were der Spale Einschränkng ergeben sich as der Division der Spale 7 drch die Elemene der Pivospale (: ; 6 : ; 9 : 5). Die Zeile, in der die kleinse Zahl bei Einschränkng seh, is die Pivozeile. Dies is in diesem Fall mi 6 die.zeile. Das Elemen, das sowohl in der Pivospale als ach in der Pivozeile seh, is das so genanne Pivoelemen hier. Nn werden alle Elemene der Pivospale drch übliche Zeilenmformngen z Nll gemach, aßer das Pivoelemen selbs. Dami ergib sich x y z v w Einschränkng , U- 8 Nn is die.spale x die Pivospale nd die.zeile die Pivozeile. Dami is das Pivoelemen. Dami ergib sich x y z v w Einschränkng U- Nn is die.spale z die Pivospale nd die.zeile die Pivozeile. Dami is das Pivoelemen.

19 Dami ergib sich x y z v w U- 8 Division der einzelnen Zeilen ergib x y z 5 5 U- 8 Für den maximalen Umsaz müssen 5 ha Gedel-Reben, 5 ha Brgnder-Reben nd ha Riesling-Reben angeba werden. 5

20 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Sochasik, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg a) Drch die Angabe der Winkel können die Wahrscheinlichkeien für die einzelnen Sekoren berechne werden. Für Sekor E ergib sich afgrnd der Gesamwinkelsmme von 6 ein Mielpnkswinkel von 5. P(Pfeil zeig af A) = P(Pfeil zeig af C) = P(Pfeil zeig af E) = = 6 6 = 6 5 = P(Pfeil zeig af B) = P(Pfeil zeig af D) = P(Pfeil zeig af F) = 5 = 6 9 = 6 9 = 6 8 b) P (G) = P("AFFE" ) = = 8 56 P(in einem Drchgang komm nr A, E oder F vor) = P(G) =, 5 P(G) = P(mindesens einmal C) = P(niemals C) = = = c) Die Wahrscheinlichkei für mindesens einen Gewinn soll bei n Drchgängen größer als 5% sein. P( mind. einen Gewinn) >,5 P( kein Gewinn ) >,5 Die Wahrscheinlichkei für keinen Gewinn in einem Drchgang beräg. Die Wahrscheinlichkei für keinen Gewinn bei n Drchgängen beräg n n ln,5 >,5 <,5 n ln < ln,5 n > = 7,97 ln Man mss also mindesens 8 Drchgänge spielen! n.

21 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Sochasik, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg a) A = Arbeisspeicher defek ; B = Fesplae defek Die Wahrscheinlichkei, dass ein PC keinen Fehler ha, beräg, =,88. Es gil: P(B) =,8 nd P (A) P(B) =,88 P(A),9 =,88 P(A) =, 9565 Daras folg P(A) = -,9565 =,5. Dami beräg die Wahrscheinlichkei für einen defeken Arbeisspeicher ngefähr,%. P(Arbeisspeicher nd Fesplae defek) = P (A B) = P(A) P(B) =,5,8 =,8 b) Die Wahrscheinlichkei, dass ein PC defek is, beräg,. P( mindesens ein defeker PC ) = P( alle PC s in Ordnng ) =,88 =, c) Da % der Geräe fehlerhaf sind, mss der Leier mi, =, 96, also mi Reklamaionen rechnen. d) Bei Einba der bisherigen Fesplae beragen die z erwareen Kosen:,8 6 =,8 Ero. Bei Einba der zverlässigeren Fesplae beragen die z erwareen Kosen:, 8 = 5,6 Ero. Zsäzlich kommen Ero hinz, da die Fesplaen m Ero erer sind. Insgesam ensehen dadrch Kosen in Höhe von 5,6 Ero. Es lassen sich also drch die zverlässigere Fesplae keine Kosen sparen.

22 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Vekorgeomerie, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg..,5,5,5,5 ) ( ) ( ) ( Lösng für = : Mi x nd r x ergib sich as der.zeile r x. Die Lösng lae,5 r r,5r x (*) Lösng für = -,5:,5,5 As der.zeile: x As der.zeile folg mi x, dass x is. Die Lösng lae x (**)

23 .. Für = ergib sich die Lösng (*). Diese Lösng sell die Parameergleichng einer Ebene dar. Sie is die Schniebene der drei Ebenen. Das bedee, dass sich anschalich alle drei Ebenen des Gleichngssysems in einer gemeinsamen Schniebene schneiden. Somi sell jede der drei Ebenen des Gleichngssysems dieselbe Ebene dar. Da einer der Richngsvekoren der Schniebene is nd afgrnd des Orsvekors der Ursprng O(//) in der Schniebene lieg, lieg die x -Achse in der Schniebene. Für = -,5 ergib sich die Lösng (**). Diese Lösng sell die Parameergleichng einer Gerade dar. Sie is die Schnigerade der drei Ebenen. Afgrnd des Richngsvekors nd weil die Gerade afgrnd des Orsvekors den Ursprng O(//) enhäl, lieg die Gerade in der x x -Ebene. Für R \ { ; -,5} ergib sich als Lösng für das Gleichngssysem eindeig x x x. Das heiß der Ursprng O(//) is der gemeinsame Schnipnk aller drei Ebenen... Die Länge der Dreiecksseien ergeben sich as der folgenden Formel: Der Absand zweier Pnke A(a / a / a ) nd B(b / b / b ) ensprich AB (a b) (a b ) (a b ) AB AC BC k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (k )) ( (k )) 6 ( k) ( k) 9 (6 8k k 9 (6 8k k ) k ) k k k 8k 5 8k 5 Umfang U 6 k 8k 5 La GTR ergib sich ein Minimm für k = mi einem minimalen Umfang von U() =,5.

24 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Vekorgeomerie, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg.. Afsellen der Ebene E in Parameerform: x r 8 s 8 Umformng der Ebenengleichng von E in Koordinaenform: x 6 6r 6s () x 8r r x 8 () x 8s s x 8 () Einsezen von () nd () in () ergib: 6 6 x 6 x x x x x 8 8 Afsellen der Ebene F in Parameerform: 9 x r s (Der zweie Richngsvekor ensprich dem Verbindngsvekor vom Pnk D zm Afpnk der Geraden g). Einsezen der Parameerform von F in die Koordinaengleichng von E: (9 r) ( r) ( r s) 6 r 6 r 6 6r 6s 8r 6s 5 s r 9 Einsezen dieser Beziehng in die Parameerform von F: 9 9 x r (r 9) r nd dies is die Parameerform der Schnigerade der beiden Ebenen.

25 .. D* H* H Es gil H(9//). Die Gerade drch P nd H besiz die Gleichng h: 9 x Berechnng des Schnipnkes H* der Gerade h mi der Ebene E: (9 ) ( ) ( ) =- eingesez in die Geradengleichng ergib H*(//8). Die Gerade drch P nd D besiz die Gleichng n: 9 x Berechnng des Schnipnkes D* der Gerade n mi der Ebene E: (9 ) ( ) =- eingesez in die Geradengleichng ergib D*(//). Die Länge des Schaens beräg D * H * ( ) ( ) ( 8) 89 LE

26 Berfliches Gymnasim (TG ohne CAS) Happrüfng 6 Teil, Vekorgeomerie, Lösng z Afgabe Baden-Würemberg.. Um die Geschwindigkei beider Flgzege z ermieln, mss znächs der Absand der Anfangs- nd Endpnke der Flgzege ermiel werden: Flgzeg F : Anfangspnk P ( / / ) nd Endpnk Q (6 /6 / ). 6 Es gil P Q = 6 mi PQ = = 58, 98 km,98km km Die Geschwindigkei beräg v = = 5,7. min min Flgzeg F : Anfangspnk ( 5 / / 8) nd Endpnk Q ( / / 8). P 5 Es gil P Q = 6 mi P Q = = 565 = 75 km 75km km Die Geschwindigkei beräg v = = 5. 5min min Somi is das Flgzeg schneller als das Flgzeg. Geradengleichng der Flgbahnen der Flgzege: Der Sarpnk des Flgzegs ensprich dem Orsvekor. Dami der Parameer der Geradengleichng die Bedeng der Zei in Minen bekomm, mss der Richngsvekor so normier werden, dass dieser die Richngsänderng des Flgzegs pro Mine beschreib. Für den Richngsvekor von Flgzeg F gil daher Flgbahn von Flgzeg : P Q x = +, in Minen =.

27 Für den Richngsvekor von Flgzeg F gil Flgbahn von Flgzeg : 9 P Q = x = +, in Minen 8. Die Flghöhe der Flgzege wird drch die x -Koordinae der Geradengleichngen beschrieben. Das Flgzeg ha als konsane Koordinae x = 8 km, das heiß, dass dieses Flgzeg seine Flghöhe nich änder. Für Flgzeg gil x = +, das heiß, dass es pro Mine m km seig. Für = 8 (das heiß nach 8 Minen) haben beide Flgzege die gleiche Flghöhe erreich... Die Geradengleichngen der beiden Flgbahnen haben keine vielfachen Richngsvekoren. Das heiß, dass die Geraden enweder windschief sind oder sich schneiden. Dies wird drch Gleichsezen der Geradengleichngen geprüf: = + s 8 (die Parameer müssen nerschiedlich sein!) As der.zeile folg: = 8. As der.zeile folg dann: = + s s = As der.zeile folg dann: = is eine falsche Assage. 6 Dami schneiden sich die Flgbahnen nich, sie sind windschief. 6.. Nach Minen befinde sich das Flgzeg im Pnk P ( / / ) Nach Minen befinde sich das Flgzeg im Pnk Q ( / + / 8) Die Pnkkoordinaen ergeben sich drch die Übernahme der Zeilen der Geradengleichngen. Zm Zeipnk beräg der Absand der Flgzege d() = PQ = + 8 = ( ) ( ) ( 8 )

28 Mi dem GTR mss nn das Minimm der Fnkion d() besimm werden: Für =,59 (also nach Minen nd 5, Seknden) haben die Flgzege einen minimalen Absand von 5,6 km voneinander.

29 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Wirschafliche Anwendngen, Lösngen Afgabe A Baden-Würemberg.. Es ergib sich folgende Inp-Op-Tabelle S S S Mark Prodkion S 5 x 5 S x S 5 x Es gil: x = 5 5 = 8 x = = x = 5 = 95 Inpmarix: 5 5 A = , 6 =, 95,5,,,,,,65..,7 y = (E A) x =,,5,,8,, 6 9, 5 = 6,5 65 S mss Waren im Wer von 9 GE, S im Wer von 6 GE nd S im Wer von 65 GE an den Mark abgeben...,7 y = (E A) x =,,5,,8,, x y, 6 = y,5 x y mi x 58 Umformng z einem linearen Gleichngssysem:,7x,x y =,x,x y =,5x +,5x y = 8 6 Lösng mi GTR: x = 575, x = 85, y =

30 Wenn S Waren im Wer von 575 GE ( 58 is erfüll) nd S Waren im Wer von 85 GE prodzier, können alle drei Sekoren jeweils Waren im Wer von GE an den Mark abgeben... Es handel sich dann m eine Inpmarix, wenn alle Einräge zwischen nd liegen.,56 (*) nd,, (**) 5 As (*): nd 5 As (**): nd Zsammengefass: Für = gil: (E A) = (Berechnng mi GTR) Da alle Einräge der Inversen Marix nichnegaiv sind, kann jede Nachfrage befriedig werden.

31 Berfliches Gymnasim (WG, EG, AG, SG) Happrüfng 6 Teil, Wirschafliche Anwendngen, Lösngen Afgabe B Baden-Würemberg.. Es gil: A = nd,5,5 B = 5 5 Daras folg: C = A B =,5 6,5,5 9 5,5 6 7 Es gil: C p = r C p = 87 Dies ergib ein lineares Gleichngssysem. p T =. Das Gleichngssysem is eindeig lösbar, also können alle Zaen verarbeie nd verpack werden. Mi dem GTR ergib sich die Lösng ( 7 9).. Gesamkosen K = ( 8 8,5 9) 7 + 8, = 69, 9 Kosendeckend bedee Erlös = Gesamkosen: Bei 9 Packngen mss somi ein Preis von 69, : 9 = 9, GE pro Packng erziel werden.... Prodkionszahl von Packng nimm znächs z nd erreich im.qaral ihr Maximm. Danach nimm die Zahl wieder ab. Prodkionszahl von Packng is konsan bei 6. Prodkionszahl von Packng seig linear an.

32 ... Berechnng der Hersellkosen in Abhängigkei von : K() =,5 6 = K() = ( ) 6 K() = K() = K() = 7 K() = 5 Im.Qaral sind die Prodkionskosen am höchsen.