ANLEITUNG ZUM PRAKTIKUMSVERSUCH MONTE-CARLO-SIMULATION VON Self-Assembly-PROZESSEN. Dr. S. May, Bearbeitung: Dr. A. Köhler Februar 2005

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1 ANLEITUNG ZUM PRAKTIKUMSVERSUCH MONTE-CARLO-SIMULATION VON Self-Assembly-PROZESSEN Dr. S. May, Bearbeitug: Dr. A. Köhler Februar 2005 Zusammefassug Sie lere zwei Methode zur Modellierug der Selbstassoziatio biologischer Makromoleküle i wäßriger Lösug kee. Die erste Methode ist die Mote-Carlo-Simulatio. Dabei wird mit Hilfe eies Computers das statistische Verhalte der sich bildede Aggregate ermittelt. Die zweite Methode ist die Theorie der Selbstassoziatio i verdüte Lösuge. Diese Theorie resultiert i eifache mathematische Beziehuge, mit dee das statistische Verhalte makromolekularer Assoziate vorhergesagt werde ka. Beide Methode solle aalysiert ud miteiader vergliche werde. Der Schwerpukt des Versuches liegt auf dem Verstädis des Wechselspiels zwische Eergie ud Etropie bei Selbstassoziatiosprozesse. Eileitug Eie Reihe vo biologische Makromoleküle ist zur Selbstassoziatio (Self-Assembly) fähig (Ackerma 1992; Evas & Weerström 1994). Dabei bilde sich makromolekulare Assoziate spota aus idetische oder ähliche Utereiheite, ohe dabei kovalete Biduge eizugehe. Als Beispiele seie die Bildug eier Doppelschichtmembra aus Lipide, die Bildug der Proteihülle bestimmter Vire (z.b. des Tabak-Mosaik-Virus) ud das Cytoskelett (Mikrotubuli, Mikrofilamete ud itermediäre Filamete) geat (Platter & Hetschel 1997). Zur Regulierug der Selbstassoziatio existiere verschiedee Möglichkeite (Alberts et al. 1994). Es soll bemerkt werde, daß jedoch icht alle zelluläre Strukture durch Selbstassoziatiosprozesse etstehe. Viele subzelluläre Strukture (z.b. Mitochodrie) werde stattdesse ezymatisch katalysiert. Die Selbstassoziatio ist ei reversibler Prozeß ud ka mit Hilfe der Gleichgewichtsthermodyamik beschriebe werde. Durch eie Äderug der äußere Bediguge wie der Temperatur oder Kozetratio der Utereiheite köe sich makromolekulare Assoziate spota zusammesetze oder zerfalle. Die Selbstassoziatio folgt bestimmte thermodyamische Prizipie, die i diesem Versuch aalysiert werde solle. Um ei Verstädis dieser Prizipie zu erreiche, sid Methode der Modellierug sivoll. Im Versuch werde zwei grudlegede Methode vorgestellt: 1. Bei der erste Methode hadelt es sich um eie Mote-Carlo-Simulatio (MC- Simulatio) (Ladau & Bider 2000; Frekel & Smit 1996). Dabei wird das statistische Verhalte vo eifache Modellmoleküle mit Hilfe eies Computers berechet. MC-Simulatioe werde häufig auf Gitter durchgeführt, da dies die effiziete Berechug der itermolekulare Wechselwirkuge gestattet. Im vorliegede Versuch wird die MC-Simulatio auf eiem zweidimesioale quadratische Gitter (siehe Abb. 1) durchgeführt. 2. Die zweite Methode ist die Theorie der Selbstassoziatio i verdüte Lösuge (Egel 1982; Huter 1987; Israelachvili 1992). Diese Theorie utzt de Formalismus der statistische Mechaik zur Ableitug eifacher mathematischer Gleichuge, die es erlaube, das Verhalte bestimmter Systeme äherugsweise vorherzusage.

2 Wir wolle hier ei eifaches Gittermodell für die Selbstassoziatio verschiedeartiger Modellmoleküle (im folgede kurz Molekül geat) aalysiere. Die verschiedee Moleküle zeige gaz uterschiedliches Verhalte. Eier der utersuchte Molekültype ist zur Bildug liearer Aggregate fähig. Für diese Molekültyp solle die Vorhersage der Theorie des Self-Assembly mit de Resultate der MC-Simulatio vergliche werde. Die Mote-Carlo-Simulatiosmethode Die MC-Methode ist gut geeiget, das statistische Verhalte eies Esembles wechselwirkeder Moleküle zu beschreibe. Voraussetzug für eie effiziete Implemetierug der MC- Methode ist, daß die Moleküle auf relativ eifache Weise miteiader wechselwirke. Der Grud dafür ist die Notwedigkeit, währed der MC-Simulatio die Wechselwirkugseergie eier große Azahl verschiedeer Zustäde des Systems (d.h. verschiedeer Molekül- Kofiguratioe oder Mikrozustäde) zu bereche. Für komplizierte itermolekulare Wechselwirkuge wäre die dafür beötigte Zeit zu groß. Die MC-Simulatio bei gegebeer Eergie ud Temperatur: Die eifachste Art, das statistische Verhalte eies Systems zu beschreibe, wäre, alle Zustäde α des Systems zu geeriere. Jeder Zustad hat eie bestimmte Wahrscheilichkeit P(α). Die Vorschrift zur Mittelug eier physikalische Größe A(α) ist da: A A = P( α) A( α). (1) α I Gl. 1 ist <A> der thermodyamische Mittelwert der Größe A(α). Nur dieser Mittelwert (icht jedoch die Werte vo A für die eizele Zustäde α) läßt sich experimetell bestimme. Die Wahrscheilichkeite P(α) häge davo ab, welche thermodyamische Bediguge die MC-Simulatio etspreche soll. Ist zum Beispiel die Wechselwirkugseergie U eies Systems fest vorgegebe, habe alle Zustäde mit geau dieser Eergie die gleiche ud alle adere Zustäde eie verschwidede Wahrscheilichkeit P(α). Ist dagege die Temperatur vorgegebe (ud dies soll im folgede ageomme werde), sid die Wahrscheilichkeite P(α) boltzmaverteilt: e ( (2) U ( α ) / k T P B α) = U ( α ) kbt e / α Dabei ist k B = J/K die Boltzmakostate ud T die absolute Temperatur. Der Neer i Gl. 2 stellt die Normierug Σ α P(α) = 1 sicher. Der Metropolis-Algorithmus: Scho für sehr kleie Systeme (so auch im vorliegede Versuch) gibt es kaum och die Möglichkeit, alle Zustäde zu durchlaufe. Zudem liefer die meiste Zustäde sowieso kaum eie Beitrag zum Mittelwert der Größe A, da die Wahrscheilichkeite P(α) für die meiste Zustäde praktisch verschwide. Deshalb wäre es wüscheswert, ur solche Zustäde zu durchlaufe, die substatiell zu <A> beitrage. Diese Zustäde müsse aber mit de richtige (d.h. boltzmaverteilte) Wahrscheilichkeite ageomme werde. Eie Möglichkeit, de Zustadsraum etspreched de i Gl. 2 gegebee Wahrscheilichkeite zu durchlaufe, ist durch de Metropolis-Algorithmus gegebe. Dieser Algorithmus ka wie folgt beschriebe werde: 2

3 1. Spezifiziere eie Afagszustad des Systems (dieser habe die Gesamtwechselwirkugseergie U 0 ). 2. Geeriere eie eue Zustad des Systems (dieser habe die Gesamtwechselwirkugseergie U mit eiem um 1 erhöhte Wert vo ) 3. Bereche die Differez der Wechselwirkugseergie U = U U We U < 0 ist, wird der eue Zustad akzeptiert ud mit Schritt 2 fortgesetzt. 5. Bereche exp(- U/k B T). 6. Wähle eie Zufallszahl z [0,1) 7. Falls z < exp(- U/k B T) ist, akzeptiere de eue Zustad ud setze mit Schritt 2 fort. 8. Behalte asoste de alte Zustad bei ud fahre mit Schritt 2 fort. Der Metropolis-Algorithmus ist die am häufigste verwedete Implemetierug eier MC- Simulatio bei kostater Temperatur. Details zur MC-Simulatio Wir simuliere die Assoziatio vo amphiphile Modellmoleküle i wäßriger Lösug. Die Simulatio wird auf eiem zweidimesioale quadratische Gitter der Größe N i N j durchgeführt. Jedes Feld des Gitters wird durch zwei Idizes (i,j) gekezeichet. Auf jedem Feld ka sich höchstes ei Modellmolekül befide. Ei leeres Feld sehe wir als mit Wasser gefüllt a. Ei gegebees Modellmolekül hat vier Seitefläche. Jede Seitefläche ka etweder hydrophob oder hydrophil sei. Die Aordug der hydrophobe ud hydrophile Seitefläche ergibt sich dabei aus dem Molekültyp ud desse Orietierug. Beides wird weiter ute beschriebe (siehe Abb. 2). Im folgede wolle wir us zuächst auf solche Moleküle beschräke, die jeweils zwei gegeüberliegede hydrophobe ud hydrophile Seite habe (im folgede werde wir dieses Molekül eifach mit dem Buchstabe H bezeiche). Eiige dieser H-Moleküle sid i Abb. 1 auf eiem (10 10)-Gitter dargestellt. Wir wolle die gerade Seite des Modellmoleküls als hydrophob ud die eigekickte Seite als hydrophil defiiere. Offesichtlich gibt es zwei mögliche Orietieruge des Moleküls, eie horizotale (siehe Molekül (2,2)) ud eie vertikale (siehe Molekül (2,4)). Bei ubesetzte (also mit Wasser gefüllte) Gitterplätze sid atürlich alle vier Seite hydrophil. Abbildug 1: Das für die MC-Simulatio verwedete Gitter, welches hier die Größe hat. Auf dem Gitter befide sich eiige Modellmoleküle des Typs H, die zum Teil miteiader assoziiert sid. Die Moleküle köe sowohl eie horizotale wie auch vertikale Orietierug aehme. Sie wechselwirke mit ihre (durch gerade Liie dargestellte) hydrophobe Seite mit de hydrophobe Seite beachbarter Moleküle. Die etsprechede Moleküle werde i diesem Fall als miteiader assoziiert bezeichet. Dies trifft z.b. auf die Moleküle (8,9) ud (7,9) zu: sie bilde ei Dimer. 3

4 Spezifikatio der mikroskopische Wechselwirkug: Die hydrophobe Seitefläche eies gegebee Modellmoleküls wechselwirke ugüstig mit ihrer hydrophile Umgebug. Wir weise jedem Kotakt eier hydrophobe mit eier hydrophile Fläche eie bestimmte Wechselwirkugseergie J > 0 zu. Die Molekülseitefläche köe dabei ur mit ihre direkte Nachbar wechselwirke (das heißt die rechte Seitefläche des Moleküls (2,2) wechselwirkt ur mit der like Fläche des Gitterplatzes (2,3) usw.). Zwei hydrophile Seitefläche solle icht miteiader wechselwirke. I Abb. 1 trage die Moleküle (2,2) ud (2,4) also jeweils 2J zur Gesamteergie bei. Ebeso solle zwei hydrophobe Seitefläche icht miteiader wechselwirke. Letzteres impliziert isbesodere, daß zwei assoziierte Moleküle ur eie Wechselwirkugseergie vo 2J mit ihrer Umgebug habe (ud icht wie zwei isolierte Moleküle eie Wechselwirkugseergie vo 4J). I Abb. 1 sid die Moleküle (8,5) ud (8,6) bzw. (8,9) ud (7,9) miteiader assoziiert (das heißt, sie bilde Dimere). Dagege sid die Moleküle (5,8) ud (5,9) icht miteiader assoziiert, obwohl sie sich auf beachbarte Gitterplätze befide. Diese beide Moleküle trage also 4J zur Gesamteergie bei. Natürlich köe auch größere Aggregate etstehe, so das Trimer (3,7)+(3,8)+(3,9). I MC-Simulatioe sid periodische Radbediguge üblich. Wir wolle diese auch hier verwede. Das heißt, die obere Seite der Reihe i = 10 köe mit de utere Seite der Reihe i =1 wechselwirke. Daraus folgt, daß die Moleküle (1,8) ud (10,8) ei Dimer bilde. Gaz aalog köe auch die like Seite der Spalte j = 1 mit de rechte Seite der Spalte j = 10 wechselwirke. Uter Berücksichtigug der periodische Radbediguge ergibt sich für das Beispiel i Abb. 1 isgesamt eie Wechselwirkugseergie der Modellmoleküle mit der wäßrige Umgebug vo U = 16J. Die gesamte Wechselwirkugseergie U wird auch als iere Eergie des Systems im jeweilige Zustad bezeichet. (Wir bemerke, daß U gerade die thermodyamische Größe der iere Eergie ist.) We alle Moleküle als Moomere vorliege, ist U = U max = 2MJ maximal, wobei M die Azahl der Moleküle auf dem Gitter bezeichet. Gibt es jedoch M c molekulare Kotakte, so verrigert sich die iere Eergie auf U = 2J (M M c ). Offesichtlich ist U immer ei Vielfaches vo 2. Wir bemerke, daß ma ei System auch durch die Azahl der molekulare Kotakte M c charakterisiere ka. Es ist ämlich eifach U = U max δm c, wobei δ = 2J der Eergiegewi für die Assoziatio zweier hydrophober Molekülseite ist. I Abb. 1 gilt M c = 5, M = 13 ud U = 26J 5δ = 16J. Der Mote-Carlo-Schritt: Der Metropolis-Algorithmus ist obe bereits vorgestellt worde. Hier u wird auf seie kokrete Implemetierug eigegage. Ei Zustad α des Systems ist durch die Agabe der Gitterplätze ud Orietieruge aller Moleküle vollstädig bestimmt. Der Zustad hat da die Gesamtwechselwirkugseergie i, j i, j U ( α ) = J σ, (3) wobei σ i,j die Azahl der hydrophil-hydrophobe Grezfläche des Gitterplatzes (i,j) bezeichet. Ei euer Zustad wird u spezifiziert, idem ma ei eizeles Molekül beliebig auswählt ud mit zufälliger Orietierug (also horizotale oder vertikale Orietierug) auf eie ebefalls zufällig gewählte, och icht besetzte Nachbarplatz verschiebt. Nu berechet ma die Eergieäderug U bezüglich des alte Zustades. Die Akzeptaz oder Ablehug des eue Zustades wird da etspreched dem Metropolis-Algorithmus (wie obe beschriebe) berechet. Die Azahl der versuchte MC-Schritte ka recht groß sei, die Ausführug vo 10 7 Schritte dauert typischerweise weiger als eie Miute (die Azahl der wirklich akzeptierte MC-Schritte t E ka jedoch bedeuted kleier sei). 4

5 Gestartet wird die Simulatio vo eier beliebige Afagskoformatio aus. Diese ka sich durchaus weit etfert vom Gleichgewicht befide. Das System braucht da eie gewisse Azahl vo Schritte t G, um das Gleichgewicht zu erreiche. Ob das bereits der Fall ist, ka ma feststelle, idem ma U als Fuktio der Schrittzahl t darstellt. Erst we U statistisch um eie Mittelwert schwakt, ist das Gleichgewicht erreicht. Im Gleichgewicht ka ma de Mittelwert jeder beliebige physikalische Größe A bereche: t A E 1 = A( t). t t (4) E G t= t Das Resultat der Mittelug i Gl. 4 ist mit dem i Gl. 1 idetisch. I Gl. 4 werde die eizele Zustäde jedoch bereits boltzmaverteilt durchlaufe; deshalb ist der Boltzmafaktor P(α) hier icht mehr ethalte. I userer MC-Simulatio sid typische Größe für A(α) die Lägeverteilug der molekulare Aggregate, die Stadardabweichug der Lägeverteilug, die Orietierug der Aggregate ud die Wechselwirkugseergie U(α). Adere Molekültype: Der Molekültyp H i Abb. 1 ist geeiget, die Bildug liearer Aggregate zu demostriere. Für adere Molekültype wird ma ei völlig aderes Verhalte erwarte. Die Abb. 2 stellt eiige Möglichkeite vor. Das Molekül O ka über alle vier Seitefläche mit adere Moleküle assoziiere. Es ist deshalb zur Bildug kompakter zweidimesioaler Aggregate geeiget. Das Molekül U besitzt eie hydrophile Seitefläche. Auch hier köe große Aggregate etstehe, die jedoch icht kompakt sid. Das Molekül H zeigt lieares Wachstum (wie obe besproche). Molekül K bildet höchstes Dimere. Das Molekül R besitzt wie das Molekül H zwei hydrophobe ud zwei hydrophile Seitefläche, sei Verhalte weicht jedoch vo dem des H-Moleküls ab. Obwohl auch das R-Molekül liear wachse ka, bilde sich zumeist Tetramere. Jeder der i Abb. 2 dargestellte Molekültype soll im Praktikum utersucht ud das etsprechede Wachstumsverhalte qualitativ diskutiert werde. G Abbildug 2: Verschiedee Molekültype mit de zugehörige Bezeichuge, wie sie hier verwedet werde solle. Eie gerade Seitefläche des Modellmoleküls ist hydrophob, eie eigekickte Seite hydrophil. Eiführug i die Theorie des Self-Assembly Die Theorie des Self-Assembly erlaubt die Vorhersage des statistische Verhaltes eies Systems vo Moleküle, die zur Selbstassoziatio fähig sid. Ma ka die Theorie jedoch ur auf verdüte Lösuge awede. Wir wolle aehme, daß sich M Moleküle auf dem Gitter befide. Die Gesamtkozetratio x ges der Moleküle i Lösug ist demach x = M ges. N N (5) i j 5

6 Das heißt: die Bedigug x ges << 1 muß erfüllt sei, um die Theorie des Self-Assembly i verdüte Lösuge awede zu köe (für kozetrierte Lösuge gestaltet sich die Vorhersage viel schwieriger). Das statistische Verhalte im System hägt außer vom Molekültyp atürlich auch vo der Wechselwirkugseergie J (bzw. δ = 2J) sowie der Kozetratio x ges ab. Es ka auch vo der Gittergröße abhäge, obwohl dieser Effekt atürlich uerwüscht ist. Die Theorie des Self-Assembly beruht auf der Aahme, daß die molekulare Aggregate icht miteiader wechselwirke (was atürlich ur im Fall geriger Kozetratio x ges erfüllt ist). Das thermodyamische Potetial, welches bei vorgegebeer Temperatur ei Miimum aimmt, ist die freie Eergie F = U TS, wobei U die iere Eergie ud S die Etropie des Systems ist. Die iere Eergie U wird ach Gl. 3 berechet. Für gerige Kozetratio x ges ka ma S als Etropie eies ideale Gases darstelle. Dabei wird also jedes Aggregat wie ei Teilche eies ideale Gases behadelt. Diese Aahme erlaubt es, die Azahl der i der Lösug vorkommede Aggregate als Fuktio ihrer Größe auf eifache Weise abzuleite. Die Ableitug soll jedoch hier icht vorgeführt werde. Stattdesse solle ur eiige Resultate für das lieare Wachstum (also Molekültyp H i Abb. 2) vorgestellt werde. Im folgede gehe wir also vo eiem System mit der Molekülsorte H, eier Kozetratio x ges << 1 ud eier Wechselwirkugseergie δ = 2J aus. Im Mittel wird ma jede Aggregatgröße mit eier bestimmte Kozetratio x fide. Dabei ist die Gesamtkozetratio x ges vorgegebe, so daß die Beziehug = x ges x =1 erfüllt sei muß. Beispielsweise sid i Abb. 1 x 1 = 4/100, x 2 = 6/100, x 3 = 3/100, so daß sich x ges = 13/100 ergibt. Die Theorie des Self-Assembly macht u eie kokrete Vorhersage für die x, ämlich: x exp δ = k BT e x δ / k T ges B. (6) Bei der Ableitug dieses Resultates ist eie kotiuierliche Verteilug ageomme worde (das heißt, x ka auch für de Fall = 0.5 usw. berechet werde, obwohl es atürlich kei 0.5-mer gibt). I Abb. 3 ist die Verteilug ach Gl. 6 für x ges = 0.1 ud eiige verschiedee δ dargestellt. Offesichtlich hat die Verteilug der x ei Maximum. Wie ma leicht achprüfe ka, liegt dieses bei max δ / kbt 1 δ / k = xges e B T xmax = x max = max e (7) ( ). Mit Hilfe der Verteilug i Gl. 6 ka ma auch adere iteressate Größe bestimme. So ist die mittlere Größe der Aggregate gegebe durch Die Verteilugsbreite ist x = x = 2 2 max. 2 σ = = (9) max / max (8) 6

7 x Abbildug 3: Die Kozetratiosverteilug x ach Gl. 6 für x ges = 0.1 ud δ = 1 k B T (a), δ = 2k B T (b), δ = 3k B T (c), δ = 4k B T (d), δ = 5 k B T (e). Das Itegral über jede der dargestellte Kurve ist kostat ud etspricht geau der Gesamtkozetratio x ges = 0 x d. Aufgabe 1. Mache Sie sich mit der Wirkugsweise der MC-Simulatio vertraut! Schätze Sie ab, ach wieviel MC-Schritte sich das System im thermodyamische Gleichgewicht befidet! 2. Utersuche ud diskutiere Sie das prizipielle Wachstumsverhalte verschiedeer Molekülsorte (Im Programm köe alle Molekülsorte aus Abb. 2 vorgegebe werde)! 3. Utersuche Sie de Eifluß der Gittergröße auf die Simulatiosergebisse! Welche Effekt ka die ichtquadratische Wahl der Gittergröße (also N i N j ) auf die mittlere Orietierug großer Aggregate (isbesodere der Molekültype H ud O) habe? 4. Utersuche Sie de Molekültyp K! Offesichtlich gibt es eie Aalogie zur chemische Reaktio 2A B. Schreibe Sie die Gleichgewichtskostate dieser chemische Reaktio i Abhägigkeit vo J auf! Vergleiche Sie das chemische Gleichgewicht mit de Resultate der MC-Simulatio! 5. Vergleiche Sie für de Molekültyp H (lieare Aggregatio) die Ergebisse der MC- Simulatio mit de Vorhersage der Theorie des Self-Assembly! Diskutiere Sie evetuelle Abweichuge! Welche Abweichuge fide Sie für große Kozetratioe x ges? 6. Bei kleie Kozetratioe ka ma erwarte, daß für de Molekültyp H im Mittel geauso viele Aggregate horizotal wie vertikal orietiert sid. Utersuche Sie, ob es bei große Kozetratioe zu eier Vorzugsorietierug, also eier gemeisame Ausrichtug der Moleküle, komme ka! Überlege Sie sich de mögliche Grud eier solche Ausrichtug! 7. Warum sid für de Molekültyp R Tetramere die bei weitem bevorzugte Aggregatgröße, obwohl sich prizipiell auch Aggregate aller adere Größe bilde köe? 7

8 Literatur Ackerma, Th Physikalische Biochemie. Berli, Heidelberg, New York: Spriger- Verlag. Alberts, B., Bray, D., Lewis, J., Raff, M., Roberts, K., &Watso, J. D Molecular biology of the cell. Third ed. New York & Lodo: Garlad Publishig, Ic. Egel, J Thermodyamik ud Kietik vo Self-Assembly-Vorgäge. I: Hoppe, W., Lohma, W., Markl, H., & Ziegler, H. (eds), Biophysik. Berli: Spriger-Verlag. Evas, D. F., & Weerström, H The colloidal domai, where physics, chemistry, ad biology meet. Secod ed. VCH publishers. Frekel, D., & Smit, B Uderstadig Molecular Simulatio: From Algorithms to Applicatios. Academic Press. Huter, R. J Foudatios of Colloid Sciece. Oxford Uiversity Press. Israelachvili, J. N Itermolecular ad Surface Forces. Secod ed. Academic Press. Ladau, D. P., & Bider, K A guide to Mote Carlo simulatios i statistical physics. Cambridge Uiversity Press. Platter, H., & Hetschel, J Taschelehrbuch Zellbiologie. Stuttgart: Georg Thieme Verlag. 8