Einführung in die Variationsrechnung

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1 Einführung in die Vritionsrechnung Teilnehmer: Dvid Alcer Puline Bimberg Robert Clusecker Cinr Fidn Ynn Pul Hrtmnn Tobis Kretschmr Dominik Nehls Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin John-Lennon-Gymnsium, Berlin Herder-Oberschule, Berlin Sttl. Gymn. Bergschule, Apold Herder-Oberschule, Berlin Immnuel-Knt-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin Gruppenleiter: Frnk Feudel Humboldt-Universität zu Berlin Wir hben uns mit Minimierungsproblemen beschäftigt, bei denen Funktionen minimiert werden sollen, deren Argumente selbst Funktionen sind. Ds mthemtische Teilgebiet, welches sich mit der Minimierung von solchen Funktionlen (d.h. von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind) beschäftigt, nennt sich Vritionsrechnung. In diesem Kurs erfolgte eine Einführung in dieses Teilgebiet. Dzu wurde uf der Bsis der Kenntnisse der Differentil- und Integrlrechnung versucht, ein ähnliches Klkül für Funktionle zu entwickeln. Dbei hben wir viele Gemeinsmkeiten, ber uch überrschende Unterschiede kennen gelernt. Außerdem hben wir dbei festgestellt, dss es einen engen Bezug zu Differentilgleichungen gibt. Mit dem entwickelten Klkül wurden Frgestellungen us Physik und Geometrie bentwortet, wie z.b.: Ws sind die kürzesten Verbindungen uf der Kugeloberfläche? Welche Fläche der Ebene, die von einer Kurve mit gegebener Länge umrndet wird, ht den größten Flächeninhlt? Wie muss der Grph einer Funktion ussehen, sodss der Rottionskörper, der durch Rottion um die Abszisse entsteht, eine minimle Mntelfläche ht? Auf welcher Bhn rollt eine Kugel m schnellsten nch unten, wenn Strt und Zielpunkt vorgegeben sind? (Brchistochronenproblem) 13

2 1 Einführung Die Vritionsrechung findet in vielen (nwendungsorientierten) Problemen der Mthemtik Anwendung. Im Allgemeinen versucht mn eine Einsetzung u(x) in eine Funktion F (x, u(x), u (x)) zu finden, sodss (1.1) miniml wird. J(u) := F (x, u(x), u (x)) dx (1.1) Dbei soll u eine uf [; b] stetig differenzierbre Funktion sein, n die verschiedene Rndbedingungen gestellt werden können. Die folgenden Probleme demonstrieren die Frgestellung. 1.1 Die Brchistochrone Gegeben seien zwei Punkte A und B in einer Ebene. Es wirke ein homogenes Grvittionsfeld, ds eine konstnte Fllbschleunigung g usübe in negtive y-richtung. Sei u : [; b] R eine Funktion, deren Grph durch die Punkte A und B geht. Nun setzt mn eine idele, punktförmige Kugel uf den Punkt A und lässt diese zum Punkt B uf dem Grphen von u rollen. Für welches u(x) ist die Rollduer miniml? Unter Anwendung verschiedener physiklischer Formeln ergibt sich die Gleichung (1.2) für die Horizontlgeschwindigkeit v Hor der Kugel 2gu(x) v Hor = 1 + u (x). (1.2) 2 Integrtion über die x-koordinte liefert die Rollduer; diese Größe möchten wir minimieren. Dbei legen wir den Ursprung in den Beginn der Bhn. Mn knn dmit folgende Gleichung herleiten 14

3 1.2 Minimlfläche x 0 1 s = dx = v Hor 0 x u (x) 2 2gu(x) dx. (1.3) Wir betrchten den Rottionskörper um die x-achse einer Funktion u zwischen den Stellen und b. Nch den Guldinschen Regeln ht dieser die Mntelfläche us (1.4). M = 2π u(x) 1 + u (x) 2 dx (1.4) Welche Funktion u(x) ht die minimle Mntelfläche M, wenn ihr Grph durch bestimmte Punkte läuft? 2 Abstände zwischen Funktionen und Stetigkeit des Funktionls Um Differentilrechung betreiben zu können, benötigt mn einen Ableitungsbergriff und für diesen wiederum einen Abstnd. Im Folgenden gilt es, den Abstnd zwischen zwei Funktionen zu berechnen. Doch ws verlngen wir eigentlich von diesem Abstnd? 1. Der Abstnd ist eine nicht-negtive, reelle Zhl, Dinge ohne Abstnd sind einnder gleich. 2. Der Abstnd ist symmetrisch. 3. Die Gerde ist die kürzeste Verbindung. Exkte Mthemtisierung: Ein Abstnd wird durch eine Funktion d : X X [0, [ (X ist eine Menge) mit folgenden Eigenschften beschrieben: 15

4 1. d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, 2. d(x, y) = d(y, x), 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Für stetige Funktionen uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] lässt sich ein ntürlicher Abstnd definieren. d(f, g) := mx { f(x) g(x) } (2.1) x [,b] Wir wollen jetzt die Grenzwertdefinition uf Funktionen übertrgen, deren Argumente Funktionen sind, dmit wir sie für Funktionen wie (1.1) verwendet können. Wir definieren: lim u u 0 J(u) = y 0 : ε > 0 δ > 0 u C 1 ([, b]) 0 < d(u, u 0 ) < δ J(u) y 0 < ε. (2.2) Gilt: lim u u0 J(u) = J(u 0 )? Also: Ist J stetig? (Sonst bruchen wir über Ableitungen gr nicht zu reden.) Eine intuitive Rechnung ergibt: lim J(u) = lim F (x, u(x), u (x)) dx u u 0 u u0 = = lim F (x, u(x), u (x)) dx u u 0 F (x, u 0 (x), u 0(x)) dx (flls F stetig). Jedoch nähern sich bezüglich unseres Abstndsopertors bei u u 0 die Ableitungen u und u 0 nicht zwngsläufig einnder n, weshlb die zweite Gleichheit nicht gesichert ist. Ein Gegenbeispiel liefert die Folge 16

5 u n (x) := x 0 tn dt uf [0; 1], die bezüglich d gegen die Nullfunktion konvergiert, deren Ableitung ber nicht punktweise gegen 0 geht. Wir definieren dher einen neuen Abstnd d, für den d(u, u 0 ) 0 u u 0 u u 0 gilt: d(f, g) := mx { f(x) g(x) } + mx { f (x) g (x) }. (2.3) x [,b] x [;b] Weiterhin ist zu begründen, dss mn Integrl und Grenzwert vertuschen knn. Im Allgemeinen ist ds nicht möglich. Dzu betrchten wir folgendes Gegenbeispiel, wobei lle beteiligten Funktionen stetig uf [0;1] sind. n 2 x für 0 x 1 n f n (x) := n 2 x + 2n für 1 n < x 2. n 0 für 2 < x 1 n Die Funktionen sind stetig und konvergieren punktweise gegen 0. Andererseits gilt: 1 Dmit gilt nicht: 0 f n (x)dx = 1 n N, n lim f n (x)dx = lim f n(x)dx. n n 0 0 In unserem speziellen Fll dürfen wir jedoch Grenzwert und Integrl vertuschen. Dies ist mit dem folgenden Stz zu begründbr: Stz. Seien f n : [, b] R, f : [, b] R stetig und mx x [,b] { f n(x) f(x) } 0. Dnn gilt: lim f n(x) dx = lim f n (x) dx. (2.4) n n 17

6 Drus folgt die Stetigkeit von J, wenn F stetig ist. 3 Die erste Vrition Nun sind wir soweit, die Ableitung von (1.1) zu definieren, die mn Vrition nennt. Diese schreiben wir ls DJ u (v), wobei v die Richtung ngibt, in welche die Ableitung bestimmt wird. Wir definieren die erste Vrition nlog zur h-methode bei normlen Ableitungen: J(u + tv) J(u) DJ u (v) := lim t 0 t mit v C0([, 1 b]) := { v C 1 ([; b]) : v() = v(b) = 0 }. D wir nur die Funktionen betrchten, die die Rndbedingungen u() = A und u(b) = B erfüllen, knn u()+tv() = u() = A nur gelten, flls v() = 0 ist. Gleiches gilt für v(b). Den Grenzwert knn mn wie folgt berechnen: J(u + tv) J(u) lim t 0 t = lim t 0 = J(F (x, u(x) + tv(x), u (x) + tv (x))) F (x, u(x), u (x))) dx t J(F (x, u(x) + tv(x), u (x) + tv (x))) F (x, u(x), u (x))) lim dx. t 0 t Den letzten Grenzwert können wir mit Hilfe des Mittelwertstzes und der Dreiecksungleichung berechnen. Für ds Vertuschen von Grenzwert und Integrl wird dieselbe Argumenttion wie für die Stetigkeit benötigt. Drus lässt sich die erste Vrition berechnen: DJ u (v) = v C 1 0([, b]). [ F y (u, u(x), u (x))v(x) + F ] z (u, u(x), u (x))v (x) 18 dx

7 Nun können wir mit der gerde definierten Ableitung Minim der Funktion J bestimmen. Die notwendige Bedingung für ein Minimum ist beknntlich, dss die Ableitung gleich null ist. In diesem Fll gibt es jedoch unendlich viele Ableitungen, für lle Funktionen v C 1 0([, b]) jeweils eine. Die notwendige Bedingung ist in diesem Fll logischerweise, dss für lle Funktionen v C 1 0([; b]) die Ableitung gleich null ist, d. h. wenn für lle v C 1 0([; b]) DJ u (v) = 0 gilt. 4 Die Euler-Lgrnge-Gleichungen Die notwendige Bedingung führt zu einer Differentilgleichung. Ist u lokles Minimum von (1.1) so gilt die notwendige Bedingung (4.1). DJ u (v) = 0 v C 1 0([, b]). (4.1) Durch Einsetzung in die o. g. Formel für die erste Vrition ergibt sich: ( F y (x, u(x), u (x))v(x) + F ) z (x, u(x), u (x))v (x) dx = 0 für lle v C 1 0([; b]). Nch prtieller Integrtion des zweiten Terms mit Aufleitung von v erhält mn, d v() = v(b) = 0: [ F y (x, u(x), u (x))v(x)dx d ] F dx z (x, u(x), u (x)) v(x) dx = 0. Jetzt benutzen wir ds sogennnnte Fundmentllemm der Vritionsrechnung, welches wie folgt lutet. Fundmentllemm der Vritionsrechnung. Sei f : [, b] R stetig und es gelte: f(x)v(x) dx = 0 v C c (], b[). Dnn gilt: f 0. 19

8 Dbei bezeichnet Cc (], b[) die Menge der unendlich oft differenzierbren Funktionen uf ], b[, die ußerhlb eines bgeschlossenen Teilintervlls innerhlb von ], b[ gleich 0 sind. Dmit knn mn v us obigen Termen eliminieren und erhält: F y (x, u(x), u (x)) d ( ) F dx z (x, u(x), u (x)) = 0. Diese Gleichung nennt mn Euler-Lgrnge-Gleichung, die mn in den meisten Fällen nch u(x) (nlytisch) uflösen knn. 5 Hinreichende Bedingungen für Minimierer Wie bei normlen Funktionen wollen wir untersuchen, ob die zweite Ableitung (D 2 J u (v)) ein hinreichendes Kriterium für ein Minimum liefert. Flls u ein Minimum ist, so gilt: D 2 J u (v) 0 v C 1 0([; b]. Aus DJ u (v) = 0 und D 2 J u (v) > 0, v 0, folgt ber nicht, dss u ein lokles Minimum ist. Es ist zum Beispiel: J(u) := DJ u (v) = D 2 J u (v) = x 2 (u (x)) 2 + x(u (x)) 3 dx [2u (x)x 2 + 3(u (x)) 2 x]v (x) dx [2x 2 + 6u (x)x]v (x) 2 dx. 1 Betrchten wir u 0 0, so ist DJ u0 (v) = 0 und D 2 J u0 (v) > 0, v 0, ber u ist kein lokles Minimum. 20

9 Wir betrchten jetzt u ε,h mit: u ε,h (x) = εx + εh x [0; h] εx + εh x [ h; 0] 0 sonst. Für h = 3 4 ε ist J(u ε,h) < 0. (J(u ε,h ) = 2 3 h2 (h 3 2 ε)) Lssen wir ε 0 gehen, so gehen uch u, u 0. Also geht die Folge gegen 0 bezüglich unseres Abstndes und ht bei Einsetzen in J Werte kleiner ls 0, ws begründet, dss 0 kein lokles Minimum ist. Aber: Wenn D 2 J u (v) > 0, v C 1 0([; b]), v 0 und für jedes u C 1 ([; b]), welches die pssenden Rndbedingungen erfüllt, so ist jeder Punkt u mit DJ u (v) = 0, v C 1 0([; b]), ein lokles Minimum. 6 Beispiele 6.1 Lösung des Brchistochronenproblems Nchdem wir nun die Euler-Lgrnge-Gleichung hergeleitet hben, können wir versuchen, dmit ds nfänglich behndelte Problem der Brchistochrone zu lösen. Dzu ist die Euler-Lgrnge-Gleichung uf x u T (u) = (x) 2gu(x) dx nzuwenden. Wenn mn ber F (x, u(x), z u (x)) berechnet, ( ) F z (x, u(x), u (x) u (x)) = u(x)u (x) + u(x) 0 wird schnell klr, dss wir nch Ableiten dieses Termes nch x die zweite Ableitung u (x), die erste u (x) sowie uch u(x) in der Euler-Lgrnge-Gleichung hben, ws eine nlytische Lösung fst unmöglich mcht. Dher wird eine Vereinfchung der Euler-Lgrnge-Gleichung verwendet. Wenn nur u(x) sowie u (x) in dem Funktionl J vorkommen, ws in T (y) der Fll ist, und u(x) 21

10 eine Lösung der Euler-Lgrnge-Gleichung ist, gilt für E(y, z) := z F z F (y, z), dss d E(u(x), dx u (x)) = 0 und dmit E(u(x), u (x)) = c ist, wobei c eine Konstnte ist. Dies lässt sich mit der Kettenregel recht leicht herleiten. Eingesetzt ergibt sich u 2 (x) 2gu(x)(u 2 (x) + 1) u 2 (x) + 1 = c 2gu(x) u 4 (x) 2gu(x)(u 2 (x) + 1) + c u 2 (x) 2gu(x)(u 2 (x) + 1) + c2 = 1 + u 2 (x) 2gu(x) 2u 2 (x) 2gu(x)(u 2 (x) + 1) + c 2 = (1 + u 2 (x)) 2 u 4 (x). Es lässt sich leicht einsehen, dss diese Gleichheit dnn und nur dnn gilt, wenn u(x)(u (x) + 1) = C gilt, wobei C eine ndere Konstnte drstellt. Wenn mn llerdings versucht, diese Differentilgleichung elementr zu lösen, merkt mn schnell, dss sich diese Differentilgleichung so nicht lösen lässt. Deshlb schreiben wir den Grphen ls prmetrisierte Kurve. Dmit kommt mn über recht komplizierte Zwischenschritte zu der Differentilgleichung 2g ẏ(t) = Cy(t) y2 (t), C welche elementr lösbr ist. Ds Ergebnis mit der Rndbedingung y(0) = 0 lutet ( y(t) = C ) 2g 1 cos 2 C t. Aus der Kettenregel und der Aufspltung der Geschwindigkeit in zwei Richtungen ergibt sich ußerdem y(t)(ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t)) = Cẋ 2 (t). Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich nun folgende Prmetrisierung für die gesuchte Bhnkurve finden: ( ( ) ( C 2g 2g γ(t) = 2 C t sin ( C t), C )) 2g 1 sin ( 2 C t). 22

11 Dies ist ein Teil us einer Zykloide, welche entsteht, wenn die Bewegung eines Punktes uf dem Rnd eines Kreises verfolgt wird, wenn der Kreis mit konstnter Drehgeschwindigkeit entlng der x-achse gerollt wird. Dbei knn es sogr pssieren, dss die Kugel bei optimler Bhn m Ende sogr ein Stück hochlufen muss. Es ist ntürlich noch zu überprüfen, ob wirklich ein Minimum vorliegt. 6.2 Lösung des Minimlflächenproblems Wie bereits in der Einleitung beschrieben ist die Oberfläche eines Rottionskörpers um die x-achse in den Grenzen von bis b durch folgende Formel gegeben: J(u) = 2π u(x) 1 + (u (x)) 2 dx. Wieder ergibt die Euler-Lgrnge Gleichung eine Gleichung, in der mehrere Ableitungen von u vorkommen. D ber in J wieder nur u und u vorkommen, nutzen wir wieder unsere Hilfsfunktion E mit E(u(x), u (x)) = c 1. Mithilfe dessen erhält mn die Differentilgleichung: u (u(x)) (x) = 2 (c 1 ) 2. (c 1 ) 2 Diese Differentilgleichung gilt es nun zu lösen und dies ist durch Trennung der Vriblen und Integrtion durch Substitution möglich. Mn erhält dnn für unsere Funktion u die folgende llgemeine Struktur: ( ) x + c2 u(x) := c 1 cosh. Mit dieser Formel lässt sich nun berechnen, welche Funktion, die durch zwei feste Punkte geht, durch Rottion um die x-achse, einen Rottionshyperboloiden mit minimler Oberfläche erzeugt. c 1 und c 2 sind Prmeter, welche sich durch ein Gleichungssystem für den individuellen Fll berechnen lssen. c 1 23

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