Analysis II. Oswald Riemenschneider

Transkript

1 Anlysis II Oswld Riemenschneider Hmburg, 23. Dezember 2004

2

3 Vorbemerkung Es hndelt sich bei dem vorliegenden Text um die Fortführung meines Mnuskripts Anlysis I. Verweise uf Kpitel 1 bis 12 sind demnch dort zu suchen; ebenso beziehen sich lle mit einem,,lbel [b] versehenen Literturngben uf ds Verzeichnis in Bnd 1. Weitere Litertur wird in der Regel im Text direkt ngegeben. Es seien hier zwei weitere Werke neueren Erscheinungsdtums erwähnt, die für den Leserkreis von Interesse sein könnten. Sie verdeutlichen exemplrisch die Spnnbreite der n deutschen Universitäten möglichen Konzepte in der Anfängerusbildung: H. Amnn, J. Escher: Anlysis I, II. Birkhäuser: Bsel Boston Berlin 1998/1999. E. Behrends: Anlysis, Bnd 1. Ein Lernbuch für den snften Wechsel von der Schule zur Uni. Vieweg & Sohn: Brunschweig Wiesbden In die Literturliste zu Bnd 1 hben keine Werke über die Geschichte der Mthemtik Einlß gefunden mit Ausnhme von [38], worin zumindest die historische Entwicklung besondere Berücksichtigung findet. Ähnliche Zielsetzungen ht uch ds Buch H. Schröder: Wege zur Anlysis genetisch - geometrisch - konstruktiv. Springer: Berlin Heidelberg New York Wir geben hier noch zwei Bände us der Überfülle der bestehenden mthemtikhistorischen Litertur für die Zeitspnne n; es knn in diesem Zusmmenhng nicht oft genug betont werden, dß zum Studium moderner Forschungsergebnisse die (zumindest pssive) Beherrschung des Englischen und nch Möglichkeit uch des Frnzösischen eine unerläßliche Vorussetzung bildet. Zum Publizieren eigener Ergebnisse muß noch die ktive Hndhbung des Englischen hinzukommen. Jen Dieudonné, ed.: Abrégé d histoire des mthémtiques. Morris Kline: Mthemticl thoughts from ncient to modern times. Denjenigen, die durch meinen Aufbu ngeregt oder us eigenem Antrieb sich für die Grundlegung der reellen Zhlen durch Axiome und ihre konkrete Konstruktion interessieren, sei ein neuerer Artikel empfohlen, der im internet leicht ufzufinden ist. N. A Cmpo, A nturl construction for the rel numbers. rxiv:mth. GN/ Für wertvolle Hinweise bei der Korrektur des hiermit vorliegenden zweiten Teils dnke ich erneut Stephn Tolksdorf und uch Lilin Mtthiesen. Es wird so bld wie möglich ein seprter Index erstellt und ngefügt werden. Hmburg, Oswld Riemenschneider

4

5 Inhlt Vorbemerkung xxxiii Inhlt xxxv Index (Stnd: fehlt) xxxvii Teil II: Grundlgen der Anlysis (Fortsetzung) 13 Intervlle und stetige Funktionen Anhng: Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen Differenzierbre Funktionen Anhng: Weitere Chrkterisierungen der reellen Zhlen Kompkte Räume und stetige Funktionen Anhng: Weitere Chrkterisierungen der reellen Zhlen Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Anhng: Tbelle der wichtigsten Stmmfunktionen Differenzierbre Abbildungen, Kettenregel und Tylor Formel Anhng: Die Äquivlenz von Normen uf endlich dimensionlen Vektorräumen und Anwendungen Ds Drboux, Riemnn und Lebesgue Integrl Anhng: Die letzten 5 der 55 Chrkterisierungen der reellen Zhlen Die schwingende Site und Fourier Reihen Anhng: Sklrprodukt und Hilbert Räume Gewöhnliche Differentilgleichungen Anhng: Der Existenzstz von Peno Gewöhnliche Differentilgleichungen höherer Ordnung und Differentilgleichungssysteme Anhng: Die Erhltungssätze der klssischen Mechnik und die Keplerschen Gesetze Linere Differentilgleichungen und Gleichungssysteme Ds Newton Verfhren und der Bnchsche Fixpunktstz Anhng: Die Stetigkeit der llgemeinen Lösung von gewöhnlichen Differentilgleichungen

6

7 13 Intervlle und stetige Funktionen In diesem Kpitel geht es im wesentlichen um den Zwischenwertstz und seine logische Verknüpfung mit dem Begriff des Zusmmenhngs. Wir werden dbei nicht nur wichtige Aussgen über die reellen Zhlen kennenlernen, sondern erneut uch deren Äquivlenz zum Axiom der Vollständigkeit. Auch wenn ds Dedekindsche Schnittxiom heutzutge keine entscheidende Rolle mehr spielt, findet es seinen ngemessenen Pltz in diesem Gednkenkreis. Es liegt in der Ntur der Sche, dß wir neue, über die Konvergenz von Folgen hinusgehende (topologische) Begriffsbildungen einführen müssen. Hierzu gehört ds Studium von offenen und bgeschlossenen Mengen, die wir schon früher kurz gestreift hben (Kpitel 7). Vor llem ber müssen wir über zusmmenhängende Mengen sprechen und ihre Bedeutung für die möglichen Werte von reellwertigen stetigen Funktionen. Hierbei spielt eine entscheidende Rolle, dß der Körper der reellen Zhlen chrkterisiert werden knn ls der einzige ngeordnete Körper, in dem die Intervlle - und nur diese - zusmmenhängende Mengen sind. Ein weiteres grundlegendes Resultt schließt sich n: Stetige reellwertige Funktionen uf beschränkten bgeschlossenen Intervllen [, b ] nehmen ihr Mximum und ihr Minimum n. Einige Beispiele und Anwendungen uf klssische Funktionen sowie zhlreiche neue,,vollständigkeitsxiome beschließen ds Kpitel. Zuerst müssen wir den zentrlen Begriff der offenen Mengen in einem ngeordneten Körper K rekpitulieren. (Zu der llgemeineren Sitution von K metrischen bzw. topologischen Räumen X siehe Kpitel 7 und dessen Anhng). Definition. Eine Menge U K heißt offen, wenn es zu jedem x 0 U ein ε > 0 gibt, so dß U ε (x 0 ) := { x K : x x 0 < ε } U. Eine Menge A K heißt bgeschlossen, wenn ihr Komplement K \ A offen ist. Beispiele. 1. K selbst und die leere Menge sind trivilerweise sowohl offen ls uch bgeschlossen. Es ist ein Ausdruck der Vollständigkeit der reellen Zhlen, wie wir weiter unten einsehen werden, dß im Fll K = R dies uch die einzigen gleichzeitig offenen und bgeschlossenen Mengen sind. Anloges gilt uch für K = C und noch llgemeiner für jeden normierten reellen oder komplexen Vektorrum. 2. Die sogennnten,,offenen Intervlle in einem ngeordneten Körper sind ttsächlich offene Mengen in diesem Sinne. Dies ist eine unmittelbre Konsequenz us der Dreiecksungleichung. Entsprechendes läßt sich für die,,bgeschlossenen Intervlle ussgen. 3. In Q ist die Menge { x Q : x 2 < 2 } sowohl offen ls uch bgeschlossen, d ihr Komplement Vereinigung der beiden offenen Mengen ist. Der Beweis sei dem Leser überlssen. U = { x Q : x > 0 und x 2 > 2 } und U Definition. Eine Teilmenge A X in einem K metrischen (oder sogr topologischen) Rum X heißt zusmmenhängend, wenn für je zwei offene Mengen U 0, U 1 X mit A 0 := A U 0, A 1 := A U 1 gilt: Ist A = A 0 A 1 und A 0 A 1 =, so ist notwendig schon eine der Mengen A 0, A 1 leer. Dies ist offensichtlich gleichbedeutend dmit, dß die ndere der beiden Mengen gleich A ist. Beispiel. Die leere Menge sowie einpunktige Mengen sind stets zusmmenhängend. Dgegen brucht X nicht zusmmenhängend zu sein, wie mn sich n einfchen Beispielen klr mchen knn. Zusmmenhängende Mengen können eine recht komplizierte Struktur ufweisen (siehe die folgende Skizze und ds Beispiel m Ende de Anhngs).

8 226 Teil II: Grundlgen der Anlysis A 1 A = A 1 A 2 A 2 nicht zusmmenhängend zusmmenhängend Figur 13.1 Bemerkung. Versieht mn A mit der von X induzierten Reltivtopologie (siehe den Anhng zu Kpitel 7), so bedeutet die vorige Definition, dß die Menge A nicht ls disjunkte Vereinigung von nichtleeren, in A offenen Mengen relisiert werden knn. Oder in nderen Worten (d Komplemente von offenen Mengen bgeschlossen heißen): die (in der Reltivtopologie von A ) einzigen zugleich offenen ls uch bgeschlossenen Teilmengen von A sind A selbst und die leere Menge. Wir werden im folgenden zeigen, dß der Körper der reellen Zhlen den einzigen ngeordneten Körper drstellt, für den jedes Intervll zusmmenhängend ist. Grundlegend dfür ist der Zusmmenhng des bgeschlossenen Einheitsintervlls I = [ 0, 1 ]. Stz 13.1 Der ngeordnete Körper K erfülle ds Supremumsxiom. Dnn ist ds bgeschlossene Einheitsintervll I zusmmenhängend. Beweis. Es seien U 0, U 1 offene Mengen in K mit I 0 I 1 = I = [ 0, 1 ] und I 0 I 1 =, wobei I j := I U j, j = 0, 1. Ohne Einschränkung sei 0 I 0. Wir setzen dnn A := { I : [ 0, ] I 0 }. Wegen 0 A ist A nicht leer und wegen A I nch oben beschränkt. Folglich existiert ds Supremum α von A und dmit eine Folge von Elementen j A, so dß j α. Aufgrund der Definition von A ist weiter [ 0, α ) [ 0, j ] I 0. j N Wäre nun α I 0, lso α I 1 U 1, so wären wegen der Offenheit von U 1 uch fst lle j U 1 I = I 1, ws wegen j I 0 für lle j N nicht sein knn. Also ist sogr [ 0, α ] I 0 U 0, und wegen der Offenheit von U 0 muß α = 1 sein, denn sonst gäbe es ein positives ε, so dß [ 0, α + ε ] I 0 im Gegenstz zur Definition von α. Somit ist I 0 = I und I 1 =. Bemerkung. Der Beweis funktioniert wortwörtlich uch für beschränkte bgeschlossene Intervlle [, b ]. Wir werden ber weiter unten zeigen, wie mn us dem Zusmmenhng des Einheitsintervlls sogr uf den Zusmmenhng ller - lso nicht nur der bgeschlossenen und beschränkten - Intervlle schließen knn. Die Bedeutung des Zusmmenhngs eines bgeschlossenen Intervlls I kommt erst durch Untersuchung von stetigen Funktionen uf I voll zum Trgen. Mn mcht sich sofort klr, dß die Stetigkeit einer Funktion f : D K durch den Begriff der Offenheit von Mengen chrkterisiert werden knn. Lemm 13.2 Eine Funktion f : D K, D K, ist genu dnn stetig, wenn für jede offene Menge U 2 K eine offene Menge U 1 K existiert, so dß für ds Urbild f 1 (U 2 ) = D U 1 gilt. Den (sehr einfchen) Beweis lssen wir hier us, d wir ihn weiter unten im Anhng in noch viel llgemeinerem Rhmen erbringen werden. Bemerkung. Ist insbesondere D = K, so bedeutet dieser Stz: Eine Abbildung f : K K ist genu dnn stetig, wenn Urbilder offener Mengen offen sind.

9 13 Intervlle und stetige Funktionen 227 Kommen wir nun zur Untersuchung von Zusmmenhngsfrgen zurück. Wir gewinnen us der gerde gewonnenen Einsicht sofort ein hinreichendes Kriterium, mit dem mn us zusmmenhängenden Teilmengen vermittels stetiger Funktionen neue gewinnen knn. Lemm 13.3 Ist D K zusmmenhängend und f : D K stetig, so ist uch ds Bild f (D) zusmmenhängend. Beweis. Wir nehmen n, E = f (D) sei nicht zusmmenhängend. Dnn gibt es offene Mengen V 0, V 1 K, so dß für E j := E V j, j = 0, 1, gilt: E j, E = E 0 E 1, E 0 E 1 =. Seien U j gemäß Lemm 2 offene Mengen in K mit f 1 (V j ) =: D j = D U j. Dnn ist offensichtlich D die disjunkte Vereinigung der nichtleeren (reltiv offenen) Mengen D j. Also wr uch D nicht zusmmenhängend. Definition. Mn nennt einen ngeordneten Körper totl unzusmmenhängend, wenn ußer der leeren Menge nur die einpunktigen Teilmengen zusmmenhängend sind. Wir hben oben gesehen, dß der Körper der reellen Zhlen nichttrivile zusmmenhängende Teilmengen besitzt, lso nicht totl unzusmmenhängend ist. Diese Eigenschft ht sofort weitere weitreichende Konsequenzen. Stz 13.4 Ist der ngeordnete Körper K nicht totl unzusmmenhängend, so ist jedes Intervll zusmmenhängend. Insbesondere ist der Körper K selbst zusmmenhängend. Beweis. Wir nehmen zunächst n, dß es ein nichttriviles zusmmenhängendes bgeschlossenes Intervll I = [, b ] gibt. Für c d ist die ffine Abbildung α (x) := c + d c (x ), x K, b stetig und bildet I uf ds Intervll [ c, d ] b. Wegen des vorstehenden Lemms ist lso uch dieses zusmmenhängend. Ht mn ein beliebiges Intervll J vorgegeben, so schließe mn wie folgt: Ist J nicht zusmmenhängend, so schreibe mn J ls disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer Mengen J 0, J 1, die Durchschnitte von J mit offenen Mengen in K sind. Wähle nun c J 0 und d J 1 und nehme ohne Einschränkung c < d n. Aus der Annhme über J folgt dnn ber sofort, dß ds Intervll [ c, d ] nicht zusmmenhängend ist, ws im krssen Widerspruch zum ersten Teil unseres Beweises steht. Wir müssen lso nur noch unsere erste Annhme rechtfertigen. Es sei Z K eine nichttrivile zusmmenhängende Teilmenge, und es seien, b Elemente in Z mit < b. Wir setzen I = [, b ]. Gäbe es ein c I, ds nicht in Z enthlten ist, so wäre Z = { x Z : x < c } { x Z : x > c } im Gegenstz zur Vorussetzung des Zusmmenhngs von Z ; somit ist I Z. Wäre I nicht zusmmenhängend, so würde eine stetige Funktion f uf I existieren, die genu die Werte 0 und 1 nnimmt: Läßt sich nämlich I nichttrivil ls disjunkte Vereinigung I 0 I 1 schreiben mit I j = I U j, U j offen in K, so ist die Funktion { 0, x I0 f (x) := 1, x I 1 stetig uf I. Dnn ist ber die durch f (x) := f (), x, x Z, f (x) := f (b), x b, x Z, definierte Funktion stetig uf Z und somit Z nicht zusmmenhängend, d die Bildmenge f (Z) = {0, 1} nicht zusmmenhängend ist. Wir wenden uns nun der Formulierung des ußerordentlich wichtigen Zwischenwertstzes zu, der oft uch ls Stz von Bolzno bezeichnet wird. Stz 13.5 Ds Intervll I = [, b ] K sei zusmmenhängend. Dnn nimmt jede stetige Funktion f : I K uf I jeden Wert zwischen f () und f (b) n.

10 228 Teil II: Grundlgen der Anlysis Beweis. Es sei ohne Einschränkung f () < f (b). D ds Bild f (I) zusmmenhängend ist, muß nch dem Beweis von Stz 4 uch ds Intervll [ f (), f (b) ] in f (I) enthlten sein. (Siehe uch Folgerung 14). Dies ist ber gerde unsere Behuptung. Bemerkung. Aus der Gültigkeit des Zwischenwertstzes folgt umgekehrt uch wieder, dß jedes Intervll I = [, b ] und dmit uch K zusmmenhängend sein muß. Anderenflls wähle wie oben eine stetige Funktion f : I K, die genu die Werte 0 und 1 nnimmt. Nch evtl. Verkleinerung von I dürfen wir weiter ohne Einschränkung vorussetzen, dß f () = 0, f (b) = 1. Trotzdem nimmt f den Zwischenwert 1/2 nicht n. Wir hben oben eingesehen, dß ds Einheitsintervll [ 0, 1 ] und dmit uch jedes bgeschlossene Intervll [, b ] im Körper der reellen Zhlen zusmmenhängend ist. Somit hben wir den klssischen Zwischenwertstz bewiesen: Stz 13.6 (Zwischenwertstz) Es sei I R ein nicht leeres Intervll, und f : I R sei eine stetige Funktion. Seien ferner, b I beliebig vorgegeben, so nimmt f jeden Wert zwischen f () und f (b) n (mindestens) einer Stelle zwischen und b n. Wegen seiner grundlegenden Bedeutung wollen wir noch einen direkten Beweis des Zwischenwertstzes einfügen, der uf dem Supremumsxiom beruht. Wir können dzu ohne Einschränkung nnehmen, dß < b und f () < f (b) ist. Wählt mn dnn f () < η < f (b) beliebig, so müssen wir die Existenz einer Zhl ξ mit < ξ < b nchweisen, für die f (ξ) = η gilt. Mn knn dnn zu der Funktion f η übergehen und dmit einsehen, dß mn nur den folgenden Spezilfll des Zwischenwertstzes zu beweisen brucht. Folgerung 13.7 Ist I = [, b ] R und f : I R eine stetige Funktion mit f () < 0 < f (b), so besitzt f im Inneren von I eine Nullstelle. Beweis. Ds Supremum ξ := sup { x I : f (x) < 0 } existiert und ist kleiner gleich b. Mit einer Folge x j ξ und der Stetigkeit von f ergibt sich sofort f (ξ) = f (lim j x j ) 0. Wäre f (ξ) < 0, so müßte uch ξ < b sein, und wegen der Stetigkeit von f würde es Stellen ξ echt zwischen ξ und b geben, n denen f negtiv wäre. Dies widerspricht ber der Definition von ξ. Bemerkung. Der Zwischenwertstz gibt uns eine vierte Methode n die Hnd, die Existenz von Wurzeln in R herzuleiten. Sind nämlich eine reelle Zhl > 0 und k N vorgegeben, so ist die Funktion f (x) = x k stetig uf R. Ihr Funktionswert n der Stelle 0 ist negtiv; für hinreichend große ntürliche Zhl n ist jedoch f (n) positiv wegen des Archimedischen Axioms. Also besitzt f eine Nullstelle in dem Intervll [ 0, n ]. Beispiel. Selbstverständlich knn der Wert η mehrfch, j sogr unendlich oft ngenommen werden, ohne dß die Funktion f konstnt ist. Z. B. nimmt die Funktion f (x) = x sin 1/x, x 0, f (0) = 0 in jedem Intervll [, ] den Wert η = 0 unendlich oft n. Dies impliziert übrigens uch, dß diese Funktion im Nullpunkt nicht nlytisch ist (Identitätsstz für Potenzreihen). Als nächstes wollen wir einige Anwendungen des Zwischenwertstzes diskutieren. Wir erinnern drn, dß wir im vorigen Kpitel den Nchweis für die Ttsche schuldig geblieben sind, dß die Exponentilfunktion im Reellen lle positiven Werte nnimmt. Dies können wir jetzt schnell nchholen. Es sei lso y 0 > 0 vorgegeben. Wegen lim x ex = 0, lim x ex = gibt es dnn Zhlen < b mit e < y 0 < e b. Nch dem Stz von Bolzno wird lso der Wert y 0 zwischen und b ngenommen. Fst wörtlich knn mn entsprechend für die Wurzelfunktionen uf [ 0, ) rgumentieren.

11 13 Intervlle und stetige Funktionen 229 Dß die Wurzelfunktionen, der ntürliche Logrithmus und viele ndere klssische Funktionen stetig sind, ergibt sich us einem llgemeinen Resultt über Umkehrfunktionen, ds wir im folgenden vorbereiten wollen. Es sei lso I R ein Intervll und f : I R eine stetige Funktion. Wir frgen uns zunächst, unter welchen Vorussetzungen f ds Intervll I bijektiv uf sein Bild f (I) bbildet, wnn lso f injektiv ist. Die nicht überrschende Antwort liefert der folgende Stz 13.8 Die stetige Funktion f : I R ist genu dnn injektiv, wenn sie streng monoton ist. Wir führen den Beweis uf ds folgende Lemm zurück. Lemm 13.9 Ist f : I R stetig und injektiv, und sind x 0, x 1, x 2 Punkte in I mit x 0 < x 1 < x 2, so folgt us f (x 0 ) < f (x 1 ) stets f (x 1 ) < f (x 2 ). Beweis (Lemm). Angenommen, es wäre f (x 1 ) > f (x 2 ). Dnn würde jeder Wert η zwischen dem Mximum von f (x 0 ) und f (x 2 ) und f (x 1 ) sowohl zwischen x 0 und x 1 ls uch zwischen x 1 und x 2 ngenommen, ws der Injektivität von f widerspräche. Beweis (Stz). Jedes Intervll I ist (siehe Stz 16) die bzählbre Vereinigung von einer ufsteigenden Folge von kompkten Intervllen I j := [ j, b j ] I j+1 I : I = j=0 Wir können zusätzlich ohne Einschränkung nnehmen, dß I (und jedes I j ) mindestens zwei Punkte enthält. Es genügt dnn zu zeigen, dß die Einschränkung von f uf jedes Intervll I j streng monoton ist; denn us I 0 I 1 I 2 folgt, dß f uf jedem Intervll I j monoton wächst (bzw. fällt), wenn dies uf I 0 richtig ist, und drus folgt sofort die strenge Monotonie uf gnz I. Mit nderen Worten: Wir können uns uf den Fll beschränken, dß I = [, b ] mit < b gilt. Wegen der Injektivität von f ist ferner f () = f (b), und wir nehmen ohne Einschränkung n, dß f () < f (b). Wir werden zeigen, dß dnn f streng monoton wächst. Es seien lso x 1 < x 2 b vorgegeben. Wäre nun f (x 1 ) > f (x 2 ), so müßte nch dem vornstehenden Lemm (ngewndt uf f ) uch f (x 2 ) f (b) folgen. Gnz entsprechend schließt mn uf f () f (x 1 ). Insgesmt wäre lso f () > f (b) im Gegenstz zu unserer Annhme. Also ist stets f (x 1 ) f (x 2 ) und dmit wegen der Injektivität von f uch f (x 1 ) < f (x 2 ). D nch Lemm 3 ds Bild J := f (I) R zusmmenhängend ist, folgt us dem später noch zu beweisenden Stz 16, dß J sogr ein Intervll ist. Wir können dher einen großen Teil unserer bisherigen Überlegungen in dem folgenden Stz zusmmenfssen. Stz Die Funktion f : I R, I R ein Intervll, sei stetig und injektiv. Dnn ist f streng monoton wchsend oder fllend. Der Bildbereich J := f (I) ist ebenflls ein Intervll, und die Umkehrfunktion f 1 : J R von f ist streng monoton wchsend oder fllend und stetig. Beweis. Es bleibt nur zu zeigen, dß die Umkehrfunktion g := f 1 stetig ist. Hierzu benutzen wir ds Folgenkriterium. Es sei lso (y j ) eine konvergente Folge in J mit Grenzwert η. Setzen wir x j := g (y j ) und ξ := g (η), so ist zu zeigen, dß die Folge der x j gegen ξ konvergiert. Nehmen wir n, dß dies nicht der Fll sei. Dnn gibt es ein ε 0 > 0, so dß die Abschätzung x j ξ < ε 0 für unendlich viele j verletzt ist. Durch Übergng zu einer Teilfolge der y j können wir dher nnehmen, dß für lle j die Ungleichung x j ξ ε 0 besteht. Nch erneutem Übergng zu einer Teilfolge können wir sogr erreichen, dß für lle j entweder I j. ( ) x j ξ + ε 0 oder für lle j die Ungleichung x j ξ ε 0 gilt. Es sei ohne Einschränkung der erste Fll gegeben. Aufgrund der Whl der Folge (x j ) ist nun y j = f (x j ) und η = f (ξ). Wegen der strengen Monotonie der Funktion f ist unter der Vorussetzung ( ) ber y j = f (x j ) f (ξ + ε 0 ),

12 230 Teil II: Grundlgen der Anlysis worus sich sofort ein Widerspruch ergibt: η = lim j y j = lim j f (x j) f (ξ + ε 0 ) > f (ξ) = η. Beispiel. Wir wenden dieses Resultt uf die Umkehrfunktion des Sinus n. Im Intervll [ π/2, π/2 ] erfüllt die Funktion sin x die Vorussetzungen des gerde bewiesenen Stzes (siehe uch ds nchfolgende Kpitel): y π/2 1 1 π/2 x Figur 13.2 Dmit besitzt der Sinus eine uf dem Intervll [ 1, 1 ] definierte stetige und streng monoton wchsende Umkehrfunktion, die ls Arcussinus Funktion 17 bezeichnet wird, in Symbolen: x = rcsin y. x y Figur 13.3 Gnz entsprechend sieht mn ein, dß der Tngens uf dem (offenen) Intervll ( π/2, π/2) eine Umkehrfunktion rctn : R ( π/2, π/2) besitzt. Figur rcus (lt.) ist der Bogen; lso ist x der Bogen, der zu dem Sinuswert y gehört.

13 13 Intervlle und stetige Funktionen 231 Wir schließen ls Zwischenspiel einige Bemerkungen zum Dedekindschen Schnittxiom n. Wir sgen, dß ein ngeordneter Körper K diesem Axiom genügt, wenn es zu nichtleeren Mengen A B in K mit K = A B stets ein Element c K gibt mit A {c} B. Die nächsten beiden Sätze liefern die Einsicht, dß lle in diesem Kpitel betrchteten Eigenschften äquivlent zu den Axiomen (I) bis (VII) sind. Stz Ist der ngeordnete Körper K zusmmenhängend, so genügt er uch dem Dedekindschen Schnittxiom. Beweis (Stz 9). Es seien A, B nichtleere Teilmengen von K mit A B = K und A B, d. h. b für lle A, b B. Wären A und B offen, so müßte A B = gelten (nderenflls gäbe es Elemente A, b B mit > b ), ws dem Zusmmenhng von K widerspräche. Also ist eine der beiden Mengen nicht offen; sei diese ohne Einschränkung A. Dnn gibt es einen nicht inneren Punkt c A, für den lso kein offenes Intervll mit Mittelpunkt c in A enthlten ist. D lle kleineren Werte ls c ber zu A gehören müssen, ist dnn notwendig [ c, c + ε ) B für lle ε > 0. Drus folgt sofort A {c} B. Stz Genügt der ngeordnete Körper K dem Dedekinschen Schnittxiom, so erfüllt er uch ds Prinzip der monotonen Konvergenz. Beweis. Es sei j K eine monoton ufsteigende, nch oben beschränkte Folge. Mn setzt dnn A := { x K : x j für ein j }, B := { x K : x > j für lle j }. Sei c der durch A B bestimmte Schnitt. Nch Vorussetzung ist j c für lle j N. Wird nun ε > 0 beliebig vorgegeben, so gibt es ein j 0, so dß j0 > c ε (denn sonst wäre c ε/2 B ). D die Folge j monoton ufsteigt, ist sie gegen c konvergent. Wir fssen unsere Ergebnisse jetzt wieder in Form von Axiomen(systemen) zusmmen, die jedes für sich die reellen Zhlen chrkterisieren. (XXV) Ds Einheitsintervll [ 0, 1 ] ist zusmmenhängend (XXVI) K ist nicht totl unzusmmenhängend (XXVII) Alle Intervlle sind zusmmenhängend Stz von Bolzno (Zwischenwertstz) (XXVIII) (XXIX) K ist zusmmenhängend (XXX) Dedekindsches Schnittxiom

14 232 Teil II: Grundlgen der Anlysis Wir notieren noch eine weitere Chrkterisierung der reellen Zhlen, die die llgemeine Theorie der K metrischen Räume X benutzt. Ein solcher heiße K wegweise zusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten, b X eine stetige Abbildung γ : I X, I := [ 0, 1 ] K, gibt mit γ(0) =, γ(1) = b (siehe den Anhng zur llgemeinen Definition der Stetigkeit). Wie im Beweis von Lemm 3 sieht mn, dß der Nichtzusmmenhng eines wegzusmmenhängenden Rumes den Nichtzusmmenhng des bgeschlossenen Einheitsintervlls impliziert. Somit ergibt sich us Axiom (XXV) die folgende Aussge: (XXXI) K wegweise zusmmenhängende K metrische Räume sind zusmmenhängend Umgekehrt sind ber offensichtlich lle Intervlle in diesem Sinne wegzusmmenhängende K metrische Räume und dmit (XXV) und (XXXI) sogr äquivlent. Wir können hierus schon jetzt eine zu Beginn des Kpitels erwähnte llgemeine Konsequenz ziehen. Stz Jeder normierte reelle oder komplexe Vektorrum ist zusmmenhängend. Insbesondere ist der Körper der komplexen Zhlen zusmmenhängend. Beweis. Mit je zwei Punkten, b ist uch deren reelle Verbindungsstrecke (1 t) + tb, t [ 0, 1 ], in dem Vektorrum enthlten. Also sind normierte reelle oder komplexe Vektorräume stets R zusmmenhängend, d die Abbildung t (1 t) + tb stetig ist. Nch Axiom (XXXI) sind sie dnn uch zusmmenhängend. Bemerkung. Ds vorige Argument knn mn sogr uf konvexe Teilmengen K in einem normierten Vektorrum nwenden, wobei eine Teilmenge K V konvex heißt, wenn mit zwei Punkten, b K uch ihre Verbindungsstrecke in K liegt. Offene oder bgeschlossene Kugeln im euklidischen Vektorrum erfüllen diese Bedingung (siehe uch den Anhng zu Kpitel 17). Noch llgemeiner knn mn sternförmige Mengen betrchten. Figur 13.5 In totl unzusmmenhängenden ngeordneten Körpern sind genu die einpunktigen Mengen die (nichtleeren) zusmmenhängenden Mengen. Für den Körper der reellen Zhlen wissen wir bisher nur, dß lle Intervlle zusmmenhängend sind. Es gilt ber uch die Umkehrung. Diese Chrkterisierung der reellen Intervlle benutzt ein wichtiges Nebenresultt us dem Beweis von Stz 4, ds wir deshlb hier gesondert notieren, zuml wir es weiter oben schon beim Beweis des Zwischenwertstzes benutzt hben. Folgerung Ist Z K zusmmenhängend, K ein ngeordneter Körper, so ist für lle, b Z, < b, ds Intervll I = [, b ] Z.

15 13 Intervlle und stetige Funktionen 233 Diese letzte Eigenschft von zusmmenhängenden Mengen in ngeordneten Körpern ist uch für sich interessnt. Wir smmeln einige dzu äquivlente Bedingungen. Der einfche Beweis sei dem Leser überlssen. Stz Es sei K ein ngeordneter Körper und Z eine Teilmenge. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent : i) Für lle, b Z, b, ist I = [, b ] Z ; ii) Z =,b Z <b [, b ] ; iii) für lle c Z ist Z =,b Z c b iv) es gibt ein c Z, so dß Z = [, b ] ;,b Z c b [, b ]. Die oben ngekündigte und uch schon verwendete Chrkterisierung der Intervlle in R knn jetzt in die folgende Form gegossen werden. Stz Es sei J eine nichtleere Menge reeller Zhlen. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent : ) J ist ein Intervll ; b) J ist zusmmenhängend ; c) J ist wegweise zusmmenhängend ; d) J erfüllt eine der äquivlenten Bedingungen us Stz 15 ; e) J ist bzählbre Vereinigung einer ufsteigenden Folge von Intervllen I j = [ j, b j ] ; f) J ist bzählbre Vereinigung von Intervllen I j = [ j, b j ] mit nichtleerem Durchschnitt I j. Beweis. Die Impliktionen ) = b) = d) hben wir oben schon begründet. Völlig elementr sind die Folgerungen ) = e) = f) = d). Ist d) erfüllt, lso z. B. die Aussge i) us Stz 15, so ist J offensichtlich wegweise zusmmenhängend und dmit wegen Axiom XXXI zusmmenhängend. Es bleibt noch d) = ). Hierzu verwendet mn z. B. die Aussge iv) in Stz 15 und bildet β := sup J im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne. Je nchdem, ob β in J enthlten ist oder nicht, ist dnn J [ c, ) = [ c, β ] bzw. = [ c, β ). Entsprechend behndelt mn die untere Grenze. Aus unseren bisherigen Überlegungen ergibt sich, d Bilder zusmmenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen wieder zusmmenhängend sind, dß unter einer stetigen Funktion f : D R, D R, jedes Intervll I D uf ein Intervll J R bgebildet wird. Mn knn sich ber leicht mit verschiedenen Beispielen klr mchen, dß J lle,,intervlltypen nnehmen knn, sofern ds Intervll I nicht bgeschlossen und beschränkt ist. Ist z. B. I = R, so ist J = R + für f = exp, J = [ 1, 1 ] für f = sin, J = ( π/2, π/2) für f = tn, J = [ 0, π/2 ) für f = tn, J = R für f (x) := x sin x. Weitere Beispiele knn mn den folgenden Skizzen entnehmen.

16 234 Teil II: Grundlgen der Anlysis Figur 13.6 Ist dgegen ds Intervll I bgeschlossen und beschränkt, oder wie wir später sgen werden: ist I kompkt, so knn ds Bildintervll unter einer stetigen Funktion nur wieder von demselben Typ sein. Dies ist der Inhlt des folgenden wichtigen Stzes, den mn ls weitreichende Verllgemeinerung von Stz 5 nsehen knn. Wir beginnen mit dem Beweis von Stz Erfüllt der ngeordnete Körper K Axiom (IV), so nimmt jede stetige Funktion f : I := [, b ] K ihr Supremum uf I n, d. h.: es gibt (mindestens) eine Stelle c I mit mximlem Funktionswert: f (x) f (c) für lle x I. Bemerkung. Auch wenn es nicht korrekt ist, wird der im vorstehenden Stz bennnte Ttbestnd uch llgemein ddurch usgedrückt, dß mn sgt, die Funktion f nehme ihr Mximum uf I n. Wir werden dennoch diese Sprechweise gelegentlich verwenden. Beweis. Mit Axiom (IV) sind uch die Axiome (V), (XXI) und (XXII) erfüllt. Es sei nun K := sup f (I) K, wenn die Menge f (I) nch oben beschränkt ist, wobei wir (XXI) verwenden. Im nderen Fll setzen wir K =. Es gibt dnn im ersten Fll wegen (XXII), im zweiten Fll wegen des Archimedischen Axioms eine Folge x j I mit lim j f (x j ) = K. Wegen (V) können wir nch Übergng zu einer Teilfolge nnehmen, dß der Grenzwert c der Folge (x j ) existiert, der wegen der Monotonieeigenschft des Grenzwertes in I liegt. D f (folgen ) stetig ist, ergibt sich sofort K = lim j f (x j) = f (c). Insbesondere ist K endlich, und die Funktion f nimmt n der Stelle c ihr Supremum n. Folgerung Unter der obigen Vorussetzung nimmt die Funktion f uch ihr Infimum n, und der Bildbereich f (I) von f ist ds kompkte Intervll [ min f (x), mx f (x) ]. x I x I Beweis. Es seien c, d I Stellen, n denen f bzw. f ihr Mximum nnehmen; dnn gilt f (c) f (x) f (d) für lle x I. Wegen des Zwischenwertstzes werden uch lle Werte y [ f (c), f (d) ] von der Funktion f ngenommen. Bemerkungen. 1. In gewissem Sinne ist der vorstehende Stz eine der tiefstliegenden Aussgen der Anlysis. Sein Beweis ist zwr elementr, ber nicht trivil, d er mehrere grundlegende Eigenschften der reellen Zhlen verwendet. Mn knn seinen Inhlt etw in dem folgenden Bild vernschulichen.

17 13 Intervlle und stetige Funktionen 235 Figur Aus der Aussge der Folgerung ergibt sich umgekehrt uch wieder sowohl der Zwischenwertstz ls uch Stz Die stetigen Funktionen uf einem Intervll I bilden offensichtlich einen R Vektorrum (und sogr eine kommuttive R Algebr mit Eins), den mn stets mit C 0 (I, R) bezeichnet. Ist ds Intervll I kompkt, so ist dieser Vektorrum sogr im Rum der beschränkten Funktionen enthlten. Somit besitzt er dnn zusmmen mit der Supremumsnorm die Struktur eines vollständig normierten Vektorrums (siehe Folgerung 12.31). Möchte mn nur die Annhme des Supremums von f : I K grntieren (nicht ber die des Infimums), so zeigt eine einfche Modifiktion des obigen Beweises, wobei mn sttt des Folgenkriteriums die ε δ Vrinte hernziehen muß, dß die Funktion f uch nur die Hälfte der Eigenschften einer stetigen Funktion zu besitzen brucht. Definition. Eine Funktion f : D K, D K, heißt im Punkte D hlbstetig nch oben (oder nch oben hlbstetig), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε) > 0 gibt, so dß f (x) f () + ε für x D mit x δ. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung: Zu jedem L K mit f () < L gibt es ein δ = δ (L) > 0, so dß f (x) < L für x D mit x δ. Sie heißt hlbstetig nch unten, wenn f hlbstetig nch oben ist. Bemerkung. Eine Funktion ist genu dnn stetig in, wenn sie dort hlbstetig nch oben und nch unten ist. Stz Erfüllt der ngeordnete Körper K Axiom (IV), so nimmt jede nch oben hlbstetige Funktion f : I := [, b ] K ihr Supremum uf I n. Beweis. Es sei wie oben K := sup f (I) K { } und (x j ) eine (ohne Einschränkung gegen c I konvergente) Folge mit lim j f (x j ) = K. Nch Vorussetzung gibt es zu L 0 := f (c) + 1 ein δ 0 = δ (L 0 ) > 0, so dß f (x) < L 0 für x I mit x c δ 0. Dies gilt dnn insbesondere für fst lle x j, so dß notwendigerweise K L 0 und insbesondere K K. Es bleibt zu zeigen, dß f (c) = K. Wäre nämlich f (c) < K, so könnte mn ein L finden mit f (c) < L < K und für fst lle j wäre x j L < K im Widerspruch zur Definition von K. D umgekehrt die Folgerung 18 den Zwischenwertstz nch sich zieht, gewinnen wir die Äquivlenz ller bisherigen Axiome zu den beiden folgenden. (XXXII) (Nch oben Hlb-) Stetige Funktionen uf [, b ] nehmen ihr Supremum n

18 236 Teil II: Grundlgen der Anlysis (XXXIII) Stetige Bilder von kompkten Intervllen sind kompkte Intervlle Es sei noch ein weitere Stz ngeführt, der ebenflls zum Vollständigkeitsxiom äquivlent ist. Stz Jede monoton ufsteigende Funktion f : I I des Einheitsintervlls I := [ 0, 1 ] R besitzt einen Fixpunkt. Beweis. Wir führen einen Beweis für die Existenz eines Fixpunktes mit Hilfe des Prinzips der Intervllschchtelung. Dzu setze mn 0 = 0, b 0 = 1, so dß wegen der wchsenden Monotonie von f : [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] gilt: 0 f ( 0 ) f (b 0 ) b 0. Wir konstruieren nun durch sukzessives Hlbieren Intervlle I j = [ j, b j ] I 0 = [ 0, b 0 ] mit j f ( j ) f (b j ) b j und (utomtisch) b j j = (1/2) j. Ist für beliebiges j nämlich I j schon konstruiert, so sei m j = 1 2 ( j + b j ), und mn setze j+1 = j, b j+1 = m j, flls f (m j ) m j, j+1 = m j, b j+1 = b j, flls f (m j ) > m j. Es sei x 0 R ds wohlbestimmte Element in [ j, b j ]. Wegen j x 0 b j ist dnn j f ( j ) f(x 0 ) f(b j ) b j ; lso liegt uch f (x 0 ) in dem Durchschnitt ller dieser Intervlle, so dß notwendigerweise f (x 0 ) = x 0. Wir geben noch einen zweiten Beweis mit Hilfe des Supremumsxioms. Mn setze A = { x [ 0, 1 ] : x f (x) }. Wegen 0 f (0) ist A nicht leer, und somit existiert x 0 = sup A [ 0, 1 ]. Wir behupten, dß f (x 0 ) = x 0. Wäre nämlich x 0 < f (x 0 ), so würde mit der Monotonie von f die Ungleichung f (x 0 ) f (f (x 0 )) folgen, lso f (x 0 ) A, ws der Definition von x 0 ls kleinster oberer Schrnke von A widerspräche. Andererseits gibt es im Fll f (x 0 ) < x 0 Punkte x A mit f (x 0 ) < x x 0, womit sich ebenflls ein Widerspruch einstellt: f (x) f (x 0 ) < x f (x). Bemerkung. D in beiden Beweisen wesentlich benutzt wurde, dß der Körper R rchimedisch und vollständig ist, knn mn vermuten, dß die Aussge des Stzes wieder chrkteristisch für R ist, d. h. in einem beliebigen ngeordneten Körper K nur dnn gilt, wenn dieser rchimedisch und vollständig, lso zu R isomorph ist. Dies ist ttsächlich richtig; wir zeigen sogr mehr: Stz Ist der ngeordnete Körper K nicht rchimedisch oder nicht vollständig, so gibt es stetige, streng monoton wchsende Funktionen f : [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] ohne Fixpunkte. Als Folgerung hierus gewinnt mn noch einml die Einsicht, dß der Zwischenwertstz nur im Körper der reellen Zhlen gültig ist. Folgerung In solchen Körpern gilt der Zwischenwertstz nicht, d. h. uch der Zwischenwertstz ist chrkteristisch für R.

19 13 Intervlle und stetige Funktionen 237 Beweis (Folgerung). Bilde g (x) := f (x) x mit einer Funktion f wie im Stz; insbesondere ist g (x) = 0 für lle x [ 0, 1 ], ber g (0) = f (0) 0 und g (1) = f (1) 1 0. Beweis (Stz). Es sei K zunächst ls nicht rchimedisch ngeordneter Körper vorusgesetzt. Dnn gibt es unendlich kleine positive Elemente ε in K, lso Elemente ε > 0 mit ε 1/n für lle n N. Wir definieren mit einem solchen ε die Mengen I 0 = n N { x [ 0, 1 ] : x nε }, I 1 = { x [ 0, 1 ] : x > nε für lle n N }, und überlssen dem Leser den Nchweis der folgenden Behuptungen: 1. 0 I 0, 1 I 1 ; 2. I = [ 0, 1 ] = I 0 I 1 ; 3. I 0 < I 1, d. h. für lle x 0 I 0 und x 1 I 1 gilt x 0 < x 1 ; insbesondere ist I 0 I 1 = ; 4. für x j I j ist (x j ε, x j + ε) I I j, j = 1, 2. Die Konstruktion der gesuchten Funktion ist nun denkbr einfch. Mn setzt f (x) = { x + ε/3, x I0 x ε/3, x I 1 und begründet leicht die Stetigkeit von f mit der Aussge 4. Die strenge Monotonie von f brucht nur nchgewiesen zu werden für Punktepre (x 0, x 1 ) mit x j I j. Wäre f (x 1 ) f (x 0 ) für ein solches Pr, so erhielte mn x 1 ε 3 x 0 + ε 3, lso x 0 < x 1 x ε 3 < x 0 + ε, lso, wieder nch 4., den Widerspruch x 1 (x 0, x 0 + ε) I I 0. Schließlich ist f (0) = ε/3 > 0 und f (1) = 1 ε/3 < 1, lso uch 0 < f (x) < 1 für lle x I. Augenscheinlich besitzt f keine Fixpunkte. Wir können lso nunmehr nnehmen, dß K rchimedisch ngeordnet, ber nicht vollständig ist. Dnn ist (ohne Einschränkung) K R, ber K R ; somit existiert ein x 0 [0, 1] R mit x 0 [ 0, 1 ] K = [ 0, 1 ] R K. D Q K R und Q in R dicht liegt, gibt es eine ufsteigende Folge x 0 = 0 < x 1 < x 2 < von Elementen x j K mit lim x j = x 0 (ls Grenzwert in R ). Entsprechend ht mn x 0 = 1 > x 1 > in K mit lim x j = x 0. Mn erklärt nun f ls stückweise ffine Funktion uf den Intervllen [ x j, x j+1 ] K bzw. [ x j+1, x j ] K, und zwr so, dß f (x j) = x j+1, f (x j+1) = x j+2 und f (x j ) = x j+1, f (x j+1) = x j+2. Mn sieht leicht, dß hierdurch eine stetige, streng monoton wchsende Funktion f : [ 0, 1 ] K [ 0, 1 ] K ohne Fixpunkt definiert wird. Wir notieren dmit ls 34. Axiom: (XXXIV) Jede monoton ufsteigende Funktion f : I I, I := [ 0, 1 ] K, besitzt einen Fixpunkt. Zu guter Letzt soll noch kurz uf die Frge eingegngen werden, welchen Einfluß die Monotonie einer reellen Funktion f : I R, I R, uf die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen ht. In der Tt

20 238 Teil II: Grundlgen der Anlysis knn diese Menge dicht im Definitionsbereich liegen. Beispiel. Es sei Q = { r n : n N } eine Abzählung der rtionlen Zhlen; mn definiere f (x) := 2 n, x R. r n<x f ist dnn eine uf R wohldefinierte Funktion, denn für jedes x R ist die definierende Reihe bsolut summierbr, weil sie die obere Schrnke 2 n = 2 n=0 besitzt. Ist x 1 < x 2, so liegen rtionle Zhlen echt zwischen diesen reellen Werten, und somit enthält die Reihe für f (x 2 ) mehr (positive) Summnden ls die Reihe für f (x 1 ). Dmit ist f streng monoton wchsend. Wir behupten, dß f in jedem Punkt von R \ Q stetig und in jedem Punkt von Q unstetig ist. Ist nämlich Q, lso = r N für ein N N, so ist für jedes x R, welches größer ist ls, f () + 2 N = 2 n + 2 N = 2 n 2 n = f (x). r n<r N r n<x r n r N Dmit ist f (x) f () 2 N, x >, und folglich ist f in nicht stetig. In jedem R \ Q ist f jedoch stetig. Dzu reicht es zu zeigen, dß lim f (x) = f () und lim f (x) = f (). x x Wir beweisen die erste Aussge; die zweite läßt sich gnz nlog herleiten. Wegen der strengen Monotonie von f ist f (x) > f () für lle x >, und dmit genügt zu zeigen: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dß für lle x > mit x < δ folgt: f (x) < f () + ε. Nun gibt es zu ε > 0 ein N, so dß n=n 2 n < ε. D Q, ist δ := min n<n { r n } > 0 und folglich r n δ für lle n < N. Für lle x R mit 0 < x < δ gilt dnn ber f (x) f () = r n <x 2 n 2 n = r n< r n <x 2 n r n<+δ 2 n n=n 2 n < ε. Dieses Beispiel ist insofern,,optiml, ls die Mächtigkeit der Menge der Unstetigkeitsstellen die der rtionlen Zhlen nicht übersteigen knn. Dies ist der Inhlt des folgenden Stzes, der in der Integrtionstheorie noch Verwendung finden wird. Stz Es sei f : I R, I R ein nichttriviles Intervll, eine monoton wchsende Funktion. Dnn ist die Menge der Unstetigkeitsstellen von f höchstens bzählbr. Beweis. Wir können die beiden eventuell vorhndenen Endpunkte des Intervlls I getrost ußer Acht lssen und betrchten im folgenden nur Stellen ξ im Inneren von I. Für eine solche setzen wir S := sup f (x). x<ξ Wegen f (x) f (ξ) für lle x < ξ existiert dieses Supremum und ist kleiner oder gleich f (ξ). Ist nun (x j ) eine von links gegen ξ konvergente Folge, so gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein x < ξ mit f (x) > S ε und ein N N mit x j x für lle j > N. Für diese j ist dnn S ε < f (x) f (x j ) S < S + ε,

21 13 Intervlle und stetige Funktionen 239 lso lim j f (x j ) = S. Mit nderen Worten: Es existiert für lle betrchteten ξ der linksseitige Grenzwert f (ξ) := lim x ξ f (x) = S f (ξ). Genuso überzeugt mn sich von der Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes f + (ξ) := lim x ξ f (x) f (ξ). Die Funktion f ist nun n der Stelle ξ genu dnn stetig, wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen. Ist lso f n der Stelle ξ unstetig, so ist f (ξ) < f + (ξ) und wir können eine rtionle Zhl r ξ uswählen, die echt zwischen diesen beiden Grenzwerten liegt. Ist ξ > ξ eine weitere Unstetigkeitsstelle, so ist - wieder wegen der Monotonie - lim f (x) lim f (x). x ξ x ξ Infolgedessen ist die rtionle Zhl r ξ von r ξ verschieden, und die Abbildung ξ r ξ Q ist injektiv. Also ist die Menge der Unstetigkeitsstellen gleichmächtig zu einer Teilmenge der bzählbr unendlichen Menge Q und dmit höchstens bzählbr (siehe Stz 3.9).

22 Anhng: Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen Wir stellen in diesem Anhng die wichtigsten Definitionen und Ttschen über stetige Abbildungen zwischen metrischen und topologischen Räumen zusmmen. Wir geben ohne Umschweife die folgende Definition. Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen X und Y heißt stetig in einem Punkt X, wenn es zu jeder Umgebung V Y von b = f () eine Umgebung U X von gibt mit f (U) V. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig (schlechthin), wenn sie n jeder Stelle X stetig ist. Ist A X eine Teilmenge und f : A Y gegeben, so heißt f stetig (uf A ), wenn f bzgl. der von X uf A induzierten Reltivtopologie stetig ist. Bemerkungen. 1. Anstelle der vollen Umgebungsfilter brucht mn bei der obigen Definition selbstverständlich nur Umgebungsbsen von b = f () und zu testen. 2. Sind X und Y metrische Räume (evtl. sogr mit Metriken in unterschiedlichen ngeordneten Körpern), so ist wegen 1. die obige Definition gleichbedeutend mit: Zu jeder Kugel B (b, ε) gibt es eine Kugel B (, δ) mit f (B (, δ)) B (b, ε). 3. Ist die Abbildung f nur uf einer Teilmenge A X mit A erklärt, so definiert mn in Übereinstimmung mit der llgemeinen Definition: f : A Y heißt stetig in, wenn es zu jeder Kugel B (b, ε) Y eine Kugel B (, δ) X gibt mit f (B (, δ) A) B (b, ε).. 3. Sind X und Y normierte Vektorräume, so bedeutet dies: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dß us x < δ, x A, folgt, dß f (x) f () < ε. Insbesondere stimmt die obige Definition im Flle A X = Y = K mit unser früher gegebenen überein. 4. Die identische Abbildung id : X X ist stets stetig. Ist f : X Y stetig in und g : Y Z stetig in b = f (), so ist g f : X Z stetig in. Die folgende Aussge wurde schon zitiert und verwendet; ihr Beweis wird nun endlich nchgetrgen. Stz Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen ist genu dnn stetig, wenn Urbilder offener Mengen unter f offen sind. Beweis. Es sei f stetig und V Y offen. Ist dnn f 1 (V ) und b = f (), so ist V eine Umgebung von b. Folglich gibt es eine Umgebung U von mit f (U) V, lso U f 1 (V ). Somit ist ds Urbild von V Umgebung jedes seiner Punkte und folglich eine offene Menge in X. Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt und V eine Umgebung eines Punktes b = f () Y, so gibt es per definitionem eine offene Umgebung V V von b. Nch Vorussetzung ist dnn U := f 1 (V ) eine (offene) Umgebung von mit f (U) V V. Somit ist f n jeder Stelle X stetig. Ds folgende Beispiel ist vollständig elementr, erhält ber ufgrund seiner häufigen Verwendung den Rng eines Lemms. Lemm Ist (V, ) ein normierter K Vektorrum, so ist die Normbbildung : V K 0 von V in den Bewertungskörper K 0 stetig. Beweis. Es sei V fest gewählt, und x V sei beliebig. Aus der Dreiecksungleichung folgt dnn x x + und dmit x x. Durch Vertuschen der Rollen von x und erhält mn hierus die uch sonst nützliche Ungleichung x x,

23 13 Anhng: Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen 241 us der unmittelbr die Stetigkeit der Normfunktion folgt. Ist uf der nderen Seite Y = V ein normierter Vektorrum über dem bewerteten Körper K, so lssen sich Abbildungen von X nch V uch ddieren und mit Funktionen X K multiplizieren. Fst wörtlich wie oben beweist mn den Stz Sind f, g : X V und c : X K stetig in X, so uch f + g und c f. Den Zusmmenhng zwischen stetigen und folgenstetigen Abbildungen knn mn jetzt wie folgt usdrücken. Lemm Ist f : X Y stetig in X, so uch folgenstetig: lim f (x j) = f () für lim x j =. j j Ist umgekehrt f folgenstetig in und besitzt eine bzählbre Umgebungsbsis, so ist f stetig in. Zum Schluß sollen noch einige kurze Bemerkungen zum llgemeinen Begriff des Zusmmenhngs von topologischen Räumen ngefügt werden. Definition. Einen topologischen Rum X nennt mn zusmmenhängend, wenn er nicht ls disjunkte Vereinigung von zwei nicht leeren offenen Mengen geschrieben werden knn. Eine Teilmenge A X heißt zusmmenhängend, wenn sie in der Reltivtopologie zusmmenhängend ist. Ein topologischer Rum X heißt wegweise zusmmenhängend, wenn er im obigen Sinne R wegweise zusmmenhängend ist, wenn es lso zu je zwei Punkten, b X eine stetige Abbildung γ : I X des bgeschlossenen reellen Einheitsintervlls I = [ 0, 1 ] R gibt mit γ (0) =, γ (1) = b. Mn nennt eine solche Abbildung uch einen (stetigen) Weg oder eine Kurve in X mit Anfngspunkt und Endpunkt b und die Bildmenge γ (I) X die Spur des Weges γ : I X. Mn überzeugt sich sofort ufgrund unserer oben unter restriktiveren Vorussetzungen gemchten Überlegungen, dß generell die folgenden Aussgen richtig sind. Lemm Stetige Bilder von zusmmenhängenden Mengen, insbesondere Spuren von stetigen Wegen, sind zusmmenhängend. Lemm Ist der topologische Rum X wegzusmmenhängend, so uch zusmmenhängend. Die Umkehrung des vorigen Lemms ist jedoch nicht richtig. Es existieren durchus zusmmenhängende topologische (sogr metrische) Räume, die nicht wegzusmmenhängend sind. Ein Beispiel ist die mit der Reltivmetrik versehene Teilmenge X der euklidischen Ebene R 2, die die Vereinigung der Strecke X 1 := { (x, y) R 2 : x = 0, 1 y 1 } mit dem Grphen der Funktion sin (1/x) uf R +, lso der Menge X 2 := { (x, y) R 2 : x > 0, y = sin (1/x) } ist (ntürlich knn mn hier uch die Sinusfunktion durch die weiter oben in Kpitel 12 definierte stückweise linere Funktion g ersetzen; siehe Figur 12.3). Es ist eine leichte Übungsufgbe einzusehen, dß dieser Rum zusmmenhängend ist (im Wesentlichen liegt dies drn, dß jede Umgebung eines Punktes in X 1 uch die Menge X 2 treffen muß). Selbstverständlich sind uch die Mengen X 1 und X 2 mit der jeweiligen Reltivtopologie für sich wegzusmmenhängend; ihre Vereinigung knn es jedoch nicht sein: Kein Punkt in X 2 knn durch einen stetigen Weg mit einem Punkt in X 1 verbunden werden. Anschulich ist dies einleuchtend, d ein solcher Weg,,unendlich lng sein müßte. Am einfchsten sieht mn dies mit einem Kompktheitsrgument ein (siehe ds übernächste Kpitel). Mn knn ber uch einen direkten Beweis führen, den zu finden wir dem Leser überlssen.

24 242 Teil II: Grundlgen der Anlysis X 1 X 2 Figur 13.8

25 14 Differenzierbre Funktionen Der Begriff der Differenzierbrkeit ht zu tun mit (momentnen) Wchstumsrten (wie z. B. Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen), ber uch mit linerer Approximtion. Historisch erwchsen ist dieser Begriff us dem Bemühen, für llgemeinere ls ebene lgebrische Kurven C Tngenten zu finden, lso Gerden, die die Kurve n einer festen Stelle (x 0, y 0 ) berühren: Figur 14.1 Gemäß unserer Philosophie wollen wir diese Begriffsbildung von vornherein etws llgemeiner fssen. Wir betrchten einen bewerteten Körper K mit Bewertungskörper K 0 ; ferner sei V ein normierter K Vektorrum (mit Wertekörper K 0 ). In den uns m meisten interessierenden Fällen ist K 0 = R und K = R oder C. Definition. Es sei D K eine nichtleere Teilmenge, D sei ein Häufungspunkt von D, und f : D V sei eine Abbildung. Dnn heißt f differenzierbr n der Stelle, wenn der Grenzwert f () := lim x x f (x) f () x existiert. f () heißt dnn die (erste) Ableitung von f n der Stelle. f heißt differenzierbr uf D, wenn f n jeder Stelle differenzierbr (und dmit uch jeder Punkt D Häufungspunkt von D ) ist. Die Abbildung f : D V heißt dnn die erste Ableitungsfunktion oder uch kurz die erste Ableitung der Abbildung f. Mn schreibt uch suggestiver (nch Leibniz) nstelle von f df/ dx bzw. df dx und entsprechend für f () uch df dx () oder df dx x=. Es ist üblich, den Bruch f f (x) f () :=, x, x x ls einen Differenzen Quotienten und entsprechend df dx () ls Differentil Quotienten n der Stelle zu bezeichnen. Es ist mnchml rtsm und wirkungsvoll, den Differentil Quotienten n einer beliebigen, ber festen Stelle x D zu betrchten und dnn den Differenzen Quotienten in der folgenden Form zu schreiben: df dx (x) = lim h 0 h =0 f (x + h) f (x) h.

26 244 Teil II: Grundlgen der Anlysis Wrnung und Bemerkung. Trotz dieser Bezeichnung drf der Differentilquotient df/ dx nicht ls Quotient der Grössen df und dx, die für sich ohnehin keinen Sinn ergeben, ufgefßt werden, uch wenn wir den Ausdruck oft forml wie einen Quotienten behndeln dürfen, wie wir noch sehen werden. Es ist llerdings möglich, im Rhmen der nonstndrd Anlysis uch die infinitesimlen Größen df und dx mthemtisch exkt einzuführen und ihren Quotienten zu bilden, womit die Leibnizsche Schreibweise, ungechtet ihrer genilen Prktikbilität, eine endgültige Rechtfertigung erfährt. Beispiel. Ist f (x) c V, so gilt f (x) 0. Ebenso leicht bestimmt mn für V f = id : K K die Ableitung zu f = 1. = K und Bemerkung. Zur Erinnerung rekpitulieren wir die exkte Definition des Grenzwertes f () : Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dß für lle x D mit 0 < x < δ die Ungleichung f f (x) f () () < ε x besteht. Für Körper K mit der Bedingung ( ) ist die Existenz des Grenzwertes, wie wir früher schon gezeigt hben, äquivlent zur Existenz ller Grenzwerte lim j f (x j ) f () x j für beliebige Folgen x j D, x j, und lim x j =, die dnn utomtisch lle übereinstimmen müssen. Mn mcht sich die Bedeutung des Differentilquotienten m einfchsten klr in der speziellen Sitution, dß V = K und K = R. Hier ist der Differenzenquotient ntürlich nichts nderes ls die Steigung einer Gerden in R 2, nämlich der Seknte durch die Punkte (, f ()) und (x, f (x)), und der Differentilquotient ist die,,grenzsteigung bei dem Grenzübergng x, die wir ls Steigung der Tngente n den Grphen von f n der Stelle (, f ()) interpretieren werden (siehe Figur 12.4 und Stz 1). Wir geben sogleich eine entsprechende Definition in unserer llgemeinen Sitution. Definition und Bemerkung. Es sei f : D V im Punkte D K differenzierbr. Dnn wird durch K t (t, f () + (t ) f ()) K V eine usgezeichnete Gerde in K V durch den Punkt (, f ()) beschrieben, die us den Seknten ( K t t, f () + (t ) f (x ) j) f () K V x j durch den Grenzübergng D x j entsteht. Sie heißt die Tngente n den Grphen von f n der Stelle (, f ()). Mnchml bezeichnet mn, wenn uch nicht völlig korrekt, die ffine Funktion t f () + (t ) f () ls die Tngentengleichung von f n der Stelle. Aus dem nächsten Stz geht hervor (Stz 1. iii) und Folgerung 2), dß die Tngente unter llen Gerden in K V, die durch den Punkt (, f ()) gehen, ddurch eindeutig chrkterisiert ist, dß sie den Grphen der Abbildung f n der Stelle (, f ()),,m besten (und ds heißt:,,besser ls liner ) pproximiert. Eine ndere, dynmische Interprettion geben wir im Anschluß n den Beweis von Folgerung 2. Wir fügen im ersten Stz noch eine zweite äquivlente Formulierung ein, d mit ihrer Hilfe lle Stndrd Aussgen über Differenzierbrkeit von Summe und Produkt von Funktionen etc. bequem uf die entsprechenden Aussgen über stetige Funktionen zurückgeführt werden können. Außerdem bildet sie die Grundlge für die Übertrgung des Differenzierbrkeitsbegriffes uf Funktionen in mehreren Veränderlichen. gegeben. Dnn sind die folgenden Aussgen äquiv- Stz 14.1 Es seien D K und f : D V lent :