Lösungen zur Klausur Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden (Mai 2013)

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1 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Aufgabe (0 Pukte): a) Ee Auswertug des Lebeserscherugsbestades m Kalederjahr 0 zegt folgede Ergebsse für das Alter 40 (Altersbestmmug ach der Kalederjahrmethode, d. h. Alter = Kalederjahr eburtsjahr): Azahl Persoe Dauer der Bestadszugehörgket Moate Abgagsgrud 9-6 Tod Storo 0 Storo 96 - Ermttel Se de rohe Sterbewahrschelchket ud de rohe Storowahrschelchket für das Alter 40 ach der Verweldauermethode. b) Aufgrud weterer Auswertuge des Bestades für de Jahre 009 bs 0 sowe für wetere Alter lege Ihe folgede rohe Sterbewahrschelchkete or: Alter m Jahr ,0000 0,0000 0,0000 0, , ,0980 0,097 0,0968 0, , ,0946 0,096 0,0490 0,0598 0, ,0905 0, ,0589 0, ,07904 d.h. de Tabelle ethält Wahrschelchkete für Alter = 0,...,7 ud de eburtsjahre =975,...,979. Bespelswese glt , Lete Se de Sterbewahrschelchket ees 4-Jährge m Jahr 0 ach ) dem tradtoelle Modell ) dem Kohortemodell her. Schätze Se de erforderlche Tredfaktore mttels geegeter Mttelwertbldug. c) Zege Se, dass be eem Retetarf folgeder Asatz zur Berückschtgug des Schwakugsrskos soll st: Herbe bezechet α de Wahrschelchket, dass uter Berückschtgug des a a altersuabhägge Scherhetsabschlags s (Asatz ( -s ) ) mehr Todesfälle rechugsmäßg erwartet werde als tatsächlch zu erwarte sd: Herbe bezeche s a = u -a ( - ) L M L M,

2 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) α M L de Wahrschelchket, dass uter Berückschtgug ees für alle Alter gleche Scherhetsabschlags -s a a ) mehr Todesfälle rechugsmäßg erwartet s (Asatz ( ) werde als tatsächlch zu erwarte sd de Lebede des Alters des Modellbestades u das (- a) -Quatl der Stadard-Normalertelug -a a + s Î Schwakugsabschlag auf de Sterbewahrschelchket, uabhägg om Alter. d) Nehme Se a, dass zur Erzeugug der eeratoetafel aus eer Basstafel e altersuabhägger Faktor + = a < erwedet wrd. Zur Berückschtgug des Schwakugsrskos wrd gemäß c) e altersuabhägger Schwakugsabschlag für ee eerato bestmmt ud für alle eeratoetafel ehetlch Asatz gebracht. Zege Se, dass be ueräderter Alterszusammesetzug des Bestades da de Scherhet für eeratoetafel mt eem spätere eburtsjahr abmmt. Hwes: Vergleche Se de für e bestmmtes Scherhetseau - a erforderlche Abschläge für de eeratoe ud +. Lösug: a) Es bezeche B T (B) S (B) L (B) Beobachtugszetraum, Mege der Persoe, de m Alter währed des Beobachtugszetraums B wege Tod ausgeschede sd Mege der Persoe, de m Alter währed des Beobachtugszetraums B wege Storo ausgeschede sd Mege der Lebede, de m Beobachtugszetraum (auch) m Alter sd d, 0, de Verweldauer der Perso aus L (B) m Beobachtugszetraum B, solage de Perso m Alter st Für de Aufgabe glt B = [..0,..0] = 40 =,..., 00

3 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) ) Ermttlug der rohe Sterbewahrschelchket ach der Verweldauermethode T B T B d T B d,, LB LB \TB d. h. de Verweldauer derjege Persoe, de aufgrud der zu utersuchede Ursache ausschede (her Tod), wrd auf gesetzt. 40 0, ,8 96 ) Ermttlug der rohe Storowahrschelchket s ach der Verweldauermethode s S B S B d S B d,, LB LB \SB s40 0, , b) ebucht st 4 bzw. 4,0. ) De Veräderug der Sterbewahrschelchket st m tradtoelle Modell ur altersabhägg ach folgedem Asatz:,t,t ep F = 4, d. h. es st F(4) zu ermttel bzw. zu schätze. Des gescheht auf Bass der,t für t = 009,..., 0 t,t,t,t F() , , ,99 0, ,0490 0,99 0, , ,99 0,0070 Ergebs (geometrsches Mttel als Schätzer):

4 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) ep F 4 4,0 4,0 0,99 0, ,990, ,0486 ) De Veräderug der Sterblchket m Kohortemodell st o der Dfferez zwsche Jahr ud Alter abhägg ach folgedem Asatz,t,t ep H t Es glt = 4 ud t+ = 0, d. h. wege t + - = 979 st H(979) zu ermttel bzw. zu schätze, d. h. es sd de Kombatoe t+ ud zu betrachte mt t+- = 979 t,t,t,t,t H(t+-) ,0000 0,0980 0,990 0, ,097 0,0946 0,99 0, ,096 0,0905 0,99 0,0080 Ergebs (geometrsches Mttel als Schätzer): ep H 979 4,0 4,0 0,990,990,99 0, ,990, , 0485 c) Bezeche T de Zufallsarable der m Alter estorbee. Wege des Zetrale rezwertsatzes köe wr aehme, dass de esamtzahl der Tote Z: T äherugswese ormalertelt st mt Erwartugswert EZ L ud Varaz muss gelte:! PZ s L P Z s E Z! Z E Z E Z! P s Var Z Var Z L Var Z s u u E Z L Var Z L. Es

5 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) d) Bezeche für ee eeratoetafel zum eburtsjahr s de für das Scherhetseau -α erforderlche Scherhetsabschlag. Da glt ach c) s u L L bzw. s u L L Wege a mt 0 < a < glt s u L a L L L L s u L L a a L a L a L Wege 0 < a < st a ud es glt s s Der erforderlche Abschlag für das spätere eburtsjahr + st größer als der für das eburtsjahr. Be eem ehetlche Abschlag für alle eburtsjahre würde de Scherhet also be eem spätere eburtsjahr abehme.

6 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Aufgabe (5 Pukte): Be eer ebäudeerscherug wurde de letzte Jahre folgede Eregszetpukte für Stürme mt roßschäde erzechet: Sturm Nr Datum Sturm Nr Datum Der Aktuar des Uterehmes möchte de Vermutug prüfe, dass de Eregszetpukte durch ee homogee Posso-Prozess modellert werde köe. Dazu rechet er de Kalederdate ee zetstetge Skala um (Beg:..98, Zetehet: Kalederjahr) ud trägt de Zwscheeregszete ( = Verweldauer) folgedem Q-Q-Plot auf. a) Was wrd be korrektem Vorgehe auf de bede Achse abgetrage? Warum gbt es her ur 9 Datepukte? b) Was für e Regressosmodell st her soll? c) Warum ka auf rud deser raphk de Hypothese ees homogee Posso-Prozesses akzeptert werde? d) Ermttel Se aus der raphk ee Schätzer für de Posso-Parameter l. e) Schätze Se damt de Wahrschelchket dafür e, dass erhalb o zwe Kalederjahre ke Sturmeregs mt eem roßschade etrtt. Lösug: Der homogee Posso-Prozess st dadurch charaktersert, dass see Zwscheeregszete ( = Verweldauer) stochastsch uabhägge, ( l) -epoetalertelte Zufallsarable sd. a) De ( l) -Vertelug gehört zu eer (ree) Skalefamle mt s =. Auf der Abszsse werde daher de Quatle der () -Vertelug abgetrage, be Date sd das gerade de rö- l æ ö æ ö ße l( ) l k + l - - u =- - = k çè + ø çè+ -kø für k =,,. Auf der Ordate werde de der röße ach sorterte beobachtete Zwscheeregszete ( k ) abgetrage. Es lege zwar 0 beobachtete Zetpukte T,, T 0 or, aber es gbt ur 9 Zwscheeregszete X = T - T, k =,,9. k k+ k b) Ee leare Regresso durch de Nullpukt, da es sch um ee (ree) Skalefamle hadelt. c) Nach sueller Beurtelug st de Apassug a ee erade (durch de Nullpukt) hreched gut.

7 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) d) Als Schätzer ŝ für de Parameter s erwedet ma de Stegug der Regressosgerade; der raphk st zu etehme, dass de erade durch de Pukt (,5,5) erläuft, so dass sch,5 5 her s ˆ = = =, 6 ud damt lˆ = = = 0,6 ergbt., 5 sˆ 5 -l e) Das betrachtete Eregs hat de Posso-Wahrschelchket e = 0,0, das etsprcht der Wahrschelchket dafür, dass der (homogee) Posso-Prozess eem Iterall der Läge kee Zuwachs hat (d.h. deser Zetspae kee Sturmeregsse etrete).

8 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Aufgabe (0 Pukte): ( W,, ) se der zugrudelegede Wahrschelchketsraum. Für ee Bestad mt Volume Î ì wrd de Schadezahl N mt der Zufallsarable N : W0 ud der Freuez : ïk ü Z Wí k Î ï 0ý, ïî ïþ N Z := modellert. Dabe wrd ( ) N l mt l >0 als Posso-ertelt ageomme. Beobachtet werde uabhägge Realseruge o Z,, Z (Freueze) ud Voluma,, > 0. a) ) Bestmme Se de gemesame Wahrschelchketsfukto (also de gemesame Zähldchte) o ( Z,, Z ) ud de Fsherformato I ( l) o ( Z,, Z ). = Zwscheergebs: I ( l) =, l ( l z ll) Z = ) Bewese Se, dass ˆl = l = - + = st ee Loglkelhood e Mamum-Lkelhood-Schätzer o l st. Mt obge Ergebsse solle Erwartugswert ud Varaz o N für ee Bestad mt Volume geschätzt werde. b) Bestmme Se E( N), Var( N) ud begrüde Se, dass ˆl bzw. ˆl Mamum-Lkelhood- Schätzer des Erwartugswerts bzw. der Stadardabwechug o N sd. c) Ohe Bewes wrd ageomme, dass Satz 5..9 des Foleskrpts für ˆl glt, dass also ˆl äherugswese æ ö l, ç ( l) -ertelt st. ebe Se de asymptotsche Vertelug o çè ø I ˆl a. egebe see de folgede Beobachtuge: S z 7 0, 0, z d) Bestmme Se für ee Bestad mt Volume = 6 mt obge Date de Schätzwerte für E( N) ud Var( N ). e) ebe Se für ee Bestad mt Volume = 6 mt Hlfe der Mamum-Lkelhood-Theore e asymptotsches 90%-Schätzterall für de Stadardabwechug o N uter der Verwedug der Date ud d) a. Quatle o ( 0,) : u 0,9 =,8 u 0,95 =,64 u 0,975 =,96 u 0,99 =,

9 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Lösug: Zu a) ) ì ü Es glt für (,, ) ï æ ö k k z ¼ z Î,, í ¼, ¼, Î ï k k 0ý (also z ï çè î ø Î, =, ¼, 0 ) ïþ (, ¼, z, l) f z d dl d dl ( l ) ( z) ( ) ( l) = - l + z ( l( l) + l( ))-l(( z )!) ( l) = (- l + z ll) ( l) = = = oder kürzer auch = = -l ( l) =- = l e z! æ z ö ç - + = çè l ø z Zu a) ) æ d ö æ Z ö l = ç è dl = = ø ç = l è ø = l l ( l) ( l, Z, ¼, Z ) I = E - = E Aus der drtte Zele o ) folgt durch Nullsetze d dl Wege ( l) Zu b) = l z = lˆ = = ˆ = l =. = z z = < 0 legt ˆl e Mamum o or. - Laut Voraussetzug glt N ~ ( l ) ud somt E( N) = l, Var( N) ( ) ( ) ( ) = ud g ( ) ( ) ( ) = l. De Fuktoe h: 0, 0,, h l l : 0, 0,, g l = l sd bjekt ud stetg dfferezerbar. Damt sd ( lˆ ) ud g( ˆ l) Zu c) h l l l = l. h Schätzer o ( ) = ud g( ) Verwede de Bezechuge o b). Es glt g '( l) = = l æ ö æ ( ) ( ˆ ' l ö ) g l ( l), = g ' l g ( l), g ç ( l) g wege çè I ø 4 I ç l è ø ( ) ( ) = ud es folgt, dass asymptotsch l = 4 l l = 4 = = glt.

10 Zu d) Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Mt a) ud = 6 glt l ˆ =. 4 Mt c) folgt ˆ EN ( ) = l = 4, VarN ( ) = lˆ =. Zu e) Mt d) ud c) ergbt sch, dem ma de Schätzwerte esetzt, de Varaz 4 æ ˆ u0,95 0,95, 64, 64, ˆ u ö æ, ö,59;,4. ç è 4 4 ø çè 4 4 ø 6 = =, folg lch als 90 % Schätzterall g( l) - g( l) + = - + = ( )

11 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Aufgabe 4 (5 Pukte): X,, X 00 see de uabhägge Jahresgesamtschäde, welche de Verscherugsehmer =,,00 m Jahr 0 erursacht habe. Beobachtet wurde das arthmetsche Mttel m ˆ =,95 ud de emprsche Stadardabwechug s ˆ = 6,07 deser Jahresgesamtschäde (Werte Ehete o 0 EUR). Aus dem Markt se bekat, dass l -Epoetalertelug folgt, mt je- X eer ( ) wels dduellem, ubekatem Strukturparameter l Î( 0; ]. a) Uter der Nullhypothese, dass de Strukturparameter aller Verscherugsehmer detsch sd ( l = l = = l = : l), l -Vertelug. 00 folge de Schäde aller Verscherugsehmer eer ( ) ( ) ( ) Var X - Bereche Se de theoretsche Varazuotete : = deser Vertelug ud ergleche Se dese mt dem emprsche Varazuotete ˆ : = der Date. Welche Alter- é E X ù ë û sˆ mˆ athypothese legt der Verglech ahe? - Teste Se zum Neau 5%, ob de Nullhypothese detscher Strukturparameter haltbar st. Dabe köe Se ohe Bewes erwede, dass der emprsche Varazuotet ˆ uter der Nullhypothese mt eer Wahrschelchket o 95% Werte m Iterall [ 0,68;,44 ] ammt. b) Um der Möglchket Rechug zu trage, dass sch de ubeobachtete Strukturparameter für de ezele Verscherugsehmer uterschede, gehe Se u dao aus, dass jeder Strukturparameter l Realserug eer Zufallsarable L : = U st. Dabe st U auf dem Iterall [ ; m - ] glechertelt mt 0,0. m = Bereche Se de leare Credblty-Präme für ee Verscherugsehmer, für de de letzte dre Jahre ( = ) de Jahresgesamtschäde,0 sowe 7,0 ud 8,0 beobachtet wurde. Hwes: Se köe (ohe Bewes) erwede, dass de leare Credblty-Präme durch Var( E[ X H ** L]) : = zx+ (- z) E( X) defert st, mt z =. Außer- E ( Var [ X L ]) + Var ( E [ X L ]) dem glt EU ( ) = m ud ( m -) Var( U ) =. c) Für de Verscherugsehmer (VN) ud lege ee Schadehstore o sgesamt dre Jahre or: Jahr t Schade X () t o VN Schade X () t o VN 0 (etsprcht 00),0 6,0 (etsprcht 0) 7,0 9,0 (etsprcht 0) 8,0,0

12 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Se möchte e erallgemeertes leares Modell mt a dese Schadebeobachtuge X ( t ) apasse. æ ö f ( ) = ep ( J - ( J)) + (, y) ç b c çèy ø - Zege Se, dass sch für b ( J) =-l( - J), y= ud c = 0 de ( -J ) -Vertelug ergbt. - De Epoetalertelug st e Spezalfall der amma-vertelug. ebe Se mt desem Wsse de zur Epoetalertelug zugehörge kaosche Lk-Fukto g ( m) ud de Varazfukto V ( m) a. d) E Statstkprogramm lefert folgedes Schätzergebs für das erallgemeerte leare Modell aus c) mt der Verscherugsehmerummer als dskreter ud dem Jahr t als stetger Koarate: Modellspezfkato Vertelug: Epoetal Lkfukto: kaosch Beobachtugsdate æ ö ç çè ø Desgmatr æ 0 0ö ç çè ø Schätzergebs Regressosparameter æb ö æ 0,48 ö b 0,06 = - çb ç 0,0589 è ø èç- ø - Ermttel Se für Verscherugsehmer de Nettopräme E ( X () ) m Jahr ud bereche Se daraus ee Schätzug für de ubeobachtete Strukturparameter l. - Bereche Se de Varaz ( ) Var X () des zugehörge Schades. e) Das Statstkprogramm lefert u zusätzlch ee Schätzug y ˆ = 0,58 für de Parameter y. ebe Se damt ee eue Schätzug für E ( X () ) ud ( ()) Var X a ud begrüde Se dese.

13 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Lösug: a) Für de ( l) Var X, so dass der theoretsche Varazuo- l tet -Vertelug glt E( X) = ud ( ) = ( ) ( ) ù Var X = ée X = ë û beträgt. Dem gegeüber steht e emprscher Varazuotet o l 6,07 ˆ = =,54 >.,95 Uter der Nullhypothese = = = 00 st der emprsche Varazuotet e Schätzer für de theoretsche Varazuotete. Aufgrud der Abwechug zwsche emprschem ud theoretschem Varazuotete legt de Alterathypothese ahe, dass cht alle Strukturparameter detsch sd. Aufgrud des Hweses st ˆ ee Teststatstk ud[ 0,68;, 44 ] c ( ; 0,68) (, 44; ) =- È e Verwerfugsberech für ee Test der Nullhypothese zum Neau 5%. Da ˆ =, 54 m Verwerfugsberech legt, wrd de Nullhypothese detscher Strukturparameter erworfe. b) Es glt + + æ ö X = = 9,0, Var( E[ X L ]) = Var = Var( U) = m - ç çl è ø,0 7,0 8,0 ( ) = 8/ = 7, æ ö EVarX ( [ L ]) = E ç = EU = VarU ( ) + EU ( ) = m- + m ( ) { } ( ) ç çl è ø = = 7 ud E( X) = EéE( X ) ù E æ ö ë L û = = E( U) = m = 0. ç çl è ø (Bemerkug: Aus dese Werte ergbt sch als Varazuotet ( ) ( ) ù m Var X E( Var[ X L ]) + Var( E[ X L ]) : = = = =,54, ée X 00 ë û Wert, so dass m = 0,0 ee solle Wahl st.) also der a) berechete Für de Credblty-Faktor ergbt sch damt 7 z = = 0, / Mt dese Werte berechet sch de leare Credblty-Präme zu ( ) ( ) H ** = z X + - z E X = 0,894 9,0 + 0,606 0,0 = 9,6. c) Esetze o b ( J) =-l( - J), y= ud c = 0 ergbt de Dchte ( J J ) J ( J) J ( J ) f ( ) = ep + l( - )) =- ep =- ep - (- ) der (-J ) -Vertelug.

14 Lösuge zur Klausur Stochastsche Rskomodellerug ud statstsche Methode (Ma 0) Für allgemees y ergbt sch mt b ( J) =-l( -J) de amma-vertelug, so dass de kaosche Lkfukto g ( m) = st ud de Varazfukto V ( m) = m. m d) Der zugehörge leare Prädktor st (; ; ) (,, ) T = 0,48 0,06 0,0589 = 0,0680. Mt der kaosche Lkfukto berechet sch daraus der Erwartugswert E ( X () ) = /0,0680 = 4,7059. Zwsche dem Strukturparameter l ud dem Erwartugswert E ( X ) besteht m Rahme der Epoetalertelug der Zusammehag ( ) 0,0680. () l = E X () =, so dass l De Varaz ergbt sch mt der Varazfukto (oder drekt mt der Epoetalertelug) gemäß ( ()) = ( ( ())) = { ( ())} Var X V E X E X = 4,7059 = 6,65. e) Der kokrete Wert o y hat kee Efluss auf de Mamum-Lkelhood-Parameterschätzug für de Regressosparameter (,, ), so dass de Schätzug für de Erwartugswert uerädert E( X () ) = 4,7059 beträgt. I de Berechug der Varaz geht y gemäß Var ( X () ) = y V( E( X () )) e, so dass ee erbesserte Schätzug der Varaz ( ) V( E( X )) = 0,58 6,65 = 9,686 beträgt. () Var X () = 0,58

15 Vertelug der Puktzahle auf de Uteraufgabe: a) 8 b) 0 c) 6 d) 6 a) 0 b) c) d) 5 e) 5 a) 0 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 4a) 8 4b) 0 4c) 6 4d) 8 4e)