a) (10 Punkte) Die Dichten der Verteilungen aus der Exponentialfamilie genügen der Zeigen Sie, dass die Gammaverteilung zur Exponentialfamilie gehört.

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1 Klausur Spezalwsse Schade 013 (eue PO) Aufgabe 1 (Tarferug, 50 Pukte) Aufgabe 1.1 (GLM) a) (10 Pukte) De Dchte der Verteluge aus der Expoetalfamle geüge der Darstellug ;, Φ, Φ exp /Φ De Dchte der Gamma-Vertelug se gegebe durch Zege Se, dass de Gammavertelug zur Expoetalfamle gehört. De Dchte der Gamma-Vertelug lässt sch darstelle als,, mt eer Fukto C. Setzt ma weter, so folgt, Damt hat ma b) (10 Pukte) Lete Se de Maxmum-Lkelhood-Schätzer für de bede Parameter µ ud α der Gamma-Vertelug aus der Log-Lkelhood-Fukto her. Hwes: Implzte Darstelluge sd ausreched. Der log-lkelhood lautet: Abletug ach µ ergbt Nullsetze führt auf Abletug ach α ergbt Nullsetze führt her auf mt der Lösug für µ c) (10 Pukte) Im multplkatve Modell ud uter Aahme eer Posso-Vertelug führt de Nullsetzug der Abletug des Log-Lkelhood be zwe Merkmale auf: I J 1 j1 w ( y j j u v j ) x j 0

2 Dabe st x j e Zelevektor der Desgmatrx. Lete Se für de Fall IJ de Desg-Matrx ud daraus de Glechuge des Margalsummeverfahres her. De Desg-Matrx st desem Fall (I+J Spalte ud IJ Zele, jewels also 4): Im folgede st x j e Zelevektor der Desg-Matrx. Damt glt 1 j1 w ( y j j u v Somt lefert de kompoetewese Betrachtug de Glechuge des Margalsummeverfahres: j ) x 0 j Damt ergebe sch folgede ver Glechuge des Margalsummeverfahres: I: II: III: IV: Aufgabe 1. (Abhäggkete ud Umsetzug des Rskomodells de Tarf) a) (6 Pukte) Überlege Se, ob de folgede Tabellepaare Abhäggkete zege ud beschrebe Se dese kurz. Fall1: Bestadsgröße Wohegetum ja Wohegetum e Gesamt Juge VN Ältere VN Gesamt

3 Schadebedarf Wohegetum ja Wohegetum e Gesamt Juge VN ,5 Ältere VN Gesamt 11, ,75 Fall : Bestadsgröße Wohegetum ja Wohegetum e Gesamt Juge VN Ältere VN Gesamt Schadebedarf Wohegetum ja Wohegetum e Gesamt Juge VN ,33 Ältere VN ,67 Gesamt 106, ,83 Im erste Fall zegt sch ee Abhäggket m Bestad (be juge weger Wohegetum als be ältere), aber mmer derselbe Utersched m Schadebedarf zwsche juge ud ältere sowe Wohegetum ja/e. Im zwete Bespel legt kee Abhäggket m Bestad vor (mmer deselbe Verhältsse), wohl aber m Schadebedarf (gergerer Utersched zwsche jug/älter be vorhadeem Wohegetum ud be juge größerer Utersched zwsche Wohegetum ja/e als be ältere). b) (8 Pukte) Welche der folgede Tabelle zege Abhäggkete? Was würde Se bzgl. der Umsetzug de Tarf tu ud begrüde Se des? Fall1: Azahl schadefreer Jahre Schadebedarf juger VN Schadebedarf älterer VN Fall : Azahl schadefreer Jahre Schadebedarf juger VN Schadebedarf älterer VN Fall 3: Azahl schadefreer Jahre Schadebedarf juger VN Schadebedarf älterer VN Im erste Fall zegt sch kee Abhäggket (mmer doppelt so hoher Schadebedarf be juge we be ältere), de adere bede Bespele legt ee Abhäggket vor (uterschedlche Verhältsse zwsche juge ud ältere je ach Azahl schadefreer Jahre). Ee Umsetzug de Tarf legt de erste Fälle ahe, da etweder kee Abhäggket oder ee deutlche vorlegt. De drtte Fall ka ma we de erste behadel, da ur be füf schadefree Jahre ee Abwechug vo

4 der Uabhäggket vorhade ud des auch ur sehr schwach ausgeprägt st; her glt efach vor exakt. c) (6 Pukte) Nee Se dre Ursachebereche, de zu Abwechuge zwsche Rskomodell ud Tarf führe köe ud erläuter Se kurz de Art der Abwechuge. Möglche Ursachebereche für Abwechuge zwsche Rskomodell ud Tarf sd: - IT/System köe Beschräkuge hschtlch der Umsetzbarket verursache. - Markt/Wettbewerb köe Apassuge ahelege, um wettbewerbsfähg zu blebe. - Umgehugsmöglchkete z.b. be sogeate weche Merkmale we etwa Garage der Kraftfahrtverscherug. - Erklärbarket/Verstädlchket: E Magel dara ka de Verkaufbarket reduzere. - Rechtlche Aforderuge/Gegebehete köe Tarfkrtere utersage we etwa Usex de Verwedug des Geschlechts.

5 . Aufgabe zur Schadereserverug (Spezalwsse 013) (50 Pukte) Se C k, 1,k, der Schadestad vo Afalljahr ach k Abwcklugsjahre ud S k : C k C,k-1 der Zuwachs. De C k für +k +1 see bekat. Etwage adere Bezechuge müsse vo Ihe defert werde, auch we se mt dee des Skrptums überestmme..1. Großschadebehadlug (4+48 Pukte).1.1. Weso sollte ma ee Großschade (z. B. ee, der mt über m Abwcklugsdreeck steckt) vor Awedug des Cha-Ladder-Verfahres aus dem Abwcklugsdreeck herausehme?.1.. Se habe also de Großschade aus dem Abwcklugsdreeck herausgeomme ud da das Cha-Ladder-Verfahre auf das so beregte Dreeck agewadt. Weso sollte Se de so (ggfs. mt Tal) geschätzte Reserve Rˆ für ege Afalljahre och erhöhe (Se brauche cht dazulege, um welche Betrag)? Um welche Jahre hadelt es sch dabe (außer dem Jahr, aus dem der Großschade herausgeomme wurde)? Lösug:.1.1. Das Abwcklugsverhalte ees Großschades beeflusst sbesodere bem Cha- Ladder-Verfahre besoders starkem Maße das Abwcklugsverhalte sees gaze Afalljahres sowe de Höhe der Abwcklugsfaktore-Schätzer fˆ k ab dem Abwcklugsjahr, dem der Schade groß wurde. Da das Abwcklugsverhalte ees Großschades aber der Regel erheblch vo dem der Normalschäde abwecht, sollte der Großschade herausgeomme werde. Isbesodere, we der Schade berets maxmal reservert st, würde er ee Fehlschätzug der Abwcklug der adere Schäde bewrke..1.. We der Großschade erst eem Abwcklugsjahr k > 1 als groß erkebar geworde st, ka auch jedem Afalljahr > +1 k, wo Abwcklugsjahr k och cht beobachtet wurde, das Gleche mt gewsser Wahrschelchket passere. Daher muss Rˆ für dese geeget erhöht werde... Zuwachsquotemodell ( Pukte) De Aahme des Zuwachsquote-Modells mt Tal laute bekatlch: (a) De Zuwächse S k sd uabhägg. (b) E(S k ) v m k mt bekate v, 1, ud ubekate m k, 1 k +1. (c) Var(S k ) v s k mt ubekate s k. + 1 k + 1 k..1. Bereche Se Var( mˆ k ) für mˆ k : S 1 k v 1, 1 k. (Se köe das Ergebs auch ohe Rechug efach hschrebe.)... Gebe Se ee erwartugstreue Schätzer für de Parameter s k, 1 k 1, a...3. Der Reserveschätzer lautet Rˆ v(mˆ mˆ + 1). Welche Größe müsse zusätzlch zu de.. agegebee Parameterschätzer och festgelegt werde, um Var( Rˆ ) schätze zu köe? Skzzere Se, we ma dese Größe zumdest äherugswese festlege ka.

6 Lösug:..1. Var( k + 1 k + 1 k + 1 k Var( S ) Var(S ) v s 1 k 1 k 1 k mˆ ) + 1 k + 1 k + 1 k ( v ) ( v ) ( v ) k 1 Sk k + v mˆ k k 1 v, was ur für k < defert st. sk + 1 k... ŝ..3. Wege Var( Rˆ ) v ( Var(mˆ + ) Var(mˆ + 1) ) sd ur de Größe Var( mˆ k ) zu schätze. Ageschts vo..1 ud.. braucht ma sch ur och um Var( mˆ ) ud Var( mˆ + 1 ) zu kümmer. Für Var( mˆ ) s /v 1 braucht ma ee Schätzer für s, de ma z. B. als m{ ŝ k 1 k -1} oder aus eer Extrapolato der l( ŝ k ) gege k (oder gege l( mˆ k ) ) erhalte ka. Dagege muss ma Var( mˆ + 1 ) drekt schätze, z. B. über e 95%- Kofdeztervall für de Talquote m +1, desse Läge etwa dem Verfache des Stadardfehlers Var(mˆ + 1) etsprcht..3. Cha-Ladder-Modell (+68 Pukte).3.1. Was besage de Modellaahme für E(C 3 C 1, C ) ud Var(C 3 C 1, C )?.3.. Bereche Se Var(C 3 C 1 ). Lösug:.3.1. E(C 3 C 1, C ) C f 3 mt eem ubekate Parameter f 3. Var(C 3 C 1, C ) C σ 3 mt eem ubekate Parameter σ Gemäß der Iteratvtät vo (auch bedgte)varaze (vgl. Formelsammlug) glt Var(C 3 C 1 ) E[Var(C 3 C 1, C ) C 1 ] + Var[E(C 3 C 1, C ) C 1 ] E[C σ 3 C 1 ] + Var[C f 3 C 1 ] (gemäß.3.1) C 1 f σ 3 + C 1 σ f Much Cha Ladder (4+81 Pukte) Der Fudametalsatz der Much Cha Ladder besagt, dass e aktuell überdurchschttlches P/I-Verhälts (oder I/P-Verhälts) be separater Awedug der Cha Ladder auf das Pad- ud auf das Icurred-Dreeck m gleche Maße überdurchschttlch blebt (P/I Pad / Icurred). Bezeche Se mt C k bzw. Ĉ k de Pad- Date ud mt D k bzw. Dˆ de Icurred-Date. k.4.1. Formulere Se de geaue Sachverhalt Form eer Glechug..4.. Formulere Se de aaloge Sachverhalt für das Zuwachsquote-Modell zuerst Worte (we obe) ud da als Glechug (we.4.1). 1 v.

7 Lösug:.4.1. Ĉ k / Dˆ k / D, + 1,1+ Ĉ j 1 jk Dˆ j 1 jk Ĉ j 1 j, + 1 Dˆ j 1 j, + 1 mt Ĉ jk : C jk, jk : D jk C für alle k > +1- Dˆ für j+k +1 bzw. gemäß Cha Ladder sost..4.. Im Zuwachsquote-Modell st das Aalogo (addtv statt multplkatv) zum I/P- Verhälts de Ezelfallreserve-Quote. Also glt: Ee aktuell überdurchschttlche Reservequote (D,+1- C,+1- )/v blebt be separater Awedug des Zuwachsquote- Verfahres auf Zahluge ud auf agefallee Schäde m gleche Maße überdurchschttlch, d. h. Dˆ ( ) ( ) k Ĉ Dˆ j 1 jk Ĉ jk D, 1 C Dˆ, 1 j 1 j, 1 Ĉ k j,+ 1 für k > +1- v v v v j 1 j mt dem Volumemaß v des Zuwachsquotemodells. (Beachte, dass auch m gleche Maße sch be addtv statt multplkatv vo eem Quotete ee Dfferez übersetzt.) Dese Glechug ka tatsächlch aus dem Zuwachsquotemodell hergeletet werde..5. Borhuetter/Ferguso (4+610 Pukte) Se habe extere Schätzer qˆ, 1, für de Edschadequote U /v sowe fˆ k, k, für de Cha-Ladder-Abwcklugsfaktore eschleßlch ees Talfaktors fˆ. Exter met her, dass de Schätzer vo adere Gesellschafte oder aus eem ählche, aber adere Geschäftssegmet stamme, aber jedefalls cht aus dem Geschäft, auf das Se se awede wolle We köe Se auschleßlch hermt de Borhuetter/Ferguso-Reserveschätzer be bekatem Volumemaß v bereche?.5.. We köe Se eer erste grobe Wese ohe stochastsches Modell ud ohe Berechug der egee Abwcklugsfaktore prüfe, ob dese extere Schätzer egermaße zu de Date Ihres Abwcklugsdreecks passe? Lösug: BF.5.1. Rˆ Û ( 1 ẑ ) + 1 mt : v j 1 Û qˆ ud ẑ : ( fˆ... fˆ fˆ ) 1. k k Be Awedug der extere Parameter ehme Se mplzt a, dass Ihre Date {S k +k +1} ur zufällg vo de BF-Schätzer : Û (ẑ ẑ ) der Erwartugswerte E(S k ) abweche. Daher sollte de Vorzeche sg ( ) Ŝk k k 1 Sk Ŝ k auch zufällg über das Abwcklugsdreeck vertelt se ud sbesodere cht eer Zele, Spalte oder Dagoale stark domere. j BF Rˆ

8 Klausur Spezalwsse Schade 013 Aufgabe 3 (Rskotelug, 50 Pukte) Zur Tarferug ees Kraftfahrt-Haftpflcht-XLs für das Afalljahr 014 soll ee Burg Cost-Rechug durchgeführt werde. Der XL deckt xs ud st mt eer APK10 ausgestattet, wobe zur Stablserug der Loh- ud Gehaltsdex verwedet wrd. Das Bassjahr für de Stablserugsklausel st 013. Als Beobachtugszetraum dee de Afalljahre Es sd folgede Iformatoe verfügbar: Experte gehe davo aus, dass der Loh- ud Gehaltsdex ach 014 jährlch um 4% stegt. Ferer sd für de Beobachtugszetraum de Großschäde (mt Abwcklug) bekat, dere Aufwad de Prortät vo überstege: 3.1 Beschrebe Se kurz zwe Möglchkete ee svolle Prämedex zu kostruere ud bereche Se mt bede Varate ee Prämedex für user Bespel. Etschede Se sch für de folgede Rechug für ee der bede Idzes. 3. Bereche Se de Schadedex für de Jahre uter der Aahme eer Supermposed Iflato vo %. 3.3 Verwede Se das m Skrpt beschrebee Vorgehe zur Idexerug der Großschäde das Afalljahr 014 ( As-f-Schäde ). 3.4 Bereche Se das Abwcklugsdreeck der dexerte ud stablserte xs-schadeaufwäde. 3.5 Bereche Se de dexerte Burg Cost für de Beobachtugszetraum Verwede Se das Cha Ladder-Verfahre sowe ee Tal-Faktor vo 1,5 um de IBNRdexerte Burg Cost zu bereche. 3.7 Ageomme der IBNR-dexerte Burg Cost wrd als Schätzer für de erwartete Schadelast m XL verwedet. Welche Krtk ka ma gaz allgeme a desem Vorgehe übe? Weshalb st der dexerte Burg Cost desem kokrete Fall e sehr uscherer Schätzer? Hwese: Rude Se Ihre (Zwsche-)Ergebsse verüftger Wese. Es st erlaubt mt gerudete Zwscheergebsse weterzureche. Sollte Se be Aufgabe 3.3 zu keem Ergebs komme, so reche Se de folgede Telaufgabe mt der Aahme weter, dass de Schäde durch de Idexerug cht verädert werde.

9 Klausur Spezalwsse Schade 013 Lösug zu Aufgabe Ee Möglchket besteht dar, drekt de Stückpräme als Prämedex zu verwede. Des bedeutet effektv, dass ma als Volumemaß de Zahl der Jahresehete verwedet. Ee adere Möglchket st es, zusätzlch de Tred der Schadehäufgket zu berückschtge ud de Quotet aus Stückpräme ud Schadehäufgket als Prämedex zu verwede. Das Volumemaß st da de (erwartete) Azahl a Schäde (Groß- ud Kleschäde) des jewelge Afalljahres. De folgede Tabelle zegt de bede Möglchkete: Im Folgede verwede wr Prämedex De folgede Tabelle zegt de Berechug des Schadedex: 3.3 Zuerst bereche wr de dekumulerte Darstellug der Großschäde: Dekumulerte Zahluge bzw. Reserve aus dem k-te Abwcklugsjahr vo Afalljahr werde mt dem Idexerugs-Faktor S S I014 k1 I k 1 dexert (wobe bezechet). De folgede Tabelle zegt de Idexerugsfaktore: S I j de Schadedex m Jahr j

10 Mt dese Faktore erhalte wr de dexerte Großschäde dekumulerter Darstellug: I kumulerter Darstellug: 3.4 I de Jahre 014 ud 015 st der Loh- ud Gehaltsdex m Verglech zu 013 och um weger als 10% gestege. I 016 überstegt der Idex da de 10% Marge. Für de As-f-Schäde greft de Stablserug also ab dem drtte Abwcklugsjahr. De Stablserug muss also be der Berechug des dexerte ud stablserte xs-schadedreecks ur für das drtte Abwcklugsjahr des Afalljahres 010 berückschtgt werde. Für de As-f-Schade aus dem Afalljahr 010 wrd de Prortät m drtte Abwcklugsjahr mt folgedem Stablserugsfaktor agepasst: , , , De stablserte Prortät m drtte Abwcklugsjahr beträgt also Ma erhält folgedes Abwcklugsdreeck der stablserte ud dexerte xs-schadeaufwäde: 3.5 Das revalorserte GNPI vo Afalljahr erhält ma, dem ma das GNPI des Afalljahres mt dem Quotet aus Prämedex 014 ud Prämedex des Jahres multplzert. De folgede Tabelle zegt de revalorserte Präme der Afalljahre :

11 Wr erhalte de dexerte Burg Cost: ,6% De Cha Ladder-Rechug lefert Mt dem Tal-Faktor vo 1,5 erhalte wr de IBNR-dexerte Burg Cost ,5 9,79% Allgemee Krtk: Es sollte zusätzlch e Pres für de ubestrchee Tel der Deckug agesetzt werde. Das Verfahre bldet Retekompoete cht dfferezert ab (ee korrekte Berückschtgug st jedoch sehr schwerg, we cht umöglch). Ee IBNR-Rechug auf xs-schäde st für dvduelle Portefeulles häufg cht robust. Cha Ladder wrd auf e Dreeck agewedet, das cht flatosberegt st (aber zumdest hat ma erhalb der Spalte ehetlche Wertverhältsse). Krtk m kokrete Bespel: Der Beobachtugszetraum st vel zu kurz (ud etspreched de Azahl der bekate Abwcklugsjahre). De Azahl der Schäde st für ee aussagekräftge Burg Cost-Rechug (ud atürlch auch für de IBNR-Rechug) vel zu gerg. Es sd ur de Schäde bekat, de de Prortät überstege. Da de Schäde durch de Idexerug größer werde müsse de Schäde ab eer edrgere Meldegreze bekat se.

12 Klausur Spezalwsse Schade 013 Aufgabe 4 Modellerug (15 Pukte) Parameterrsko bem Zechugsrsko ud Smulato vo Zufallszahle Be der Modellerug des Zechugsrskos werde ageomme, dass de Schadeazahle Y 1, Y,... ee NB(1, p)-vertelug mt demselbe ubekate Parameter p aus dem Itervall [0;1] bestze, ud dass de Y für gegebees p stochastsch uabhägg sd. Weterh lege ee Stchprobe y (y 1,..., y ) N 0 vo beobachtete voeader uabhägge Schadeazahle vor. 4.1 Bestmme Se ee geegete Schätzer für p be gegebeer Stchprobe y. 4. Zege Se, dass de A-posteror-Vertelug des Parameters uter Aahme ees glechvertelte Prors auf dem Parameterraum durch ee Beta(α, β)-vertelug gegebe st, ud bestmme Se α ud β be gegebeer Stchprobe y. 4.3 Zege Se, dass de Dchte eer Beta(α, β)-vertelug mt α, β 1 beschräkt st. Beschrebe Se, we ma dese Vertelug uter Verwedug des Acceptace-Rejecto- Verfahres smulere ka, ud zege Se, dass de Aahmewahrschelchket ees Wertes ee Fukto der verwedete Normerugskostate c st. Hwese zu Aufgabe 4: De Telaufgabe sd uabhägg voeader lösbar. Nachfolgede Tabelle darf ohe Bewes verwedet werde: Vertelug Dchte Erwartugswert NB(1, p) mt p [0; 1] f(k) p k (1 p), k N 0 p 1 p Beta(α, β) mt α, β 1 f(x) xα 1 (1 x) β sα 1 (1 s) β 1 ds, 0 x 1 wrd cht beötgt

13 Klausur Spezalwsse Schade 013 Lösug zu Aufgabe 4 Modellerug: Parameterrsko bem Zechugsrsko 4.1 Vorbemerkug: De Vertelugsfamle für de Schadeazahl Y 1 st gegebe durch P (P Y 1 p ) 0 p 1 (NB(1, p)) 0 p 1, bzw. für Y (Y 1,..., Y ) mt Y 1,..., Y..d. be gegebeem p durch P (P Y p ) 0 p 1 ( 1 Lösugsvarate 1: Mometemethode Zu löse st das Glechugssystem P Y p ) 0 p 1 (NB(1, p) () ) 0 p 1. E p (Y 1 ) 1 y. 1 Mt P Y 1 p NB(1, p) folgt (vgl. Hwes) E p (Y 1 ) p p. Zu löse st daher 1 1 p 1 p 1 y. Über p 1 y p 1 y ud p( + 1 y ) 1 y ergbt sch als Lösug des Glechugssystems der Mometemethode-Schätzer für p: p 1 y 1 1 y + (alteratv p 1 y 1 y + 1 ). 1 Lösugsvarate : Maxmum Lkelhood Schätzer De Lkelhood-Fukto st gegebe durch L(p y) 1 p y (1 p) p 1 y (1 p). De Log-Lkelhood-Fukto st etspreched gegebe durch l(p y) l(l(p y)) y l(p) + l(1 p). 1 Mt d dp l(p y) 1 y p 1 p folgt: > d dp l(p y) < 0 1 y p > < 1 p 1 y > < p( + y ) 1

14 ud damt > d dp l(p y) < 0 p < > 1 y 1 y +. Aus dem Mootoeverhalte der erste Abletug ergbt sch schleßlch zusamme mt lm l(p y) lm l(p y), dass de Log-Lkelhood-Fukto ud damt de Lkelhoodp 0 p 1 Fukto e absolutes Maxmum bestzt be 1 p y 1 y +. Des st der Maxmum-Lkelhood-Schätzer für p. 4. Der Parameter p werde als Realserug eer Zufallsgröße Λ aufgefasst, d.h. es gelte NB(1, p) P Y p P Y Λp mt (Zähl-)Dchte f Y p f Y Λp. De Dchte der A-posteror-Vertelug des Parameters auf dem Parameterraum [0;1] be gegebeer Stchprobe y (y 1,..., y ) als Realserug vo Y (Y 1,..., Y ) st gegebe durch g Λ Y y (p) f Y Λp (y) 1 f 0 Y Λs (y) ds. Mt f Y Λp P Y Λp Pp Y NB(1, p) () ergbt sch für de Zähler f Y Λp (y) fp Y (y) f Y p (y ) f Y 1 p (y ) p y (1 p) p 1 y (1 p) ud für de Neer f Y Λs (y) ds Zusammegesetzt folgt mt r : 1 y 0 g Λ Y y (p) 1 1 f Y 1 s (y ) ds 0 s 1 y (1 s) ds. p r (1 p) 1 0 sr (1 s) ds. s y (1 s) ds Des etsprcht gemäß Hwes der Dchte der Beta(r + 1, + 1)-Vertelug, d.h. der Beta( 1 y + 1, + 1)-Vertelug: P Λ Y y Beta( y + 1, + 1). 1 Bemerkug: Der Zähler bestmmt de Dchte ud damt de Vertelug scho edeutg, da der Neer ledglch der Normerug det. 1

15 4.3 De Dchte f der Beta(α, β)-vertelug mt α, β 1 st auf hrem kompakte Träger [0;1] stetg. Damt st se auf [0;1] beschräkt ud mmt hr Maxmum a. Alteratv folgt aus 0 x 1 sofort 0 (1 x) 1 ud damt wege α, β 1 schleßlch 0 x α 1 (1 x) β 1 1. Etspreched glt f(x) ( 1 0 sα 1 (1 s) β 1 ds) 1 für 0 x 1. Mt a 0 ud b 1 ka ma das Acceptace-Rejecto-Verfahre folgedermaße awede: 1) Wählt ma c max{f(x) : 0 x 1} (oder größer), so folgt, dass g(x) : f(x) 1 c für alle 0 x 1 glt. Bemerkug: Als Wahl vo c betet sch alteratv ( 1 0 sα 1 (1 s) β 1 ds) 1 a: Da glt (we obe gezegt) f(x) 1, ud ma spart sch de aalytsch aufwädge c Suche ach max{f(x) : 0 x 1}. ) Ma smulere U 1 ud U stochastsch uabhägg detsch Rechteck(0,1)-vertelt ud erhalte Realseruge u 1 ud u. 3) Falls u g(u 1 ) glt, so behalte ma de Wert u 1 als Smulatosergebs (Acceptace), sost verwerfe ma h (Rejecto). 4) Ma führe das Verfahre so oft durch, bs de gewüschte Azahl akzepterter Realseruge vorlegt. De Aahmebedgug st U g(u 1 ), de Aahmewahrschelchket etspreched P (U g(u 1 )). Mt h(u 1, u ) 1 [0,g(u1 )](u ) ud der..d. Rechteck(0,1)-Vertelug vo U 1 ud U ergbt sch P (U g(u 1 )) h(u 1, u )dp (U 1,U ) (u 1, u ) [0,1] [0,1] h(u 1, u )dp U (u ) dp U 1 (u 1 ) [0,1] [0,1] 1 [0,g(u1 )](u )du du 1 [0,1] [0,1] du du 1 [0,1] [0,g(u 1 )] g(u 1 )du 1 [0,1] f(u 1 ) du 1 [0,1] c 1 c [0,1] f(u 1 )du 1 1 c.

16 Aufgabe 5 Modellerug B 15 Pukte Se arbete set dre Jahre bem Spezalverscherer XYZ, der ach eem Strategewechsel se Haftpflchtgeschäft de Ru Off geschckt hat ud ur och Sturmdeckuge für gewerblche Rske verkauft. Ihr Vorstad hat Se mt de ökoomsche Rskotragfähgketsberechuge betraut ud möchte vo Ihe wsse, we hoch das verscherugstechsche Rsko für das laufede Kalederjahr 013 per st. Hwes: Verefacht solle Zseffekte, Rskomarge ud Steuer außer Acht gelasse werde. Grudformatoe: 1.) Per betrage de ökoomsche Egemttel vo XYZ 50 GE (Geldehete)..) Abwcklug des Altgeschäfts: a) Per beläuft sch de (omale) Best Estmate Reserve für agefallee Haftpflchtschäde auf 100 GE. b) Uter Best Estmate Aahme werde m Kalederjahr GE für agefallee Haftpflchtschäde gezahlt werde. c) Aus dem tere Modell lege de folgede dre Realsatoe der Bedarfsreserve ( Summe der zuküftge Zahluge bs zur Edabwcklug) vor: Smulatospfad M ) Neugeschäft: a) De verdete Präme für Sturmdeckuge m Afalljahr 013 beträgt 50 GE, de Koste für Schaderegulerug ud Verscherugsbetreb belaufe sch auf 0 GE. b) E Rückverscherugsmakler hat Ihe folgede AEP Kurve für edabgewckelte Sturmschäde des Afalljahres 013 zur Verfügug gestellt: Wederkehrperode / Jährgket Höhe der Sturmschäde c) De 013 afallede Sturmschäde werde am Ede des Kalederjahres 013 vollstädg abgewckelt se. 1

17 Aufgabe: 5.1. Zechugsrsko CAT 7 Pukte a) We st de AEP Kurve allgeme defert? ( Pukte) b) Gegebe see de folgede dre Realsatoe eer glechvertelte Zufallsgröße, de m tere Modell vorsmulert wurde: Smulatospfad M 1 0,36 0, ,994 Erzeuge Se uter Verwedug der AEP Kurve des Afalljahres 013 (sehe Grudformatoe 3b) de zugehörge Sturmschäde pro Smulatospfad. (3 Pukte) c) Bereche Se das ultmatve Afalljahresergebs des Verscherers XYZ jedem Smulatospfad. We hoch st das geschätzte Afalljahresergebs am Ede des Kalederjahres 013? ( Pukte) 5.. Reserversko 5 Pukte a) Erläuter Se de grudsätzlche Fuktoswese des Recogto Patter Asatzes zur Überletug der Ultmate Scht de Kalederjahresscht. ( Pukte) b) Verwede Se de Recogto Patter Asatz, um pro Smulatospfad das ejährge ökoomsche Abwcklugsergebs des Verscherers XYZ m Kalederjahr 013 zu bereche. (3 Pukte) 5.3. Aggregato der Ezelrske ud Ergebsauswertug 3 Pukte a) Bereche Se pfadwese das ökoomsche verscherugstechsche Ergebs des Verscherers XYZ m Kalederjahr 013. I welche Smulatospfade erledet XYZ ee Verlust? (1,5 Pukte) Hwes: De zwsche Zechugsrsko CAT ud Reserversko bestehede Abhäggkete sd be der Smulato der Zufallsgröße u (sehe Aufgabe 1b) ud der Bedarfsreserve (sehe Grudformatoe c) berets berückschtgt worde. b) We hoch sd de ökoomsche Egemttel des Verscherers XYZ am , we de Kaptalalage zuächst cht berückschtgt wrd? (1,5 Pukte)

18 Lösuge 5.1. Zechugsrsko CAT a) Bezechet de zufällge Jahresgesamtschade eer Naturgefahr ud de Vertelugsfukto vo, so st de AEP Kurve (AEP Aggregate Exceedace Probablty) defert als: : wrd auch als Wederkehrperode oder Jährgket bezechet. b) Zur Smulato des Jahresgesamtschades st de Iverse pfadwese auf de Realseruge vo azuwede. Um zu bestmme. sd aus de aufgeführte Wederkehrperode, 1,..,3 zuächst de Quatlveaus zu bereche: Wederkehrperode ,98 1 0, ,99 1 0, , ,005 Wr setze 0, 0,98 5, 0,98 0,99 : 75, 0,99 0,995 00, 0,995 De Sturmschäde ergebe sch mttels : Smulatospfad M 1 0 0,36 0 0, ,994 c) Bezeche de verdete Präme ud de Koste sowe de edabgewckelte Sturmschade des Afalljahres 013, so ermttelt sch das zugehörge ultmatve Afalljahresergebs gemäß Smulatospfad M

19 Bem ejährge Afalljahresergebs geht deftosgemäß astelle des tatsächlche Edschadeaufwads de am Ede des Kalederjahres 013 ermttelte (zufallsabhägge) Schätzug für de vorausschtlche Edschadeaufwad e:. Da laut Grudformatoe 3c de Sturmschäde am Ede des Kalederjahres 013 abgewckelt sd, glt ud damt, d.h. das ejährge Afalljahresergebs stmmt jedem Pfad mt dem ultmatve Afalljahresergebs übere. 5.. Reserversko a) Bem Recogto Patter Asatz wrd das ejährge ökoomsche Abwcklugsergebs CDR, pfadwese approxmert über de Größe: CDR : Herbe bezeche S, de Zahluge m Kalederjahr 013, de am Ede des Kalederjahres 013 geschätzte Best Estmate Reserve ud 0 ee Skalerugsfaktor. Der Ausdruck etsprcht dem ultmatve ökoomsche Abwcklugsergebs CDR. b) Werde de m Kalederjahr 013 vorausschtlch zu lestede Zahluge 50 GE s Verhälts zu de bs zur Edabwcklug vorausschtlch zu lestede Zahluge 100 GE gesetzt, ergbt sch daraus e Skalerugsfaktor vo 0,5. Smulatospfad M CDR CDR , , , Aggregato der Ezelrske ud Ergebsauswertug a) Das verscherugstechsche Ergebs des Kalederjahres 013 : UW setzt sch zusamme aus dem ejährge ökoomsche Abwcklugsergebs CDR CDR, sehe Aufgabe b ud dem ejährge Afalljahresergebs, sehe Aufgabe 1b. Somt glt: UW CDR 4

20 Bede Größe lasse sch gemäß Hwes pfadwese addere. Smulatospfad M UW Nur Smulatospfad 3 erledet XYZ ee ökoomsche Verlust. b) De ökoomsche Egemttel vo XYZ veräder sch 013 geau um das verscherugstechsche Ergebs des Kalederjahres 013: Smulatospfad M EM EM UW EM