Wirtschaftliche Verflechtung

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1 Wirtschftliche Verflechtung Ausschnitt Input Output Tbelle, For the distribution of industries producing commodit, red the column for tht commodit USA 00 For the distribution of commodities produced b n industr, red the row for tht industr hemicls Plstics nd rubber Nonmetllic minerl Primr metl Fbricted metl Mchiner omputer nd electronic ommodit code hemicl mnufcturing 4.0,8.08,9 7,4, 0,5 5,4 54,8 Plstics nd rubber mnufcturing 89, ,7 67, 4,7 775,4 899,0,9 Nonmetllic minerl product mnufcturing 8,, 90.80,6 40, 45,7 9,7 Primr metl mnufcturing 465,6 50,9 44, ,7.50,0 06,5 7, Fbricted metl product mnufcturing 84,0.067,4 78,5 4.76, ,.45, 58,8 Mchiner mnufcturing 9,7 09, 0,9 9,9.95,0 9.0,8 77,4 omputer nd electronic product mnufcturing 5,8 70,5 0,5 5, 0, 65,8 8.09,9 Quelle: Beispiel für intersektorle Verflechtung Fbricted metls Mchiner Plstics hemicls

2 Determinnte Mtri Eine Mtri ist genu dnn nichtsingulär, wenn ihre Determinnte ungleich 0 ist Determinnte für eine Mtri LGS: + + Koeffizientenmtri: A Determinnte: A Herleitung + Die Determinnte einer Mtri ist selbst keine Mtri, sondern ein Sklr

3 Determinnte Mtri Mit dem gleichen Vorgehen lässt sich die Determinnte einer Mtri ermitteln: Determinnte + + Regel von Srrus (Merkhilfe für die Bestimmung der Determinnte einer Mtri) Produkt erhält positives Vorzeichen Produkt erhält negtives Vorzeichen

4 o-fktoren Bei den Determinnten der und der Mtri fällt folgendes Muster uf: Jeder Term ist ds Produkt von zwei bzw. drei verschiedenen Elementen der Mtri Jedes Produkt enthält ein Element us jeder Zeile von A und ein Element us jeder Splte von A Diese Eigenschften lssen sich für folgende Umformung nutzen: Umformung: Ausklmmern ller Elemente ij einer bestimmten Zeile i oder einer Splte j Beispiel für die Determinnte der Mtri: Ausklmmern ller Elemente der Zeile i + ( ) + ( ) + ( ) + Anloges Beispiel: Ausklmmern ller Elemente der Splte j ( ) + ( ) + ( ) Definition: Die in den Termen neben ij verbleibenden Fktoren heißen o-fktoren ij

5 Entwicklung einer Determinnte nch o-fktoren Die für die Mtri vorgenommene Umformung lässt sich für jede n n Mtri wie folgt verllgemeinern: n A i ij ij i,...n oder n A j ij ij (Entwicklung nch Splte j) (Entwicklung nch Zeile i) Wie lssen sich die jeweiligen o-fktoren bestimmen? j,...n ij (-) i+j j i ij n nj Minor n in Streichen Sie die Zeile i und die Splte j der Determinnte A Sie erhlten den Minor M ij Multiplizieren Sie den Minor M ij mit (-) i+j Quelle: Sdseter, Hmmond Mthemtik für Wirtschftswissenschftler Kpitel 6.5, 004, Person

6 o-fktoren Mtri und djungierte Mtri Definition : Die o-fktorenmtri bezeichne jene Mtri, die lle Elemente ij der Mtri A mit dem entsprechenden o-fktor ij ersetzt Definition : Die trnsponierte o-fktorenmtri werde ls djungierte Mtri von A, dj A bezeichnet T dja

7 Allgemeine Formel für die Inverse Definition: A A dj( A) Für eine Beweisführung siehe hing & Winwright (005), Fundmentl Methods of Mthemticl Economics Kpitel 5.4 Vorgehen zur Ermittlung der Inversen in vier Schritten. Ermittle die Determinnten von A. Ermittle die o-fktoren ller Elemente von A und definiere die o-fktoren-mtri. Trnsponiere die Mtri, um dj A zu erhlten 4. Bilde den Quotienten us dj A und det(a)

8 Hwkins-Simon Bedingungen Gibt es zu einem gegebenen Leontief-Sstem eine Lösung mit positivem Aktivitätsvektor? Hwkins-Simon Bedingungen postulieren Eigenschften der Leontief-Mtri, die einen positiven Aktivitätsvektor ls Lösung grntieren Eine der 4 Bedingungen (siehe Vorlesungsprotokoll): Definition:. Bezeichne die Determinnte einer n n Mtri A ls den (links oben) Huptminor nter Ordnung Positive links-oben Huptminoren Beispiel Mtri Huptminor dritter Ordnung. Bezeichne die Determinnte die durch Streichen von Zeile n und Splte n des Huptminors nter Ordnung entsteht ls (links oben) Huptminor der Ordnung n Huptminor zweiter Ordnung. Bezeichne die Determinnte, die durch Streichen von Zeile n und Splte n des Huptminors der Ordnung n- ls (links oben) Huptminor der Ordnung n 4. Huptminor erster Ordnung