Optimieren nicht nur mit Differentialrechnung!

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1 HANS HUMENBERGER Einleitung Im Auftz Dynmiche Betrchtungen zu einer beknnten Aufgbe über d flächengrößte, rechteckige Gehege unter Einbindung vorhndener Muern (in dieem Heft) wurden zwei Sätze im Themenkrei de ioperimetrichen Problem für Rechtecke behndelt und begründet, hier nicht in geometricher, ondern in lgebricher Formulierung: Stz : Ein Produkt x y vribler (nichtnegtiver) Fktoren x bzw. y mit kontnter Summe x y c it genu dnn mximl, wenn diee Fktoren gleich groß ind, wenn lo c jeder Fktor x y beträgt. Der Wert c entpricht dbei dem kontnten, hlben Rechteckumfng. Stz : Eine Summe x y vribler nichtnegtiver Summnden x bzw. y mit kontntem Produkt x y c it genu dnn miniml, wenn diee Summnden gleich groß ind, wenn lo jeder Summnd x y c beträgt. Der Wert c entpricht dbei dem kontnten Rechteckflächeninhlt. Diee Sätze len ich uch leicht uf mehr l zwei Fktoren bzw. Summnden übertrgen [iehe z. B. HUMENBERGER ]. Dnn teht dmit eine Optimierungtechnik zur erfügung, mit der chon deutlich vor der Differentilrechnung die meiten (icher mehr l drei iertel) chulüblichen Extremwertufgben gelöt werden können. Dmit könnte der Chrkter de Optimieren l Fundmentle Idee der Mthemtik deutlicher werden. Wenn nämlich nur einml chwerpunktmäßig im Curriculum optimiert wird (eben mit Differentilrechnung in Kle ), dnn knn bei dieem Them kein roter Fden im Curriculum erknnt werden, w ber für eine Fundmentle Idee nötig wäre. E gibt zu Alterntiven chon zhlreiche Publiktionen [SCHUPP 99, SCHUPP 997, DANCKWERTS/OGEL, HUMENBERGER, OGEL, etc.], in denen viele Beipiele behndelt werden zum Them Elementre Methoden de Optimieren (chon vor Differentilrechnung). In dieem kurzen Auftz ollen weitere Beipiele zu einer Methode gebrcht werden, die uch in den Klen 9 und nwendbr it und deutlich mächtiger it l die Methode Prbelcheitel (diee it j nur bei qudrtichen Funktionen nwendbr). Die folgenden Beipiele ind l Extremwertufgben keineweg neu, e oll dmit nur gezeigt werden, d diee eben mit unerer Methode gelöt werden können. E lohnt ich, im Unterricht uf diee Methode einzugehen, ie it kein Einzeltrick, ondern uf viele Aufgben (Situtionen) nwendbr und durch ie knn d Optimieren einen höheren Stellenwert im Curriculum bekommen, w ihm durchu gebührt! Für weitere fchdidktiche Anlyen zu dieem Them ei uf HUMENBERGER verwieen. Dbei it e oft nötig, die Zielfunktion entprechend zu mnipulieren, od eine der oben erwähnten Stndrditutionen vorliegt (uch mehr l zwei Opernden): Produkt von Fktoren mit kontnter Summe, oder Summe von Summnden mit kontntem Produkt. MU-5

2 Hn Humenberger Erlubte Mnipultionen ind dbei z. B. d Addieren von Kontnten, d Multiplizieren mit poitiven Kontnten, d Qudrieren oder Wurzelziehen bei nichtnegtiven Funktionen (lle diee Opertionen verändern die Stelle de Extremum nicht, iehe z. B. den Auftz Die zweite Ableitung bei Extremwertufgben ein hrtnäckige, chulübliche Ritul, in dieem Heft). Diee Mnipultionen zur ereinfchung von Zielfunktionen werden uch bei der Methode mit Differentilrechnung ngewndt, ind lo nicht prinzipiell neu für Schüler/innen, und zu ihrer Legitimtion brucht mn Differentilrechnung nicht. Beipiele Beipiel : Einem Hlbkrei (Rdiu R) it d flächenkleinte, rechtwinklige Dreieck umzuchreiben, od der Kreidurchmeer uf der Hypotenue liegt (Abb. ). Mn erhält l zu minimierende Zielfunktion A xr yr R Min. Hier drf mn zur ereinfchung durch R dividieren und dnn R ubtrhieren: x y Min, chließlich multiplizieren wir noch mit : x y Min. Aufgrund der ähnlichen Dreiecke ergibt ich minimierende Funktion x : R R : y y R x und dmit l zu x Min, hier liegt eine Summe mit kontntem Produkt vor R x Abb. : Rechtwinklige Dreieck um einen Hlbkrei (Stndrditution). Gleichheit der beiden Summnden herrcht bei R x x R y x. D optimle, rechtwinklige Dreieck it lo d rechtwinklig-gleichchenklige. Hiermit liegt uch gleich ein Beipiel vor, bei dem eine gute erbindung zur Differentilrechnung gegeben it, denn d nloge, umfngkleinte, rechtwinklige Dreieck lät ich uf diee Art nicht betimmen, dzu wird mn wohl uf die Differentilrechnung wrten (e ergibt ich dbei übrigen delbe rechtwinklig-gleichchenklige Dreieck l Löung). Durch olche verbindenden bzw. trennenden Apekte werden erbindungen ichtbr, die den Unterricht und d Optimieren l Fundmentle Idee bereichern können. Beipiel : Einem Qudrt mit Seitenlänge it d flächenkleinte, gleichchenklige Dreieck umzuchreiben (eine Qudrteite oll uf der Bi de gleichchenkligen Dreieck liegen, vgl. Abb. ). Wie ind Bi und Höhe diee Dreieck zu wählen? Mn erhält l zu minimierende Zielfunktion A x h Min. MU-5 5

3 Abb. : Gleichchenklige Dreieck um ein Qudrt Aufgrund der ähnlichen Dreiecke ergibt ich x h x und : : h dmit in der Zielfunktion h h h h A h Min h Min h Min h Min. Wir hben wieder eine Summe, deren Summnden kontnte Produkt hben (Stndrditution). Die Löung der Gleichung h h ergibt h und dmit ergibt ich x. E hndelt ich dbei lo um jene Dreieck, deen Bilänge gleich der Höhe it ( ). Auch hier it d Pendnt de entprechenden umfngminimlen Dreieck nicht uf diee Art zu bekommen ( Differentilrechnung). Bemerkenwert hierbei it, d diee umfngminimle Dreieck weder d flächenminimle noch d gleicheitige noch d gleichchenklig-rechtwinklige it, e it eine mit Biwinkel c. 6, (lo ft d gleicheitige). Beipiel 3: D olumen einer drehzylindrichen Doe ei vorgegeben. Wie ollen Rdiu und Höhe gewählt werden, od die Oberfläche möglicht klein it? Beknntlich ergibt ich der gleicheitige Drehzylinder (Durchmeer = Höhe) l Löung: O r r h ( r rh) Min Auf die multipliktive Kontnte knn mn verzichten: r r rh Min Mit r h h erhält mn l zu minimierende Zielfunktion r Min. r Hier hben wir leider kein kontnte Produkt der beiden Summnden, d r im Nenner von it zu chwch dfür, ber diee Schwäche lät ich leicht beheben, indem mn r r mit einer eigenen Hälfte zweiml nchreibt: r r r Min Nun hben wir zwr drei Summnden, ber d gewünchte, kontnte Produkt!. r Für welchen Wert von r ind lle drei Summnden gleich? r r 3 Setzt mn die in h ein, o ergibt ich h 3, wobei h r gilt (gleicheitiger Drehzylinder). r 6 MU-5

4 Hn Humenberger Beipiel : Ein Hu mit Breite b oll ein Giebeldch erhlten. Bei welchem Neigungwinkelmß de Giebeldche fließt d Wer von A nch B in der kürzeten Zeit b (vgl. Abb. 3, die Reibung oll vernchläigt werden)? Hier it zunächt zu erkennen, d die Bechleunigung der Wertropfen m Dch durch g in gegeben it. Wenn d nicht in der Abbildung o wie in Abb. 3 ngegeben it, it diee Aufgbe l entprechend chwieriger einzutufen, geht dfür mehr in Richtung Modellieren. Abb. 3: Giebeldch eine Hue De Weiteren mu mn hier wien (evtl. uch l Hinwei für Schüler/innen formulieren): Für die Strecke, die bei gleichmäßig bechleunigter Bewegung (Bechleunigung ) in der Zeit t zurückgelegt wird, gilt: t t. Die Zeit t für d Ablufen de Regenwer it genu dnn miniml, wenn e b co t it. Die zurückzulegende Streckenlänge it beim Dch AB. Die eingeetzt in die Zielfunktion b gin co für t ergibt mit = g in die zu minimierende Funktion t Min. Hier kommt e uf die Kontnte b nicht n, od mn ich uf inco Min in co Mx konzentrieren knn. Nun gibt e mehrere Möglichkeiten, ohne Differentilrechnung weiterzumchen: Mit der Doppelwinkelformel beim Sinu mn den Fktor ignorieren: g in co in Mx, wieder knn in Mx 5. Wenn mn diee Doppelwinkelformel nicht prt ht, o knn mn co in verwenden: in co in in Mx Qudrieren liefert in in Mx. D it ein Produkt mit kontnter Summe der Fktoren, d. h. d Mximum erhält mn bei Gleichheit der Fktoren in 5. MU-5 7

5 Beipiel 5: In eine kugelförmige e u Holz vom Rdiu R wird ein drehzylinderförmiger Gleintz mit größtem olumen eingerbeitet. Berechnen Sie die Mße d, h de optimlen Drehzylinder in Abhängigkeit de Kugelrdiu R (Abb. ). D zu mximierende olumen it d ( d, h) h Mx. Hier knn mn die multipliktive Kontnte vernchläigen und benutzen, d d R h gilt. Dmit erhält mn l zu mximierende Abb. : Aubohren einer Holzkugel Zielfunktion R h h Mx. Hier drf mn qudrieren (d die hier ngezeigt it, knn mn drn ehen, d ddurch u dem lleintehenden h ein h wird, und die it j nötig, wie mn in der Klmmer ehen knn; mn will j irgendwie uf eine kontnte Summe hinu): R h R h h Mx Durch eine Multipliktion mit erhlten wir eine Stndrditution: Produkt dreier Fktoren mit kontnter Summe: R h R h h Mx [Summe der Fktoren = 8R = kontnt!] Für welchen Wert von h ind lle drei Fktoren gleich? Dfür mu die Gleichung R h h gelöt werden: 3 h R,5 R d R h R R R bzw. d R,63 R Abb. 5: Drehzylinder mit Achenchnitt Beipiel 6: Der Achenchnitt eine Drehzylinder (Abb. 5) oll ein Rechteck mit Umfng 6cm ein. Wie it der Rdiu de Drehzylinder zu wählen, wenn er mximle olumen hben oll? Au der Umfngbedingung h r 6 erhält mn ofort h 3 r. Setzt mn die in die olumenformel r h ein, o erhält mn l zu mximierende Funktion (die Kontnte knn weggelen werden) r 3 r Mx. Hier it die Summe der beiden Fktoren leider nicht kontnt, ber hier hilft eine geringfügig ndere Schreibweie: r r 3 r Mx, hier it dnn die Summe der drei Fktoren kontnt. Alle drei Fktoren ind gleich, wenn r 3 r r it. Beipiel 7: E oll ein Turm mit qudrticher Grundfläche und pyrmidenförmigem Dch gebut werden. D Dch oll einen Fungrum von m3 hben und die Dchfläche oll dbei miniml ein. Wie oll der Turm dfür konzipiert werden (Seitenlänge de Grundqudrte, Höhe h der Dchpyrmide)? 8 MU-5

6 Hn Humenberger h 3 3. Au der olumenbedingung ergibt ich unmittelbr h Der Inhlt der Dchfläche ergibt ich zu h Min, wobei h die Höhe eine Dchdreieck it. Diee ergibt ich mit Pythgor (vgl. Abb. 6) zu h h, w mn in die zu minimierende Zielfunk- tion einetzen knn: h Min. Hier drf mn zur ereinfchung durch dividieren und nchließend qudrieren, od mn h Abb. 6: Querchnitt der Dchpyrmide 3 Min erhält. Hier etzen wir noch h ein und erhlten chließlich 9 Min. Leider it d Produkt dieer zwei Summnden nicht kontnt, mn knn die ber leicht erreichen: 5 5 Min, dmit it d Produkt der jetzt drei Summnden kontnt und mn knn leicht berechnen, für welchen Wert von lle drei Summnden den gleichen Wert hben: ,5 m. Die zu- gehörige Pyrmidenhöhe beträgt h 5,3 m. 3 Mn könnte diee Serie n Beipielen chier nch Belieben fortetzen, nur wenige chulübliche Extremwertufgben len ich finden, die nicht mit dieer Methode entprechend vor Kle gelöt werden könnten. Dmit tellt ich die Frge: Wrum diee Aufgben ert o pät behndeln (mit Differentilrechnung)? Wenn chon vorher Optimierungufgben ihren fet vernkerten Pltz im Curriculum hätten, dnn könnte die Differentilrechnung l beonder mächtige Werkzeug zum Optimieren whrgenommen werden, ozugen l Krönung : D, w bi jetzt noch nicht möglich wr, ht dnn eine Löungmöglichkeit. E wäre n dieer Stelle zu überlegen und ich möchte die nregen und untertützen, d Optimieren tärker l biher l Fundmentle Idee der Mthemtik im Unterricht ichtbr wird, und dfür reichen die Extremwertufgben mit Differentilrechnung (und evtl. ein Anwenden der Formel für einen Prbelcheitel bei qudrtichen Zielfunktionen) nicht. Litertur [] DANCKWERTS, R., OGEL, D. (): Der Themenkrei der Extremwertprobleme Wege der Öffnung. Der Mthemtikunterricht 7, Heft. [] HUMENBERGER, H. (): D Qudrt l optimle Rechteck Optimieren l fundmentle Idee erfhren. In: mthemtik lehren 59 (April ), 5. [3] SCHUPP, H. (99): Optimieren Extremwertbetimmung im Mthemtikunterricht. BI-Wienchftverlg, Mnnheim. [] SCHUPP, H. (997): Optimieren it fundmentl. In: mthemtik lehren 8,. [5] OGEL, D. (): Mximl, miniml, optiml In: mthemtik lehren 59, 3. MU-5 9