Einführungsskripte Numerische Berechnungsverfahren in der Geotechnik

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1 Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel I: Überscht ud Lteraturhwese Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats GmbH Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

2 De klee Skrptrehe, bestehed aus 8 Tele m pdf-format, stellt ee efach verstädlche Eführug für Afäger das Gebet der umersche Berechuge (Smulatoe) der Geotechk dar. Ihalt st es, de wchtgste Begrffe kurz zu umreße sowe praktsche Hwese für de Esatz umerscher Smulatoe ud de Bewertug umerscher Berechugsergebsse zu gebe. Für das vertefede Studum wrd de ute aufgeführte Lteratur oder aber de Telahme a spezelle Kurse empfohle. Das Skrptmateral st ur zum prvate ud tere Gebrauch bestmmt! Ihaltsüberscht zu de Skrpte:. Skrpt: Eletug ud Lteraturhwese. Skrpt: Grudlage Spaugs- ud Deformatostesor Grudregel Tesorrechug Spaugstesor Deformatostesor Glechgewchts- ud Kompatbltätsbedguge. Skrpt: Klassfzerug Berechugsverfahre Räumlche vs. zetlche Dskretserug Netzbehaftete Methode ud etzfree Methode 4. Skrpt: Matr-Stoffgesetze Klassfzerug Grudlage der Elasto-Plastztät Ausgewählte Matr-Stoffgesetze 5. Skrpt: Kluft-Stoffgesetze Geerelle Kluftegeschafte Klassfzerug Ausgewählte Kluft-Stoffgesetze 6. Skrpt: HTM-Koppluge Hydraulsche Gesetze Hydro-mechasche Kopplugsmöglchkete Thermo-mechasche Gesetze ud Koppluge 7. Skrpt: Methodk Besoderhete der Numerk für geotechsche Problemstelluge Numerk m Methodespektrum des Geotechkers Kozeptoelles Modell Numersches Modell 8. Skrpt: Praktsche Hwese Afags- ud Radbedguge Veretzugsregel ud -techke Modellgröße Kotuum vs. Dskotuum / Maßstabseffekte D vs. D Besoderhete e dyamsche Berechuge Netzabhäggket m Nachbruchberech Parallelserug Wchtge Term Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

3 Lteraturhwese: Mechak ud Numerk - allgeme: Gross, D. u. a. (): Techsche Mechak , Sprger Verlag Becker, W. u. a. (): Mechak elastscher Körper ud Strukture, Sprger Verlag Yu, M.-H. u. a. (6): Geeralzed Plastcty, Sprger Verlag Backhaus, G. (98): Deformatosgesetze, Akademe Verlag Fug, Y. C. (): Classcal ad Computatoal Sold Mechacs, World Scetfc Da Slva, V. D. (6): Mechacs ad Stregth of Materals, Sprger Verlag Ottose, N. S. (5): The Mechacs of Costtutve Modelg, ELSEVIER Zekewcz, O.C. (99): Methode der fte Elemete, Haser Fachbuchverlag Lteraturhwese: Geotechk ud Numerk - spezell: Che, W. F. (98): Nolear Aalyss Sol Mechacs, ELSEVIER Jg, L. u. a. (7): Fudametals of Dscrete Elemet Methods for Rock Egeerg, ELSEVIER Wood, D. M. (4): Geotechcal Modellg, Spo Press Hudso, J.A. (99): Comprehesve Rock Egeerg, Vol. -5, Pergamo Press Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

4 Lteraturhwese: Ausgewählte Zetschrfte: It. J. Rock Mechacs ad Mg Sceces, Elsever Computers ad Geotechcs, Elsever Graular Matter, Sprger Verlag Acta Geotechca, Sprger Verlag Rock Mechacs ad Rock Egeerg, Sprger Verlag It. J. Numercal ad Aalytcal Methods Geomechacs, Joh Wley & Sos Tuelg ad Udergroud Space Techology, Elsever Lteraturhwese: Ausgewählte Proceedgs: Sasbury, D. et al. (): Secod Iteratoal FLAC/DEM Symposum o Numercal Modelg, ICG, USA Detouray, Ch. et al. (8): Frst Iteratoal FLAC/DEM Symposum o Numercal Modelg, ICG, USA Varoa, P. et al. (6): Fourth It. FLAC Symposum o Numercal Modelg Geomechacs, ICG, USA Koetzky, H. (4): Numercal Modelg of Dscrete Materals, Taylor & Fracs Shmzu, Y. et al. (4): Numercal Modelg Mcromechacs va Partcle Methods, Taylor & Fracs Adreu, P. et al. (): FLAC ad Numercal Modelg Geomechacs, Taylor & Fracs Bllau, D. et al. (): FLAC ad Numercal Modelg Geomechacs, Taylor & Fracs Koetzky, H. (): Numercal Modelg Mcromechacs va Partcle Methods, Taylor & Fracs Detouray, Ch. (999): FLAC ad umercal Modelg Geomechacs, Taylor & Fracs De Vorträge bzw. Proceedgs köe kostefre herutergelade werde: Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

5 Sehr detallerte Beschrebuge zur Theore, der praktsche Awedug sowe dem Umgag mt geotechscher Numerk-Software fde sch de mehrbädge Hadbücher zu de ezele Software-Produkte der Frma ITASCA: FLAC/FLAC D (Kotuumsmechak auf Bass der eplzte ud mplzte FDM ud FEM), UDEC/DEC (Dskrete Elemete Methode) sowe PFC/PFC D (Partkelsmulato). Zusamme mt de Studeteversoe der Programme (Versoe mt voller Fuktoaltät, aber begrezter Elemetazahl) lasse sch dese für ede Iteressete kostefre vo der Homepage heruterlade ud utze. Wetere Iformatoe fde sch auch uter: Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

6 Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel II: Spaugs- ud Deformatostesor Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats GmbH Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

7 . Eletug Alle umersche Berechuge müsse de folgede grudlegede Bezehuge geüge bzw. berückschtge: Glechgewchtsbedguge Kompatbltätsbedguge Stoffgesetz De Kopplug zwsche de Spauge ud de Deformatoe erfolgt über das Stoffgesetz, auch kosttutve Bezehug geat. Spauge ud Deformatoe werde dabe durch Tesore. Stufe gebldet. Das Stoffgesetz wrd durch ee Tesor 4. Stufe bzw. etsprechede fuktoale Zusammehäge beschrebe. Für statsche Problemstelluge ohe Dskotutäte müsse ere ud äußere Kräfte so blazert se, dass se sch m Glechgewcht befde ud de Verschebuge müsse mt de Deformatoe eer solche Bezehuge stehe, dass de Kompatbltätsbedguge erfüllt sd. Das folgede Schema llustrert das Zusammewrke deser Kompoete, wobe de achfolgede Kaptel de ezele Größe äher erläutert werde. ere + äußere Kräfte F I, F A Verschebuge u Glechgewchtsbedguge Kompatbltätsbedguge Spauge Stoffgesetze Verzerruge Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

8 . Vorbemerkug zu Tesore Verefacht köe Tesore als spezelle mehrdmesoale Matrze bezechet werde, de bestmmte Egeschafte bestze. Für de Geomechak sd sbesodere de Trasformatosegeschafte vo Bedeutug (Trasformatosalgebra). Es estere verschedee Darstellugsforme für Tesore (Matrze), z. B.: - mttels Idzes: phys. Bespel a Skalar = Tesor. Stufe Wert Dchte a Vektor = Tesor. Stufe Werte Verschebug a Dyade = Tesor. Stufe 9 Werte Spaug a k Trade = Tesor. Stufe 7 Werte - a kl = Tesor 4. Stufe 8 Werte Stefgketsmatr - mttels uterschedlcher Klammer: a Skalar a Vektor = Tesor. Stufe a Dyade = Tesor. Stufe a = Tesor 4. Stufe - mttels Zeche über Symbole: a Skalar a Vektor = Tesor. Stufe a Dyade = Tesor. Stufe a = Tesor 4. Stufe Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

9 . Besodere Tesore Ege häufg verwedete Tesore, de sbesodere be Trasformatoe Verwedug fde, werde teratoal ehetlch defert: Ehetstesor oder Kroecker-Symbol (.-) mt für = (.-) für (.-) Der Ehetstesor st vollstädg symmetrsch. Permutatossymbol (Epslo - Tesor = Lev-Cvta-Symbol) k = we k gerade Permutato vo,, - we k ugerade Permutato vo,, we mdestes Idzes glech sd (kee Permutato) gerade Permutato = Komposto eer gerade Azahl vo -er Zykle Bsp. gerade Permutato ( Zykle) Der -Tesor st vollstädg atsymmetrsch = = = - = - = - = (.-4) alle adere Elemete sd glech Null! Nulltesor alle Elemete sd Null, z. B. a (.-5) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

10 . Bespele Im Folgede werde eemplarsch efache Tesoroperatoe vorgestellt:. Trasformato vo Vektore ' a ' a cos, ' (.-6) (.-7) a Trasformatosmatr. Elastsches Stoffgesetz Ekl kl (.-8). Iverse bzw. traspoerte Matr a T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (.-9) 4. Austauschregel a a k = Kroecker-Symbol (.-) k k Wechsel der Idzes: vo k auf oder z.b: total effektv p 5. Abletuge (Dfferetalquotete) u, u (.-) 6. Estesche Summatoskoveto (über gleche Idzes wrd summert) a = a + a + a (.-) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

11 7. Addtosregel Summetesor (ur Tesore gleche Formats köe addert bzw. subtrahert werde) a.. + b.. = s.. (.-) a + b = s (.-4) 8. Produktregel Produkttesor (alle Elemete des Lksfaktors m-ter Stufe werde uter Beachtug der Rehefolge mt alle Elemete des Rechtsfaktors -ter Stufe multplzert, d. h. de Multplkato ees Tesors m-ter Stufe mt eem Tesor -ter Stufe ergbt ee Tesor (m + ) -ter Stufe) Beachte: Das Produkt zweer Tesore st. d. R. cht kommutatv! a... b... m a b p p m (.-5) 9. Überschebug Überschebug etsteht, we bem Produkt zweer Tesore e Ide des Lksfaktors glech eem Ide des Rechtsfaktors st. Ee Überschebug eredrgt de Stufe des Produkt-Tesors um. a a k b b q c c kq (.-6). Verügug Werde e ud demselbe Tesor der Stufe zwe Idzes glechgestellt, so sprcht ma vo Verügug. De Stufe des Tesors eredrgt sch dabe um. ak b k (.-7) Das gleche Ergebs erhält ma durch Überschebug mt dem Kroecker-Symbol: a k b K (.-8) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

12 4. Der Spaugstesor Belastuge resultere aus äußere Kräfte F A (Flächekräfte) ud ere Kräfte F I (Volumekräfte) gemäß Abb..-. Abb..-: Körper mt Volume- ud Flächekräfte Für ee belebg oreterte Schtt erhalte wr de Spaugsvektor t, wobe vorausgesetzt wrd, dass ur Kräfte ud kee Momete übertrage werde. t lm A F A (.-) Gemäß Abbldug.- lässt sch der Spaugszustad eem kartessche Koordatesystem darstelle. Abb..-: Spaugskompoete am Würfel Auf de dre Schtte des Würfels erhalte wr dre Spaugsvektore t, t, t : t I ausführlcher Form: wobe {,, } de Spaugskompoete der ewelge Würfelfläche (Abb..-) darstelle. (.-) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7

13 y z T t, t, t y yy yz (.-) z zy zz Der erste Ide gbt de Normalerchtug der Bezugsebee a, der zwete Ide de Wrkugsrchtug der Spaugskompoete. Gemäß Glechug.- hat der Spaugstesor 9 Elemete. We ma uterstellt, dass de Summe der Momete glech Null st, so erhält ma paarwese gleche Schubspauge (Boltzma-Aom) (Abb..-): M M M y z yz y z yz l 4l l 4l l 4l y z zy l 4l l 4l l 4l y z yz y z zy (.-4) yy y l y y y yy Abb..-: Glechgewchtsbetrachtug am Volumeelemet (D, -y-ebee) Aus (.-) folgt, dass der Spaugstesor symmetrsch st, das heßt: bzw. T (.-5) Damt reduzert sch der Spaugstesor vo 9 auf 6 Größe (paarwese gleche Schubspauge = Ausschluss vo Rotatoe). Der Zusammehag zwsche Spaugsvektor ud Spaugstesor ergbt sch auf der Bass der Glechgewchtsbedguge Rchtug der Koordate (Abb..-4): cos, (.-6) da = da (.-7) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 8

14 = Ehetsormalevektor Abb..-4: Spaugstesor ud Spaugsvektor t da t t da da da da da da da da da da da (.-8) Uter Nutzug vo (.-6) ud (.-7) verefacht sch.-8 zu: t t t (.-9) (.-9) lässt sch tesorell we folgt schrebe: t T (.-) Glechug.- dokumetert de Glechhet zugeordeter Schubspauge. Der so beschrebee Tesor. Stufe wrd auch als Cauchy scher Spaugstesor oder auch wahrer Spaugstesor oder auch Eulerscher Spaugstesor bezechet. Bem Cauchy sche bzw. Eulersche Spaugstesor wrd der aktuelle Kraftvektor auf das aktuelle (deformerte) Flächeelemet bezoge. df da F : aktueller Kraftvektor A : aktuelles Flächeelemet da = da (.-) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 9

15 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! Alteratv dazu ka ma de aktuelle Kraftvektor F auch auf das Ausgagsflächeelemet A (d.h. vor der Deformato!) bezehe. Dese Spaugstesor bezechet ma auch als Nespaugstesor, Lagragesche Spaugstesor oder. Pola-Krchhoff-Tesor T : da T df (.-) Der Spaugstesor lässt sch Normal- ud Scherkompoete zerlege (: Normalevektor; m: Tagetevektor). Dabe glt (sehe Abbldug.-5): t (.-) bzw. m t m (.-4) Ausführlch bedeutet des: (.-5) Aus (.-5) folgt z. B.: Für de Scherspaug bedeutet des: m m m m m m m m m (.-6)

16 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! Aus (.-6) folgt z. B.: ; m ; m We m, da ; m m t. m Abb.:.-5: Zerlegug des Spaugsvektors t Normal- ud Schubspaug Dabe glt stets: = bzw. m m = Betrachte wr u ausgesuchte Rchtuge, dee es ur ee Normalspaug, also kee Scherspaug, gbt. Für solch ee Kostellato glt: t = bzw. t = (.-7) mt kezechet de Hauptspaugsrchtug (.-8)

17 Durch Glechsetze der bede Ausdrücke (.-7) erhält ma: = bzw. ( - ) = (.-9) Glechug.-9 beschrebt e Egewertproblem mt de Egewerte ud. Für de chttrvale Lösug muss de Koeffzetedetermate vo (.-9) verschwde: det ( - ) = bzw. (.-) (.-) De Lösug vo.- führt auf ee charakterstsche Glechug. Grades: I I I (.-) wobe glt: I (.-) KK I I det KK K K KK (.-4) (.-5) De Werte I, I, I werde Haupt-Ivarate (I : erste Haupt-Ivarate, I : zwete Haupt-Ivarate, I : drtte Haupt-Ivarate) des Spaugstesors geat, d. h., se sd uabhägg vo Äderuge des Koordatesystems (Traslato, Rotato). Nebe dese Haupt-Ivarate gbt es och de so geate Grud- Ivarate, de als spezelle Telmege der Haupt-Ivarate agesehe werde köe: Se laute: Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

18 J J J kk I k I I k I I I I (.-6) Nebe der kartessche Darstellug st auch ee Darstellug Form der Hauptspauge möglch: I = + + (.-7) I = + + (.-8) I = (.-9) Ee teressate Zerlegug des Spaugstesors st möglch, dem ma ee mttlere Hauptspaug defert: KK (.-) wrd auch als hydrostatscher Spaugszustad oder Kugeltesor bezechet. Der Spaugstesor lässt sch u folgedermaße schrebe: s (.-) I Matrschrebwese lautet des: (.-) s s s s s s s s s s wrd als devatorscher Spaugsatel bezechet. Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

19 Sowohl für de Kugeltesor als auch de Spaugsdevator lasse sch de Ivarate agebe. Für de Kugeltesor laute de Haupt-Ivarate: I I I De Grud-lvarate laute: J J J Für de Devator laute de Haupt-Ivarate: I skk (.-) (.-4) D (.-5) D s s s s I D I det s s s s kk s s k s k s s s kk (.-6) (.-7) Für de Devator laute de Grud-lvarate: J D kk s (.-8) J D s s 6 6 (.-9) J D s sk sk (.-4) Weterh häufg verwedet werde de der Oktaederebee legede Spauge. De Oktaederebee etsteht, dem der Normalevektor mt der Raumdagoale (hydrostatsche Achse) zusammefällt. De Hauptspauge wrke -, - ud -Rchtug ud es glt: Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

20 t arc cos 54, 7 t,, Abb..-6: Darstellug der Oktaederspauge Der Spaugsvektor t st durch see Hauptspaugskompoete, ud bestmmt. Bezüglch der Normale auf der Oktaederebee hat der Spaugvektor t folgede kartessche Kompoete: N t (.-4) De Proekto ud Summato deser Kompoete auf de Vektor (hydrostatsche Achse) bldet de Oktaederormalspaug: OCT (.-4) De Oktaederormalspaug st also detsch mt dem Kugeltesor (mttlere Normalspaug). De Subtrakto der Oktaederormalspaug vo de Hauptspauge führt zu de Devatorspauge: s = - s = - (.-4) s = - Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

21 Dese Devatorspauge werde ebefalls als kartessche Kompoete bezüglch der Oktaederebee dargestellt: s s s s s t t (.-44) s t De vektorelle Addto führt zur Oktaederschubspaug: OCT t t t s s J s D s s s s s (.-45) Ee ebefalls häufg verwedete Größe st de Verglechsspaug ach vo-mses F. Se basert auf dem vo hm etwckelte Festgketskrterum, das de eaale Fleßspaug F mt dem Spaugsdevator verküpft: D F J (.-46) Daraus folgt: D F J s s (.-47) bzw. OCT F F (.-48) Hauptspauge ud Hauptspaugsrchtuge Der Spaugstesor als symmetrsch learer Operator hat de Egeschaft, dass er dagoalsert werde ka, d. h., es estert ee Oreterug m Raum, be der be dre sekrecht aufeader stehede Fläche de Normalspauge Etremwerte aehme (= Hauptormalspauge) ud glechzetg de Schubspauge verschwde. Damt sd ur de Elemete der Spur des Tesors besetzt: (.-49) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

22 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7 De de Fläche zugehörge Spaugsvektore falle bezüglch der Rchtug mt dem Normalevektor zusamme ud bestze daher ur ee Kompoete. Damt glt für de Spaugsvektor auf der betrachtete Fläche: t bzw. t m t l t (.-5) Der Ehetsormalevektor m, l, beschrebt de Hauptormalspaugsrchtug. Glechzetg glt für ee Ehetsormalevektor geerell: m l (.-5) Quadrert ma Glechug.-5, so erhält ma: t m t l t (.-5) bzw. t t m t l (.-5) De Addto der Glechuge.-5 lefert uter Beachtug der Bezehug.-5: t t t (.-54) Glechug.-54 etsprcht der Glechug ees Ellpsodes Hauptachseform, d.h. de Werte, ud stelle de Halbachse des Ellpsodes dar. De Oberfläche des Ellpsodes stellt de Mege aller möglche Spaugsvektore dar. Sd

23 zwe der Hauptspauge glech, so etsteht e Rotatoslellpsod. We alle Hauptspauge glech sd (sotroper Spaugszustad), so etsteht ee Kugel. Abb..-7: Spaugsellpsod (We ewels eer der Ehetsormalevektore Null wrd, so etstehe Spaugsellpse.) I der Geomechak, sbesodere der Bodemechak, habe sch och spezelle Darstelluge uter Verwedug der Devatorebee (sehe Abb..-8) durchgesetzt. arccos cost. Devatorebee t h T ( s Hydrostatsche Achse Abb..-8: Zerlegug des Spaugsvektors m Hauptspaugsraum t = Spaugsvektor zum Spaugspukt T (.-55) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 8 (.-56)

24 h s s D s s J Auf der Devatorebee glt: cost. (.-57) De Devatorebee durch de Koordateursprug wrd auch als -Ebee bezechet. ' T ' ' Abb..-9: Darstellug des Lode-Wkels θ der -Ebee J Es glt : cos J arccos D D ( J J D D ) (.-58) (.-59) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 9

25 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! Abb..-: Darstellug des Lode-Wkels m Hauptspaugsraum I der Geotechk werde häufg folgede abgewadelte Ivarate verwedet: Roscoe-Ivarate p ud q ud Lode-Wkel θ. ) ( arccos : D D D J J J q p glt Dabe Für de Traalversuch ergebe sch da folgede Ausdrücke: 6 ) 6 arccos( ) ( s s s s s q p (.-6) (.-6) (.-6) (.-6) (.-64) (.-65)

26 5. Der Deformatostesor Für de Koordate ees Puktes m Ausgags- bzw. deformerte Edzustad gbt o o o es folgede verse Bezehuge: ud De Defto des Deformatostesors ka zwe Systeme erfolge:. Bezug auf das udeformerte Ausgagssystem (= Lagragesche Betrachtugswese), d. h., u st Fukto der Ausgagskoordate u u (.-). Bezug auf das deformerte Edsystem (= Eulersche Betrachtugswese), d. h., u st Fukto der Edkoordate. ~ u u (.-) P P u Lagrage u P P Euler Abb..-: Euler sche ud Lagrage sche Betrachtugswese der Deformatoe Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

27 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! De allgemee Defto des Deformatostesors lautet: K K L (Lagrage) (.-) K K E (Euler) (.-4) Mt Hlfe der Gradetetesore (= Verschebugsgradete) u bzw. u ka der Deformatostesor we folgt defert werde:. Lagrage : u u (.-5) K K K K K L K u u u u u u (.-6). Euler : u u (.-7) K K K K E K u u u u u (.-8)

28 Zur Verdeutlchug des Uterschedes Euler - Lagrage: a) Lagrage gleche Netzkote, aber adere geografsche Koordate B (, 4) A (, ) B (, 4) A (, ) orgal deformert b) Euler eue Netzkote, aber alte geografsche B (, 4) Koordate A (, ) B (, ) A (, ) orgal deformert Währed be Lagrage das Netz de Deformatoe folgt ud sch der eue Form apasst, fleßt das Materal be Euler durch das starre Netz. Nebe dem Verschebugsgradete ud dem Deformatostesor bestzt der Deformatosgradet F fudametale Bedeutug: F L F bzw. F E F ( ) (.-9) Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

29 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4 Der Deformatosgradet st e Tesor. Stufe. Er bldet de Leelemetvektor ds (Ausgagskofgurato) auf de Leelemetvektor s d (aktuelle Kofgurato) ab. Dabe werde stets de bede reelle materelle Pukte betrachtet (Abb..-). y Bahle d s d s Abb..-: Darstellug der Deformatosgradete Dabe glt: ds F ds bzw. (.-) ) ( ds F ds Der Deformatoszustad lässt sch geeurmäßg gemäß (.-6) besser we folgt defere: K K K K L K G u u u u (.-) bzw. gemäß (.-8): K K K E K K A K u u u u u (.-)

30 De Ausdruck.- bezechet ma auch als Greesche Deformatostesor, de Ausdruck.- als Almassche Deformatostesor. I der Igeeurpras wrd mest der Greesche Deformatostesor verwedet, wobe das quadratsche Gled << ). Damt lautet der verefachte De- verachlässgt wrd (Aahme, dass formatostesor (Gree): u u u (.-) Der Deformatostesor.- lässt sch we folgt erweter, um Rotatoe zu berückschtge: u u u u,, e Verzerrug, w Rotato, (.-4) Abb..-: Darstellug vo Rotato ud Verzerrug (D-Fall) Dabe glt: w w w mt w w (.-5) w w w w w w w w Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

31 e e e e e mt e e (.-6) e e e e e e e e e Damt lässt sch der Deformatostesor we folgt schrebe: bzw. e e e e w w e e w e w e e w w ud w für e (.-7) (.-8) e wrd als Verzerrugstesor bezechet, w als Drehtesor. Es glt weterh: e für (.-9) sd de Schubverformuge. e, e ud e sd de Dehuge bzw. Stauchuge. De Volumedehug v erhält ma we folgt: dv dv v KK (.-) De mttlere Dehug bzw. Stauchug lautet: KK v (.-) I de meste Fälle werde de Rotatoe verachlässgt ud es glt: e e e e e e e e mt e e (.-) e e e e e I völlger Aaloge zum Spaugstesor gbt es auch bem Deformatostesor etsprechede Ivarate: I e e e I (.-) e e e e e e (.-4) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

32 I (.-5) e e e I der Bode- ud Felsmechak müsse oft große Deformatoe berückschtgt werde. Dazu gbt es zwe Möglchkete: A. Awedug des komplette Deformatostesors gemäß.- bzw..- B. Berechug m small stra mode gemäß.-, aber zusätzlch up-date der Koordate gemäß (.-6) Mest wrd de Varate B verwedet. (t t) (t) u (t t ) t (.-6) 6. De Kompatbltätsbedguge (= Verträglchketsbedgug) De Kompatbltäts- oder auch Verträglchketsbedguge regel de Bezehuge zwsche de Verzerrugskompoete so, dass e edeutges reguläres Verschebugsfeld garatert st. Be edeutge Verschebuge dürfe de Verzerruge cht uabhägg voeader se, d. h. se müsse bestmmte Bedguge (= Kompatbltätsbedguge) geüge. Ausgagspukt st der Deformatostesor: u, u, (.4-) Durch -fache Abletug des Ausdruckes (.4-) be etsprechedem Ide- Vertausche erhält ma folgede 4 Ausdrücke:, kl kl, k, l l, k u u u u, kl k, l, kl, lk u u u u, kl l, k k, l l, k (.4-) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7

33 Da de Dfferezatosrehefolge belebg st, erhält ma durch Addto bzw. Subtrakto der Glechuge (.4-) folgede Ausdruck: (.4-), kl kl, k, l l, k Aus Glechug (.4-) lasse sch de 6 Kompatbltätsbedguge agebe, we glt: für,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (.4-4) Etwas aschaulcher lässt sch bespelswese de erste Glechug aus (.4-4) kartessche Koordate so schrebe: y yy y y (.4-5) Geometrsch bedeutet des, dass de. Abletuge der Lägsdehuge bzw. Stauchuge eer bestmmte Relato zur. Abletug der Wkeläderug stehe müsse. Im ebee Verzerrugszustad verschwde alle Verzerrugskompoete der drtte Raumrchtug ud alle Abletuge ach deser Koordate (sehe Glechug.4-4), d. h., es blebt ur Glechug.4-5. Gemäß Glechug (.4-) lässt sch aus de Verschebugskompoete der Deformatostesor edeutg bereche durch Dfferezato. Wll ma edoch umgedreht aus de Deformatoe durch Itegrato de dazugehörge Verschebuge ermttel, so beötgt ma de Kompatbltätsbedguge, um zu gewährleste, dass de Verschebuge das Kotuum cht verletze (Auftreug, Durchdrgug ) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 8

34 Nebe der obe dskuterte techsche Dehug, auch Cauchy-Dehug geat, gbt es och de logarthmsche Dehug (Hecky-Dehug). Bede sd ur be klee Dehuge bzw. Stauchuge ahezu detsch: Techsche Dehug: Logarthmsche Dehug: 7. De Glechgewchtsbedgug Abb..5-: Kräfteglechgewcht am Volumeelemet (F : Volumekräfte) Für e belebges aus dem Körper herausgeschttees Volumeelemet müsse agrefede Kräfte bzw. Momete m Glechgewcht stehe. Es wrd der Regel ageomme, dass der Körper kee Rotatoe ausführt ud daher de Summe der Momete Null st. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 9

35 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! Gemäß der Abbldug.5- glt: ddydz F ddy ddy dz z dzd d dz dy y dydz dydz d F z z z y y y : (.5-) ddydz F ddy dydz d dzdy dy d dz z ddz ddz dy y F y zy y y y zy zy y y y y : (.5-) ddydz F dydz dydz d ddz d dz dy y ddy ddy dz z F z z z z zy zy zy z y z z z : (.5-) De Glechuge.5- bs.5- verefache sch folgedermaße: F z y z y (.5-4) F z y y zy y y (.5-5) F z y z z yz z (.5-6)

36 Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel III: Klassfzerug Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats GmbH Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

37 Aus praktscher Scht st ee Klassfzerug der umersche Berechugsverfahre ach zwe Geschtspukte svoll: ach der räumlche Dskretserug ach der zetlche Dskretserug. Nach der räumlche Dskretserug ka ma uterschede : Netzbehaftete Methode Netzfree Methode - Fte Elemete Methode (FEM) - Fte Dffereze Methode (FDM) - Radelemete Methode (BEM) - Volume Elemete Methode (VEM) - Dskrete Elemete Methode (DEM) - Smooth Partcle Hydrodyamcs (SPH) Nach der zetlche Dskretserug ka ma uterschede : eplzte Methode mplzte Methode Praktsch sd verschedeste Kombatoe zwsche zetlcher ud räumlcher Dskretserug Form vo Berechugsalgorthme realsert, z. B. mplzte FEM, eplzte FEM, eplzte DEM etc. Typsche Vertreter vo der Geotechk agewedete Programmtechke sd Eplzte Fte Dffereze Codes ud Implzte Fte Dffereze Codes. Tabelle zegt m Verglech ege typsche Charakterstka. Charakterserug der umersche Methode: Im Folgede werde de geerelle Vor- ud Nachtele (mt + bzw. gekezechet) der verschedee umersche Berechugsverfahre kurz zusammegefasst: Itegralmethode (BEM Boudary Elemet Method) + efache Veretzug (ur Oberfläche) + eakte Formfeldbeschrebug + mmaler Dskretserugsfehler + hohe Rechegeschwdgket, gerger Specherbedarf + ke Problem mt sguläre Pukte - Problem be Ihomogetäte, Asotrope, Koppluge Dfferezalmethode (FEM Fte Elemet Method, FDM Fte Dfferece Methode, VEM Volume Elemet Method) + geeget für Ihomogetäte, Asotrope, Koppluge, Nchtleartäte + hohe Flebltät für kotuumsmechasche Probleme - höhere Rechezete, höherer Specherbedarf - komplzerte Veretzug - Schwergkete be sgfkate Pukte - Dskretserugsfehler Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

38 Netzfree Methode (DEM Dscrete Elemet Method, SPH Smooth Partcle Hydrodyamcs) + geeget für dskotuumsmechasche Problem + geeget für Bruch- ud Schädgugsmechak + geeget für Partkelsmulato ud Massetrasport + geeget für eakte Abbldug der geometrsche Struktur - sehr lage Rechezete - komplzerter Modellaufbau - komplzerte Parameterbestmmug Aus obger Zusammestellug wrd klar, dass de Radelemete-Methode (BEM) heutzutage ur och gerge Bedeutug für de Geotechk bestzt, da se kaum der Lage st, de wrklch wchtge Phäomee, we Ihomogetäte ud Asotrope sowe Koppluge abzublde. Eplzte Verfahre, we z.b. de Programme LSDYNA, PAM-CRASH, ABAQUSeplct, FLAC, FLAC D, UDEC, DEC, PFC, PFC D verwedet, habe de große Vortel, auch physkalsch stable Prozesse umersch stabl abblde zu köe. So werde de zuvor geate Codes z.b. zur Crash- ud Umformsmulato, zur Abbldug vo verfahrestechsche Prozesse oder Massebeweguge oder auch Bruchprozesse egesetzt. Da vele geotechsch zu modellerede Prozesse auch physkalsch stable Phase, Bruchprozesse ud Materalvermschuge (z.b. Massebeweguge, Iterakto Geogtter Bode etc.) behalte, sd se für de Geotechker besoders geeget. Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

39 Tab. : Eemplarscher Verglech vo eplzte FD ud mplzte FE - Methode Merkmale Eplzte FD Implzte FE Berechugs- bzw. Zetschrtt Operatoe pro Berechugs- bzw. Zetschrtt Rechezet als Fukto der Kotepuktazahl N Qualtät der Elemete Behadlug großer Deformatoe Matrze ud Specherbedarf Behadlug vo chtlearem Materalverhalte Behadlug physkalsch stabler Prozesse Implemeterug vo Stoffgesetze Dämpfug Veretzug vo Bereche mt hohe Spaugsgradete Zetschrtt muss kleer als krtscher Wert (physkalsch begrüdet) se. Wege Recheoperatoe pro Zetschrtt, aber vele Operatoe bs zur Lösug. Für self-smlar Probleme stegt de Rechezet mt N /. Ierhalb der Elemete st ur ee leare Iterpolato möglch. De Behadlug großer Deformatoe erfordert ur mmale zusätzlche Recheaufwad. Es werde kee Matrze aufgestellt, der Specherbedarf st mmal. Kee Iterato ötg, um chtlearem Materalverhalte zu folge. Kee umersche Istabltäte be physkalsch stable Prozesse. Implemeterug vo belebg chtleare Stoffgesetze st umersch stets stabl ud relatv efach. De physkalsche Plausbltät st separat achzuwese. Zum Erreche der stable Lösug st ee globale oder m Materalgesetz ethaltee Dämpfug otwedg. Vele Elemete edrger Ordug. Berechugsschrtt ka uter Wahrug der umersche Stabltät belebg groß se. Vele Recheoperatoe pro Recheschrtt, aber weger globale Operatoe. Für self-smlar Probleme stegt de Rechezet mt N oder N. Höherwertge Elemete erlaube chtleare Asätze erhalb der Elemete. De Behadlug großer Deformatoe erfordert größere zusätzlche Recheaufwad. Matrze werde erzeugt, müsse optmert (Badweteoptmerug) ud gespechert werde. Isbesodere be usymmetrsche Matrze ka der Specherbedarf eorm se. Zusätzlche Iteratosprozesse otwedg, um chtlearem Materalverhalte zu folge. Physkalsche Istabltäte sd ur egeschräkt ud uter hohe umersche Aufwad behadelbar. Notwedgket des Nachweses, dass der Berechugsalgorthmus de Stoffgesetze umersch stabl behadelt ud se eem physkalsch möglche Weg folge. De Implemeterug st komplzerter, z. T. gelgt se überhaupt cht. Statsche Lösuge beötge kee Dämpfug. Wahlwese vele Elemete edrger Ordug oder weger Elemete höherer Ordug (höher Flebltät). Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

40 Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel IV: Matr-Stoffgesetze Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats GmbH Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

41 Stoffgesetze, auch kosttutve Bezehuge oder Materalgesetze geat, ka ma für volumöse Körper (Volumeelemete) defere (z.b. zur Abbldug vo Bode, Fels, Beto, Mauerwerk etc.) da sprcht ma vo Matr-Stoffgesetze. Aderersets ka ma aaloge Spaugs-Deformatos-Bezehuge auch für Dskotutäte (Klüfte, Störugszoe, Materalgreze etc.) defere. Da sprcht ma vo Kluft- oder Kotaktstoffgesetze (sehe Skrpt V). Ee Klassfzerug der Stoffgesetze (SG) ka uter verschedee Geschtspukte erfolge: A) bezüglch der Zet: zetuabhägge SG; z.b. elastsche oder elasto-plastsche zetabhägge SG; z.b. vsko-elasto-plastsche oder Krechgesetze B) bezüglch der Elastztät: elastsche SG ; z.b. lear-elastsche oder chtlear-elastsche elastsche SG; z.b. elasto-plastsche oder vsko-elasto-plastsche C) bezüglch der Trope: sotrope SG; z.b. sotrop elastsche asotrope SG ; z.b. trasversalsotrop elastsche D) bezüglch der Plastztät: deal elasto-plastsche SG SG mt Ver- ud Etfestgug E) bezüglch der Ielastztät: SG der klasssche Plastztätstheore Hypoplastsche SG bruch- ud schädgugsmechasche SG F) bezüglch des Medums: SG der Bodemechak SG der Felsmechak G) bezüglch der Strukturkompoete SG für Matr SG für Dskotutäte Tab. zegt de wesetlche Uterschede de relevate Materalegeschafte zwsche Bode ud Fels. De Berückschtgug deser Uterschede führt zur Etwcklug sehr spezfscher Materalgesetze. Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

42 Tab. : Charakterstsche Merkmale des mechasche ud hydro-mechasche Verhaltes vo Bode, Fels ud Soft Rocks Lockergeste wech: E-Modul < 6 Pa Soft Rock Hard Sol Fels hart: E-Modul > 9 Pa volumetrsche Kompakto volumetrsche Kompakto Matr: Zugfestgket Kohäso Matr: Matrstoffgesetze Porewasser, Porewasserhydraulk, poröse Matr Bedeutug vo Kappefleßgreze große Deformatoe Matr-Dlataz doppelt poröse Mede Matr: Zugfestgket Kohäso Matr: Matrstoffgesetze Dskotutäte: Kluftstoffgesetze Kluftwasser, Kluftwasserhydraulk Bedeutug vo Kappefleßgreze Starrkörperbeweguge (Rotato, Traslato) Kluft-Dlataz REV REV Versagesmechasmus: Matr Spezaleffekte; z. B. Bodeverflüssgug Versagesmechasmus: Dskotutäte Spezaleffekte; z. B. Salzkreche De folgede bede Überschte zege möglche Klassfzeruge für elastsche ud elasto-plastsche Stoffgesetze. Dese bede Stoffgesetzgruppe sd de mt großem Abstad gebräuchlchste der Geotechk ud werde daher m Folgede etwas äher erläutert. Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

43 Klassfzerug der elastsche Stoffgesetze Elastztät zetuabhägg zetabhägg leare Elastztät (Hooke) chtleare Elastztät (Hyperelastztät, Hypoelastztät) Vsko-Elastztät sotrop asotrop sotrop asotrop Vsko-Elastztät auf Bass rheologscher Grudelemete emprsche Asätze physkalsch motverte Asätze sotrop asotrop sotrop asotr. sotrop asotr. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

44 Klassfzerug der plastsche bzw. elasto-plastsche Stoffgesetze Plastztät zetuabhägg zetabhägg klasssche Elasto-Plastztät Hypo- Plastztät Schädgugsmechak Vsko- Plastztät auf Bass rheologscher Grudelemete emprsche Asätze physkalsch motverte Asätze schädgugsmechasch motverte Asätze deale Plastztät Ver- ud Etfestgug sotrop asotr. sotrop asotr. sotrop asotr assozert cht assozert sotrop kematsch gemscht sotrop asotr. sotrop asotr. sotrop asotr. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

45 Elastsche Stoffgesetze: De efachste Beschrebugsform st das lear-elastsche Gesetz vo Hooke: E Kl Kl B B Abb. : Lear-elastsches Gesetz ach Hooke De erweterte Form des Hooke sche Gesetzes wrd Cauchy-Elastztät geat ud schleßt auch chtlear-elastsches Verhalte e: F Kl F : elastsche Atwortfukto Dese Glechug bedeutet ee edeutge, leare oder chtleare Bezehug zwsche Spaug ud Deformato. Das Verhalte der Cauchy-Elastztät st pfaduabhägg ud reversbel. Dese Form behaltet also keerle Beschräkuge bezüglch des Belastugspfades ud des Eergeerhaltugssatzes. Damt sd auch eergetsch umöglche Belastugszykle darstellbar. Um deses eergetsche Problem zu löse, muss de Uabhäggket der Formäderugsarbet vo Verformugsweg garatert werde, d. h. de Formäderugsarbet muss alle durch de Verzerrugszustad charaktersert se. Errecht wrd des durch de Verküpfug der Spaugs-Deformatos-Bezehug mt eem elastsche Potezal W: W () Dese Art der Elastztät et ma Hyperelastztät (Gree-Elastztät) We ma das Materalgesetz kremeteller Form schrebt, d. h., Fm, Kl bzw. Fm, Kl CKl m d () oder Kl so sprcht ma vo Hypo-Elastztät. Hypo-elastsche Materalgesetze sd pfadabhägg ud erlaube de Formulerug wegabhägger chtlearer Bezehuge. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

46 Das leare Hooke sche Gesetz lautet (F kl wrd Stefgketsmatr geat ud lässt sch durch elastsche Kostate ausdrücke): () FKl Kl 9 9 Matr Matr Matr oder Elemetdarstellug mt 9 Glechuge: E E E E E E E E E... E... E... E Für ede sotrope Tesor 4. Grades glt (,, = Kostate): (4) Ekl (5) kl k l l k Uter Beachtug, dass =, ergbt sch aus obge Glechuge: kk (6) Nu setzt ma = ud ( + ) =. ud werde auch Lame sche Kostate geat. Damt wrd ergbt sch: (7) kk Daraus folgt: kk kk bzw. für mt : (8) Es glt: = G wobe: G: Schubmodul wobe: K: Kompressosmodul (9) K Ee Umstellug lefert: K () kk kk Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7

47 Dese Glechuge erlaube ee physkalsch-geometrsche Iterpretato durch ee Zerlegug ree Volumeäderug ud ree Gestaltsäderug: der Kompressosmodul K beschrebt de Wderstad gege Volumeäderug, der Schermodul G de Wderstad gege Gestaltsäderug (Wkeläderug). Ee wetere Darstellug des elastsche Gesetzes lässt sch we folgt ablete: kk kk Durch Eführug des Elastztätsmoduls E ud der Querdehugszahl lässt sch obge Glechug folgedermaße schrebe: () E E kk () wobe: ud E E () Auch de Größe E ud habe ee drekte aschaulche physkalsch-geometrsche Bedeutug: Der E-Modul st der Proportoaltätsfaktor zwsche eaaler Belastug ud etsprecheder Deformato, de Querdehugszahl beschrebt dabe das Verhälts zwsche Querdehug ud Lägsdehug. Somt estere dre austauschbare Paare vo Materalkewerte für das lear elastsche Gesetz: E ud, K ud G, sowe ud. Be asotrop-elastschem Verhalte erhöht sch de Azahl der Parameter etspreched des Asotropegrades. Elasto-plastsche Stoffgesetze: De Beschrebug der Plastztät erfordert dre Bezehuge: Grezzustadsbedguge, be dere Erfüllug plastsche Deformatoe esetze plastsches Potezal, aus dem de Rchtuge der plastsche Deformatoe abgeletet werde Ver- oder Etfestgugsregel, aus der de Magtude der plastsche Deformatoe abgeletet werde. Begrfflch sd duktle ud spröde Materale zu uterschede. Währed be spröde Materale glt: Fleßbedgug Bruchbedgug Grezzustadsbedgug gbt es be duktlem Materal ee sgfkate Utersched zwsche Fleßbedgug ud Bruchbedgug gemäß Abb.. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 8

48 Bruchbedgug Bruchbedgug Fleßbedgug sprödes Materal duktles Materal Abb. : Spaugs-Dehugs-Verhalte vo sprödem ud duktlem Materal Im Rahme der erweterbare Plastztätstheore mt Verfestgug (Hardeg) ud Etfestgug (Softeg) verschmelze de Begrffe Fleßbedgug, Bruchbedgug ud Grezzustadsbedgug mmer mehr. Wege der grudlegede Bezehuge zwsche Spauge, Deformatoe ud Eerge köe de Grezzustadsbedguge (GZ) auch dese dre Arte formulert werde, ämlch als: Dehugs-Grezzustadsbedguge Eerge-Grezzustadsbedguge Spaugs-Grezzustadsbedguge Bespele für Dehugs-Grezzustadsbedguge: Schubverzerrugs-Grezzustadsbedgug: GZ = - Verglechsdehugs-Grezzustadsbedgug: (4) GZ (5) Oktaederdehug: GZ Bespele für Eerge-Grezzustadsbedguge: Formäderugsarbet: GZ d Volumeäderugseerge: GZ 6E Gestaltsäderugseerge: GZ 6E (9) (6) (7) (8) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 9

49 Vele m Spaugsraum deferte Grezzustadsbedguge behalte ur de mamale ud mmale Hauptspaugskompoete. Grudlage st de (umstrttee) Hypothese, dass de mttlere Hauptormalspaug kee eeswerte Efluss auf das Bruchkrterum hat. Ege der Fels- ud Bodemechak häufg verwedete Grezzustadsbedguge sd: Mohr-Coulomb-Grezzustadsbedgug beschrebt Versage durch Überschrete der Scherfestgket (Abb. ): ta c () c: Kohäso : Rebugswkel bzw. m Hauptspaugsraum: s c cos () s s () D D : eaale Druckfestgket Es folge daraus für de eaale Zugfestgket z bzw. de eaale Druckfestgket D : cos c Z bzw. s cos c s D () C D Abb. : Mohr-Coulomb-Grezzustadsbedgug m Normal-Schubspaugsdagramm ud m Hauptspaugsdagramm Drucker-Prager Grezzustadsbedgug beschrebt das Versage durch Überschrete der Scherfestgket (Abb. 4): kk s s q D J q K K (4) (5) Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

50 D J K q Abb. 4: Drucker-Prager-Grezzustadsbedgug m Ivarateraum Erweterte Cam-Clay-Grezzustadsbedgugl beschrebt das Versage m Zug-, Druck- ud Scherberech (Abb. 5): D s s M kk kk pc J M pc (6) s s Mp c Abb. 5: Erweterte Cam-Clay-Grezzustadsbedgug m Ivarateraum Hoek-Brow-Bruchkrterum kk Herbe hadelt es sch um e emprsches Bruchkrterum, das dem epermetell achgewesee chtleare Charakter der Hüllkurve etsprcht (Abb. 6): u mb s a (7) m b, a, s: Materalparameter u : eaale Bruchfestgket a,5 s a u u t mb m b 4s Abb. 6: Hoek-Brow-Bruchkrterum m Hauptspaugsraum Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

51 Ist de Grezzustadsbedgug errecht, so trete plastsche Deformatoe auf: d elastsch plastsch d d (8) De plastsche Deformatoe lasse sch aus dem plastsche Potezal Q ablete: d Q P d (9) wobe d de plastsche Ide (plastscher Multplkator) darstellt. Be dealer Plastztät glt: F ud df, d. h., de Fleßfläche st ubeweglch. Der Dfferezalquotet mplzert, dass de Fleßbedgug m Spaugsraum ee kokave Oberfläche bestzt ud der Vektor des plastsche Verformugszuwachses sekrecht auf dem plastsche Potezal steht. Sd plastsches Potezal ud Fleßbedgug detsch, so sprcht ma vo assozerter Fleßregel, sost vo chtassozerter Fleßregel (Abb. 7): d P. d. Q = F =. assozerter Fleßregel d d P. Q = F = cht-assozerter Fleßregel Abb. 7: Assozerte ud cht-assozerte Fleßregel Nach Erreche der Sptzefestgket (peak stregth) ka sch Materal etfestge, verfestge oder deal plastsch verhalte. Es glt deshalb (Abb. 8): F F F P,, k P,, k P,, k plastsches Materalverhalte elastsches Materalverhalte uzulässg Sptzefestgket (peak stregth) Verfestgug (stra hardeg) deale Plastztät Etfestgug (stra softeg) Abb. 8: Plastztät m Nachbruchberech Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

52 Dabe stellt k ee Ver- oder Etfestgugsfukto dar. Ver- ud Etfestgug bedeutet, dass sch de Fleßfläche m Raum verschebt ud/oder hre Form ädert. Ma uterschedet zwsche sotroper (form- ud lagegetreue Vergrößerug oder Verkleerug der Fleßfläche) ud kematscher (reer Verschebug der Fleßfläche m Raum) Ver- oder Etfestgug (Abb. 9). sotrope Ver- ud Etfestgug kematsche Ver- ud Etfestgug gemschte Ver- ud Etfestgug asotrope Verud Etfestgug Abb. 9: Type der Ver- ud Etfestgug Magtude ud Rchtug der plastsche Deformatoe m Rahme der sch veräderde Fleßfläche werde folgedermaße berechet: P Q d d mt F d dm H m Im Falle mehrerer Fleßfläche gbt es gekoppelte ud etkoppelte Mechasme: () () F F etkoppelt Gekoppelt Abb. : Gekoppelte ud etkoppelte Ver- ud Etfestgug Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

53 Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel V: Kotakt-Stoffgesetze Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats GmbH Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

54 I Aaloge zu de Stoffgesetze für de Volumeelemete (Matr-Stoffgesetze) gbt es auch elastsche, elasto-plastsche bzw. vsko-elasto-plastsche Materalgesetze für de Kotakte. Kotakte stelle Berührugspukte zwsche Telvoluma (Blöcke) dar, de starre oder deformerbare Kotua blde. Kotakt-Stoffgesetze werde der Geomechak zur Abbldug vo Dskotutäte verschedester Art verwedet, we z.b. für Klüfte, Störugszoe, Rsse, Schchtgreze, Fuge aber bespelswese auch für de Wechselwrkug vo Lockergestespartkel. Das geometrsch etschedede Krterum für de re mechasche Iterakto st, dass de räumlche Ausdehug sekrecht zum Kotakt gerg st ud somt der Kotaktberech - dmesoal als Le ud -dmesoal als Fläche dargestellt werde ka ( Iterface ). De achfolgede Ausführuge kozetrere sch auf das Verhalte vo Gestesklüfte, sd aber wetgehed auch übertragbar auf adere Dskotutäte. Das grudlegedste ud efachste Kotaktstoffgesetz beschrebt de elastsche Reakto, wobe de physkalsche Größe mest Kompoete ormal ud tagetal zur Kotaktfläche zerlegt werde: K K s Abb. : Przp des elastsche Kotaktstoffgesetzes K = Normalstefgket K s = Scherstefgket Damt glt für de Spaugskremete: e N K u () e s Ks us () wobe: e : elastsches Normalverschebugskremet u N e u S : elastsches Scherverschebugskremet Ee svolle Erweterug auf cht-elastsches Verhalte wäre de Berückschtgug vo Zug- ud Scherversage: () t t u s s, ma s s, ma s sg (4) De Glechuge ud 4 ergebe das Abbldug gezegte Verhalte. Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

55 N S t S, ma u N Abb. : Elasto-plastsches Spaugs-Verschebugs-Verhalte (lks: Zug; rechts: Scherug) u S Häufg wrd e chtleares Verhalte der Kluftöffug uter Normalspaug beobachtet. K u chtlear (5) chtlear lear u Abb. : Kluftverhalte: Normalspauge vs. Normalverschebuge K, K s Normal- ud Scherfestgket u, u s Normal- ud Scherverschebug, s Normal- ud Scherspaug K, Materalkostate Be wechselsetger Beeflussug der Kompoete (gegesetge Beeflussug vo Scher- ud Normalerchtug), glt folgedes: K u K K s u s K s K ss us K u K u s K ss u s K s s u s (6) (7) Nchtleares Verhalte der Kluftöffug lässt sch auch mttels hyperbolscher Abhäggket beschrebe, dem de Stefgket ormalspaugsabhägg modfzert wrd: Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

56 eu K (8) u ma K K wobe u ma de ma. Zusammedrückug (Verschebug) der Kluft darstellt. We de Spauge gerg sd, glt: eu K K, we de Spauge hoch sd, glt: K. (9) eu De Beobachtug lehrt, dass be eer Scherbewegug auf eer Dskotutät auch ee Bewegug sekrecht dazu stattfdet. Dese wrd über de Dlatazwkel beschrebe: d y ta dy ds () d S Abb. 4: Dlataz am Kotakt Beobachtuge zege weterh, dass der Dlatazwkel cht kostat st. E kostater Dlatazwkel würde zudem dazu führe, dass be lage Scherwege de Volumevergrößerug urealstsch groß werde würde. De efachste Form eer realstsche Darstellug besteht dar, de Dlatazwkel be Erreche ees krtsche Wertes auf Null zu setze (sehe Abb. 5): u u S S u u S, C S, C cost. () u N u S,C u S Abb. 5: Normalverschebug (Dlataz) als Fukto des Scherweges Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

57 De Grezscherspaug s,ma st kee Kostate, soder ee Fukto der Normalspaug N, des Rebugswkels ud der Kohäso c (Coulombsches Rebugsgesetz): ta c s, ma N () Damt ergebe sch folgede Kurve uter Scherbelastug: S K S N u S u N N u S,C u S Abb. 6: Coulombsches Rebugsgesetz Das Scherverhalte vo Dskotutäte st durch softeg charaktersert, we abstraherter Wese Abb. 7 gezegt: S S Peak S Res Abb. 7: Dsplacemet softeg bem Scherversuch u S Nach Erreche der Sptzefestgket Peak S fällt de mamal übertragee Schubspaug allmählch auf de Restfestgket. De umersche Umsetzug erfolgt über ee etsprechede Softeg-Fukto, z. B.: f bzw. f S u S u S RES S () Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

58 Peak Epermete habe weterh gezegt, dass de Sptzefestgket S chtlear mt der Normalspaug zummt ud erster Näherug durch ee bleare Bezehug beschrebe werde ka (Patto 966): Patto (966): Aufglete Abschere c B R B+ NK Abb. 8: B-leares Kluft-Festgketsgesetz ach Patto c N N B ta B ta für für NK NK (4) B Bassrebugswkel ( Restrebugswkel R ) Aufgletwkel G Wkel der ere Rebug Scherfestgket der Uebehete c Der Aufgletwkel Φ lässt sch gemäß BARTON über de Kewerte JRC ud JCS ermttel: = JRC log (JCS/ N ) (5) wobe: JRC: Jot roughess coeffcet JCS: Jot compressve stregth Zudem ka B über e efaches Epermet mt glatte Kluftfläche ermttelt werde. Wetere Gesetze wurde vo dverse Autore publzert ege werde m Folgede kurz aufgelstet. Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

59 Scheder (975): u N u u arcta u ta R (6) s e K wobe: u s Scherverschebug u ma. Aufglethöhe be N = K Materalkostate Barto (977): N JCS N ta JRC log R (8) N JRC Rauhgketskoeffzet JCS Druckfestgket Kluftwäde Idrarata ud Haque (): (7) N K A N N b b u cos T p ta R ta R ta ta p (9) N A N b, b T tale Normalspaug Kluftfläche Fourer-Koeffzet } aus Aalyse des Oberflächeprofls Perode Dese Bezehug glt für CNS-Bedguge (Costat Normal Stffess). Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7

60 Byerlee (968): Vo großer praktscher Bedeutug für de Felsmechak/Gebrgsmechak/Gestesmechak st das Gesetz vo Byerlee uter Aahme der Estez vo kohäsoslose Klüfte bzw. Störugszoe: =,85 für < MPa () = 5 MPa +,6 für < < 7 MPa () Gemäß Mohr-Coulomb glt da: c ta c () Für Drücke bs ca. MPa bzw. Teufe bs ca. 8 km glt der Asatz vo Byerlee (Aahme: c = ):,85 () ta, Rebugswkel Bruchwkel 4 Uter Beachtug vo Fluddruck glt: P p,85 (4) P p Fluddruck De Ausdrücke (-4) gebe ledglch das Verhälts vo Schub- zu Normalspaug a, wobe de krtsche räumlche Oreterug der Bruchfläche uterstellt wrd (= ormal fault). Aderso hat de Byerlee-Bezehug so umgeschrebe, dass e Bezug auf de vertkale Spaugskompoete erfolge ud somt Kostellatoe zu betrachte sd: Normal fault v : c v Pp (5) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 8

61 Reserve fault v : c v Pp (6) Strke slp v : c P v p (7) Mt der Aahme vo Byerlee (c = ud =,85) lasse sch de Glechuge (5-7) we folgt verefache: Normal fault v :,7 v Pp,786 v Pp (8),6 Reserve fault v :,7 v Pp,68 v Pp (9),46 Strke slp v z :,7 v Pp,96 v Pp (), v = vertcal stress = g h Geauere Utersuchuge habe gezegt, dass das Scherverhalte vo Gestee auch zet-, geschwdgkets- ud verschebugsabhägg st (Abb. 9 ud ): mt a l(t) () Deterch (978): Da Glechug () egatve Werte für t < sec lefert, wurde vo Deterch (978) e zweter Asatz empfohle: t a l mt t s () t Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 9

62 De Formel ( ud ) belege e lechtes Awachse des statsche Rebugswkels (Rebugskoeffzete) mt der Haltezet t (= Zet, uter der ud ske). Glechuge () bzw. () gelte für de statsche Rebugswkel. t Abb. 9: Abhäggket des statsche Rebugskoeffzete vo der Haltezet t Etfestgug ka uter zwe Geschtspukte betrachtet werde: Arte Geschwdgketsabhägge Etfestgug verschebugsabhägge Etfestgug. u, u. Zet Verschebug Abb. : Etfestgugsfuktoe u u Rebugskoeffzet Verschebug Verschebugsgeschwdgket Der dyamsche Rebugskoeffzet zegt ee Abahme mt zuehmeder Schergeschwdgket: d d al V t () wobe: V = Schergeschwdgket d = charakterstscher asperty Durchmesser a, d = Kostate Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

63 Mkley (8): E komplees Modell, das de Übergag vo Haft- auf Gletrebug, Etfestgug ud Geschwdgketsabhäggket berückschtgt, wurde vo Mkley (8) vorgeschlage: ma N c (4) Dabe wrd der Rebugskoeffzet ee Gletrebugsterm K ud ee Haftrebugsterm H zerlegt: K H (5) N K K K ta R e (6) H VEL H e N K K o = Aufgletwkel R = Restrebugswkel K, K = Krümmugsparameter K = Druckfestgket der Kotaktfläche Der Kraftrebugskoeffzet wederum hägt vo der Schergeschwdgket V ab: (7) mt wobe: VEL H MAX f VEL V f VEL ta h b log (9) VK b = Geschwdgketsfaktor V k = Krtsche Schergeschwdgket (8) Glechzetg wrd ee verschebugsabhägge Etfestgug (= Redukto des Haftrebugskoeffzete) berückschtgt, de kremetell über de plastsche Verschebugsweg berechet wrd: wobe: P VEL VEL VEL us H NEU H ALT H ALT L (4) P u S = plastsche Scherverschebug L = Etfestgugsdstaz (Parameter) Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

64 Mt zuehmeder Scherverschebug wrd durch Zerstörug der Raugket der Aufgletwkel abgemdert: P us (4) L NEU ALT ALT L = Etfestgugsdstaz (Parameter) P u S = plastsche Scherverschebug Der Dlatazwkel bestmmt sch we folgt: arcta( ) arcta( K ) (4) N De wchtge Charakterstke des Mkley-Schermodells zege de folgede Abblduge -4: V V u Abb. : Efluss der Schergeschwdgket N Abb. : Verläufe der ezele Rebugskompoete : ta R N Restrebug : N K K ta R e N Gletrebug : N N K K K K ta R e e N c ma. Festgket Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

65 u N N N u S N Abb. : Dlatazverhalte Abhäggket der Normalspaug N N u S Abb. 4: Efluss der Normalspaug auf das Scherverhalte Cudall ud Lemos (99) E weteres Modell st das so geate "Cotuously yeldg ot"-modell vo Cudall ud Lemos (99). Das Verhalte ormal zur Kluftfläche wrd dabe kremetell folgedermaße beschrebe: K u (4) N N wobe: e K a a, e : Parameter (44) Das Verhalte parallel zur Kluftfläche wrd durch folgede kremetelle Bezehug beschrebe: F k S u S (45) wobe: K S a S es a S, e S : Parameter (46) Nur zum tere ud prvate Gebrauch!

66 De Krümmug der us - Kurve wrd be kostater Normalspaug durch de Parameter F bestmmt: m F r (47) Für de Ausgagszustad glt r =, we aber Scherrchtugswechsel auftrtt, so wrd r = / m ud damt F =. Der Faktor r sorgt dafür, dass be Lastwechsel stets weder mt elastschem Verhalte ud Afagsstefgket begoe wrd. De Grezfestgket m st we folgt defert: m N m S ta sg u (48) Der Rebugswkel m etsprcht dem Mamalwert be mamaler Dlataz ud wrd durch zuehmede Schädgug gemäß folgedem Asatz reduzert: P m m us (49) R wobe: P u F s P u S m R us = plastsche Scherverschebug = ma. (taler) Rebugswkel gemäß Festgketsbedgug = Materalparameter für Raugket = Bassrebugswkel F Faktor zur Redukto des Astegs (5) Weterh glt: r m be be Scherbeg Lastumkehr (5) Das Modellverhalte ka mt folgede Dagramme llustrert werde: s u N u s u s Abb. 5: Modellverhalte des "Cotuously yeldg ot - Modells Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 4

67 De mamale Scherfestgket wrd errecht, we de awachsede Scherspaug de abehmede Grezscherfestgket schedet. I desem Pukt st F =, daach wrd F egatv ud de Spaug mmt ab (Etfestgug). Der Dlatazwkel ergbt sch aus folgedem Ausdruck: N ta (5) m F. k s Abb. 6: Kurve der Mamalfestgket ud typsche Arbetsle u s m m Abb. 7: Efluss uterschedlcher taler Rebugswkel be glecher Auflast u s Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 5

68 Ausblck Partkelkotaktstoffgesetze Nebe de obe beschrebee Kluftstoffgesetze gbt es Aaloge dazu de sogeate Stoffgesetze für Partkelkotakte, we se be Partkelsmulatoe (z.b. Programme PFC oder Yade) egesetzt werde. De efachste Wechselwrkug zwsche Partkel st ee elastsche Wechselwrkug, de ewels über ee Feder Normalerchtug ud Tagetalrchtug abgebldet wrd. Dese Feder wrd ee Stefgket (Materalparameter) zugeordet. F F s k k s u u s (5) (54) = Ehetsormalerektor u = Normalverschebug u s = Scherverschebug k = Normalstefgket k s = Scherstefgket A B Abb. 8: Zwe Partkel A ud B m Kotakt De Kotaktstefgkete als Materalparameter köe auf verschedee Wese defert werde, wobe geomechasch häufg auf das leare Kotaktmodell sowe das Hertz- Mdl-Modell zurückgegrffe wrd. (a) Lear elastsches Kotaktmodell K K s K K K K A A s A s A K K K K B B s B s B ; (55) (56) Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 6

69 Nur zum tere ud prvate Gebrauch! 7 (b) Hertz-Mdl-Kotaktmodell ) ( ) ) ( ( ) ( s F R G K u R G K wobe: G = Schubmodell = Querdehzahl R = Radus Kugel De Partkelkotakte köe durch kohäsve Atele m Kotaktstoffgesetz erwetert werde. Dadurch wrd es möglch, auch Festgeste mt Zugfestgkete ud Kohäso abzublde ud Schädgug, Bruch oder Zerkleerug zu smulere. Nebe de Partkelwechselwrkuge be drekter Berührug gbt es auch wetrechede Partkelwrkuge, z.b. über elektro-statsche Felder, magetsche Wrkuge etc. E desbezüglch sehr bekater Asatz auf atomarer Ebee st der vo Leard-Joes, der sowohl azehede als auch abstoßede Kräfte abstadsabhägg verarbetet. (c) Leard-Joes-Potetal (wetrechede Kraftwrkug) 6 6 N d d d d 4 F (6) d = - = Potetaltefe = Nulldurchgag des Potetals Partkel ud a Orte ud ) ( ) ( B A B A B A B A G G G R R R R R (57) (58) (59) (6) (6)