Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option

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1 Semiar Derivate Fiazprodukte aus mathematischer Sicht Up-ad-out Call Optio UIVERSITÄT TRIER Fachbereich IV Wirtschaftswisseschafte / Mathematik Witersemester 22/3 Leiter: Prof. Dr. H. Luschgy Eigereicht vo Michael Kappes Trier, im Februar 23

2 Ihaltsverzeichis. Eileitug Allgemeie Grudlage vo Fiazoptioe Arte vo Fiazoptioe Auszahlugsstruktur vo Fiazoptioe Optiosparameter Barrier-Optioe Eigeschafte vo Barrier-Optioe Wert zum Ausübugszeitpukt Ergebisse aus der Mathematik Das COX-ROSS-RUBISTEI-Modell Preisformel für eie Stadard-Optio Preisformel für eie Up-ad-out Call Optio Reflexiosprizip Preisformel für die Up-ad-out Call Optio Literaturverzeichis... 9

3 . EILEITUG. Eileitug Ei Fiazderivat ist ei Fiaztitel, desse Zahlugsawartschaft vo de Erträge bzw. vo der Wertetwicklug eies adere Gutes, isbesodere eies adere Fiazkotrakts abhägt. Fiazistitute, Firme ud auch Eizelpersoe verwede sie dazu, sich gege zuküftige Risike abzusicher. Die wichtigste Type vo Fiazderivate sid Termigeschäfte ud Optioe. Währed das Termigeschäft eie für beide Seite verbidliche Liefer- ud Abahmepflicht beihaltet, verbrieft die Optio das Recht, aber icht die Verpflichtug, ei bestimmtes Gut ierhalb eier bestimmte Frist (amerikaische Optio) oder zu eiem bestimmte Zeitpukt (europäische Optio) zu eiem heute bereits festgelegte Preis zu kaufe (Kaufoptio) oder zu verkaufe (Verkaufsoptio). Diese Ausarbeitug beschäftigt sich isbesodere mit der Preisbestimmug eier sog. Up-ad-out Call Optio, die zur Klasse der Barrier-Optioe gehört. I Kapitel 2 behadele ich die allgemeie Grudlage vo Fiazoptioe ud werde dabei auf die verschiedee Arte ud Auszahlugsstrukture eigehe sowie die Optiosparameter erläuter. Die spezielle Klasse der Barrier-Optioe werde ich im 3. Kapitel vorstelle ud isbesodere darstelle, wie dere Wert zum Ausübugszeitpukt aussieht. I Kapitel 4 stelle ich die wichtigste Ergebisse aus der stochastische Mathematik bereit, mit dere Hilfe die Preisformel für eie Up-ad-out Call Optio im abschließede Kapitel 5 hergeleitet wird.

4 2. ALLGEMEIE GRUDLAGE VO FIAZOPTIOE 2. Allgemeie Grudlage vo Fiazoptioe Optioe sid bedigte Termigeschäfte. Charakteristisch für eie Optio ist das asymmetrische Risikoprofil: Käufer ud Verkäufer habe auf Grud ihrer uterschiedliche Rechte ud Pflichte icht das gleiche Gewi- ud Verlustpotezial. Im Hiblick auf Laufzeite ud Basiswerte (Aktie, Aleihe, Devise, Idizes, Futures) sid die Ausgestaltugsmöglichkeite sehr vielfältig. Stadardisierte Optioe werde a Termibörse gehadelt, für idividuelle Kotrakte wird der Hadel außerbörslich abgewickelt. Heute diee Optioe vorwieged der Absicherug vo Basiswerte. Dieser Vorgag wird auch als Hedgig bezeichet (vgl. 4.2). Optioe werde allerdigs auch zu Spekulatios- ud Arbitragezwecke eigesetzt (vgl. [2], S. 778f; [6], S. 62). A dieser Stelle möchte ich zuächst die allgemeie Eigeschafte vo Optioe aufzeige, bevor ich i Kapital 3 auf spezielle Eigeschafte vo Barrier- Optioe eigehe werde. 2. Arte vo Fiazoptioe Optioe köe ahad des vereibarte Rechtes ud des mögliche Ausübezeitpuktes uterschiede werde. Häufig wird auch i eifache ud komplexe Optiosrechte utergliedert. Hat der Optioshalter das Recht, das Basisistrumet zu eiem bestimmte Preis (Basispreis, Ausübugspreis) zu erlage, besitzt er eie sogeate Kaufoptio (Call Optio). Der Optiosveräußerer bürgt für de zum Ausübugszeitpukt gültige Basiswert. Eie Kaufoptio wird ur ausgeübt, we der iere Wert positiv ist (vgl. 2.2), d. h. der Basiswert größer als der zu zahlede Basispreis ist. Darf der Optiosihaber das Basisistrumet zu eiem festgelegte Preis verkaufe, spricht ma vo eier Verkaufsoptio oder Put Optio. Aalog gilt, dass diese ur ausgeübt wird, we der Basiswert uter dem zu erhaltede Basispreis liegt (vgl. [8], S. 42). 2

5 2. ALLGEMEIE GRUDLAGE VO FIAZOPTIOE Optioe, die währed ihrer gesamte Laufzeit ausgeübt werde dürfe, werde als amerikaische Optioe bezeichet. Europäische Optioe köe ur am Ede der Laufzeit ausgeübt werde. Bei gleicher Ausstattug ist eie amerikaische Optio midestes soviel wert, wie eie europäische, da sie mehr Flexibilität bietet (vgl. [2], S. 634). Ma beachte, dass es sich bei amerikaische ud europäische Optioe icht um eie geografische Uterscheidug hadelt. Beide Arte werde sowohl i Europa als auch i Amerika gehadelt (vgl. [4], S. 72). ebe de zwei eifache Optiosarte gibt es auch komplexe, sogeate exotische Optioe (Exotic Optios). Die i dieser Arbeit besoders betrachtete Barrier-Optioe gehöre dieser Gruppe a, bei ihe ist das Ausüberecht durch ei Itervall, i dem sich der Basiswert befide muss, begrezt. 2.2 Auszahlugsstruktur vo Fiazoptioe Als iere Wert eier Optio bezeichet ma die Differez zwische Basispreis ud ihrem aktuellem Marktpreis. Ma uterscheidet je ach Kurs sowohl bei eier Call- als auch bei eier Put Optio drei Fälle; eie Optio ist: (i) i the moey, falls ihr ierer Wert größer als ull ist. Bei eiem Call ist der aktuelle Marktpreis größer als der Basispreis ud kleier bei eier Put Optio. (ii) at the moey, falls ihr ierer Wert gleich ull ist. I diesem Fall ist bei eier Call- bzw. Put Optio der Marktpreis gleich dem Ausübugspreis. (iii) out of the moey, falls ihr ierer Wert egativ ist. Bei eiem Call ist der aktuelle Marktpreis kleier als der Ausübugspreis ud größer bei eier Put Optio. Darüberhiaus versteht ma uter dem Zeitwert eier Optio dejeige Betrag, de Marktteilehmer i Erwartug eier Preisäderug des Basisistrumets zu zahle bereit sid. 3

6 2. ALLGEMEIE GRUDLAGE VO FIAZOPTIOE Eie Optio wird ur ausgeübt, we der iere Wert positiv ist. Bei Beedigug der Laufzeit T, ka ma de Optioswert mathematisch wie folgt beschreibe: CT ( ) = max{ IW;} (2.) mit IW = S K ud IW = K S. Call T Put T Für eie Call Optio ergibt sich der iere Wert IW wie bereits erklärt aus der Subtraktio des Basispreises K vom Basiswert S. Für eie Put Optio wird der Basiswert vom Basispreis subtrahiert. T 2.3 Optiosparameter Es gibt füf Faktore, die de Wert eier Optio direkt beeiflusse. Ei sechster Faktor, Dividedezahluge, wirkt idirekt auf de Optioswert (vgl. [3], S. 5f). Aus der mathematische Beschreibug des Optioswertes (2.) ist umittelbar ersichtlich, dass sowohl ei größerer Basiswert als auch ei iedrigerer Basispreis positive Auswirkuge auf de Wert eies Calls habe. Beide Faktore wirke i umgekehrter Weise auf eie Verkaufsoptio. Für alle Optioe gilt, dass sie um so wertvoller sid, je läger die Laufzeit ist. Mit diesem dritte Faktor also wächst die Wahrscheilichkeit, dass die Optio is Geld geht, d. h. der iere Wert positiv ist. Eie Optio ka aber auch da eie Wert habe, we dieser ull ist, da er i der verbleibede Zeit theoretisch och positiv werde ka. Der vierte Faktor, die Volatilität der Redite des zu Grude liegede Wertes, hat eie direkte Eifluss auf die Wahrscheilichkeit, dass eie Optio bei Beedigug ihrer Laufzeit eie Wert hat. Bei höherer Volatilität steigt diese Wahrscheilichkeit (gilt für Calls ud Puts). Der füfte Faktor ist der risikofreie Zis. Die Bewertug vo Optioe beruht auf folgeder wichtiger Idee: Die Zahlugsstruktur eier Kaufoptio lässt sich 4

7 2. ALLGEMEIE GRUDLAGE VO FIAZOPTIOE theoretisch exakt achbilde, i dem ma das Basisistrumet kauft ud dieses teilweise mit der Aufahme eies Kredites fiaziert. Da der Barwert des Kredites mit steigedem Zis sikt, wächst ceteris paribus der Wert des Calls. Aalog dazu wächst der Wert eier Verkaufsoptio, we der risikofreie Zissatz sikt. Dividedezahluge, der sechste Faktor, sid etgagee Cash Flows ud seke prizipiell de Basiswert ud somit idirekt de Wert eies Calls. Aalog steigt der Put im Wert. 5

8 3. BARRIER-OPTIOE 3. Barrier-Optioe achdem wir bereits eiige Merkmale vo herkömmliche Optioe kee gelert habe, möchte ich i diesem Kapitel isbesodere auf Barrier-Optioe eigehe. 3. Eigeschafte vo Barrier-Optioe Eie Barrier-Optio etspricht eier europäische Stadard-Optio, die erst da aktiviert wird, we der Preispfad des Basisistrumets (z. B. Aktie) ei bestimmtes Verhalte bezüglich eier vorgegebee Schrake B > eiimmt. Ma uterscheidet die Trigger Optioe vo de Kockout Optioe: (i) Trigger Optioe Bei diesem Typ wird die Stadard Optio erst da ausgelöst, we der Kurs das iveau B etweder vo ute (up-ad-i) oder vo obe (dowad-i) berührt oder durchbricht. (ii) Kockout Optioe Diese falle icht ur am Ede der Laufzeit aus, soder auch bereits da, we der Kurspfad die vorgegebee Schrake B etweder vo ute (up-ad-out) oder vo obe (dow-ad-out) berührt oder durchbricht. Der Wert eier Barrier-Optio zu eiem bestimmte Zeitpukt hägt vo dem vorherige ab also ob der Kurspfad das iveau B scho erreicht hat oder icht; sie sid folglich pfadabhägig. 3.2 Wert zum Ausübugszeitpukt Wie bereits erwäht hägt der Wert eier Barrier-Optio zum Ede der Laufzeit davo ab, ob der Kurspfad die vorgebee Schrake B erreicht oder icht. Als Stoppzeit bezeichet ma jee Zeit vo heute bis zum erstmalige Erreiche der Barriere; sie ist zufällig ud wird mit Θ bezeichet. 6

9 3. BARRIER-OPTIOE We wir als, falls Θ > Θ> : =, falls Θ die Idikatorfuktio defiiere, so folgt für de Wert eier Up-ad-out Call Optio mit Ausübugspreis K zum Zeitpukt : UOC( ) = max{ S K;} Θ> Wird die Schrake währed der Laufzeit der Optio erreicht, so gilt ud der Wert der Optio ist uabhägig der Kurshöhe gleich ull. Durchbricht der Kurspfad das iveau B jedoch icht, so gilt für die Idikatorfuktio Θ> = ud der Optioswert stimmt dem des klassische Calls überei. Θ> = Wege + = folgt Θ> Θ UOC( ) = max{ S Θ> K;} = ( ) max{ S K; } Θ = max{ S K;} max{ S K;} Θ = max{ S K;} UIC( ), wobei UIC ( ) der Wert eier Up-ad-i Call Optio zum Zeitpukt ist. Allgemei gilt für de Wert eier Up-ad-out Call Optio zum Zeitpukt : UOC ( ) = C ( ) UIC ( ) Dabei ist C( ) der Wert eies klassische Calls z. Z. (vgl. (2.)). Aalog gilt für de Up-ad-out Put: UOP( ) = P( ) UIP( ) Die Formel für die übrige Barrier-Optioe lasse sich i Aalogie zu de obige Schritte herleite. Es gilt: (i) Up-ad-i: UIC( ) = max{ S K;} Θ UIP( ) = max{ K S ;} Θ 7

10 3. BARRIER-OPTIOE (ii) Dow-ad-out: DOC( ) = max{ S K;} Θ> DOP( ) = max{ K S ;} Θ> (iii) Dow-ad-i: DIC( ) = max{ S K;} Θ DIP( ) = max{ K S ;} Θ 8

11 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK 4. Ergebisse aus der Mathematik I diesem Kapitel meier Arbeit möchte ich die Grudlage für die spätere Herleitug der Preisformel für allgemeie Optioe (vgl. 4.2) ud der spezielle Preisformel für eie Up-ad-out Call Optio bereit stelle. Im Abschitt 4. gehe ich zuächst auf das Biomialmodell des Fiazmarktes ei, das im Jahre 979 vo COX, ROSS ud RUBISTEI etwickelt wurde. 4. Das COX-ROSS-RUBISTEI-Modell Wie jedes adere vollstädige Modell des Fiazmarktes mit eiem risikobehaftete Aktiva hat auch das auf COX, ROSS ud RUBISTEI zurückzuführede Marktmodell die Struktur eies biäre Baumes, d. h. sei Wert ka i eier Periode falle oder steige. Die beide achfolgede Defiitioe beötige wir bei der aschließede Modellierug des Fiazmarktes ach COX, ROSS, RUBISTEI (CRR) ud später bei der Herleitug der Preisformel für allgemeie Optioe. 4.. Defiitio (Stochastischer Prozess, Pfad) t t I Eie Kollektio X = ( X ) vo Zufallsvariable X : Ω heißt (reeller) stochastischer Prozess. Für ei ω Ω heißt I, t X ( ω) Pfad vo X. t t 4..2 Defiitio (Filtratio) Eie Kollektio F= ( F ) vo σ-algebre F F mit F F für s < t heißt t t I Filtratio. Ei stochastischer Prozess X = ( X t ) t I heißt F -adaptiert, falls die vo X erzeugte σ-algebra σ( X ) F für alle t I. t t t t s t Im Folgede sei das Wahrscheilichkeitsmodell ( Ω, F, P) gegebe. Dabei sei (i) Ω : = {,} = { ω : ω = ( a,, a ); a { ;}} der zu Grude liegede Raum sowie A : = A ( ω) = a die Projektio auf die -te Kompoete vo ω = ( a, a ). (ii) P das Wahrscheilichkeitsmaß mit P [{ ω }] > für alle ω Ω. 9

12 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK (iii) F die vorhadee Iformatiosstruktur mit : S S F = F = ( F ), wobei F F F S : = σ( S,, S) = σ( X,, X) für =,,. Isbesodere ist S = σ( S ) = { Ω, } ud F = σ( Y,, Y ) für =,,, d. h. S S = F Y. Wir beachte, dass demach ur Iformatioe über die Etwicklug des Kurses etscheided sid. I I de weitere Utersuchuge betrachte wir ei Portfolio bestehed aus eiem risikolose Bod B ud eiem risikobehaftete Asset S (z. B. Optio, Aktie, etc.). Bei eiem kostate Startwert B > ud dem kostate Zissatz r > (pro Periode) errechet sich der Wert des Bods zum Zeitpukt B : = B (+ r). Eie Äderug des Bodpreises ist gegebe durch B : = rb. : = S Y, I Für de Preisprozess pro Eiheit des Assets zum Zeitpukt I gilt: S i= i durch wobei S > der kostate Afagswert ud Y i der retur für i =,, ist. Für die returs gilt weiterhi: Y <, falls der Kurs fällt Si i = = Si, falls der Kurs kostat bleibt >, falls der Kurs steigt I diesem Modell ehme wir a, dass die Y,, Y stochastisch uabhägig, idetisch verteilte Zufallsvariable (iid) sid mit Y : Ω R für =,,. Ferer köe Y i der -te Periode für {,, } ur zwei Werte aehme, ud zwar u, falls der Kurs steigt, bzw. d falls der Kurs fällt. Es gilt: u, falls A ( ω) = Y( ω) : =,5 [ d( A( ω)) + u( + A( ω))] =, < d < u. d, falls A ( ω) = Der Preis des Assets steige mit der Wahrscheilichkeit p,, ud falle mit der Wahrscheilichkeit p, d. h. P[ Y = u] = p ud PY [ = d] = p, sodass sich die bereits agesprochee Baumstruktur ergibt: < p <

13 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK S = us p S S ds p = Abb. : Baumstruktur Aalog zum Bod schreibe wir für die Preisäderug des Assets ud bereche sie folgedermaße: S : = S S = S ( Y ) Für de diskotierte Preisprozess X gilt somit: X = = B B i= : S S Yi + r S 4.2 Preisformel für eie Stadard-Optio Im u folgede Abschitt möchte ich basiered auf dem CRR-Modell die Herleitug der Preisformel für eie Stadard-Optio äher beleuchte. Zuächst jedoch werde ich auf die dazu otwedige Ergebisse aus der Mathematik eigehe, die Beweise dem Leser allerdigs vorethalte Defiitio (Martigal) Es sei F = ( F t ) t I eie Filtratio. Ei stochastischer Prozess X = ( X t ) t I heißt F-Martigal, falls X F-adaptiert ist ud für de bedigte Erwartugswert vo X uter gilt: E( X F ) X für alle s t. t F s t s = s Bem.: Aus dieser Defiitio ka ma sofort folger, dass die Erwartugswertfuktio kostat ist ud es eifacher ist, eiem Prozess zu widerlege, dass es ei Martigal ist als es ihm achzuweise Defiitio (Martigaltrasformierte) X = ( X) I ist F-vorhersehbar ). Da heißt ( HX i ) = Hi Xi die H -Trasformierte vo X, wobei ( HX i ) =. sei F-adaptiert ud für H = ( H ) gelte σ ( H ) F (d. h. H I Bem.: Isbesodere folgt, dass H ix ei F-Martigal ist, falls X es ist. i=

14 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK Wir wisse, dass die Zusammesetzug des Portfolios ausschließlich vom Verlauf des Kurses des Assets ud damit vom betrachtete Zeitpukt abhägig ist. Auf Grud dieses zufällige Charakters köe wir de Marktwert des Portfolios uter de Aahme, dass (i) die Fiazprodukte beliebig oft teil- ud hadelbar sid, (ii) keie Trasaktioskoste existiere, (iii) Dividede icht berücksichtigt werde, (iv) Leerverkäufe erlaubt sid, wie folgt beschreibe Defiitio (Marktwert des Portfolios) K Seie ud H ud Zufallsvariable mit K, H : Ω, wobei K die Azahl der Eiheite des Assets ud H die des Bods im Portfolio i Periode (,) sid. Da ist der Marktwert des Portfolios ( HK), zum Zeitpukt V ( H, K ): = H B + K S ud der zugehörige Wertprozess VHK (, ) = ( V( HK, )) I. Bem.: Es gilt σ ( H, K ) F ud σ( H, K ) F für, d. h. (, ) (, ) HK = H K I ist vorhersehbar. I der ächste Defiitio beschäftige wir us mit selbstfiazierede Portfolios. Die Idee eier solche Strategie geht davo aus, dass sich der zu Begi ivestierte Wert V eies Portfolios währed der Optioslaufzeit icht äder, das Verhältis vo Bod zu Asset jedoch variiere darf Defiitio (Selbstfiazierede Strategie) Das Portfolio ( HK), ist selbstfiaziered, falls gilt: Das heißt, we gilt H B + K S = H B + K S, B ( H H ) + S ( K K ) =. H K 2

15 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK Ohe Eischräkug gelte H ud K = ud ferer sei = H K SF = {( H, K) : ( HK, ) selbstfiaziered}. Weiterhi gilt für de Wertprozess eies ( HK, ) SF: V (, ) H K = V( H, K) + { Vj( H, K) Vj ( H, K)} j = Vj ( H, K) j j j j j j j j j = = HB j j + KS j j (wg. " SF") = V ( H, K) + { H B + K S ( H B + K S )} = V( H, K) + { Hj Bj + Kj S j } j = = V (, ) ( ) ( ) H K + HiB + KiS Dabei ist ( HB) i die H -Trasformierte vo B ud ( KS i ) die K -Trasformierte vo S (vgl ), beides sid F -Martigale. Komme wir jetzt zur wichtige Theorie des Hedgigs, die sich im Folgede allerdigs auf europäische Optioe (vgl. 2.) beschräkt. Uter Hedgig versteht ma die Absicherug vo Vermöges-Positioe gege Kursrisike. Grudgedake dieses Absicherugsgeschäftes ist die Erzielug eier kompesatorische Wirkug durch die Eiahme eier etgegegesetzte Positio a de Termimärkte (vgl. [9]), d. h. der Verkäufer eier Optio möchte sich durch eie Ivestitio i ei selbstfiazieredes Portfolio ( HK), z. Z. = gege eie mögliche Forderug (Claim) des Käufers z. Z. = absicher. + Ei solcher Claim ist als positive Zufallsvariable C : Ω iterpretierbar, die de Wert der Optio z. Z. = agibt Defiitio (Hedgigstrategie) + Die Zufallsvariable C : Ω mit σ( C) F beschreibe die Auszahlug eies Claims z. Z. =. ( HK, ) SF heißt Hedgigstrategie für C, falls gilt V (, ) H K = C. Ferer heißt C da hedgebar. Da die Grudvoraussetzug für das CRR-Modell (ud im Übrige auch alle adere) die Arbitragefreiheit ist, möchte ich darauf im Folgede äher eigehe. 3

16 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK Defiitio (Martigalmaß) Ei Wahrscheilichkeitsmaß Q auf ( Ω, F ) heißt äquivaletes Martigalmaß zu P, falls (i) PA ( ) = QA ( ), A F, d. h. P, Q habe gleiche ullmege = (ii) der abdiskotierte Aktiepreisprozess S B ( = ( S ) ) B ( + r) ei Q -Martigal ist, d. h. S+ Q[ B F ] + S B E =. Die Mege alle äquivalete Martigalmaße bezeiche wir mit P Lemma Für de diskotierte Wertprozess eies ( HK, ) SF z. Z. gilt: ) V( H, K) V( H, K) S = + K B B i B, S S wobei ( K i B die K -Trasformierte vo ist. B Aus folgt u, dass V( H, K) B ei Q -Martigal ist für jedes äquivalete Martigalmaß Q. Dies geht i de weitere Überleguge zu arbitragefreie Marktmodelle etscheided ei. Uter Arbitrage versteht ma i. A. die Ausutzug vo Kursuterschiede bei gleichzeitigem A- ud Verkauf derselbe Wertpapiere a verschiedee Märkte (Börseplatz) oder i verschiedee Kotraktmoate (Termigeschäft). Im CRR-Modell soll dies icht möglich sei Lemma (o-arbitrage-theorem, 99) Ei Marktmodell ist geau da arbitragefrei, we gilt P. Im CRR-Modell ist dies geau da der Fall, we d < + r <u. Asoste würde im Falle u < + r eie Ivestitio i de risikolose Bod ud im Falle + r < d eie i das Asset immer mehr Gewi garatiere. Im CRR-Modell gilt weiterhi, dass es geau ei äquivaletes Martigalmaß Q P gibt (d. h. P = ). Somit ist der Markt vollstädig ud jeder Claim hedgebar. 4

17 4. ERGEBISSE AUS DER MATHEMATIK Für dieses Q ud q =,) gilt: + r d : u d ( QY [ = u] = q ud QY [ = d] = q für =,, Die Zufallsvariable Y,, Y sid uter Q iid ud weil Y ( ) [ i uq+ d q E Q + r ] + r = für alle i ist der diskotierte Aktiepreisprozess X ei Q -Martigal bzgl. F. Wir halte weiterhi fest, dass bei der Berechug des faire Preises eier Optio das origiäre Wahrscheilichkeitsmaß P keie Rolle spielt. Eie Formel hierzu basiered auf dem CRR-Modell möchte ich im ächste Pukt agebe Lemma (Preisformel für eie Stadard-Optio) Sei P (d. h. d < + r < u) ud Q P beliebig. Ferer sei C ei hedgebarer Claim ud ( HK, ) SF eie beliebige Hedgigstrategie für C. So gilt für de faire Preis des Claims z. Z. = : Π ( C) = V ( H, K) = B E [ F ] = ( + r) EQ [ C] (4.) C Q B Allgemeier gilt für de Wert des Claims z. Z. : V H K B E F r E C F ] C ( ) (, ) = Q[ B ] ( ) [ = + Q Für de Fall > ka ma de Preis auch mittels eier Rückwärtsrekursio bestimme, auf die ich u etwas äher eigehe werde. ( ) Seie C : = f( S ) = f( S i = Y) ud V : V ( H, K) ( r) = = + E [ f( S ) F ]. i Q ( Da gilt für V(, x): = ( + r) ) E[( fx Y)], x >, I die Rekursio + r Q i = Vx (, ) = E[ fx ( )] = fx ( ) ( ) Q Vx (, ) = qv ( +, ux) + ( qv ) ( +, dx) für =,, i ud damit isbesodere Π ( C) = V = V(, S ). 5

18 5. PREISFORMEL FÜR EIE UP-AD-OUT CALL OPTIO 5. Preisformel für eie Up-ad-out Call Optio achdem wir im Abschitt 4 die Formel zur Berechug eier allgemeie Optio hergeleitet habe, möchte ich mich u i diesem füfte speziell auf de faire Preis eier Up-ad-out Call Optio kozetriere. Diese gehört zu jee exotische Optioe, für dere Wertprozess ma eie geschlossee ud icht etwa rekursive Formel (vgl. 4.2) agebe ka. Dazu müsse wir zusätzlich aehme, dass d u =. Da ist der Preisprozess vo der Form Z ( ) ω = mit Z : = ud Z : = A,, für =,,. S ( ): S u ω Weiterhi defiiere wir us als Hilfswahrscheilichkeitsmaß P auf Ω die Gleichverteilug P({ ω}) : = = 2 Ω, ω Ω. Uter diesem Maß P sid die Zufallsvariable A stochastisch uabhägig mit PY [ = ] =, sodass der stochastische Prozess Z zu eiem stadard radom walk uter 2 P wird, ud es gilt: 2 k, falls k ger P[ k] + + ade Z = = 2, sost A (5.) I de weitere Betrachtuge ist es otwedig, diese radom walk bis zum Zeitpukt + zu defiiere. Dies köe wir erreiche, idem wir de Wahrscheilichkeitsraum ( Ω, F ) vergrößer. Das u folgede Ergebis spielt bei der Herleitug der Preisformel des Up-adout Calls eie etscheidede Rolle. 5. Lemma (Reflexiosprizip) Für alle k ud l gilt für de radom walk Z uter dem Maß P : P[max Z k Z = k l] = P[ Z = k + l ] (5.2) t T t t T 2( k + l + ) P[max Zt = k ZT = k l] = P[ ZT+ = + k + l] (5.3) t T T + 6

19 5. PREISFORMEL FÜR EIE UP-AD-OUT CALL OPTIO k+l k Abb. 2: Reflexiosprizip τ T k l Sei ferer Q das äquivalete Martigalmaß zu P, da ist desse Dichte gegebe durch dq = 2 q ( q) dp + Z Z 2 2 ud damit eie Fuktio i Z, dem Edwert des radom walks Z. Bevor ich i 5.2 die Preisformel für die Up-ad-out Call Optio agebe möchte, betrachte ich zuächst die Up-ad-i Call Optio, dere Preis ach der Formel { ( ) ( UIC) ( r) l k 2l ( Su + K) l q ( l q ) l= k Π = + + k l + () 2l + T l ( Su K) q( q) l } l= lk + + (5.4) bereche werde ka (vgl. [5], S. 242). Hierbei ist K > der Ausübugspreis, S > der heutige Kurs des Basisistrumets, u der Up-Faktor ud B > max{ S, K } eie gegebee Barriere. Ferer existiere o. B. d. A. ei k mit lk B = S u k, d. h. dass B ei möglicher Kurs des Basisistrumets ist. Mit sei die größte Zahl l bezeichet, sodass 2l k gilt. Da ergibt sich der faire Preis für eie Up-ad-out Call Optio gerade aus der Differez vo Π( C), dem Preis der Stadard-Optio, ud dem Preis der korrespodierede Up-ad-i Call Optio. Π( UIC) Π ( C) habe wir bereits i L berechet ud ma ka mit (5.)-(5.3) zeige, dass (4.) äquivalet ist zu 2 ( ) ( ) ( ) ( ) () l + C r S u K q l q l l l = Π = + (5.5) ist. Also köe wir u die Preisformel für eie Up-ad-out Call Optio leicht bereche. 7

20 5. PREISFORMEL FÜR EIE UP-AD-OUT CALL OPTIO 5.2 Lemma (Preisformel für die Up-ad-out Call Optio) Für ei Basisistrumet mit dem heutige Kurs S K > ud eier obere Barriere B > max{ S, K} ist der Wert eier Up-adout Call Optio zum Zeitpukt gegebe durch wobei wir o. B. d. A. aehme: >, falls maxs UOC( ) = + ( S K), sost k : B = Su, dem Ausübugspreis B, faire Preis Π (UOC) des Up-ad-out Calls mit (5.4) ud (5.5) Π ( UOC) = Π( C) Π( UIC) = { () ( + r) l k 2l ( Su + l l K) q ( q) l = ( ) l k 2l + l l ( Su K) q( q) + k l } l= k, mit l k die größte Zahl l, sodass 2l k. k l (s. obe). Da gilt für de Das Ziel dieser Ausarbeitug ist u mit der Bereitstellug eier Preisformel für die Up-ad-out Call Optio erreicht. Leser, die ihr Wisse weiter vertiefe möchte, verweise ich auf die i Kapitel 6 agegebee Literatur. 8

21 6. Literaturverzeichis [] BESTMA, U. (997): Fiaz- ud Börselexiko, 3. Auflage. DTV-Beck. [2] BREALY, R.; MYERS, S. (2): Priciples Of Corporate Fiace. McGraw- Hill. [3] COPELAD, T.; ATIKAROV, V. (2): Real Optios. Texere Publishig. [4] DEUTSCHE BAK AG, Hrsg. (999): Basisiformatioe über Fiazprodukte. [5] FÖLLMER, H.; SCHIED, A. (22): Stochastic Fiace. De Gryter. [6] KOR, R.; KOR, E. (999): Optiosbewertug ud Portfolio-Optimierug - Modere Methode der Fiazmathematik. Vieweg. [7] LUSCHGY, H. (22): Derivate Fiazprodukte aus mathematischer Sicht, Vorlesug im Witersemester 22/3, Uiversität Trier. [8] SADMA, K. (999): Eiführug i die Stochastik der Fiazmärkte. Spriger-Verlag. [9] (Stad: ) 9