Elementare Wetten (die auf ein einzelnes Ereignis A abgeschlossen werden)

Transkript

1 Prof. Dr. Alfred Schreiber Elemetare Wette Grudlegede Uterscheiduge Uter eier Wette W (i.w.s.) verstehe wir eie Vertrag, i dem zwei Parteie (im Folgede Spieler ud Bak geat) Leistuge vereibare, die vo beide Parteie zu erbige sid, we bestimmte Ereigisse eitrete, die zum Zeitpukt des Vertragsabschlusses usicher sid. Bei der "Bak" ka es sich um eie persöliche Gegespieler hadel oder um eie Orgaisatio, die Wette mit eier größere Zahl vo Spieler abschließt. Wir betrachte im Folgede ausschließlich Wette, dere Leistuge i der Zahlug vo Geldbeträge besteht. Wir uterscheide zwische Wette uterschiedlicher Struktur: Elemetare Wette (die auf ei eizeles Ereigis A abgeschlosse werde) Multiwette (die sich auf mehrere Ereigisse A, A 2, A 3,... zugleich beziehe) Die Rolle vo Spieler ud Bak sid i vertraglicher Hisicht icht immer symmetrisch. So kommt es i der Praxis vor, dass der Spieler sich zu eier Leistug (Geldzahlug) bereit fidet, die Bak jedoch keie bestimmte (soder ur eie variable) Auszahlug zusichert. Dies ist z.b. otwedig der Fall, we die Auszahlugsleistug ach dem Prizip des Totalisators festgelegt wird (vgl. Näheres dazu im Abschitt über Multiwette). Die meiste Lotterie, das Zahlelotto ud (selbstreded) Fußball- ud Pferde-Toto gehöre zu diesem Typ. I diesem Abschitt beschäftige wir us mit elemetare Wette. Bei eier elemetare Wette W (im Folgede kurz: Wette) ist es (außer beim Totalisator, s.o.) der Normalfall, dass beide Parteie ihre Leistuge exakt im Voraus festlege. Eisatz ud Gewi Der Spieler zahlt a die Bak eie positive Betrag e (de Eisatz der Wette). We das Ereigis A eitritt (d.h. der Spieler die Wette gewit), zahlt die Bak a ih eie zuvor vereibarte positive Betrag b (de Bruttogewi). Bei eier sivolle Wette übersteigt der Bruttogewi de Eisatz: b > e, sost bliebe dem Spieler, der die Wette gewit, ach Abzug seies Eisatzes kei positiver Reigewi g = b - e. Wir ee g kürzer Gewi ud fasse ih (i Abetracht der Usicherheit des Ereigisses, auf das gewettet wird) als Wert eier Zufallsvariable G auf.

2 2 Elemetare Wette.b Auszahlugsquote, Verhältis, Wettquotiet Das Verhältis vo Bruttogewi zu Eisatz heißt Auszahlugsquote q (kurz: Quote) vo W : q = b ÅÅÅÅ e Für de Gewi gilt: g = qe- e = Hq - L e. Somit gibt der Wert q - das Verhältis vo Gewi zu Eisatz wieder; wir ee ih Nettoquote ud bezeiche ih mit q`. Gelegetlich wird die Quote eier Wette durch ei gazzahliges Verhältis idirekt agegebe. Lässt sich ei Spieler z.b. auf eie Wette im Verhältis 2 : ei, so ist er bereit, 2 Geldeiheite eizusetze, währed die Bak (als Gegespieler) Geldeiheit eisetzt. De Stock vo 3 Geldeiheite erhält der Gewier. Somit etspricht dem Verhältis 2 : die Quote q = ÅÅÅÅ 3. 2 Ei Spieler, der eie Wette im Verhältis 2 : abschließt, wird dies verüftigerweise ur tu, we das "Treffer"- Ereigis A für ih doppelt so wahrscheilich ist wie das Gegeereigis êê A. Etsprechedes gilt atürlich auch für de Gegespieler im umgekehrte Verhältis. Beide Parteie drücke mit dieser Wette die (epistemisch zu deutede) gemeisame Wahrscheilichkeite PHAL = ÅÅÅÅ 2, PHAêê 3 L = ÅÅÅÅ aus. (I Wirklichkeit gehe viele, we icht die meiste 3 Spieler auf Wette ei, die eier Wahrscheilichkeitsbeurteilug keieswegs stadhalte. Solches icht-ratioale Verhalte wurzelt oft dari, dass ma i eier Risikosituatio de "große Gewi" oder auch ur spaede Uterhaltug sucht.) Der Sachverhalt soll allgemei beschriebe werde. Uter eier Wette (im Verhältis) s : t verstehe wir eie Wette mit der Quote q = ÅÅÅÅÅÅÅ s+t ; der Kehrwert dieser Quote heißt Wettquotiet w: s w = s ÅÅÅÅÅÅÅ s+t = ÅÅÅÅ q Uter bestimmte Bediguge, die ratioales Verhalte defiiere, brige Wettquotiete die epistemische Wahrscheilichkeite der Beteiligte Spieler zum Ausdruck. Wir treffe folgede Vereibarug: Fehlt bei eier Wette eie Agabe zu Verhältis, Wettquotiet oder Quote, so gehe wir stillschweiged vo dem Verhältis : aus (Stadard-Wette). Die Quote eier Stadard-Wette beträgt somit 2. Gewierwartug Ist eie objektive Wahrscheilichkeit p = PHAL bekat (z.b. aufgrud physikalischer Symmetrie), so ist der Erwartugswert EHGL des Gewis (kurz: Gewierwartug) defiiert, ud es gilt: EHGL = pg+ H - pl H-eL Wir verwede g = Hq - L e ud erhalte: EHGL = Hpq- L e

3 Elemetare Wette.b 3 Üblicherweise heißt die Wette fair (oder gerecht), we EHGL = 0, (für de Spieler) güstig, falls EHGL > 0, sost ugüstig. Legt ma die frequetistische Deutug der Wahrscheilichkeit zugrude, so schätzt die Gewierwartug de mittlere Reigewi, de der Spieler bei wiederholte Durchführuge der Wette erzielt. Bei eier faire Wette kommt es auf lägere Sicht zu eiem ageäherte Ausgleich zwische Spieler ud Gegespieler (bzw. Bak). Ma sieht ohe weiteres ei:. EHGL = 0 ó p = w 2. EHGL > 0 ó p > w 3. EHGL < 0 ó p < w Daach ist eie Stadard-Wette geau da fair (güstig, ugüstig), we p = ÅÅÅÅ I > ÅÅÅÅ, < ÅÅÅÅ M gilt Wette auf das Gegeereigis Wir bezeiche mit A' das Gegeereigis zu A ud etspreched mit p' = - p. Eiige sich Spieler ud Gegespieler auf eie Wette mit dem Verhältis s : t, so lautet die zu A gehörige Quote q = ÅÅÅÅÅÅÅ s+t ud die zu A' s gehörige Quote q' = ÅÅÅÅÅÅÅ s+t. Offebar gilt t ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ q q = Zwische de Gewierwartuge EHGL, EHG'L vo Spieler bzw. Gegespieler besteht folgede Beziehug: EHG L =-EHGL Beweis: Wettet der Spieler de Eisatz e auf A, so ist sei Reigewi Hq - L e gerade der Eisatz e' des Gegespielers. Dies ergibt sich auch recherisch sofort aus der Proportio e : e' = s : t; es gilt ja e' = ÅÅÅ t e ud s q - = ÅÅÅÅ t. Wege q' = ÅÅÅÅÅÅÅÅ q erhalte wir damit für das Verhältis der Gewierwartuge: s q- EHG'L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = EHGL Hp' q'-l e' ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = JH-pL ÿ q ÅÅÅÅÅÅÅÅ q- ÅÅÅÅÅÅ -N Hq-L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hpq-L e pq- H-pL q-hq-l pq- = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-

4 Prof. Dr. Alfred Schreiber Die Würfelspiele des Chevalier de Méré Der Chevalier de Méré war ei frazösischer Edelma des 7. Jahrhuderts, der i seie reichlich vorhadee Mußestude dem Glücksspiel fröte. I seiem Salo überahm er gere die Rolle der Bak, we er glaubte, damit gut verdiee zu köe. Beliebt ware Würfelspiele mit mehrere Würfel. Es wurde Stadard-Wette im Verhältis : (mithi zur Quote q = 2) abgeschlosse. à Das erste Spiel Vier Würfel werde geworfe. Es wird auf das Ereigis gewettet, dass keie Sechs daruter vorkommt. Wir bereche die Wahrscheilichkeit: p = I - ÅÅÅÅ 6 M4 = I ÅÅÅÅ 5 6 M4 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 625 ÅÅÅÅ º < ÅÅÅÅ Das Spiel ist ugüstig für de Spieler, güstig für die Bak. Die Gewierwartug beträgt bei eiem Eisatz vo Geldeiheit: EHGL = p ÿ 2 - =- 23 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 648 º Als "Bak" war der Chevalier somit i der Positio, durchschittlich gut 3.5 % aller gesetzte Geldbeträge eizustreiche. à Das zweite Spiel Zwei Würfel werde 24-mal geworfe. Es wird auf das Ereigis gewettet, dass keie Doppelsechs daruter vorkommt. Herr de Méré meite zuächst, dieses Spiel sei ur eie Variate mit gleiche Gewichace wie beim erste Spiel. Die Wahrscheilichkeit für eie Doppel-Sechs ist ja ei Sechstel der Wahrscheilichkeit, mit ur eiem Würfel eie Sechs zu werfe. Ma köte also vermute, dass 6-mal mehr Versuche mit zwei statt vier Würfel die alte Wahrscheilichkeit hervorbrigt. Dieses "Proportioalitäts-Deke" führt i die Irre. Der Chevalier hatte kei Eisehe, wurde aber durch Verluste i der Praxis irritiert. Die Gewi-Wahrscheilichkeit lautet: p = I - ÅÅÅÅÅ 36 M24 = I ÅÅÅÅÅ M24 º > ÅÅÅÅ 2

5 2 Würfelspiele.b Diese Wette ist also für de Spieler güstig! Setzt dieser Geldeiheit ei, so ergibt sich für ih die positive Gewierwartug EHGL = p ÿ 2 - º die auf lage Sicht der Bak Verluste eibrigt. Der Chevalier hatte es bemerkt.

6 Prof. Dr. Alfred Schreiber Multiwette Begriffliche Uterscheiduge Im allgemeiste Si ist eie Multiwette W eie Wette, die sich auf mehrere (uter Umstäde auch abzählbaruedlich viele) Ereigisse A,..., A,... bezieht. Je ach der Art der Leistug, zu der sich der Spieler vorab verpflichtet, lasse sich zwei Type uterscheide. à Wette vom Pauschaltyp Wie bei eier elemetare Wette zahlt der Spieler a die Bak eie eizige Eisatzbetrag. Die Gewi-Situatio ist u aber icht a ei Ereigis allei gebude. Vielmehr köe verschiedee Versuchsausgäge zu variierede positive Auszahluge a de Spieler führe. Ei bekates Beispiel ist das Zahlelotto, bei dem gemäß der erzielte Gewiklasse ausgezahlt wird. Beim St. Petersburger Spiel habe wir es sogar mit uedlich viele Gewiklasse zu tu (vgl. de betreffede Abschitt). à Wette vom Idividualtyp I diesem Fall realisiert der Spieler eie Eisatzverteilug He,..., e L auf das als edlich vorausgesetzte Ereigissystem HA,..., A L, d.h. er setzt de Betrag e i auf das Ereigis A i (i =, 2,..., ). Eie Multiwette dieses Typs ka durch Zusammefassug (Kopplug) mehrerer Eizelwette W,..., W zustade komme, wobei die Gegespieler jeweils adere sei köe. Es ist aber auch möglich, dass ei ud dieselbe Bak als Parter bei alle Teilwette auftritt. I diesem Fall bilde die A,..., A häufig die (sich wechselseitig ausschließede) Ausgäge eies Zufallsversuchs, z.b. beim Roulett (vgl. dazu de Abschitt über Roulett). Amerkug: Formal ka ma Wette vom Pauschaltyp dem Idividualtyp uterorde, idem ma eie kostate Eisatzverteilug aimmt ud dere Summe als Eizeleisatz betrachtet. à Vollstädigkeit Vo besoderem Iteresse sid vollstädige Multiwette, bei dee mit Sicherheit weigstes eies der Ereigisse A i eitritt, der Spieler also midestes eie Teilwette gewit.

7 2 Multiwette.b Das Prizip des Totalisators Der Totalisator ist ei verbreitetes Prizip zur Festlegug vo Quote. Diese erfolgt achträglich seites der Bak, die zuächst die Eisätze aller Spielteilehmer bis zu eiem Stichzeitpukt sammelt. Daach werde die Quote festgelegt ud die Gewie ausgeschüttet. Der isgesamt a die Spieler zurückfließede Betrag ist allerdigs ur ei Teil der Eisatzsumme, der ach Abzug vo Steuer, Betriebskoste ud dgl. mehr übrig bleibt. Beim Zahlelotto z.b. vermidert der Totalisator die Eiahme um midestes 50 %. Ei Glücksspiel ach dem Totalisatorprizip lässt sich als Multiwette eies Spielerkollektivs gege die Bak auffasse. Die Besoderheit: Das Spielerkollektiv verliert immer (zumeist sehr hoch), währed eizele (zumeist sehr weige) Spieler Gewie i bisweile beträchtlicher Höhe erziele köe. Dem Reiz großer, we auch uwahrscheilicher Gewie verdake Totalisator-Spiele ihre hartäckige Popularität. Ohe sie geht es auch icht, da "Mega-Gewie" ei etspreched großes Spielerkollektiv voraussetze. Wir wolle das Totalisatorprizip formal beschreibe: Bezeichet e k de auf das Ereigis A k eigesetze Gesamtbetrag (d.h. de Eisatz des Spielerkollektivs), so ist S = e + e e die totale Eisatzsumme ( = Eiahme der Bak). Für de auszuschüttede Betrag schreibe wir qÿs, wobei q de Ausschüttugsateil mit 0 <q agibt. Im Fall q = würde die Bak ihre Eiahme vollstädig wieder ausschütte. Die komplette Eibehaltug der Eiahme (q =0) bleibt außer Betracht, da sie de Charakter der Wette aufhöbe. Wie solle u die Quote q k zu A k festgesetzt werde? Ei aheliegedes ud eifaches Verfahre ist folgede atiproportioale Defiitio: q k = q S ÅÅÅÅÅÅÅ e k (k =, 2,..., ) Diese besagt: Ereigisse A k, auf die isgesamt große Eisätze gewettet wurde (weil die dara beteiligte Spieler a dere Eitrete glaube), erhalte umso iedrigere Auszahlugsquote. Beispiel: Auf Außeseiter beim Pferderee zu setze, ist icht besoders erfolgverspreched (weshalb auch ur eie Miderheit dies wagt). Umso höher fällt die Auszahlugsquote aus, we da wider Erwarte solche Wette gewie. Amerkug: Es ist möglich ud praktibel, die Quote ach eier adere Vorschrift als der hier formulierte zu bereche. Dabei ist aber stets eie Reziprozität vo Eisatzhöhe ud Quote zu beachte. Für das Folgede verzichte wir auf die Betrachtug solcher Variate. Aufgrud der atiproportioale Festlegug der Quote q k lässt sich sofort eie Aussage über die zugehörige Wettquotiete w k gewie: w + w w = ÅÅÅÅ q Beweis: Uter Berücksichtigug der Defiitio der w k ( = ÅÅÅÅÅÅ q k ) ergibt sich

8 Multiwette.b 3 k= w k = k= ÅÅÅÅÅÅÅ = q k k= e k ÅÅÅÅÅÅÅ q S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ q S k= e k = ÅÅÅÅÅ q Wettquotiete sid dazu geeiget, Glaubesgrade (epistemische Wahrscheilichkeite) auszudrücke (vgl. de Abschitt über Elemetare Wette). Bei eiem Totalisator-Spiel ist dies ach obiger Gleichug aber ur für q = möglich, da aderfalls die w,..., w keie Wahrscheilichkeitsverteilug über der Ereigismege 8A,..,A < darstelle. Im Sie der Wahrscheilichkeitslehre ist daher die Teilahme a eiem Totalisator-Spiel mit q < icht ratioal! Gewierwartug bei Multiwette Es soll der Erwartugswert EHGL des Gewis G berechet werde, de ei Spieler bei eier vollstädige Multiwette vom Idividualtyp mit gegebeer W-Verteilug erzielt. Wir ehme dazu für k =, 2,..., a: Der Spieler setzt de Eisatz e k 0 auf das Ergebis A k (wobei S = e + e e > 0). Die Wahrscheilichkeite p k = PHA k L sid bekat (wobei p + p p = ). Die Auszahlugsquote q k sid bekat. Ma ka sich die Situatio als Hp, p 2,..., p L-Beroulli-Rad vorstelle, auf desse Sektore, 2,..., beziehetlich die Eisätze e, e 2,..., e gewettet werde. Die Eisatzsumme S streicht die Bak ei. Gewit Sektor k, erhält der Spieler de Betrag q k e k ausbezahlt. Der Reigewi g k im Fall des Spielausgags A k ergibt sich damit zu g k = q k e k - S. Die Zufallsvariable G ka die Werte g, g 2,..., g k aehme. Über ihre Erwartugswert lässt sich zeige: à Satz über die Gewierwartug EHGL = Hq k p k - L e k k= Beweis:. Die Gleichug ergibt sich durch direktes Auswerte der Summe EHGL = k= g k p k uter Berücksichtigug der obe verabredete Aahme ud Bezeichuge (Eizelheite als Übug). 2. Ei aderer Beweis utzt die Additivität des Erwartugswertes aus. Wir deke us die Multiwette i elemetare Teilwette W,..., W zerlegt. Bei W k setzt der Spieler de Betrag e k auf A k ud de Betrag 0 auf alle übrige A j mit j k. Da erhält ma q k e k - e k = Hq k - L e k als Wert der Zufallsvariable G k, die de Gewi der Wette W k darstellt. Da bekatlich EHG k L = Hq k p k - L e k (vgl. de Abschitt über Elemetare Wette), ergibt sich: EHGL = EHG G L = EHG L EHG L. à Gewierwartug bei Totalisator-Spiele Wir werte de k -te Summade i der Formel für EHGL mit der Totalisator-Quote q k = ÅÅÅÅÅÅÅ q S e k Hq k p k - L e k = J ÅÅÅÅÅÅÅ q S p e k - N e k =qsp k - e k. Damit ergibt sich k aus ud erhalte:

9 4 Multiwette.b ud schließlich die Formel: EHGL = k= Hq Sp k - e k L =qs k= p k - e k =qs - S k= EHGL = Hq-L S Wege q ud S > 0 ist EHGL 0, d.h. ei Totalisator-Spiel ist iemals güstig. Im Normalfall q <ist es wege EHGL < 0 sogar ugüstig. Der mittlere Gewi, auf de ei Teilehmer (hier: das Spielerkollektiv) auf lägere Sicht hoffe darf, ist proportioal zur Summe aller eigesetzte Beträge. Der Proportioalitätsfaktor q- gibt de egative Ateil a, de die eibehaltee Eiahme a dieser Summe ausmache. Die Proportioalität zu S brigt zum Ausdruck, dass vo alle Eisätze e k derselbe Ateil eibehalte wird. Der große frazösische Schriftsteller ud Philosoph Voltaire soll es verstade habe, aus alle Gelegeheite Geld zu schlage. De Grud zu seiem beträchtliche Reichtum hatte er mit eier Lotterie gelegt, die vom damalige absolutistische Staat verastaltet wurde. Voltaire ud der Mathematiker La Codamie fade für dere Ausschüttugsateil q > heraus (!). Nachdem sie fiazkräftige Parter is Boot geholt hatte, kaufte sie fast die gaze Auflage der Lose auf. Der Fiazmiister war zuerst zufriede über de gute Absatz, musste am Ede aber de Fehler eiräume ud (durch eie Gerichtsbeschluss gezwuge) die Gewie zu Laste der Staatskasse ausbezahle. à Erwartugsstabilität Ist EHGL proportioal zur Eisatzsumme S, so ka ei Spieler die Gewierwartug icht beeiflusse, gleichgültig wie er die eizele Eisätze i der vo ihm isgesamt gesetzte Summe S auf die Spielausgäge verteilt. Für Totalisator-Spiele geht dies umittelbar aus der obe bewiesee Formel hervor. Es gibt aber auch adere Multiwette (z.b. Roulett), bei dee Gewierwartug ud Eisatzsumme proportioal sid. Wir ehme dies zum Alass folgeder Defiitio: Eie Multiwette (bzw. das zugehörige "Glücksspiel") heiße erwartugsstabil (kurz: stabil), we EHGL =lÿs gilt mit eiem feste lœ, Stabilitätskoeffiziet geat. Beispiele: Für Roulett gilt l=-ååååå (vgl. de Abschitt über Roulett). Das Glücksspiel Lustige Siebe ist higege 37 icht stabil. Es lasse sich Eisatzverteiluge fide, dere Gewierwartug größer ist als die aller adere Eisatzverteiluge (vgl. die Übugsaufgabe). Stabile (vollstädige) Multiwette werde charakterisiert durch de folgede Satz: Stabilitätskriterium Eie Multiwette ist stabil geau da, we q k p k = cost ( k ). Beweis:. Sei q k p k = cost (k =, 2,..., ). Wir setze l := q k p k - ud erhalte sofort EHGL =ls. 2. Sei u umgekehrt EHGL =ls. Da gilt für alle Eisatzverteiluge e,..., e mit der Summe S : k= Hq k p k - L e k = l e k k= Spezialisiert ma e = S ud e k = 0 für k, so ergibt sich: Hq p - L S =ls ud damit q p = cost ( =l+). Für e 2 = S ud e k = 0 (k 2) folgt i derselbe Weise: q 2 p 2 = cost, usf. bis e = S, e k = 0 für k.

10 Multiwette.b 5 Es ist aufschlussreich, sich vor dem Hitergrud des Stabilitätskriteriums i die Rolle der Bak zu versetze, die ei bestimmtes "Glücksspiel" verastaltet. Natürlich möchte sie vo alle Versuchsausgäge gleichmäßig profitiere, d.h. sie muss eie stabile Multiwette abiete ud dafür sorge, dass zu gegebeer Totalsumme S aller Eisätze ihre Gewierwartug EHGL stets gleich bleibt. Nach dem Stabilitätskriterium wird dies garatiert, we ur die Quote q k proportioal de Kehrwerte der Wahrscheilichkeite p k sid. Derselbe Sachverhalt lässt sich auch mit de früher betrachtete Wettquotiete ( w k = ÅÅÅÅÅÅ ) formuliere: Stabile q k Multiwette sid dadurch gekezeichet, dass ihre "objektive" Wahrscheilichkeite p k ud die Wettquotiete w k (durch die für die Versuchsausgäge A k "subjektive" Wahrscheilichkeite ausgedrückt werde) proportioal sid. Geauer gilt (mit dem Stabilitätskoeffiziete l): p k = H +ll w k für alle k =, 2,..., Für Totalisator-Spiele gilt: l=q- ud w k =q - p k. Opportuistisches Spielverhalte Das Folgede bezieht sich auf Multiwette, dere Quote ach dem Totalisatorprizip ermittelt werde. à Zweistufige Dyamik Es ka (wie beim Pferderee) vorkomme, dass die Totalisatio der Eisätze zweistufig erfolgt. Zum Zeitpukt, der die beide Stufe voeiader tret, wird eie Art "Zwischebilaz" gezoge, d.h. die bis dahi (i sog. Vorwette) gesetzte Beträge e,..., e werde (ach dem Totalisatorprizip) i Quote umgerechet: q k = ÅÅÅÅÅÅÅ q S e k (k =,..., ), ud öffetlich bekatgegebe. Die Spieler erfahre auf diese Weise, wie das Spielerkollektiv die Wette eischätzt. Ei eizeler Spieler hat u eie ggfs. zweite Gelegeheit, Geldbeträge zu setze. Er ka sich dem Tred aschließe, d.h. auf favorisierte Pferde bevorzugt wette, oder ei höheres Risiko bei Außeseiter eigehe, um vo eier höhere Auszahlugsquote zu profitiere. Auf dem Replatz gibt es dazu allerlei "impressioistische" Hitergrud: Besichtigug vo Pferd ud Jockey i der Vorführrude, Isider-Tipps aus der Gerüchteküche, usw. Die eue Eisätze, die sich währed der zweite Stufe asammel, seie mit e *,..., e * bezeichet, etspreched S * = e * e *. Die fiale Quote q k * werde daraufhi ach dem Totalisatorprizip errechet, wobei für A k die Summe aus beide Stufe e k + e k * zu Grude gelegt wird. Wir wolle aehme, dass sich das Spielerkollektiv opportuistisch verhält. Das eifachste derartige Verhaltesmodell wird durch die proportioale Beziehug e k * w k dargestellt. Wir otiere sie i der Form e k * =aÿ für eie reelle Kostate a>0. Es lässt sich zeige, dass uter dieser Voraussetzug die fiale Quote mit de Quote aus de Vorwette übereistimme: ÅÅÅÅÅÅÅ q k q k * = q k für alle k =, 2,...,

11 6 Multiwette.b Beweis: Zuächst bestimme wir de Wert vo a. Es gilt S * = k= Es ist also a=qs *. Damit erhalte wir e * k =a k= ÅÅÅÅÅÅÅ q k =a k= q * k = q HS + S* L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = q HS + S* L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ e k + e * q S k ÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅ a q k q k = e k ÅÅÅÅÅÅÅÅ q S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ a q S k= e k = a ÅÅÅÅÅ q q HS + S * L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q S +qs q * k = q k à Kovergez bei mehrstufiger Dyamik Es soll och eie adere Modellierug opportuistische Spielverhaltes erwäht werde. Sie ist bei beliebig wiederholbare Spieldurchgäge realisierbar ud beschreibt ei Spielerkollektiv, das seie Eisatz auf dem Ausgag A k proportioal zum mittlere Gewi wählt, der im bisherige Spielverlauf auf A k verwirklicht wurde. Die Teilehmer müsse dabei weder die objektive Wahrscheilichkeite p k kee och die Auszahlugsquote q k, die der Totalisator auf jeder Stufe ermittelt. Ma ka zeige: Im Laufe der Zeit etsteht eie Folge vo Wettquotiete w k HL, w k H2L, w k H3L,..., die für t Ø gege q - p k (mit Wahrscheilichkeit ) strebt. [Vgl. A. Schreiber: Zur Apassugsdyamik subjektiver Wahrscheilichkeite. Grudlagestudie aus Kyberetik ud Geisteswisseschaft 2 (980), 7-25]. Die hier ageommee Form des Opportuismus stabilisiert somit zumidest auf lage Sicht ei dyamisches Wettsystem. Für q=sid die Wettquotiete w k HtL als subjektive (epistemische) Wahrscheilichkeite iterpretierbar, die stochastisch gege die objektive Wahrscheilichkeite p k kovergiere. Eie Summeregel für Quote Bei viele Glückspiele ist es üblich, aus de vorhadee Elemetarereigisse A,..., A eue Ereigisse zusammezusetze. Z.B. werde im Roulett zwei beachbarte Zahlefelder zu eier eue "Chace" (als Cheval bezeichet) verkoppelt. Wir betrachte allgemei de aaloge Fall, dass Versuchsausgäge A, A 2 zu eiem wettbare Ereigis A verbude werde. Es stellt sich da die Frage, wie die Quote q für A festzulege ist, we die Quote q, q 2 für A bzw. A 2 gegebe sid. Eie aheliegede Vorgehesweise erschließt sich durch folgede Grudsatz: Kohärezprizip Durch Ereigisbüdelug soll sich die Gewierwartug icht äder. Das hat umittelbar zur Folge: Der Summad im Erwartugswert, der sich auf das zusammegesetzte Ereigis A bezieht, liefert deselbe Beitrag wie die beide Summade, die zu de Ereigisse A ud A 2 gehöre, zusamme. Mit der obe hergeleitete Formel für de Erwartugswert EHGL ergibt sich: Hq p - L e + Hq 2 p 2 - L e 2 = Hq Hp + p 2 L - L He + e 2 L

12 Multiwette.b 7 Die rechte Seite dieser Gleichug (mit der ubekate Quote q) beschreibt de Ateil vo A a der Gewierwartug. Nach q aufgelöst erhalte wir: q = q p e + q 2 p 2 e 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hp + p 2 LHe + e 2 L Im allgemeie liefert dieser Ausdruck keie vo der Eisatzverteilug uabhägige Festsetzug der "Verbudquote" q. Aders bei stabile Wette. Für diese gilt ämlich ach dem obe bewiesee Stabilitätskriterium: q p = q 2 p 2 =l+ (l Stabilitätskoeffiziet), woraus mit p = p + p 2 = PHAL folgt: q = Hl+LHe + e 2 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ phe + e 2 L = l+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p Die Kostaz der Produkte aus Quote ud Wahrscheilichkeit gilt (bei stabile Multiwette) demach auch für beliebige zusammegesetzte Ereigisse: q p=l+. Die Formel zur Berechug der Verbudquote q aus de Eizelquote q ud q 2 ergibt sich aus dem bisher Hergeleitete ohe Mühe: à Satz über die Verbudquote bei stabile Wette Beweis: ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p q ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = p +p 2 l+ l+ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p + ÅÅÅÅÅÅÅÅ p 2 = ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅ l+ l+ q q 2 ÅÅÅÅÅ q = ÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅ q Amerkug: Die Beziehug zwische Verbudquote ud Eizelquote bei erwartugsstabile Multiwette ist formal idetisch mit der aus der Elektrizitätslehre bekate Beziehug zwische Gesamtwiderstad ud parallel geschaltete Eizelwiderstäde. q 2

13 Prof. Dr. Alfred Schreiber Aufbau des Roulettspiels Die folgede kleie Studie zum Aufbau des Roulett-Spiels utzt das begriffliche Istrumetarium der Abschitte über Elemetare Wette ud Multiwette. Auch die Materialie zum Roulett (Satzmöglichkeite ud Gewichace auf dem Tableau) sollte bekat sei. User Vorgehe ähelt ei weig eier "Neu-Erfidug" des Spiels. Am Afag steht eie Liste mit plausible ud zweckmäßige Aforderuge, aus der da schrittweise die kokrete Eigeschafte ud Strukture des Spiel deduziert werde. à Grudlegede Forderuge Folgede (och recht allgemei gehaltee) Eigeschafte werde für Roulett gefordert: R. Es hadelt sich um ei reies Glückspiel, d.h. Gewi ud Verlust werde zufällig ud icht aufgrud vo Geschicklichkeit ud itelligetem Verhalte realisiert. Die Versuchsvorrichtug (Kessel) ist dazu mit eier Azahl gleichwahrscheilicher Ausgäge versehe. Als Vorbild ka ei Beroulli-Rad mit gleichgroße Sektore diee. R2. Die Ausgäge sid Zahle: W=80,,..., <. Die Zählug begit bei 0, weil dem damit verbudee Ereigis Zero eie besodere Rolle zukomme soll. Die Zahl werde wir später festlege. R3. a) Damit der Bakhalter ruhig schlafe ka, wird Erwartugsstabilität verlagt. b) Um die Bak i eie Vorteilspositio zu brige, muss der Stabilitätskoeffiziet egativ sei (l<0). c) Um die Spieler zu motiviere, muss die Gewierwartug maximal sei. R4. Die Auszahlugsquote auf alle wettbare Ereigisse sid gaze Zahle. R5. Um de Spieler Abwechslug zu biete, werde möglichst viele zusammegesetzte Ereigisse i das Wettgeschehe eibezoge. R6. Bei der Realisierug des Geräts ist ei optimaler Kompromiss zu fide zwische der physikalische Kotrolle (der Gleichverteilug) eierseits ud der Übersichtlichkeit für die Spielteilehmer (Größe des Tableaus). à Stabilitätskoeffiziet ud Quote Die Wahrscheilichkeite der Roulett-Zahle k seie p k (k œw). Es gilt ach R ud R2: p 0 = p =...= p = ÅÅÅÅÅÅÅÅ +. Wir otiere kürzer p = p k. Mit q k bezeiche wir die Auszahlugsquote für die Zahl k.

14 2 Aufbau Roulette.b Wird die Forderug R3 a) erfüllt, so liefert das Stabilitätskriterium: q k p k =l+. Daraus ergibt sich sofort, dass alle Zahle k dieselbe Quote q H = q k L erhalte. Wir löse die Gleichug ach l auf: l=qp- = ÅÅÅÅÅÅÅÅ q ÅÅÅÅÅÅÅ + - Die i R3 b) geforderte Bedigug l<0 ist daher geau da erfüllt, we q < + ; dabei ist R4 zufolge q als gaze Zahl zu wähle. Die Forderug R3 c) ach größtmöglicher Gewierwartug (für de Spieler) macht diese Wahl eideutig. De für eie stabile Wette gilt EHGL =ls, d.h. wir müsse q so festlege, dass l maximal wird. Dies ist geau für q = der Fall. Isgesamt erhalte wir damit Werte für die Eizelquote ud de Stabilitätskoeffiziete, die ur och vo der Tableaugröße abhäge: q = ud l=- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + à Verbudquote ud Tableau Um R5 Geüge zu tu, werde zusammegesetzte Ereigisse A ÕW i das Wettgeschehe eibezoge. Nach R4 muss auch dere Quote qhal gaz sei. Es ergibt sich ach dem Satz über die Verbudquote bei stabile Multiwette: ud damit: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qhal = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ q qæ»a»-mal = ÅÅÅÅÅÅ»A» q qhal = ÅÅÅÅÅÅÅÅ q ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ» A»» A» Damit möglichst viele A' s defiiert werde köe, muss zahlreiche Teiler besitze. Bei = 29 etwa erhielte wir icht eie eizige zusammegesetzte Gewichace. Auf der adere Seite verhidert die Forderug R6 zu große Werte vo. De damit würde das Tableau zu uübersichtlich, aber auch die Fächer bzw. der zugehörige Sektorwikel des Kessels zu klei für eie zuverlässige Laplace-Maschie. Aus Grüde der Praktikabilität wird ma daher 00 eischräke. Glücklicherweise beötige wir für eie größere Teilermege vo icht ubedigt auch große Zahle. Ist aus weige kleie Primfaktore aufgebaut, so hat sie viele Teiler. Wir verschaffe us eie Fuktiosverlauf der Teilerazahl vo für 00: << Graphics`Graphics` << Modellbildug`Verteiluge`

15 Aufbau Roulette.b 3 ta = Table@Legth@Divisors@DD, 8,, 00<D; LiieDiagramm@ta, D Die größte Teilerazahl, die i diesem Itervall vorkommt, ist 2 (für = 60, 72, 84, 90, 96). Die ächstiedrigere Azahle sid 0 (für = 48, 80) ud 9 (für = 36, 00). Immerhi hat die kleie Zahl =24 bereits 8 Teiler. Fazit: Als brauchbare Werte für bleibe: 24, 36, 48, 60. Für welches solle wir us etscheide? Natürlich ist das keie rei mathematische Frage mehr. Alle vier Werte komme prizipiell i Betracht. Es ließe sich allefalls och ihre "Ergiebigkeit" i Form des Quotiete ÅÅÅÅÅÅÅÅ thl messe, wobei thl = Teilerazahl vo bedeutet: Bei diesem Test scheidet die 24 am beste ab! Tatsächlich gibt es auch ei dem Roulett verwadtes Spiel ames Roulca, das auf dieser Zahl aufbaut. Es wurde vo dem Croupier Josef Schlosser währed seier Kriegsgefageschaft i Frakreich erfude ud später im Kleie Saal des Casios Bade-Bade gespielt. Bekatlich baut das Roulett-Spiel auf dem "zweitbeste" Wert = 36 auf. Zu jedem echte Teiler t vo 36 erhalte wir aus userer obe hergeleitete Verbudquote-Formel eie gaze Auszahlugsquote q ud damit eie Typ vo Gewichace:

16 4 Aufbau Roulette.b Teiler t Quote q Ereigisse ("Chace") 8 2 sog. Eifache Chace (8 Zahle) 2 3 Dutzed, Koloe (2 Zahle) 9 4 [ icht realisiert ] 6 6 Eifache Trasversale (6 Zahle) 4 9 Carré (4 Zahle) 3 2 Volle Trasversale (3 Zahle) 2 8 Cheval (2 Zahle) 36 Plei ( Zahl) Bei de eifache Chace Maque (-8) ud Passe (9-36) sowie bei alle Chace mit Quote q 4 sid die Zahlefelder verbude. Eie Chace mit 9 Felder wurde (vermutlich aufgrud der 3 2-Tableau-Geometrie icht realisiert. Ma beachte: Im Regelwerk des Roulett werde die Gewizahluge durch die Nettoquote q` = q - agegebe. Für die "Bruttoquote" bestätigt ma die im Satz über die Verbudquote formulierte "Summeregel" (als Übugsaufgabe). à Gewierwartug Der Stabilitätskoeffiziet des Roulett-Spiels beträgt l=-åååååååå =- ÅÅÅÅÅ º Daach ist die Gewierwartug µ Eisatzsumme, d.h. uabhägig vo der Art, wie die Spielchips auf dem Tableau verteilt werde, habe die Spieler im Mittel mit eiem Verlust vo 2.7 % ihrer Eisätze zu reche. Ei irgedwie geartetes "Spielsystem", das sichere Gewie garatiert, ist damit ausgeschlosse. Die berechete Gewierwartug gilt allerdigs ur für die icht-eifache Chace. Der Grud dafür liegt dari, dass bei Ausgag 0 (Zero) die Eifache Chace (Rot, Schwarz, usw.) mit etwas mehr Milde behadelt werde. Die Eisätze auf ihe gehe icht direkt verlore, ud der Spieler erhält zwei Wahlmöglichkeite (was die Sache recherisch etwas komplizierter macht):. Sei Eisatz geht zur Hälfte verlore, oder 2. er wird gesperrt (e priso). Kommt beim ächste Spiel wieder Zero, erhält die Bak de Eisatz, aderfalls wird er wieder freigegebe (vorausgesetzt die Eifache Chace, auf der er liegt, gewit). Das klassische frazösische Roulett sieht bei wiederholtem Zero sogar eie zweite Sperrug vor, die durch zwei Freigabe wieder aufgehobe werde muss. Es soll hier darauf verzichtet werde, aus diesem Reglemet ud seie Variate die jeweilige exakte Stabilitätskoeffiziete für das Eifach-Chace-Spiel zu bereche. Vgl. dazu [P. Davies, A.S.C. Ross: Repeated zero at roulette. The Mathematical Gazette 63, No. 423 (979), 54-56]. Gehe wir vo der vereifachte Aahme aus, woach bei Zero die Bak die Hälfte des Eisatzes auf Eifache Chace eizieht, so ergibt sich: l=-ååååå º (zur Übug). Dieser Wert ist als realistische Näherug a die Realität zu betrachte. 74

17 Aufbau Roulette.b 5 Wette auf Eifache Chace habe (icht zuletzt agesichts der gemäßigt egative Gewierwartug) ihre Reiz. Wer 000 auf Rot setzt, gewit mit eier Wahrscheilichkeit vo 48.6 % weitere 000 dazu. Vergliche mit de Gewi-Wahrscheilichkeite beim Lotto ud adere Totalisator-Spiele ist dies ei außerordetlich hoher Wert. Z.B. gewit ma "4 Richtige" beim Lotto (6 aus 49) mit weiger als Promille! Beim Roulett sid atürlich größere Eisätze erforderlich ud etspreched gute Nerve, um die Alles-oder-Nichts-Situatio auszuhalte. Bei lägerem Wette mit kleiere Eisätze beeiträchtigt ei Spieler die Chace, vo eier Laue des Zufalls zu profitiere, da da die größere Azahl der Spieldurchgäge zum statistische Ausgleich ud damit zu eier bessere Approximatio a die theoretische Gewierwartug führt ud die ist bekatlich egativ!

18 Prof. Dr. Alfred Schreiber Eie doppelte Buchmacherwette Aufgabe I Coi City etscheidet sich am Wocheede die Stadt-Boxmeisterschaft im Halbschwergewicht zwische Johy Cash ud Nat Miller. Bruo, der gere bei solche Gelegeheite wettet, setzt bei seiem Buchmacher 00 $ auf de Sieg vo Cash bei eiem Wettverhältis 0 : 3. Als Bruo am Freitag vor dem Kampf i eiem adere Stadtteil Eikäufe macht, bemerkt er dort zufällig eie Buchmacher, der Wette auf de Sieg vo Miller im Verhältis 5 : 4 aimmt. Bruo dekt eie Augeblick ach!...?..." ud fidet eie Eisatzbetrag, der ihm bei jedem Ausgag des Kampfs eie positive Gewi garatiert. Welche Eisatzbeträge komme für Bruo (bei der zweite Wette) i Frage? Welche Gewie köe erzielt werde? Ka Bruo es so eirichte, dass die Höhe seies Gewis uabhägig davo ist, wer als Sieger aus dem Kampf hervorgeht? Lösug Bezeichuge: A Sieg vo Cash, A 2 Sieg vo Miller Auszahlugsquote: q Eisätze: e 00, e 2 x 2.3, q ! Welche Eisatzbeträge x komme i Frage? We beide Wette (zu eier vollstädige Multiwette zusammegefasst) eie positive Gewi brige solle, sid die Bediguge zu erfülle: q e!e e 2 " 0 q 2 e 2!e e 2 " 0

19 2 Doppelte Buchmacherwette.b Das Lösugsitervall für de 2. Eisatz lässt sich leicht per Had ausreche. Auch Mathematica ka Ugleichuge löse:!! Algebra`IequalitySolve` IequalitySolve! "2.3 " 00 # #00 $ x$ % 0,.8 " x # #00 $ x$ % 0%, x& 25.! x! 30. e 2 ka somit im offee Itervall!25; 30" gewählt werde. Zum Beispiel ergibt sich für e 2 26 $ die folgede Situatio: "2.3 " 00 # #00 $ x$,.8 " x # #00 $ x$% '. x& 26!4., 0.8" Das heißt, bei eiem Sieg vo Cash beläuft sich Bruo's Reigewi auf 4 $, bei eiem Sieg vo Miller auf 80 Cets.! Welche Gewie köe erzielt werde? Wir defiiere die beide Gewifuktioe: g!x_& :' 2.3 " 00 # #00 $ x$; g2!x_& :'.8 " x # #00 $ x$; Die Fuktiosgraphe vo g ud g2: Plot!"g!x&, g2!x&%, "x, 25, 30%&; Im güstigste Fall erzielbare positive Gewie:

20 Doppelte Buchmacherwette.b 3 Plot!Max!g!x&, g2!x&&, "x, 25, 30%, PlotRage & "0, 5%&; Im ugüstigste Fall erzielbare positive Gewie: Plot!Mi!g!x&, g2!x&&, "x, 25, 30%, PlotRage & "0, 5%&; ! Gleicher Gewi uabhägig vom Ausgag der Wette? Die Bedigug dafür lautet: g!x" g 2!x" x ' x '. Solve!g!x& ( g2!x&, x&!!&& I diesem Fall beträgt der Gewi 2 $ 22 Cet: g!x& Ugefähr diese Betrag hatte Bruo für die Fahrt mit öffetliche Verkehrsmittel i jee Stadtbezirk aufbrige müsse, wo er auf de zweite Buchmacher stieß.

21 Prof. Dr. Alfred Schreiber Gewisichere Eisatzverteiluge Das Problem à Vorbemerkuge Das eiführede Beispiel "Eie doppelte Buchmacherwette" ethält die Aufgabe, zu eier vollstädige Multiwette mit zwei Ausgäge A, A 2 Eisätze e, e 2 zu bestimme, die dem Spieler eie positive Reigewi uabhägig vom Wettausgag garatiere. Die Möglichkeit eier solche gewisichere Eisatzverteilug hägt allei vo de Auszahlugsquote ab; die Wahrscheilichkeite der Ausgäge A k spiele i diesem Zusammehag keie Rolle. Wir wolle das Problem i allgemeier Form formuliere ud löse. à Formulierug des Problems Wir setze eie vollstädige Multiwette mit sich gegeseitig ausschließede Ausgäge A,..., A ud zugehörige Quote q,..., q (sämtlich > ) voraus. Der Eisatz eies Spielers auf A k werde mit e k bezeichet, die Summe aller Eisätze mit S = e e. Der Gewi (Reigewi), der bei Eitritt vo A k erzielt wird, lässt sich da darstelle als g k = g k He,..., e L = q k e k - S, wobei k Eie Eisatzverteilug He,..., e L mit ichtegative e k heiße gewisicher, we g k He,..., e L > 0 für alle k =, 2,...,. Aus der Defiitio ergibt sich sofort e k > 0 für alle k =, 2,...,. (Bei eier gewisichere Eisatzverteilug etsteht uter alle Umstäde ei positiver Gewi, es muss also auf sämtliche Ausgäge ei positiver Eisatz gewettet werde.) Wir stelle folgede Frage:

22 2 Gewisichere Eisatzverteiluge.b. Uter welcher (hireichede ud/oder otwedige) Bedigug für die Quote gibt es gewisichere Eisatzverteiluge? 2. Wie lasse sich im Falle ihrer Existez die Eisatzbeträge gewisicherer Verteiluge effektiv bereche? Defekt eier Wette Der folgede Gedakegag hat heuristische Charakter; er motiviert u.a. de Begriff Defekt eier Wette, der eie Schlüsselrolle bei der Lösug useres Problems spielt. Da auf alle A k ei positiver Betrag gesetzt wird, liegt es ahe, die Multiwette auf jeweils A,..., A als elemetare Wette auf das Ereigis A H = A A L zu deute. Dabei ist S der Eisatz auf A. Wir müsse u och die Verbudquote q für A festlege. Das Kohärezprizip (woach sich die Gewierwartug durch die hier vorgeommee Büdelug der Wettausgäge icht äder soll) liefert im allgemeie keie Quote, die vo de Eisätze e,..., e uabhägig ist. Wir wolle daher (vorübergehed) aehme, dass bei jedem Wettausgag ei kostater Reigewi g etsteht: g =...= g = g. I diesem Fall erhalte wir offebar eie stabile Wette (es ist EHGL = p g p g = g). Nach dem Satz über die Verbudquote (vgl. de Abschitt "Multiwette") gilt i diesem Fall für die (ach dem Kohärezprizip ermittelte) Quote q ud de zugehörige Wettquotiete w: w = ÅÅÅÅÅ q = ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ q Ist der Wettquotiet w, lässt er sich als subjektive Wahrscheilichkeit deute, die der Spieler dem Ereigis A zuschreibt. Da A objektiv sicher ist, erscheit allei w = als verüftig. Nichtsdestoweiger sid i der Praxis für w Werte < ud > möglich. (So ließe sich etwa im Beispiel "Doppelte Buchmacherwette" der Wert w = ÅÅÅÅÅ 0 + ÅÅÅÅ 5 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 205 < dadurch erkläre, dass die erste Quote vo eiem Buchmacher festgelegt wird, der ichts vo dem zweite Buchmacher ud seier Quote für das Gegeereigis weiß ud umgekehrt.) q à Defiitio Die Differez v := - w bzw. ausführlicher v := - ÅÅÅÅÅÅÅ q k= k heiße Defekt der Multiwette mit de Auszahlugsquote q,..., q.

23 Gewisichere Eisatzverteiluge.b 3 Das Hauptresultat à Vorbereitug Wir wolle zur Vorbereitug des Hauptresultats die heuristische Überlegug des voragehede Abschitts och etwas ausbaue. Dabei gelte weiterhi die Aahme: g =...= g = g. Es ergibt sich: e k q k = g + S = cost, oder als Verhältisgleichug geschriebe: (*) e : e 2 :... : e = ÅÅÅÅÅÅ q : ÅÅÅÅÅÅ q 2 :... : ÅÅÅÅÅÅ q Daraus lasse sich u Eisätze e k bestimme, die eie kostate Gewi g uabhägig vom Ausgag der Wette garatiere. Da das Ereigis A i jedem Fall eitritt, ergibt sich der sichere Reigewi g = qs- S = Hq - L S. Wir stelle damit die Eisatzsumme S wie folgt dar: (**) S = g ÅÅÅÅÅÅÅÅ = g ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q- qj- ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅ g q N qÿv Tatsächlich lässt sich aus (*) ud (**) folger: e k = g ÅÅÅÅÅÅÅÅ q k v für k =, 2,..., Beweis: Ma beachte, dass e e = S ud folgede Hilfsbehauptug: g ÅÅÅÅÅÅÅÅ q v g ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ g q v qv gilt. Der Rest ergibt sich da aus der Es sei x x = y y 0 ud x :... : x = y :... : y. Da gilt x k = y k für alle k =,...,. Beweis der Hilfsbehauptug: Es gibt eie reelle Zahl a, sodass x k =ay k ( k ). Damit folgt k= x k =a k= y k ud a=. à Satz über gewisichere Eisatzverteiluge Folgede Aussage sid äquivalet: () Zu jedem g > 0 existiert geau eie Eisatzverteilug mit g =...= g = g. (2) Es gibt eie Eisatzverteilug mit g > 0,..., g > 0. (3) Für de Defekt v gilt: v > 0. (4) Für alle Eisatzverteiluge gilt: g g > 0. Beweis: Zuächst beweise wir die Äquivalez vo ()-(3) durch Rigschluss; aschließed wird H3L ñ H4L gezeigt. () fl (2): Eie ach () existierede Eisatzverteilug erfüllt atürlich auch Bedigug (2).

24 4 Gewisichere Eisatzverteiluge.b (2) fl (3): Sei He,..., e L eie Eisatzverteilug, die der Bedigug (2) geügt, d.h. es gilt q k e k - S = g k > 0 mit k. Wir erhalte daraus ÅÅÅÅÅÅ < ek ÅÅÅÅÅ ud weiter e ÅÅÅÅÅÅ < q k S k= ÅÅÅÅÅ k =. Somit gilt für de Defekt: v > 0. q k k= S (3) fl (): Sei g > 0 vorgegebe ud v > 0 (wie i (3) vorausgesetzt). Wir defiiere eie Eisatzverteilug durch e k := ÅÅÅÅÅÅÅÅ g ud zeige g q k v k = g für k =, 2,..., : g k He,..., e L =q k e k - S = g ÅÅÅÅ v - k= e k = ÅÅÅÅ g v - g ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q k= k v = ÅÅÅÅ g v i j - y ÅÅÅÅÅÅÅ k q k= k z = g { Tatsächlich sid die so defiierte e k ( k ) die eizige Lösug des Gleichugssystems q k e k - He e L = g. Ma zeigt dazu, dass die zugehörige Matrix i q` y - q` j k q` mit q` k = q k - (Nettoquote) ist regulär ist (d.h. de Rag besitzt). (3) ñ (4): Für eie beliebige Eisatzverteilug He,..., e L gilt: v > 0 ñ ÅÅÅÅÅÅÅ < = ÅÅÅÅ q k= k S k= i ñ 0 < j e k ÅÅÅÅÅÅÅ k S - ÅÅÅÅÅÅÅ y z q k { k= ñ 0 < k= e k Hq k e k - SL = g k k= z { à Folgeruge Der voragehede Satz charakterisiert Wette W, bei dee gewisichere Eisatzverteiluge möglich sid. Das hireichede ud otwedige Kriterium dafür lautet, dass der Defekt v vo W positiv ist: v = - ÅÅÅÅÅÅ > 0. Dem k= q k Beweis etimmt ma, wie Eisätze e,..., e effektiv zu bereche sid, für die sich ei vorgegebeer kostater Reigewi g H > 0L ergibt. Es gilt: e k = ÅÅÅÅÅÅÅÅ g für k =, 2,...,. q k v Beispiel: Eie vollstädige Multiwette habe die Quote q = 2, q 2 = 3.5, q 3 = 5. Wege v = > 0 lasse sich gewisichere Eisätze fide, z.b. garatiere e = 3500, e 2 = 2000, e 3 = 400 eie sichere Gewi vo 00 Geldeiheite uabhägig vom Wettausgag. We die Eisatzsumme S vorgegebe wird (um damit die Ausgabe für die Wette zu beschräke), so ergibt sich für de da erzielbare kostate Gewi g: also: g = S = k= g ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ g q k v v H - vl ÅÅÅÅÅÅÅÅ v S. Die zugehörige Eisätze laute damit: -v

25 Gewisichere Eisatzverteiluge.b 5 e k = ÅÅÅÅÅÅÅÅ S ÅÅÅÅÅÅÅ - v ÿ ÅÅÅÅÅÅÅ für k =, 2,..., q k Liegt bei eier Wette W eie Wahrscheilichkeitsverteilug Hp,..., p L vor, so lässt sich ei eifacher Zusammehag zwische Gewierwartug ud Defekt vo W erkee: Ist W bei alle Eisatzverteiluge güstig (fair, ugüstig), so ist der Defekt vo W positiv (Null, egativ). Beweis: Wir behadel de Fall, dass W güstig bei alle Eisatzverteiluge He,..., e L ist, d.h. es gilt: EHGL = k= Hq k p k - L e k > 0, ud damit auch q k p k - > 0 für alle k =,...,. Wir erhalte hieraus ÅÅÅÅÅÅ < p k ud schließlich v = - k= ÅÅÅÅÅÅ > - q k= p k = 0. Aalog verlaufe die übrige Fälle. k q k Defekt ud Stabilitätskoeffiziet Bei stabile Wette lässt sich der Zusammehag zwische Gewierwartug ud Defekt v durch de Stabilitätskoeffiziete l ausdrücke: l= v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - v Beweis: Für eie stabile Wette gilt: q k p k =l+, mithi erhalte wir ÅÅÅÅÅÅ q k Hieraus ergibt sich v = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ l+ Folgerug für Totalisator-Spiele: k= sowie l= v ÅÅÅÅÅÅÅÅ -v. ÅÅÅÅÅÅÅ = q k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ l+ k= p k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ l+ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p k ud l+ Wege l=q- wird hier v = - ÅÅÅÅ. Es ist ferer q = geau da, we v = 0. q Geometrische Deutug Dieser Paragraph wird zu eiem spätere Zeitpukt achgeliefert.