FORMELSAMMLUNG MATHEMATIK 10. BIS 13. SCHULJAHR

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1 FORMELSAMMLUNG MATHEMATIK 0. BIS 3. SCHULJAHR GYMNASIUM AM MÜNSTERPLATZ Münsterpltz Bsel Telefon +4 ( Telefx +4 ( Emil gymnsium.muensterpltz@bs.ch Internet gmbsel.ch

2 Gymnsium m Münsterpltz Formelsmmlung Mthemtik Vorwort Die Formelsmmlung ist mit dem Ziel erstellt worden, die Formeln in einem uf den Unterricht bezogenen Kontext in übersichtlicher Form wiederzugeben. Dnksgung Gnz herzlich dnken möchte ich meinem Freund und Kollegen Dr. Thoms Schindler-Wunderlich für die nregenden Diskussionen beim Erstellen der Formelsmmlung, meinen Kolleginnen Dr. Ptrici Heckendorn, Dr. Stephnie Jess und Ptrizi Porcro, sowie meinen Kollegen Dr. Rmon Gonzlez, Bruno Hümmer und Dr. Urs Müller für ihre detillierten Kommentre und Fru Ver Schindler-Wunderlich für ds Korrekturlesens des Mnuskripts der deutschen und englischen Version. Dr. Helmr Meier Bsel, Juni 205 GM-Formelsmmlung Mthemtik Version., 205

3 GM-Formelsmmlung Mthemtik Inhltsverzeichnis Konstnten 2 2 Zhlenmengen 2 3 Grössen elementrer Figuren und Körper 2 4 Strhlensätze 2 5 Flächensätze für rechtwinklige Dreiecke 3 6 Trigonometrie 3 7 Qudrtische Gleichung 4 8 Potenzen 4 9 Logrithmus 5 0 Folgen und Reihen 5 0. Grenzwert einer Zhlenfolge Arithmetische Zhlenfolgen Geometrische Zhlenfolgen Funktionen 6 2 Grenzwerte von Funktionen 6 2. Stetigkeit einer Funktion Asymptoten Ableitung einer Funktion Funktionsdiskussion Newton-Verfhren Integrtion 8 3. Unbestimmte Integrtion Bestimmtes Integrl Sttistik 9 5 Kombintorik 0 6 Whrscheinlichkeitsrechnung 0 6. Bedingte Whrscheinlichkeit Zufllsvriblen 2 7. Spezielle Zufllsvriblen Anlytische Geometrie und Vektorgeometrie 3 9 Wertetbelle der Verteilungsfunktion der Stndrdnormlverteilung 6

4 GM-Formelsmmlung Mthemtik 2 Konstnten. Kreiszhl π Eulersche Zhl e Strhlensätze V-Figur: f 2 Zhlenmengen b e d. Die Menge der ntürlichen Zhlen wird mit N bezeichnet: N = {, 2, 3,...}. 2. Die mit null erweiterte Menge der ntürlichen Zhlen wird mit N 0 bezeichnet: N 0 = {0,, 2,...}. 3. Die Menge der gnzen Zhlen wird mit Z bezeichnet: Z = {0, ±, ±2, ±3,...}. 4. Die Menge der rtionlen Zhlen wird mit Q bezeichnet. 5. Die Menge der reellen Zhlen wird mit R bezeichnet. 6. Die Menge der irrtionlen Zhlen wird mit I bezeichnet: I = R \ Q. 3 Grössen elementrer Figuren und Körper. Flächeninhlt des Dreiecks ABC:. Strhlenstz: c : b : ( + b = c : d : (c + d c = b d = + b c + d 2. Strhlenstz: oder X-Figur: e = + b f c e = c + d f d f b + b = e f c c + d = e f A = 2 h = 2 b h b = 2 c h c 2. Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge s: c ( Höhe: h = 3 2 s (b Flächeninhlt: A = 3 4 s2 3. Kreis mit Rdius r: ( Umfng: U = 2π r (b Flächeninhlt: A = π r 2. Strhlenstz: e : b : ( + b = c : d : (c + d c = b d = + b c + d 4. Volumen eines Prisms mit Grundflächeninhlt G und Höhe h: V = G h 5. Volumen eines Kreiszylinders mit Rdius r und Höhe h: V = πr 2 h 6. Volumen einer Pyrmide mit Grundflächeninhlt G und Höhe h: V = G h 3 2. Strhlenstz: oder e = b f c e = d f b = e f c d = e f

5 GM-Formelsmmlung Mthemtik 3 5 Flächensätze für rechtwinklige Dreiecke A Im Dreieck ABC sei γ = 90, dnn gilt: b q. Stz des Pythgors: 2 + b 2 = c 2 2. Höhenstz: p q = h 2 3. Kthetenstz: p c = 2 und q c = b 2 Es gelten uch die Umkehrungen dieser Sätze. 6 Trigonometrie. Sinus- und Kosinusfunktion: h v C F r p B P(u,v u 4. ( Die Arcussinusfunktion ist für π x π definiert durch: 2 2 rcsin(sin x = x. (b Die Arcuskosinusfunktion ist für 0 x π definiert durch: rccos(cos x = x. (c Die Arcustngensfunktion ist für π < x < π definiert durch: 2 2. sin 2 (α + cos 2 (α = rctn(tn x = x. 2. Symmetrien trigonometrischer Funktionen: sin(α = sin(α + 2π sin(α = sin(π α sin(α = cos ( α π 2 sin( α = sin(α cos(α = cos(α + 2π cos(α = cos(2π α cos(α = sin ( α + π 2 cos( α = cos(α tn(α = tn(α + π tn( α = tn(α 3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: H G sin(α = v r und cos(α = u r A 2. Tngens- und Kotngensfunktion: tn(α = sin α cos α 3. Grdmss und Bogenmss: α rd = wobei 2π = 360 ist. und cot(α = cos α sin α 2π 360 α deg, sin(ω = G H, cos(ω = A H und tn(ω = G A. 4. α sin α 0 cos α tn α

6 GM-Formelsmmlung Mthemtik 4 5. Im Dreieck ABC mit Umkreisrdius r gilt: ( Sinusstz: sin α = (b Kosinusstz: b sin β = c sin γ = 2r. c 2 = 2 + b 2 2b cos(γ. 6. Additionstheoreme von trigonometrischen Funktionen: sin(α ± β = sin(α cos(β ± cos(α sin(β cos(α ± β = sin(α sin(β cos(α cos(β tn(α ± β = 7. Doppelwinkelfunktionen: sin(2α = 2 sin(α cos(α tn(α ± tn(β tn(α tn(β cos(2α = 2 sin 2 (α = 2 cos 2 (α tn(2α = 2 tn(α 2 sin(α cos(α tn 2 = (α cos 2 (α sin 2 (α Digrmm: 3 y 2 -p p 2p - x = - p x = p 2 x = 3p 2 y = sin x y = cos x y = tn x 7 Qudrtische Gleichung. Lösungsformel der qudrtischen Gleichung: Seien, b, c R und 0, dnn gilt, dss x,2 = b ± b 2 4c 2. x die Lösungen der qudrtischen Gleichung sind. x 2 + bx + c = 0 2. Stz von Viet: Seien, b, c R, 0 und x und x 2 die Lösungen der qudrtischen Gleichung dnn gilt: x + x 2 = b 8 Potenzen. Für R, n N ist: x 2 + bx + c = 0, und x x 2 = c. n+ = n und =. 2. Für R, 0 und n N ist: 0 = und n = n. 3. Für R, > 0, p Z, q N ist: p q = q p. 4. Für n N ist die nte-wurzel von R definiert durch: x = n x n = und x Betrg einer reellen Zhl: Sei R, dnn gilt: = {, flls 0 2 =, flls < 0. Regeln zum Potenzrechnen:. ( b n = n b n ( n n 2. = b b n 3. m n = m+n 4. m n = m n 5. ( m n = m n

7 GM-Formelsmmlung Mthemtik 5 9 Logrithmus. ( Definition der Logrithmusfunktion ls Umkehrfunktion zur Exponentilfunktion: Für, b R,, b > 0 und gilt: x = b x = log (b. (b Integrldefinition des ntürlichen Logrithmus: Für x R und x > 0 gilt: ln(x = x t dt. 2. Die Eulersche Zhl e ist definiert durch: ln(e =.. Seien, b R,, b > 0 und, dnn gilt: log (b = log 0(b log 0 ( 2. Sei x R und x > 0, dnn gilt: ln(x = log e (x. = ln (b ln(. 3. Seien, u, v, r R,, u, v > 0 und, dnn gilt: ( log (u v = log (u + log (v, (b log ( u v = log (u log (v, (c log (u r = r log (u. 0 Folgen und Reihen 0. Grenzwert einer Zhlenfolge. Eine reelle Zhlenfolge ist eine Abbildung von N uf R. 2. Sei n N. Eine reelle Zhlenfolge n heisst konvergent gegen einen Grenzwert R, wenn für jedes ε > 0 ein N(ε N existiert, so dss gilt: n < ε für lle n N(ε. 3. Eine Reihe ist ls Grenzwert einer Prtilsummenfolge definiert: i = lim N N i. Sätze zum Rechnen mit Grenzwerten: Seien n und b n zwei konvergente Folgen reeller Zhlen, dnn gelten die folgenden. lim n ( n ± b n = lim n n ± lim n b n. 2. lim n ( n b n = lim n n lim n b n. 3. Sei lim n b n 0, dnn gilt: ( n lim n b n = lim n n lim b. n n 0.2 Arithmetische Zhlenfolgen Definition: Sei n N und d R. Eine Zhlenfolge n heisst rithmetisch, wenn gilt: n+ = n + d. Sei n N, d R und n eine rithmetische Zhlenfolge mit n+ = n + d, dnn gilt:. n = + (n d. 2. s n = n i = n ( 2 + n. 0.3 Geometrische Zhlenfolgen Definition: Sei n N und q R. Eine Zhlenfolge n heisst geometrisch, wenn gilt: n+ = n q.

8 GM-Formelsmmlung Mthemtik 6 Sei n N, q R und n eine geometrische Zhlenfolge mit n+ = n q, dnn gilt:. n = q n. 2. s n = n i = qn q, q. 3. Für q < gilt: s = Spezielle Summen: i = i 2 = n(n + 2 n(n + (2n + 6 ( n(n + i 3 = 2 Spezielle Reihen:. 2. i = i = π Funktionen i = q. Definition: Eine reelle Funktion ist eine Abbildung (eindeutige Zuordnung von R uf R. Gerde und ungerde Funktionen:. Für gerde Funktionen gilt: f(x = f( x. Der Grph einer gerden Funktion ist symmetrisch zur y-achse (chsensymmetrisch. 2. Für ungerde Funktionen gilt: f(x = f( x. Der Grph einer ungerden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung des Koordintensystems (punktsymmetrisch. Orts- und Sklentrnsformtion. Ortstrnsformtion: Verschiebung des G f (Grphen von f ( in x-richtung um > 0 Einheiten nch rechts: y = f(x y = f(x (b in y-richtung um > 0 Einheiten nch oben: y = f(x y = f(x + 2. Sklentrnsformtion: Streckung des G f ( n der x-achse mit Streckungsfktor k: y = f(x y = k f(x (b n der y-achse mit Streckungsfktor k: ( x y = f(x y = f k 2 Grenzwerte von Funktionen. lim x f(x = b heisst: Sei f(x eine reelle Funktion. Für jede Folge x n (mit x n, die gegen R strebt, strebt die Bildfolge f(x n gegen b. lim f(x wird Grenzwert von f(x n der x Stelle x = gennnt. 2. lim x f(x = b heisst: Für jede Folge x n (mit x n >, die fllend gegen R strebt, strebt die Bildfolge f(x n gegen b. lim f(x wird rechtsseitiger Grenzwert von x f(x n der Stelle x = gennnt. 3. lim x f(x = b heisst: Für jede Folge x n (mit x n <, die wchsend gegen R strebt, strebt die Bildfolge f(x n gegen b.

9 GM-Formelsmmlung Mthemtik 7 lim f(x wird linksseitiger Grenzwert von x f(x n der Stelle x = gennnt. 4. lim f(x und lim f(x werden die Grenzwerte von f(x für x gegen plus unendlich x x und minus unendlich gennnt. Dominnzregeln: Seien r, x R : x r. lim x e = 0 x 2. lim x ln(x x r = 0, r > 0 3. lim x 0 x r ln(x = 0, r > 0 Spezielle Grenzwerte: Sei x R :. lim x 0 sin(x x = ( 2. lim + λ x = e x x λ, λ R 2. Stetigkeit einer Funktion Definition:. Eine Funktion f heisst stetig n einer Stelle x =, wenn lim f(x = f( x ist. (Dbei wird vorusgesetzt, dss ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f ist und der Grenzwert lim x f(x existiert. 2. Eine Funktion heisst stetig uf einem Intervll, wenn sie n jeder Stelle des Intervlls stetig ist. Stz: Rtionle Funktionen, Betrgs-, Winkel-, Exponentil- und Logrithmusfunktionen sind n jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. 2.2 Asymptoten. Die Gerde x = heisst senkrechte Asymptote der Funktion f(x, wenn der rechtsoder linksseitige Grenzwert von f n der Stelle x = gleich + oder ist. 2. Die Gerde y = heisst wgrechte Asymptote der Funktion f(x, wenn lim f(x = x oder lim f(x = ist. x 3. Die Gerde y = x+b heisst schräge Asymptote der Funktion f(x, wenn oder ist. lim f(x (x + b = 0 x lim f(x (x + b = 0 x Für rtionle Funktionen gelten die folgenden. Zählergrd < Nennergrd x-achse ist Asymptote 2. Zählergrd = Nennergrd wgrechte Asymptote 3. Zählergrd = Nennergrd + schräge Asymptote 4. Zählergrd > Nennergrd + keine Asymptote 2.3 Ableitung einer Funktion Definition: Eine Funktion f heisst differenzierbr n der Stelle x, flls der Grenzwert f f(x + x f(x (x = lim x 0 x existiert. Der Grenzwert f (x heisst Ableitung oder Differentilquotient der Funktion f n der Stelle x.

10 GM-Formelsmmlung Mthemtik 8 Regeln zum Ableiten:. Linerität der Ableitung: ( (f(x + g(x = f (x + g (x (b (c f(x = c f (x 2. Produktregel: (f g = f g + f g ( f 3. Quotientenregel: = f g f g g g 2 4. Kettenregel: (f(u(x = f (u u (x Ableitungen elementrer Funktionen:. (x n = n x n für lle n R 2. sin (x = cos(x cos (x = sin(x tn (x = cos 2 (x = + tn2 (x 3. rcsin (x = x 2 rccos (x = x 2 rctn (x = + x 2 4. (e x = e x 5. ln (x = x for x > Funktionsdiskussion Die Bedingungen für spezielle Stellen x einer reellen, differenzierbren Funktion f(x sind:. Nullstelle: f(x = Horizontlstelle: f (x = Extremlstellen: ( Hinreichende Bedingung für ein lokles Mximum: f (x = 0, f (x < 0. (b Hinreichende Bedingung für lokles Minimum: f (x = 0, f (x > Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle: f (x = 0, f (x Terrssenstelle: eine Wendestelle, die uch eine Horizontlstelle ist. 2.5 Newton-Verfhren Sei n N, f eine stetig differenzierbre Funktion und f(x = 0, dnn knn x näherungsweise mit Hilfe eines guten ersten Schätzwertes x und der Beziehung x n+ = x n f(x n f (x n itertiv berechnet werden. 3 Integrtion 3. Unbestimmte Integrtion Definition Ds unbestimmte Integrl einer Funktion f ist ls Menge der Stmmfunktionen von f definiert: f(x dx = F (x + C F (x = f(x. 3.2 Bestimmtes Integrl Definition des Riemnnschen Integrls: Sei n N, i {,..., n}, = x 0 < x <... < x n < x n = b und f(x eine uf dem Intervll [, b] beschränkte Funktion, dnn heissen U n = m i x i und O n = M i x i die Unter- und Obersumme der Funktion f uf dem Intervll [, b], wobei m i ds Minimum und M i ds Mximum der Funktion f uf dem Unterintervll [x i, x i ] bezeichnet und x i = x i x i die Breite des Unterintervlls [x i, x i ] ist. Die Grenzwerte von Unter- und Obersumme werden nun gebildet, indem immer mehr Stellen x i eingefügt werden, so dss die Breiten x i ller Unterintervlle [x i, x i ] gegen null streben. Gilt nun, dss der Grenzwert der Untersumme gleich dem Grenzwert der Obersumme ist: lim U n = lim O n, x i 0 x i 0

11 GM-Formelsmmlung Mthemtik 9 dnn wird dieser Grenzwert ls ds bestimmte Integrl der Funktion f von der Stelle bis zur Stelle b bezeichnet: f(x dx = lim U n. x i 0. Die Funktion f sei uf dem Intevll [, b] integrierbr, dnn gilt: f(x dx = lim x i 0 f(x i x i. 2. Fundmentlstz der Anlysis: f sei eine uf dem Intervll [, b] stetige Funktion und F eine Stmmfunkton von f, dnn gilt: f(x dx = F (b F (.. Die Funktion f sei uf dem Intervll [, b] integrierbr, dnn gilt: b f(x dx = f(x dx. 2. Uneigentliche Integrle: Wir betrchten den Fll, dss eine Integrtionsgrenze unendlich ist. ( (b R f(x dx = lim f(x dx R f(x dx = lim R R. Linerität des Integrls: f(x dx ( f(x + g(x dx = f(x dx + g(x dx (b c f(x dx = c f(x dx 2. Prtielle Integrtion: u v dx = u v b 3. Integrtion durch Substitution: oder u(b u( f(x dx = f(u(x u (x dx = u v dx f(u(t u (t dt u(b u( Integrle elementrer Funktionen:. Sei n R und n, dnn gilt: x n dx = xn+ n + + C. 2. sin(x dx = cos(x + C 3. cos(x dx = sin(x + C 4. tn(x dx = ln cos(x + C 5. e x dx = e x + C 6. x 7. f (x f(x dx = ln x + C 4 Sttistik dx = ln f(x + C f(u du Sei n N und i {,..., n}. Für die Messwerte x, x 2,..., x n R gilt:. Der Modus der Messwerte ist derjenige Messwert, der m häufigsten uftritt. 2. Der Medin der Messwerte ist definiert ls: x n+ 2 für n ungerde x med = ( x 2 ( n 2 + x ( n + für n gerde, 2 wobei x (, x (2,..., x (n, die nch ihrer Grösse sortierten Messwerte sind.

12 GM-Formelsmmlung Mthemtik 0 3. Ds rithmetische Mittel der Messwerte ist: x rithm = n x i = x + x x n n Treten die Messwerte x i mit den Häufigkeiten f i uf, gilt: x rithm = x i f i. f i 4. Die (unkorrigierte Vrinz der Messwerte ist definiert ls: σ 2 = n (x i x rithm Die Stndrdbweichung σ der Messwerte ist definiert ls die Wurzel us der Vrinz der Messwerte: σ = σ Einfche linere Regression fittet eine Gerde durch eine Menge von Punkten (x i /y i, so dss die Summe der qudrierten Residuen ri 2 = (mx i + q y i 2 miniml ist. Die Steigung der Regressionsgerden y = mx + q ist: m = xy x y x 2 x 2, und für den y-achsenbschnitt gilt: q = y mx. Für den Korreltionskoeffizient der x- und y-werte gilt: r xy = xy x y ( x 2 x 2 (y, 2 y 2 wobei x, y, x 2, y 2 und xy die rithmetischen Mittelwerte der x-, y-, x 2 -, y 2 - und xy-werte sind.. 5 Kombintorik. Die Fkultät einer nicht-negtiven gnzen Zhl ist definiert ls: 0! = und n! = n (n! für n N. 2. Seien k, n N. Der Binominlkoeffizient ( n k beschreibt die Anzhl möglicher Untermengen von k Elementen, die us einer Menge von n Elementen gebildet werden können: ( n n! = k! (n k!, flls k n k 0, sonst. Binomischer Lehrstz: Seien, b R, + b 0 und k, n N 0, dnn gilt: ( + b n = k=0 ( n k b n k. k Grundlegende Zählprinzipien:. Multipliktionsregel: Ein zusmmengesetztes Experiment besteht us zwei Teil- Experimenten, dem Experiment A und dem Experiment B. Wird ngenommen, dss ds Experiment A mögliche Ergebnisse ht und zu jedem dieser Ergebnisse ds Experiment B b mögliche Ergebnisse ht, dnn ht ds zusmmengesetzte Experiment b mögliche Ergebnisse. 2. Zähltfel für eine Stichprobe von k Elementen us einer Menge von n Elementen: ohne Wiederholungen mit Wiederholungen geordnet n! (n k! ungeordnet ( n k n k ( n + k k 6 Whrscheinlichkeitsrechnung

13 GM-Formelsmmlung Mthemtik. Der Ergebnisrum (Stichprobenrum ist die Menge ller möglichen Ergebnisse eines Zufllsexperiments und ein Ereignis ist eine Untermenge des Ergebnisrums. 2. Definition der Lplce-Whrscheinlichkeit: Die Whrscheinlichkeit P eines Ereignisses A ist: P (A = P (A = A S Anzhl der für A günstigen Ergebnisse Anzhl der in S möglichen Ergebnisse Diese Definition knn nur bei solchen Zufllsexperimenten ngewndt werden, deren Ergebnisrum nur endlich viele, gleich whrscheinliche Ergebnisse enthält. 3. Definition der Whrscheinlichkeit: Ein Zufllsrum besteht us einem Ergebnisrum S und einer Whrscheinlichkeitsfunktion P. Die Funktion P weist einem Ereignis A S einen Funktionswert P (A zu. Der Wert von P (A ist eine reelle Zhl zwischen 0 und : 0 P (A. Für die Funktion P müssen die folgenden Axiome gelten: ( P ( = 0 und P (S =. (b Für disjunkte Ereignisse A und B gilt: P (A B = P (A + P (B. (Ds Axiom (b wurde uf den Fll eingeschränkt, dss der Ergebnisrum S nur endlich viele Ergebnisse enthält.. Sei A c ds zu A komplementäre Ereignis (Gegenereignis, dnn gilt: P (A c = P (A. 2. Sei A B, dnn gilt: P (A P (B. 3. Sei A, B S, dnn gilt: P (A B = P (A + P (B P (A B.. Die Ereignisse A und B sind (stochstisch unbhängig, wenn gilt: P (A B = P (A P (B. 2. Zwei Ereignisse A und B heissen disjunkt, wenn gilt: A B =. 6. Bedingte Whrscheinlichkeit Definition: A und B seien Ereignisse und P (B > 0. Die Whrscheinlichkeit von A, vorusgesetzt B (dss A eintritt unter der Bedingung, dss B zutrifft ist definiert ls: P (A B = P (A B P (B A und B seien Ereignisse.. A und B seien unbhängig, dnn gilt: P (A B = P (A. 2. Multipliktionsstz: P (A B = P (A B P (B. 3. Gesetz der totlen Whrscheinlichkeit: Sei n N, i, j {,..., n}, B,..., B n mit P (B i > 0 eine Prtition des Ergebnisrums n S (d.h., B i = S und B i B j = für i j, dnn gilt: P (A = P (A B i = 4. Stz von Byes: P (A B =. P (A B i P (B i. P (B A P (A P (B.

14 GM-Formelsmmlung Mthemtik 2 7 Zufllsvriblen. Eine Zufllsvrible (X ist eine Funktion, die den Ergebnisrum (S eines Zufllsexperiments uf die Menge der reellen Zhlen (R bbildet. 2. Sei n N. Eine Zufllsvrible X heisst diskret, wenn es eine endliche Liste von Werten,..., n gibt, so dss P (X = j = j= ist oder wenn es eine unendliche Liste von Werten, 2,... gibt, so dss ist. P (X = j = j= 3. Die Whrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufllsvriblen X ist definiert ls: p X (x = P (X = x und die (kumultive Verteilungsfunktion von X ist definiert ls: F X (x = P (X x. 4. Eine Zufllsvrible X heisst stetig oder kontinuierlich, wenn die Verteilungsfunktion von X stetig ist. 5. Die (kumultive Verteilungsfunktion einer stetigen Zufllsvriblen X ist definiert durch: F X (x = P (X x. und die Whrscheinlichkeitsdichtefunktion von X ist definiert ls: Es gilt: f X (x = F X(x. F X (x = x f X (t dt. 6. Der Erwrtungswert einer Zufllsvriblen X ist definiert ls: ( diskreter Fll: E(X = i (b stetiger Fll: E(X = x i P (X = x i. x f X (x dx. 7. Die Vrinz einer Zufllsvriblen X ist definiert ls: Vr(X = E ( (X EX 2 = E ( X 2 (EX 2 und die Stndrdbweichung von X ist definert ls: SD(X = Vr(X. 7. Spezielle Zufllsvriblen. Bernoulliverteilung: Sei X Bern(p mit 0 < p <, dnn gilt: P (X = 0 = p und P (X = = p, E(X = P (X = = p, Vr(X = p ( p. 2. Binomilverteilung: Sei X Bin(n, p mit n N, k {0,,..., n} und 0 < p <, dnn gilt: ( n P (X = k = p k ( p n k, k E(X = n p und Vr(X = n p ( p. 3. Poissonverteilung: Sei X Pois(λ mit λ R, λ > 0 und k N 0, dnn gilt: P (X = k = e λ λk k!, E(X = λ und Vr(X = λ.

15 GM-Formelsmmlung Mthemtik 3 4. Stndrdnormlverteilung: Sei Z N (0, und z R, dnn gilt: f(z = 2π e z2 2, Φ(z = P (Z z = 2π z Φ( z = Φ(z, e t2 2 dt, E(Z = 0 und Vr(Z =. 5. Normlverteilung: Sei X = µ+σz, Z N (0,, x R, µ R, und σ > 0. Dnn ist X N (µ, σ 2 normlverteilt und es gilt: f(x = 2π σ e (x µ2 2σ 2, F (x = P (X x ( X µ = P x µ σ σ ( x µ = Φ, σ E(X = µ und Vr(X = σ %-Regel: Sei X N (µ, σ 2, dnn gilt: P ( X µ σ 68 %, P ( X µ 2σ 95 %, P ( X µ 3σ 99.7 %. 8 Anlytische Geometrie und Vektorgeometrie Geometrie in der Ebene:. Gleichung einer Gerden, die nicht prllel zur y-achse liegt: y = m x + q mit m, q R 2. Gleichung einer Gerden, die prllel zur y- Achse liegt: x = p mit p R 3. Sei m g 0 die Steigung einer Gerden g, dnn gilt für die Steigung m n einer Normlen n zur Gerden g: m n = m g. 4. Gleichung des Kreises mit dem Zentrum (u, v und dem Rdius r: (x u 2 + (y v 2 = r 2 5. Gleichung einer Prbel: ( Stndrdform der Gleichung einer Prbel: y = x 2 + bx + c mit, b, c R (b Scheitelpunktsform der Gleichung einer Prbel, die den Scheitelpunkt (u, v ht: Geometrie im Rum: y v = (x u 2,, u, v R. Prmeterform der Gerden, die durch die Punkte A(, 2, 3 und B(b, b 2, b 3 geht: oder OA + λ AB b 2 + λ b 2 2, 3 b 3 3 wobei O der Ursprung des Koordintensystems ist. 2. Prmeterform und Koordintengleichung der Ebene, die die Punkte A(, 2, 3, B(b, b 2, b 3 und C(c, c 2, c 3 enthält. O ist der Ursprung des Koordintensystems. ( Prmeterform der Ebene: OA + λ AB + µ AC oder b c 2 + λ b µ c b 3 3 c 3 3

16 GM-Formelsmmlung Mthemtik 4 (b Koordintengleichung der Ebene: x + by + cz + d = 0, ( b wobei n = ein Normlenvektor der c Ebene ist. 3. Gleichung der Sphäre mit dem Zentrum (u, v, w und dem Rdius r: (x u 2 + (y v 2 + (z w 2 = r 2 Für Vektoren us R 3 gilt: (. knn in der Form 2 3 mit, 2, 3 R geschrieben werden. 2. Vielfches eines Vektors: ( Sei λ R und = 2 3, dnn gilt: λ λ = λ 2 = λ 2. 3 λ 3 3. Addition von zwei Vektoren: b + b 2 + b 2 = 2 + b 2 3 b b 3 4. Winkel zwischen zwei Vektoren: ( Der Nullvektor ( 0 steht senkrecht uf jedem nderen Vektor. (b Für, b 0 ist der Winkel zwischen und b gleich dem Winkel zwischen zwei Repräsentnten von und b, die den gleichen Anfngspunkt hben. ( 5. Der Betrg von = 2 3 ist definiert ls: = ( 2 + ( ( Ds Sklrprodukt zweier Vektoren und b ist definiert ls: b = b cos γ, wobei γ der Winkel zwischen und b ist. 7. Ds Vektorprodukt b eines (geordneten Prs von Vektoren und b beschreibt einen Vektor, der durch die folgenden Bedingungen definiert ist: ( Der Vektor b steht senkrecht uf den Vektoren und b. (b Die Vektoren, b und b bilden in dieser Reihenfolge eine Rechtssystem. (c b = b sin γ, wobei γ der Winkel zwischen und b ist. 8. Ds Sptprodukt der (geordneten Vektoren, b und c ist definiert ls: ( b c.. Seien A(, 2, 3 und B(b, b 2, b 3 zwei Punkte, dnn gilt: b AB =. b 2 b Seien A(, 2, 3 und B(b, b 2, b 3 zwei Punkte und M(m, m 2, m 3 der Mittelpunkt der Strecke AB, dnn gilt: m b m 2 = b 2. m 3 3 b 3 3. Seien A(, 2, 3, B(b, b 2, b 3 und C(c, c 2, c 3 drei Punkte und S(s, s 2, s 3 der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, dnn gilt: s s 2 = b 2 + c 2. s 3 3 b 3 c 3 4. Der Abstnd des Punktes P (p, p 2, p 3 von einer Ebene Ω ist: (( p ( p 2 p n d(p, Ω =, n wobei der Punkt A(, 2, 3 in Ω liegt und n der Normlenvektor von Ω ist. b c

17 GM-Formelsmmlung Mthemtik 5 5. Sei A der Flächeninhlt des von den Vektoren und b ufgespnnten Prllelogrmms, dnn gilt: A = b. 6. Sei V ds Volumen des von den Vektoren, b und c ufgespnnten Spts, dnn gilt: ( V = b c. 7. Sei = ( 2 3 und ( b b = b2 b b 3 b = 2 b 2 = 3 b 3, dnn gilt: 3 i b i. 8. Für ds Sklrprodukt von Vektoren gilt ds Kommuttivgesetz: b = b. 9. Für ds Sklrprodukt von Vektoren gilt ds Distributivgesetz: 0. Sei = ( b + c = b + c. ( 2 3 und ( b b = b2 b 3, dnn gilt: b 2 b 3 3 b 2 b = 2 b 2 = 3 b b 3. 3 b 3 b 2 2 b. Für ds Vektorprodukt gilt ds Distributivgesetz: ( b + c = b + c 2. Ds Vektorprodukt ist ntikommuttiv: b = b. 3. Für ds Sptprodukt der Vektoren, b und c gilt: ( b c b c = 2 b 2 c 2 3 b 3 c 3.

18 GM-Formelsmmlung Mthemtik 6 9 Wertetbelle der Verteilungsfunktion der Stndrdnormlverteilung z Φ(z z Φ(z z Φ(z z Φ(z z Φ(z z Φ(z