Übungsblatt 8: Gruppen und Symmetrien

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1 Übugsblatt 8: Gruppe ud Symmetrie 1. SYMMETRISCHE UND ALTERNIERENDE GRUPPEN 1.1. Es gilt S = (1,2),(2,3),...,( 1,). Ebeso gilt S = (1,2),(1,3),...,(1,). Lösugshiweise: Der erste Teil steht im Skript. Der zweite Teil folgt aus (1, j)(1, i)(1, j) = (i, j). S 1.2. (3 Pukte) Fide Sie eie 2-Zykel τ S ud eie -Zykel σ S, die zusamme die symmetrische Gruppe S = τ,σ erzeuge ud weise Sie dies ach. Erzeuge τ = (1,3) ud σ = (1,2,3,4) die Gruppe S 4? Lösugshiweise: Die Wahl σ = (1,2,...,) ud τ = (1,2) fuktioiert. De ach Lemma 10B11 ist στσ 1 = (σ(1),σ(2)) = (2,3) ud iduktiv σ k τσ k = (k + 1,k + 2) für k 2. Aus der Aufgabe 1.1 folgt da das Gewüschte. Für de zweite Teil ka ma alle mögliche Produkte ausreche ud sehe, dass sich ur 8 verschiedee Elemete ergebe oder ma sieht, dass die beide Elemete i der Symmetriegruppe eies Quadrats mit Ecke 1,2,3 ud 4 liege. Diese (D 4 ) hat aber ur 8 Elemete, ka also icht die S 4 sei. S 1.3. (2 Pukte) Sei eie Primzahl. Ma zeige, dass jede Traspositio τ S ud jeder -Zykel σ S die symmetrische Gruppe S = τ,σ erzeuge. Lösugshiweise: Durch Umbeeug der Elemete, auf dee S operiert, köe wir o.b.d.a. aehme, dass σ = (1,2,...,) gilt. Da ist τ = (i, j) mit i < j. Durch Kojugatio vo τ mit σ ka ma wie i der Aufgabe 1.2 erreiche, dass ma a der erste Stelle eie 1 erhält ud a der zweite Stelle 1 + j i. Geauer: σ 1 i (i, j)σ i 1 = (1,1 + j i). Wege der Primalität vo sid alle Poteze σ k für 1 k < wieder -Zykel, de die auftretede Zykelläge i σ k müsse ach Lagrage die Ordug ord(σ) = teile. Isbesodere ist σ j i = (1,1 + j i,,..., ). Nu beee wir die Elemete so um, dass σ j i die Form (1,2,...,) ud (1, j i + 1) die Form (1,2) bekommt. Da folgt die Aussage aus Aufgabe Es gilt A = (1,2,3),(2,3,4),...,( 2, 1,). Lösugshiweise: Für A 1,A 2 ud A 3 ist die Aussage klar. Sei u σ A. Falls σ() = gilt, so ist σ A 1 ud wir köe Iduktio awede. We dagege σ() = m, da betrachte ω 1 ω m σ mit ω i = (i 1,i,i+1). Diese Permutatio bildet auf ab, hat Sigum 1 ud ist damit i A 1. Iduktio erledigt da de Rest I A 3 ud A 4 sid icht alle 3-Zykel zueiader kojugiert. Lösugshiweise: A 3 wird vo (1,2,3) erzeugt ud damit abelsch. Also ist die Kojugatio auf A 3 stets trivial. Isbesodere sid (1,2,3) ud (1,3,2) icht zueiader kojugiert. Falls τ(1,2,3)τ 1 = (1,3,2) für ei τ A 4 gelte würde, so müsste τ eierseits die Zahl 4 bewege, de sost wäre wir wieder i A 3, adererseits erhält ma bei Kojugatio mit τ das Zykel (τ(1),τ(2),τ(3)) ud eie dieser Zahle ist da die 4, im Widerspruch zur Aahme Ma bestimme die mögliche Orduge vo σ S für = 2,...,10. Lösugshiweise: Ma muss sich dazu alle mögliche Zykelstrukture asehe ud die kgv der Zykelläge bilde. Also z.b. = 7 : 1,2,3,4,5,6,7,10,12, = 8 : 1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15. Für = 9 komme och die Orduge 9,14 ud 20 hizu. Für = 10 och 21 ud 30. Stad 7. Juli 2010 Seite 1/5

2 V 1.7. Zu σ = [ ] bestimme ma die Ordug des Zetralisators Z S16 (σ) ud der Kojugatiosklasse σ S 16. Zusatz: Köe Sie Elemete agebe, die de Zetralisator erzeuge? Lösugshiweise: Ma schreibt σ = (1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8)(9, 10)(11, 12) i Zykelschreibweise. Die Ordug des Zetralisators ergibt sich zu 4! 3! 2 3 2! 3 2 = (= Azahl der Möglichkeite die Zykel gleicher Läge utereiader zu vertausche multipliziert mit de Möglichkeite die Zykel i sich selbst zu permutiere. Siehe auch Formel i Satz 10B12 der Vorlesug.) Die Erzeuger sid also z.b. (1,2,3),(4,5,6), (7,8),(9,10),(11,12),(1,4)(2,5)(3,6),(7,9)(8,10),(7,11)(8,12),(13,14),(14,15),(15,16). Die Azahl der Elemete i der Kojugatiosklasse ergibt sich damit ach Bahelemma zu S 16 / Z S16 (σ) = SYMMETRIEGRUPPEN Sei X eie Mege, auf der die Gruppe G operiert ud M X eie Teilmege. Da ee wir stab(m) := {g G : gm = M} die Symmetriegruppe vo M Zeige Sie, dass stab(m) wirklich eie Gruppe ist. Lösugshiweise: Falls gm = m ud hm = m, so folgt (gh)m = g(hm) = gm = m ud g 1 m = g 1 (gm) = (g 1 g)m = em = m. Es gilt auch em = m (ach Defiitio), also ist stab(m) eie Utergruppe vo G Sei G = O 2 (R) ud P das regelmäßige -Eck ( 3) im R 2, d.h. die Mege der Pukte (cos( 2πk 2πk ),si( )),1 k. Da defiiere wir die Diedergruppe als D := stab(p ). (a) Zeige Sie, dass D geau 2 Elemete besitzt. (b) Stelle Sie D 4 als Utergruppe vo S 4 dar. (c) Zeige Sie, dass die Gruppe D eie Normalteiler der Ordug ethält. Lösugshiweise: (a) Sei g D gegebe, da muss g de Pukt p = (1,0) P auf eie beliebige adere Pukt p k := (cos( 2πk 2πk ),si( )) abbilde. Der beachbarte Pukt p 1 ka wege g O 2 (R) (Läge bleibe erhalte) ur auf p k+1 oder p k 1 abgebildet werde (dabei soll p 0 := p sei). Die Abbildug g ist liear ud damit durch die Agabe vo zwei Bilder festgelegt. Im erste Fall habe wir es also mit eier orietierugserhaltede Abbildug ud im zweite Fall mit eier orietierugsumkehrede zu tu. Die Klassifikatio aller orthogoale Abbilduge im R 2 aus der lieare Algebra liefert us, dass im erste Fall eie Drehug um 2πk vorliegt. Im zweite Fall ist es eie Spiegelug. Die Achse muss die Wikelhalbierede des Wikels p 0,(0,0), p k sei. Zähle wir alle so etstehede Elemete zusamme, so ergebe sich 2 Möglichkeite. All diese sid voeiader verschiede, da sie die Pukte p 0 ud p 1 jeweils uterschiedlich abbilde. Damit ist D = 2 (b) Im Fall D 4 batrachte wir die Symmetriegruppe des Quadrats. Wir ummeriere die Ecke wie vorher gege de Uhrzeigersi mit 1,2,3,4 durch. Es ergibt sich {id,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2),(1,3),(2,4),(1,2)(3,4).(1,4)(2,3)}. (c) Alle Drehuge bilde eie Utergruppe der Ordug. Diese bilde auch eie Normalteiler, da die Kojugatio mit eier Matrix aus O 2 (R) die Determiate icht ädert ud somit Drehuge wieder i Drehuge übergehe Überlege Sie sich, dass die Symmetriegruppe des regelmäßige Tetraeders gerade S 4 ist. Welche Utergruppe ergibt sich, we ma sich auf die orietierugserhaltede Abbilduge (Drehuge) eischräkt? Stad 7. Juli 2010 Seite 2/5

3 Lösugshiweise: Wir betrachte die Spiegelug a eier Ebee, die durch zwei Ecke ud de Mittelpukt der gegeüberliegede Seite geht. Diese vertauscht ur zwei der vier Ecke des Teatraeders, etspricht also eier Traspositio. Damit ist die Gruppe also isomorph zu S 4. We ma ur Drehuge betrachtet, so erhalte wir gerade alle 3-Zykel (Drehug um die Ache durch eie Ecke ud die Mitte der gegeüberliegede Fläche) ud somit die A 4. V 2.4. Bestimme Sie mit Hilfe der Bahegleichug die Ordug der Symmetriegruppe des Fussballs (i SO 3 (R)). Lösugshiweise: Der Fussball hat 12 Füfecke, die alle durch Drehuge ieiader überführt werde köe. Jedes solche Füfeck hat aber och eie 5-zählige Symmetrie. Die Stabilisatorgruppe der Operatio der Symmetriegruppe auf de Füfecke hat also 5 Elemete ud die Bah 12. Damit ergibt sich mit Bahelemma dass die Gruppe 60 Elemete ethält. 3. SYMMETRIEGRUPPE DES WÜRFELS Sei H die Isometriegruppe des Würfels (Drehuge ud Spiegeluge) ud sei H + die Utergruppe der orietierugstreue Isometrie (Drehuge). Seie α, β, γ die Drehuge um de Wikel + π 2 um die Achse x,y,z, ud sei σ die Puktspiegelug am Ursprug. (Ist dies eie Drehug oder eie Spiegelug?) 7 y x z V 3.1. Wir betrachte die Operatio vo H + auf de 8 Ecke. Was ist für eie gegebee Ecke die Bah ud was die Stadgruppe? Ma bestimme hieraus die Orduge der Gruppe H + ud H. Die Operatio iduziert eie Gruppehomomorphismus H S 8. Ist dieser ijektiv? surjektiv? Ma zerlege die Aktio vo α,β,γ,σ i disjukte Zykel. Lösugshiweise: Es gibt 8 Ecke ud i der Gruppe H + gibt es für eie Ecke geau drei Drehuge, die die Ecke fest lasse. Also ist H + = 24. I H operiert die Stabilisatorgruppe eier Ecke auf de vo der Ecke ausgehede Kate wie die S 3, also ist H = 48. Der Gruppehomomorphismus H S 8 ist ijektiv, weil keie Symmetrie ( Idetität) des Würfels alle Ecke gleichzeitig festhält. Sie ist offebar icht surjektiv, weil S 8 weit mehr als 48 Elemete hat. Es ist i Zykelschreibweise α = (1234)(5678),β = (1782)(3465),γ = (1764)(2853) ud σ = (15)(26)(37)(48). S 3.2. (4 Pukte) Ma utersuche ebeso die Operatio vo H + bzw. H auf de 4 Diagoale D 1 = {1,5}, D 2 = {2,6}, D 3 = {3,7}, D 4 = {4,8}. Was sid Bild ud Ker vo H + S 4 ud H S 4? Ist die Utergruppe σ ormal i H? Ist sie zetral? Stad 7. Juli 2010 Seite 3/5

4 Lösugshiweise: We H + bzw. H auf de 4 Diagoale operiere, ergebe sich damit Homomorphisme H + S 4 ud H S 4. Wir wolle zeige, dass diese surjektiv sid. Dazu betrachte wir zuerst eie Drehug um die Achse, die durch die Mittelpukte der Seite {2,3} ud {6,7} verläuft. Sie führt die Diagoale D 1 ud D 4 i sich über, vertauscht aber D 2 ud D 3. Damit etspricht diese der Traspositio (2,3) i S 4. Drehuge um etsprechede adere Gerade ergebe, dass alle Traspositioe im Bild vo H + liege, also ist die obige Abbildug surjektiv. Nu hat H + ach Aufgabe 3.1. die gleiche Ordug wie S 4, ämlich 24. Damit ist die Abbildug also auch ijektiv ud damit ei Isomorphismus. Im Fall vo H ergibt sich damit automatisch die Surjektivität ud der Ker muss aus Kardialitätsgrüde ( H = 48) 2 Elemete ethalte. Die Spiegelug, die alle Diagoale festhält, ist die i der Aufgabe agegebee Puktspielgelug am Ursprug. Es folgt, dass σ als Ker eies Homomorphismus ormal i H ist. Da die Ordug 2 ist, folgt aus Aufgabe 2.2 vom Blatt 7, dass sie sogar zetral ist Ma bereche αβα 1 ud α 1 βα i eier der vorhergehede Darstelluge. Gilt H + = α,β? Gilt H = α,β,σ? Gilt gar H = α,βσ? Lösugshiweise: Es ist αβα 1 = γ ud α 1 βα = γ 1. Weiter ist z.b. α 2 β die Drehug aus Aufgabe 3.2, die die Diagoale D 2 ud D 3 vertauscht. Also erzeuge α ud β alle Traspositioe auf de Diagoale ud damit H + = α,β. Da H doppelt so viele Elemete wie H + besitzt ud σ icht i H + ethalte ist (Spiegelug!), muss die Utergruppe α,β,σ ach Lagrage scho gaz H sei. Da σ ach Aufgabe 3.2 zetral ist, sehe wir aus de Gleichuge (βσ) 1 α(βσ) = γ ud αγα 1 (βσ) = σ, dass sogar H = α,βσ 4. DIE ORDNUNG DES PRODUKTS UND DAS PRODUKT DER ORDNUNGEN Sei G eie Gruppe, a,b G zwei kommutierede Elemete mit m = ord(a) ud = ord(b). Wir frage us, welche Aussage über die Ordug ord(ab) möglich sid Ma zeige ord(ab) kgv(m,) ud fide ei Beispiel mit ord(ab) < kgv(m,). Lösugshiweise: Es ist kgv (m,) = lm = k für geeigete l,k N. Damit gilt aber (ab) kgv (m,) = (a m ) l (b ) k = 1, weil a ud b kommutiere. Also ist die Ordug vo ab ei Teiler vo kgv (m,) ach dem Satz vo Lagrage. Wählt ma b = a 1, so erhält ma das gesuchte Beispiel für ord(ab) < kgv(m,) We G = A B mit a A ud b B, da gilt ord(ab) = kgv(m,). Lösugshiweise: Damit für ei Elemet (a,b) = (a,1)(1,b) eie Potez (a,b) k = (a k,b k ) gleich (1,1) wird, muss jeder Eitrag zu 1 werde. Also ist k ei Vielfaches vo ud vo m. Das kleiste solche Vielfache ist aber gerade das kgv ud damit ist es da die Ordug des Elemetes. S 4.3. (3 Pukte) We ggt(m,) = 1, da gilt ord(ab) = m. Hiweis: Bézout ud Lagrage. Lösugshiweise: Es gilt ach Aufgabe 4.1, dass ord(ab) kgv(m, ). Wir müsse also ur och ord(ab) kgv(m, ) zeige. Wege ggt(m,) = 1 gibt es u,v Z mit 1 = u+vm (Bézout). Es ist (ab) u = a 1 mv (b ) u = a ud (ab) vm = b, also ethält die vo ab erzeugte Utergruppe sowohl a, als auch b. Damit muss die Gruppeordug Stad 7. Juli 2010 Seite 4/5

5 durch m ud teilbar sei (Lagrage). Da ggt(m,) = 1 teilt sogar m die Ordug ord(ab), was zu zeige war. Alterativ sei (ab) k = 1 für ei k N. Da ist c := a k = b k im Schitt der vo a ud b erzeugte Utergruppe ethalte. Die Ordug vo c ist damit ei Teiler vo ud vo m, also folgt daraus wege ggt (,m) = 1, dass c Ordug eis hat, oder aders gesagt a k = b k = 1. Damit ist k ei Vielfaches vo ud vo m, isbesodere k kgv(m,), was zu zeige war Ma kostruiere ei icht-kommutatives Beispiel, wo ord(xy) icht m teilt. Ist da ord(x) = ord(y) = 2 ud ord(xy) = k für jedes k 1 möglich? Lösugshiweise: Die Diedergruppe D wird vo Spiegeluge erzeugt, wie ma eisehe ka, idem ma die Drehug um 2π als Kompositio zweier Spiegeluge schreibt (zuerst a der x-achse ud daach a der Diagoale, die durch die Mitte der erste Seite geht). Spiegeluge habe immer Ordug zwei, währed die Drehuge i D Ordug habe. Also ist die Aussage der Aufgabe für alle k richtig. 5. p-gruppen V 5.1. Sei G eie Gruppe. We G/Z(G) zyklisch ist, da ist G abelsch. Lösugshiweise: Seie g, h G. Die beide Nebeklasse gz(g) ud hz(g) sid Poteze eies Elemetes uz(g), da G/Z(G) zyklisch ist. Also gilt g = u z 1 ud h = u m z 2 für z i Z(G). Nu rechet ma leicht ach, dass gh = hg gilt ud somit ist G abelsch. Im Folgede sei p eie Primzahl Zeige Sie, dass alle Gruppe der Ordug p 2 abelsch sid ud gebe Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppe mit p 2 Elemete a. Lösugshiweise: Wir wisse, dass jede Gruppe G der Ordug p 2 ei ichttriviales Zetrum Z(G) besitzt. Dieses ist ei Normalteiler ud die Gruppe G/Z(G) hat damit Ordug 1 oder p, ist also zyklisch. Damit ist G ach Aufgabe 5.1 abelsch. Die beide abelsche Gruppe sid Z/ p 2 ud (Z/ p ) (a) Zeige Sie, die Mege der Matrize der Form ( 1 a b 0 1 c ) mit a,b,c Z/ p eie Utergruppe G < GL 3 (Z/ p ) der Ordug p 3 bilde. Bestimme Sie das Zetrum vo G. (b) Zeige Sie, dass auch die Mege der Matrize der Form ( 1+pa b 0 1) mit a,b Z/ p 2 eie Utergruppe H < GL 2 (Z/ p 2) der Ordug p 3 bilde ud bestimme Sie das Zetrum vo H. (c) Sid die Gruppe G ud H isomorph? Lösugshiweise: (a) Dies prüft ma direkt ach. Das Zetrum besteht aus de Matrize mit a = c = 0. (b) Rechet ma auch direkt ach. Das Zetrum sid die Matrize mit a = 0 ud p b. (c) I H hat das Elemet ( ) die Ordug p 2, währed i G alle Elemete die Ordug p besitze. Damit köe G ud H also icht isomorph sei. Bemerkug: Jede Gruppe der Ordug p 3 (p 2) ist etweder abelsch oder isomorph zu eier der obige Gruppe G oder H. Stad 7. Juli 2010 Seite 5/5