V. Grundlagen der Integralrechnung 1. Die Möndchen des Hippokrates

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1 Seite: V. Grundlgen der ntegrlrechnung 1. Die Möndchen des Hippokrtes 1. Zunächst die rechte Figur: Aus dem Qudrt (Kntenlänge ) sind 4 Viertelkreise (Rdius ) bgetrennt. Also A=() -n = (4-tr) Linke Figur: Hier ergänzen sich bgetrennte Teile zur rechten Figur. Dher: A = () - (4 - tr)= (tr-). Die gru mrkierte Fläche erhält mn, indem mn von der Gesmtfläche den nhlt der rot umrndeten Kreisfläche bzieht. Gesmtfläche: Qudrt+ 4 Hlbkreise: () + tr roter Kreis: Rdius r =.fi: tr Differenz: () = Qudrtfläche. Es liegen Sichelflächen vor, die ähnlich sind zum Möndchen des Hippokrtes (S. 1). Dher gilt: A =(-jr) = 8 =A, At = =A +A 4. Aus + b = c l f folgt: f<1i tr+f(~) tr = f<t) tr, d.h.: H + Hb =He Die große Hlbkreisfläche He ht den gleichen nhlt wie die beiden kleinen Hlbkreisfläche H und Hb zusmmen. Spiegelt mn He n der Seite c, so decken sich die drei Hlbkreise teilweise. Der verbleibende Rest muss lso ebenflls gleichen nhlt besitzen: Dreiecksfläche = Sichel A + Sichel B. 5. Rote Fläche = großer Hlbkreis - Hlbkreis mit r = - Hlbkreis mit r = ~ A _.l(+b) tr -.l(.a.) tr -.1 (..!.) tr =.lbtr r- 4 Nch Thles istjedes Dreieck über dem Durchmesser mit der dritten Bcke uf dem Kreis rechtwinklig. Also ist c die Höhe eines solchen Dreiecks. Höhenstz: h = qp bzw. c =b: Ar = tbtr = ic tr. Die Streifenmethode des Arehirnedes U [(...!..) (.1..) (ll) ' [(...!..) (.1..) (ll) l - ' 7 y

2 7 Seite: ) u 4 = i[l+l+i+l + t + l +f] = ~ 1, 4 = i[l + i + l +t+ l +f +J = f Us = i~ ' Os = ig b) U4 = ~, 4 = -f, Us = t, Os = f c) u ' d) u ' -.!.l 4-64' u - 5 s - 56 ' - S7 4 - u _ ljj. s - 18 ' e) U _ 4 -, 4 = 1f' u -51 t) u ' o -.ill s Os = 6 i , u -.!.! ' -.llil ) U n , --. -, n -- _ + - -, ----' n~ oo n~oo b) U 11 = - 1. ~, 11 = +1. ~ 11 n~ oo 11 n oo 6. T4 = t[ct) t+t <<-t) + Ct) ) + t ((~) + C %-/) + t ((~) + c-~i)j = ji U - 7 _ 15 d d _ 14 _ d ' 4 - ' T ' U ' Ds Ergebnis ist hier mehr ls -ml besser, ber umständlicher zu berechnen. T 4 ist der Mittelwert von U 4 und 4.. Die Flächeninhltsfunktion. ) A(x) = fx b) A (x) = x. Die Fläche ist ein Trpez: Ao(x) = fc f(o) + f(x)) x = x + x. ) Setzt mn im obigen Beispiel 1 b) A() = t, Ao() = t (i ~i, so erhält mn Ao(x) = t x.

3 Seite: ) A (x) = tx +x b) Ao(x)=-}x + x +x c) Ao(x)=tx 4 +x +x c) A (x)=tx y y 5. f(x)=tx+l: A (x) = -}x +x f(x) = -tx: A (x) = - -}x +x f 6. ) A '(x) = b) A '(x) = x c) A '(x) = x + d) A '(x) = i x e) A '(x) = x + x 7. Kurve h f) A '(x) = 4x + x 8. ) A (x) = 4x b) A (x) = tx c) A (x) = ~x +x d) A (x) = 1 ~ x5 e) Ao(x)=tx x + x f) Ao(x)=tx4+x 9. A (x) = 1 ~ x4, A = l O.) A (x)=tx +x, A (4) = c) A (x)=x-tx, A () = A (x)=-}x -x +x, A () - Ao(l) = 1.) A (x)= f x +x, A () - A (1)= 1 j b) A (x) = tx 4 + t x + x, A () - A () = 7 J c) A (x)=tx - x + 4x, A () - A () =% b) A (x) = tx +tx, A () = 7,5 1. Umkehrfunktion:g(x) = x, A (x) = tx 4, A (V) ~, A = V - A (V) = f V ~ Nullstellen: x 1 =, x = 4, Verschiebung: g(x) =- (x+) + 6(x+) - 8 = - x + x Ao(x) = - t x+x ' Ao() =1 15. A (x)=-}x, A = 4 - (Ao() - Ao(1)) = 4-t+-} =! 16. Schnittstellen: f(x) = g(x): x - 4x + =, x 1 =, x =, Verschiebungstrick: f (x) = (x+ l) - 4(x+ l) + 4 = x - x +, A 1 (x) =tx - x + x g (x) =- (x+l) + 4(x+ l)-, A (x) = -tx + x + x A= A ()-A 1 ()=t

4 74 Seite: Stmmfunktion und unbestimmtes ntegrl l. ) J 5x 4 dx = x 5 + C b) J (x - 8x + )dx = x - 4x + x + C c) J ~ x ctx =-=-\r +C 4x d) J (x!_ x )dx =.lx C 4 x e) f* dx =fx+c f) f (mx" + )dx = n":- 1 x"+ 1 + x + C. J (6x - : )dx = x + ~+ C, F(l) = 5, + 5+ C = 5 => C = - => F(x) = x +~-. ) J( ~ x - 1)dx=jc~ x - 1) + b) J ( x + b ) dx = ( x + b )4 + C c) f(x+ b)n dx =- 1 - (x + b)n+ l + C ( n+l ) d) J Jf;.dx = ~( x ) 1 + C 9 e) f.jx - l)dx = t(x - 1) 1 + C f) j 1 1 dx =- + C ( x- l ) ( x- 1) 4. ) F(x) =fo( + 4x) 5 b) F(x) = -t(l - x) 7 c) F(x) = -~ (x + f d) F(x) = t.jx e) F(x) = 1 1- f) F(x) = 1 4{l-xY 5. ) J<x+) dx = j(x + ) + C b) J(x - 8) 7 dx = ~(x - 8) 8 +C 1 c) J- - dx = (x+5y + C 4(x+5) 6. ) F(x) = (x + b)n +l (n+l) b) F(x) = - b(n- l)(bx+cr' c) F(x) =.1.. (x + b ) 1 7. ) J x6 dx = ~ x 7 + C b) J xn+ ctx = xn+ + C n+ c) j6xdx = x + C e) f(4x + x) dx =i x + x + C f) f(x -4x + l)dx =~x 4 - x + x + C g) f(x4 + 6 x )dx = ~ x x + C 5 d) J nxn- lctx =.!_ n + C n h) ( )dx = -~+ x + C x x i) <x + x- )dx =~ x - x- 1 + C JJ < x +-'- ) xdx =~ x + x + C k) x4 +'dx =.!_ x _ + C x x ) x -8 dx = x + 4 x + C x-

5 Seite: ) Summenregel und Potenzregel b) c) 1.,. und ). b) 4. c) 5. d). e) 6..,. und 4. d). und. t). 1. (AF) A. Grdes, F. Grdes ; Lge des Tiefpunktes (A) und des Sttelpunktes (F) (EB) E. Grdes, B 4. Grdes ; Lge der Nullstellen von E und der Extremlsteilen (B) (DC) D. Grdes, C. Grdes ; Lge der Nullstelle von D und des Tiefpunktes (C) (HG) H. Grdes, G 4. Grdes ; Lge der Nullstelle vonhunddes Tiefpunktes von G ll.) F(x) =- 1 ~(-4x) 4 b) F(x) = 4 s(-1sx) c) F(x) = fcx - 1) 1 + x

6 76 Seite: Ds bestimmte ntegrl l. ) A (x) = 4x- ~ x 4, A =,98 b) F(x) = 4x- 6 ~ x4 +, A =,98 c) F(x) = 4x- ~ x 4 -, A =,98. ) Wegen Dr = R \ {}, Dg = R \ {1} b) F(x)=-~, A = F(4) - F() =~; G(x) =-x~ l, A = G() - G()=t F und G sind uf [ ; 4] bzw. [ ; ] definiert, differenzierbr und positiv. c) Verschiebung um nch links: f (x) = F (x) A = Fvo() - Fvo(O) = 1. 4 v (x+l) ' v - x+l ' Verschiebung um nch links: f (x) = F (x) A = Fvo(l) - G vo(o) = - 1 v (x+l) ' v - x+l '. Grenzen: x = und x = gespiegelte Funktion: g(x) = - x + 4x -, G(x) =-1x +x -x, 4 4 G()- G() =- =} A=- ohne Spiegelung: G(x) = -f x + x - x, G() - G(l) = -1 => A=1 4. Der nhlt der n der x-achse gespiegelten Fläche stimmt mit der unter der x-achse liegenden Uberein. Ftir den Flächeninhlt oberhlb der x-achse gilt: A = Jb( - f(x))dx = [ - F(x)]~ =- F(b) + F() = F()-F(b) 4 5. ) J (x - 4x + l)dx = [x - x + x]~ 1 = 4-4 b) Jcx +x+ l)dx = [fx +x + x]~ = 41, c) jc- x - x + 4)dx = [ -~x 4 -~ x + 4xJ? =-5 5 d) j..ldx = [-.L] 5 = x x ' 6. ) J (xy +x +)dx = [fx y +fx +x]~ = 1,5y +,5 b) jcxy + x+)dy = [-f y +xy+y]f = 1 ~x+ c) j(rx+r)dr=[fr +r J:. 1 = 4x+8 - d) J - (x + b)d = [f + b]~ = -4x +4b

7 Seite: 194 Tl 7. ) (4x - x +)dx = [x 4 --tx + xh = 64,5 4 b) (x + -L)dx = [1. x ] 4 = xl x 1 c) (*-x)dx = [vfx --tx n =.J -,5 = -,6716 d) <x - ) dx = [t<x - ) Jr = t +t =t j 5 e) c5x - ) dx = [l ~ (5x -?n = ) <x +)dy = [x y + y]~= x b) (xy +x y+)dy =rtl + x; / + yjr = x + 4x +4 c) (l - z)(l-z)(x-z)dz = <x-z(+x)+z (+x)- z )dz t) (4x - ) dx = [ 1 ~ (4x - ) 4 ]~ = = [xz-tz (1 +x)+ t z ( + x) - tz 4 E 1 = x+f 9. ).J- x+dx = [ -t t ( -x + ) f ] ~ 1 ~ 1, x b) F() - F(- ) =t-(- 4,5) = 5, F(x) = -~ x { x ~ O x < O.lx - tx O~x~l c) F() - F(- 1) =-t-t-<-t-t) = l, F(x) = { ~t x +tx x<o, x>l O.f sei differenzierbr, Feine Stmmfunktion von f, G Stmmfunktion von g ( ) J f ( x ) dx = F ( ) - F ( ) = b c c ( ) J f ( x )dx + J f ( x ) dx = F ( b ) - F ( ) + F ( c) - F ( b) = F ( c) - F ( ) = J f ( x ) dx b b () Jf(x)dx = F(b) - F() =-(F() - F(b)) =-Jf(x)dx b

8 78 Seite: 194 O.f sei differenzierbr, Feine Stmmfunktion von f, G Stmmfunktion von g b (4) Jk f(x)dx = [k F(x)]~ = k F(b) - k F() = k[f(b) - F()] = k J f(x)dx b (5) J (f(x) + g(x ))dx = [F( x) + G (x)]~ = F(b) + G (b) - F() - G () b b = F ( b) - F ( ) + G ( b) - G ( ) = J f ( x ) dx + J g ( x ) dx ll.) J f(x)dx = J f(x)dx. + Jr(x)dx = J f(x)dx+ Je - f(x))dx = J f(x)dx + JfC - x)dx ~ ~ ~ ~ = [F(x)f +[ - F( - x)f = (F(O) - F(- ))+( - F(O)- (- F( -)))= O - - b) J rcx)dx= J f(x)dx+ J f(x)dx = - J rcx)dx+ J rcx)dx= - J rc- x)dx+ J f(x)dx - - =-{ -F( -x}~) +[F(x)~ = (F()- F()) = Jf(x)dx 1.) 75 = [tx 4 ]f =,75k => k = b) 9 = [k t+t ]~ + 1 = (k + l) =:> k =,k = -4 b Knobelufgbe Die Flächeninhlte der weißen gleichseitigen Dreiecke betrgen 1 cm ufsummiert: Aw = 1 t.f =./ cm. Wir berechnen nun den Flächeninhlt des gesmten Zwölfecks. Ds Zwölfeck lässt sich in 1 gleichschenklige Dreiecke unterteilen, die jeweils m Mittelpunkt einen Winkel von hben (zusmmen 6 ). Die Ubrigen Winkel betrgen jeweils 75. Mithilfe trigonometrischer Beziehungen lssen sich r und h bestimmen:,5 r = sin 15 = cos75 h = sin 75 r = r cos 15 = sin 75 sin 15 A =.!...1. h =.!... sin? 5 o ~ 917 cm D sinl5 ' Ds Zwölfeck ht folglich den Flächeninhlt 1A =, cm. Der Flächeninhlt der roten Fläche ergibt sich durch Differenzbildung: A = A - A = ' = 6 cm 1 w, vj.

9 Seite: 1-4 V. Anwendungen der ntegrlrechnung 1. Bestimmte Flächen untd Flächeninhlte. ) Nullstellen: -,-,, J f(x)dx ~ 14,5, J f(x)dx ~ - 1,47, J f(x)dx ~ 5,7, A ~ 1, b) Nullstellen: -, (doppelte), l - J f(x)dx ~,8, J f(x)dx ~ -,15, -,5-1,5 J f(x)dx ~,75, A ~ 6,18 c) NuJlstellen: -,, 4, A 1 = 1, A = 14, A = 18,5 d) NuJlstelJen:-,7, - 1,,7, A1=A4~,5, A = A~,5, A=5. ) NullsteJlen:-, (doppelte), ; Symmetrie zur y- Achse A 1 = A = 5,4; A ~ 1, 47; A ~ l 7 b) NullstelJen:, ±.J ; Symmetrie zum Ursprung A 1 = A 4 ~, 641 ; A = A =, 5 ; A ~ 9, = Jf(x)dx = [ix 4 - ;x ]~ = ;, = - 4. Jx dx=[1x ]Ö=~, [1x ]g =;=1 = l 5. f(x) =-x +, A = Jf(x)dx=[- ; + x]b =1 = l, =-! 6. f(x) = (x - 4) + b, f() =-1, b=-1-16 A =l J ((x-4) - J6 - J)dx l=% + l =, = ~~ f () = ( _ 4 ) _ 491 = x _ 4 - J 7. Die Prbel ist nch unten geöffnet und ht die NulJstelJen x 1 = und x = u, dher: P(x) = -x(x- u) (> ). Der Scheitelpunkt ist S(.!!.J 9) : p(.!!.) =.!!. u = 9 => = l. 4 u u f _6 (x - ux)dx = [-l.(lx -.!!.x )]Ö =6u =6 => u u u = 6, =l

10 Seite: ) Rten: x =, Polynomdivision: x =-, x = b) A = J f(x)dx+j f(x)dxl=[tx 4-1x -tx +x ]~ [tx 4-1x -tx +x]fl - 1 = =11~ ~ ' c) J f(x)dx = (tx 4 -tx -tx +xj: 1 =,5 - Ds bestimmte ntegrl gibt die Flächenbilnz n. 9. Nullstellen: ; 1,5; A =i J f(x)dxl=l[lx _.x + 9xlrs l= 1,15 ',5 JO.) p=± b) p = 7 c) p = 4 1l.f'()=-1, t(x) =-x+, A 1 =, A1 =i, A =i, A1 :A=t 1.) A "" J + 1,11 = 1,11 y b)a=,5+8 = 11,5 c) A "" J,7+,7 = y d) A= 5,5 y 1.) Nullstellen: b) Nullstellen: c) Nullstellen: d) Nullstellen: e) Nullstellen: t) Nullstellen: ±J,, A =(7 + 6J) +(6J - 9) "" J8,78 -,-,, A "" 4, ,58 = 58,5 ± 1, ± 1,5, A "",7 +,19 =,86 ±,5,, A =,65 ±,5, (doppelte), A =,5 (doppelte) A = ~ = 494 "" 8 ' ' ' ' 14.) f~ ~ (-4x + p ) dx =~ p = 18, p = b) p = 4 c)p= d) p = 15. A =J f(x)dx=[x-x ]b=4, Schnittstelle: k =-x =:>x=±j k (-k v-r f-k!a = = J (-x - k)dx = [(- k)x- x ]f = J k (- k - k) --.._L_=J-k _.._-H k--( (-k) 4<- k) - - V4 -

11 8 Seite: 6 16.A = i,a= t A 1 :A = 7:5 17.k = \8.Schnittstelle von f und g: x = A -11 -, A , A -6 -li A 1 :A = 19:5 19. f(x) = x +bx +cx, f'(x) = x + bx + c, f"(x) = 6x + b f'' () = 1 + b = ~ b = - 6, f' () = - \ + c = ~ c = 9 F(x) = fx 4 -x + t x, F() - F(O) = 6 = 6 ~ = f(x) = x - 6x + 9x. f(x) = x + bx, f' (.J) = ~ b = - 9 ~ f(x) = x(x - 9), Nullstellen:, ± A =- ~ 1 = t ~ = - t, f(x) = -tx + x 1. f(x) = x(x - 4), A = J f(x)dxl= 4 = t =t ~ = t, f(x) =! x -fx. f ( ) = 1 1 ( - 16 x + 64), F ( ) = ( ; - 8 x + 64 ) = ~ ( - 4 x + 19 ) Wegenf(x) ;::: O: A = F(O) - F( O)= 1 ~ ( OOO - 4+ l9 ) WegenA'() = 1! ( - 4 ) folg t A'()= O llir =1 A"( 1 ) = 1! > ::::- Min.

12 Seite: Flächen zwischen Funktionsgrphen l. A. A =,. A =,8 = 4,5 4. A=, ) A =, b)a = 1, c)a=,96 6. ) A = J (-x + )dx=[-~x + x]8=1 =6, = b) A = J cx-x )dx=[1x -1x J8=i' =1, = 1/ c) A=J(t -x)dx=[x-~x] 11 ==l, =l 7. Schnittstellen:,, A =,5 8. Grenzen:,, A = 1, ) Grenzen: -,-1,,, A =,5+,5 +,5 =,75 b) Grenzen: - 1,, 1,, A =,17 +, 18 +, 17 =,8 O.A =, = 7,15 11.) f(x)=tx-1, g(x)=x -8x+15 b) Schnittstellen:, 1 ~ 16/ 16/ A = J (f(x)- g(x))dx = J <tx-1-x + 8x - S)dx = [-tx + l x - 16xn 6 ' =,1 1. ) x = - ; ; A = J.Q. + 6 = 1...!.. ' 4 1 b) =- ; ; 4, A = f+ =,75 c) x =- ; ;, A = ~ R-l 8.5 d) x = - ; - ;, A R-l 11,8 1. ) Schnittstellen: -,, : J (f(x)- g(x))dx = ~, J (g(x)- f(x))dx = 1~, A = ~i - b) Schnittstellen - 1 A =lli+t.+.1=9. ' ' ' f(x) =,x -,8, g(x) =-,4x +,6 ntegrtion von g- f ilber [- ; ] liefert A = 6,4 cm und dher V =,4 cm = 4 mm.

13 84 Seite: ) A = J (6x - x )dx + J (- x x )dx =!+! = 1; b) Druckfehler im Lehrbuch: f(x) = 4- x, g(x} = -x +4x A = J C4x - 4)dx + JC- x +x+ 6)dx =+ 1 J =4i c) Druckfehler im Lehrbuch: g(x) = --}Cx - 4) + 6 f (- tx +1x)dx +f (tx - x +9)dx = 1 { + ;= i 16. ) Schn ittstellen: - ;, A ~ 1,4 b) Schnittstellen: ; 1, A = 144 c) Schnittstellen: - ; A =~ d) Schnittstellen: - ;, A -.l - 17.) Schnittstellen: -!, 1, A =,667 b)ntegrtionsstellen: - 1,, A = 1/ c) Schnittstellen: - 1,,, A = + 1, 167 =, ) Schnittstellen: ; t, fl.lr =,5 c) Schnittstellen: ; +, fur = 4 b) chnittstellen: - ;, fllr = d) Schnittstellen: - ; ;, fllr = ~ 19.) Grenzen:O, 1, lfi, A =,5 +, 119 =,619 b) f(x) = x, g(x) = x +, h(x) = x - x +. = 4 Grenzen: - J,,, A =,797 + = 1, Arot = 1 h, Aschwrz = J (x - x)dx = ~ = ~, =.Jf ~,577 -fä. A = 6, Aschwrz =, ,68 =,, Arot =, +,556 =,77, Asch: Ar =, 17. ) Schnittstellen: - ; ; 4 A --.! , ~ 18 b) S c h m.tt s t e en: - ; - ; ;, A = = 8 4. g(x) =,5x ist Wendenorrnle. Schnittpunkte mit fbei x = ± N, (Gesmttläche: A = A 1 +A =, 15)

14 Seite: ) A = ~~ + ~~ ~,94 b) Schnittstellen:, und 5: A =,7 + 8,8 =,5 c) Schnittstelle von f und g: x = t Schnittstelle von f und h: x = 1 Schnittstelle von g und h x = A = ill + = lli ~ 4 5. ) ~ ) 6. ) A = 6 4, A 1 = 4,5 A : A = 7:11 y., h b) A = 8, A 1 = 4,5 A 1 :A = 9:7 c) A = 4,5, A 1 = 1 J A 1 :A = 1:14 y f g 7. Anstz: f ( x) = x + bx, f '(.J) = :::} b = - 9 f(x) = O: x = O, x =±H=±...= J f(x)dx =-~:::} =-.!._, b = l, f(x) =-.!._x + x Anstz:f(x) = x + bx + cx + d, d = O, f'() = O, f"() = :::} b =-6, c = 9 6 = J cx - 6x + 9x)dx = 6 :::} = l, f(x) = x - 6x + 9 x 9. f(x) = -,5x- x, bzw. f(x) =,5x + x (Fläche unterhlb der x- Achse).)A = 1,67+7, = 18 b) A = +5-1 = 6